Trigonometrik funksiyalarning integrallari.
Yechimlarga misollar

Bu darsda trigonometrik funksiyalarning integrallarini ko'rib chiqamiz, ya'ni integrallarning to'ldirilishi har xil birikmalarda sinuslar, kosinuslar, tangenslar va kotangentlar bo'ladi. Barcha misollar batafsil tahlil qilinadi, hatto choynak uchun ham tushunarli va tushunarli bo'ladi.

Trigonometrik funktsiyalarning integrallarini muvaffaqiyatli o'rganish uchun siz eng oddiy integrallarni yaxshi tushunishingiz, shuningdek, ba'zi integratsiya usullarini o'zlashtirishingiz kerak. Ushbu materiallar bilan ma'ruzalarda tanishishingiz mumkin Noaniq integral. Yechimlarga misollar Va .

Va endi bizga kerak: Integrallar jadvali, Hosilalar jadvali Va Trigonometrik formulalar katalogi. Barcha o'quv qo'llanmalarini sahifada topishingiz mumkin Matematik formulalar va jadvallar. Men hamma narsani chop etishni tavsiya qilaman. Men alohida e'tibor beraman trigonometrik formulalar, ular sizning ko'zingiz oldida bo'lishi kerak- busiz ish samaradorligi sezilarli darajada pasayadi.

Lekin birinchi navbatda, ushbu maqolada qanday integrallar borligi haqida Yo'q. Shaklning integrallari yo'q, - kosinus, sinus, ba'zi bir polinomga ko'paytiriladi (tangens yoki kotangens bilan kamroq). Bunday integrallar qismlar bo'yicha integrallanadi va usulni o'rganish uchun qismlar bo'yicha integratsiya darsiga tashrif buyuring. Yechimlarga misollar, shuningdek, bu erda "arklar" bo'lgan integrallar yo'q - arktangens, arksinus va boshqalar, ular ham ko'pincha qismlar bilan birlashtirilgan.

Trigonometrik funktsiyalarning integrallarini topishda bir qator usullar qo'llaniladi:

(4) Biz jadvalli formuladan foydalanamiz , yagona farq shundaki, "X" o'rniga bizda murakkab ifoda mavjud.

2-misol

3-misol

Noaniq integralni toping.

Tanlovda g'arq bo'lganlar uchun janrning klassikasi. Siz sezganingizdek, integrallar jadvalida tangens va kotangensning integrali yo'q, ammo shunga qaramay, bunday integrallarni topish mumkin.

(1) Biz trigonometrik formuladan foydalanamiz

(2) Funksiyani differentsial belgisi ostida keltiramiz.

(3) Biz jadval integralidan foydalanamiz .

4-misol

Noaniq integralni toping.

Bu misol uchun mustaqil qaror, toʻliq yechim va javob dars oxirida.

5-misol

Noaniq integralni toping.

Bizning darajalarimiz asta-sekin ortadi =).
Birinchidan, yechim:

(1) Biz formuladan foydalanamiz

(2) Biz asosiy trigonometrik identifikatsiyadan foydalanamiz , shundan kelib chiqadiki .

(3) Numeratorni maxraj a'zosiga bo'ling.

(4) Biz noaniq integralning chiziqlilik xususiyatidan foydalanamiz.

(5) Biz jadval yordamida integratsiya qilamiz.

6-misol

Noaniq integralni toping.

Bu mustaqil yechim uchun misol, to'liq yechim va javob dars oxirida.

Bundan tashqari, yuqori darajalarda bo'lgan tangens va kotangentlarning integrallari mavjud. Darsda tangens kubining integrali muhokama qilinadi Yassi figuraning maydonini qanday hisoblash mumkin? To'rtinchi va beshinchi darajalarga tangens (kotangens) integrallarini sahifada olish mumkin. Kompleks integrallar.

Integrand darajasini pasaytirish

Ushbu uslub integral funktsiyalar sinuslar va kosinuslar bilan to'ldirilganda ishlaydi hatto daraja. Darajani kamaytirish uchun trigonometrik formulalardan foydalaning , va , va oxirgi formula ko'pincha teskari yo'nalishda ishlatiladi: .

7-misol

Noaniq integralni toping.

