Oddiy taqsimlangan X tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi a=3 va standart og‘ish =5 berilgan.

Ehtimollar taqsimoti zichligini yozing va sxematik tarzda chizing.

(2;10) oraliqdan x ning qiymat olishi ehtimolligini toping.

X ning 10 dan katta qiymat olish ehtimolini toping.

Matematik kutishga nisbatan simmetrik intervalni toping, unda x miqdorining qiymatlari =0,95 ehtimollik bilan bo'ladi.

1). Parametrlari a=3, =5 bo‘lgan X tasodifiy miqdorning taqsimot zichlik funksiyasini formuladan foydalanib tuzamiz.

. Funksiyaning sxematik grafigini tuzamiz
. Oddiy egri chiziq x = 3 to'g'ri chiziqqa nisbatan simmetrik va bu nuqtada max ga teng ekanligiga e'tibor qarataylik.
, ya'ni.
va ikkita burilish nuqtasi
ordinata bilan

Keling, grafik tuzamiz

2) formuladan foydalanamiz:

Funktsiya qiymatlari dastur jadvalidan topiladi.

4) Keling, formuladan foydalanamiz
. Shartga ko'ra, matematik kutishga nisbatan simmetrik intervalga tushish ehtimoli
. Jadvaldan foydalanib, t ni topamiz, bunda F(t)=0,475, t=2. vositalari
. Shunday qilib,
. Javob: x(-1;7).

31-40 muammolarga.

Oddiy taqsimlangan X xarakteristikaning a noma'lum matematik kutilmasining 0,95 ishonchliligi bilan baholash uchun ishonch oralig'ini toping. aholi, agar umumiy standart og'ish =5 bo'lsa, namunaviy o'rtacha
va namuna hajmi n=25.

Ishonch oralig'ini topishimiz kerak
.

t dan boshqa barcha miqdorlar ma'lum. F(t)=0,95/2=0,475 nisbatdan t ni topamiz. Ilova jadvalidan foydalanib t=1,96 ni topamiz. O'rniga qo'yib, biz nihoyat 12.04 ga teng bo'lgan ishonch oralig'ini olamiz

41-50 muammolarga.

Texnik nazorat bo'limi bir xil mahsulotlarning 200 partiyasini tekshirdi va quyidagi empirik taqsimotni oldi, chastota n i - x i nostandart mahsulotlarni o'z ichiga olgan partiyalar soni gipotezani 0,05 ahamiyatlilik darajasida sinab ko'rish kerak. standart mahsulotlar X Puasson qonuniga muvofiq taqsimlanadi.

Keling, namunaviy o'rtachani topamiz:

Puasson taqsimotining  parametrini baholash sifatida tanlanma o‘rtacha =0,6 ni olaylik. Shuning uchun, taxmin qilingan Puasson qonuni
o'xshaydi
.

i=0,1,2,3,4 ni belgilab, i nostandart mahsulotlarning 200 ta partiyada paydo bo‘lish ehtimoli P i ni topamiz:
,
,
,
,
.

Formuladan foydalanib, nazariy chastotalarni topamiz
. Ushbu formulaga ehtimollik qiymatlarini almashtirib, biz olamiz
,
,
,
,
.

Pearson testi yordamida empirik va nazariy chastotalarni solishtiramiz. Buning uchun biz hisoblash jadvalini tuzamiz. Kichik chastotalar (4+2=6) va tegishli nazariy chastotalarni (3,96+0,6=4,56) birlashtiramiz.

Amalda, ko'p sonli tasodifiy omillar ta'sirida bo'lgan ko'pchilik tasodifiy o'zgaruvchilar normal ehtimollik taqsimot qonuniga bo'ysunadi. Shuning uchun ehtimollar nazariyasining turli xil qo'llanilishida bu qonun alohida ahamiyatga ega.

