Gauss teoremasi. Elektr induksiyasi uchun Gauss teoremasi (elektr siljishi) Elektr maydon induksiyasi uchun Gauss teoremasi

Keling, E vektorining qiymati ikkita muhit, masalan, havo (e 1) va suv (e = 81) orasidagi interfeysda qanday o'zgarishini ko'rib chiqaylik. Suvdagi maydon kuchi keskin ravishda 81 marta kamayadi. Bu vektor harakati E turli muhitlarda maydonlarni hisoblashda muayyan noqulayliklar yaratadi. Ushbu noqulaylikdan qochish uchun yangi vektor joriy etiladi D– maydonning induksiya yoki elektr siljishi vektori. Vektorli ulanish D Va E kabi ko'rinadi

D = ε ε 0 E.

Shubhasiz, nuqta zaryadining maydoni uchun elektr almashinuvi teng bo'ladi

Elektr siljishi C / m2 da o'lchanganligini, xususiyatlarga bog'liq emasligini va grafik jihatdan kuchlanish chiziqlariga o'xshash chiziqlar bilan ifodalanganligini ko'rish oson.

Maydon chiziqlarining yo'nalishi maydonning kosmosdagi yo'nalishini tavsiflaydi (maydon chiziqlari, albatta, mavjud emas, ular rasmga qulaylik uchun kiritilgan) yoki maydon kuchi vektorining yo'nalishini tavsiflaydi. Intensivlik chiziqlaridan foydalanib, siz nafaqat yo'nalishni, balki maydon kuchining kattaligini ham tavsiflashingiz mumkin. Buning uchun ularni ma'lum bir zichlik bilan bajarishga kelishib olindi, shunda kuchlanish chiziqlariga perpendikulyar bo'lgan birlik sirtini teshib o'tadigan kuchlanish chiziqlari soni vektor moduliga proportsional bo'ladi. E(78-rasm). Keyin elementar maydonga kiradigan chiziqlar soni dS, qaysi normal n vektor bilan a burchak hosil qiladi E, E dScos a = E n dS ga teng,

bu yerda E n vektor komponenti E normal yo'nalish bo'ylab n. Qiymati dF E = E n dS = E d S chaqirdi sayt orqali kuchlanish vektorining oqimi d S(d S= dS n).

Ixtiyoriy yopiq sirt uchun S vektor oqimi E bu sirt orqali teng

Xuddi shunday ifoda F D elektr almashinish vektorining oqimiga ega

.

Ostrogradskiy-Gauss teoremasi

Bu teorema har qanday miqdordagi zaryadlardan E va D vektorlar oqimini aniqlash imkonini beradi. Q nuqta zaryadini olaylik va vektor oqimini aniqlaymiz E markazida joylashgan r radiusli sharsimon sirt orqali.

Sferik sirt uchun a = 0, cos a = 1, E n = E, S = 4 pr 2 va

F E = E · 4 pr 2.

E ifodasini almashtirib, biz hosil bo'lamiz

Shunday qilib, har bir nuqta zaryadidan F E vektorining oqimi paydo bo'ladi E Q/ e 0 ga teng. Ushbu xulosani nuqtaviy zaryadlarning ixtiyoriy sonining umumiy holatiga umumlashtirib, biz teorema formulasini beramiz: vektorning umumiy oqimi E ixtiyoriy shakldagi yopiq sirt orqali bu sirt ichidagi elektr zaryadlarining algebraik yig'indisi e 0 ga bo'lingan, ya'ni.

Elektr siljishi vektor oqimi uchun D shunga o'xshash formulani olishingiz mumkin

yopiq sirt orqali induksiya vektorining oqimi bu sirt bilan qoplangan elektr zaryadlarining algebraik yig'indisiga teng.

