Raqamli axborotni sanoq sistemalari yordamida ifodalash
Raqamlar ob'ektlar soni haqidagi ma'lumotlarni yozish uchun ishlatiladi. Raqamlar sanoq sistemalari deb ataladigan maxsus belgilar tizimlari yordamida yoziladi. Sanoq sistemalarining alifbosi raqamlar deb ataladigan belgilardan iborat. Masalan, o'nlik sanoq tizimida raqamlar o'nta taniqli raqam yordamida yoziladi: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Belgilash raqamlar deb ataladigan ma'lum bir alifboning belgilaridan foydalangan holda ma'lum qoidalarga muvofiq raqamlar yoziladigan belgilar tizimi.
Barcha sanoq tizimlari ikkita katta guruhga bo'lingan: pozitsion Va pozitsiyali bo'lmagan sanoq tizimlari. Pozitsion sanoq sistemalarida raqamning qiymati uning sondagi o’rniga bog’liq bo’lsa, nopozitsion sanoq sistemalarida bu bog’liq emas.
Rim nopozitsion sanoq sistemasi. Nopozitsion sanoq sistemalarining eng keng tarqalgani rim tizimidir. Unda ishlatiladigan raqamlar: I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500), M (1000).
Raqamning ma'nosi uning raqamdagi o'rniga bog'liq emas. Misol uchun, XXX (30) raqamida X soni uch marta paydo bo'ladi va har bir holatda bir xil qiymatni bildiradi - 10 raqami, 10 dan uchta raqam 30 ga to'g'ri keladi.
Rim raqamlar tizimidagi raqamning o'lchami sondagi raqamlarning yig'indisi yoki farqi sifatida aniqlanadi. Agar kichikroq raqam kattasining chap tomonida bo'lsa, u ayiriladi, agar o'ngda bo'lsa, qo'shiladi. Masalan, rim raqamlar tizimida 1998 o'nlik sonini yozish quyidagicha bo'ladi:
MCMXCVIII = 1000 + (1000 - 100) + (100 -10)+ 5 + 1 + 1 + 1.
Pozitsion sanoq sistemalari. Birinchi pozitsion sanoq sistemasi Qadimgi Bobilda ixtiro qilingan bo'lib, Bobildagi raqamlash seksagekichik, ya'ni oltmishta raqamdan foydalanilgan! Qizig'i shundaki, biz vaqtni o'lchashda hali ham 60 bazasidan foydalanamiz (1 daqiqada 60 soniya va 1 soatda 60 daqiqa bor).
19-asrda oʻn ikkilik sanoq sistemasi ancha keng tarqaldi. Hozirgacha biz ko'pincha o'nlab (12-raqam) ishlatamiz: kuniga ikki o'nlab soat bor, doira o'ttiz o'nlab darajani o'z ichiga oladi va hokazo.
Raqamning miqdoriy qiymati uning raqamdagi o'rniga bog'liq.
Hozirgi kunda eng keng tarqalgan pozitsion sanoq tizimlari oʻnlik, ikkilik, sakkizlik va oʻn oltilik sanoq sistemalaridir. Har bir pozitsion tizim o'ziga xos xususiyatga ega raqamlar alifbosi Va asos.
IN pozitsion sanoq sistemalari tizimning asosi raqamlar soniga (uning alifbosidagi belgilar) teng bo'lib, raqamning qo'shni pozitsiyalaridagi bir xil raqamlarning qiymatlari necha marta farq qilishini aniqlaydi.
O'nlik sanoq sistemasi raqamlar alifbosiga ega bo'lib, u o'nta taniqli, arab deb ataladigan raqamlardan va asosi 10 dan, ikkilik - ikki raqamdan va 2 ta bazadan, sakkiztalik - sakkizta raqamdan va 8 ta bazadan, o'n oltilik - o'n oltidan iborat. raqamlar (raqamlar sifatida lotin alifbosining ikkala harfi ham, 16 ta asosi ham ishlatiladi (1.2-jadval).
O'nlik sanoq tizimi. Misol sifatida 555 o'nlik sonini olaylik, 5 raqami uch marta paydo bo'ladi, eng o'ngdagi 5 beshtani, o'ngdan ikkinchisi besh o'nlikni va nihoyat o'ngdan uchinchisi besh yuzlikni ifodalaydi.
Raqamning raqamdagi o'rni deyiladi tushirish. Raqamning raqami o'ngdan chapga, pastdan yuqori raqamlarga ortadi. O'nli kasr tizimida eng o'ng holatda joylashgan raqam (raqam) birliklar sonini ko'rsatadi, raqam bir pozitsiyani chapga - o'nlab, hatto chapga - yuzlab, keyin minglab va hokazo. Shunga ko'ra, bizda birliklar soni, o'nlik raqamlari va boshqalar mavjud.