Yechim:

Aslida, bu erda hech qanday yangi narsa yo'q, faqat biz formulani qo'llaganimizdan tashqari (integrand darajasini pasaytirish). E'tibor bering, men yechimni qisqartirdim. Tajriba orttirganingizda, integralini og'zaki ravishda topish mumkin, bu vaqtni tejaydi va topshiriqlarni bajarishda juda maqbuldir. Bunday holda, qoidani tasvirlamaslik tavsiya etiladi , avval og'zaki ravishda 1 ning, keyin ning integralini olamiz.

8-misol

Noaniq integralni toping.

Bu mustaqil yechim uchun misol, to'liq yechim va javob dars oxirida.

Bu va'da qilingan darajani oshirish:

9-misol

Noaniq integralni toping.

Avval yechim, keyin sharhlar:

(1) Formulani qo'llash uchun integralni tayyorlang .

(2) Biz formulani amalda qo'llaymiz.

(3) Biz maxrajni kvadratga aylantiramiz va doimiyni integral belgisidan chiqaramiz. Buni biroz boshqacha qilish mumkin edi, lekin menimcha, bu qulayroq edi.

(4) Biz formuladan foydalanamiz

(5) Uchinchi muddatda biz yana darajani kamaytiramiz, lekin formuladan foydalanamiz .

(6) Biz shunga o'xshash atamalarni taqdim etamiz (bu erda men atama bo'yicha ajratdim va qo'shimcha qildim).

(7) Aslida, biz integral, chiziqlilik qoidasini olamiz funksiyani differensial belgisi ostida yig‘ish usuli esa og‘zaki bajariladi.

(8) Javobni tarash.

! Noaniq integralda javob ko'pincha bir necha usulda yozilishi mumkin

Yaqinda ko'rib chiqilgan misolda yakuniy javob boshqacha yozilishi mumkin edi - qavslarni ochish va hatto ifodani birlashtirishdan oldin buni qilish, ya'ni misolning quyidagi tugashi juda maqbuldir:

Bu variant yanada qulayroq bo'lishi mumkin, men buni o'zim hal qilishga odatlanganim kabi tushuntirdim). Mustaqil yechim uchun yana bir tipik misol:

10-misol

Noaniq integralni toping.

Ushbu misolni ikki yo'l bilan hal qilish mumkin va siz muvaffaqiyat qozonishingiz mumkin ikkita butunlay boshqacha javoblar(aniqrog'i, ular butunlay boshqacha ko'rinadi, lekin matematik nuqtai nazardan ular ekvivalent bo'ladi). Ehtimol, siz eng oqilona usulni ko'rmaysiz va qavslarni ochish va boshqa trigonometrik formulalardan foydalanish bilan azoblanasiz. Eng samarali yechim dars oxirida beriladi.

Paragrafni umumlashtirish uchun biz xulosa qilamiz: shaklning har qanday integrali , qaerda va - hatto sonlar, integrasiya darajasini kamaytirish usuli bilan yechiladi.
Amalda men 8 va 10 darajali integrallarga duch keldim va ularning dahshatli tartibsizliklarini darajani bir necha marta pasaytirish orqali hal qilishim kerak edi, natijada uzoq va uzoq javoblar paydo bo'ldi.

O'zgaruvchilarni almashtirish usuli

Maqolada aytib o'tilganidek Noaniq integralda o'zgaruvchilarni o'zgartirish usuli, almashtirish usulini qo'llashning asosiy sharti - bu integralda ma'lum bir funktsiya va uning hosilasi mavjudligi:
(funktsiyalar mahsulotda bo'lishi shart emas)

11-misol

Noaniq integralni toping.

Biz hosilalar jadvaliga qaraymiz va formulalarga e'tibor beramiz, , ya'ni integramizda funktsiya va uning hosilasi mavjud. Biroq, biz differensiallanish jarayonida kosinus va sinus o'zaro bir-biriga aylanishini ko'ramiz va savol tug'iladi: o'zgaruvchining o'zgarishi qanday amalga oshiriladi va sinus yoki kosinus deganda nimani tushunamiz?! Savolni ilmiy poking orqali hal qilish mumkin: agar biz almashtirishni noto'g'ri bajarsak, unda hech qanday yaxshi narsa bo'lmaydi.

Umumiy ko'rsatma: shunga o'xshash holatlarda siz maxrajdagi funktsiyani belgilashingiz kerak.