Agar biz zaryadni qabul qilmaydigan yopiq sirtni olsak, unda har bir chiziq E Va D bu sirtni ikki marta kesib o'tadi - kirish va chiqishda, shuning uchun umumiy oqim bo'lib chiqadi nolga teng. Bu erda kiruvchi va chiquvchi chiziqlarning algebraik yig'indisini hisobga olish kerak.

Ostrogradskiy-Gauss teoremasini tekisliklar, sharlar va silindrlar tomonidan yaratilgan elektr maydonlarini hisoblashda qo'llash

R radiusli sharsimon sirt Q zaryadini olib yuradi, sirt zichligi s bo'lgan sirt bo'ylab bir tekis taqsimlanadi.

Sfera tashqarisidagi A nuqtani markazdan r masofada olib, radiusi r simmetrik zaryadlangan sharni aqliy ravishda chizamiz (79-rasm). Uning maydoni S = 4 pr 2 ga teng. E vektorining oqimi teng bo'ladi

Ostrogradskiy-Gauss teoremasiga ko'ra
, shuning uchun,
Q = s 4 pr 2 ekanligini hisobga olsak, olamiz

Sfera yuzasida joylashgan nuqtalar uchun (R = r)

D Bo'shliq shar ichida joylashgan nuqtalar uchun (sfera ichida zaryad yo'q), E = 0.

2 . Radiusi R va uzunligi bo'lgan ichi bo'sh silindrsimon sirt l doimiy sirt zaryad zichligi bilan zaryadlangan
(80-rasm). Radiusi r > R bo'lgan koaksial silindrsimon sirtni chizamiz.

Oqim vektori E bu sirt orqali

Gauss teoremasi bo'yicha

Yuqoridagi tengliklarning o'ng tomonlarini tenglashtirib, olamiz

.

Tsilindrning (yoki ingichka ipning) chiziqli zaryad zichligi berilgan bo'lsa
Bu

3. Yuzaki zaryad zichligi s bo'lgan cheksiz tekisliklar maydoni (81-rasm).

Keling, cheksiz tekislik tomonidan yaratilgan maydonni ko'rib chiqaylik. Simmetriya mulohazalari shuni ko'rsatadiki, maydonning istalgan nuqtasida intensivlik tekislikka perpendikulyar yo'nalishga ega.

Nosimmetrik nuqtalarda E kattaligi bo'yicha bir xil va yo'nalish bo'yicha qarama-qarshi bo'ladi.

DS asosli silindrning sirtini aqliy ravishda quramiz. Keyin silindrning har bir tagidan oqim chiqadi

F E = E DS va silindrsimon sirt orqali o'tadigan umumiy oqim F E = 2E DS ga teng bo'ladi.

Sirt ichida Q = s · DS zaryad mavjud. Gauss teoremasiga ko'ra, bu haqiqat bo'lishi kerak

qayerda

Olingan natija tanlangan silindrning balandligiga bog'liq emas. Shunday qilib, har qanday masofada E maydon kuchi kattaligi bo'yicha bir xil bo'ladi.

Bir xil sirt zaryad zichligi s bo'lgan ikki xil zaryadlangan samolyot uchun superpozitsiya printsipiga ko'ra, tekisliklar orasidagi bo'shliqdan tashqarida maydon kuchi nolga teng E = 0, tekisliklar orasidagi bo'shliqda.
(82a-rasm). Agar tekisliklar bir xil sirt zaryad zichligiga ega bo'lgan o'xshash zaryadlar bilan zaryadlangan bo'lsa, qarama-qarshi rasm kuzatiladi (82b-rasm). Tekisliklar orasidagi bo'shliqda E = 0, tekisliklardan tashqarida esa
.

