Onam ramkani yuvdi
Uzoq oxirida yozgi ta'tillar asta-sekin oliy matematikaga qaytish va yangi bo'lim yaratishni boshlash uchun bo'sh Verdov faylini tantanali ravishda ochish vaqti keldi - . Qabul qilaman, birinchi satrlar oson emas, lekin birinchi qadam yarim yo'l, shuning uchun men hammaga kirish maqolasini diqqat bilan o'rganishni taklif qilaman, shundan so'ng mavzuni o'zlashtirish 2 barobar oson bo'ladi! Men umuman bo'rttirib aytmayman. ...Keyingi 1-sentabr arafasida men birinchi sinfni va boshlang'ichni eslayman .... Harflar bo'g'inlarni, bo'g'inlar so'zlarni, so'zlar qisqa jumlalarni hosil qiladi - Onam ramkani yuvdi. Turver va matematik statistikani o'zlashtirish o'qishni o'rganish kabi oson! Biroq, buning uchun siz asosiy atamalar, tushunchalar va belgilarni, shuningdek, ushbu dars mavzusi bo'lgan ba'zi o'ziga xos qoidalarni bilishingiz kerak.
Lekin birinchi navbatda, o'quv yilining boshlanishi (davomi, tugashi, tegishli belgi) bilan tabriklarimni qabul qiling va sovg'ani qabul qiling. Eng yaxshi sovg'a- bu kitob va uchun mustaqil ish Men quyidagi adabiyotlarni tavsiya qilaman:
1) Gmurman V.E. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika
O'ndan ortiq qayta nashr etilgan afsonaviy darslik. U o'zining tushunarliligi va materialning juda sodda taqdimoti bilan ajralib turadi va birinchi boblar, menimcha, 6-7-sinf o'quvchilari uchun to'liq foydalanish mumkin.
2) Gmurman V.E. Ehtimollar nazariyasidagi muammolarni hal qilish bo'yicha qo'llanma va matematik statistika
O'sha Vladimir Efimovich tomonidan batafsil misollar va muammolar bilan yechim kitobi.
ZARUR ikkala kitobni Internetdan yuklab oling yoki ularning qog'oz asl nusxalarini oling! 60 va 70-yillardagi versiya ham ishlaydi, bu mangalar uchun ham yaxshiroqdir. Garchi "qo'g'irchoqlar uchun ehtimollik nazariyasi" iborasi juda kulgili bo'lsa-da, chunki deyarli hamma narsa elementar arifmetik operatsiyalar bilan cheklangan. Biroq, ular ba'zi joylarda o'tkazib yuborishadi hosilalari Va integrallar, lekin bu faqat joylarda.
Men taqdimotning bir xil ravshanligiga erishishga harakat qilaman, lekin mening kursim maqsadga qaratilganligi haqida ogohlantirishim kerak muammoni hal qilish nazariy hisob-kitoblar esa minimallashtiriladi. Shunday qilib, agar sizga batafsil nazariya, teoremalarning isboti (teorema-teoremalar!) kerak bo'lsa, darslikka murojaat qiling. Xo'sh, kim xohlaydi muammolarni hal qilishni o'rganing ehtimollar nazariyasi va matematik statistikada eng ko'p qisqa muddatlar , orqamdan yuring; Meni kuzating; menga Obuna bo'ling!
Boshlash uchun bu etarli =)
Maqolalarni o'qiyotganingizda, ko'rib chiqilgan turlarning qo'shimcha vazifalari bilan (hech bo'lmaganda qisqacha) tanishib chiqish tavsiya etiladi. Sahifada Oliy matematika uchun tayyor yechimlar Yechimlar misollari bilan tegishli pdf-lar joylashtiriladi. Bundan tashqari, muhim yordam ko'rsatiladi IDZ 18.1 Ryabushko(oddiyroq) va Chudesenko kollektsiyasiga ko'ra IDZni hal qildi(qiyinroq).