555 raqami tanish shaklda yozilgan o'ralgan shakl. Biz yozuvning bu shakliga shunchalik o'rganib qolganmizki, biz endi raqamning raqamlarini 10 raqamining turli darajalariga qanday qilib aqliy ravishda ko'paytirishimizni sezmaymiz.
IN kengaytirilgan son shakli, bunday ko'paytirish aniq yoziladi. Shunday qilib, kengaytirilgan shaklda 555 raqamini o'nlik tizimda yozish quyidagicha bo'ladi:
555 10 = 5 × 10 2 + 5 × 10 1 + 5 × 10 0.
Misoldan ko'rinib turibdiki, pozitsion sanoq sistemasidagi son bir qator darajalar yig'indisi sifatida yoziladi. asoslar(bu holda 10), koeffitsientlari bu raqamning raqamlari.
O'nli kasrlarni yozish uchun manfiy ko'rsatkichlar qo'llaniladi. Masalan, kengaytirilgan shaklda 555,55 raqami quyidagicha yoziladi:
555,55 10 = 5 × 10 2 + 5 × 10 1 + 5 × 10 0 + 5 × 10 -1 + 5 × 10 -2.
Umuman olganda, o'nlik sanoq sistemasida n ta butun raqam va m kasr raqamdan iborat A 10 raqamini yozish quyidagicha ko'rinadi:
A 10 = a n-1 × 10 n-1 + ... + a 0 × 10 0 + a -1 × 10 -1 + ... + a -m × 10 -m
Ushbu belgidagi a i koeffitsientlari o'nlik sonning raqamlari bo'lib, ular siqilgan holda quyidagicha yoziladi:
A 10 = a n-1 a n-2 ... a 0, a -1 ... a -m.
Yuqoridagi formulalardan ko'rinib turibdiki, o'nlik sonni 10 ga (asos qiymati) ko'paytirish yoki bo'lish kasrning butun qismini kasr qismidan mos ravishda bir o'ringa o'ngga yoki chapga ajratuvchi kasrning harakatiga olib keladi. . Masalan:
555,55 10 × 10 = 5555,5 10;
555,55 10: 10 = 55,555 10 .
Ikkilik sanoq sistemasi. Ikkilik sanoq sistemasida asos 2, alifbo esa ikkita raqamdan (0 va 1) iborat. Binobarin, kengaytirilgan shakldagi ikkilik tizimdagi raqamlar 0 yoki 1 raqamlari bo'lgan koeffitsientli 2-bazaning darajalari yig'indisi sifatida yoziladi.
Masalan, kengaytirilgan ikkilik raqam quyidagicha ko'rinishi mumkin:
A 2 = 1 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 + 0 × 2 -1 + 1 × 2 -2.
Xuddi shu raqamning yiqilgan shakli:
A 2 = 101,01 2.
Umuman olganda, ikkilik tizimda n ta butun raqam va m kasr raqamni o'z ichiga olgan A 2 raqamini yozish quyidagicha ko'rinadi:
A 2 = a n-1 × 2 n-1 + a n-2 × 2 n-2 + ... + a 0 × 2 0 + a -1 × 2 -1 + ... + a -m × 2 -m
Ushbu belgidagi a i koeffitsientlari ikkilik sonning raqamlari (0 yoki 1) bo'lib, ular siqilgan holda quyidagicha yoziladi:
A 2 = a n-1 a n-2 ... a 0 , a -1 a -2 ... a -m
Yuqoridagi formulalardan ko'rinib turibdiki, ikkilik sonni 2 ga (asosiy qiymat) ko'paytirish yoki bo'lish butun son qismini kasr qismidan mos ravishda o'ngga yoki chapga bir raqamga ajratuvchi vergulning harakatiga olib keladi. Masalan:
101,01 2 × 2 = 1010,1 2;
101,01 2: 2 = 10,101 2 .
Ixtiyoriy asosli pozitsion sanoq sistemalari. Bazisi 2 ga teng yoki undan katta boʻlgan turli xil pozitsion sanoq sistemalaridan foydalanish mumkin. Bazasi q boʻlgan sanoq sistemalarida (q-ary sanoq sistemasi) kengaytirilgan shakldagi sonlar darajalar yigʻindisi sifatida yoziladi. 0, 1, q - 1 raqamlari bo'lgan koeffitsientli q asosi:
A q = a n-1 × q n-1 + a n-2 × q n-2 + ... + a 0 × q 0 + a -1 × q -1 + ... + a -m × q -m
Bu yozuvdagi a i koeffitsientlari q-ary sanoq sistemasida yozilgan sonning raqamlaridir.