Biz yechimni to'xtatamiz va almashtirishni amalga oshiramiz

Maxrajda hamma narsa yaxshi, hamma narsa faqat ga bog'liq, endi u nimaga aylanishini bilish qoladi.
Buning uchun biz differentsialni topamiz:

Yoki qisqasi:
Olingan tenglikdan mutanosiblik qoidasidan foydalanib, bizga kerak bo'lgan ifodani ifodalaymiz:

Shunday qilib:

Endi bizning butun integramiz faqat unga bog'liq va biz hal qilishda davom etishimiz mumkin

Tayyor. Sizga shuni eslatib o'tamanki, almashtirishning maqsadi bu holda integratsiyani soddalashtirishdir, hamma narsa integratsiyaga tushdi; quvvat funktsiyasi jadvalga muvofiq.

Bu misolni bunchalik batafsil bayon qilganim bejiz emas, bu dars materiallarini takrorlash va mustahkamlash maqsadida qilingan; Noaniq integralda o'zgaruvchilarni o'zgartirish usuli.

Va endi o'zingizning yechimingiz uchun ikkita misol:

12-misol

Noaniq integralni toping.

13-misol

Noaniq integralni toping.

Dars oxirida to'liq echimlar va javoblar.

14-misol

Noaniq integralni toping.

Bu yerda yana integrandda sinus va kosinus (hosilasi bilan funksiya) bor, lekin hosilada va dilemma yuzaga keladi - sinus yoki kosinus deganda nimani tushunamiz?

Ilmiy poking yordamida almashtirishni amalga oshirishga harakat qilishingiz mumkin va agar hech narsa ishlamasa, uni boshqa funktsiya sifatida belgilang, ammo mavjud:

Umumiy ko'rsatma: siz majoziy ma'noda "noqulay holatda" bo'lgan funktsiyani belgilashingiz kerak..

Bu misolda talaba kosinusi darajadan “azob chekayotganini”, sinus esa oʻz-oʻzidan erkin oʻtirganini koʻramiz.

Shuning uchun, keling, almashtiramiz:

Agar kimdir o'zgaruvchini almashtirish va differentsialni topish algoritmida hali ham qiyinchiliklarga duch kelsa, siz darsga qaytishingiz kerak. Noaniq integralda o'zgaruvchilarni o'zgartirish usuli.

15-misol

Noaniq integralni toping.

Keling, integrandni tahlil qilaylik, nima bilan belgilanishi kerak?
Keling, ko'rsatmalarimizni eslaylik:
1) Funksiya katta ehtimol bilan maxrajda;
2) Funktsiya "noqulay holatda".

Aytgancha, bu ko'rsatmalar nafaqat trigonometrik funktsiyalar uchun amal qiladi.

Sinus ikkala mezonga ham mos keladi (ayniqsa, ikkinchisi), shuning uchun almashtirish o'zini o'zi taklif qiladi. Aslida, almashtirish allaqachon amalga oshirilishi mumkin, lekin avval nima qilish kerakligini aniqlab olish yaxshi bo'larmidi? Birinchidan, biz bir kosinusni "chimlab" olamiz:

Biz "kelajak" differensialligimiz uchun zaxiramiz

Va biz uni sinus orqali asosiy trigonometrik identifikatsiyadan foydalanib ifodalaymiz:

Endi almashtirish:

Umumiy qoida: Agar integralda trigonometrik funksiyalardan biri (sinus yoki kosinus) bo'lsa g'alati daraja bo'lsa, unda siz bir funktsiyani g'alati darajadan "tishlab" olishingiz va uning orqasida boshqa funktsiyani belgilashingiz kerak. Biz faqat kosinuslar va sinuslar mavjud bo'lgan integrallar haqida gapiramiz.

Ko'rib chiqilgan misolda bizda g'alati quvvatda kosinus bor edi, shuning uchun biz kuchdan bitta kosinusni ajratib oldik va uni sinus deb belgiladik.

16-misol

Noaniq integralni toping.

Darajalar ko'tarilmoqda =).
Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. To'liq yechim va javob dars oxirida.

Universal trigonometrik almashtirish

Umumjahon trigonometrik almashtirish o'zgaruvchan almashtirish usulining keng tarqalgan holatidir. Siz "nima qilishni bilmasangiz" undan foydalanishga harakat qilishingiz mumkin. Lekin, aslida, uni qo'llash uchun ba'zi ko'rsatmalar mavjud. Umumjahon trigonometrik almashtirish qo'llanilishi kerak bo'lgan tipik integrallar quyidagi integrallardir: , , , va hokazo.

17-misol

Noaniq integralni toping.

Bu holda universal trigonometrik almashtirish quyidagi tarzda amalga oshiriladi. Keling, almashtiramiz: . Men maktubni ishlatmayman, lekin xat, bu qandaydir qoida emas, bu shunchaki, men narsalarni shu tarzda hal qilishga odatlanganman.

Bu erda tenglikdan farqni topish qulayroqdir:
Men ikkala qismga ham arktangent biriktiraman:

Arktangens va tangens bir-birini bekor qiladi:

Shunday qilib:

Amalda, siz buni batafsil tasvirlab berishingiz shart emas, shunchaki tayyor natijadan foydalaning:

! Ifoda faqat sinuslar va kosinuslar ostida integral uchun "X" bo'lsagina amal qiladi. (bu haqda keyinroq gaplashamiz) hammasi biroz boshqacha bo'ladi!

Almashtirishda sinuslar va kosinuslar quyidagi kasrlarga aylanadi:
, , bu tengliklar mashhur trigonometrik formulalarga asoslanadi: ,

Shunday qilib, yakuniy dizayn quyidagicha ko'rinishi mumkin:

Keling, universal trigonometrik almashtirishni amalga oshiramiz:

Antiderivativlar jadvali ("integrallar"). Integrallar jadvali. Jadvalli noaniq integrallar. (Parametrli eng oddiy integrallar va integrallar). Qismlar bo'yicha integratsiya uchun formulalar. Nyuton-Leybnits formulasi.

Antiderivativlar jadvali ("integrallar").
Jadvalli noaniq integrallar.	Jadvalli noaniq integrallar.
(Parametrli eng oddiy integrallar va integrallar).
	Quvvat funksiyasining integrali.
Agar x ni differensial belgisi ostida olib borilsa, daraja funksiyasining integraliga keltiruvchi integral.	Ko'rsatkichning integrali, bu erda a doimiy son.
Kompleks ko'rsatkichli funktsiyaning integrali.	Ko'rsatkichli funktsiyaning integrali.
	Ko'rsatkichli funktsiyaning integrali.
Natural logarifmaga teng integral.	Integral: "Uzoq logarifm".
Natural logarifmaga teng integral.
Integral: "Yuqori logarifm".	Numeratordagi x differensial ishora ostida joylashgan (belgi ostidagi doimiy qo'shilishi yoki ayirilishi mumkin) integral oxir-oqibat natural logarifmaga teng integralga o'xshaydi.
Kosinus integrali.	Sinus integrali.
Tangensga teng integral.
Kotangentga teng integral.	Arksinus va arkkosinga teng integral
Arksinus va arkkosinga teng integral.	Arktangensga ham, arkkotangensga ham teng integral.
Kosekantga teng integral.	Integral sekantga teng.
Kosekantga teng integral.	Kosekantga teng integral.
Arksekantga teng integral.	Integral arkkosensiyaga teng.
Giperbolik sinusga teng integral.	Integral giperbolik kosinusga teng.
Integral giperbolik sinusga teng, bu erda sinhx inglizcha versiyada giperbolik sinusdir.	Integral giperbolik kosinusga teng, bu erda sinhx inglizcha versiyada giperbolik sinusdir.
Giperbolik tangensga teng integral.	Giperbolik kotangentga teng integral.

Giperbolik sekantga teng integral.

Qismlar bo'yicha integratsiya uchun formulalar. Nyuton-Leybnits formulasi integratsiya qoidalari.
Mahsulotni (funktsiyani) doimiy qiymat bilan integrallash:
Funktsiyalar yig'indisini integrallash:
noaniq integrallar:
Qismlar bo'yicha integratsiya uchun formula Aniq integrallar:
Nyuton-Leybnits formulasi Aniq integrallar:	Bu erda F (a), F (b) mos ravishda b va a nuqtalaridagi antiderivativlarning qiymatlari.

Hosilalar jadvali. Jadvalli hosilalar. Mahsulotning hosilasi. Bo'limning hosilasi. Murakkab funktsiyaning hosilasi.

