Bir jinsli chiziqli TENGLAMALAR TIZIMI

Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi shakl sistemasidir

Bu holatda bu aniq , chunki bu determinantlardagi ustunlardan birining barcha elementlari nolga teng.

Noma'lumlar formulalar bo'yicha topilganligi sababli , keyin D ≠ 0 bo'lganda, tizim yagona nol yechimga ega x = y = z= 0. Biroq, ko'pgina masalalarda qiziqarli savol - bir jinsli tizimning noldan boshqa echimlari bormi.

Teorema. Chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasi nolga teng boʻlmagan yechimga ega boʻlishi uchun D ≠ 0 boʻlishi zarur va yetarli.

Demak, agar determinant D ≠ 0 bo'lsa, u holda tizim yagona yechimga ega. Agar D ≠ 0 bo'lsa, u holda chiziqli bir jinsli tenglamalar tizimi cheksiz ko'p echimlarga ega.

Misollar.

Matritsaning xos vektorlari va xos qiymatlari

Kvadrat matritsa berilsin , X– balandligi matritsaning tartibiga to‘g‘ri keladigan ba’zi matritsa-ustun A. .

Ko'pgina masalalarda biz tenglamani ko'rib chiqishimiz kerak X

bu erda l - ma'lum bir raqam. Har qanday l uchun bu tenglama nol yechimga ega ekanligi aniq.

Bu tenglama nolga teng bo'lmagan yechimlarga ega bo'lgan l soni deyiladi xos qiymat matritsalar A, A X chunki bunday l deyiladi xos vektor matritsalar A.

Matritsaning xos vektorini topamiz A. Chunki E∙X = X, keyin matritsa tenglamasini quyidagicha qayta yozish mumkin yoki . Kengaytirilgan shaklda bu tenglama chiziqli tenglamalar tizimi sifatida qayta yozilishi mumkin. Haqiqatan ham .

Va shuning uchun

Shunday qilib, biz koordinatalarni aniqlash uchun bir hil chiziqli tenglamalar tizimini oldik x 1, x 2, x 3 vektor X. Tizim nolga teng bo'lmagan yechimlarga ega bo'lishi uchun tizimning determinanti nolga teng bo'lishi zarur va etarli, ya'ni.

Bu l uchun 3-darajali tenglama. Bu deyiladi xarakterli tenglama matritsalar A va l ning xos qiymatlarini aniqlashga xizmat qiladi.

Har bir xos qiymat l xos vektorga mos keladi X, uning koordinatalari tizimdan l ning mos keladigan qiymatida aniqlanadi.

Misollar.

VEKTOR ALGEBRA. VEKTOR TUSHUNCHASI

Fizikaning turli bo'limlarini o'rganayotganda ularning son qiymatlarini ko'rsatish orqali to'liq aniqlanadigan miqdorlar mavjud, masalan, uzunlik, maydon, massa, harorat va boshqalar. Bunday miqdorlar skalyar deyiladi. Biroq, ularga qo'shimcha ravishda kattaliklar ham mavjud bo'lib, ularni aniqlash uchun sonli qiymatdan tashqari, ularning fazodagi yo'nalishini ham bilish kerak, masalan, tanaga ta'sir qiluvchi kuch, harakat tezligi va tezlanishi. kosmosda harakat qilganda tanasi, kuchlanish magnit maydon kosmosning ma'lum bir nuqtasida va boshqalar. Bunday kattaliklar vektor kattaliklar deyiladi.

Keling, qat'iy ta'rifni kiritaylik.

Yo'naltirilgan segment Uchlariga nisbatan qaysi biri birinchi, qaysi biri ikkinchi ekanligi ma'lum bo'lgan segmentni chaqiraylik.

Vektor ma'lum uzunlikka ega bo'lgan yo'naltirilgan segment deb ataladi, ya'ni. Bu ma'lum uzunlikdagi segment bo'lib, uni cheklovchi nuqtalardan biri boshi, ikkinchisi esa oxiri sifatida olinadi. Agar A- vektorning boshlanishi, B uning oxiri, keyin vektor qo'shimcha ravishda belgi bilan belgilanadi, vektor ko'pincha bitta harf bilan belgilanadi; Rasmda vektor segment bilan, yo'nalishi esa o'q bilan ko'rsatilgan.

Modul yoki uzunligi Vektor uni aniqlaydigan yo'naltirilgan segmentning uzunligi deb ataladi. || bilan belgilanadi yoki ||.

Biz, shuningdek, vektor sifatida boshlanishi va oxiri bir-biriga mos keladigan nol vektorni ham kiritamiz. Belgilangan. Nol vektor o'ziga xos yo'nalishga ega emas va uning moduli nolga teng ||=0.

Vektorlar deyiladi kollinear, agar ular bir chiziqda yoki parallel chiziqlarda joylashgan bo'lsa. Bundan tashqari, agar va vektorlari bir xil yo'nalishda bo'lsa, biz yozamiz , qarama-qarshi.

Xuddi shu tekislikka parallel bo'lgan to'g'ri chiziqlarda joylashgan vektorlar deyiladi o'xshash.

Ikki vektor deyiladi teng, agar ular kollinear bo'lsa, bir xil yo'nalishga ega va uzunligi teng. Bunday holda ular yozadilar.

Vektorlar tengligining ta'rifidan kelib chiqadiki, vektorni fazoning istalgan nuqtasida o'ziga parallel ravishda ko'chirish mumkin.

Masalan.

VEKTORLARDA CHIZIQLI AMALIYATLAR

1. Vektorni raqamga ko'paytirish.

   Vektor va l sonining ko'paytmasi yangi vektor bo'lib, shundayki:

   Vektor va l sonining ko'paytmasi bilan belgilanadi.

   

   Masalan, vektor bilan bir xil yo'nalishda yo'naltirilgan va uzunligi vektorning yarmiga teng vektor mavjud.

   Kiritilgan operatsiya quyidagilarga ega xususiyatlari:

2. Vektor qo'shilishi.

   Ikki ixtiyoriy vektor bo'lsin va bo'lsin. Keling, ixtiyoriy bir nuqtani olaylik O va vektorni tuzing. Shundan keyin nuqtadan A vektorni chetga surib qo'yamiz. Birinchi vektorning boshini ikkinchi vektorning oxiri bilan bog'lovchi vektor deyiladi miqdori bu vektorlardan va belgilanadi .

   

   Vektor qo'shishning tuzilgan ta'rifi deyiladi parallelogramma qoidasi, chunki vektorlarning bir xil yig'indisini quyidagicha olish mumkin. Keling, nuqtadan keyinga qoldiraylik O vektorlar va . Keling, bu vektorlarga parallelogramm quramiz OABC. Chunki vektorlar, keyin vektor, ya'ni cho'qqidan chizilgan parallelogrammaning diagonali O, vektorlar yig'indisi bo'lishi aniq.