Shunday qilib, sakkizlik tizimda asos sakkizga teng (q = 8). Keyin kengaytirilgan shaklda yig'ilgan shaklda yozilgan sakkizlik A 8 = 673,2 8 soni quyidagicha ko'rinadi:
A 8 = 6 × 8 2 + 7 × 8 1 + 3 × 8 0 + 2 × 8 -1.
O'n oltilik tizimda asos o'n olti (q = 16), keyin yig'ilgan shaklda yozilgan A 16 = 8A, F 16 o'n oltilik soni quyidagicha ko'rinadi:
A 16 = 8 × 16 1 + A × 16 0 + F × 16 -1.
Agar biz o'n oltilik raqamlarni o'nlik qiymatlari orqali ifodalasak (A=10, F=15), unda raqam quyidagi shaklni oladi:
A 16 = 8 × 16 1 + 10 × 16 0 + 15 × 16 -1.
Ko'rib chiqiladigan savollar
1. Pozitsion sanoq sistemalari nopozitsion sistemalardan nimasi bilan farq qiladi?
2. Harf belgisidan raqam sifatida foydalanish mumkinmi?
3. Q-ary sanoq sistemasida nechta raqam ishlatiladi?
Kvestlar
1.6. 19.99 10 raqamlarini yozing; 10.10 2; 64,5 8; 39,F 16 kengaytirilgan shaklda.
1.7. 10.1 10 sonlari necha marta ortadi? 10.1 2; 64,5 8; 39,F 16 kasr kasrni bir o‘ringa o‘ngga siljitishda?
1.8. O'nli kasr ikki o'ringa o'ngga ko'chirilganda 11,11 x soni 4 marta ortadi. x nimaga teng?
1.9. Sanoq sistemasi 23 va 67 raqamlarini o‘z ichiga olgan bo‘lsa, uning minimal bazasi qancha bo‘lishi mumkin?
1.10. 1999 10 sonini Rim sanoq tizimida yozing.
Qoidalar: (odatda) uchtadan ortiq bir xil raqamni ketma-ket qo'ymang, agar pastki raqam (faqat bitta!) yuqori raqamning chap tomonida bo'lsa, u yig'indidan ayiriladi (qisman pozitsiyali emas!) Misollar: MDCXLIV = – – = = M M C C C L X X X I X M CCCLXXXIX = 1644
3999) yangi raqamlarni kiritish kerak (V, X, L, C, D, M) kasr sonlarni qanday yozish kerak? arifmetik amallarni qanday bajarish kerak: CCCLIX + CLXXIV =? Qaerda foydalaniladi: kitoblardagi bob raqamlari: asrlar belgilanishi: “XX asr qaroqchilari” title=" Kamchiliklari: katta raqamlarni yozish uchun (>3999) yangi raqamlarni kiritish kerak (V, X, L, C, D, M ) kasr sonlari qanday yoziladi arifmetik amallar: CCCLIX + CLXXIV = qayerda ishlatiladi: kitoblardagi bob raqamlari: “XX asr qaroqchilari”" class="link_thumb"> 9 !} Kamchiliklari: katta sonlarni yozish uchun (>3999) yangi raqamlarni kiritish kerak (V, X, L, C, D, M) kasr sonlarni qanday yozish kerak? arifmetik amallarni qanday bajarish kerak: CCCLIX + CLXXIV =? Qaerda foydalaniladi: kitoblardagi bo'lim raqamlari: asrlar belgisi: "XX asr qaroqchilari" soat diapazoni 3999) yangi raqamlarni kiritish kerak (V, X, L, C, D, M) kasr sonlarni qanday yozish kerak? arifmetik amallarni qanday bajarish kerak: CCCLIX + CLXXIV =? Qaerda ishlatiladi: kitoblardagi bob raqamlari: asrlar belgisi: “Pirates XX"> 3999) yangi raqamlarni kiritish kerak (V, X, L, C, D, M) kasr sonlarni qanday yozish kerak? qanday bajarish kerak arifmetik amallar: CCCLIX + CLXXIV = qayerda ishlatiladi: kitoblardagi bo'lim raqamlari: asrlar belgisi: “XX asr qaroqchilari” soat diapazoni”> 3999) yangi raqamlarni kiritish kerak (V, X, L, C, D) , M) kasr sonlar qanday yoziladi? arifmetik amallarni qanday bajarish kerak: CCCLIX + CLXXIV =? Qaerda foydalaniladi: kitoblardagi bob raqamlari: asrlar belgilanishi: “XX asr qaroqchilari” title=" Kamchiliklari: katta raqamlarni yozish uchun (>3999) yangi raqamlarni kiritish kerak (V, X, L, C, D, M ) kasr sonlari qanday yoziladi arifmetik amallar: CCCLIX + CLXXIV = qayerda ishlatiladi: kitoblardagi bob raqamlari: “XX asr qaroqchilari”"> title="Kamchiliklari: katta sonlarni yozish uchun (>3999) yangi raqamlarni kiritish kerak (V, X, L, C, D, M) kasr sonlarni qanday yozish kerak? arifmetik amallarni qanday bajarish kerak: CCCLIX + CLXXIV =? Qaerda foydalanilgan: kitoblardagi bob raqamlari: asrlar belgisi: “Qaroqchilar XX"> !}
Pozitsion sanoq sistemasida raqamning miqdoriy qiymati uning sondagi o‘rniga bog‘liq. Raqamning o'rni raqam deb ataladi. Raqamning raqami o'ngdan chapga ortadi. 555 sonida birinchi 5 ta yuzlik, ikkinchi 5 ta oʻnlik, uchinchi 5 ta birlik pozitsiyasida (555=) joylashgan.