Agar x mustaqil o'zgaruvchi bo'lsa, u holda:

Hosilalar jadvali. Jadvalli lotinlar."jadval hosilasi" - ha, afsuski, ular Internetda aynan shunday qidiriladi.
	Quvvat funksiyasining hosilasi
	Ko'rsatkichning hosilasi
Kompleks ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi	Ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi
Logarifmik funktsiyaning hosilasi	Natural logarifmning hosilasi
	Funksiyaning natural logarifmining hosilasi
Sinus hosilasi	Kosinus hosilasi
Kosekantning hosilasi	Sekantning hosilasi
Arksinus hosilasi	Yoy kosinusining hosilasi
Arksinus hosilasi	Yoy kosinusining hosilasi
Tangent hosilasi	Kotangens hosilasi
Arktangens hosilasi	Yoy kotangensining hosilasi
Arktangens hosilasi	Yoy kotangensining hosilasi
Arksekantning hosilasi	Arkokosantning hosilasi
Arksekantning hosilasi	Arkokosantning hosilasi
Giperbolik sinusning hosilasi Ingliz tilidagi versiyada giperbolik sinusning hosilasi	Giperbolik kosinusning hosilasi Ingliz tilidagi giperbolik kosinusning hosilasi
Giperbolik tangens hosilasi	Giperbolik kotangentning hosilasi
Giperbolik sekantning hosilasi	Giperbolik kosekantning hosilasi

Farqlash qoidalari. Mahsulotning hosilasi. Bo'limning hosilasi.
Murakkab funktsiyaning hosilasi.
Mahsulotning (funktsiyaning) doimiy bo'lgan hosilasi:
Yig'indining hosilasi (funksiyalari):
Mahsulotning hosilasi (funktsiyalari):
Bo'limning hosilasi (funktsiyalar):

Murakkab funktsiyaning hosilasi:

Logarifmlarning xossalari. Logarifmlar uchun asosiy formulalar. O'nlik (lg) va natural logarifmlar (ln).
Asosiy logarifmik identifikatsiya
a b ko'rinishdagi har qanday funktsiyani qanday qilib ko'rsatkichli qilish mumkinligini ko'rsatamiz. e x ko'rinishdagi funktsiya ko'rsatkichli deb ataladiganligi sababli

a b ko'rinishdagi har qanday funktsiya o'nning darajasi sifatida ifodalanishi mumkin

Natural logarifm ln (e ga logarifm = 2,718281828459045...) ln(e)=1; ln(1)=0

Teylor seriyasi. Funksiyaning Teylor qator kengayishi. Ma'lum bo'lishicha, ko'pchilik Matematik funktsiyalar ma'lum bir nuqtaga yaqin joyda o'zgaruvchining kuchlarini o'sish tartibida o'z ichiga olgan darajalar qatori shaklida har qanday aniqlik bilan ifodalanishi mumkin. Masalan, x=1 nuqtaga yaqin joyda:

Seriyadan foydalanganda chaqiriladi Teylor qatorlari algebraik, trigonometrik va eksponensial funktsiyalarni o'z ichiga olgan aralash funktsiyalarni sof algebraik funktsiyalar sifatida ifodalash mumkin. Seriyalardan foydalanib, tez-tez farqlash va integratsiyani tezda amalga oshirishingiz mumkin.

A nuqtaga yaqin joylashgan Teylor qatori quyidagi shaklga ega:

1) , bu yerda f(x) funksiya x = a da barcha tartibli hosilalarga ega. R n - Teylor qatoridagi qolgan had ifoda bilan aniqlanadi

2)

Seriyaning k-koeffitsienti (x k da) formula bilan aniqlanadi

3) Teylor seriyasining alohida holati Maklaurin (=McLaren) seriyasidir (kengayish a=0 nuqta atrofida sodir bo'ladi)

a=0 da

qator a'zolari formula bilan aniqlanadi

Teylor seriyasidan foydalanish shartlari.

1. f(x) funksiya (-R;R) oraliqda Teylor qatoriga kengaytirilishi uchun buning uchun Teylor (Maklaurin (=McLaren)) formulasidagi qolgan had zarur va yetarli. funktsiya belgilangan intervalda (-R;R) k →∞ sifatida nolga intiladi.

2. Biz Teylor qatorini qurmoqchi bo'lgan yaqin nuqtada berilgan funksiya uchun hosilalar bo'lishi kerak.

Teylor seriyasining xossalari.

Agar f analitik funktsiya bo'lsa, u holda f ning aniqlanish sohasining istalgan a nuqtasida uning Teylor qatori a ning qaysidir qo'shnisida f ga yaqinlashadi.

Cheksiz differensiallanuvchi funksiyalar mavjudki, ularning Teylor qatorlari yaqinlashadi, lekin shu bilan birga a ning istalgan mahallasidagi funksiyadan farq qiladi. Masalan:

Teylor qatorlari funktsiyani polinomlar orqali yaqinlashtirishda (yaqinlashma ba'zi ob'ektlarni u yoki bu ma'noda asl ob'ektlarni boshqalar bilan almashtirishdan iborat bo'lgan ilmiy usul bo'lib, lekin soddaroq) qo'llaniladi. Xususan, linearizatsiya ((linearisdan - chiziqli), yopiq chiziqli bo'lmagan tizimlarni taxminiy ko'rsatish usullaridan biri bo'lib, unda chiziqli bo'lmagan tizimni o'rganish chiziqli tizimni tahlil qilish bilan almashtiriladi, qaysidir ma'noda asl tizimga teng. .) tenglamalar Teylor qatoriga kengayib, birinchi tartibdagi barcha hadlarni kesib tashlash orqali yuzaga keladi.

Shunday qilib, deyarli har qanday funktsiya berilgan aniqlik bilan ko'phad sifatida ifodalanishi mumkin.

Maklaurin seriyalarida (=McLaren, Teylor 0 nuqta yaqinida) va 1 nuqta yaqinidagi Teylorda quvvat funksiyalarining ba'zi umumiy kengayishlariga misollar. Teylor va Maklaren qatorlarida asosiy funktsiyalarni kengaytirishning birinchi shartlari.

Maklaurin seriyasidagi quvvat funktsiyalarining ba'zi keng tarqalgan kengayishlariga misollar (=McLaren, Teylor 0 nuqtasi yaqinida)

1-bandga yaqin joyda ba'zi keng tarqalgan Teylor qator kengayishlariga misollar

R(sin x, cos x) ko`rinishdagi ratsional funksiyalarni integrallash uchun universal trigonometrik almashtirish deb ataladigan almashtirish qo`llaniladi. Keyin. Universal trigonometrik almashtirish ko'pincha katta hisob-kitoblarga olib keladi. Shuning uchun, iloji bo'lsa, quyidagi almashtirishlardan foydalaning.

Trigonometrik funktsiyalarga ratsional bog'liq bo'lgan funktsiyalarni integrallash

1. ∫ sin n xdx , ∫ cos n xdx ko‘rinishdagi integrallar. n>0
a) Agar n toq bo'lsa, differensial belgisi ostida sinx (yoki cosx) ning bir darajasi kiritilib, qolgan juftlikdan qarama-qarshi funktsiyaga o'tkazilishi kerak.
b) Agar n juft bo'lsa, darajani kamaytirish uchun formulalardan foydalanamiz
2. ∫ tg n xdx , ∫ ctg n xdx ko'rinishdagi integrallar, bunda n butun son.
Formulalardan foydalanish kerak

3. ∫ sin n x cos m x dx ko‘rinishdagi integrallar
a) m va n turli paritetlarga ega bo‘lsin. Agar n toq bo'lsa, t=sin x, m toq bo'lsa, t=cos x almashtirishdan foydalanamiz.
b) m va n juft bo'lsa, darajani kamaytirish uchun formulalardan foydalanamiz
2sin 2 x=1-cos2x , 2cos 2 x=1+cos2x .
4. Shaklning integrallari
Agar m va n sonlar bir xil paritetga ega bo‘lsa, u holda t=tg x almashtirishdan foydalanamiz. Ko'pincha trigonometrik birlik texnikasidan foydalanish qulay.
5. ∫ sin(nx) cos(mx)dx , ∫ cos(mx) cos(nx)dx , ∫ sin(mx) sin(nx)dx

Trigonometrik funktsiyalarning ko'paytmasini ularning yig'indisiga aylantirish uchun formulalardan foydalanamiz:

• sin a cos b = ½(sin(a+b)+sin(a-b))
• cos a cos b = ½(cos(a+b)+cos(a-b))
• sin a sin b = ½(cos(a-b)-cos(a+b))

Misollar
1. ∫ cos 4 x·sin 3 xdx integralini hisoblang.
Cos(x)=t almashtirishni qilamiz. U holda ∫ cos 4 x sin 3 xdx =
2. Integralni hisoblang.
Sin x=t ni almashtirsak, olamiz

3. Integralni toping.
tg(x)=t almashtirishni qilamiz. O'rnini bosamiz, biz olamiz

R(sinx, cosx) shaklidagi integral ifodalar

Misol № 1. Integrallarni hisoblang:

Yechim.
a) R(sinx, cosx) ko’rinishdagi ifodalarni integrallash, bunda R sin x va cos x ning ratsional funksiyasi tg(x/2) = t universal trigonometrik almashtirish yordamida ratsional funksiyalarning integrallariga aylantiriladi.
Keyin bizda bor

Umumjahon trigonometrik almashtirish ∫ R(sinx, cosx) dx ko'rinishdagi integraldan kasr ratsional funktsiyaning integraliga o'tish imkonini beradi, lekin ko'pincha bunday almashtirish noqulay ifodalarga olib keladi. Muayyan sharoitlarda oddiyroq almashtirishlar samarali bo'ladi:

• Agar R(-sin x, cos x) = -R(sin x, cos x)dx tengligi bajarilsa, u holda cos x = t almashtirish qo‘llaniladi.
• Agar R(sin x, -cos x) = -R(sin x, cos x)dx tenglik bajarilsa, sin x = t almashtirish.
• Agar R(-sin x, -cos x) = R(sin x, cos x)dx tengligi bajarilsa, u holda almashtirish tgx = t yoki ctg x = t bo'ladi.

Bunday holda, integralni topish uchun
tg(x/2) = t universal trigonometrik almashtirishni qo'llaymiz.
Keyin Javob:

Integrallarning qismlar bo'yicha yechimlari misollari batafsil ko'rib chiqiladi, ularning integrali ko'rsatkichli ko'rsatkichga (e ga x darajaga) yoki sinusga (sin x) yoki kosinusga (cos x) ko'paytiriladi.

Tarkib

Shuningdek qarang: Qismlar bo'yicha integratsiya usuli
Noaniq integrallar jadvali
Noaniq integrallarni hisoblash usullari
Asosiy elementar funksiyalar va ularning xossalari

Qismlar bo'yicha integratsiya formulasi

Ushbu bo'limdagi misollarni echishda qismlar bo'yicha integratsiya formulasi qo'llaniladi:
;
.

Ko'phad va sin x, cos x yoki e x ko'paytmasini o'z ichiga olgan integrallarga misollar

Mana shunday integrallarga misollar:
, , .

Bunday integrallarni integrallash uchun ko‘phad u bilan, qolgan qismi esa v dx bilan belgilanadi.

Keyinchalik, qismlar bo'yicha integratsiya formulasini qo'llang.

Quyida ushbu misollarning batafsil yechimi keltirilgan.

Integrallarni yechishga misollar

X ning kuchiga e ko'rsatkichli misol
.

Integralni aniqlang:
Differensial belgisi ostida ko'rsatkichni kiritamiz:.

e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x)

Keling, qismlar bo'yicha birlashaylik.
.
Bu yerga
.
.
.
Qolgan integralni qismlar bo'yicha ham birlashtiramiz.
.

Nihoyat bizda:

Sinus bilan integralni aniqlashga misol
.

Integralni hisoblang:

e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x)

Differensial belgisi ostida sinusni kiritamiz: bu yerda u = x 2, v = cos(2 x+3) ( , du = )′ x 2

dx


Qolgan integralni qismlar bo'yicha ham birlashtiramiz. Buning uchun differensial belgisi ostida kosinus kiritiladi. bu yerda u = x, v = gunoh (2 x+3)

Qolgan integralni qismlar bo'yicha ham birlashtiramiz.

, du = dx

Sinus bilan integralni aniqlashga misol
.

Ko'phad va kosinus ko'paytmasiga misol

e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x)

Differensial belgisi ostida kosinusni kiritamiz: bu erda u = x 2 + 3 x + 5 , v = cos(2 x+3) ( gunoh 2 x )′ x 2