Elektrostatikaning asosiy amaliy vazifasi turli qurilmalar va qurilmalarda yaratilgan elektr maydonlarini hisoblashdir. Umuman olganda, bu muammo Kulon qonuni va superpozitsiya printsipi yordamida hal qilinadi. Biroq, bu vazifani ko'rib chiqishda juda qiyin bo'ladi katta raqam nuqta yoki fazoviy taqsimlangan zaryadlar. Kosmosda dielektriklar yoki o'tkazgichlar mavjud bo'lganda, E 0 tashqi maydon ta'sirida mikroskopik zaryadlarning qayta taqsimlanishi sodir bo'lganda, o'zlarining qo'shimcha E maydonini yaratganda yanada katta qiyinchiliklar yuzaga keladi. Shuning uchun bu muammolarni amaliy hal qilish uchun yordamchi usullar va usullar qo'llaniladi. murakkab matematik apparatlardan foydalanadiganlar. Biz Ostrogradskiy-Gauss teoremasini qo'llashga asoslangan eng oddiy usulni ko'rib chiqamiz. Ushbu teoremani shakllantirish uchun biz bir nechta yangi tushunchalarni kiritamiz:

A) zaryad zichligi

Agar zaryadlangan tana katta bo'lsa, unda siz tanadagi zaryadlarning taqsimlanishini bilishingiz kerak.

Hajmi zaryad zichligi- hajm birligi uchun to'lov bilan o'lchanadi:

Yuzaki zaryad zichligi- tananing birlik yuzasiga to'g'ri keladigan zaryad bilan o'lchanadi (zaryad sirt bo'ylab taqsimlanganda):

Chiziqli zaryad zichligi(o'tkazgich bo'ylab zaryad taqsimoti):

b) elektrostatik induksiya vektori

Elektrostatik induksiya vektori (elektr joy almashish vektori) - elektr maydonini tavsiflovchi vektor miqdori.

Vektor vektorning mahsulotiga teng ma'lum bir nuqtada muhitning mutlaq dielektrik o'tkazuvchanligi bo'yicha:

Keling, o'lchamni tekshiramiz D SI birliklarida:

, chunki
,

keyin D va E o'lchamlari mos kelmaydi va ularning raqamli qiymatlari ham boshqacha.

Ta'rifdan vektor maydoni uchun shundan kelib chiqadi maydon uchun bir xil superpozitsiya printsipi qo'llaniladi :

Maydon xuddi maydon kabi induksiya chiziqlari bilan grafik tarzda ifodalanadi . Induksiya chiziqlari har bir nuqtadagi tangens yo'nalishga to'g'ri keladigan tarzda chiziladi , va chiziqlar soni ma'lum bir joydagi D ning raqamli qiymatiga teng.

Kirish ma'nosini tushunish uchun Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.

V) elektrostatik induksiya vektor oqimi

Elektr maydonidagi S sirtini ko'rib chiqing va normal yo'nalishni tanlang

1. Agar maydon bir xil bo'lsa, S sirtdan o'tgan maydon chiziqlari soni:

2. Agar maydon bir xil bo'lmasa, u holda sirt cheksiz kichik elementlarga bo'linadi dS , ular tekis deb hisoblanadi va ularning atrofidagi maydon bir xildir. Demak, sirt elementi orqali oqim: dN = D n dS,

va har qanday sirt orqali umumiy oqim:

(6)

Induksion oqim N - skalyar miqdor; ga qarab  > 0 yoki bo'lishi mumkin< 0, или = 0.

Eng qiyin narsa bir xil bo'lmagan elektr muhitida elektr hodisalarini o'rganishdir. Bunday muhitda e turli qiymatlarga ega bo'lib, dielektrik chegarasida keskin o'zgaradi. Faraz qilaylik, ikkita muhit orasidagi chegaradagi maydon kuchini aniqlaymiz: e 1 =1 (vakuum yoki havo) va e 2 =3 (suyuqlik - moy). Interfeysda vakuumdan dielektrikga o'tish vaqtida maydon kuchi uch marta kamayadi va kuch vektorining oqimi bir xil miqdorda kamayadi (12.25-rasm, a). Ikki vosita orasidagi interfeysdagi elektrostatik maydon kuchi vektorining keskin o'zgarishi maydonlarni hisoblashda ma'lum qiyinchiliklarni keltirib chiqaradi. Gauss teoremasiga kelsak, bunday sharoitda u umuman o'z ma'nosini yo'qotadi.