A) = 5* * *10 0 b) = 1*2 2 +0*2 1 +1*2 0
Raqamlarni yozish uchun cheklangan miqdordagi belgilar; Arifmetik amallarni bajarish qulayligi. Pozitsion sanoq tizimining asosi (q) sonni yozish uchun ishlatiladigan belgilar sonidir. Topshiriq: har qanday sonni kvinar sanoq sistemasida, sakkizlik sanoq sistemasida, o‘n oltilik sanoq sistemasida yozish uchun qancha va qanday raqamlar kerak bo‘ladi.
1-variant. 1. Sonni ikkilik sanoq sistemasida yozish mumkinligi rostmi? 2. Alfavit sanoq sistemalari pozitsiyali emasligi to'g'rimi? 3. Kompyuterlar rim raqamlari tizimidan foydalanishlari rostmi? 4. Murakkab arifmetik hisoblar uchun Rim sanoq sistemasidan foydalanish qulayligi rostmi? 5. Ikkilik sanoq sistemasida 2 raqami borligi rostmi? 2-variant. 1. Sonni to‘rtlamchi sanoq sistemasida yozish mumkinligi to‘g‘rimi? 2. Arab raqamlari murakkab arifmetik hisoblar uchun qulay ekanligi rostmi? 3. Kompyuter xotirasi o‘nlik sanoq sistemasidan foydalanishi to‘g‘rimi? 4. Barcha sanoq sistemalari ikkita katta guruhga bo‘linganligi to‘g‘rimi? 5. O‘nlik sanoq sistemasi pozitsion ekanligi to‘g‘rimi?
VariantJavob raqamlari ha yo'q 2ha noes Test natijalarini tekshirish jadvali “5” - xatolik yo'q “4” - bitta xato “3” - ikkita xato “2” - uchta xato Baholash mezonlari:
Mayya taqvimi 2012-yil 21-dekabrda tugashini butun dunyo biladi. Lekin buning sababini hech kim bilmaydi. Keling, aslida taqvim emas, balki Buyuk tsikl deb ataladigan narsa tugaydiganidan boshlaylik. Yoki Mayya terminologiyasida 5126 yil davom etgan "Beshinchi Quyosh". Ushbu tsiklning oxirgi kuni 2012 yil 21 dekabr. Ammo bu dunyoning oxiri emas. 2012 yildan keyin keyingi tsikl boshlanadi. Olimlarning fikricha, "Beshinchi quyosh" miloddan avvalgi 3113 yil 13 avgustda boshlangan. Nega unda? Bu qanday voqea bilan bog'liq edi? Hech kim bilmaydi. Qadimgi mayyaliklar vaqtni hisoblash va uni davrlarga bo'lishning murakkab tizimini qayerdan olganligi ham noma'lum.
2-savol Sonli ma'lumotlarni sanoq sistemalari yordamida taqdim etish. Pozitsion sanoq sistemalari.
D
Raqamlar tizimi - bu raqamlar deb ataladigan ma'lum bir alifboning belgilaridan foydalangan holda ma'lum qoidalarga muvofiq raqamlar yoziladigan belgilar tizimi
Barcha sanoq sistemalari ikkita katta guruhga bo‘linadi: pozitsion va nopozitsion sanoq sistemalari. Pozitsion sanoq sistemalarida raqamning qiymati uning sondagi o’rniga bog’liq bo’lsa, nopozitsion sanoq sistemalarida bu bog’liq emas.
Eng keng tarqalgan nopozitsion sanoq sistemasi Rim tizimidir. Unda ishlatiladigan raqamlar: I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500), M (1000). Raqamning ma'nosi uning raqamdagi pozitsiyasiga bog'liq emas (XXX (30) - X raqami uch marta paydo bo'ladi va har bir holatda bir xil qiymatni bildiradi - 10). Rim raqamlar tizimidagi raqamning o'lchami sondagi raqamlarning yig'indisi yoki farqi sifatida aniqlanadi. Agar kichikroq raqam kattasining chap tomonida bo'lsa, u ayiriladi, agar o'ngda bo'lsa, qo'shiladi.
Pozitsion sanoq sistemalari.
P
Pozitsion sanoq sistemalarida raqamning miqdoriy qiymati uning sondagi o‘rniga bog‘liq.
N
Pozitsion sanoq tizimlarida tizimning asosi raqamlar soniga (uning alifbosidagi belgilar) teng bo'lib, sonning qo'shni pozitsiyalaridagi bir xil raqamlarning qiymatlari necha marta farq qilishini aniqlaydi.
|
Raqamlar tizimi |
Baza |
Raqamlar alifbosi |
|
O'nlik |
0,1,2.3,4,5,6,7,8,9 |
|
|
Ikkilik | ||
|
Sakkizlik | ||
|
O'n oltilik |
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A (10), B(11),C(12),D(13),E(14),F(15) |
Misol tariqasida o'nlik sonni ko'rib chiqing 555. Raqamning raqamdagi o'rni deyiladi - tushirish. Raqamning raqami o'ngdan chapga, pastdan yuqori raqamlarga ortadi. O'nli kasr tizimida eng o'ng holatda joylashgan raqam (raqam) birliklar sonini ko'rsatadi, raqam bir pozitsiyani chapga - o'nlab, hatto chapga - yuzlab, keyin minglab va hokazo. Shunga ko'ra, bizda birliklar soni, o'nlik raqamlari va boshqalar mavjud. 555 raqami bizga tanish yiqilgan shaklda yozilgan. Kengaytirilgan shaklda u shunday ko'rinadi.
Raqamning tasviridagi belgining o'rni u ifodalagan qiymatga bog'liq emas. Raqam belgisida raqam bilan belgilangan qiymat uning pozitsiyasiga bog'liq.
Qadimgi Misrning o'nli soni Miloddan avvalgi uchinchi ming yillikda qadimgi misrliklar o'zlarining raqamli tizimini ishlab chiqdilar, unda maxsus piktogrammalar - ierogliflar - 1, 100 va boshqalarni ko'rsatish uchun ishlatilgan. Qolgan barcha raqamlar bu kalit raqamlardan qo'shish amalidan foydalangan holda tuzilgan. Belgilash Qadimgi Misr o'nlik, lekin pozitsiyali emas va qo'shimcha.
1. Aksariyat odamlar singari misrliklar ham oz sonli narsalarni hisoblash uchun tayoqlardan foydalanganlar. Agar bir nechta tayoqlarni tasvirlash kerak bo'lsa, unda ular ikki qatorda tasvirlangan va pastki qatorda yuqoridagi yoki yana bir xil tayoqchalar bo'lishi kerak. 10. Misrliklar sigirlarni bunday kishanlar bilan bog'lashdi, agar siz bir necha o'nlab tasvirlash kerak bo'lsa, unda ieroglif kerakli miqdordagi takrorlangan. Xuddi shu narsa boshqa ierogliflarga ham tegishli. 100. Bu Nil toshqinidan keyin er uchastkalarini o'lchash uchun ishlatilgan o'lchov arqonidir. 1000. Siz hech qachon gullayotgan lotusni ko'rganmisiz? Agar yo'q bo'lsa, unda nega misrliklar bu gulning tasviriga bunday ahamiyat berishganini hech qachon tushunolmaysiz. 10 000 "Ko'p sonda ehtiyot bo'ling!" - deydi ko'tarilgan ko'rsatkich barmog'i. 100 ming. Oddiy qurbaqa qudug'i. 1000 bunday raqamni ko'rgan oddiy odam juda hayratda qoladi va qo'llarini osmonga ko'taradi. Bu ieroglif 10 000 ni ifodalaydi, Misrliklar Quyosh xudosi Amon Raga sig'inishgan va shuning uchun ham ular eng ko'p sonini tasvirlashgan. chiqayotgan quyosh
Raqamning raqamlari eng katta qiymatlardan boshlanib, kichikroqlari bilan yakunlangan. Agar o'nlik, birlik yoki boshqa raqam bo'lmasa, biz keyingi raqamga o'tdik. 9 dan ortiq bir xil ierogliflardan foydalana olmasligingizni bilib, ushbu ikkita raqamni qo'shishga harakat qiling va siz ushbu tizim bilan ishlash uchun sizga kerakligini darhol tushunasiz. maxsus shaxs. Oddiy odam buni qila olmaydi.