$X$ tasodifiy o'zgaruvchisi ehtimollik taqsimoti zichligi quyidagi ko'rinishga ega bo'lsa, normal ehtimollik taqsimot qonuniga bo'ysunadi.

$$f\left(x\right)=((1)\over (\sigma \sqrt(2\pi )))e^(-(((\left(x-a\right))^2)\over ( 2(\sigma )^2)))$$

$f\left(x\right)$ funksiyaning grafigi rasmda sxematik tarzda ko'rsatilgan va "Gauss egri chizig'i" deb ataladi. Ushbu grafikning o'ng tomonida evro muomalaga kiritilishidan oldin ishlatilgan 10 markali nemis banknotasi joylashgan. Agar diqqat bilan qarasangiz, ushbu banknotada Gauss egri chizig'ini va uning kashfiyotchisi, eng buyuk matematik Karl Fridrix Gaussni ko'rishingiz mumkin.

Keling, $f\left(x\right)$ zichlik funksiyamizga qaytaylik va $a,\ (\sigma )^2$ taqsimot parametrlari haqida ba'zi tushuntirishlar beramiz. $a$ parametri tasodifiy o'zgaruvchi qiymatlarining tarqalish markazini tavsiflaydi, ya'ni u matematik kutish ma'nosiga ega. $a$ parametri oʻzgarganda va $(\sigma )^2$ parametri oʻzgarmagan boʻlsa, biz $f\left(x\right)$ funksiya grafigining abscissa boʻylab siljishini kuzatishimiz mumkin, zichlik grafigi esa. o'zi shaklini o'zgartirmaydi.

$(\sigma )^2$ parametri dispersiya boʻlib, $f\left(x\right)$ zichlik grafigi egri chizigʻining shaklini tavsiflaydi. $(\sigma )^2$ parametrini $a$ parametri oʻzgarmagan holda oʻzgartirganda, zichlik grafigi abscissa oʻqi boʻylab harakatlanmasdan, oʻz shaklini qanday oʻzgartirishini, siqish yoki choʻzishini kuzatishimiz mumkin.

Oddiy taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchining berilgan intervalga tushish ehtimoli

Ma'lumki, $X$ tasodifiy o'zgaruvchining $\left(\alpha;\ \beta \right)$ oralig'iga tushish ehtimoli $P\left(\alpha) hisoblanishi mumkin.< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:

$$P\chap(\alfa< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$

Bu yerda $\Phi \left(x\right)=((1)\over (\sqrt(2\pi )))\int^x_0(e^(-t^2/2)dt)$ funksiyasi Laplas funktsiyasi. Ushbu funktsiyaning qiymatlari dan olingan. $\Phi \left(x\right)$ funksiyasining quyidagi xossalarini qayd etish mumkin.

1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, ya'ni $\Phi \left(x\right)$ funktsiyasi g'alati.

2 . $\Phi \left(x\right)$ - monoton ortib borayotgan funksiya.

3 . $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) \Phi \left(x\right)\ )=0,5$, $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) \ Phi \ chap (x\o'ng)\ )=-0,5$.

$\Phi \left(x\right)$ funksiyasining qiymatlarini hisoblash uchun Excelda $f_x$ funksiyasidan ham foydalanishingiz mumkin: $\Phi \left(x\right)=NORMDIST\left(x ;0;1;1\o'ng )-0,5$. Masalan, $x=2$ uchun $\Phi \left(x\right)$ funksiyasining qiymatlarini hisoblaylik.

Oddiy taqsimlangan $X\in N\left(a;\ (\sigma )^2\right)$ tasodifiy oʻzgaruvchining $a$ matematik kutilmasiga nisbatan simmetrik intervalga tushish ehtimoli formula yordamida hisoblanishi mumkin.

$$P\left(\left|X-a\o'ng|< \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$

Uch sigma qoidasi. Oddiy taqsimlangan $X$ tasodifiy o'zgaruvchisi $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$ oralig'iga tushishi deyarli aniq.