Bir-biriga o'xshamaydigan dielektriklarning polarizatsiyasi va kuchlanishi har xil bo'lganligi sababli, har bir dielektrikdagi maydon chiziqlari soni ham har xil bo'ladi. Ushbu qiyinchilikni maydonning yangi fizik xarakteristikasi, elektr induksiyasi D (yoki vektor) kiritish orqali bartaraf etish mumkin. elektr siljishi ).

Formulaga ko'ra

e 1 E 1 = e 2 E 2 =E 0 =const

Ushbu tengliklarning barcha qismlarini elektr doimiy e 0 ga ko'paytiramiz

e 0 e 1 E 1 = e 0 e 2 E 2 =e 0 E 0 =const

e 0 eE=D yozuvini kiritamiz, shunda oxirgidan oldingi munosabat shaklni oladi.

D 1 = D 2 =D 0 =const

Dielektrikdagi elektr maydon kuchi va uning mutlaq dielektrik o'tkazuvchanligi ko'paytmasiga teng D vektor deyiladi.elektr siljish vektori

(12.45)

Elektr o'zgartirish birligi - kvadrat metr uchun kulon(C/m2).

Elektr siljishi vektor miqdori bo'lib, uni quyidagicha ifodalash mumkin

D = e 0 E =(1+c)e 0 E = e 0 E + je 0 E = e 0 E+P

(12.46)

E kuchlanishidan farqli o'laroq, elektr siljishi D barcha dielektriklarda doimiydir (12.25-rasm, b). Shuning uchun bir jinsli bo'lmagan dielektrik muhitdagi elektr maydonini E intensivligi bilan emas, balki D ko'chish vektori bilan tavsiflash qulaydir. D vektori erkin zaryadlar (ya'ni vakuumda) tomonidan yaratilgan elektrostatik maydonni tavsiflaydi, lekin ularning kosmosda dielektrik mavjudligidagi kabi taqsimlanishi bilan, chunki dielektriklarda paydo bo'ladigan bog'langan zaryadlar maydonni hosil qiluvchi erkin zaryadlarning qayta taqsimlanishiga olib kelishi mumkin.

Vektor maydoni maydon bilan bir xil tarzda elektr siljish chiziqlari bilan grafik tasvirlangan kuch chiziqlari bilan tasvirlangan.

Elektr almashtirish liniyasi - bu har bir nuqtadagi tangenslari elektr siljish vektori yo'nalishi bo'yicha mos keladigan chiziqlar.

E vektorining chiziqlari har qanday zaryadda boshlanishi va tugashi mumkin - erkin va bog'langan, vektor chiziqlari esaD- faqat bepul to'lovlar bilan. Vektor chiziqlariDKuchlanish chiziqlaridan farqli o'laroq, ular uzluksizdir.

Elektr almashinish vektori ikkita muhit orasidagi interfeysda uzilishni boshdan kechirmaganligi sababli, biron bir yopiq sirt bilan o'ralgan zaryadlardan kelib chiqadigan barcha induksiya chiziqlari unga kirib boradi. Shuning uchun, elektr siljish vektori uchun Gauss teoremasi bir jinsli bo'lmagan dielektrik muhit uchun o'z ma'nosini to'liq saqlab qoladi.

Dielektrikdagi elektrostatik maydon uchun Gauss teoremasi : ixtiyoriy yopiq sirt orqali elektr siljish vektorining oqimi ushbu sirt ichidagi zaryadlarning algebraik yig'indisiga teng.