Nopozitsion sanoq sistemalarida raqamning raqam yozuvidagi o‘rni u ifodalagan qiymatga bog‘liq emas. Masalan, Rim tizimi. Rim tizimida lotin harflari raqamlar sifatida ishlatiladi: I 1 V 5 X 10 L 50 C 100 D 500 M 1000 Rim raqamlar tizimidagi raqam ketma-ket raqamlar to'plami bilan belgilanadi. Bunday son yozuvida raqamning ma'nosi uning son yozuvidagi o'rniga bog'liq emas.
Rim raqamlar tizimidagi raqam ketma-ket raqamlar to'plami bilan belgilanadi. Raqamning qiymati quyidagilarga teng: qatordagi bir nechta bir xil raqamlar qiymatlari yig'indisi (birinchi turdagi guruh); III=3. Ikki raqamning qiymatlari orasidagi farq, agar kattaroq raqamning chap tomonida kichikroq raqam bo'lsa (ikkinchi turdagi guruh). IV=4. ü Chap raqam o'ngdan ko'pi bilan bir darajaga kichik bo'lishi mumkin: ü L(50) va C(100) dan oldin faqat X (10) paydo bo'lishi mumkin; ü D(500) va M(1000) dan oldin – faqat C(100); ü V(5) dan oldin – faqat I(1). Birinchi va ikkinchi turdagi guruhlarga kiritilmagan guruhlar va raqamlar qiymatlarining yig'indisi. CLVI=156. Yaqin atrofda uchtadan ortiq bir xil raqamlar bo'lmasligi kerak. 32-son =XXXII = (X+X+X)+(I+I)= 30+2 Raqam 444 = CDXLIV=(D-C)+(L-X)+(V-I)= 400+40+4. Rim raqamlar tizimidagi 1974 raqami MCMLXXIV= M+(M-C)+L+(X+X)+(V-I)=1000+900+50+20+4 kabi ko'rinadi. MCMXCVIII = 1000+(1000 -100)+(100 -10)+5+1+1+1 = 1998
Rim raqamlarining kelib chiqishi haqida ishonchli ma'lumot yo'q. Rim raqamlashda besh karrali sanoq sistemasining izlari yaqqol ko'rinadi. Rimliklar tilida beshta tizimning izlari yo'q. Bu shuni anglatadiki, bu raqamlar rimliklar tomonidan boshqa xalqdan (ehtimol etrusklar) qarzga olingan. Bu raqamlash Italiyada 13-asrgacha va boshqa mamlakatlarda hukmronlik qilgan G'arbiy Yevropa- XVI asrgacha. Sankt-Peterburgda Pyotr I yodgorligi mavjud. Yodgorlikning granit poydevorida Rim raqami mavjud: MDCCLXXXII = 1000 + 500 + 100 + 50 + 3*10 + 2 = 1782. Bu yodgorlik ochilgan yil. Rim raqamlari juda uzoq vaqt davomida ishlatilgan. Bundan 200 yil oldin ham, ish qog'ozlarida raqamlar rim raqamlari bilan ko'rsatilishi kerak edi (oddiy arab raqamlarini qalbakilashtirish oson deb ishonilgan). Biz buni kundalik hayotda tez-tez uchratamiz. Bular kitoblardagi bob raqamlari, asr ko'rsatkichlari, soat siferblatidagi raqamlar va boshqalar.
Bobil jinsi-kichik tizimi Uning paydo bo'lishining boshlanishi miloddan avvalgi II ming yillik hisoblanadi. e. Bu tizimdagi raqamlar ikki xil belgilardan iborat edi: 60 raqami va 60 ning boshqa vakolatlari 1 bilan bir xil tarzda belgilandi. Raqamning qiymatini aniqlash uchun uning yozuvini o'ngdan chapga raqamlarga bo'lish kerak edi. Bir xil sonlar guruhlarining almashinishi raqamlarning almashinishiga mos keldi: 132= ? ?
Raqamning qiymati uni tashkil etuvchi raqamlarning qiymatlari bilan aniqlangan, ammo har bir keyingi raqamdagi raqamlar avvalgi raqamning bir xil raqamlaridan 60 baravar ko'p "tortishgan"ligini hisobga olgan holda. Ma'lum bo'lishicha, 1 dan 59 gacha bo'lgan raqamlarda raqamning ma'nosi uning soniga bog'liq emas, balki 60 dan katta yoki unga teng raqamlar uchun raqamning ma'nosi uning raqam yozuvidagi o'rniga bog'liq bo'lgan. Bu erda chalkashlik paydo bo'lishi mumkin: birlik belgisi 60 raqamining har qanday kuchi sifatida talqin qilinishi mumkin; raqam 92 (60+30+2) yoki 3632 (3600+30+2) bo'lishi mumkin; 444 (7*60+24) yoki 7*3600+24 ga teng boʻlishi mumkin. Bu 0 ning yo'qligi bilan bog'liq edi. Keyinchalik, bobilliklar etishmayotgan jinsi kichik raqamni ko'rsatadigan belgini kiritdilar. Ammo bu belgi odatda raqamning oxiriga qo'yilmagan, shuning uchun bizning tushunchamizda bu nol emas edi. Bu sanoq sistemasi birinchi pozitsion prinsipga asoslangan. Ular bu sanoq tizimining matematika va astronomiyadagi katta rolini qayd etadilar. Shunday qilib, biz hali ham bir soatni 60 daqiqaga va bir daqiqani 60 soniyaga, aylanani 360 qismga (gradus) ajratamiz.
Qadimgi Misrning oʻnlik nopozitsion sanoq sistemasi Bu sistemaning paydo boʻlishi miloddan avvalgi III ming yillikning ikkinchi yarmiga toʻgʻri keladi. e. Unda o'nning kuchlarini ko'rsatish uchun maxsus belgilar qo'llanilgan: 345 raqami quyidagicha yozilgan: . Raqamdagi har bir raqam 9 martadan ortiq takrorlanmasligi kerak. Rod va qadimgi Misr sanoq tizimlari qo'shish printsipiga asoslangan bo'lib, unga ko'ra raqamning qiymati raqamni yozishda ishtirok etgan raqamlarning qiymatlari yig'indisiga teng. Bunday son yozuvida raqamning ma'nosi uning son yozuvidagi egallagan joyiga bog'liq emas.
QADIMGI Rus Rus tilida ushbu belgilarning qo'llanilishiga misol: soliq yig'uvchilar tomonidan to'ldirilgan va to'langan soliqlarni to'lash uchun kvitansiyalar (yasak).
Slavyan kirill o'nlik alifbosi Bu raqamlash 9-asrda Kiril va Metyus tomonidan Injil tarjimasi uchun slavyan alifbo tizimi bilan birga yaratilgan. Raqamlarni yozishning bu shakli sonlarni yunoncha yozishga butunlay o'xshardi. 17-asrgacha raqamlarni yozishning bu shakli hududda rasmiy bo'lgan zamonaviy Rossiya, Belarus, Ukraina, Bolgariya, Vengriya, Serbiya va Xorvatiya. Hozirgacha pravoslav cherkov kitoblarida bu raqamlash qo'llaniladi.
Raqamlar bir xil tarzda, chapdan o'ngga, kattadan kichikgacha yozilgan. 11 dan 19 gacha bo'lgan raqamlar ikki raqam bilan yozildi, birlik o'ndan oldin keladi: Biz tom ma'noda "o'n to'rt" - "to'rt va o'n" ni o'qiymiz. Eshitganimizdek, biz yozamiz: 10+4 emas, balki 4+10, - to'rt va o'n. 21 va undan yuqori raqamlar birinchi navbatda to'liq o'nlik belgisi bilan yozildi. Raqamning yozuvi qo'shimcha hisoblanadi; u faqat qo'shishdan foydalanadi: = 800+60+3 Harflar va raqamlarni chalkashtirmaslik uchun raqamlardan yuqori gorizontal chiziqlar ishlatilgan. "Inson aqli bundan ortiq narsani anglay olmaydi." 900 dan ortiq raqamlarni ko'rsatish uchun harfga qo'shilgan maxsus belgilar ishlatilgan. Raqamlar shunday shakllangan:
Alfavit sanoq sistemalari Alfavit sanoq tizimida pozitsion tizimning boshlanishi ko'rinadi, chunki har xil toifadagi birliklarni belgilash uchun bir xil harflardan foydalanilgan, faqat maxsus belgilar qo'shilgan. Bunday sanoq sistemalari katta sonlar bilan ishlash uchun noqulay edi. Kishilik jamiyati taraqqiyoti davomida bu tizimlar o‘rnini pozitsion tizimlarga bo‘shatib berdi.
Hind multiplikativ tizimi Pozitsion sanoq sistemalari bir-biridan mustaqil ravishda qadimgi Bobilda, mayyalarda va nihoyat, Hindistonda paydo bo'lgan. Bunday sanoq sistemalarida birinchi marta o'nlik va yuzliklarga qo'shiladigan maxsus belgilar paydo bo'ldi. Agar o‘nliklarni X bilan, yuzlarni esa Y bilan belgilasak, u holda 323 = 3 Y 2 X 3. Zamonaviy o‘nlik sanoq sistemasi taxminan V asrda paydo bo‘lgan. N. e. Hindistonda. Ushbu tizimning paydo bo'lishi nol paydo bo'lgandan keyin mumkin bo'ldi. Hozirgi 0 belgisi birinchi marta Gretsiyada yunon olimlari bobilliklarning astronomik kuzatishlari bilan tanishganlaridan keyin paydo bo'lgan. Nolinchi toifani belgilash uchun yunonlar O harfidan foydalanishni boshladilar - "OUDEN" so'zining birinchi harfi - HECH NARSA. Hindlar o'zlarining multiplikativ tizimini yunon noli va Gretsiyada raqamlarni yozishning alifbo tamoyillari bilan birlashtirdilar.
Ammo bu tizim va unda ishlatiladigan raqamlar arab deb ataladi, chunki bunday raqamlarni Evropaga arab savdogarlari o'z mollari bilan birga "olib kelishgan". Evropada bunday sanoq tizimi 12-asr boshidan keng tarqaldi. Uning tarqalishida IX asrda xorazmlik Muhammad tomonidan tuzilgan qo‘llanma hal qiluvchi rol o‘ynadi. 12-asrda lotin tiliga tarjima qilingan. Ayirish, ko‘paytirish va ustunga bo‘lish qoidalari ham 9-asrda atoqli matematik Muhammad ibn Muso al-Xorazmiy tomonidan ishlab chiqilgan. Bunday qoidalar uning nomidan keyin algoritm (algoritmlar) deb ataladi.
U italiyalik matematik edi. O'zining "Liber Abaci" kitobi tufayli Evropa hind-arab sanoq tizimini o'rgandi, keyinchalik u Rim raqamlarini almashtirdi.
Pozitsion sanoq sistemasi, agar uning asosini atamalar tashkil etsa, an'anaviy deyiladi geometrik progressiya, va raqamlarning ma'nolari manfiy bo'lmagan butun sonlardir. Har biri mos keladigan raqamning og'irligini belgilaydigan raqamlarning asosiy ketma-ketligi. Haddlari an’anaviy sanoq sistemasining asosini tashkil etuvchi geometrik progressiyaning P maxraji bu sanoq sistemasining asosi deyiladi. Bazasi P bo'lgan an'anaviy sanoq sistemalari boshqacha tarzda P-ary deb ataladi.
Sanoq tizimi yoki raqamlash raqamlarni yozish usulidir. Raqamlar yoziladigan belgilar raqamlar, ularning birikmasi esa sanoq sistemasi alifbosi deb ataladi. Alifboni tashkil etuvchi raqamlar soni uning o'lchami deyiladi. Raqamning miqdoriy ekvivalenti uning raqam yozuvidagi o‘rniga bog‘liq bo‘lsa, sanoq sistemasi pozitsion sistema deyiladi. Bizga tanish bo'lgan o'nlik sanoq tizimida raqamning qiymati quyidagicha hosil bo'ladi: raqamlarning qiymati mos keladigan raqamlarning "og'irligi" ga ko'paytiriladi va natijada olingan barcha qiymatlar qo'shiladi. Masalan, 5047=5*1000+0*100+4*10+7*1. Sonning qiymatini shakllantirishning bunday usuli qo'shimcha-ko'paytirish deyiladi.
Bu erda A sonning o'zi, q - sanoq tizimining asosi, a - berilgan sanoq tizimining raqamlari, n - sonning butun qismining raqamlari, m - kasr qismining raqamlari soni. raqamdan. Misol: 32478 = birliklar o'nlab yuz minglar
10-SS dan tarjima butun son uchun alohida va sonning kasr qismi uchun alohida amalga oshiriladi. Masalan, 24.8510 raqamini 2-SSga tarjima qilaylik. 24 2 0 12 2 2410 = 110002 0 6 2 0 3 2 1 1
U 1100 yoshda edi. U 101-sinfga bordi. U portfelida 100 ta kitob olib yurgan. Bularning barchasi haqiqat, bema'nilik emas. O'n metr chang bo'lganda. U yo'l bo'ylab yurdi, Bir dumi bor, lekin yuz oyoqli kuchukcha, har doim uning orqasidan yugurdi, U har bir tovushni o'n qulog'i bilan ushladi, 10 ta qo'ng'iz qo'llari portfel va bog'ichni ushlab turardi. Va 10 ta quyuq ko'k ko'zlar odatdagidek dunyoga qaradi. Ammo bizning hikoyamizni tushunsangiz, hamma narsa odatiy holga aylanadi. JAVOB
U 12 yoshda edi. U 5-sinfga bordi. U portfelida 4 ta kitob olib yurgan. Bularning barchasi haqiqat, bema'nilik emas. O'n metr chang bo'lganda. U yo'l bo'ylab yurdi, Bir dumli, lekin yuz oyoqli kuchukcha, har doim uning orqasidan yugurdi, U har bir tovushni o'n qulog'i bilan ushladi va 2 qo'llari portfel va bog'ichni tutdi. Va 2 ta quyuq ko'k ko'zlari odatdagidek dunyoga qaradi. Ammo bizning hikoyamizni tushunsangiz, hamma narsa odatiy holga aylanadi.
