Ushbu bo'limda biz ijobiy kvadratik shakllarning maxsus, ammo muhim sinfiga e'tibor qaratamiz.

Ta'rif 3. Haqiqiy kvadratik shakl, agar o'zgaruvchilarning har qanday haqiqiy qiymatlari uchun manfiy bo'lmagan (musbat bo'lmagan) deyiladi.

. (35)

Bunday holda, koeffitsientlarning simmetrik matritsasi musbat yarim aniq (salbiy yarim aniq) deb ataladi.

Ta'rif 4. Haqiqiy kvadratik shakl musbat aniq (salbiy aniq) deb ataladi, agar o'zgaruvchilarning bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lmagan har qanday haqiqiy qiymatlari uchun,

. (36)

Bunday holda, matritsa musbat aniq (salbiy aniq) deb ham ataladi.

Ijobiy aniq (salbiy aniq) shakllar sinfi inkor bo'lmagan (javob. nomusbat) shakllar sinfiga kiradi.

Salbiy bo'lmagan shakl berilsin. Keling, uni mustaqil kvadratlar yig'indisi sifatida tasavvur qilaylik:

. (37)

Ushbu tasvirda barcha kvadratlar ijobiy bo'lishi kerak:

. (38)

Haqiqatan ham, agar mavjud bo'lsa, unda bunday qiymatlarni tanlash mumkin edi

Ammo keyin, o'zgaruvchilarning ushbu qiymatlari bilan shakl salbiy qiymatga ega bo'ladi, bu shart bilan mumkin emas. Shubhasiz, aksincha, (37) va (38) dan shakl ijobiy ekanligi kelib chiqadi.

Shunday qilib, manfiy bo'lmagan kvadratik shakl tenglik bilan tavsiflanadi.

Keling, ijobiy aniq shakl bo'lsin. Keyin u salbiy bo'lmagan shakldir. Shuning uchun uni (37) ko'rinishda ifodalash mumkin, bu erda hammasi ijobiydir. Shaklning ijobiy aniqligidan kelib chiqadiki. Darhaqiqat, bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lmagan qiymatlarni tanlash mumkin, bunda hammasi nolga aylanadi. Ammo keyin (37) ga ko'ra, (36) shartga zid keladi.

Ko'rish oson, aksincha, agar (37) da va hammasi ijobiy bo'lsa, u ijobiy aniq shakldir.

Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, inkor bo'lmagan shakl, agar u birlik bo'lmasa, ijobiy aniqlikdir.

Quyidagi teorema shakl koeffitsientlari qanoatlantirishi kerak bo'lgan tengsizliklar ko'rinishidagi shaklning ijobiy aniqligi mezonini beradi. Bunday holda, matritsaning ketma-ket asosiy voyaga etmaganlari uchun oldingi paragraflarda mavjud bo'lgan belgi qo'llaniladi:

.

Teorema 3. Kvadrat shakl musbat aniq bo‘lishi uchun tengsizliklar qanoatlantirilishi zarur va yetarlidir.

Isbot. (39) shartlarning etarliligi to'g'ridan-to'g'ri Yakobi formulasidan (28) kelib chiqadi. Shartlarning zarurligi (39) quyidagicha belgilanadi. Shaklning ijobiy aniqligidan "kesilgan" shakllarning ijobiy aniqligi kelib chiqadi

.

Ammo keyin bu shakllarning barchasi yagona bo'lmagan bo'lishi kerak, ya'ni.

Endi bizda Yakobi formulasidan (28) (da) foydalanish imkoniyati mavjud. Ushbu formulaning o'ng tomonida barcha kvadratlar ijobiy bo'lishi kerak

Bu tengsizliklarni nazarda tutadi (39). Teorema isbotlangan.

Matritsaning har qanday asosiy minorini o'zgaruvchilarni to'g'ri qayta raqamlash bilan yuqori chap burchakda joylashtirish mumkin bo'lganligi sababli, bizda

Natija. Ijobiy aniq kvadratik shaklda koeffitsient matritsasining barcha asosiy kichiklari ijobiydir:

Izoh. Ketma-ket asosiy voyaga etmaganlarning noaniqligidan

shaklning manfiy emasligi ergashmaydi. Haqiqatan ham, shakl

,

qaysi ichida , shartlarni qondiradi , lekin salbiy emas.

Biroq, quyidagi amal qiladi

Teorema 4. Kvadrat shakl manfiy bo‘lmasligi uchun uning koeffitsienti matritsasining barcha katta minorlari manfiy bo‘lmasligi zarur va yetarli:

Isbot. Yordamchi shaklini kiritaylik edi nomusbat, bu tengsizliklar sodir bo'lishi uchun zarur va etarli.

Musbat aniq kvadrat shakllar

Ta'rif. dan kvadratik shakl n noma'lumlar deyiladi ijobiy aniqlik, agar uning darajasi musbat inersiya indeksiga teng va noma'lumlar soniga teng bo'lsa.

Teorema. Kvadrat shakl, agar u o'zgaruvchilarning nolga teng bo'lmagan qiymatlari to'plamida ijobiy qiymatlarni qabul qilsa, ijobiy aniq hisoblanadi.

Isbot. Kvadrat shakl noma'lumlarning degenerativ bo'lmagan chiziqli o'zgarishi bo'lsin

normal holatga keltirildi

.

Har qanday nolga teng bo'lmagan o'zgaruvchan qiymatlar to'plami uchun raqamlardan kamida bittasi noldan farq qiladi, ya'ni. . Teoremaning zarurligi isbotlangan.

Faraz qilaylik, kvadratik shakl har qanday nolga teng bo'lmagan o'zgaruvchilar to'plamida ijobiy qiymatlarni oladi, ammo uning ijobiy inertsiya indeksi noma'lumlarning degenerativ bo'lmagan chiziqli o'zgarishidir.

Keling, uni normal shaklga keltiraylik. Umumiylikni yo'qotmasdan, biz ushbu normal shaklda oxirgi o'zgaruvchining kvadrati yo'q yoki minus belgisi bilan kiritilgan deb taxmin qilishimiz mumkin, ya'ni. , qayerda yoki . Faraz qilaylik, bu chiziqli tenglamalar tizimini echish natijasida olingan o'zgaruvchilar qiymatlarining nolga teng bo'lmagan to'plamidir.

Bu sistemada tenglamalar soni o'zgaruvchilar soniga teng va sistemaning determinanti nolga teng emas. Kramer teoremasiga ko'ra, tizim yagona yechimga ega va u nolga teng emas. Ushbu to'plam uchun. Shartga zid. Biz teoremaning etarliligini isbotlovchi faraz bilan ziddiyatga kelamiz.

Bu mezondan foydalanib, koeffitsientlardan kvadratik shaklning musbat aniqlanganligini aniqlash mumkin emas. Bu savolga javob boshqa teorema bilan berilgan, uni shakllantirish uchun biz boshqa kontseptsiyani kiritamiz. Matritsaning asosiy diagonal minorlari- bular uning yuqori chap burchagida joylashgan voyaga etmaganlar:

, , , … , .

Teorema.Kvadrat shakl, agar uning barcha asosiy diagonal minorlari musbat bo'lsa, musbat aniq hisoblanadi.

Isbot son bo'yicha to'liq matematik induksiya usulini bajaramiz n kvadratik o'zgaruvchilar f.

Induksion gipoteza. Faraz qilaylik, o'zgaruvchilari kam kvadratik shakllar uchun n bayonot haqiqat.

ning kvadrat shaklini ko'rib chiqing n o'zgaruvchilar. ni o'z ichiga olgan barcha shartlarni qo'yaylik. Qolgan atamalar o'zgaruvchilarning kvadrat shaklini hosil qiladi. Induksiya gipotezasiga ko'ra, bu bayonot uning uchun to'g'ri.

Kvadrat shakl musbat aniqlangan deb faraz qilaylik. U holda kvadratik shakl musbat aniqlangan bo'ladi. Agar bunday emas deb faraz qilsak, u holda o'zgaruvchan qiymatlarning nolga teng bo'lmagan to'plami mavjud , buning uchun va shunga mos ravishda , va bu kvadratik shakl musbat aniqlik ekanligiga zid keladi. Induksiya gipotezasiga ko'ra, kvadrat shaklning barcha asosiy diagonali kichiklari ijobiydir, ya'ni. kvadrat shakldagi barcha birinchi asosiy kichiklar f ijobiydir. Kvadrat shaklning oxirgi asosiy minori – bu uning matritsasining determinantidir. Bu determinant ijobiydir, chunki uning belgisi normal shakldagi matritsaning belgisiga to'g'ri keladi, ya'ni. identifikatsiya matritsasi determinantining belgisi bilan.

Kvadrat shaklning barcha bosh diagonal minorlari musbat bo'lsin . Induksiya gipotezasiga ko'ra, kvadratik shakl ijobiy aniqlangan, shuning uchun shaklni yangi o'zgaruvchilar kvadratlari yig'indisi shakliga tushiradigan o'zgaruvchilarning degenerativ bo'lmagan chiziqli transformatsiyasi mavjud. Ushbu chiziqli transformatsiyani sozlash orqali barcha o'zgaruvchilarning degenerativ bo'lmagan chiziqli transformatsiyasiga uzaytirilishi mumkin. Bu transformatsiya kvadrat shaklni shaklga qisqartiradi

Kvadrat shakl haqida tushuncha. Kvadrat shakl matritsasi. Kvadrat shaklning kanonik shakli. Lagrange usuli. Kvadrat shaklning normal ko'rinishi. Kvadrat shaklning darajasi, indeksi va imzosi. Ijobiy aniq kvadrat shakl. Kvadriklar.

Kvadrat shakl tushunchasi: vektor koordinatalarida ikkinchi darajali bir jinsli ko'phad bilan aniqlangan vektor fazodagi funksiya.

dan kvadratik shakl n noma'lum yig'indi deb ataladi, uning har bir a'zosi shu noma'lumlardan birining kvadrati yoki ikki xil noma'lumning ko'paytmasi.

Kvadrat matritsa: Matritsa ma'lum asosda kvadrat shakldagi matritsa deb ataladi. Agar maydon xarakteristikasi 2 ga teng bo'lmasa, kvadrat shakldagi matritsa simmetrik, ya'ni, deb taxmin qilishimiz mumkin.

Kvadrat shakldagi matritsani yozing:

Demak,

Vektor matritsa shaklida kvadratik shakl quyidagicha bo'ladi:

A, qayerda

Kvadrat shaklning kanonik shakli: Kvadrat shakl, agar hammasi bo'lsa, kanonik deyiladi ya'ni

Har qanday kvadratik shakl chiziqli transformatsiyalar yordamida kanonik shaklga keltirilishi mumkin. Amalda odatda quyidagi usullar qo'llaniladi.

Lagrange usuli : to'liq kvadratlarni ketma-ket tanlash. Masalan, agar

Keyin kvadrat shakl bilan shunga o'xshash protsedura bajariladi va hokazo. Agar kvadrat shaklda hamma narsa lekin keyin dastlabki o'zgartirishdan so'ng masala ko'rib chiqilgan protseduraga tushadi. Shunday qilib, agar, masalan, biz taxmin qilamiz

Kvadrat shaklning normal shakli: Oddiy kvadratik shakl kanonik kvadratik shakl bo'lib, unda barcha koeffitsientlar +1 yoki -1 ga teng.

Kvadrat shaklning darajasi, indeksi va imzosi: Kvadrat shakl darajasi A matritsaning darajasi deyiladi A. Noma'lumlarning degenerativ bo'lmagan o'zgarishlarida kvadratik shaklning darajasi o'zgarmaydi.

Salbiy koeffitsientlar soni manfiy shakl indeksi deb ataladi.

Kanonik shakldagi musbat hadlar soni kvadrat shakldagi musbat inersiya indeksi, manfiy hadlar soni manfiy indeks deb ataladi. Ijobiy va manfiy indekslar orasidagi farq kvadrat shaklning imzosi deb ataladi

Ijobiy aniq kvadrat shakl: Haqiqiy kvadratik shakl Agar bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lmagan o'zgaruvchilarning har qanday haqiqiy qiymatlari uchun, ijobiy aniq (salbiy aniq) deb ataladi.

. (36)

Bunday holda, matritsa musbat aniq (salbiy aniq) deb ham ataladi.

Ijobiy aniq (salbiy aniq) shakllar sinfi inkor bo'lmagan (javob. nomusbat) shakllar sinfiga kiradi.

Kvadriklar: Kvadrat - n- o'lchovli gipersurfa n+1-o'lchovli fazo, ikkinchi darajali ko'phadning nollar to'plami sifatida aniqlanadi. Agar siz koordinatalarni kiritsangiz ( x 1 , x 2 , x n+1 ) (evklid yoki affin fazoda), kvadratning umumiy tenglamasi

Ushbu tenglamani matritsa yozuvida ixchamroq qayta yozish mumkin:

bu erda x = ( x 1 , x 2 , x n+1 ) — qator vektori, x T - transpozitsiyalangan vektor, Q- o'lcham matritsasi ( n+1)×( n+1) (uning kamida bitta elementi nolga teng deb taxmin qilinadi), P qator vektoridir va R- doimiy. Haqiqiy yoki murakkab sonlar ustidagi kvadratiklar ko'pincha hisobga olinadi. Ta'rifni proyektiv fazoda kvadriklarga kengaytirish mumkin, pastga qarang.

Umuman olganda, polinom tenglamalar tizimining nollar to'plami algebraik xilma-xillik deb nomlanadi. Shunday qilib, kvadratik ikkinchi darajali (affin yoki proyektiv) algebraik xilma-xillik va 1 kod o'lchovidir.

Tekislik va fazoning o'zgarishi.

Tekislik transformatsiyasining ta'rifi. Harakatni aniqlash. harakat xususiyatlari. Harakatning ikki turi: birinchi turdagi harakat va ikkinchi turdagi harakat. Harakatlarga misollar. Harakatning analitik ifodasi. Tekislik harakatlarining tasnifi (qattiq nuqtalar va o'zgarmas chiziqlar mavjudligiga qarab). Samolyot harakatlari guruhi.

Tekislik transformatsiyasining ta'rifi: Ta'rifi. Nuqtalar orasidagi masofani saqlaydigan tekislik konvertatsiyasi deyiladi harakat samolyotning (yoki harakati). Tekislik konvertatsiyasi deyiladi affin, agar u bir toʻgʻrida yotgan har qanday uch nuqtani ham bir xil toʻgʻrida yotgan uchta nuqtaga aylantirsa va bir vaqtning oʻzida uch nuqtaning oddiy munosabatini saqlasa.

Harakat ta'rifi: Bu nuqtalar orasidagi masofani saqlaydigan shakl o'zgarishlari. Agar ikkita raqam harakat orqali bir-biriga aniq mos keladigan bo'lsa, unda bu raqamlar bir xil, tengdir.

Harakat xususiyatlari: Tekislikning har bir orientatsiyani saqlaydigan harakati parallel ko'chirish yoki aylanishdir; Harakatlanayotganda to'g'ri chiziq ustida yotgan nuqtalar to'g'ri chiziq ustida yotgan nuqtalarga aylanadi va ularning tartibi saqlanib qoladi. nisbiy pozitsiya. Harakatlanayotganda yarim chiziqlar orasidagi burchaklar saqlanib qoladi.

Ikki turdagi harakatlar: birinchi turdagi harakat va ikkinchi turdagi harakatlar: Birinchi turdagi harakatlar - bu ma'lum bir figuraning asoslari yo'nalishini saqlaydigan harakatlar. Ular doimiy harakatlar orqali amalga oshirilishi mumkin.

Ikkinchi turdagi harakatlar - bu asoslarning yo'nalishini teskari tomonga o'zgartiradigan harakatlar. Ularni doimiy harakatlar bilan amalga oshirish mumkin emas.

Birinchi turdagi harakatlarga to'g'ri chiziq atrofida aylantirish va aylanish, ikkinchi turdagi harakatlarga markaziy va oyna simmetriyalari misol bo'ladi.

Birinchi turdagi harakatlarning istalgan sonining tarkibi birinchi turdagi harakatdir.

Ikkinchi turdagi juft sonli harakatlar tarkibi 1-turdagi harakat, 2-turdagi toq sonli harakatlar tarkibi esa 2-turdagi harakatlardir.

Harakatlarga misollar:Parallel uzatish. Berilgan vektor a bo'lsin. a vektoriga parallel o'tkazish - bu tekislikning o'ziga xaritasi bo'lib, bunda har bir M nuqta M 1 nuqtaga tushiriladi, shuning uchun MM 1 vektor a vektoriga teng bo'ladi.

Parallel tarjima - bu harakat, chunki u masofalarni saqlagan holda tekislikning o'ziga xaritasi hisoblanadi. Ushbu harakatni vizual ravishda butun tekislikning berilgan a vektor yo'nalishi bo'yicha uzunligi bo'yicha siljishi sifatida tasvirlash mumkin.

Aylantirish. Tekislikdagi O nuqtani belgilaymiz ( burilish markazi) va burchakni o'rnating a ( aylanish burchagi). Tekislikning O nuqta atrofida a burchak bilan aylanishi - bu tekislikning o'ziga xaritasi bo'lib, bunda har bir M nuqta M 1 nuqtaga tushiriladi, OM = OM 1 va MOM 1 burchagi a ga teng bo'ladi. Bunday holda, O nuqtasi o'z o'rnida qoladi, ya'ni u o'z-o'zidan xaritaga tushiriladi va boshqa barcha nuqtalar O nuqtasi atrofida bir xil yo'nalishda - soat yo'nalishi bo'yicha yoki soat sohasi farqli ravishda aylanadi (rasmda soat miliga teskari aylanish ko'rsatilgan).

Aylanish - bu harakat, chunki u masofalar saqlanib qolgan tekislikning o'ziga xaritasini ifodalaydi.

Harakatning analitik ifodasi: oldingi tasvir koordinatalari bilan nuqta tasviri orasidagi analitik bog`lanish (1) ko`rinishga ega bo`ladi.

Tekislik harakatlarining tasnifi (qo'zg'almas nuqtalar va o'zgarmas chiziqlar mavjudligiga qarab): Ta'rif:

Tekislikdagi nuqta o'zgarmas (qat'iy) hisoblanadi, agar u berilgan transformatsiya ostida o'ziga aylanadi.

Misol: Markaziy simmetriya bilan simmetriya markazining nuqtasi o'zgarmasdir. Burilish paytida aylanish markazining nuqtasi o'zgarmasdir. Eksenel simmetriya bilan o'zgarmas chiziq to'g'ri chiziqdir - simmetriya o'qi o'zgarmas nuqtalarning to'g'ri chizig'idir.

Teorema: Agar harakat bitta o'zgarmas nuqtaga ega bo'lmasa, u kamida bitta o'zgarmas yo'nalishga ega.

Misol: Parallel uzatish. Darhaqiqat, bu yo'nalishga parallel bo'lgan to'g'ri chiziqlar o'zgarmas nuqtalardan iborat bo'lmasa-da, bir butun sifatida invariantdir.

Teorema: Agar nur harakatlansa, nur o'ziga aylanadi, demak, bu harakat berilgan nurni o'z ichiga olgan to'g'ri chiziqqa nisbatan bir xil o'zgarish yoki simmetriyadir.

Shuning uchun, o'zgarmas nuqtalar yoki raqamlar mavjudligiga asoslanib, harakatlarni tasniflash mumkin.

Harakat nomi	Invariant nuqtalar	Invariant chiziqlar
Birinchi turdagi harakat.
1. - burilish	(markazda) - 0	Yo'q
2. Identifikatsiyani o'zgartirish	samolyotning barcha nuqtalari	hammasi to'g'ri
3. Markaziy simmetriya	nuqta 0 - markaz	0 nuqtadan o'tadigan barcha chiziqlar
4. Parallel uzatish	Yo'q	hammasi to'g'ri
Ikkinchi turdagi harakat.
5. Eksenel simmetriya.	nuqtalar to'plami	simmetriya o'qi (to'g'ri chiziq) barcha to'g'ri chiziqlar

Samolyot harakati guruhi: Geometriyada muhim rol o'z-o'zini birlashtirgan raqamlar guruhlari o'ynaydi. Agar ma'lum bir figura tekislikda (yoki kosmosda) bo'lsa, unda biz tekislikning (yoki fazoning) barcha harakatlarining to'plamini ko'rib chiqishimiz mumkin, bunda bu raqam o'ziga aylanadi.

Ushbu to'plam guruhdir. Masalan, teng yonli uchburchak uchun uchburchakni o'ziga aylantiruvchi tekislik harakatlari guruhi 6 ta elementdan iborat: nuqta atrofida burchaklar orqali aylanishlar va uchta to'g'ri chiziq atrofidagi simmetriyalar.

Ular rasmda ko'rsatilgan. 1 qizil chiziqlar bilan. Muntazam uchburchakning o'z-o'zini tekislash guruhining elementlari boshqacha ko'rsatilishi mumkin. Buni tushuntirish uchun, keling, muntazam uchburchakning uchlarini 1, 2, 3 raqamlari bilan raqamlaymiz. Uchburchakning har qanday o'z-o'zini tekislashi 1, 2, 3 nuqtalarni bir xil nuqtalarga oladi, lekin boshqa tartibda olinadi, ya'ni. shartli ravishda quyidagi qavslardan biri shaklida yozilishi mumkin:

va hokazo.

bu erda 1, 2, 3 raqamlari ko'rib chiqilayotgan harakat natijasida 1, 2, 3 cho'qqilari kiradigan cho'qqilarning raqamlarini bildiradi.

Proyektiv fazolar va ularning modellari.

Proyektiv fazo tushunchasi va proyektiv fazo modeli. Proyektiv geometriyaning asosiy faktlari. Markazi O nuqtada joylashgan bir qator chiziqlar proyeksiyalovchi tekislikning modelidir. Proyektiv nuqtalar. Kengaytirilgan tekislik proyektiv tekislikning modelidir. Kengaytirilgan uch o'lchovli afin yoki Evklid fazosi proyektiv fazoning modelidir. Parallel dizayndagi tekis va fazoviy figuralarning tasvirlari.

Proyektiv fazo tushunchasi va proyektiv fazo modeli:

Maydon ustidagi proyektiv fazo - berilgan maydon ustidagi qandaydir chiziqli fazoning chiziqlaridan (bir o'lchovli pastki fazolardan) iborat bo'shliq. To'g'ridan-to'g'ri bo'shliqlar deyiladi nuqta proyektiv fazo. Ushbu ta'rifni ixtiyoriy tanaga umumlashtirish mumkin

Agar u o'lchamga ega bo'lsa, u holda proyektiv fazoning o'lchami raqam deb ataladi va proyektiv fazoning o'zi belgilanadi va bog'lanadi (buni ko'rsatish uchun belgi qabul qilinadi).

O'lchamning vektor fazosidan mos keladigan proyektiv fazoga o'tish deyiladi proyeksiyalash bo'sh joy.

Nuqtalarni bir hil koordinatalar yordamida tasvirlash mumkin.

Proyektiv geometriyaning asosiy faktlari: Proyektiv geometriya geometriyaning proyektiv tekislik va fazolarni o‘rganuvchi bo‘limidir. Asosiy xususiyat Proyektiv geometriya ikkilik printsipiga asoslanadi, bu ko'plab dizaynlarga nafis simmetriya qo'shadi. Proyektiv geometriyani ham sof geometrik nuqtai nazardan, ham analitik (bir hil koordinatalardan foydalangan holda) va salgebraik nuqtai nazardan, proyektiv tekislikni maydon ustidagi struktura sifatida ko'rib chiqish mumkin. Ko'pincha va tarixan, haqiqiy proyektiv tekislik "abadiy chiziq" qo'shilishi bilan Evklid tekisligi hisoblanadi.

Holbuki, Evklid geometriyasi shug'ullanadigan figuralarning xususiyatlari metrik(burchaklar, segmentlar, maydonlarning o'ziga xos qiymatlari) va raqamlarning ekvivalenti ularga teng muvofiqlik(ya'ni, metrik xususiyatlarni saqlagan holda raqamlarni harakat orqali bir-biriga tarjima qilish mumkin bo'lsa), ko'proq "chuqur yotgan" xususiyatlar mavjud geometrik shakllar dan ortiq transformatsiyalar paytida saqlanib qolgan umumiy turi harakatdan ko'ra. Proyektiv geometriya sinf bo'yicha o'zgarmas bo'lgan figuralarning xususiyatlarini o'rganish bilan shug'ullanadi proyektiv transformatsiyalar, shuningdek, bu o'zgarishlarning o'zi.

Proyektiv geometriya Evklidni to'ldiradi, go'zal va ta'minlaydi oddiy echimlar parallel chiziqlar mavjudligi bilan murakkablashgan ko'plab muammolar uchun. Konus kesimlarining proyektiv nazariyasi ayniqsa sodda va nafisdir.

Proyektiv geometriyaning uchta asosiy yondashuvi mavjud: mustaqil aksiomatizatsiya, Evklid geometriyasini to'ldirish va maydon bo'yicha tuzilish.

Aksiomatizatsiya

Proyektiv fazoni boshqa aksiomalar to'plami yordamida aniqlash mumkin.

Coxeter quyidagilarni ta'minlaydi:

1. To'g'ri chiziq bor va unda bo'lmagan nuqta bor.

2. Har bir chiziqda kamida uchta nuqta bor.

3. Ikki nuqta orqali siz aniq bitta to'g'ri chiziq chizishingiz mumkin.

4. Agar A, B, C, Va D- turli nuqtalar va AB Va CD kesishadi, keyin A.C. Va BD kesishadi.

5. Agar ABC tekislik bo'lsa, unda tekislikda bo'lmagan kamida bitta nuqta bor ABC.

6. Ikki xil tekislik kamida ikkita nuqtani kesishadi.

7. To'liq to'rtburchakning uchta diagonal nuqtasi kollinear emas.

8. Agar uchta nuqta bir chiziqda bo'lsa X X

Proyektiv tekislik (uchinchi o'lchamsiz) biroz boshqacha aksiomalar bilan belgilanadi:

1. Ikki nuqta orqali siz aniq bitta to'g'ri chiziq chizishingiz mumkin.

2. Har qanday ikkita chiziq kesishadi.

3. To'rtta nuqta bor, ulardan uchtasi to'g'ri kelmaydi.

4. To'liq to'rtburchaklarning uchta diagonal nuqtasi kollinear emas.

5. Agar uchta nuqta bir chiziqda bo'lsa X ph ning proektsiyasiga nisbatan o'zgarmasdir, keyin barcha nuqtalar ustida X ph ga nisbatan invariant.

6. Dezarg teoremasi: Agar ikkita uchburchak nuqta orqali perspektiv bo‘lsa, ular chiziq orqali perspektiv bo‘ladi.

Uchinchi o'lchov mavjudligida Dezarg teoremasini ideal nuqta va chiziq kiritmasdan isbotlash mumkin.

Kengaytirilgan tekislik - proyektiv tekislik modeli: A3 affin fazoda markazi O nuqtada bo'lgan S(O) chiziqlar to'plamini va to'plam markazidan o'tmaydigan P tekislikni olamiz: O 6∈ N. Affin fazodagi chiziqlar to'plami proyektiv tekislikning modelidir. Keling, n tekislik nuqtalari to'plamining S bog'lovchining to'g'ri chiziqlar to'plamiga xaritasini aniqlaylik (Juda, agar sizda bu savol bo'lsa, meni kechiring)

Kengaytirilgan uch o'lchovli afin yoki Evklid fazosi - proektiv fazo modeli:

Xaritani syurektiv qilish uchun biz affin tekislikni n proyektiv tekislikka rasmiy ravishda kengaytirish jarayonini takrorlaymiz va n tekislikni noto'g'ri nuqtalar to'plami (M∞) bilan to'ldiramiz, shunday qilib: ((M∞)) = P0(O). Xaritada S(O) tekisliklar toʻplamining har bir tekisligining teskari tasviri d tekislikdagi chiziq boʻlgani uchun choʻzilgan tekislikning barcha notoʻgʻri nuqtalari toʻplami: n = Π ∩ (M∞) aniq koʻrinadi. , (M∞), cho'zilgan tekislikning noto'g'ri d∞ chizig'ini ifodalaydi, bu yakka tekislikning teskari tasviri n0: (d∞) = P0(O) (= n0). (I.23) Keling, bu erda va bundan buyon biz oxirgi tenglikni P0(O) = n0 nuqtalar to'plamining tengligi ma'nosida tushunamiz, degan fikrga qo'shilamiz, lekin boshqa tuzilishga ega. Affin tekislikni noto'g'ri chiziq bilan to'ldirish orqali biz xaritalash (I.21) kengaytirilgan tekislikning barcha nuqtalari to'plamida ikkilamchi bo'lishini ta'minladik:

Parallel dizayn paytida tekis va fazoviy figuralarning rasmlari:

Stereometriyada fazoviy figuralar o'rganiladi, lekin chizmada ular tekis figuralar sifatida tasvirlanadi. Samolyotda fazoviy figurani qanday tasvirlash kerak? Odatda geometriyada buning uchun parallel dizayn qo'llaniladi. p qandaydir samolyot bo'lsin, l- uni kesib o'tuvchi to'g'ri chiziq (1-rasm). Ixtiyoriy nuqta orqali A, qatorga tegishli emas l, chiziqqa parallel chiziq chizish l. Bu chiziqning p tekislik bilan kesishgan nuqtasi nuqtaning parallel proyeksiyasi deyiladi A to'g'ri chiziq yo'nalishi bo'yicha p tekislikka l. Uni belgilaylik A". Agar nuqta A qatorga tegishli l, keyin parallel proyeksiya orqali A chiziqning kesishish nuqtasi p tekislikda deb hisoblanadi l samolyot bilan p.

Shunday qilib, har bir nuqta A fazoda uning proyeksiyasi solishtiriladi A" p tekislikka. Bu moslik p tekislikka to'g'ri chiziq yo'nalishi bo'yicha parallel proyeksiya deyiladi. l.

Proyektiv transformatsiyalar guruhi. Muammoni hal qilish uchun dastur.

Tekislikning proyektiv o'zgarishi tushunchasi. Tekislikning proyektiv o'zgarishlariga misollar. Proyektiv transformatsiyalarning xossalari. Gomologiya, gomologiyaning xossalari. Proyektiv transformatsiyalar guruhi.

Samolyotni proyektiv o'zgartirish tushunchasi: Proyektiv transformatsiya tushunchasi markaziy proyeksiya tushunchasini umumlashtiradi. Agar a tekislikning qandaydir a 1 tekislikka markaziy proyeksiyasini bajarsak, u holda a 1 ning a 2 ga, a 2 ning a 3, ... ga proyeksiyasi va nihoyat, qandaydir a tekislik proyeksiyasi amalga oshiriladi. n yana a 1 bo'yicha, u holda barcha bu proyeksiyalarning tarkibi a tekislikning proyektiv o'zgarishi; Bunday zanjirga parallel proyeksiyalarni ham kiritish mumkin.

Proyektiv tekislik o'zgarishlariga misollar: Tugallangan tekislikning proyektiv o'zgarishi - bu uning o'ziga birma-bir xaritalashi, bunda nuqtalarning kollinearligi saqlanib qoladi yoki boshqacha aytganda, har qanday chiziqning tasviri to'g'ri chiziqdir. Har qanday proyektiv transformatsiya markaziy va parallel proyeksiyalar zanjirining tarkibidir. Affin transformatsiya - bu cheksizlikdagi chiziq o'ziga aylanadigan proyektiv transformatsiyaning alohida holati.

Proyektiv o'zgarishlarning xususiyatlari:

Proyektiv o'zgartirish jarayonida to'g'ri chiziqda yotmagan uchta nuqta chiziqda yotmaydigan uchta nuqtaga aylanadi.

Proyektiv transformatsiya jarayonida ramka ramkaga aylanadi.

Proyektiv transformatsiya paytida chiziq to'g'ri chiziqqa, qalam esa qalamga o'tadi.

Gomologiya, gomologiyaning xossalari:

O'zgarmas nuqtalar chizig'iga ega bo'lgan tekislikning proyektiv o'zgarishi, shuning uchun o'zgarmas chiziqlar qalami homologiya deb ataladi.

1. Mos kelmaydigan mos keladigan gomologik nuqtalardan o'tuvchi chiziq o'zgarmas chiziqdir;

2. Bir-biriga to'g'ri kelmaydigan mos keladigan gomologik nuqtalardan o'tadigan chiziqlar bir xil qalamga tegishli bo'lib, uning markazi o'zgarmas nuqtadir.

3. Nuqta, uning tasviri va gomologiya markazi bir xil to'g'ri chiziqda yotadi.

Proyektiv o'zgarishlar guruhi: P 2 proyeksiyalovchi tekislikning o'ziga proyektiv xaritalanishini, ya'ni bu tekislikning proyektiv o'zgarishini (P 2 ' = P 2) ko'rib chiqaylik.

Avvalgidek, P 2 proyektiv tekisligining f 1 va f 2 proyektiv o'zgarishlarining f tarkibi f 1 va f 2 o'zgarishlarning ketma-ket bajarilishi natijasidir: f = f 2 °f 1.

1-teorema: P 2 proyeksiyalovchi tekislikning barcha proyektiv o'zgarishlarining H to'plami proyeksiyalovchi o'zgarishlar tarkibiga nisbatan guruhdir.

Kvadrat shakli n ta o‘zgaruvchining f(x 1, x 2,...,x n) yig‘indisi bo‘lib, uning har bir a’zosi o‘zgaruvchilardan birining kvadrati yoki ma’lum koeffitsient bilan olingan ikki xil o‘zgaruvchining ko‘paytmasi hisoblanadi: f. (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij =a ji).

Bu koeffitsientlardan tuzilgan A matritsa kvadratik shakldagi matritsa deyiladi. Har doim shunday simmetrik matritsa (ya'ni asosiy diagonalga nisbatan simmetrik matritsa, a ij =a ji).

Matritsa yozuvida kvadratik shakl f(X) = X T AX, bu yerda

Haqiqatdan ham

Masalan, kvadrat shaklni matritsa shaklida yozamiz.

Buning uchun kvadrat shakldagi matritsani topamiz. Uning diagonal elementlari kvadrat o'zgaruvchilarning koeffitsientlariga, qolgan elementlari esa kvadrat shaklning mos keladigan koeffitsientlarining yarmiga teng. Shunung uchun

X o'zgaruvchilarning matritsa-ustunlari Y matritsa-ustunining degenerativ bo'lmagan chiziqli o'zgarishi bilan olingan bo'lsin, ya'ni. X = CY, bu erda C - n-tartibdagi yagona bo'lmagan matritsa. U holda f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (C T AC)Y kvadratik shakl.

Shunday qilib, degenerativ bo'lmagan chiziqli transformatsiya C bilan kvadrat shakldagi matritsa shaklni oladi: A * =C T AC.

Masalan, f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 kvadratik shakldan olingan f(y 1, y 2) kvadrat shaklini chiziqli aylantirish orqali topamiz.

Kvadrat shakl deyiladi kanonik(bor kanonik ko'rinish), agar i≠j uchun uning barcha koeffitsientlari ij ​​= 0 bo'lsa, ya'ni f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 =.

Uning matritsasi diagonaldir.

Teorema(bu erda dalil keltirilmagan). Har qanday kvadratik shaklni degenerativ bo'lmagan chiziqli transformatsiya yordamida kanonik shaklga keltirish mumkin.

Masalan, f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 kvadrat shaklini kanonik shaklga keltiramiz.

Buning uchun avval x 1 o'zgaruvchisi bo'lgan to'liq kvadratni tanlang:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

Endi biz x 2 o'zgaruvchisi bo'lgan to'liq kvadratni tanlaymiz:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 = = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

Keyin degenerativ bo'lmagan chiziqli transformatsiya y 1 = x 1 + x 2,y 2 = x 2 – (1/10)x 3 va y 3 = x 3 bu kvadrat shaklni kanonik ko'rinishga olib keladif(y 1,y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

E'tibor bering, kvadrat shaklning kanonik shakli noaniq tarzda aniqlanadi (xuddi shu kvadrat shaklni kanonik shaklga keltirish mumkin). turli yo'llar bilan 1). Biroq, olingan turli yo'llar bilan kanonik shakllar bir qator umumiy xususiyatlarga ega. Xususan, kvadratik shaklning musbat (manfiy) koeffitsientlari bo'lgan hadlar soni shaklni ushbu shaklga qisqartirish usuliga bog'liq emas (masalan, ko'rib chiqilgan misolda har doim ikkita manfiy va bitta ijobiy koeffitsient bo'ladi). Bu xususiyat deyiladi kvadratik shakllarning inersiya qonuni.

Keling, bir xil kvadrat shaklni kanonik shaklga boshqa usulda keltirish orqali buni tasdiqlaylik. Transformatsiyani x 2:f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + o‘zgaruvchisi bilan boshlaylik. 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = -3(x 2 2 – - 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2) /3) x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = = -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2) /3) x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =f(y 1 ,y 2 ,y 3) = -3y 1 2 - - 3y 2 2 + 2y 3 2 , bunda y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3 ,y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 va y 3 = x 1. Bu erda y 3 uchun 2 ijobiy koeffitsient va y 1 va y 2 uchun ikkita manfiy koeffitsient (-3) mavjud (va boshqa usuldan foydalanib, biz y 1 uchun 2 ijobiy koeffitsientga ega bo'ldik - (-5) y 2 uchun va (-1/20) y 3 uchun).

Shuni ham ta'kidlash kerakki, kvadrat shakldagi matritsaning darajasi deyiladi kvadratik shakl darajasi, kanonik shaklning nolga teng bo'lmagan koeffitsientlari soniga teng va chiziqli transformatsiyalar ostida o'zgarmaydi.

f(X) kvadrat shakli deyiladi ijobiy(salbiy)aniq, agar bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lmagan o'zgaruvchilarning barcha qiymatlari uchun u ijobiy bo'lsa, ya'ni f(X) > 0 (salbiy, ya'ni f(X)< 0).

Masalan, f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 kvadrat shakli musbat aniqlangan, chunki kvadratlar yig‘indisi bo‘lib, f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 kvadrat shakli manfiy aniqlangan, chunki ifodalaydi, uni f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2 shaklida ifodalash mumkin.

Ko'pgina amaliy vaziyatlarda kvadrat shaklning aniq belgisini o'rnatish biroz qiyinroq, shuning uchun biz quyidagi teoremalardan birini ishlatamiz (ularni isbotsiz shakllantiramiz).

Teorema. Kvadrat shakl musbat (salbiy) aniq, agar hamma bo‘lsa xos qiymatlar uning matritsalari musbat (salbiy).

Teorema (Silvester mezoni). Kvadrat shakl musbat aniq bo'ladi, agar bu shakl matritsasining barcha yetakchi kichiklari ijobiy bo'lsa.

Asosiy (burchak) minor An-tartibdagi k-tartibli matritsalar A () matritsaning birinchi k qator va ustunlaridan tashkil topgan matritsaning determinanti deyiladi.

E'tibor bering, manfiy aniq kvadrat shakllar uchun asosiy kichiklarning belgilari almashinadi va birinchi darajali minor manfiy bo'lishi kerak.

Masalan, f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 kvadrat shaklini belgining aniqligi uchun tekshiramiz.

= (2 -)* *(3 -) – 4 = (6 - 2- 3+ 2) – 4 = 2 - 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17; . Demak, kvadratik shakl musbat aniqlangan.

2-usul. A matritsaning birinchi tartibli bosh minori  1 =a 11 = 2 > 0. Ikkinchi tartibli bosh minor  2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Shuning uchun Silvestr mezoniga ko‘ra kvadratik shakl ijobiy aniqlangan.

Belgining aniqligi uchun f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 bo'lgan boshqa kvadrat shaklni ko'rib chiqamiz.

1-usul. A = kvadrat shakldagi matritsa quramiz. Xarakteristik tenglama shaklga ega bo'ladi = (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17 ; . Demak, kvadratik shakl manfiy aniqlangan.

2-usul. A matritsaning birinchi tartibli bosh minori  1 =a 11 = = -2< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. Binobarin, Silvestr mezoniga ko'ra, kvadratik shakl salbiy aniqlangan (minusdan boshlab asosiy kichiklarning belgilari almashinadi).

Yana bir misol sifatida, f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 belgisi bilan aniqlangan kvadrat shaklini ko'rib chiqamiz.

1-usul. A = kvadrat shakldagi matritsa quramiz. Xarakteristik tenglama shaklga ega bo'ladi = (2 -)* *(-3 -) – 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) – 4 = 2 +- 10 = 0;D= 1 + 40 = 41; . Bu raqamlardan biri salbiy, ikkinchisi esa ijobiy. Xususiy qiymatlarning belgilari har xil. Binobarin, kvadratik shakl manfiy ham, musbat aniq ham bo'lishi mumkin emas, ya'ni. bu kvadrat shakl belgi-aniq emas (u har qanday belgining qiymatlarini qabul qilishi mumkin).

2-usul. A matritsaning birinchi tartibli bosh minori  1 =a 11 = 2 > 0. Ikkinchi tartibli bosh minor 2 = = -6 – 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1Kvadrat shaklni kanonik ko'rinishga keltirishning ko'rib chiqilayotgan usuli o'zgaruvchilar kvadratlari bilan nolga teng bo'lmagan koeffitsientlar duch kelganda foydalanish uchun qulaydir. Agar ular bo'lmasa, konvertatsiya qilish hali ham mumkin, ammo siz boshqa usullardan foydalanishingiz kerak. Masalan, f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - x 1 2 - x 2 2 = bo'lsin.

= (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – - (x 1 - x 2) 2 - 2x 1 x 2 ; 4x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 - x 2) 2 ;f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = (1/2)* *(x 1 + x 2) ) 2 – (1/2)*(x 1 - x 2) 2 =f(y 1 ,y 2) = (1/2)y 1 2 – (1/2)y 2 2, bunda y 1 = x 1 + x 2, ay 2 = x 1 – x 2.

Kvadrat shakllar

Kvadrat shakli n ta o‘zgaruvchining f(x 1, x 2,...,x n) yig‘indisi bo‘lib, uning har bir a’zosi o‘zgaruvchilardan birining kvadrati yoki ma’lum koeffitsient bilan olingan ikki xil o‘zgaruvchining ko‘paytmasi hisoblanadi: f. (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji).

Bu koeffitsientlardan tuzilgan A matritsa kvadratik shakldagi matritsa deyiladi. Har doim shunday simmetrik matritsa (ya'ni asosiy diagonalga nisbatan simmetrik matritsa, a ij = a ji).

Matritsa yozuvida kvadratik shakl f(X) = X T AX, bu yerda

Haqiqatdan ham

Masalan, kvadrat shaklni matritsa shaklida yozamiz.

Buning uchun kvadrat shakldagi matritsani topamiz. Uning diagonal elementlari kvadrat o'zgaruvchilarning koeffitsientlariga, qolgan elementlari esa kvadrat shaklning mos keladigan koeffitsientlarining yarmiga teng. Shunung uchun

X o'zgaruvchilarning matritsa-ustunlari Y matritsa-ustunining degenerativ bo'lmagan chiziqli o'zgarishi bilan olingan bo'lsin, ya'ni. X = CY, bu erda C - n-tartibdagi yagona bo'lmagan matritsa. Keyin kvadrat shakl
f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Shunday qilib, degenerativ bo'lmagan chiziqli transformatsiya C bilan kvadrat shaklning matritsasi shaklni oladi: A * = C T AC.

Masalan, f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 kvadratik shakldan olingan f(y 1, y 2) kvadrat shaklini chiziqli aylantirish orqali topamiz.

Kvadrat shakl deyiladi kanonik(bor kanonik ko'rinish), agar uning barcha koeffitsientlari i ≠ j uchun a ij = 0 bo'lsa, ya'ni.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 =.

Uning matritsasi diagonaldir.

Teorema(bu erda dalil keltirilmagan). Har qanday kvadratik shaklni degenerativ bo'lmagan chiziqli transformatsiya yordamida kanonik shaklga keltirish mumkin.

Masalan, kvadrat shaklni kanonik shaklga keltiramiz
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

Buning uchun avval x 1 o'zgaruvchisi bo'lgan to'liq kvadratni tanlang:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

Endi biz x 2 o'zgaruvchisi bo'lgan to'liq kvadratni tanlaymiz:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

Keyin degenerativ bo'lmagan chiziqli transformatsiya y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 – (1/10)x 3 va y 3 = x 3 bu kvadrat shaklni f(y 1, y 2) kanonik ko'rinishga keltiradi. , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

E'tibor bering, kvadrat shaklning kanonik shakli noaniq tarzda aniqlanadi (bir xil kvadrat shakl turli usullar bilan kanonik shaklga keltirilishi mumkin). Biroq, turli usullar bilan olingan kanonik shakllar bir qatorga ega umumiy xususiyatlar. Xususan, kvadratik shaklning musbat (manfiy) koeffitsientlari bo'lgan hadlar soni shaklni ushbu shaklga qisqartirish usuliga bog'liq emas (masalan, ko'rib chiqilgan misolda har doim ikkita manfiy va bitta ijobiy koeffitsient bo'ladi). Bu xususiyat deyiladi kvadratik shakllarning inersiya qonuni.

Keling, bir xil kvadrat shaklni kanonik shaklga boshqa usulda keltirish orqali buni tasdiqlaylik. Transformatsiyani x 2 o'zgaruvchisi bilan boshlaylik:
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(x 2 2 –
- 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, bunda y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 va y 3 = x 1. Bu erda y 3 da 2 ijobiy koeffitsient va y 1 va y 2 da ikkita manfiy koeffitsient (-3) mavjud (va boshqa usul yordamida biz y 1 da 2 ijobiy koeffitsientni va ikkita manfiy koeffitsientni oldik - (-5) da. y 2 va (-1 /20) y 3 da).

Shuni ham ta'kidlash kerakki, kvadrat shakldagi matritsaning darajasi deyiladi kvadratik shakl darajasi, kanonik shaklning nolga teng bo'lmagan koeffitsientlari soniga teng va chiziqli transformatsiyalar ostida o'zgarmaydi.

f(X) kvadrat shakli deyiladi ijobiy (salbiy) aniq, agar bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lmagan o'zgaruvchilarning barcha qiymatlari uchun u ijobiy bo'lsa, ya'ni. f(X) > 0 (salbiy, ya'ni.
f(X)< 0).

Masalan, f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 kvadrat shakli musbat aniqlangan, chunki kvadratlar yig‘indisi bo‘lib, f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 kvadrat shakli manfiy aniqlangan, chunki ifodalaydi, uni f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2 shaklida ifodalash mumkin.

Ko'pgina amaliy vaziyatlarda kvadrat shaklning aniq belgisini o'rnatish biroz qiyinroq, shuning uchun biz quyidagi teoremalardan birini ishlatamiz (ularni isbotsiz shakllantiramiz).

Teorema. Kvadrat shakl, agar uning matritsasining barcha xos qiymatlari ijobiy (salbiy) bo'lsa, ijobiy (salbiy) aniq hisoblanadi.

Teorema (Silvester mezoni). Kvadrat shakl musbat aniq bo'ladi, agar bu shakl matritsasining barcha yetakchi kichiklari ijobiy bo'lsa.

Asosiy (burchak) minor n-tartibli A k-tartibli matritsa A () matritsaning birinchi k qator va ustunlaridan tashkil topgan matritsaning determinanti deyiladi.

E'tibor bering, manfiy aniq kvadrat shakllar uchun asosiy kichiklarning belgilari almashinadi va birinchi darajali minor salbiy bo'lishi kerak.

Masalan, f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 kvadrat shaklini belgining aniqligi uchun tekshiramiz.

= (2 - l)*
*(3 - l) – 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) – 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Demak, kvadratik shakl musbat aniqlangan.

2-usul. A D 1 = a 11 = 2 > 0 ikkinchi tartibli matritsaning bosh minori D 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Shuning uchun Silvestr mezoniga ko‘ra kvadratik shakl. ijobiy aniqlik.

Belgining aniqligi uchun f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 bo'lgan boshqa kvadrat shaklni ko'rib chiqamiz.

1-usul. A = kvadrat shakldagi matritsa quramiz. Xarakteristik tenglama shaklga ega bo'ladi = (-2 - l)*
*(-3 - l) – 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) – 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Demak, kvadratik shakl manfiy aniqlangan.