1) Miqdori ikki voqea va voqea sodir bo'ladi deb ataladi yoki voqea yoki voqea yoki ikkala voqea bir vaqtning o'zida. Voqea sodir bo'lgan taqdirda mos kelmaydigan, oxirgi variant yo'qoladi, ya'ni paydo bo'lishi mumkin yoki voqea yoki voqea.
Qoida ko'proq atamalarga, masalan, hodisaga ham tegishli 
nima bo'ladi kamida bitta voqealardan 
, A hodisalar mos kelmasa – keyin bir narsa va faqat bitta narsa ushbu summadan hodisa: yoki voqea, yoki voqea, yoki voqea, yoki voqea, yoki voqea.
Ko'p misollar mavjud:
Hodisalar (zar otishda 5 ball ko'rinmaydi) paydo bo'ladi yoki 1, yoki 2, yoki 3, yoki 4, yoki 6 ball.
Voqea (tushadi boshqa emas; boshqa ... bo'lmaydi; Endi yo'q ikki nuqta) 1 paydo bo'ladi yoki 2ball.
Tadbir 
(juft sonli nuqtalar bo'ladi) paydo bo'ladi yoki 2 yoki 4 yoki 6 ball.
Voqea shundan iboratki, palubadan qizil kartochka (yurak) olinadi yoki daf) va voqea 
– “rasm” olinadi (jak yoki xonim yoki shoh yoki ace).
Qo'shma tadbirlar bilan bog'liq vaziyat biroz qiziqroq:
Voqea shundaki, palubadan klub chiziladi yoki etti yoki ettita klub Yuqorida keltirilgan ta'rifga ko'ra, hech bo'lmaganda biror narsa- yoki har qanday klub yoki har qanday ettita yoki ularning "chorrahasi" - ettita klub. Ushbu hodisa 12 ta elementar natijaga mos kelishini hisoblash oson (9 ta klub kartasi + 3 ta yetti).
Voqea ertaga soat 12.00 da keladi Yig'iladigan qo'shma hodisalardan KAMDA BITTA, ya'ni:
– yoki faqat yomg'ir / faqat momaqaldiroq / faqat quyosh bo'ladi;
– yoki faqat ba'zi bir juft hodisalar ro'y beradi (yomg'ir + momaqaldiroq / yomg'ir + quyosh / momaqaldiroq + quyosh);
- yoki barcha uchta hodisa bir vaqtning o'zida paydo bo'ladi.
Ya'ni, tadbir 7 ta mumkin bo'lgan natijani o'z ichiga oladi.
Hodisalar algebrasining ikkinchi ustuni:
2) Ish ikkita hodisa va bu hodisalarning birgalikda sodir bo'lishidan iborat bo'lgan hodisa deb ataladi, boshqacha aytganda, ko'paytirish ba'zi bir sharoitlarda sodir bo'lishini anglatadi. Va voqea, Va voqea. Shunga o'xshash bayonot ko'proq voqealar uchun to'g'ri keladi, masalan, ish muayyan sharoitlarda sodir bo'lishini nazarda tutadi Va voqea, Va voqea, Va voqea, …, Va voqea.
Ikki tanga tashlangan testni ko'rib chiqing va quyidagi hodisalar:
- 1-tangada boshlar paydo bo'ladi;
– 1-tanga boshlarini tushiradi;
- 2-tangada boshlar paydo bo'ladi;
– 2-tanga boshlarini tushiradi.
Keyin:
Va 2-da) boshlar paydo bo'ladi;
– voqea shundan iboratki, ikkala tangada ham (1 Va 2-da) bu boshlar bo'ladi;
– voqea 1-tanga boshlarini qo'nadi, deb Va 2-tanga - dumlar;
– voqea 1-tanga boshlarini qo'nadi, deb Va 2-tangada burgut tasvirlangan.