(12.47)

Elektr induksiyasi uchun Gauss teoremasi (elektr siljishi)[

Dielektrik muhitdagi maydon uchun Gaussning elektrostatik teoremasini boshqa yo'l bilan (muqobil tarzda) - elektr siljish vektorining oqimi (elektr induksiyasi) orqali yozish mumkin. Bunday holda, teoremaning formulasi quyidagicha: elektr siljish vektorining yopiq sirt bo'ylab oqimi ushbu sirt ichidagi erkin elektr zaryadiga mutanosibdir:

Differensial shaklda:

Magnit induksiya uchun Gauss teoremasi

Har qanday yopiq sirt orqali magnit induksiya vektorining oqimi nolga teng:

yoki differentsial shaklda

Bu tabiatda magnit maydon hosil qiladigan "magnit zaryadlar" (monopollar) yo'qligiga, elektr zaryadlari elektr maydonini yaratishga teng. Boshqacha qilib aytganda, Gaussning magnit induktsiya teoremasi magnit maydonning (to'liq) ekanligini ko'rsatadi. girdob.

Nyuton tortishish uchun Gauss teoremasi

Nyuton gravitatsiyasining maydon kuchi (tortishish tezlashuvi) uchun Gauss teoremasi elektrostatika teoremasi bilan amalda mos keladi, faqat konstantalar bundan mustasno (ammo, baribir, birliklar tizimining o'zboshimchalik bilan tanlanishiga bog'liq) va eng muhimi, belgi:

Qayerda g- tortishish maydoni kuchi, M- sirt ichidagi tortishish zaryadi (ya'ni massa). S, ρ - massa zichligi, G- Nyuton doimiysi.

Elektr maydonidagi o'tkazgichlar. Supero'tkazuvchilar ichidagi va uning yuzasidagi maydon.

Supero'tkazuvchilar - bu elektr zaryadlari zaryadlangan jismdan zaryadsizga o'tishi mumkin bo'lgan jismlar. Supero'tkazuvchilarning elektr zaryadlarini o'zlari orqali o'tkazish qobiliyati ulardagi erkin zaryad tashuvchilarning mavjudligi bilan izohlanadi. Supero'tkazuvchilar - qattiq va suyuq holatdagi metall jismlar, elektrolitlarning suyuq eritmalari. Elektr maydoniga kiritilgan o'tkazgichning erkin zaryadlari uning ta'siri ostida harakat qila boshlaydi. Zaryadlarning qayta taqsimlanishi elektr maydonining o'zgarishiga olib keladi. O'tkazgichdagi elektr maydon kuchi nolga tenglashganda, elektronlar harakatini to'xtatadi. Elektr maydoniga joylashtirilgan o'tkazgichdagi farqli zaryadlarning ajralish hodisasi elektrostatik induksiya deb ataladi. Supero'tkazuvchilar ichida elektr maydoni Yo'q. Bu elektrostatik himoya qilish uchun ishlatiladi - elektr maydonidan metall o'tkazgichlar yordamida himoya qilish. Elektr maydonidagi har qanday shakldagi o'tkazuvchi jismning yuzasi ekvipotensial sirtdir.

Kondensatorlar

Muhitga nisbatan past potentsialda o'zlarida sezilarli zaryadlarni to'playdigan (kondensatsiya qiladigan) qurilmalarni olish uchun ular o'tkazgichning elektr sig'imi boshqa jismlar unga yaqinlashganda ortib borishidan foydalanadilar. Haqiqatan ham, zaryadlangan o'tkazgichlar tomonidan yaratilgan maydonning ta'siri ostida unga olib kelingan jismda induktsiyalangan (o'tkazgichda) yoki bog'langan (dielektrikda) zaryadlar paydo bo'ladi (15.5-rasm). q o'tkazgichning zaryadiga qarama-qarshi bo'lgan zaryadlar q bilan bir xil nomdagilarga qaraganda o'tkazgichga yaqinroq joylashgan va shuning uchun uning potentsialiga katta ta'sir ko'rsatadi.