1-misol . $X$ tasodifiy o'zgaruvchisi $a=2,\ \sigma =3$ parametrlari bilan normal ehtimollik taqsimot qonuniga bo'ysunadi. $X$ $\left(0.5;1\right)$ oraligʻiga tushish ehtimolini va $\left|X-a\right| tengsizlikni qondirish ehtimolini toping.< 0,2$.

Formuladan foydalanish

$$P\chap(\alfa< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$

biz $P\left(0,5;1\right)=\Phi \left(((1-2)\over (3))\right)-\Phi \left(((0,5-2)\(3) ustida topamiz. ))\o'ng)=\Phi \left(-0,33\o'ng)-\Phi \left(-0,5\o'ng)=\Phi \left(0,5\o'ng)-\Phi \ left(0,33\o'ng)=0,191- 0,129=0,062$.

$$P\left(\left|X-a\o'ng|< 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$

2-misol . Faraz qilaylik, yil davomida ma'lum bir kompaniya aktsiyalarining narxi oddiy qonun bo'yicha taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchi bo'lib, matematik taxmin 50 shartli pul birligiga teng va standart og'ish 10 ga teng. Tasodifiy tanlangan qiymat bo'yicha qanday ehtimollik bor Muhokama qilinadigan davr kuni aksiyaning narxi quyidagicha bo'ladi:

a) 70 dan ortiq shartli pul birligi?

b) har bir aksiya uchun 50 dan kammi?

c) har bir aksiya uchun 45 dan 58 gacha shartli pul birligi?

Tasodifiy o'zgaruvchi $X$ ma'lum bir kompaniya aktsiyalarining narxi bo'lsin. Shartga ko'ra, $X$ $a=50$ - matematik kutish, $\sigma =10$ - standart og'ish parametrlari bilan normal taqsimotga bo'ysunadi. Ehtimollik $P\left(\alfa< X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:

$$P\chap(\alfa< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$

$$a)\ P\left(X>70\o'ng)=\Phi \left(((\infty -50)\ortiq (10))\o'ng)-\Phi \left(((70-50)\ ustidan (10))\o'ng)=0,5-\Phi \left(2\o'ng)=0,5-0,4772=0,0228.$$

$$b)\P\chap(X< 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$

$$in)\ P\chap(45< X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$

Oddiy ehtimollik taqsimot qonuni

Mubolag'asiz, uni falsafiy qonun deyish mumkin. Atrofimizdagi dunyodagi turli ob'ektlar va jarayonlarni kuzatar ekanmiz, biz ko'pincha biror narsa etarli emasligi va norma mavjudligiga duch kelamiz:


Bu erda asosiy ko'rinish zichlik funktsiyalari normal ehtimollik taqsimoti va sizni ushbu qiziqarli darsga xush kelibsiz.

Qanday misollar keltira olasiz? Ularda shunchaki zulmat bor. Bu, masalan, odamlarning bo'yi, vazni (va nafaqat), ularning jismoniy kuchi, aqliy qobiliyatlari va boshqalar. "Asosiy massa" mavjud (bu yoki boshqa sabablarga ko'ra) va ikkala yo'nalishda ham og'ishlar mavjud.

Bu jonsiz narsalarning turli xil xususiyatlari (bir xil o'lcham, vazn). Bu jarayonlarning tasodifiy davomiyligi, masalan, yuz metrlik poyga vaqti yoki qatronning amberga aylanishi. Fizikadan havo molekulalarini esladim: ularning ba'zilari sekin, ba'zilari tez, lekin ko'pchilik "standart" tezlikda harakat qiladi.

Keyinchalik, biz markazdan yana bitta standart og'ish bilan chetga chiqamiz va balandlikni hisoblaymiz:

Chizmadagi nuqtalarni belgilash (yashil) va biz buning etarli ekanligini ko'ramiz.

Yakuniy bosqichda diqqat bilan grafik chizing va ayniqsa ehtiyotkorlik bilan aks ettiring qavariq/botiq! Xo'sh, siz x o'qi ekanligini uzoq vaqt oldin tushungansiz gorizontal asimptota, va uning orqasida "ko'tarilish" mutlaqo taqiqlangan!

Yechimni elektron shaklda topshirishda Excelda grafik yaratish juda oson va men o'zim uchun kutilmaganda ushbu mavzu bo'yicha qisqa video ham yozib oldim. Lekin birinchi navbatda, normal egri chiziqning shakli va qiymatlariga qarab qanday o'zgarishi haqida gapiraylik.

"a" ni oshirish yoki kamaytirishda (doimiy "sigma" bilan) grafik o'z shaklini saqlab qoladi va o'ngga/chapga harakat qiladi mos ravishda. Shunday qilib, masalan, funktsiya shaklni olganida va bizning grafik 3 birlik chapga - aynan koordinatalarning boshiga "harakat qiladi":


Nol matematik kutilmaga ega normal taqsimlangan miqdor mutlaqo tabiiy nom oldi - markazlashtirilgan; uning zichlik funktsiyasi – hatto, va grafik ordinataga nisbatan simmetrikdir.

"Sigma" o'zgarganda (doimiy “a” bilan), grafik "bir xil bo'lib qoladi", lekin shakli o'zgaradi. Kattalashganda, chodirlarini cho'zgan sakkizoyoq kabi pastroq va cho'zilib ketadi. Va, aksincha, grafikni kamaytirishda torroq va balandroq bo'ladi- bu "ajablangan sakkizoyoq" bo'lib chiqdi. Ha, qachon pasayish Ikki marta "sigma": oldingi grafik ikki marta torayadi va cho'ziladi:

Hamma narsa to'liq mos keladi grafiklarni geometrik o'zgartirishlar.

Birlik sigma qiymatiga ega bo'lgan normal taqsimot deyiladi normallashtirilgan, va agar u ham bo'lsa markazlashtirilgan(bizning ishimiz), keyin bunday taqsimot deyiladi standart. U allaqachon topilgan oddiyroq zichlik funktsiyasiga ega Laplasning mahalliy teoremasi: . Standart tarqatish amalda keng qo'llanilishini topdi va yaqin orada biz uning maqsadini tushunamiz.

Xo'sh, endi filmni tomosha qilamiz:

Ha, mutlaqo to'g'ri - qandaydir tarzda u soyada qoldi ehtimollikni taqsimlash funksiyasi. Keling, uni eslaylik ta'rifi:
- tasodifiy o'zgaruvchining barcha haqiqiy qiymatlardan "ortiqcha" cheksizgacha "o'tib ketadigan" o'zgaruvchidan KIROQ qiymat olishi ehtimoli.

Integral ichida odatda boshqa harf ishlatiladi, shuning uchun yozuv bilan hech qanday "o'xshashlik" bo'lmaydi, chunki bu erda har bir qiymat bilan bog'liq. noto'g'ri integral , bu ba'zilariga teng raqam oraliqdan.

Deyarli barcha qiymatlarni aniq hisoblash mumkin emas, lekin biz ko'rganimizdek, zamonaviy hisoblash quvvati bilan bu qiyin emas. Shunday qilib, funktsiya uchun standart taqsimotda, tegishli Excel funktsiyasi odatda bitta argumentni o'z ichiga oladi:

=NORMSDIST(z)

Bir, ikkita - va siz tugatdingiz:

Chizma barchaning amalga oshirilishini aniq ko'rsatadi taqsimot funksiyasi xossalari, va bu erda texnik nuanslardan siz e'tibor berishingiz kerak gorizontal asimptotlar va burilish nuqtasi.

Endi mavzuning asosiy vazifalaridan birini eslaylik, ya'ni oddiy tasodifiy o'zgaruvchining paydo bo'lish ehtimolini qanday topish mumkinligini bilib olaylik. qiymatni intervaldan oladi. Geometrik jihatdan bu ehtimollik tengdir hudud mos keladigan bo'limda normal egri va x o'qi o'rtasida:

lekin har safar taxminiy qiymat olishga harakat qilaman asossizdir va shuning uchun undan foydalanish yanada oqilona "engil" formula:
.