Bu voqealarni ko'rish oson mos kelmaydigan (chunki, masalan, u bir vaqtning o'zida 2 bosh va 2 dumga tusha olmaydi) va shakl to'liq guruh (hisobga olinganligi sababli Hammasi ikkita tanga tashlashning mumkin bo'lgan natijalari). Keling, ushbu voqealarni sarhisob qilaylik: . Ushbu yozuvni qanday izohlash mumkin? Juda oddiy - ko'paytirish mantiqiy bog'lovchini anglatadi VA, va qo'shimcha - YOKI. Shunday qilib, miqdorni tushunarli inson tilida o'qish oson: "ikki bosh paydo bo'ladi yoki ikki bosh yoki 1-tanga boshlarini tushiradi Va 2-quyruqlarda yoki 1-tanga boshlarini tushiradi Va 2-tangada burgut bor"
Bu qachon bir misol edi bitta testda bir nechta ob'ektlar ishtirok etadi, bu holda ikkita tanga. Amaliy masalalarda yana bir keng tarqalgan sxema qayta sinovdan o'tkazish , masalan, bir xil qolip ketma-ket 3 marta aylantirilganda. Namoyish sifatida quyidagi voqealarni ko'rib chiqing:
– birinchi otishda siz 4 ochko olasiz;
– ikkinchi otishda siz 5 ochko olasiz;
- 3-o'tishda siz 6 ochko olasiz.
Keyin voqea 
ya'ni birinchi otishda siz 4 ochko olasiz Va 2-otishda siz 5 ochko olasiz Va 3-rulonda siz 6 ball olasiz. Shubhasiz, kub holatida biz tanga tashlaganimizdan ko'ra sezilarli darajada ko'proq kombinatsiyalar (natijalar) bo'ladi.
...Tushundimki, tahlil qilinayotgan misollar, ehtimol, unchalik qiziq emas, lekin bular muammolarda tez-tez uchrab turadigan va ulardan qochib bo‘lmaydigan narsalardir. Sizni tanga, kub va kartalar palubasi, rang-barang to'plari bo'lgan urnalar, nishonga o'q uzayotgan bir nechta anonim odamlar va doimiy ravishda ba'zi tafsilotlarni maydalaydigan tinimsiz ishchi kutmoqda =)
Hodisa ehtimoli
Hodisa ehtimoli ehtimollik nazariyasining markaziy tushunchasi. ...Qotil mantiqiy narsa, lekin biz bir joydan boshlashimiz kerak edi =) Uning ta'rifiga bir nechta yondashuvlar mavjud:
;
Ehtimolning geometrik ta'rifi
;
Ehtimollikning statistik ta'rifi
.
Ushbu maqolada men o'quv vazifalarida eng ko'p qo'llaniladigan ehtimollikning klassik ta'rifiga e'tibor qarataman.
Belgilar. Muayyan hodisaning ehtimoli katta lotin harfi bilan belgilanadi va hodisaning o'zi argumentning bir turi bo'lib, qavs ichida olinadi. Masalan:
Bundan tashqari, kichik harf ehtimollikni ko'rsatish uchun keng qo'llaniladi. Xususan, siz hodisalarning noqulay belgilaridan va ularning ehtimollaridan voz kechishingiz mumkin 
quyidagi uslub foydasiga::
– tanga otish natijasida boshlar paydo bo‘lishi ehtimoli;
– zarning 5 ballga tushishi ehtimoli;
- palubadan klub kostyumining kartasi olinishi ehtimoli.
Ushbu parametr amaliy muammolarni hal qilishda mashhurdir, chunki u yechimni yozishni sezilarli darajada kamaytirishga imkon beradi. Birinchi holatda bo'lgani kabi, bu erda ham "gapirish" subscripts/superscripts foydalanish qulay.
Men yuqorida yozgan raqamlarni hamma allaqachon taxmin qilgan va endi ular qanday bo'lganini bilib olamiz:
Ehtimollikning klassik ta'rifi:
Muayyan testda sodir bo'ladigan hodisaning ehtimoli nisbat deb ataladi, bu erda:
- hammasining umumiy soni teng darajada mumkin, boshlang'ich bu test natijalari, qaysi shakl voqealarning to'liq guruhi;
- miqdori boshlang'ich natijalar, qulay voqea.