   

   Quyidagilarni tekshirish oson vektor qo'shish xossalari.

3. Vektor farqi.

   Uzunligi teng va qarama-qarshi yo'naltirilgan berilgan vektorga kollinear vektor deyiladi qarama-qarshi vektor uchun vektor va bilan belgilanadi. Qarama-qarshi vektor vektorni l = –1 soniga ko'paytirish natijasi sifatida qaralishi mumkin: .

"Birinchi qismda kimyometrikani tushunish uchun minimal zarur bo'lgan qoidalar belgilangan, ikkinchi qismda ko'p o'lchovli tahlil usullarini chuqurroq tushunish uchun bilishingiz kerak bo'lgan faktlar mavjud. Taqdimot Excel ish kitobida keltirilgan misollar bilan tasvirlangan. Matrix.xls, ushbu hujjat bilan birga keladi.

Misollarga havolalar matnda Excel ob'ektlari sifatida joylashtirilgan. Bu misollar mavhum xususiyatga ega, ular hech qanday tarzda analitik kimyo muammolari bilan bog'liq emas; Kimyometrikada matritsalar algebrasidan foydalanishning real hayotiy misollari turli xil kimyometrik ilovalarni qamrab oluvchi boshqa matnlarda muhokama qilinadi.

Analitik kimyoda qilingan o'lchovlarning aksariyati to'g'ridan-to'g'ri emas, balki bilvosita. Bu shuni anglatadiki, tajribada kerakli tahlil qiluvchi C qiymati (konsentratsiya) o'rniga boshqa qiymat olinadi. x(signal), bog'liq, lekin C ga teng emas, ya'ni. x(C) ≠ C. Qoida tariqasida, qaramlik turi x(C) noma'lum, lekin xayriyatki, analitik kimyoda ko'pchilik o'lchovlar proportsionaldir. Bu shuni anglatadiki, C konsentratsiyasi ortishi bilan a marta, X signali bir xil miqdorda ortadi, ya'ni. x(a C) = a x(C). Bunga qo'shimcha ravishda, signallar ham qo'shimcha hisoblanadi, shuning uchun C 1 va C 2 konsentratsiyasi bo'lgan ikkita modda mavjud bo'lgan namunadan olingan signal har bir komponentning signallari yig'indisiga teng bo'ladi, ya'ni. x(C 1 + C 2) = x(C 1)+ x(C 2). Proportsionallik va qo'shimchalik birgalikda beradi chiziqlilik. Chiziqlilik printsipini ko'rsatish uchun ko'plab misollar keltirish mumkin, ammo ikkita eng yorqin misolni - xromatografiya va spektroskopiyani eslatib o'tish kifoya. Analitik kimyodagi tajribaga xos bo'lgan ikkinchi xususiyat ko'p kanalli. Zamonaviy analitik uskunalar bir vaqtning o'zida ko'plab kanallar uchun signallarni o'lchaydi. Misol uchun, yorug'lik o'tkazuvchanligi intensivligi bir vaqtning o'zida bir nechta to'lqin uzunligi uchun o'lchanadi, ya'ni. spektr. Shuning uchun, tajribada biz ko'plab signallar bilan shug'ullanamiz x 1 , x 2 ,...., x n, o'rganilayotgan tizimda mavjud bo'lgan moddalarning C 1, C 2, ..., C m konsentratsiyalari to'plamini tavsiflovchi.

Guruch. 1 Spektrlar

Shunday qilib, analitik eksperiment chiziqlilik va ko'p o'lchovlilik bilan tavsiflanadi. Shuning uchun eksperimental ma'lumotlarni vektor va matritsalar sifatida ko'rib chiqish va matritsalar algebrasi apparati yordamida ularni manipulyatsiya qilish qulay. Ushbu yondashuvning samaradorligi 4000 dan 4796 sm -1 gacha bo'lgan 200 to'lqin uzunligida olingan uchta spektrni ko'rsatadigan misolda ko'rsatilgan. birinchi ( x 1) va ikkinchi ( x 2) ikkita A va B moddalarning kontsentratsiyasi ma'lum bo'lgan standart namunalar uchun spektrlar olingan: birinchi namunada [A] = 0,5, [B] = 0,1 va ikkinchi namunada [A] = 0,2, [ B] = 0,6. Spektri ko'rsatilgan yangi, noma'lum namuna haqida nima deyish mumkin x 3 ?

Keling, uchta eksperimental spektrni ko'rib chiqaylik x 1 , x 2 va x 3 200 o'lchamli uchta vektor sifatida. Chiziqli algebra yordamida buni osongina ko'rsatish mumkin x 3 = 0.1 x 1 +0.3 x 2, shuning uchun uchinchi namunada aniq konsentratsiyalarda faqat A va B moddalari mavjud [A] = 0,5 × 0,1 + 0,2 × 0,3 = 0,11 va [B] = 0,1 × 0,1 + 0,6 × 0,3 = 0,19.

1. Asosiy ma'lumotlar

1.1 Matritsalar

Matritsa masalan, raqamlarning to'rtburchaklar jadvali deb ataladi

Guruch. 2 matritsa

Matritsalar katta qalin harflar bilan belgilanadi ( A), va ularning elementlari - indekslar bilan mos keladigan kichik harflar bilan, ya'ni. a ij. Birinchi indeks satrlarni, ikkinchisi esa ustunlarni raqamlaydi. Kimyometrikada indeksning maksimal qiymatini indeksning o'zi bilan bir xil harf bilan, lekin bosh harflar bilan belgilash odatiy holdir. Shuning uchun matritsa A sifatida ham yozilishi mumkin ( a ij , i = 1,..., I; j = 1,..., J). Misol uchun matritsa I = 4, J= 3 va a 23 = −7.5.

Raqamlar juftligi I Va J matritsaning o'lchami deb ataladi va sifatida belgilanadi I× J. Kimyometrikada matritsaga misol sifatida olingan spektrlar to'plamini keltirish mumkin I uchun namunalar J to'lqin uzunliklari.

1.2. Matritsalar bilan eng oddiy amallar

Matritsalar bo'lishi mumkin raqamlarga ko'paytiring. Bunday holda, har bir element ushbu raqamga ko'paytiriladi. Masalan -

Guruch. 3 Matritsani songa ko'paytirish

Xuddi shu o'lchamdagi ikkita matritsa elementma-element bo'lishi mumkin katlama Va ayirish. Masalan,

Guruch. 4 Matritsa qo'shilishi

Raqamga ko'paytirish va qo'shish natijasida bir xil o'lchamdagi matritsa olinadi.

Nol matritsa - bu nollardan tashkil topgan matritsa. Belgilangan O. Bu aniq A+O = A, A−A = O va 0 A = O.

Matritsa bo'lishi mumkin ko'chirish. Ushbu operatsiya davomida matritsa aylantiriladi, ya'ni. qatorlar va ustunlar almashtiriladi. Transpozitsiya bosh son bilan belgilanadi, A"yoki indeks A t. Shunday qilib, agar A = {a ij , i = 1,..., I; j = 1,...,J), Bu A t = ( a ji , j = 1,...,J; i = 1,..., I). Masalan

Guruch. 5 Matritsaning transpozitsiyasi

Ko'rinib turibdiki ( A t) t = A, (A+B) t = A t+ B t.

1.3. Matritsalarni ko'paytirish

Matritsalar bo'lishi mumkin ko'paytirmoq, lekin ular tegishli o'lchamlarga ega bo'lsa. Nima uchun bunday bo'lganligi ta'rifdan aniq bo'ladi. Matritsa mahsuloti A, o'lcham I× K, va matritsalar B, o'lcham K× J, matritsa deyiladi C, o'lcham I× J, ularning elementlari raqamlardir

Shunday qilib, mahsulot uchun AB chap matritsadagi ustunlar soni bo'lishi kerak A o'ng matritsadagi qatorlar soniga teng edi B. Matritsa mahsulotiga misol -

6-rasm Matritsalar mahsuloti

Matritsalarni ko'paytirish qoidasini quyidagicha shakllantirish mumkin. Matritsa elementini topish uchun C, chorrahada turgan i-chi qator va j ustun ( c ij) elementni elementga ko'paytirish kerak i-birinchi matritsaning qatori A yoqilgan j ikkinchi matritsaning ustuni B va barcha natijalarni qo'shing. Shunday qilib, ko'rsatilgan misolda uchinchi qator va ikkinchi ustunning elementi uchinchi qatorning elementlar bo'yicha mahsuloti yig'indisi sifatida olinadi. A va ikkinchi ustun B

7-rasm Matritsalar mahsulotining elementi

Matritsalarning mahsuloti tartibga bog'liq, ya'ni. AB ≠ B.A., hech bo'lmaganda o'lchovli sabablarga ko'ra. Ularning aytishicha, bu kommutativ emas. Biroq, matritsalarning mahsuloti assotsiativdir. Bu shuni anglatadiki ABC = (AB)C = A(Miloddan avvalgi). Bundan tashqari, u ham tarqatuvchi, ya'ni. A(B+C) = AB+A.C.. Bu aniq A.O. = O.

1.4. Kvadrat matritsalar

Agar matritsa ustunlari soni uning satrlari soniga teng bo'lsa ( I = J=N), unda bunday matritsa kvadrat deb ataladi. Ushbu bo'limda biz faqat shunday matritsalarni ko'rib chiqamiz. Bu matritsalar orasida maxsus xossaga ega matritsalarni ajratish mumkin.

Bo'ydoq matritsa (belgilangan men, va ba'zan E) 1 ga teng bo'lgan diagonallar bundan mustasno, barcha elementlari nolga teng bo'lgan matritsadir, ya'ni.

Shubhasiz A.I. = I.A. = A.

Matritsa deyiladi diagonal, agar diagonallardan tashqari uning barcha elementlari ( a ii) nolga teng. Masalan

Guruch. 8 Diagonal matritsa

Matritsa A tepa deb ataladi uchburchak, agar uning diagonal ostida yotgan barcha elementlari nolga teng bo'lsa, ya'ni. a ij= 0, at i>j. Masalan

Guruch. 9 Yuqori uchburchak matritsa

Pastki uchburchak matritsa ham xuddi shunday aniqlanadi.

Matritsa A chaqirdi simmetrik, Agar A t = A. Boshqa so'zlar bilan aytganda a ij = a ji. Masalan

Guruch. 10 Simmetrik matritsa

Matritsa A chaqirdi ortogonal, Agar

A t A = A.A. t = I.

Matritsa deyiladi normal Agar

1.5. Iz va determinant

Keyingisi kvadrat matritsa A(Tr bilan belgilanadi( A) yoki Sp( A)) uning diagonal elementlari yig‘indisi,

Masalan,

Guruch. 11 Matritsa izi

Bu aniq

Sp(a A) = a Sp( A) Va

Sp( A+B) = Sp( A)+ Sp( B).

Buni ko'rsatish mumkin

Sp( A) = Sp( A t), Sp( I) = N,

va shuningdek, bu

Sp( AB) = Sp( B.A.).

Kvadrat matritsaning yana bir muhim xususiyati uning aniqlovchi(belgilangan det( A)). Umumiy holatda determinantni aniqlash juda qiyin, shuning uchun biz eng oddiy variant - matritsadan boshlaymiz. A hajmi (2×2). Keyin

(3×3) matritsa uchun determinant ga teng bo'ladi

matritsa holatida ( N× N) determinant 1·2·3· yig'indisi sifatida hisoblanadi ... · N= N! shartlar, ularning har biri teng

Indekslar k 1 , k 2 ,..., k N barcha mumkin bo'lgan tartibli almashtirishlar sifatida aniqlanadi r to'plamdagi raqamlar (1, 2, ..., N). Matritsaning determinantini hisoblash murakkab protsedura bo'lib, amalda maxsus dasturlar yordamida amalga oshiriladi. Masalan,

Guruch. 12 Matritsa determinanti

Keling, faqat aniq xususiyatlarni ta'kidlaymiz:

det( I) = 1, det( A) = det( A t),

det( AB) = det( A)det( B).

1.6. Vektorlar

Agar matritsa faqat bitta ustundan iborat bo'lsa ( J= 1), keyin bunday ob'ekt chaqiriladi vektor. Aniqroq aytganda, ustun vektori. Masalan

Masalan, bitta qatordan iborat matritsalarni ham ko'rib chiqish mumkin

Bu ob'ekt ham vektor, lekin qator vektori. Ma'lumotlarni tahlil qilishda biz qaysi vektorlar - ustunlar yoki satrlar bilan ishlayotganimizni tushunish muhimdir. Shunday qilib, bitta namuna uchun olingan spektrni qator vektori deb hisoblash mumkin. Keyin barcha namunalar uchun ma'lum bir to'lqin uzunligidagi spektral intensivlik to'plami ustun vektori sifatida ko'rib chiqilishi kerak.

Vektorning o'lchami uning elementlari sonidir.

Har qanday ustun vektorini transpozitsiya orqali qator vektoriga aylantirish mumkinligi aniq, ya'ni.

Vektorning shakli aniq ko'rsatilmagan, lekin oddiygina vektor deb aytilgan hollarda, ular ustun vektorini anglatadi. Biz ham ushbu qoidaga amal qilamiz. Vektor kichik, oldinga, qalin harf bilan belgilanadi. Nol vektor - barcha elementlari nolga teng vektor. Belgilangan 0 .

1.7. Vektorlar bilan eng oddiy amallar

Vektorlarni matritsalar kabi raqamlarga qo'shish va ko'paytirish mumkin. Masalan,

Guruch. 13 Vektorlar bilan amallar

Ikki vektor x Va y chaqiriladi kolinear, agar shunday a soni bo'lsa

1.8. Vektor mahsulotlari

Bir xil o'lchamdagi ikkita vektor N ko‘paytirish mumkin. Ikki vektor bo'lsin x = (x 1 , x 2 ,...,x N) t va y = (y 1 , y 2 ,...,y N) t . Qatordan ustunga ko'paytirish qoidasiga asoslanib, biz ulardan ikkita mahsulot yaratishimiz mumkin: x t y Va xy t. Birinchi ish

chaqirdi skalyar yoki ichki. Uning natijasi raqamdir. Bundan tashqari, ( x,y)= x t y. Masalan,

Guruch. 14 Ichki (skalyar) mahsulot

Ikkinchi qism

chaqirdi tashqi. Uning natijasi o'lchamlar matritsasi ( N× N). Masalan,

Guruch. 15 Tashqi ish

Skayar mahsuloti nolga teng vektorlar deyiladi ortogonal.

1.9. Vektor normasi

Vektorning o'zi bilan skalyar ko'paytmasi skalyar kvadrat deyiladi. Bu qiymat

kvadratni belgilaydi uzunligi vektor x. Uzunlikni ko'rsatish uchun (shuningdek, deb ataladi norma vektor) belgisi ishlatiladi

Masalan,

Guruch. 16 Vektor normasi

Uzunlik birligi vektori (|| x|| = 1) normallashtirilgan deb ataladi. Nolga teng bo'lmagan vektor ( x ≠ 0 ) uzunligiga bo'lish orqali normallashtirilishi mumkin, ya'ni. x = ||x|| (x/||x||) = ||x|| e. Bu yerga e = x/||x|| - normallashtirilgan vektor.

Vektorlarning barchasi normallashtirilgan va juft ortogonal bo'lsa, ortonormal deyiladi.

1.10. Vektorlar orasidagi burchak

Skayar mahsulot va ni aniqlaydi burchak ikki vektor orasidagi ph x Va y

Agar vektorlar ortogonal bo'lsa, u holda cosph = 0 va ph = p/2, agar ular kolinear bo'lsa, u holda cosph = 1 va ph = 0 bo'ladi.

1.11. Matritsaning vektor tasviri

Har bir matritsa A hajmi I× J vektorlar to'plami sifatida ifodalanishi mumkin

Bu erda har bir vektor a j hisoblanadi j ustun va qator vektori b i hisoblanadi i matritsaning birinchi qatori A

1.12. Chiziqli bog'liq vektorlar

Xuddi shu o'lchamdagi vektorlar ( N) matritsalar kabi songa qo‘shilishi va ko‘paytirilishi mumkin. Natijada bir xil o'lchamdagi vektor bo'ladi. Bir xil o'lchamdagi bir nechta vektor bo'lsin x 1 , x 2 ,...,x K va bir xil sonlar a a 1 , a 2 ,...,a K. Vektor

y= a 1 x 1 + a 2 x 2 +...+ a K x K

chaqirdi chiziqli birikma vektorlar x k .

Agar shunday nolga teng bo'lmagan raqamlar mavjud bo'lsa a k ≠ 0, k = 1,..., K, Nima y = 0 , keyin bunday vektorlar to'plami x k chaqirdi chiziqli bog'liq. Aks holda vektorlar chiziqli mustaqil deyiladi. Masalan, vektorlar x 1 = (2, 2)t va x 2 = (-1, -1) t chiziqli bog'liq, chunki x 1 +2x 2 = 0

1.13. Matritsa darajasi

To'plamini ko'rib chiqing K vektorlar x 1 , x 2 ,...,x K o'lchamlar N. Ushbu vektorlar tizimining darajasi chiziqli mustaqil vektorlarning maksimal soni. Masalan, to'plamda

masalan, faqat ikkita chiziqli mustaqil vektor mavjud x 1 va x 2, shuning uchun uning darajasi 2.

Shubhasiz, agar to'plamda ularning o'lchamidan ko'proq vektor bo'lsa ( K>N), u holda ular albatta chiziqli bog'liqdir.

Matritsa darajasi(darajali bilan belgilanadi) A)) - o'zi tashkil etgan vektorlar sistemasining darajasi. Har qanday matritsa ikki shaklda (ustun yoki satr vektorlari) ifodalanishi mumkin bo'lsa-da, bu daraja qiymatiga ta'sir qilmaydi, chunki

1.14. Teskari matritsa

Kvadrat matritsa A o'ziga xos xususiyatga ega bo'lsa, degenerativ emas deb ataladi teskari matritsa A-1 shartlar bilan belgilanadi

A.A. −1 = A −1 A = I.

Teskari matritsa hamma matritsalar uchun ham mavjud emas. Degeneratsiya bo'lmasligi uchun zaruriy va etarli shart

det( A) ≠ 0 yoki daraja( A) = N.

Matritsani inversiya qilish - bu maxsus dasturlar mavjud bo'lgan murakkab protsedura. Masalan,

Guruch. 17 Matritsaning inversiyasi

Keling, eng oddiy holat uchun formulalarni keltiramiz - 2 × 2 matritsa

Agar matritsalar A Va B degenerativ emas

(AB) −1 = B −1 A −1 .

1.15. Psevdoteskari matritsa

Agar matritsa A yakka va teskari matritsa mavjud emas, ba'zi hollarda siz foydalanishingiz mumkin psevdoteskari matritsa, u shunday matritsa sifatida aniqlanadi A+ bu

A.A. + A = A.

Pseudoinverse matritsa yagona emas va uning shakli qurilish usuliga bog'liq. Masalan, to'rtburchaklar matritsa uchun Mur-Penrose usulidan foydalanishingiz mumkin.

Agar ustunlar soni qatorlar sonidan kam bo'lsa, u holda

A + =(A t A) −1 A t

Masalan,

Guruch. 17a Matritsaning psevdo-inversiyasi

Agar ustunlar soni qatorlar sonidan ko'p bo'lsa, u holda

A + =A t ( A.A. t) −1

1.16. Vektorni matritsaga ko'paytirish

Vektor x matritsaga ko'paytirilishi mumkin A mos o'lcham. Bunday holda, ustun vektori o'ng tomonga ko'paytiriladi Ax, va vektor qatori chap tomonda x t A. Agar vektor o'lchami J, va matritsa o'lchami I× J keyin natija o'lchov vektori bo'ladi I. Masalan,

Guruch. 18 Vektorni matritsaga ko'paytirish

Agar matritsa A- kvadrat ( I× I), keyin vektor y = Ax bilan bir xil o'lchamga ega x. Bu aniq

A(a 1 x 1 + a 2 x 2) = a 1 Ax 1 + a 2 Ax 2 .

Shuning uchun matritsalarni vektorlarning chiziqli o'zgarishlari deb hisoblash mumkin. Ayniqsa Ix = x, ho'kiz = 0 .

2. Qo'shimcha ma'lumotlar

2.1. Chiziqli tenglamalar sistemalari

Mayli A- matritsa o'lchami I× J, A b- o'lchov vektori J. Tenglamani ko'rib chiqing

Ax = b

vektorga nisbatan x, o'lchamlari I. Asosan, bu tizimdir I bilan chiziqli tenglamalar J noma'lum x 1 ,...,x J. Yechim mavjud bo'lgan taqdirda mavjud

daraja ( A) = daraja ( B) = R,

Qayerda B o'lchamlarning kengaytirilgan matritsasi hisoblanadi I×( J+1), matritsadan iborat A, ustun bilan to'ldiriladi b, B = (A b). Aks holda, tenglamalar mos kelmaydi.

Agar R = I = J, keyin yechim yagona bo'ladi

x = A −1 b.

Agar R < I, keyin chiziqli birikma orqali ifodalanishi mumkin bo'lgan juda ko'p turli xil echimlar mavjud J−R vektorlar. Bir jinsli tenglamalar tizimi Ax = 0 kvadrat matritsa bilan A (N× N) noaniq yechimga ega ( x ≠ 0 ) agar va faqat agar det( A) = 0. Agar R= daraja ( A)<N, keyin bor N−R chiziqli mustaqil yechimlar.

2.2. Ikki chiziqli va kvadratik shakllar

Agar A kvadrat matritsadir va x Va y- mos o'lchamning vektori, keyin shaklning skalyar ko'paytmasi x t Ay chaqirdi ikki chiziqli matritsa bilan aniqlangan shakl A. At x = y ifoda x t Ax chaqirdi kvadratik shakl.

2.3. Ijobiy aniq matritsalar

Kvadrat matritsa A chaqirdi ijobiy aniqlik, agar nolga teng bo'lmagan vektor uchun x ≠ 0 ,

x t Ax > 0.

Xuddi shunday ta'riflangan salbiy (x t Ax < 0), salbiy bo'lmagan (x t Ax≥ 0) va salbiy (x t Ax≤ 0) muayyan matritsalar.

2.4. Xoleskiyning parchalanishi

Agar simmetrik matritsa bo'lsa A musbat aniq bo'lsa, u holda yagona uchburchak matritsa mavjud U ijobiy elementlar bilan, buning uchun

A = U t U.

Masalan,

Guruch. 19 Xoleskiyning parchalanishi

2.5. Polar parchalanish

Mayli A o'lchamning yagona bo'lmagan kvadrat matritsasi N× N. Keyin o'ziga xoslik bor qutbli ishlash

A = S.R.

Qayerda S manfiy bo'lmagan simmetrik matritsadir va R ortogonal matritsadir. Matritsalar S Va R aniq belgilanishi mumkin:

S 2 = A.A. t yoki S = (A.A. t) ½ va R = S −1 A = (A.A. t) −½ A.

Masalan,

Guruch. 20 Polar parchalanish

Agar matritsa A degenerativ bo'lsa, dekompozitsiya noyob emas - ya'ni: S hali yolg'iz, lekin R ehtimol ko'p. Polar parchalanish matritsani ifodalaydi A siqish/kengaytma birikmasi sifatida S va aylantiring R.

2.6. Xususiy vektorlar va xos qiymatlar

Mayli A kvadrat matritsadir. Vektor v chaqirdi xos vektor matritsalar A, Agar

Av = λ v,

bu erda l raqami chaqiriladi xos qiymat matritsalar A. Shunday qilib, matritsa amalga oshiradigan transformatsiya A vektor ustida v, l koeffitsienti bilan oddiy cho'zish yoki siqilishga tushadi. Xususiy vektor doimiy a ≠ 0 bilan ko'paytirishgacha aniqlanadi, ya'ni. Agar v xos vektor, keyin a v- shuningdek, xos vektor.

2.7. Xususiy qiymatlar

Matritsada A, o'lcham ( N× N) dan ortiq bo'lishi mumkin emas N xos qiymatlar. Ular qoniqtiradilar xarakterli tenglama

det( A − λ I) = 0,

bu algebraik tenglama N- tartib. Xususan, 2×2 matritsa uchun xarakteristik tenglama shaklga ega

Masalan,

Guruch. 21 Xususiy qiymatlar

Xususiy qiymatlar to'plami l 1 ,..., l N matritsalar A chaqirdi spektr A.

Spektr turli xil xususiyatlarga ega. Ayniqsa

det( A) = l 1 ×...×l N,Sp( A) = l 1 +...+l N.

Ixtiyoriy matritsaning o'ziga xos qiymatlari murakkab sonlar bo'lishi mumkin, ammo agar matritsa simmetrik bo'lsa ( A t = A), unda uning xos qiymatlari haqiqiy bo'ladi.

2.8. Xususiy vektorlar

Matritsada A, o'lcham ( N× N) dan ortiq bo'lishi mumkin emas N xos vektorlar, ularning har biri o'zining shaxsiy qiymatiga mos keladi. Xususiy vektorni aniqlash uchun v n bir jinsli tenglamalar sistemasini yechish kerak

(A − λ n I)v n = 0 .

Bu ahamiyatsiz yechimga ega, chunki det( A -λ n I) = 0.

Masalan,

Guruch. 22 xos vektorlar

Simmetrik matritsaning xos vektorlari ortogonaldir.

Xususiy qiymatlar (raqamlar) va xos vektorlar.
Yechimlarga misollar

O'zingni qo'lga ol; ahmoqlik qilma

Ikkala tenglamadan kelib chiqadiki.

Keling, uni qo'yaylik: .

Natijada: – ikkinchi xos vektor.

Keling, takrorlaymiz muhim nuqtalar yechimlar:

- natijada olingan tizim, albatta, umumiy yechimga ega (tenglamalar chiziqli bog'liq);

– biz “y” ni shunday tanlaymizki, u butun son va birinchi “x” koordinatasi butun son, musbat va imkon qadar kichik bo‘lsin.

– biz aniq yechim tizimning har bir tenglamasini qanoatlantirishini tekshiramiz.

Javob .

Oraliq "nazorat punktlari" etarli edi, shuning uchun tenglikni tekshirish, qoida tariqasida, keraksizdir.

Turli ma'lumot manbalarida xos vektorlarning koordinatalari ko'pincha ustunlarda emas, balki qatorlarda yoziladi, masalan: (to'g'risini aytsam, men o'zim ham ularni satrlarda yozishga odatlanganman). Ushbu variant qabul qilinadi, lekin mavzuni hisobga olgan holda chiziqli transformatsiyalar texnik jihatdan foydalanish uchun qulayroqdir ustun vektorlari.

Ehtimol, yechim sizga juda uzoq tuyulgandir, lekin bu faqat birinchi misolni batafsil sharhlaganim uchundir.

2-misol

Matritsalar

Keling, o'zimiz mashq qilaylik! Dars oxirida yakuniy topshiriqning taxminiy namunasi.

Ba'zan qilish kerak qo'shimcha vazifa, ya'ni:

kanonik matritsaning parchalanishini yozing

Bu nima?

Agar matritsaning xos vektorlari shakllansa asos, keyin u quyidagicha ifodalanishi mumkin:

Xususiy vektorlarning koordinatalaridan tashkil topgan matritsa qayerda, - diagonal mos keladigan xos qiymatlarga ega matritsa.

Ushbu matritsaning parchalanishi deyiladi kanonik yoki diagonal.

Birinchi misolning matritsasiga qaraylik. Uning xos vektorlari chiziqli mustaqil(kollinear emas) va asosni tashkil qiladi. Ularning koordinatalarining matritsasini tuzamiz:

Yoniq asosiy diagonali matritsalar tegishli tartibda xos qiymatlar joylashgan, qolgan elementlar esa nolga teng:
- Men yana bir bor tartibning muhimligini ta'kidlayman: "ikki" 1-vektorga to'g'ri keladi va shuning uchun 1-ustunda joylashgan, "uch" - 2-vektorga.

Topish uchun odatiy algoritmdan foydalanish teskari matritsa yoki Gauss-Jordan usuli topamiz . Yo'q, bu xato emas! - sizning oldingizda quyosh tutilishi kabi kamdan-kam uchraydigan hodisa, aksi asl matritsaga to'g'ri kelganda.

Matritsaning kanonik parchalanishini yozish qoladi:

Tizim elementar transformatsiyalar yordamida echilishi mumkin va keyingi misollarda biz ushbu usulga murojaat qilamiz. Ammo bu erda "maktab" usuli ancha tezroq ishlaydi. 3-tenglamadan quyidagini ifodalaymiz: – ikkinchi tenglamaga almashtiramiz:

Birinchi koordinata nolga teng bo'lganligi sababli, biz har bir tenglamadan quyidagi tizimni olamiz.

Va yana chiziqli munosabatlarning majburiy mavjudligiga e'tibor bering. Agar arzimas yechim topilsa , keyin yoki xususiy qiymat noto'g'ri topilgan yoki tizim xato bilan tuzilgan/yechilgan.

Yilni koordinatalar qiymatni beradi

xos vektor:

Va yana bir bor biz yechim topilganligini tekshiramiz tizimning har bir tenglamasini qanoatlantiradi. Keyingi paragraflarda va keyingi vazifalarda men ushbu istakni majburiy qoida sifatida qabul qilishni tavsiya etaman.

2) Xususiy qiymat uchun xuddi shu printsipdan foydalanib, biz quyidagi tizimni olamiz:

Tizimning 2- tenglamasidan quyidagilarni ifodalaymiz: – uchinchi tenglamaga almashtiramiz:

"Zeta" koordinatasi nolga teng bo'lgani uchun biz har bir tenglamadan chiziqli bog'liqlik keladigan tizimni olamiz.

Mayli

Yechim ekanligini tekshirish tizimning har bir tenglamasini qanoatlantiradi.

Shunday qilib, xos vektor: .

3) Va nihoyat, sistema xos qiymatga mos keladi:

Ikkinchi tenglama eng oddiy ko'rinadi, shuning uchun uni ifodalaymiz va uni 1 va 3 tenglamalarga almashtiramiz:

Hammasi yaxshi - chiziqli munosabatlar paydo bo'ldi, biz uni ifoda bilan almashtiramiz:

Natijada “x” va “y” “z” orqali ifodalangan: . Amalda, bunday munosabatlarga aniq erishish shart emas, ba'zi hollarda ham orqali yoki orqali ifodalash qulayroqdir. Yoki hatto "poezd" - masalan, "X" "I" dan va "I" "Z" dan

Keling, uni qo'yaylik:

Yechim topilganligini tekshiramiz sistemaning har bir tenglamasini qanoatlantiradi va uchinchi xos vektorni yozadi

Javob: xos vektorlar:

Geometrik jihatdan bu vektorlar uch xil fazoviy yo'nalishni belgilaydi ("oldi va orqasi"), bunga ko'ra chiziqli transformatsiya nolga teng bo'lmagan vektorlarni (o'z vektorlarni) kollinear vektorlarga aylantiradi.

Agar shart kanonik parchalanishni topishni talab qilsa, bu erda bu mumkin, chunki turli xos qiymatlar turli chiziqli mustaqil xos vektorlarga mos keladi. Matritsa yasash ularning koordinatalaridan, diagonal matritsa dan tegishli xos qiymatlar va toping teskari matritsa .

Agar shartga ko'ra yozish kerak bo'lsa xos vektorlar asosida chiziqli transformatsiya matritsasi, keyin javobni shaklda beramiz. Farqi bor va farqi sezilarli! Chunki bu matritsa “de” matritsadir.

Ko'proq muammo oddiy hisob-kitoblar uchun mustaqil qaror:

5-misol

Matritsa orqali berilgan chiziqli o‘zgartirishning xos vektorlarini toping

O'z raqamlaringizni topayotganda, 3-darajali polinomga o'tmaslikka harakat qiling. Bundan tashqari, sizning tizim yechimlaringiz mening yechimlarimdan farq qilishi mumkin - bu erda aniqlik yo'q; va siz topgan vektorlar namunaviy vektorlardan ularning tegishli koordinatalarining proportsionalligiga qadar farq qilishi mumkin. Masalan, va. Javobni shaklda taqdim etish estetik jihatdan yoqimli, ammo agar siz ikkinchi variantda to'xtasangiz yaxshi bo'ladi. Biroq, har bir narsaning o'rtacha chegaralari bor, versiya endi juda yaxshi ko'rinmaydi.

Dars oxirida topshiriqning taxminiy yakuniy namunasi.

Bir nechta o'z qiymatlari bo'lsa, masalani qanday hal qilish mumkin?

Umumiy algoritm bir xil bo'lib qoladi, lekin u o'ziga xos xususiyatlarga ega va yechimning ba'zi qismlarini yanada qattiqroq akademik uslubda saqlash tavsiya etiladi:

6-misol

Xususiy qiymatlar va xos vektorlarni toping

Yechim

Albatta, ajoyib birinchi ustunni bosh harf bilan yozamiz:

Kvadrat uch a’zoni faktorlarga ajratgandan keyin:

Natijada, o'z qiymatlari olinadi, ulardan ikkitasi ko'paytiriladi.

Keling, xos vektorlarni topamiz:

1) Keling, "soddalashtirilgan" sxema bo'yicha yolg'iz askar bilan shug'ullanamiz:

Oxirgi ikkita tenglamadan tenglik aniq ko'rinadi, bu tizimning birinchi tenglamasiga almashtirilishi kerak:

Siz yaxshiroq kombinatsiyani topa olmaysiz:
xos vektor:

2-3) Endi biz bir nechta soqchilarni olib tashlaymiz. Bunday holda, u paydo bo'lishi mumkin ikkita yoki bitta xos vektor. Ildizlarning ko'pligidan qat'i nazar, biz qiymatni determinantga almashtiramiz bu bizga keyingisini olib keladi chiziqli tenglamalarning bir jinsli tizimi:

Xususiy vektorlar aynan vektorlardir
asosiy yechimlar tizimi

Aslida, butun dars davomida biz asosiy tizim vektorlarini topishdan boshqa hech narsa qilmadik. Shunchaki, hozircha bu atama ayniqsa talab qilinmagan. Aytgancha, kamuflyaj kostyumlarida mavzuni o'tkazib yuborgan aqlli talabalar bir jinsli tenglamalar, endi uni chekishga majbur bo'ladi.

Faqatgina harakat qo'shimcha chiziqlarni olib tashlash edi. Natijada, o'rtada rasmiy "qadam" bo'lgan bir-uch matritsa hosil bo'ladi.
– asosiy o‘zgaruvchi, – erkin o‘zgaruvchilar. Ikkita erkin o'zgaruvchi mavjud, shuning uchun fundamental tizimning ikkita vektori ham mavjud.

Asosiy o‘zgaruvchini erkin o‘zgaruvchilar bilan ifodalaymiz: . "X" oldidagi nol omil unga mutlaqo har qanday qiymatlarni olish imkonini beradi (bu tenglamalar tizimidan aniq ko'rinadi).

Ushbu muammo kontekstida umumiy yechimni qatorga emas, balki ustunga yozish qulayroqdir:

Bu juftlik xos vektorga mos keladi:
Bu juftlik xos vektorga mos keladi:

Eslatma : murakkab o'quvchilar ushbu vektorlarni og'zaki ravishda tanlashlari mumkin - oddiygina tizimni tahlil qilish orqali , lekin bu erda ba'zi bilimlar kerak: uchta o'zgaruvchi mavjud, tizim matritsasi darajasi- bitta, bu degani asosiy qarorlar tizimi 3 – 1 = 2 vektordan iborat. Biroq, topilgan vektorlar bu ma'lumotsiz ham aniq ko'rinadi, faqat intuitiv darajada. Bunday holda, uchinchi vektor yanada "chiroyli" yoziladi: . Biroq, men sizni ogohlantiraman, boshqa misolda oddiy tanlash mumkin bo'lmasligi mumkin, shuning uchun band tajribali odamlar uchun mo'ljallangan. Bundan tashqari, nima uchun aytaylik, uchinchi vektor sifatida qabul qilmaslik kerak? Axir, uning koordinatalari ham tizimning har bir tenglamasini va vektorlarini qanoatlantiradi chiziqli mustaqil. Ushbu parametr, qoida tariqasida, mos keladi, ammo "qiyshiq", chunki "boshqa" vektor asosiy tizim vektorlarining chiziqli birikmasidir.

Javob: xos qiymatlar: , xos vektorlar:

Mustaqil yechim uchun shunga o'xshash misol:

7-misol

Xususiy qiymatlar va xos vektorlarni toping

Dars oxirida yakuniy dizaynning taxminiy namunasi.

Shuni ta'kidlash kerakki, 6 va 7-misollarda uchta chiziqli mustaqil xususiy vektorlar olinadi va shuning uchun asl matritsa kanonik parchalanishda ifodalanadi. Ammo bunday malina hamma hollarda ham bo'lmaydi:

8-misol

Yechim: Xarakteristik tenglamani tuzamiz va yechamiz:

Birinchi ustundagi determinantni kengaytiramiz:

Biz 3-darajali polinomdan qochib, ko'rib chiqilgan metodologiyaga muvofiq keyingi soddalashtirishlarni amalga oshiramiz:

- xos qiymatlar.

Keling, xos vektorlarni topamiz:

1) Ildiz bilan bog'liq qiyinchiliklar yo'q:

Ajablanmang, to'plamdan tashqari, o'zgaruvchilar ham mavjud - bu erda hech qanday farq yo'q.

3-tenglamadan biz uni ifodalaymiz va 1 va 2 tenglamalarga almashtiramiz:

Ikkala tenglamadan ham shunday bo'ladi:

Unda ruxsat bering:

2-3) Bir nechta qiymatlar uchun biz tizimni olamiz .

Keling, tizimning matritsasini yozamiz va elementar transformatsiyalardan foydalanib, uni bosqichma-bosqich shaklga keltiramiz:

www.sayt topishga imkon beradi. Sayt hisob-kitoblarni amalga oshiradi. Bir necha soniya ichida server to'g'ri echimni beradi. Matritsa uchun xarakteristik tenglama determinantni hisoblash qoidasi yordamida topilgan algebraik ifoda bo'ladi matritsalar matritsalar, asosiy diagonal bo'ylab diagonal elementlar va o'zgaruvchining qiymatlarida farqlar bo'ladi. Hisoblashda matritsa uchun xarakterli tenglama onlayn, har bir element matritsalar mos keladigan boshqa elementlar bilan ko'paytiriladi matritsalar. Rejimda toping onlayn faqat kvadrat uchun mumkin matritsalar. Topish operatsiyasi matritsa uchun xarakterli tenglama onlayn elementlar ko'paytmasining algebraik yig'indisini hisoblashga qisqartiradi matritsalar determinantni topish natijasida matritsalar, faqat aniqlash maqsadida matritsa uchun xarakterli tenglama onlayn. Bu operatsiya nazariyada alohida o'rin tutadi matritsalar, ildizlar yordamida xos qiymatlar va vektorlarni topishga imkon beradi. Topish vazifasi matritsa uchun xarakterli tenglama onlayn ko'paytiruvchi elementlardan iborat matritsalar keyin bu mahsulotlarni ma'lum bir qoida bo'yicha jamlash. www.sayt topadi matritsa uchun xarakterli tenglama rejimida berilgan o'lcham onlayn. Hisoblash matritsa uchun xarakterli tenglama onlayn uning o'lchamini hisobga olgan holda, bu determinantni hisoblash qoidasiga ko'ra topilgan raqamli yoki ramziy koeffitsientli ko'phadni topishdir. matritsalar- mos elementlarning mahsuloti yig'indisi sifatida matritsalar, faqat aniqlash maqsadida matritsa uchun xarakterli tenglama onlayn. Kvadrat uchun o'zgaruvchiga nisbatan ko'phadni topish matritsalar, ta'rif sifatida matritsa uchun xarakteristik tenglama, nazariy jihatdan keng tarqalgan matritsalar. Ko'phadning ildizlarining ma'nosi matritsa uchun xarakterli tenglama onlayn uchun xos vektorlar va xos qiymatlarni aniqlash uchun ishlatiladi matritsalar. Bundan tashqari, agar determinant bo'lsa matritsalar u holda nolga teng bo'ladi matritsaning xarakteristik tenglamasi teskarisidan farqli o'laroq, hali ham mavjud bo'ladi matritsalar. Hisoblash uchun matritsa uchun xarakterli tenglama yoki bir vaqtning o'zida bir nechtasini toping matritsalarning xarakteristik tenglamalari, siz ko'p vaqt va kuch sarflashingiz kerak, bizning serverimiz esa bir necha soniya ichida topadi matritsa uchun xarakterli tenglama onlayn. Bu holda, topish uchun javob matritsa uchun xarakterli tenglama onlayn topishda raqamlar bo'lsa ham, to'g'ri va etarli aniqlik bilan bo'ladi matritsa uchun xarakterli tenglama onlayn mantiqsiz bo'ladi. Veb-saytda www.sayt elementlarda belgilar kiritishga ruxsat beriladi matritsalar, ya'ni matritsa uchun xarakterli tenglama onlayn hisoblashda umumiy ramziy shaklda ifodalanishi mumkin matritsaning xarakteristik tenglamasi onlayn. Topish masalasini yechishda olingan javobni tekshirish foydalidir matritsa uchun xarakterli tenglama onlayn saytdan foydalanish www.sayt. Polinomni hisoblash operatsiyasini bajarishda - matritsaning xarakteristik tenglamasi, bu muammoni hal qilishda ehtiyotkor va o'ta diqqatli bo'lishingiz kerak. O'z navbatida, bizning saytimiz mavzu bo'yicha qaroringizni tekshirishga yordam beradi matritsaning xarakteristik tenglamasi onlayn. Agar hal qilingan muammolarni uzoq vaqt tekshirishga vaqtingiz bo'lmasa, unda www.sayt topish va hisoblashda tekshirish uchun qulay vosita bo'lishi shubhasiz matritsa uchun xarakterli tenglama onlayn.

Ko'rsatmalar

K soni A matritsaning xos qiymati (soni) deb ataladi, agar x vektor Ax=kx bo'lsa. (1) Bunda x vektori k soniga mos keladigan A matritsaning xos vektori deyiladi (1-rasmga qarang) A matritsa rasmdagi kabi shaklga ega.

A matritsaning vektorlarini topish vazifasini qo'yish kerak. X xos vektor koordinatalari bilan berilgan bo'lsin. Matritsa shaklida u ustun matritsasi sifatida yoziladi, qulaylik uchun uni transpozitsiyalangan qator sifatida ko'rsatish kerak. X=(x1,x2,…,xn)^T (1) ga asoslanib, Ax-khx=0 yoki Ax-kEx=0, bu erda E - identifikatsiya matritsasi (asosiy diagonaldagilar, qolgan barcha elementlar nolga teng. ). U holda (A-kE)x=0. (2)

Chiziqli bir jinsli algebraik tenglamalarning ifodasi (2) nolga teng bo'lmagan yechimga ega (o'z vektor). Demak, (2) sistemaning bosh determinanti nolga teng, ya’ni |A-kE|=0. (3) k xususiy qiymatning oxirgi tengligi A matritsaning xarakteristik tenglamasi deb ataladi va kengaytirilgan shaklda shaklga ega (2-rasmga qarang).

Xarakteristik tenglamaning ildiz k ni (2) sistemaga qo'yib, bir jinsli matritsali bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi (uning determinanti nolga teng). Bu sistemaning har bir nolga teng bo‘lmagan yechimi berilgan k xos qiymatga mos keladigan A matritsaning xos vektori (ya’ni xarakteristik tenglamaning ildizi).

Misol. A matritsasining xos qiymatlari va vektorlarini toping (3-rasmga qarang). Xarakteristik tenglama rasmda keltirilgan. 3. Determinantni kengaytiring va berilgan tenglama (3-k)(-1-k)-5=0, (k-3)(k+1)-5=0 boʻlgan matritsaning xos qiymatlarini toping. , k^2-2k -8=0 Uning ildizlari k1=4, k2=-2

a) k1=4 ga mos keluvchi xos vektorlar (A-4kE)x=0 sistemani yechish orqali topiladi. Bunday holda, uning tenglamalaridan faqat bittasi talab qilinadi, chunki tizimning determinanti nolga teng. Agar x=(x1, x2)^T qo‘ysak, sistemaning birinchi tenglamasi (1-4)x1+x2=0, -3x1+x2=0 bo‘ladi. Agar x1=1 (lekin nol emas) deb faraz qilsak, x2=3. Singulyar matritsaga ega bir jinsli sistema kerakli darajada nolga teng boʻlmagan yechimlarga ega boʻlganligi sababli, birinchi xos qiymatga mos keladigan xos vektorlarning butun toʻplami x =C1(1, 3), C1=const.

b) k2=-2 ga mos keluvchi xos vektorlarni toping. (A+2kE)x=0 sistemani yechishda uning birinchi tenglamasi (3+2)x1+x2=0, 5x1+x2=0 bo'ladi, agar x1=1 qo'ysak, x2=-5. Tegishli xos vektorlar x =C2(1, 3), C2=const. Berilgan matritsaning barcha xos vektorlarining umumiy to‘plami: x = C1(1, 3)+ C2(1, 3).

Manbalar:

• Piskunov N.S. Differensial va integral hisoblar. M., 1976, - 576 b.
• xos qiymatlar va matritsa vektorlarini toping

Chiziqli tenglamalar tizimlari bilan ishlashda ma'lumotlarni qayd qilishning jadval shakli bo'lgan matritsalar keng qo'llaniladi. Bundan tashqari, tenglamalar soni matritsaning qatorlar sonini, o'zgaruvchilar soni esa uning ustunlari tartibini belgilaydi. Natijada, chiziqli tizimlarni echish matritsalar bo'yicha operatsiyalarga qisqartiriladi, ulardan biri matritsaning xos qiymatlarini topishdir. Ularni hisoblash xarakterli tenglama yordamida amalga oshiriladi. Xususiy qiymatlar m tartibli kvadrat matritsa uchun aniqlanishi mumkin.

Ko'rsatmalar

Berilgan A kvadratni yozing. Uning xos qiymatlarini topish uchun chiziqli bir jinsli sistemaning notrivial yechimi shartidan kelib chiqadigan xarakteristik tenglamadan foydalaning, bu holda kvadrat matritsa bilan ifodalanadi. Kramerdan kelib chiqqan holda, agar uning determinanti nolga teng bo'lsa, yechim mavjud bo'ladi. Shunday qilib, | tenglamasini yozishimiz mumkin A - lE | = 0, bu erda A - berilgan qiymat, l - kerakli sonlar, E - asosiy diagonaldagi barcha elementlar birga, qolganlari esa nolga teng bo'lgan bir xillik matritsasi.

Kerakli o'zgaruvchi lni berilgan asl A bilan bir xil o'lchamdagi E matritsasi bilan ko'paytiring. Amaliyot natijasi l ning qiymatlari asosiy diagonal bo'ylab joylashgan matritsa bo'ladi, qolgan elementlar nolga teng bo'lib qoladi. .