Shuning uchun har qanday jismni zaryadlangan o'tkazgichga yaqinlashtirishda maydon kuchi kamayadi va shuning uchun o'tkazgichning potensiali kamayadi. Tenglamaga ko'ra, bu o'tkazgichning sig'imini oshirishni anglatadi.

Kondensator dielektrik qatlam bilan ajratilgan ikkita o'tkazgichdan (plastinkadan) iborat (15.6-rasm). Supero'tkazuvchilarga ma'lum potentsial farq qo'llanilganda, uning plitalari qarama-qarshi ishorali teng zaryadlar bilan zaryadlanadi. Kondensatorning elektr sig'imi q zaryadiga mutanosib bo'lgan va plitalar orasidagi potentsial farqga teskari proportsional bo'lgan jismoniy miqdor sifatida tushuniladi.

Yassi kondensatorning sig'imini aniqlaymiz.

Agar plastinka maydoni S bo'lsa va undagi zaryad q bo'lsa, u holda plitalar orasidagi maydon kuchi

Boshqa tomondan, plitalar orasidagi potentsial farq kelib chiqadi

Nuqtaviy zaryadlar tizimining energiyasi, zaryadlangan o'tkazgich va kondansatör.

Har qanday zaryadlar tizimi ma'lum bir potentsial o'zaro ta'sir energiyasiga ega bo'lib, bu tizimni yaratish uchun sarflangan ish bilan tengdir. Nuqtaviy zaryadlar tizimining energiyasi q 1 , q 2 , q 3 ,… q N quyidagicha aniqlanadi:

Qayerda φ 1 - boshqa barcha zaryadlar tomonidan yaratilgan elektr maydonining potentsiali q 1 zaryad joylashgan nuqtada q 1 va boshqalar. Agar zaryadlar tizimining konfiguratsiyasi o'zgarsa, tizimning energiyasi ham o'zgaradi. Tizim konfiguratsiyasini o'zgartirish uchun ish bajarilishi kerak.

Nuqtaviy zaryadlar tizimining potentsial energiyasini boshqa yo'l bilan hisoblash mumkin. Ikki nuqtali zaryadning potentsial energiyasi q 1 , q Bir-biridan uzoqda joylashgan 2 teng. Agar bir nechta zaryad bo'lsa, unda bu zaryadlar tizimining potentsial energiyasini ushbu tizim uchun tuzilishi mumkin bo'lgan barcha juft zaryadlarning potentsial energiyalarining yig'indisi sifatida aniqlash mumkin. Shunday qilib, uchta musbat zaryadli tizim uchun tizimning energiyasi tengdir

Zaryadlangan yakka o'tkazgich va kondansatör energiyasi

Agar ajratilgan o'tkazgich q zaryadga ega bo'lsa, u holda uning atrofida elektr maydoni mavjud bo'lib, uning o'tkazgich yuzasida potensiali ga teng va sig'imi C. Zaryadni dq miqdoriga oshiramiz. Dq zaryadini cheksizlikdan o'tkazishda ishni teng bajarish kerak . Ammo cheksizlikda berilgan o'tkazgichning elektrostatik maydonining potentsiali nolga teng. Keyin

dq zaryadini o'tkazgichdan cheksizlikka o'tkazishda xuddi shu ish elektrostatik maydon kuchlari tomonidan amalga oshiriladi. Binobarin, o'tkazgichning zaryadi dq miqdoriga oshganda, maydonning potentsial energiyasi ortadi, ya'ni.

Ushbu ifodani integrallash orqali biz zaryadlangan o'tkazgichning elektrostatik maydonining potentsial energiyasini topamiz, chunki uning zaryadi noldan q gacha ko'tariladi:

Munosabatni qo'llagan holda, potentsial energiya W uchun quyidagi ifodalarni olishimiz mumkin:

Zaryadlangan kondansatör uchun potentsial farq (kuchlanish) uning elektrostatik maydonining umumiy energiyasiga nisbatiga teng: