Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika darslik. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistikaning asosiy tushunchalari

Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika

• Agekyan T.A. Astronomlar va fiziklar uchun xato nazariyasi asoslari (2-nashr). M.: Nauka, 1972 yil (djvu, 2,44 M)
• Agekyan T.A. Astronomlar va fiziklar uchun ehtimollar nazariyasi. M.: Nauka, 1974 yil (djvu, 2,59 M)
• Anderson T. Vaqt seriyalarining statistik tahlili. M.: Mir, 1976 yil (djvu, 14 M)
• Bakelman I.Ya. Verner A.L. Kantor B.E. Differensial geometriyaga kirish "umuman". M.: Nauka, 1973 yil (djvu, 5,71 M)
• Bernshteyn S.N. Ehtimollar nazariyasi. M.-L.: GI, 1927 yil (djvu, 4,51M)
• Billingsli P. Ehtimollik o'lchovlarining yaqinlashishi. M.: Nauka, 1977 yil (djvu, 3,96 M)
• Box J. Jenkins G. Vaqt seriyasini tahlil qilish: prognoz va boshqarish. 1-son. M.: Mir, 1974 yil (djvu, 3,38M)
• Box J. Jenkins G. Vaqt seriyasini tahlil qilish: prognoz va boshqarish. 2-son. M.: Mir, 1974 yil (djvu, 1,72 M)
• Borel E. Ehtimollik va ishonchlilik. M.: Nauka, 1969 yil (djvu, 1,19 M)
• Van der Waerden B.L. Matematik statistika. M.: IL, 1960 yil (djvu, 6,90 M)
• Vapnik V.N. Empirik ma'lumotlarga asoslangan qaramlikni tiklash. M.: Nauka, 1979 yil (djvu, 6,18 M)
• Ventzel E.S. Operatsion tadqiqotlarga kirish. M.: Sovet radiosi, 1964 yil (djvu, 8,43 M)
• Ventzel E.S. O'yin nazariyasi elementlari (2-nashr). Seriya: Matematika bo'yicha mashhur ma'ruzalar. 32-son. M.: Nauka, 1961 yil (djvu, 648 K)
• Ventstel E.S. Ehtimollar nazariyasi (4-nashr). M.: Nauka, 1969 yil (djvu, 8,05M)
• Ventstel E.S., Ovcharov L.A. Ehtimollar nazariyasi. Vazifalar va mashqlar. M.: Nauka, 1969 yil (djvu, 7,71 M)
• Vilenkin N.Ya., Potapov V.G. Kombinatorika va matematik statistika elementlari bilan ehtimollar nazariyasi bo'yicha amaliy ish kitobi. M.: Ta'lim, 1979 yil (djvu, 1,12M)
• Gmurman V.E. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika masalalarini yechish bo'yicha qo'llanma (3-nashr). M .: Yuqori. maktab, 1979 yil (djvu, 4,24 M)
• Gmurman V.E. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika(4-nashr). M.: Oliy maktab, 1972 yil (djvu, 3,75 M)
• Gnedenko B.V., Kolmogorov A.N. Mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisi uchun chegara taqsimoti. M.-L.: GITTL, 1949 yil (djvu, 6,26 M)
• Gnedenko B.V., Xinchin A.Ya. Ehtimollar nazariyasiga elementar kirish (7-nashr). M.: Nauka, 1970 yil (djvu, 2,48 M)
• Oak J.L. Ehtimoliy jarayonlar. M.: IL, 1956 yil (djvu, 8,48 M)
• Devid G. Ordinal statistika. M.: Nauka, 1979 yil (djvu, 2,87M)
• Ibragimov I.A., Linnik Yu.V. Mustaqil va statsionar bog'liq miqdorlar. M.: Nauka, 1965 yil (djvu, 6,05 M)
• Idier V., Dryard D., Jeyms F., Rus M., Sadoulet B. Eksperimental fizikada statistik usullar. M.: Atomizdat, 1976 yil (djvu, 5,95M)
• Kamolov M.K. Tarqatish kvadratik shakllar oddiy populyatsiyadan olingan namunalarda. Toshkent: OʻzSSR Fanlar akademiyasi, 1958 y (djvu, 6,29M)
• Kassandra O.N., Lebedev V.V. Kuzatish natijalarini qayta ishlash. M.: Nauka, 1970 yil (djvu, 867 K)
• Katz M. Fizikada ehtimollik va tegishli masalalar. M.: Mir, 1965 yil (djvu, 3,67M)
• Katz M. Fizika va matematikaning bir qancha ehtimolli muammolari. M.: Nauka, 1967 yil (djvu, 1,50 M)
• Katz M. Ehtimollar nazariyasi, tahlil va sonlar nazariyasida statistik mustaqillik. M.: IL, 1963 yil (djvu, 964 K)
• Kendall M., Moran P. Geometrik ehtimollar. M.: Nauka, 1972 yil (djvu, 1,40 M)
• Kendall M., Styuart A. 2-jild. Statistik xulosa va aloqalar. M.: Nauka, 1973 yil (djvu, 10 M)
• Kendall M., Styuart A. 3-jild. Ko'p o'zgaruvchan statistik tahlil va vaqt seriyasi. M.: Nauka, 1976 yil (djvu, 7,96 M)
• Kendall M., Styuart A. jild. 1. Tarqatishlar nazariyasi. M.: Nauka, 1965 yil (djvu, 6,02 M)
• Kolmogorov A.N. Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalari (2-nashr) M.: Nauka, 1974 y. (djvu, 2,14 M)
• Kolchin V.F., Sevastyanov B.A., Chistyakov V.P. Tasodifiy joylashtirish. M.: Nauka, 1976 yil (djvu, 2,96 M)
• Kramer G. Statistikaning matematik usullari (2-nashr). M.: Mir, 1976 yil (djvu, 9,63 M)
• Leman E. Statistik farazlarni tekshirish. M.: Fan. 1979 yil (djvu, 5,18 M)
• Linnik Yu.V., Ostrovskiy I.V. Tasodifiy o'zgaruvchilar va vektorlarning parchalanishi. M.: Nauka, 1972 yil (djvu, 4,86 ​​M)
• Lixoletov I.I., Matskevich I.P. Oliy matematika, ehtimollar nazariyasi va matematik statistika masalalarini yechish bo‘yicha qo‘llanma (2-nashr). Mn .: Vish. maktab, 1969 yil (djvu, 4,99 M)
• Loev M. Ehtimollar nazariyasi. M.: IL, 1962 yil (djvu, 7,38 M)
• Malaxov A.N. Gauss bo'lmagan tasodifiy jarayonlar va ularning o'zgarishini kumulyant tahlil qilish. M.: Sov. radio, 1978 yil (djvu, 6,72 M)
• Meshalkin L.D. Ehtimollar nazariyasi bo'yicha masalalar to'plami. M.: MDU, 1963 yil (djvu, 1 004 K)
• Mitropolskiy A.K. Momentlar nazariyasi. M.-L.: GIKSL, 1933 yil (djvu, 4,49 M)
• Mitropolskiy A.K. Statistik hisoblash texnikasi (2-nashr). M.: Nauka, 1971 yil (djvu, 8,35M)
• Mosteller F., Rurke R., Tomas J. Ehtimollar. M.: Mir, 1969 yil (djvu, 4,82 M)
• Nalimov V.V. Matematik statistikani moddalarni tahlil qilishda qo'llash. M.: GIFML, 1960 (djvu, 4,11M)
• Neveu J. Ehtimollar nazariyasining matematik asoslari. M.: Mir, 1969 yil (djvu, 3,62M)
• Preston K. Matematika. Xorijiy fanda yangilik No7. Gibbs sanaladigan to'plamlarda aytadi. M.: Mir, 1977 yil (djvu, 2,15 M)
• Savelyev L.Ya. Elementar ehtimollar nazariyasi. 1-qism. Novosibirsk: NSU, 2005 (

Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika

1. NAZARIY QISM

1 Tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketliklarining yaqinlashishi va ehtimollik taqsimoti

Ehtimollar nazariyasida biz bilan shug'ullanishimiz kerak turli xil turlari tasodifiy o'zgaruvchilarning yaqinlashuvi. Konvergentsiyaning quyidagi asosiy turlarini ko'rib chiqamiz: ehtimollik bo'yicha, bir ehtimol bilan, p tartibli o'rtada, taqsimot bo'yicha.

Ba'zi ehtimollik fazosida (, F, P) aniqlangan tasodifiy o'zgaruvchilar,... bo'lsin.

Ta'rif 1. Tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketligi, ... tasodifiy o'zgaruvchiga (belgi:) ehtimollik bo'yicha yaqinlashishi aytiladi, agar har qanday > 0 bo'lsa

Ta'rif 2. Tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketligi, ... bir ehtimollik bilan (deyarli, deyarli hamma joyda) tasodifiy o'zgaruvchiga yaqinlashishi aytiladi, agar

bular. agar () ga () yaqinlashmaydigan natijalar to'plami nolga teng ehtimolga ega bo'lsa.

Konvergentsiyaning bu turi quyidagicha ifodalanadi: , yoki, yoki.

Ta'rif 3. Tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketligi ... p tartibli o'rtacha konvergent deyiladi, 0< p < , если

Ta'rif 4. Tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketligi... taqsimotda tasodifiy o'zgaruvchiga (notatsiya:) yaqinlashadi deyiladi, agar biron bir chegaralangan uzluksiz funksiya uchun

Tasodifiy miqdorlarni taqsimlashda konvergentsiya faqat ularning taqsimot funksiyalarining yaqinlashuvi nuqtai nazaridan aniqlanadi. Shuning uchun, har xil ehtimollik fazolarida tasodifiy o'zgaruvchilar ko'rsatilganda ham yaqinlashuvning ushbu turi haqida gapirish mantiqiy.

Teorema 1.

a) (P-a.s.) uchun har qanday > 0 uchun zarur va yetarli

) Ketma-ketlik () asosiy bo'lib, agar har qanday > 0 bo'lsa, bitta ehtimollik bilan.

Isbot.

a) A = (: |- | ), A = A bo'lsin

Demak, a) iborasi quyidagi ta’sirlar zanjirining natijasidir:

P(: )= 0 P() = 0 = 0 P(A) = 0, m 1 P(A) = 0, > 0 P() 0, n 0, > 0 P( ) 0,

n 0, > 0.) = (: ), = ni belgilaymiz. Keyin (: (()) fundamental emas ) = va xuddi a) dagi kabi (: (()) fundamental emas ) = 0 P( ) 0, n ekanligi ko‘rsatilgan.

Teorema isbotlangan

Teorema 2. (Deyarli aniq yaqinlashuv uchun Koshi mezoni)

Tasodifiy o'zgaruvchilar () ketma-ketligi bir ehtimol bilan (ba'zi tasodifiy o'zgaruvchiga) yaqinlashishi uchun uning birinchi ehtimol bilan asosiy bo'lishi zarur va etarli.

Isbot.

Agar bo'lsa, +

shundan teorema shartlarining zarurligi kelib chiqadi.

Endi ketma-ketlik () bir ehtimol bilan fundamental bo'lsin. L = (: (()) fundamental emas) belgilaymiz. Keyin barcha raqamlar ketma-ketligi () asosiy hisoblanadi va sonlar ketma-ketligi uchun Koshi mezoniga ko'ra, mavjud (). Keling, qo'ying

Bu aniqlangan funksiya tasodifiy o'zgaruvchidir va.

Teorema isbotlangan.

2 Xarakteristik funksiyalar usuli

Xarakteristik funksiyalar usuli ehtimollar nazariyasi analitik apparatining asosiy vositalaridan biridir. Tasodifiy o'zgaruvchilar (haqiqiy qiymatlarni olish) bilan bir qatorda xarakteristik funktsiyalar nazariyasi kompleks qiymatli tasodifiy o'zgaruvchilardan foydalanishni talab qiladi.

Tasodifiy o'zgaruvchilarga tegishli ko'plab ta'riflar va xususiyatlar murakkab holatga osongina o'tkaziladi. Shunday qilib, matematik kutish M ?kompleks qiymatli tasodifiy miqdor ?=?+?? aniqlangan taqdirda aniqlangan hisoblanadi matematik taxminlar M ?va M ?. Bunday holda, ta'rifga ko'ra, biz M ?= M ? + ?M ?. Tasodifiy elementlarning mustaqilligi ta'rifidan kelib chiqadiki, kompleks-qiymatli miqdorlar ?1 =?1+??1 , ?2=?2+??2tasodifiy o'zgaruvchilar juftlari mustaqil bo'lgan taqdirdagina mustaqil bo'ladi ( ?1 , ?1) va ( ?2 , ?2), yoki, xuddi shu narsa, mustaqil ?-algebra F ?1, ?1 va F ?2, ?2.

Bo'shliq bilan birga L 2chekli ikkinchi momentli haqiqiy tasodifiy o'zgaruvchilar uchun kompleks qiymatli tasodifiy o'zgaruvchilarning Hilbert fazosini hisobga olishimiz mumkin. ?=?+?? bilan M | ?|2?|2= ?2+?2, va skalyar mahsulot ( ?1 , ?2)= M ?1?2¯ , Qayerda ?2¯ - kompleks konjugatli tasodifiy miqdor.

Algebraik operatsiyalarda Rn vektorlari algebraik ustunlar sifatida qabul qilinadi,

Qator vektorlari sifatida a* - (a1,a2,…,an). Agar Rn bo'lsa, ularning skalyar ko'paytmasi (a,b) miqdor sifatida tushuniladi. Bu aniq

Agar aRn va R=||rij|| u nxn tartibli matritsadir

Ta'rif 1. F = F(x1,.....,xn) - (, ()) da n o'lchovli taqsimot funksiyasi bo'lsin. Uning xarakterli funksiyasi funksiya deyiladi

Ta'rif 2 . Agar? = (?1,…,?n) tasodifiy vektor, ehtimollik fazosida qiymatlari bilan aniqlangan, u holda uning xarakteristik funktsiyasi funksiya deyiladi.

F qayerda? = F?(x1,….,xn) - vektor taqsimot funksiyasi?=(?1,…, ?n).

Agar F(x) taqsimot funksiyasi f = f(x) zichlikka ega bo'lsa, u holda

Bunda xarakteristik funksiya f(x) funksiyani Furyega aylantirishdan boshqa narsa emas.

(3) dan shunday kelib chiqadiki, tasodifiy vektorning xarakteristik funksiyasi ??(t) tenglik bilan ham aniqlanishi mumkin.

Xarakteristik funksiyalarning asosiy xossalari (n=1 holatda).

Ruxsat bering? = ?(?) - tasodifiy o'zgaruvchi, F? =F? (x) uning taqsimot funksiyasi va xarakteristik funksiyasi.

Shuni ta'kidlash kerakki, agar, keyin.

Aslida,

bu erda biz mustaqil (chegaralangan) tasodifiy o'zgaruvchilar mahsulotining matematik kutilishi ularning matematik kutishlari mahsulotiga teng ekanligidan foydalandik.

Mustaqil tasodifiy miqdorlar yig‘indisi uchun chegara teoremalarini xarakteristik funksiyalar usuli bilan isbotlashda (6) xossa asosiy hisoblanadi. Shu nuqtai nazardan, taqsimot funktsiyasi alohida atamalarning taqsimot funktsiyalari orqali ancha murakkabroq tarzda ifodalanadi, ya'ni bu erda * belgisi taqsimotlarning konvolyutsiyasini anglatadi.

Har bir taqsimot funktsiyasi tasodifiy o'zgaruvchi bilan bog'lanishi mumkin, bu funktsiyani taqsimlash funktsiyasi sifatida. Shuning uchun xarakteristik funktsiyalarning xususiyatlarini taqdim etganda, biz tasodifiy o'zgaruvchilarning xarakteristik funktsiyalarini ko'rib chiqish bilan cheklanishimiz mumkin.

Teorema 1. Ruxsat bering? - taqsimot funksiyasi F=F(x) bo'lgan tasodifiy miqdor va - uning xarakteristik funktsiyasi.

Quyidagi xususiyatlar sodir bo'ladi:

) ichida bir xilda davom etadi;

) F ning taqsimoti simmetrik bo‘lgandagina va faqat haqiqiy qiymatli funksiya hisoblanadi

) agar ba'zi n uchun? 1 , keyin hamma uchun hosilalar va mavjud

) Agar mavjud bo'lsa va chekli bo'lsa, u holda

) Hamma n uchun bo'lsin? 1 va

keyin hamma uchun |t|

Quyidagi teorema shuni ko'rsatadiki, xarakteristik funktsiya taqsimot funktsiyasini yagona aniqlaydi.

2-teorema (o'ziga xoslik). F va G bir xil xarakteristik funktsiyaga ega bo'lgan ikkita taqsimot funktsiyasi bo'lsin, ya'ni hamma uchun

Teoremada aytilishicha, F = F(x) taqsimot funksiyasi uning xarakteristik funktsiyasidan yagona tarzda tiklanishi mumkin. Quyidagi teorema F funksiyaning aniq ifodasini beradi.

3-teorema (umumlashtirish formulasi). F = F(x) taqsimot funksiyasi va uning xarakteristik funksiyasi bo‘lsin.

a) har qanday ikkita nuqta uchun a, b (a< b), где функция F = F(х) непрерывна,

) Agar F(x) taqsimot funksiyasi f(x) zichlikka ega bo‘lsa,

Teorema 4. Tasodifiy vektorning komponentlari mustaqil bo‘lishi uchun uning xarakteristik funksiyasi komponentlarning xarakteristik funksiyalarining ko‘paytmasi bo‘lishi zarur va yetarli:

Bochner-Xinchin teoremasi . Uzluksiz funksiya bo'lsin, uning xarakteristik bo'lishi uchun uning nomanfiy aniq bo'lishi, ya'ni har qanday haqiqiy t1, ... , tn va har qanday kompleks sonlar uchun zarur va etarli.

Teorema 5. Tasodifiy miqdorning xarakteristik funksiyasi bo'lsin.

a) Ba'zilar uchun bo'lsa, unda tasodifiy o'zgaruvchi qadamli panjara, ya'ni

) Agar ikki xil nuqta uchun irratsional son qayerda bo'lsa, u tasodifiy o'zgaruvchimi? degenerativ hisoblanadi:

bu yerda a qandaydir doimiy.

c) Agar, u tasodifiy o'zgaruvchimi? degeneratsiya.

1.3 Mustaqil bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar uchun markaziy chegara teoremasi

() mustaqil, bir xil taqsimlangan tasodifiy o‘zgaruvchilar ketma-ketligi bo‘lsin. Kutish M= a, dispersiya D= , S = va F(x) parametrli (0,1) normal qonunning taqsimot funksiyasi. Keling, tasodifiy o'zgaruvchilarning yana bir ketma-ketligini kiritaylik

Teorema. Agar 0<<, то при n P(< x) Ф(х) равномерно относительно х ().

Bunda () ketma-ketlik asimptotik normal deyiladi.

M = 1 va uzluksizlik teoremalaridan kelib chiqadiki, har qanday uzluksiz chegaralangan f uchun kuchsiz yaqinlashish bilan bir qatorda FM f() Mf() har qanday uzluksiz f uchun M f() Mf() yaqinlashuv ham mavjud. , shundayki |f(x)|< c(1+|x|) при каком-нибудь.

Isbot.

Bu yerda bir xil yaqinlashuv F(x) ning kuchsiz yaqinlashuvi va uzluksizligi oqibatidir. Bundan tashqari, umumiylikni yo'qotmasdan, biz a = 0 ni qabul qilishimiz mumkin, chunki aks holda biz () ketma-ketligini ko'rib chiqishimiz mumkin va ketma-ketlik () o'zgarmas edi. Demak, kerakli yaqinlashishni isbotlash uchun a = 0 bo'lganda (t) e ekanligini ko'rsatish kifoya.

(t) =, bu erda =(t).

M mavjud bo'lganligi sababli, dekompozitsiya mavjud va haqiqiydir

Shuning uchun, n uchun

Teorema isbotlangan.

1.4 Matematik statistikaning asosiy vazifalari, ularning qisqacha tavsifi

Ommaviy tasodifiy hodisalarni boshqaradigan qonuniyatlarni o'rnatish statistik ma'lumotlarni - kuzatish natijalarini o'rganishga asoslangan. Matematik statistikaning birinchi vazifasi statistik ma'lumotlarni yig'ish va guruhlash usullarini ko'rsatishdir. Matematik statistikaning ikkinchi vazifasi tadqiqot maqsadlaridan kelib chiqqan holda statistik ma'lumotlarni tahlil qilish usullarini ishlab chiqishdan iborat.

Matematik statistikaning har qanday muammosini hal qilishda ikkita axborot manbasi mavjud. Birinchi va eng aniq (aniq) skaler yoki vektor tasodifiy o'zgaruvchining ba'zi umumiy populyatsiyasidan namuna ko'rinishidagi kuzatishlar (tajriba) natijasidir. Bunday holda, tanlanma hajmi n aniqlanishi mumkin yoki u tajriba davomida ortishi mumkin (ya'ni, ketma-ket statistik tahlil protseduralaridan foydalanish mumkin).

Ikkinchi manba - o'rganilayotgan ob'ektning hozirgi kungacha to'plangan qiziqish xususiyatlari haqidagi barcha apriori ma'lumotlar. Rasmiy ravishda, a priori ma'lumotlarning miqdori muammoni hal qilishda tanlangan dastlabki statistik modelda aks ettiriladi. Biroq, tajribalar natijalariga ko'ra, hodisaning ehtimolini odatiy ma'noda taxminiy aniqlash haqida gapirishning hojati yo'q. Har qanday miqdorni taxminiy aniqlash deganda, odatda xatolik yuzaga kelmaydigan xato chegaralarini ko'rsatish mumkinligi nazarda tutiladi. Hodisa chastotasi individual tajribalar natijalarining tasodifiyligi tufayli har qanday miqdordagi tajribalar uchun tasodifiydir. Alohida tajribalar natijalarining tasodifiyligi tufayli chastota hodisa ehtimolidan sezilarli darajada farq qilishi mumkin. Shuning uchun, hodisaning noma'lum ehtimolini ushbu hodisaning ko'p sonli tajribalar davomida sodir bo'lish chastotasi sifatida belgilash orqali biz xato chegaralarini ko'rsata olmaymiz va xato bu chegaralardan oshmasligiga kafolat bera olmaymiz. Shuning uchun, matematik statistikada biz odatda noma'lum miqdorlarning taxminiy qiymatlari haqida emas, balki ularning mos qiymatlari, taxminlari haqida gapiramiz.

Noma'lum parametrlarni baholash muammosi populyatsiyani taqsimlash funktsiyasi parametrgacha ma'lum bo'lgan hollarda paydo bo'ladi. Bunday holda, tasodifiy tanlamaning xn ko'rib chiqilgan amalga oshirilishi uchun tanlama qiymati parametrning taxminiy qiymati deb hisoblanishi mumkin bo'lgan statistikani topish kerak. Har qanday realizatsiya xn uchun tanlanma qiymati noma'lum parametrning taxminiy qiymati sifatida qabul qilingan statistik nuqta nuqta bahosi yoki oddiygina taxmin deb ataladi va nuqta bahosining qiymati hisoblanadi. Nuqta bahosi uning namunaviy qiymati parametrning haqiqiy qiymatiga mos kelishi uchun juda aniq talablarga javob berishi kerak.

Ko'rib chiqilayotgan muammoni hal qilishning yana bir yondashuvi ham mumkin: bunday statistik ma'lumotlarni toping va ehtimollik bilan? quyidagi tengsizlik amal qiladi:

Bunday holda biz intervalni baholash haqida gapiramiz. Interval

ishonch koeffitsienti bilan uchun ishonch oralig'i deyiladi?.

Tajribalar natijalariga ko'ra u yoki bu statistik xarakteristikani baholab, savol tug'iladi: noma'lum xarakteristikani eksperimental ma'lumotlar bilan baholash natijasida olingan qiymatga ega degan taxmin (gipoteza) qanchalik mos keladi? Matematik statistikada muammolarning ikkinchi muhim sinfi - gipotezalarni tekshirish muammolari mana shunday yuzaga keladi.

Qaysidir ma'noda statistik gipotezani tekshirish muammosi parametrlarni baholash masalasiga teskari masaladir. Parametrni baholashda biz uning haqiqiy qiymati haqida hech narsa bilmaymiz. Statistik gipotezani sinab ko'rishda, negadir uning qiymati ma'lum deb qabul qilinadi va bu taxminni tajriba natijalari asosida tekshirish kerak.

Matematik statistikaning ko'pgina muammolarida tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketligi ko'rib chiqiladi, ular u yoki bu ma'noda qandaydir chegaraga (tasodifiy o'zgaruvchi yoki doimiy) yaqinlashadi.

Shunday qilib, matematik statistikaning asosiy vazifalari baholarni topish usullarini ishlab chiqish va ularni baholanayotgan belgilarga yaqinlashtirishning to'g'riligini o'rganish va gipotezalarni tekshirish usullarini ishlab chiqishdan iborat.

5 Statistik gipotezalarni tekshirish: asosiy tushunchalar

Statistik gipotezalarni tekshirishning oqilona usullarini ishlab chiqish vazifasi matematik statistikaning asosiy vazifalaridan biridir. Statistik gipoteza (yoki oddiygina gipoteza) - bu tajribada kuzatilgan tasodifiy o'zgaruvchilar taqsimotining turi yoki xususiyatlari haqidagi har qanday bayonot.

Tarqatish zichligi noma'lum parametrga bog'liq bo'lgan umumiy populyatsiyadan tasodifiy tanlamaning amalga oshirilishi bo'lgan namuna bo'lsin.

Parametrning noma'lum haqiqiy qiymatiga oid statistik farazlarga parametrik gipotezalar deyiladi. Bundan tashqari, agar skalyar bo'lsa, unda biz bir parametrli gipotezalar haqida gapiramiz va agar u vektor bo'lsa, unda biz ko'p parametrli gipotezalar haqida gapiramiz.

Statistik gipoteza, agar u shaklga ega bo'lsa, oddiy deb ataladi

bu erda ba'zi belgilangan parametr qiymati.

Statistik gipoteza shaklga ega bo'lsa, murakkab deb ataladi

bu erda bir nechta elementlardan tashkil topgan parametr qiymatlari to'plami.

Shaklning ikkita oddiy statistik gipotezasini sinab ko'rishda

Bu erda parametrning ikkita berilgan (turli) qiymati bo'lsa, birinchi gipoteza odatda asosiy, ikkinchisi esa alternativ yoki raqobatdosh gipoteza deb ataladi.