! Shuningdek eslaydi , Nima

Bu erda siz Excel-dan yana foydalanishingiz mumkin, ammo bir nechta muhim "lekin" mavjud: birinchidan, u har doim ham qo'lda emas, ikkinchidan, "tayyor" qiymatlar o'qituvchidan savollar tug'dirishi mumkin. Nega?

Men bu haqda ko'p marta gapirganman: bir vaqtlar (va unchalik uzoq emas) oddiy kalkulyator hashamatli edi va ko'rib chiqilayotgan muammoni hal qilishning "qo'lda" usuli hali ham o'quv adabiyotlarida saqlanib qolgan. Uning mohiyati shundan iborat standartlashtirish"alfa" va "beta" qiymatlari, ya'ni standart taqsimotga yechimni kamaytiring:

Eslatma : funksiyani umumiy holatdan olish osonchiziqli yordamida almashtirishlar. Keyin shuningdek:

va amalga oshirilgan almashtirishdan quyidagi formula hosil bo'ladi: ixtiyoriy taqsimot qiymatlaridan standart taqsimotning tegishli qiymatlariga o'tish.

Bu nima uchun kerak? Gap shundaki, qadriyatlar ajdodlarimiz tomonidan sinchkovlik bilan hisoblab chiqilgan va terwer bo'yicha ko'plab kitoblarda mavjud bo'lgan maxsus jadvalga tuzilgan. Ammo ko'pincha biz allaqachon ko'rib chiqqan qadriyatlar jadvali mavjud Laplas integral teoremasi:

Agar bizda Laplas funktsiyasi qiymatlari jadvali mavjud bo'lsa , keyin biz uni hal qilamiz:

Kasr qiymatlari an'anaviy ravishda standart jadvalda bo'lgani kabi 4 kasrgacha yaxlitlanadi. Va nazorat qilish uchun bor 5-band tartib.

Shuni eslataman , va chalkashmaslik uchun har doim nazorat qilish, NIMA funksiyasi jadvali sizning ko'zingiz oldida.

Javob foiz sifatida ko'rsatilishi kerak, shuning uchun hisoblangan ehtimollik 100 ga ko'paytirilishi va natija mazmunli izoh bilan ta'minlanishi kerak:

- 5 dan 70 m gacha parvoz bilan snaryadlarning taxminan 15,87% tushadi.

Biz o'zimiz mashq qilamiz:

3-misol

Zavodda ishlab chiqarilgan podshipniklarning diametri tasodifiy o'zgaruvchan bo'lib, odatda 1,5 sm matematik taxmin va 0,04 sm standart og'ish bilan taqsimlanadi, tasodifiy tanlangan podshipnikning o'lchami 1,4 dan 1,6 sm gacha bo'lishi ehtimolini toping.

Namuna yechimida va quyida men Laplas funktsiyasidan eng keng tarqalgan variant sifatida foydalanaman. Aytgancha, so'zlarga ko'ra, intervalning uchlari bu erda ko'rib chiqilishi mumkinligiga e'tibor bering. Biroq, bu tanqidiy emas.

Va allaqachon bu misolda biz maxsus holatga duch keldik - oraliq matematik kutishga nisbatan nosimmetrik bo'lganda. Bunday holatda, u Laplas funktsiyasining g'alatiligidan foydalanib, ish formulasini soddalashtirgan holda yozilishi mumkin:

Delta parametri chaqiriladi og'ish matematik kutishdan va qo'shaloq tengsizlik yordamida "qadoqlash" mumkin modul:

- tasodifiy o'zgaruvchining qiymatining matematik kutilganidan kamroq og'ish ehtimoli.

Yechim bir qatorga to'g'ri kelgani yaxshi :)
- tasodifiy olingan rulmanning diametri 1,5 sm dan 0,1 sm dan ko'p bo'lmagan farq qilish ehtimoli.

Ushbu vazifaning natijasi birlikka yaqin bo'lib chiqdi, lekin men yanada ishonchlilikni xohlayman - ya'ni diametr joylashgan chegaralarni bilish. deyarli hamma podshipniklar. Buning uchun biron bir mezon bormi? Mavjud! Qo'yilgan savolga so'zda javob beriladi

uch sigma qoidasi

Uning mohiyati shundan iborat amaliy jihatdan ishonchli normal taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchining oraliqdan qiymat olishi haqiqatdir .

Haqiqatan ham, kutilgan qiymatdan chetga chiqish ehtimoli quyidagilardan kamroq:
yoki 99,73%

Rulmanlar nuqtai nazaridan, bu diametri 1,38 dan 1,62 sm gacha bo'lgan 9973 dona va atigi 27 ta "nostandart" nusxa.

Amaliy tadqiqotlarda uch sigma qoidasi odatda qarama-qarshi yo'nalishda qo'llaniladi: agar statistik jihatdan Deyarli barcha qadriyatlar ekanligi aniqlandi o'rganilayotgan tasodifiy o'zgaruvchi 6 standart og'ish oralig'iga tushib qolsa, unda bu qiymat oddiy qonunga muvofiq taqsimlanganiga ishonish uchun jiddiy sabablar mavjud. Tekshirish nazariya yordamida amalga oshiriladi statistik farazlar.

Biz Sovet Ittifoqining og'ir muammolarini hal qilishda davom etamiz:

4-misol

Tarozi xatosining tasodifiy qiymati nol matematik kutish va 3 gramm standart og'ish bilan normal qonunga muvofiq taqsimlanadi. Keyingi tortishning mutlaq qiymatda 5 grammdan oshmagan xatolik bilan o'tkazilishi ehtimolini toping.

Yechim juda oddiy. Shartga ko'ra, biz keyingi tortishda darhol qayd etamiz (biror narsa yoki kimdir) 9 gramm aniqlik bilan deyarli 100% natijaga erishamiz. Ammo muammo torroq og'ish va formulaga ko'ra o'z ichiga oladi :

- keyingi tortishning 5 grammdan ortiq bo'lmagan xato bilan o'tkazilishi ehtimoli.

Javob:

Yechilgan muammo bir qarashda o'xshash narsadan tubdan farq qiladi. 3-misol haqida dars yagona taqsimlash. Xatolik yuz berdi yaxlitlash o'lchov natijalari, bu erda biz o'lchovlarning tasodifiy xatosi haqida gapiramiz. Bunday xatolar qurilmaning o'zi texnik xususiyatlari tufayli yuzaga keladi. (qabul qilinadigan xatolar diapazoni odatda uning pasportida ko'rsatilgan), shuningdek, eksperimentatorning aybi bilan - biz, masalan, "ko'z bilan" bir xil tarozi ignasidan o'qishni olganimizda.

Boshqalar orasida, shuningdek, deb atalmish bor tizimli o'lchash xatolar. Bu allaqachon tasodifiy bo'lmagan qurilmaning noto'g'ri o'rnatilishi yoki ishlashi tufayli yuzaga keladigan xatolar. Misol uchun, tartibga solinmagan pol tarozilari kilogrammni doimiy ravishda "qo'shishi" mumkin va sotuvchi muntazam ravishda mijozlarni og'irlashtiradi. Yoki uni tizimli ravishda hisoblash mumkin emas. Biroq, har qanday holatda, bunday xato tasodifiy bo'lmaydi va uning kutilishi noldan farq qiladi.

…Men zudlik bilan savdo bo‘yicha trening kursini ishlab chiqyapman =)

Keling, teskari masalani o'zimiz hal qilaylik:

5-misol

Rolikning diametri tasodifiy normal taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchidir, uning standart og'ishi mm ga teng. Rolik diametrining uzunligi tushishi mumkin bo'lgan matematik taxminga nisbatan simmetrik bo'lgan oraliq uzunligini toping.

5-band* dizayn tartibi yordam berish. E'tibor bering, bu erda matematik kutish ma'lum emas, lekin bu muammoni hal qilishimizga hech qanday to'sqinlik qilmaydi.

Va men materialni mustahkamlashni tavsiya qiladigan imtihon topshirig'i:

6-misol

Oddiy taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchi uning parametrlari (matematik kutish) va (standart og'ish) bilan belgilanadi. Majburiy:

a) ehtimollik zichligini yozing va uning grafigini sxematik tasvirlang;
b) intervaldan qiymat olish ehtimolini toping ;
v) mutlaq qiymatning dan ko'p bo'lmagandan chetga chiqish ehtimolini toping;
d) "uch sigma" qoidasidan foydalanib, tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarini toping.

Bunday muammolar hamma joyda taklif qilinadi va ko'p yillik amaliyot davomida men ularning yuzlab va yuzlablarini hal qildim. Qo'lda rasm chizish va qog'oz jadvallardan foydalanishni mashq qiling;)

Xo'sh, men murakkablikning ortishi misolini ko'rib chiqaman:

7-misol

Tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik taqsimoti zichligi shaklga ega . Toping, matematik kutish, dispersiya, taqsimot funksiyasi, zichlik grafiklari va taqsimot funksiyalarini qurish, toping.

Yechim: Avvalo shuni ta'kidlaymizki, shart tasodifiy o'zgaruvchining tabiati haqida hech narsa aytmaydi. Ko'rsatkichning mavjudligi o'z-o'zidan hech narsani anglatmaydi: u, masalan, chiqishi mumkin. indikativ yoki hatto o'zboshimchalik bilan uzluksiz taqsimlash. Va shuning uchun taqsimotning "normalligi" hali ham oqlanishi kerak:

Funktsiyadan beri da belgilanadi har qanday haqiqiy qiymat va uni shaklga qisqartirish mumkin , keyin tasodifiy miqdor normal qonun bo'yicha taqsimlanadi.

Qani boshladik. Buning uchun to'liq kvadratni tanlang va tashkil qilish uch qavatli fraktsiya:


Ko'rsatkichni asl shakliga qaytargan holda tekshirishni amalga oshirganingizga ishonch hosil qiling:

, biz ko'rmoqchi bo'lgan narsamiz.

Shunday qilib:
- By vakolatlari bilan operatsiyalar qoidasi"chimlab tashlash" Va bu erda siz darhol aniq raqamli xususiyatlarni yozishingiz mumkin:

Endi parametr qiymatini topamiz. Oddiy taqsimot ko'paytmasi va ko'rinishiga ega bo'lganligi sababli, u holda:
, bu erdan biz ifodalaymiz va funktsiyamizga almashtiramiz:
, shundan so'ng biz yana bir bor ko'zimiz bilan yozuvni ko'rib chiqamiz va natijada olingan funktsiya shaklga ega ekanligiga ishonch hosil qilamiz .

Keling, zichlik grafigini tuzamiz:

va taqsimot funksiyasi grafigi :

Agar qo'lingizda Excel yoki oddiy kalkulyator bo'lmasa, oxirgi grafikni qo'lda osongina qurish mumkin! Nuqtada taqsimot funktsiyasi qiymatni oladi va bu erda

Yuqorida aytib o'tilganidek, ehtimollik taqsimotiga misollar uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X quyidagilar:

• yagona taqsimlash
• eksponensial taqsimot uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimolliklari;
• uzluksiz tasodifiy miqdorning normal ehtimollik taqsimoti.

Oddiy taqsimot qonuni tushunchasini, bunday qonunning taqsimot funksiyasini va X tasodifiy miqdorning ma’lum bir intervalga tushish ehtimolini hisoblash tartibini keltiramiz.

№	Ko'rsatkich	Oddiy taqsimot qonuni	Eslatma
	Ta'rif	Oddiy deb ataladi zichligi shaklga ega bo'lgan doimiy X tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik taqsimoti
			bu erda m x - X tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi, s x - standart og'ish
2	Tarqatish funksiyasi
	Ehtimollik (a;b) oralig'iga tushish		- Laplas integral funktsiyasi
	Ehtimollik og'ishning mutlaq qiymati musbat d sonidan kichik ekanligi		m x = 0 da

“Uzluksiz tasodifiy miqdorning oddiy taqsimot qonuni” mavzusidagi masalani yechishga misol.

Vazifa.

Muayyan qismning X uzunligi normal taqsimot qonuniga muvofiq taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchidir va o'rtacha qiymati 20 mm va standart og'ish 0,2 mm.
Kerakli:
a) taqsimot zichligi ifodasini yozing;
b) qismning uzunligi 19,7 dan 20,3 mm gacha bo'lish ehtimolini toping;
v) chetlanishning 0,1 mm dan oshmasligi ehtimolini toping;
d) o'rtacha qiymatdan og'ishi 0,1 mm dan oshmaydigan qismlar necha foizni tashkil qiladi;
e) o'rtachadan chetlanishi belgilangan qiymatdan oshmaydigan qismlarning foizi 54% gacha ko'tarilishi uchun qanday og'ish o'rnatilishi kerakligini toping;
f) 0,95 ehtimol bilan X joylashadigan o'rtacha qiymatga nisbatan simmetrik intervalni toping.

Yechim. A) Oddiy qonun bo'yicha taqsimlangan X tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik zichligini topamiz:

sharti bilan m x =20, s =0,2.

b) Tasodifiy miqdorning normal taqsimlanishi uchun (19.7; 20.3) oraliqga tushish ehtimoli quyidagicha aniqlanadi:
F((20,3-20)/0,2) – F((19,7-20)/0,2) = F(0,3/0,2) – F(-0,3/0, 2) = 2F(0,3/0,2) = 2F(1,5) = 2*0,4332 = 0,8664.
F(1,5) = 0,4332 qiymatini ilovalarda Laplas integral funksiyasi PH(x) qiymatlari jadvalida topdik ( jadval 2 )

V) Og'ishning mutlaq qiymati 0,1 musbat raqamdan kichik bo'lish ehtimolini topamiz:
R(|X-20|< 0,1) = 2Ф(0,1/0,2) = 2Ф(0,5) = 2*0,1915 = 0,383.
F(0,5) = 0,1915 qiymatini ilovalardagi Laplas integral funksiyasi PH(x) qiymatlari jadvalida topdik ( jadval 2 )

G) 0,1 mm dan kam og'ish ehtimoli 0,383 ga teng bo'lganligi sababli, o'rtacha 100 tadan 38,3 qismda bunday og'ish bo'ladi, ya'ni. 38,3%.

d) O'rtachadan og'ishi belgilangan qiymatdan oshmaydigan qismlarning ulushi 54% gacha ko'tarilganligi sababli, P(|X-20|< δ) = 0,54. Отсюда следует, что 2Ф(δ/σ) = 0,54, а значит Ф(δ/σ) = 0,27.

Ilovadan foydalanish ( jadval 2 ), d/s = 0,74 ni topamiz. Demak, d = 0,74*s = 0,74*0,2 = 0,148 mm.

e) Kerakli interval m x = 20 o'rtacha qiymatiga nisbatan nosimmetrik bo'lganligi sababli, uni 20 - d tengsizlikni qondiruvchi X qiymatlari to'plami sifatida aniqlash mumkin.< X < 20 + δ или |x − 20| < δ .

Shartga ko'ra, kerakli oraliqda X ni topish ehtimoli 0,95 ga teng, bu P(|x - 20|< δ)= 0,95. С другой стороны P(|x − 20| < δ) = 2Ф(δ/σ), следовательно 2Ф(δ/σ) = 0,95, а значит Ф(δ/σ) = 0,475.

Ilovadan foydalanish ( jadval 2 ), d/s = 1,96 ni topamiz. Demak, d = 1,96*s = 1,96*0,2 = 0,392.
Qidiruv oralig'i : (20 - 0,392; 20 + 0,392) yoki (19,608; 20,392).