Gipotezalarni tekshirish mezoni yoki statistik mezon - bu namunaviy ma'lumotlarga asoslanib, birinchi yoki ikkinchi gipotezaning haqiqiyligi to'g'risida qaror qabul qilinadigan qoidadir.

Mezon tasodifiy tanlamaning tanlov maydonining kichik to'plami bo'lgan tanqidiy to'plam yordamida aniqlanadi. Qaror quyidagicha qabul qilinadi:

) agar tanlama kritik to'plamga tegishli bo'lsa, u holda asosiy gipotezani rad eting va muqobil gipotezani qabul qiling;

) agar tanlama kritik to’plamga tegishli bo’lmasa (ya’ni tanlama fazosiga to’plamning to’ldiruvchisiga tegishli bo’lsa), u holda muqobil gipoteza rad etiladi va asosiy gipoteza qabul qilinadi.

Har qanday mezondan foydalanganda quyidagi turdagi xatolar bo'lishi mumkin:

1) gipotezani to'g'ri bo'lganda qabul qilish - birinchi turdagi xato;

)gipotezani rost bo‘lganda qabul qilish II turdagi xatodir.

Birinchi va ikkinchi turdagi xatolarga yo'l qo'yish ehtimoli quyidagilar bilan belgilanadi:

gipoteza to'g'ri bo'lsa, hodisaning ehtimolligi bu erda ko'rsatilgan ehtimolliklar tasodifiy tanlamaning taqsimlanish zichligi funktsiyasi yordamida hisoblanadi:

I turdagi xatolikka yo'l qo'yish ehtimoli, shuningdek, kriteriyaning ahamiyatlilik darajasi deb ataladi.

Asosiy gipoteza to'g'ri bo'lganda uni rad etish ehtimoliga teng qiymat sinovning kuchi deb ataladi.

1.6 Mustaqillik mezoni

Ikki o'lchovli taqsimotdan namuna ((XY), ..., (XY)) mavjud

H: gipotezasini sinab ko'rish zarur bo'lgan noma'lum taqsimot funktsiyasi bilan L, bu erda ba'zi bir o'lchovli taqsimot funktsiyalari.

Metodologiya asosida H gipotezasi uchun oddiy moslik testi tuzilishi mumkin. Ushbu uslub cheklangan miqdordagi natijalarga ega bo'lgan diskret modellar uchun qo'llaniladi, shuning uchun biz tasodifiy o'zgaruvchining ba'zi qiymatlarning cheklangan sonini s olishiga rozi bo'lamiz, biz ularni harflar bilan belgilaymiz va ikkinchi komponent - k qiymatlari. Agar asl model boshqa tuzilishga ega bo'lsa, unda tasodifiy o'zgaruvchilarning mumkin bo'lgan qiymatlari birinchi va ikkinchi komponentlarga alohida guruhlanadi. Bunda to'plam s intervallarga, qiymat k intervallarga va qiymat o'zi N=sk to'rtburchaklarga bo'linadi.

Juftlikni kuzatishlar soni bilan belgilaymiz (agar ma'lumotlar guruhlangan bo'lsa, to'rtburchakka tegishli namunaviy elementlarning soni), shuning uchun. Kuzatish natijalarini ikki belgidan iborat kutilmagan holatlar jadvali shaklida joylashtirish qulay (1.1-jadval). Ilovalarda va odatda kuzatish natijalari tasniflanadigan ikkita mezonni anglatadi.

P, i=1,…,s, j=1,…,k bo‘lsin. Shunda mustaqillik gipotezasi s+k konstantalari borligini bildiradi, shunday va, ya’ni.

1.1-jadval

so'm . . .. . .. . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . .sum . . .n

Shunday qilib, H gipotezasi chastotalar (ularning soni N = sk) ko'rsatilgan o'ziga xos tuzilishga ega bo'lgan natijalar ehtimoli bilan polinom qonuniga muvofiq taqsimlanadi (p natijalarining ehtimollik vektori qiymatlar bilan belgilanadi) degan fikrga tushadi. r = s + k-2 noma'lum parametrlar.

Ushbu gipotezani sinab ko'rish uchun biz ko'rib chiqilayotgan sxemani aniqlaydigan noma'lum parametrlar uchun maksimal ehtimollik taxminlarini topamiz. Agar nol gipoteza to'g'ri bo'lsa, ehtimollik funksiyasi L(p)= ko'rinishga ega bo'ladi, bunda c ko'paytmasi noma'lum parametrlarga bog'liq emas. Bu erdan noaniq ko'paytiruvchilarning Lagrange usulidan foydalanib, biz kerakli hisob-kitoblar shaklga ega ekanligini olamiz.

Shuning uchun, statistika

L() at, chunki chegara taqsimotidagi erkinlik darajalari soni N-1-r=sk-1-(s+k-2)=(s-1)(k-1) ga teng.

Shunday qilib, etarlicha katta n uchun quyidagi gipotezani tekshirish qoidasidan foydalanish mumkin: H gipotezasi, agar haqiqiy ma'lumotlardan hisoblangan t statistik qiymati tengsizlikni qondirsagina rad etiladi.

Bu mezon asimptotik (da) berilgan ahamiyat darajasiga ega va mustaqillik mezoni deb ataladi.

2. AMALIY QISM

1 Konvergentsiya turlariga oid masalalar yechimlari

1. Konvergensiya deyarli ehtimollikdagi yaqinlashuvni nazarda tutishini isbotlang. Qarama-qarshilik to'g'ri emasligini ko'rsatish uchun test misolini keltiring.

Yechim. Tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketligi deyarli aniq tasodifiy o'zgaruvchi x ga yaqinlashsin. Xo'sh, kimdir uchunmi? > 0

O'shandan beri

va xn ning x ga yaqinlashuvidan deyarli aniqki, xn ehtimollikda x ga yaqinlashadi, chunki bu holda

Ammo qarama-qarshi bayonot haqiqat emas. Bir xil taqsimot funksiyasi F(x), x da nolga teng bo‘lgan mustaqil tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi bo‘lsin? 0 va x > 0 uchun teng. Ketma-ketlikni ko'rib chiqing

Bu ketma-ketlik ehtimollik bo'yicha nolga yaqinlashadi, chunki

har qanday sobit uchun nolga intiladi? Va. Biroq, nolga yaqinlashuv deyarli amalga oshmaydi. Haqiqatan ham

birlikka intiladi, ya'ni har qanday uchun 1 ehtimol bilan va n dan oshadigan ketma-ketlikda realizatsiyalar bo'ladi.

E'tibor bering, xn kattaliklarga qo'yilgan ba'zi qo'shimcha shartlar mavjud bo'lganda, ehtimollikdagi yaqinlashuv yaqinlashuvni deyarli aniq anglatadi.

xn monoton ketma-ketlik bo'lsin. Bu holda ehtimollikdagi xn ning x ga yaqinlashishi 1 ehtimol bilan xn ning x ga yaqinlashishini taqozo etishini isbotlang.

Yechim. xn monoton kamayuvchi ketma-ketlik bo'lsin, ya'ni. Fikrimizni soddalashtirish uchun barcha n uchun x º 0, xn ³ 0 deb faraz qilamiz. Xn ehtimollikda x ga yaqinlashsin, lekin yaqinlashuv deyarli amalga oshmaydi. Keyin u mavjudmi? > 0, barcha n uchun

Lekin aytilganlar hamma n uchun ham shuni anglatadi

bu ehtimollik bo'yicha xn ning x ga yaqinlashishiga ziddir. Shunday qilib, ehtimollikda x ga yaqinlashuvchi xn monotonik ketma-ketlik uchun ham 1 ehtimol bilan yaqinlashadi (deyarli albatta).

Xn ketma-ketligi ehtimollikda x ga yaqinlashsin. Bu ketma-ketlikdan 1 da ehtimollik bilan x ga yaqinlashuvchi ketma-ketlikni ajratib olish mumkinligini isbotlang.

Yechim. Ijobiy sonlarning qandaydir ketma-ketligi bo'lsin va musbat sonlar qatori bo'lsin. n1 indekslar ketma-ketligini tuzamiz

Keyin seriya

Seriyalar birlashganligi sababli, har qanday uchun? > 0 qatorning qolgan qismi nolga intiladi. Ammo keyin u nolga intiladi va

Har qanday musbat tartibning o'rtacha yaqinlashuvi ehtimollikdagi yaqinlashuvni anglatishini isbotlang. Qarama-qarshilik to'g'ri emasligini ko'rsatish uchun misol keltiring.

Yechim. Xn ketma-ketligi o'rtacha p > 0 tartibli x qiymatga yaqinlashsin, ya'ni

Umumlashtirilgan Chebishev tengsizligidan foydalanamiz: o'zboshimchalik uchunmi? > 0 va p > 0

Yo'naltirish va buni hisobga olsak, biz bunga erishamiz

ya'ni xn ehtimollikda x ga yaqinlashadi.

Biroq, ehtimollik bo'yicha yaqinlashuv o'rtacha p > 0 tartibida yaqinlashuvga olib kelmaydi. Bu quyidagi misolda ko'rsatilgan. áW, F, Rñ ehtimollik fazosini ko'rib chiqaylik, bu erda F = B - Borel s-algebrasi, R - Lebeg o'lchovi.

Tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketligini quyidagicha aniqlaymiz:

Xn ketma-ketligi ehtimollik bo'yicha 0 ga yaqinlashadi, chunki

lekin har qanday p > 0 uchun

ya'ni o'rtacha yaqinlashmaydi.

Keling, hamma uchun nima n . Bu holda xn o'rtacha kvadratda x ga yaqinlashishini isbotlang.

Yechim. Shu esta tutilsinki... Keling, hisob-kitob qilaylik. Keling, tasodifiy o'zgaruvchini ko'rib chiqaylik. Ruxsat bering? - ixtiyoriy ijobiy son. Keyin da va da.

Agar, keyin va. Demak, . Va chunki? o'zboshimchalik bilan kichik va keyin at, ya'ni o'rtacha ildiz kvadratida.

Agar xn ehtimollikda x ga yaqinlashsa, zaif yaqinlashish sodir bo'lishini isbotlang. Qarama-qarshilik to'g'ri emasligini ko'rsatish uchun test misolini keltiring.

Yechim. Agar, har bir nuqtada uzluksizlik nuqtasi bo'lgan x (bu kuchsiz yaqinlashish uchun zarur va etarli shart) xn qiymatining taqsimot funktsiyasi va - x qiymati bo'lishini isbotlaymiz.

F funksiyaning uzluksizlik nuqtasi x bo'lsin. Agar, u holda tengsizliklardan kamida bittasi yoki rost bo'ladi. Keyin

Xuddi shunday, tengsizliklarning kamida bittasi uchun yoki va

Agar, keyin kerakli darajada kichik uchun? > 0 bo'lsa, hamma n > N uchun shunday N mavjud

Boshqa tomondan, agar x uzluksizlik nuqtasi bo'lsa, shunga o'xshash narsani topish mumkinmi? > 0, bu o'zboshimchalik bilan kichik uchun

Xo'sh, siz xohlagancha kichkina uchunmi? va n >N uchun shunday N mavjud

yoki bir xil narsa,

Bu konvergentsiya va uzluksizlikning barcha nuqtalarida sodir bo'lishini anglatadi. Binobarin, ehtimollik yaqinlashuvidan zaif yaqinlashuv kelib chiqadi.

Qarama-qarshi gap, umuman olganda, o'rinli emas. Buni tekshirish uchun 1 ehtimolli konstantalarga teng bo'lmagan va F(x) bir xil taqsimot funksiyasiga ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketligini olaylik. Biz barcha n miqdorlar uchun va mustaqil deb faraz qilamiz. Shubhasiz, zaif konvergentsiya sodir bo'ladi, chunki ketma-ketlikning barcha a'zolari bir xil taqsimlash funktsiyasiga ega. Ko'rib chiqing:

|Qadriyatlarning mustaqilligi va bir xil taqsimlanishidan shundan kelib chiqadiki

Degenerativ bo'lmagan tasodifiy o'zgaruvchilarning barcha taqsimot funktsiyalari orasidan F(x) ni tanlaylik, ular yetarlicha kichik bo'lmagan barcha ? uchun nolga teng bo'lmaydi. Keyin u n ning cheksiz o'sishi bilan nolga intilmaydi va ehtimollik bo'yicha yaqinlashuv sodir bo'lmaydi.

7. Kuchsiz yaqinlashuv bo'lsin, bu erda 1 ehtimollik bilan doimiy bo'ladi. Bu holda u ehtimolga yaqinlashishini isbotlang.

Yechim. 1 ehtimollik a ga teng bo'lsin. Keyin zaif konvergentsiya har qanday uchun yaqinlashuvni anglatadi. O'shandan beri, keyin va da. Ya'ni, da va da. Bu kimdir uchun shundaymi? > 0 ehtimollik

da nolga intiladi. Bu shuni anglatadiki

da nolga intiladi, ya’ni ehtimollikda yaqinlashadi.

2.2 Markaziy isitish markazidagi muammolarni hal qilish

G(x) gamma funksiyasining x= da qiymati Monte-Karlo usuli bilan hisoblanadi. Keling, 0,95 ehtimollik bilan hisob-kitoblarning nisbiy xatosi bir foizdan kam bo'lishini kutishimiz uchun kerakli testlarning minimal sonini topamiz.

Bizda aniqlik uchun

Ma'lumki

(1) ga o'zgartirish kiritib, biz cheklangan oraliqda integralga erishamiz:

Shuning uchun biz bilan

Ko'rinib turibdiki, u qaerda va bir xilda taqsimlangan shaklda ifodalanishi mumkin. Statistik testlar o'tkazilsin. Keyin statistik analog - bu miqdor

bu yerda, bir xil taqsimlangan mustaqil tasodifiy miqdorlar. Xuddi o'sha payt

CLT dan kelib chiqadiki, u parametrlar bilan asimptotik normaldir.

Bu shuni anglatadiki, hisoblashning nisbiy xatosini ehtimollik bilan ta'minlaydigan testlarning minimal soni tengdan oshmaydi.

Biz 2000 ta mustaqil, bir xil taqsimlangan tasodifiy oʻzgaruvchilardan iborat ketma-ketlikni matematik taxmini 4 va dispersiyasi 1,8 ga teng deb hisoblaymiz. Bu miqdorlarning o'rtacha arifmetik qiymati tasodifiy o'zgaruvchidir. Tasodifiy miqdorning (3,94; 4,12) oraliqda qiymat olishi ehtimolini aniqlang.

M=a=4 va D==1.8 bilan bir xil taqsimotga ega boʻlgan mustaqil tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi, …,… boʻlsin. Keyin CLT () ketma-ketlikda qo'llaniladi. Tasodifiy o'zgaruvchi

Uning oraliqda qiymat olish ehtimoli ():

n=2000 uchun 3,94 va 4,12 ni olamiz

3 Mustaqillik mezoni yordamida gipotezalarni tekshirish

O‘rganish natijasida 782 nafar ko‘zi och otaning ko‘zi ojiz o‘g‘illari, 89 nafari ochko‘z otaning qora ko‘zli o‘g‘illari borligi aniqlandi. 50 nafar qora ko‘zli otaning ham qora ko‘zli o‘g‘illari bor, 79 nafar qora ko‘zli otaning ochko‘z o‘g‘illari bor. Otalarning ko'z rangi va o'g'illarining ko'z rangi o'rtasida bog'liqlik bormi? Ishonch darajasini 0,99 ga oling.

2.1-jadval

FarzandlarOtalarSumYengil ko'zliqora ko'zliYorugko'z78279861qora ko'zli8950139Sum8711291000

H: Bolalar va otalarning ko'z rangi o'rtasida hech qanday bog'liqlik yo'q.

H: Bolalar va otalarning ko'z rangi o'rtasida bog'liqlik bor.

s=k=2 =90,6052 erkinlik darajasi 1

Hisob-kitoblar Mathematica 6 da amalga oshirildi.

> dan beri, keyin H gipotezasi, otalar va bolalarning ko'z rangi o'rtasida ahamiyatlilik darajasida aloqa yo'qligi haqidagi gipotezani rad qilish va H muqobil gipotezasini qabul qilish kerak.

Ta'kidlanishicha, preparatning ta'siri qo'llash usuliga bog'liq. Jadvalda keltirilgan ma'lumotlardan foydalanib, ushbu bayonotni tekshiring. 2.2 Ishonch darajasini 0,95 ga oling.

2.2-jadval

Natija Qo'llash usuli ABC Noqulay 111716 Qulay 202319

Yechim.

Ushbu muammoni hal qilish uchun biz ikkita xarakteristikaning favqulodda jadvalidan foydalanamiz.

2.3-jadval

Natija Ariza berish usuli Miqdor ABC Noqulay 11171644 Qulay 20231962 Miqdor 314035106

H: dorilarning ta'siri qo'llash usuliga bog'liq emas

H: dorilarning ta'siri qo'llash usuliga bog'liq

Statistik ma'lumotlar quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi

s=2, k=3, =0,734626 2 erkinlik darajasi bilan.

Mathematica 6 bo'yicha qilingan hisoblar

Tarqatish jadvallaridan biz buni topamiz.

beri< , то гипотезу H, про отсутствия зависимости действия лекарств от способа применения, при уровне значимости, следует принять.

Xulosa

Ushbu maqolada “Mustaqillik mezoni” bo‘limi, shuningdek, “Ehtimollar nazariyasining chegaraviy teoremalari”, “Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika” kursi bo‘yicha nazariy hisoblar keltirilgan. Ish davomida mustaqillik mezoni amaliyotda sinovdan o'tkazildi; Shuningdek, berilgan mustaqil tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun markaziy chegara teoremasining bajarilishi tekshirildi.

Bu ish ehtimollar nazariyasining ushbu bo'limlari bo'yicha bilimimni yaxshilashga, adabiy manbalar bilan ishlashga va mustaqillik mezonini tekshirish texnikasini mustahkam o'zlashtirishga yordam berdi.

ehtimollik statistik gipoteza teoremasi

Ulanishlar ro'yxati

1. Ehtimollar nazariyasidan yechimlari bilan masalalar to'plami. Uch. nafaqa / Ed. V.V. Semenets. - Xarkov: XTURE, 2000. - 320 p.

Gikhman I.I., Skoroxod A.V., Yadrenko M.I. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika. - K.: Vishcha maktabi, 1979. - 408 b.

Ivchenko G.I., Medvedev Yu.I., Matematik statistika: Darslik. kollejlar uchun nafaqa. - M .: Yuqori. maktab, 1984. - 248 p., .

Matematik statistika: Darslik. universitetlar uchun / V.B. Goryainov, I.V. Pavlov, G.M. Tsvetkova va boshqalar; Ed. V.S. Zarubina, A.P. Krischenko. - M.: MSTU im. nashriyoti. N.E. Bauman, 2001. - 424 b.

Repetitorlik

Mavzuni o'rganishda yordam kerakmi?

Mutaxassislarimiz sizni qiziqtirgan mavzular bo'yicha maslahat beradilar yoki repetitorlik xizmatlarini ko'rsatadilar.
Arizangizni yuboring konsultatsiya olish imkoniyati haqida bilish uchun hozir mavzuni ko'rsating.

Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika asoslari

Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika asoslari Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalari Ehtimollar nazariyasining o'rganish predmeti ommaviy xarakterdagi bir hil tasodifiy hodisalarning miqdoriy qonuniyatlari hisoblanadi. Ta'rif 1. Hodisa - berilgan sharoitda sodir bo'lishi yoki sodir bo'lmasligini aytish mumkin bo'lgan har qanday mumkin bo'lgan fakt. Misol. Yig'ish liniyasidan chiqadigan tayyor ampulalar standart yoki nostandart bo'lishi mumkin. Ushbu ikkita mumkin bo'lgan natijadan bitta (har qanday) natija hodisa deb ataladi. Hodisalarning uch turi mavjud: ishonchli, imkonsiz va tasodifiy. Ta'rif 2. Ishonchli - muayyan shartlar bajarilsa, sodir bo'lmasligi mumkin bo'lmagan hodisa, ya'ni. albatta sodir bo'ladi. Misol. Agar urnada faqat oq sharlar bo'lsa, u holda urnadan tasodifiy olingan to'p har doim oq bo'ladi. Bunday sharoitda oq to'pning paydo bo'lishi haqiqati ishonchli voqea bo'ladi. Ta'rif 3. Mumkin bo'lmagan hodisa, agar ma'lum shartlar bajarilsa, sodir bo'lmaydi. Misol. Faqat qora sharlar bo'lgan urnadan oq to'pni olib tashlay olmaysiz. Bunday sharoitda oq to'pning paydo bo'lishi mumkin bo'lmagan hodisa bo'ladi. Ta'rif 4. Tasodifiy - bir xil sharoitlarda sodir bo'lishi mumkin bo'lgan, lekin sodir bo'lmasligi mumkin bo'lgan hodisa. Misol. Yuqoriga tashlangan tanga tushishi mumkin, shunda uning tepasida gerb yoki raqam paydo bo'ladi. Bu erda tanganing bir yoki boshqa tomonining tepada ko'rinishi tasodifiy hodisadir. Ta'rif 5. Test - cheksiz ko'p marta takrorlanishi mumkin bo'lgan shartlar yoki harakatlar to'plami. Misol. Tangani yuqoriga tashlash - bu sinov va mumkin bo'lgan natija, ya'ni. tanganing ustki tomonida gerb yoki raqamning ko'rinishi hodisadir. Ta'rif 6. Agar A i hodisalari shunday bo'lsaki, berilgan test davomida ulardan faqat bittasi va umumiylikka kirmagan boshqalari ham sodir bo'la olmaydi, u holda bu hodisalar yagona mumkin bo'lgan hodisalar deyiladi. Misol. Urnada oq va qora sharlar mavjud, boshqalari yo'q. Tasodifiy olingan bitta to'p oq yoki qora bo'lib chiqishi mumkin. Bu hodisalar faqat mumkin, chunki ushbu sinov paytida boshqa rangdagi to'pning paydo bo'lishi istisno qilinadi. Ta'rif 7. Agar berilgan test davomida birgalikda sodir bo'lmasa, A va B ikkita hodisa mos kelmaydigan deb ataladi. Misol. Gerb va raqam tangani bir marta otish paytida mumkin bo'lgan va mos kelmaydigan yagona hodisadir. Ta'rif 8. A va B ikkita hodisa berilgan test uchun qo'shma (mos keladigan) deb ataladi, agar ulardan birining paydo bo'lishi xuddi shu sinov paytida boshqa hodisaning yuzaga kelish imkoniyatini istisno qilmasa. Misol. Bitta otishda ikkita tanga otishda bosh va raqam birga paydo bo'lishi mumkin. Ta'rif 9. Agar simmetriya tufayli bu hodisalarning hech biri boshqalardan ko'ra mumkin emas, deb hisoblash uchun asos bo'lsa, A i hodisalari berilgan testda teng darajada mumkin deb ataladi. Misol. Qatlamni bir marta otish paytida har qanday yuzning paydo bo'lishi bir xil darajada mumkin bo'lgan hodisadir (agar matritsa bir hil materialdan yasalgan va oddiy olti burchakli shaklga ega bo'lsa). Ta'rif 10. Hodisalar ma'lum bir hodisa uchun qulay (qulay) deb ataladi, agar ushbu hodisalardan birining sodir bo'lishi ushbu hodisaning sodir bo'lishiga olib kelsa. Voqea sodir bo'lishini istisno qiladigan holatlar ushbu hodisa uchun noqulay deb ataladi. Misol. Urnada 5 ta oq va 7 ta qora shar bor. Tasodifiy bitta to'pni olganingizda, qo'lingizda oq yoki qora to'p bo'lishi mumkin. Bunda oq sharning koʻrinishi 5 ta holatga, qora toʻpning koʻrinishi esa 12 ta mumkin boʻlgan holatlardan 7 tasiga maʼqul keladi. Ta'rif 11. Faqatgina mumkin bo'lgan va mos kelmaydigan ikkita hodisa bir-biriga qarama-qarshi deyiladi. Agar bu hodisalardan biri A deb belgilansa, qarama-qarshi hodisa Ā belgisi bilan belgilanadi. Misol. Urish va o'tkazib yuborish; lotereya chiptasida g'alaba qozonish va yutqazish qarama-qarshi voqealarga misoldir. Ta'rif 12. Agar n ta o'xshash individual tajriba yoki kuzatish (sinov) dan iborat bo'lgan har qanday ommaviy operatsiya natijasida qandaydir tasodifiy hodisa m marta paydo bo'lsa, u holda m soni tasodifiy hodisaning chastotasi deb ataladi va m / n nisbati. uning chastotasi deyiladi. Misol. Konveyerdan chiqqan dastlabki 20 ta mahsulot orasida 3 ta nostandart mahsulot (nuqson) bor edi. Bu erda testlar soni n = 20, nuqsonlarning chastotasi m = 3, nuqsonlarning chastotasi m / n = 3/20 = 0,15. Berilgan sharoitda har bir tasodifiy hodisa o'ziga xos ob'ektiv yuzaga kelish imkoniyatiga ega bo'lib, ba'zi hodisalar uchun bu sodir bo'lish ehtimoli kattaroq, boshqalari uchun esa kamroq. Hodisalarni sodir bo'lish ehtimoli darajasi bo'yicha bir-biri bilan miqdoriy jihatdan solishtirish uchun har bir tasodifiy hodisa bilan ma'lum bir haqiqiy son bog'lanadi, bu hodisaning yuzaga kelishining ob'ektiv imkoniyati darajasining miqdoriy bahosini ifodalaydi. Bu raqam hodisaning ehtimoli deb ataladi. Ta'rif 13. Muayyan hodisaning ehtimoli - bu hodisaning sodir bo'lishining ob'ektiv imkoniyatining sonli o'lchovidir. Ta'rif 14. (Ehtimollikning klassik ta'rifi). A hodisasining ehtimoli - bu hodisaning yuzaga kelishi uchun qulay bo'lgan m holatlar sonining barcha mumkin bo'lgan holatlarning n soniga nisbati, ya'ni. P(A) = m/n. Misol. Idishda 5 ta oq va 7 ta qora shar bor, yaxshilab aralashtiriladi. Bir urnadan tasodifiy olingan bitta to'pning oq bo'lish ehtimoli qanday? Yechim. Ushbu testda faqat 12 ta mumkin bo'lgan holatlar mavjud, ulardan 5 tasi oq to'pning ko'rinishini qo'llab-quvvatlaydi. Shuning uchun oq to'pning paydo bo'lish ehtimoli P = 5/12. Ta'rif 15. (Ehtimollikning statistik ta'rifi). Agar biron bir A hodisasiga nisbatan etarlicha ko'p miqdordagi takroriy sinovlar bilan, hodisaning chastotasi qandaydir doimiy son atrofida o'zgarib turishi sezilsa, u holda A hodisasi chastotaga taxminan teng bo'lgan P (A) ehtimoliga ega, ya'ni. P(A)~ m/n. Cheklanmagan miqdordagi sinovlar bo'yicha hodisaning chastotasi statistik ehtimollik deb ataladi. Ehtimollikning asosiy xossalari. 1 0 Agar A hodisasi B hodisasiga (A  B) olib kelsa, u holda A hodisasining ehtimoli B hodisasining ehtimolidan oshmaydi. P(A)≤P(B) 2 0 Agar A va B hodisalar ekvivalent bo‘lsa (A  B, B  A, B=A), u holda ularning ehtimolliklari P(A)=P(B) ga teng. 3 0 Har qanday A hodisasining ehtimoli salbiy son bo'lishi mumkin emas, ya'ni. R(A)≥0 4 0 Ishonchli hodisaning  ehtimoli 1 ga teng. R()=1. 5 0 Imkonsiz hodisaning  ehtimoli 0 ga teng. R(  )=0. 6 0 Har qanday tasodifiy A hodisaning ehtimoli noldan bitta 0 gacha<Р(А)<1 Основные формулы комбинаторики Определение 1 . Различные группы по m предметов, составленные из n однородных предметов ( m , n ), называются соединениями. Предметы, из которых составляют различные соединения, называют элементами. Существует 3 вида соединений: размещения, перестановки, сочетания. Определение 2. Размещениями по m элементов из данных n элементов ( m ≤ n ) называют такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо их порядком. Например, размещениями из трех предметов a , b и c по два будут следующие соединения: ab , ac , bc , ca , cb , ba . Число размещений из данных n элементов по m обозначают символом А n m = n ( n -1)( n -2)·....·( n - m +1). Пример. А 10 4 =10·9·8·7=5040. Определение 3. Перестановками из n элементов называют такие соединения, которые отличаются друг от друга только порядком элементов. Р n =А n n = n ( n -1)( n -2)...·3·2·1= n ! По определению 0!=1. Пример. Р 5 =5!=1·2·3·4·5=120. Определение 4. Сочетаниями из n элементов по m называются также соединения, которые отличаются друг от друга, по меньшей мере, одним элементом и каждое из которых содержит m различных элементов: C n m === Пример. Найти число сочетаний из 10 элементов по четыре. Решение. C 10 4 ==210. Пример. Найти число сочетаний из 20 элементов по 17. Решение. ==1040. Теоремы теории вероятностей Теорема сложения вероятностей Теорема 1 . Вероятность наступления одного какого-либо события из двух несовместимых событий А и В равно сумме вероятностей этих событий Р(А+В)=Р(А)+Р(В ). Пример. В урне 5 красных, 7 синих и 8 белых шаров, перемешанных между собой. Какова вероятность того, что взятый наугад один шар окажется не красным? Решение. Не красный шар - это или белый или синий шары. Вероятность появления белого шара (событие А) равна Р(А)= 8/20 = 2/5. Вероятность появления синего шара (событие В) равна Р(В)= 7/20. Событие, состоящее в появлении не красного шара, означает появление или А или В, т.к. события А и В несовместимы, то применима теорема 1. Искомая вероятность будет равна Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=2/5+ +7/20=3/4. Теорема 2. Вероятность наступления одного из двух событий A или B равно сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления P ( A + B )= P ( A )+ P ( B )+ P ( AB ). Теорема умножения вероятностей Определение 1. Два события A и B называются независимыми друг от друга, если вероятность одного из них не зависит от наступления или ненаступления другого. Пример. Пусть A - событие, состоящее в появлении герба при первом бросании монеты, а B - событие, состоящее в появлении герба при втором бросании монеты, то события A и B не зависят друг от друга, т.е. результат первого бросания монеты не может изменить вероятность появления герба при втором бросании монеты. Определение 2. Два события A и B называются зависящими друг от друга, если вероятность одного из них зависит от наступления или ненаступления другого. Пример. В урне 8 белых и 7 красных шаров, перемешанных между собой. Событие A - появление белого шара, а событие B - появление красного шара. Будем брать из урны наугад два раза по одному шару, не возвращая их обратно. До начала испытания вероятность появления события A равна P ( A )=8/15, и вероятность события B равна P ( B )=7/15. Если предположить, что в первый раз был взят белый шар (событие A ), то вероятность появления события B при втором испытании будет P ( B )=7/14=1/2. Если в первый раз был взят красный шар, то вероятность появления красного шара при втором извлечении равна P ( B )=6/14=3/7. Определение 3. Вероятность события B , вычисленная в предположении, что перед этим наступило связанное с ним событие A , называется условной вероятностью события B и обозначается PA ( B ). Теорема 3 . Вероятность совместного наступления двух зависимых событий ( A и B ) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие произошло, т.е. P ( AB )= P ( A )· P A ( B )= P ( B )· P B ( A ). Теорема 4. Вероятность совместного наступления нескольких зависимых событий равно произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных событий, вычисленные в предположении, что все предыдущие события уже наступили: P(A 1 A 2 A 3 ...A k )=P(A 1 )·P A1 (A 2 )·P A1A2 ·P(A 3 )...·P A1A2…A k-1 (A k ) Теорема 5 . Вероятность совместного наступления двух независимых событий A и B равна произведению вероятностей этих событий P ( AB )= P ( A )· P ( B ). Теорема 6 . Вероятность совместного наступления нескольких независимых событий A 1 , A 2 , ... A k равна произведению их вероятностей, т.е. P ( A 1 A 2 ... A k )= P ( A 1 )· P ( A 2 )·...· P ( A k ). Пример. Два стрелка делают одновременно по одному выстрелу в одну цель. Какова вероятность того, что оба попадут, если известно, что первый стрелок в среднем дает 7 попаданий, а второй 8 попаданий на каждые 10 выстрелов? Какова вероятность поражения мишени? Решение. Вероятность попадания первого стрелка (событие A ) равна P ( A )=0,8, вероятность попадания второго стрелка (событие B ) равна P ( B )=0,7. События A и B независимы друг от друга, поэтому вероятность совместного наступления этих событий (совместное попадание в цель) найдем по теореме умножения для независимых событий: P ( AB )= P ( A ) P ( B )=0,8·0,7=0,56. Вероятность поражения мишени означает попадание в мишень хотя бы одного стрелка. Так как попадание в мишень первого и второго стрелков являются событиями совместными, то применение теоремы сложения вероятностей для совместных событий дает следующий результат: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)·P(B)=0,8+0,7- 0,8·0,7=0,94. 5.3.3. Формула полной вероятности Определение 4. Если при некотором испытании может произойти одно какое-либо событие из нескольких несовместных A 1 , A 2 ,..., A k , и при этом никаких других событий быть не может, но одно из указанных событий обязательно произойдет, то группу событий A 1 , A 2 ,..., A k называют полной группой событий. Теорема 7. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице: P ( A 1 )+ P ( A 2 )+...+ P ( A k )=1. Следствие. Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице: P ( A )+ P ( A )=1. Если вероятность одного события обозначим через p , вероятность противоположного ему события обозначим через q , тогда p + q =1. Пример. Вероятность попадания в цель равна 0,94. Найти вероятность непопадания. Решение . Попадание в цель и непопадание являются противоположными событиями, поэтому, если p =0,94, то q =1- p =1-0,94=0,06. Теорема 8 . Если случайные события A 1 , A 2 ... A n образуют полную систему, и если событие B может осуществляться только совместно с каким-нибудь одним из этих событий, то вероятность наступления события B можно определить по формуле: P(B)=P(A 1 )P A1 (B)+P(A 2 )P A2 (B)+...+P(A n )P A n (B) Это равенство называется формулой полной вероятности . Пример. На склад готовой продукции поступили изделия из трех цехов, в том числе: 30% из I -го цеха, 45% из II цеха и 25% из III цеха. Среди изделий I цеха брак составляет 0,6%, по II цеху 0,4% и по III цеху-0,16%. Какова вероятность того, что взятое наугад для контроля одно изделие окажется с браком? Решение. Одно изделие может быть взято или из продукции I цеха (событие A 1 ), или из продукции II цеха (событие A 2 ), или из продукции III цеха (событие A 3 ). Вероятности этих событий будут: P ( A 1 )=0,30; P ( A 2 )=0,45; P ( A 3 )=0,25. Вероятность того, что изделие с браком (событие B ) будет взято из продукции I цеха, есть условная вероятность P A 1 ( B ). Она равна P A 1 ( B )=0,006. Вероятность того, что изделие с браком будет взято из продукции II цеха P A 2 ( B )=0,004 и из продукции III цеха P A 3 ( B )=0,0016. Теперь по формуле полной вероятности найдем вероятность того, что взятое наугад одно изделие будет с браком: P(B)=P(A 1 )P A1 (B)+P(A 2 )P A2 (B)+...+P(A 3 )P A3 (B) = 0,3·0,006+0,45·0,004+0,25·0,0016=0,004. Формула Бернулли Теорема 9. Пусть производится n независимых повторных испытаний по отношению к некоторому событию A . Пусть вероятность появления этого события в каждом отдельном испытании остается неизменно равной p , а вероятность появления противоположного события Ā, есть q . Тогда вероятность появления интересующего нас события A равно m раз при указанных n испытаниях рассчитывается по формуле Бернулли: P m , n = p m q n - m , так как, то P m , n = · p m · q n - m Пример. Коэффициент использования станка в среднем равен 0,8. В цехе имеется 5 станков. Какова вероятность того, что в некоторый момент времени окажутся работоспособными только 3 станка? Решение. Задача подходит под схему повторных испытаний и решается по формуле Бернулли: n =5, m =3, p =0,8 и q =1-0,8=0,2: P 3,5 = (0,8) 3 ·(0,2) 2 =0,2084. Асимптотическая формула Пуассона В статистической практике нередко встречаются такие примеры независимых испытаний, когда при большом числе n независимых испытаний вероятность Р появления события в каждом отдельном испытании оказывается сравнительно малой величиной, стремящейся к нулю с увеличением числа испытаний . При этих условиях для вычисления вероятности Р m , n появление события m раз в n испытаниях пользуются асимптотической формулой Пуассона : Р m,n ≈e -a , где a=np Пример. Доля брака всей продукции завода составляет 0,5%. Какова вероятность того, что в партии, состоящей из 400 изделий, окажется три изделия бракованных? Решение. В условии примера дано p =0,005, n =400, m =3, следовательно, a = np =400·0,005=2. Вероятность данного события найдем по формуле Пуассона Р m , n (3,400) = 0,1804. Случайные величины и их числовые характеристики Определение 1. Случайной величиной называется переменная величина, которая в результате опыта принимает одно значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Определение 2. Дискретной называется случайная величина, которая может принимать лишь отдельные, изолированные друг от друга значения. Случайная дискретная величина задается законом распределения, связывающим принимаемые ею значения x i и вероятности их принятия p i . Закон распределения чаще всего задается в табличной форме. Графическое представление закона распределения случайной дискретной величины – многоугольник распределения . Числовые характеристики дискретной случайной величины. 1) Математическое ожидание. Определение 3. Математическое ожидание случайной дискретной величины X с конечным числом значений называется сумма произведений возможных ее значений на их вероятности: M ( X ) = μ = x 1 p 1 + x 2 p 2 +...+ x n p n = . Вероятности всех значений случайной дискретной величины удовлетворяют условию нормировки: Свойства математического ожидания. 1 0 Математическое ожидание постоянной (неслучайной) величины С равно самой постоянной M ( C )= C . 2 0 Математическое ожидание алгебраической суммы нескольких случайных величин равно алгебраической сумме математических ожиданий слагаемых M ( X 1 ± X 2 ±...± X n ) = M ( X 1 ) ± M ( X 2 ) ±…± M ( X n ). 3 0 Константу можно вынести за знак математического ожидания M ( CX )= CM ( X ). 4 0 Математическое ожидание произведения нескольких независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин: M ( X 1 X 2 ... X n ) = M ( X 1 ) M ( X 2 )... M ( X ) n . 2) Дисперсия дискретной случайной величины. Определение 4. Дисперсией случайной дискретной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания. D ( X ) = M {[ X - M ( X )] 2 } = , где M ( X ) = μ Для вычисления дисперсии более удобна формула: D ( X )= M ( X 2 )-[ M ( X )] 2 , т.е. дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата этой величины и квадратом ее математического ожидания. Свойства дисперсии. 1 0 Дисперсия постоянной величины равна нулю D (С) = 0. 2 0 Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D ( CX ) = C 2 D ( X ). 3 0 Дисперсия суммы нескольких независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D ( X 1 +...+ X n ) = D ( X 1 )+...+ D ( X n ). 4 0 Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин D ( X - Y )= D ( X )+ D ( Y ). 3). Среднее квадратическое отклонение Определение 5 . Средним квадратическим отклонением случайной величины называется квадратный корень из дисперсии σ ( X )=. Пример. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X , которая задана следующим законом распределения: Решение. Найдем математическое ожидание: M ( x )=1·0,3+2·0,5+5·0,2=2,3. Найдем все возможные значения квадрата отклонения. [ x 1 - M ( x )] 2 =(1-2,3) 2 =1,69 [ x 2 - M ( x )] 2 =(2-2,3) 2 =0,09 [ x 3 - M ( x )] 2 =(5-2,3) 2 =7,29 Напишем закон распределения квадрата отклонения Найдем дисперсию: D ( x )=1,69·0,3+0,09·0,5+7,29·0,2=2,01. Числовые характеристики непрерывной случайной величины. Определение 6. Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Определение 7. Интегральной функцией распределения называют функцию F ( x ), определяющую для каждого значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше x , т.е. F ( x )= P ( X < x ). Свойства интегральной функции распределения 1 0 Значения интегральной функции распределения принадлежат отрезку 0≤ F ( x ) ≤1. 2 0 Функция распределения есть неубывающая функция. Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина X попадет в интервал ( a , b ), равна приращению ее интегральной функции распределения на этом интервале P ( a < x < b )= F ( b )- F ( a ). Следствие 2. Вероятность того, что случайная непрерывная величина X примет одно определенное значение равна нулю P ( X = x 1 )=0. 3 0 Если возможные значения случайной величины X принадлежат интервалу ( a , b ), то F ( x )=0 при x ≤ a и F ( x )=1 при x ≥ a . Определение 8. Дифференциальной функцией распределения f ( x ) (или плотностью вероятности) называется производная от интегральной функции f ( x )= F "( x ). Интегральная функция является первообразной для дифференциальной функции, поэтому вероятность того, что случайная непрерывная величина x примет значение, принадлежащее интервалу ( a , b ), определяется равенством: P ( a < x < b )== F ( b )- F ( a )Зная дифференциальную функцию, можно найти функцию распределения: F ( x )= Свойства дифференциальной функции распределения 1 0 Дифференциальная функция распределения есть функция неотрицательная f ( x ) ≥0 2 0 Несобственный интеграл от дифференциальной функции распределения равен единице (условие нормировки): . 1) Математическое ожидание. Математическим ожиданием случайной непрерывной величины X , возможные значения которой прина д лежат отрезку ( a , b ), называется опр е деленный интеграл: M ( X ) = , где f ( x )-плотность вероятности случайной величины X . 2) Дисперсия. Дисперсия непрерывной случайной величины X есть математическое ожидание квадрата отклонения зтой величины от ее математического жидания D(X) = M{ 2 }.Следовательно, если возможные значения случайной величины X принадлежат отрезку ( a ; b ), то D ( x )= или D ( x )= 3) Среднее квадратическое отклонение определяется так: σ ( x ) = Пример. Найти дисперсию случайной величины X , заданной интегральной функцией F ( x )= Решение. Найдем дифференциальную функцию: f ( x )= F ’ ( x )= Выислим математическое ожидание M ( x ) = . Найдем искомую дисперсию D ( x ) = = = 2/4=4/3. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины X в заданный интервал Определение 9. Распределение вероятностей случайной непрерывной величины X называется нормальным, если плотность вероятности описывается формулой: , где μ - математическое ожидание, σ - среднее квадратическое отклонение. Определение 10. Нормальное распределение с параметрами μ = 0, σ = 1 называется нормированным или стандартным. Плотность вероятности нормированного нормального распределения описывается следующей формулой: . Значения данной функции для неотрицательных значений затабулированы. В силу четности функции φ ( x ) значения для отрицательных чисел легко определить φ (- x )= φ ( x ). Пример. Математическое ожидание нормального распределенной случайной величины X равно μ =3 и среднее квадратическое отклонение σ =2. Написать дифференциальную функцию X . Решение. f ( x )= Если случайная величина X распределена по нормальному закону, то вероятность ее попадания в интервал ( a , b ) определяется следующим о б разом: P(aS2=DB= =, bu DG umumiy dispersiyaning xolis bahosi. Aholi standart og'ishini baholash uchun "tuzatilgan" standart og'ish qo'llaniladi, bu "tuzatilgan" dispersiyaning kvadrat ildiziga teng. S= Ta'rif 14. Ishonch oralig'i (th*-d;th*+d) deyiladi, u berilgan ishonchlilik g bilan noma'lum parametrni qamrab oladi. Ma'lum standart og'ish s bo'lgan normal taqsimotning matematik kutilishini baholash uchun ishonch oralig'i quyidagi formula bilan ifodalanadi: =2F(t)=g bu erda e=td/ - baholashning aniqligi. t soni tenglamadan aniqlanadi: 2F(t)=g Laplas funksiyasi jadvallari bo'yicha. Misol. X tasodifiy o'zgaruvchisi ma'lum standart og'ish s=3 bo'lgan normal taqsimotga ega. Agar tanlama hajmi n = 36 bo'lsa va baholashning ishonchliligi g = 0,95 bo'lsa, X tanlama vositalaridan foydalanib, noma'lum matematik kutilma m ni baholash uchun ishonch oraliqlarini toping. Yechim. 2F(t)=0,95 munosabatdan t topilsin; F(t)=0,475. Jadvallardan biz t = 1,96 ni topamiz. s =td/=1,96·3/= 0,98 bahoning aniqligini topamiz. Ishonch oralig'i (x -0,98; x +0,98). Noma'lum s bo'lgan normal taqsimotning matematik kutilishini baholash uchun ishonch oraliqlari k=n-1 erkinlik darajasiga ega Student taqsimoti yordamida aniqlanadi: T= , bu erda S - "tuzatilgan" standart og'ish, n - tanlov hajmi. Talaba taqsimotidan ishonch oralig'i g ishonchliligi bilan noma'lum parametr m ni qamrab oladi: yoki bu erda ty - jadvallardan g (ishonchlilik) va k (erkinlik darajalari soni) qiymatlaridan topilgan Student koeffitsienti. Misol. Populyatsiyaning X miqdoriy xarakteristikasi normal taqsimlangan. n=16 tanlama kattaligi asosida tanlanma o‘rtacha xB=20,2 va “tuzatilgan o‘rtacha” kvadrat og‘ish S=0,8 topildi. Ishonchliligi g = 0,95 bo'lgan ishonch oralig'idan foydalanib, noma'lum matematik kutish m ni baholang. Yechim. Jadvaldan biz topamiz: ty = 2.13. Ishonch chegaralarini topamiz: =20,2-2,13·0,8=19,774 va =20,2+ +2,13·0,8/=20,626. Shunday qilib, 0,95 ishonchliligi bilan noma'lum parametr m 19,774 oralig'ida.<μ <20,626. .Элементы теории корреляции Определение 1. Статистической называют зависимость, при которой изменение одной из величин влечет изменение распределения другой. Определение 2. Если при изменении одной из величин изменяетсясреднее значение другой величины, то такая статистическая зависимость называется корреляционной. Пример. ПустьY-урожай зерна,X-количество удобрений. С одинаковых по площади участков земли при равных количествах внесенных удобрений снимают различный урожай, т.е.Y не является функциейX. Это объясняется влиянием случайных факторов (осадки, температура воздуха и т.д.) Вместе с тем средний урожай является функцией от количества удобрений, т.е.Y связан сX корреляционной зависимостью. Определение 3. Среднее арифметическое значение величиныY, вычисленное при условии, чтоX принимает фиксированное значение, называется условным средним и обозначается. Определение 4. Условным средним называют среднее арифметическое наблюдавшихся значенийx, соответствующихY=y. Можно составить таблицу, определяющую соответствие между значениямиxi и условными среднимиyxi, а затем в декартовой системе координат строят точкиM(xi;yxi) и соединяют их отрезками прямых. Полученная линия называется эмпирической линией регрессииY наX. Аналогично строится эмпирическая линия регрессииX наY. Если точкиMi(xi;yxi) иNi(xy;y) располагаются вдоль прямой, то линия регрессии называется линией прямой регрессии и операция "сглаживания" ломаной сводится к нахождению параметровa иb функцииy=ax+b. Из двух нормальных уравнений: находят коэффициентыa иb. ρxy=a== выборочный коэффициент регрессии признакаY наX. b== Уравнение прямой линии регрессии признакаY наX имеет вид: - =ρyx(x-). Проведя аналогичные расчеты, можно получить следующие математические выражения, характеризующие прямую регрессию признакаX наY:x=cy+d. ρyx=c= = - выборочный коэффициент регрессии признакаX наY. d= - свободный член уравнения. = - уравнение прямой линии регрессии признакаX наY. Показателем тесноты связи являетсякоэффициент корреляции, используемый только при линейной корреляции:r = =. Для решения задач удобна следующая формула: r == . В формуле для коэффициента корреляцииr = числитель дроби всегда меньше знаменателя, следовательно, коэффициент корреляции - всегда правильная дробь между нулем и единицей -1≤r≤+1. Положительное значениеr указывает на прямую связь между признаками; отрицательное - на обратную связь между ними. Данные для корреляционного анализа могут быть сгруппированы в виде корреляционной таблицы. Рассмотрим пример. Пусть проведено наблюдение двух признаков (X иY) у 15 объектов. Составлена следующая таблица первичных данных: Упорядочим первичные данные, поместив их в таблицу: В первом столбце запишем в порядке возрастания значенияxi: 8,9,10,11, а во второй строке - в том же порядке значенияyi: 18,20,24,27,30. На пересечении строк и столбцов запишем число повторений одинаковых пар (xi;yi) в ряду наблюдений. Требуется установить и оценить зависимость случайной величиныY от величиныX, используя данные корреляционной таблицы. n = 15 - объем выборки Используем формулы для корреляционных расчетов. Уравнение регрессииX наY: xy=cy +d =ρxyy+d, где ρxy=. Величина коэффициента корреляцииr=± С учетом частотnx иny формулы регрессионного анализа несколько видоизменяется: ρxy=, где; ; ; ; . .Проверка статистических гипотез. Определение 1. Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений. Определение 2. Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезуH0. Определение 3. Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезуH1, которая противоречит нулевой. Определение 4. Статистическим критерием называют специально подобранную величину, распределение которой известно (хотя бы приближенно), которая используется для проверки статистической гипотезы. Определение 5. Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают. Определение 6. Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений) называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу принимают. Основной принцип проверки статистических гипотез: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то нулевую гипотезу отвергают; если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то гипотезу принимают. Определение 7. Критическими точками (границами)kkp называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы. Определение 8. Правосторонней называют критическую область, определяемую неравенствомK>kkp, bu erda kkp>0. Ta'rif 9. Chap qo'l - K tengsizlik bilan aniqlangan kritik mintaqa k2 bu yerda k2>k1. Kritik mintaqani topish uchun a muhimlik darajasini belgilang va kritik nuqtalarni quyidagi munosabatlarga asoslanib qidiring: a) o'ng tomondagi kritik mintaqa uchun P(K>kkp)=a; b) chap tomonli kritik mintaqa uchun P(K<-kkp)=α; в) для двусторонней критической областиP(K>kkp)=a/2 va P(K<-kkp)=α/2. Пример. По двум независимым выборкам, объемы которыхn1=11 иn2=14, извлеченным из нормальных генеральных совокупностейX иY, найдены исправленные выборочные дисперсииSx2=0,76;Sy2=0,38. При уровне зависимостиα=0,05 проверить нулевую гипотезуH0:Д(x)=Д(y) о равенстве генеральных дисперсий, при конкурирующей гипотезе:H1:Д(x)>D(y) Yechim. Katta tuzatilgan dispersiyaning kichikga nisbatini topamiz: Fobs = =2. H1:D(x)>D(y) ekan, u holda kritik mintaqa o'ng qo'ldir. Jadvaldan foydalanib, a = 0,05 va erkinlik darajalari raqamlari k1 = n1-1 = 10; k2 = n2-1 = 13, biz Fcr (0,05; 10,13) = 2,67 kritik nuqtani topamiz. Fobsdan beri. Onam ramkani yuvdi

Uzoq yozgi ta'tilning oxirida, asta-sekin yuqori matematikaga qaytish va yangi bo'lim yaratishni boshlash uchun bo'sh Verdov faylini tantanali ravishda ochish vaqti keldi - . Qabul qilaman, birinchi satrlar oson emas, lekin birinchi qadam yarim yo'l, shuning uchun men hammaga kirish maqolasini diqqat bilan o'rganishni taklif qilaman, shundan so'ng mavzuni o'zlashtirish 2 barobar oson bo'ladi! Men umuman bo'rttirib aytmayman. ...Keyingi 1-sentabr arafasida men birinchi sinfni va boshlang'ichni eslayman .... Harflar bo'g'inlarni, bo'g'inlar so'zlarni, so'zlar qisqa jumlalarni hosil qiladi - Onam ramkani yuvdi. Turver va matematik statistikani o'zlashtirish o'qishni o'rganish kabi oson! Biroq, buning uchun siz asosiy atamalar, tushunchalar va belgilarni, shuningdek, ushbu dars mavzusi bo'lgan ba'zi o'ziga xos qoidalarni bilishingiz kerak.

Lekin birinchi navbatda, o'quv yilining boshlanishi (davomi, tugashi, tegishli belgi) bilan tabriklarimni qabul qiling va sovg'ani qabul qiling. Eng yaxshi sovg'a - bu kitob va mustaqil ish uchun men quyidagi adabiyotlarni tavsiya qilaman:

1) Gmurman V.E. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika

O'ndan ortiq qayta nashr etilgan afsonaviy darslik. U o'zining tushunarliligi va materialning juda sodda taqdimoti bilan ajralib turadi va birinchi boblar, menimcha, 6-7-sinf o'quvchilari uchun to'liq foydalanish mumkin.

2) Gmurman V.E. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika masalalarini yechish bo'yicha qo'llanma

O'sha Vladimir Efimovich tomonidan batafsil misollar va muammolar bilan yechim kitobi.

ZARUR ikkala kitobni Internetdan yuklab oling yoki ularning qog'oz asl nusxalarini oling! 60 va 70-yillardagi versiya ham ishlaydi, bu mangalar uchun ham yaxshiroqdir. Garchi "qo'g'irchoqlar uchun ehtimollik nazariyasi" iborasi juda kulgili bo'lsa-da, chunki deyarli hamma narsa elementar arifmetik operatsiyalar bilan cheklangan. Biroq, ular ba'zi joylarda o'tkazib yuborishadi hosilalari Va integrallar, lekin bu faqat joylarda.

Men taqdimotning bir xil ravshanligiga erishishga harakat qilaman, lekin mening kursim maqsadga qaratilganligi haqida ogohlantirishim kerak muammoni hal qilish nazariy hisob-kitoblar esa minimallashtiriladi. Shunday qilib, agar sizga batafsil nazariya, teoremalarning isboti (teorema-teoremalar!) kerak bo'lsa, darslikka murojaat qiling. Xo'sh, kim xohlaydi muammolarni hal qilishni o'rganing ehtimollar nazariyasi va matematik statistikada eng qisqa vaqt ichida, orqamdan yuring; Meni kuzating; menga Obuna bo'ling!

Boshlash uchun bu etarli =)

Maqolalarni o'qiyotganingizda, ko'rib chiqilgan turlarning qo'shimcha vazifalari bilan (hech bo'lmaganda qisqacha) tanishib chiqish tavsiya etiladi. Sahifada Oliy matematika uchun tayyor yechimlar Yechimlar misollari bilan tegishli pdf-lar joylashtiriladi. Bundan tashqari, muhim yordam ko'rsatiladi IDZ 18.1 Ryabushko(oddiyroq) va Chudesenko kollektsiyasiga ko'ra IDZni hal qildi(qiyinroq).

1) Miqdori ikki voqea va voqea sodir bo'ladi deb ataladi yoki voqea yoki voqea yoki ikkala voqea bir vaqtning o'zida. Voqea sodir bo'lgan taqdirda mos kelmaydigan, oxirgi variant yo'qoladi, ya'ni paydo bo'lishi mumkin yoki voqea yoki voqea.

Qoida ko'proq atamalarga, masalan, hodisaga ham tegishli nima bo'ladi kamida bitta voqealardan , A hodisalar mos kelmasa – keyin bir narsa va faqat bitta narsa ushbu summadan hodisa: yoki voqea, yoki voqea, yoki voqea, yoki voqea, yoki voqea.

Ko'p misollar mavjud:

Hodisalar (zar otishda 5 ball ko'rinmaydi) paydo bo'ladi yoki 1, yoki 2, yoki 3, yoki 4, yoki 6 ball.

Voqea (tushadi boshqa emas; boshqa ... bo'lmaydi; Endi yo'q ikki nuqta) 1 paydo bo'ladi yoki 2ball.

Tadbir (juft sonli nuqtalar bo'ladi) paydo bo'ladi yoki 2 yoki 4 yoki 6 ball.

Voqea shundan iboratki, palubadan qizil kartochka (yurak) olinadi yoki daf) va voqea – “rasm” olinadi (jak yoki xonim yoki shoh yoki ace).

Qo'shma tadbirlar bilan bog'liq vaziyat biroz qiziqroq:

Voqea shundaki, palubadan klub chiziladi yoki etti yoki ettita klub Yuqorida keltirilgan ta'rifga ko'ra, hech bo'lmaganda biror narsa- yoki har qanday klub yoki har qanday ettita yoki ularning "chorrahasi" - ettita klub. Ushbu hodisa 12 ta elementar natijaga mos kelishini hisoblash oson (9 ta klub kartasi + 3 ta yetti).

Voqea ertaga soat 12.00 da keladi Yig'iladigan qo'shma hodisalardan KAMDA BITTA, ya'ni:

– yoki faqat yomg'ir / faqat momaqaldiroq / faqat quyosh bo'ladi;
– yoki faqat ba'zi bir juft hodisalar ro'y beradi (yomg'ir + momaqaldiroq / yomg'ir + quyosh / momaqaldiroq + quyosh);
- yoki barcha uchta hodisa bir vaqtning o'zida paydo bo'ladi.

Ya'ni, tadbir 7 ta mumkin bo'lgan natijani o'z ichiga oladi.

Hodisalar algebrasining ikkinchi ustuni:

2) Ish ikkita hodisa va bu hodisalarning birgalikda sodir bo'lishidan iborat bo'lgan hodisa deb ataladi, boshqacha aytganda, ko'paytirish ba'zi bir sharoitlarda sodir bo'lishini anglatadi. Va voqea, Va voqea. Shunga o'xshash bayonot ko'proq voqealar uchun to'g'ri keladi, masalan, ish muayyan sharoitlarda sodir bo'lishini nazarda tutadi Va voqea, Va voqea, Va voqea, …, Va voqea.

Ikki tanga tashlangan testni ko'rib chiqing va quyidagi hodisalar:

- 1-tangada boshlar paydo bo'ladi;
– 1-tanga boshlarini tushiradi;
- 2-tangada boshlar paydo bo'ladi;
– 2-tanga boshlarini tushiradi.

Keyin:
Va 2-da) boshlar paydo bo'ladi;
– voqea shundan iboratki, ikkala tangada ham (1 Va 2-da) bu boshlar bo'ladi;
– voqea 1-tanga boshlarini qo'nadi, deb Va 2-tanga - dumlar;
– voqea 1-tanga boshlarini qo'nadi, deb Va 2-tangada burgut tasvirlangan.

Bu voqealarni ko'rish oson mos kelmaydigan (chunki, masalan, u bir vaqtning o'zida 2 bosh va 2 dumga tusha olmaydi) va shakl to'liq guruh (hisobga olinganligi sababli Hammasi ikkita tanga tashlashning mumkin bo'lgan natijalari). Keling, ushbu voqealarni sarhisob qilaylik: . Ushbu yozuvni qanday izohlash mumkin? Juda oddiy - ko'paytirish mantiqiy bog'lovchini anglatadi VA, va qo'shimcha - YOKI. Shunday qilib, miqdorni tushunarli inson tilida o'qish oson: "ikki bosh paydo bo'ladi yoki ikki bosh yoki 1-tanga boshlarini tushiradi Va 2-quyruqlarda yoki 1-tanga boshlarini tushiradi Va 2-tangada burgut bor"

Bu qachon bir misol edi bitta testda bir nechta ob'ektlar ishtirok etadi, bu holda ikkita tanga. Amaliy masalalarda yana bir keng tarqalgan sxema qayta sinovdan o'tkazish , masalan, bir xil qolip ketma-ket 3 marta aylantirilganda. Namoyish sifatida quyidagi voqealarni ko'rib chiqing:

– birinchi otishda siz 4 ochko olasiz;
– ikkinchi otishda siz 5 ochko olasiz;
- 3-o'tishda siz 6 ochko olasiz.

Keyin voqea ya'ni birinchi otishda siz 4 ochko olasiz Va 2-otishda siz 5 ochko olasiz Va 3-rulonda siz 6 ball olasiz. Shubhasiz, kub holatida biz tanga tashlaganimizdan ko'ra sezilarli darajada ko'proq kombinatsiyalar (natijalar) bo'ladi.

...Tushundimki, tahlil qilinayotgan misollar, ehtimol, unchalik qiziq emas, lekin bular muammolarda tez-tez uchrab turadigan va ulardan qochib bo‘lmaydigan narsalardir. Sizni tanga, kub va kartalar palubasi, rang-barang to'plari bo'lgan urnalar, nishonga o'q uzayotgan bir nechta anonim odamlar va doimiy ravishda ba'zi tafsilotlarni maydalaydigan tinimsiz ishchi kutmoqda =)

Hodisa ehtimoli

Hodisa ehtimoli ehtimollik nazariyasining markaziy tushunchasi. ...Qotil mantiqiy narsa, lekin biz bir joydan boshlashimiz kerak edi =) Uning ta'rifiga bir nechta yondashuvlar mavjud:

;
Ehtimolning geometrik ta'rifi ;
Ehtimollikning statistik ta'rifi .

Ushbu maqolada men o'quv vazifalarida eng ko'p qo'llaniladigan ehtimollikning klassik ta'rifiga e'tibor qarataman.

Belgilar. Muayyan hodisaning ehtimoli katta lotin harfi bilan belgilanadi va hodisaning o'zi argumentning bir turi bo'lib, qavs ichida olinadi. Masalan:

Bundan tashqari, kichik harf ehtimollikni ko'rsatish uchun keng qo'llaniladi. Xususan, siz hodisalarning noqulay belgilaridan va ularning ehtimollaridan voz kechishingiz mumkin quyidagi uslub foydasiga::

– tanga otish natijasida boshlar paydo bo‘lishi ehtimoli;
– zarning 5 ballga tushishi ehtimoli;
- palubadan klub kostyumining kartasi olinishi ehtimoli.

Ushbu parametr amaliy muammolarni hal qilishda mashhurdir, chunki u yechimni yozishni sezilarli darajada kamaytirishga imkon beradi. Birinchi holatda bo'lgani kabi, bu erda ham "gapirish" subscripts/superscripts foydalanish qulay.

Men yuqorida yozgan raqamlarni hamma allaqachon taxmin qilgan va endi ular qanday bo'lganini bilib olamiz:

Ehtimollikning klassik ta'rifi:

Muayyan testda sodir bo'ladigan hodisaning ehtimoli nisbat deb ataladi, bu erda:

- hammasining umumiy soni teng darajada mumkin, boshlang'ich bu test natijalari, qaysi shakl voqealarning to'liq guruhi;

- miqdori boshlang'ich natijalar, qulay voqea.

Tanga otishda boshlar yoki dumlar tushishi mumkin - bu hodisalar shakllanadi to'liq guruh, shunday qilib, natijalarning umumiy soni; bir vaqtning o'zida ularning har biri boshlang'ich Va teng darajada mumkin. Hodisa natija (boshlar) tomonidan ma'qullanadi. Ehtimollikning klassik ta'rifiga ko'ra: .

Xuddi shunday, o'limni tashlash natijasida to'liq guruhni tashkil etuvchi elementar teng mumkin bo'lgan natijalar paydo bo'lishi mumkin va hodisa bitta natija (beshta o'tish) bilan ma'qullanadi. Shunung uchun: BUNI QILISH QABUL ETMAYDI (garchi sizning boshingizdagi foizlarni hisoblash taqiqlanmagan bo'lsa ham).

Birlikning kasrlaridan foydalanish odatiy holdir, va, shubhasiz, ehtimollik ichida o'zgarishi mumkin. Bundan tashqari, agar , u holda voqea imkonsiz, Agar - ishonchli, va agar , u holda biz gaplashamiz tasodifiy voqea.

! Agar biron bir muammoni hal qilishda siz boshqa ehtimollik qiymatiga ega bo'lsangiz, xatoni qidiring!

Ehtimollikni aniqlashga klassik yondashuvda ekstremal qiymatlar (nol va bir) aynan bir xil mulohazalar orqali olinadi. 10 ta qizil sharni o'z ichiga olgan ma'lum bir urnadan tasodifiy 1 ta to'p tortilsin. Quyidagi voqealarni ko'rib chiqing:

bitta sinovda kam ehtimolli hodisa ro'y bermaydi.

Shuning uchun siz lotereyada jekpotni urmaysiz, agar bu hodisaning ehtimoli, aytaylik, 0,00000001 bo'lsa. Ha, ha, bu siz - ma'lum bir tirajdagi yagona chipta bilan. Biroq, ko'proq chiptalar va ko'proq miqdordagi chizmalar sizga ko'p yordam bermaydi. ...Bu haqda boshqalarga gapirganimda, men deyarli har doim javobni eshitaman: "lekin kimdir g'alaba qozonadi". Mayli, keling, quyidagi tajribani qilaylik: iltimos, bugun yoki ertaga istalgan lotereyaga chipta sotib oling (kechiktirmang!). Va agar siz g'alaba qozonsangiz ... hech bo'lmaganda 10 kilorubdan ko'proq, ro'yxatdan o'tishni unutmang - men nima uchun bu sodir bo'lganini tushuntiraman. Foiz uchun, albatta =) =)

Ammo xafa bo'lishning hojati yo'q, chunki buning teskari printsipi mavjud: agar biron bir hodisaning ehtimoli birga juda yaqin bo'lsa, u bitta sinovda sodir bo'ladi. deyarli aniq sodir bo'ladi. Shuning uchun, parashyut bilan sakrashdan oldin, qo'rqishning hojati yo'q, aksincha, tabassum! Axir, ikkala parashyutning ishdan chiqishi uchun mutlaqo aqlga sig'maydigan va hayoliy holatlar yuzaga kelishi kerak.

Bularning barchasi lirizm bo'lsa-da, chunki voqea mazmuniga qarab, birinchi tamoyil quvnoq, ikkinchisi esa qayg'uli bo'lishi mumkin; yoki hatto ikkalasi ham parallel.

Ehtimol, hozircha bu etarli, sinfda Klassik ehtimollik masalalari formuladan maksimal foyda olamiz. Ushbu maqolaning yakuniy qismida biz bitta muhim teoremani ko'rib chiqamiz:

To'liq guruhni tashkil etuvchi hodisalarning ehtimollik yig'indisi birga teng. Taxminan aytganda, agar voqealar to'liq guruhni tashkil qilsa, 100% ehtimollik bilan ulardan biri sodir bo'ladi. Eng oddiy holatda, to'liq guruh qarama-qarshi hodisalar bilan hosil bo'ladi, masalan:

- tanga otish natijasida boshlar paydo bo'ladi;
- tanga otish natijasi quyruq bo'ladi.

Teoremaga ko'ra:

Bu hodisalarning bir xil darajada mumkinligi va ularning ehtimolliklari bir xil ekanligi mutlaqo aniq .

Ehtimollar tengligi tufayli teng darajada mumkin bo'lgan hodisalar ko'pincha deyiladi teng darajada ehtimol . Va bu erda mastlik darajasini aniqlash uchun til twister =)

Kub bilan misol: hodisalar qarama-qarshidir, shuning uchun .

Ko'rib chiqilayotgan teorema qarama-qarshi hodisaning ehtimolini tezda topish imkonini berishi bilan qulaydir. Shunday qilib, agar beshta o'ralish ehtimoli ma'lum bo'lsa, uning o'ralmasligi ehtimolini hisoblash oson:

Bu beshta elementar natija ehtimolini umumlashtirishdan ko'ra ancha sodda. Aytgancha, elementar natijalar uchun bu teorema ham to'g'ri:
. Masalan, agar otuvchining nishonga tegish ehtimoli bo'lsa, u o'tkazib yuborish ehtimoli.

! Ehtimollar nazariyasida harflardan boshqa maqsadlarda foydalanish istalmagan.

Bilimlar kuni sharafiga men uy vazifasini bermayman =), lekin siz quyidagi savollarga javob berishingiz juda muhim:

- Qanday turdagi tadbirlar mavjud?
– Hodisaning tasodif va teng ehtimoli nima?
– Voqealarning mos kelishi/mos kelmasligi atamalarini qanday tushunasiz?
– Voqealarning to‘liq guruhi, qarama-qarshi hodisalar nima?
– Hodisalarni qo‘shish va ko‘paytirish nimani anglatadi?
– Ehtimollikning klassik ta’rifining mohiyati nimada?
– To‘liq guruhni tashkil etuvchi hodisalarning ehtimolliklarini qo‘shish teoremasi nima uchun foydali?

Yo'q, siz hech narsani siqishingiz shart emas, bular ehtimollik nazariyasining asoslari - bu sizning boshingizga tezda mos keladigan astar turi. Va bu imkon qadar tezroq sodir bo'lishi uchun men sizga darslar bilan tanishishingizni maslahat beraman

barcha mutaxassisliklarning 2-kurs talabalari uchun

Oliy matematika kafedrasi

Kirish qismi

Hurmatli talabalar!

Sizning e'tiboringizga VZFEI 2-kurs talabalari uchun professor N.Sh Kremerning "Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika" fanidan sharh (kirish) ma'ruzasini taqdim etamiz.

Ma'ruza muhokama qilinadi vazifalar iqtisod universitetida ehtimollar nazariyasi va matematik statistikani o'rganish va uning joyi zamonaviy iqtisodchini tayyorlash tizimida ko'rib chiqiladi tashkilot mustaqil kompyuterga asoslangan o'qitish tizimi (CTS) va an'anaviy darsliklardan foydalangan holda talabalar ishi beriladi asosiy qoidalarga umumiy nuqtai ushbu kurs, shuningdek, uni o'rganish bo'yicha uslubiy tavsiyalar.

Iqtisodiyot universitetida o'qitiladigan matematik fanlar orasida ehtimollar nazariyasi va matematik statistika alohida o'rin tutadi. Birinchidan, bu statistika fanlarining nazariy asosidir. Ikkinchidan, tadqiqotda ehtimollar nazariyasi va matematik statistika usullaridan bevosita foydalaniladi ommaviy agregatlar kuzatilgan hodisalar, kuzatish natijalarini qayta ishlash va tasodifiy hodisalarning qonuniyatlarini aniqlash. Nihoyat, ehtimollar nazariyasi va matematik statistika muhim uslubiy ahamiyatga ega kognitiv jarayon, umumiy naqshni aniqlashda tadqiq qilingan jarayonlar, mantiqiy xizmat qiladi asos induktiv-deduktiv fikrlash.

Har bir ikkinchi kurs talabasi “Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika” fanidan quyidagi to‘plamga (holatlar) ega bo‘lishi kerak:

1. Umumiy yo'nalish bo'yicha ma'ruza bu fanda.

2. Darslik N.Sh. Kremer "Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika" - M.: UNITY - DANA, 2007 (bundan keyin biz uni oddiygina "darslik" deb ataymiz).

3. O'quv va uslubiy qo'llanma"Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika" / ed. N.Sh. Kremer. – M.: Universitet darsligi, 2005 yil (keyingi o‘rinlarda “qo‘llanma” deb yuritiladi).

4. Kompyuter bo'yicha o'quv dasturi Intizom uchun COPR (keyingi o'rinlarda “kompyuter dasturi” deb yuritiladi).

Institut veb-saytida "Korporativ resurslar" sahifasida KOPR2 kompyuter dasturining onlayn versiyalari, umumiy yo'nalish bo'yicha ma'ruza va qo'llanmaning elektron versiyasi joylashtirilgan. Bundan tashqari, kompyuter dasturi va qo'llanma taqdim etiladi CD - ROM ikkinchi kurs talabalari uchun. Shuning uchun, "qog'oz shaklida" talaba faqat darslikka ega bo'lishi kerak.

Keling, ko'rsatilgan to'plamga (holatga) kiritilgan o'quv materiallarining har birining maqsadini tushuntirib beraylik.

Darslikda fanning o'quv materialining asosiy qoidalari taqdim etilgan bo'lib, ular etarlicha ko'p sonli hal qilingan muammolar bilan tasvirlangan.

IN foyda O'quv materialini mustaqil o'rganish bo'yicha uslubiy tavsiyalar berilgan, kursning eng muhim tushunchalari va tipik vazifalari yoritilgan, ushbu fan bo'yicha o'z-o'zini tekshirish uchun test savollari, talaba bajarishi kerak bo'lgan uy sinovlari variantlari, shuningdek uslubiy ularni amalga oshirish bo'yicha ko'rsatmalar berilgan.

Kompyuter dasturi rejimida kursni o'zlashtirishda sizga maksimal yordam ko'rsatish uchun mo'ljallangan dialog Sinfdagi mashg'ulotlarning etishmasligi va o'qituvchi bilan tegishli aloqaning o'rnini to'ldirish uchun talaba bilan dastur.

Masofaviy ta'lim tizimi orqali o'qiyotgan talaba uchun asosiy va hal qiluvchi ahamiyatga ega mustaqil ishlarni tashkil etish.

Ushbu fanni o'rganishni boshlaganingizda, ushbu umumiy (kirish) ma'ruzani oxirigacha o'qing. Bu sizga "Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika" kursida qo'llaniladigan asosiy tushunchalar va usullar va VZFEI talabalarining tayyorgarlik darajasiga qo'yiladigan talablar haqida umumiy tasavvurga ega bo'lish imkonini beradi.

Har bir mavzuni o'rganishdan oldin Qo'llanmada ushbu mavzuni o'rganish bo'yicha ko'rsatmalarni o'qing. Bu erda siz o'rganadigan ushbu mavzu bo'yicha o'quv savollari ro'yxatini topasiz; qaysi tushunchalar, ta'riflar, teoremalar, muammolar eng muhimi, birinchi navbatda o'rganilishi va o'zlashtirilishi kerak.

Keyin o'qishni davom eting asosiy o'quv materiali olingan uslubiy tavsiyalarga muvofiq darslik bo‘yicha. Asosiy ta'riflar, teoremalarning bayonotlari, ularni isbotlash diagrammalari, formulalar va tipik masalalarning echimlari haqida alohida daftarga eslatma qo'yishni maslahat beramiz. Kursning har bir qismi uchun formulalarni maxsus jadvallarda yozish tavsiya etiladi: ehtimollik nazariyasi va matematik statistika. Eslatmalardan, xususan, formulalar jadvallaridan muntazam foydalanish ularni eslab qolishga yordam beradi.

Darslikdagi har bir mavzu bo'yicha asosiy o'quv materiali bilan ishlagandan keyingina kompyuterni o'qitish dasturi (KOPR2) yordamida ushbu mavzuni o'rganishga o'tishingiz mumkin.

Har bir mavzu bo'yicha kompyuter dasturining tuzilishiga e'tibor bering. Mavzu nomidan keyin darslikda o‘rganilishi kerak bo‘lgan paragraflar va sahifalar soni ko‘rsatilgan mavzuning asosiy ta’lim savollari ro‘yxati berilgan. (Ushbu savollar ro'yxati har bir mavzu bo'yicha qo'llanmada ham berilganligini unutmang).

Keyin, qisqacha shaklda ushbu mavzu bo'yicha (yoki ushbu mavzuning alohida paragraflari bo'yicha) ma'lumotnoma materiali - asosiy ta'riflar, teoremalar, xususiyatlar va xususiyatlar, formulalar va boshqalar beriladi. Mavzuni o'rganayotganda, siz ayni paytda kerakli bo'lgan ma'lumotnoma materialining qismlarini (shu yoki oldingi mavzular bo'yicha) ekranda ko'rsatishingiz mumkin.

Keyin sizga o'quv materiallari va, albatta, standart vazifalar taklif etiladi ( misollar), uning yechimi rejimida ko'rib chiqiladi dialog talaba bilan dasturlar. Bir qator misollarning vazifalari talabaning iltimosiga binoan ekranda to'g'ri echimning bosqichlarini ko'rsatish bilan cheklangan. Shu bilan birga, ko'pchilik misollarni ko'rib chiqish jarayonida sizga u yoki bu turdagi savollar beriladi. Ba'zi savollarga javoblar klaviatura yordamida kiritilishi kerak. raqamli javob, boshqalarga - to'g'ri javobni (yoki javoblarni) tanlang bir nechta taklif qilingan.

Siz kiritgan javobga qarab, dastur uning to'g'riligini tasdiqlaydi yoki kerakli nazariy tamoyillarni o'z ichiga olgan maslahatni o'qib chiqqandan so'ng, to'g'ri echim va javob berish uchun yana urinib ko'rishni taklif qiladi. Ko'pgina vazifalarni hal qilish uchun urinishlar soni chegaralangan (agar bu chegaradan oshib ketgan bo'lsa, to'g'ri hal qilish jarayoni ekranda ko'rsatiladi). Javob berish uchun muvaffaqiyatsiz urinishlar takrorlanganda, maslahatdagi ma'lumotlar miqdori ortib borayotgan misollar ham mavjud.

Yechimning batafsil tahlili bilan ta'minlangan o'quv materialining nazariy tamoyillari va misollar bilan tanishib chiqqandan so'ng, har bir mavzu bo'yicha tipik muammolarni hal qilish ko'nikmalarini mustahkamlash uchun o'z-o'zini nazorat qilish mashqlarini bajarishingiz kerak. O'z-o'zini nazorat qilish topshiriqlarida o'quvchi bilan muloqot elementlari ham mavjud. Yechimni tugatgandan so'ng, siz to'g'ri javobni ko'rishingiz va uni o'zingiz bergan javob bilan taqqoslashingiz mumkin.

Har bir mavzu bo'yicha ish oxirida siz nazorat topshiriqlarini bajarishingiz kerak. Ularga to'g'ri javoblar sizga ko'rsatilmaydi va sizning javoblaringiz o'qituvchi-maslahatchi (repetitor) tomonidan keyingi ko'rib chiqish uchun kompyuterning qattiq diskida qayd etiladi.

1–7-mavzularni oʻrgangach, 3-sonli uy testini, 8–11-mavzularni oʻrganib chiqqandan soʻng №4 uy testini toʻldirishingiz kerak. Ushbu testlarning variantlari qoʻllanmada (uning elektron versiyasi) keltirilgan. Amalga oshirilayotgan variantning raqami sizning shaxsiy fayl raqamingizning oxirgi raqamiga mos kelishi kerak (baholar kitobi, talaba guvohnomasi). Har bir test uchun siz suhbatdan o'tishingiz kerak, uning davomida siz o'zingizning muammolarni hal qilish qobiliyatingizni va test mavzusi bo'yicha asosiy tushunchalar (ta'riflar, teoremalar (dalilsiz), formulalar va boshqalar) bo'yicha bilimlaringizni namoyish qilishingiz kerak. Fanni o'rganish kurs imtihonlari bilan yakunlanadi.

Ehtimollar nazariyasi - tasodifiy hodisalarning qonuniyatlarini o'rganadigan matematik fan.

O'qish uchun taklif qilingan fan "Ehtimollar nazariyasi" va "Matematik statistika" ikkita bo'limdan iborat.