Tanga otishda boshlar yoki dumlar tushishi mumkin - bu hodisalar shakllanadi to'liq guruh, shunday qilib, natijalarning umumiy soni; bir vaqtning o'zida ularning har biri boshlang'ich Va teng darajada mumkin. Hodisa natija (boshlar) tomonidan ma'qullanadi. Ehtimollikning klassik ta'rifiga ko'ra: 
.
Xuddi shunday, o'limni tashlash natijasida to'liq guruhni tashkil etuvchi elementar teng mumkin bo'lgan natijalar paydo bo'lishi mumkin va hodisa bitta natija (beshta o'tish) bilan ma'qullanadi. Shunung uchun: 
BUNI QILISH QABUL ETMAYDI (garchi sizning boshingizdagi foizlarni hisoblash taqiqlanmagan bo'lsa ham).
Birlikning kasrlaridan foydalanish odatiy holdir, va, shubhasiz, ehtimollik ichida o'zgarishi mumkin. Bundan tashqari, agar , u holda voqea imkonsiz, Agar - ishonchli, va agar , u holda biz gaplashamiz tasodifiy voqea.
! Agar biron bir muammoni hal qilishda siz boshqa ehtimollik qiymatiga ega bo'lsangiz, xatoni qidiring!
Ehtimollikni aniqlashga klassik yondashuvda ekstremal qiymatlar (nol va bir) aynan bir xil mulohazalar orqali olinadi. 10 ta qizil sharni o'z ichiga olgan ma'lum bir urnadan tasodifiy 1 ta to'p tortilsin. Quyidagi voqealarni ko'rib chiqing:
bitta sinovda kam ehtimolli hodisa ro'y bermaydi.
Shuning uchun siz lotereyada jekpotni urmaysiz, agar bu hodisaning ehtimoli, aytaylik, 0,00000001 bo'lsa. Ha, ha, bu siz - ma'lum bir tirajdagi yagona chipta bilan. Biroq, ko'proq chiptalar va ko'proq miqdordagi chizmalar sizga ko'p yordam bermaydi. ...Bu haqda boshqalarga gapirganimda, men deyarli har doim javobni eshitaman: "lekin kimdir g'alaba qozonadi". Mayli, keling, quyidagi tajribani qilaylik: iltimos, bugun yoki ertaga istalgan lotereyaga chipta sotib oling (kechiktirmang!). Va agar siz g'alaba qozonsangiz ... hech bo'lmaganda 10 kilorubdan ko'proq, ro'yxatdan o'tishni unutmang - men nima uchun bu sodir bo'lganini tushuntiraman. Foiz uchun, albatta =) =)
Ammo xafa bo'lishning hojati yo'q, chunki buning teskari printsipi mavjud: agar biron bir hodisaning ehtimoli birga juda yaqin bo'lsa, u bitta sinovda sodir bo'ladi. deyarli aniq sodir bo'ladi. Shuning uchun, parashyut bilan sakrashdan oldin, qo'rqishning hojati yo'q, aksincha, tabassum! Axir, ikkala parashyutning ishdan chiqishi uchun mutlaqo aqlga sig'maydigan va hayoliy holatlar yuzaga kelishi kerak.
Bularning barchasi lirizm bo'lsa-da, chunki voqea mazmuniga qarab, birinchi tamoyil quvnoq, ikkinchisi esa qayg'uli bo'lishi mumkin; yoki hatto ikkalasi ham parallel.
Ehtimol, hozircha bu etarli, sinfda Klassik ehtimollik masalalari formuladan maksimal foyda olamiz. Ushbu maqolaning yakuniy qismida biz bitta muhim teoremani ko'rib chiqamiz:
To'liq guruhni tashkil etuvchi hodisalarning ehtimollik yig'indisi birga teng. Taxminan aytganda, agar voqealar to'liq guruhni tashkil qilsa, 100% ehtimollik bilan ulardan biri sodir bo'ladi. Eng oddiy holatda, to'liq guruh qarama-qarshi hodisalar bilan hosil bo'ladi, masalan:
- tanga otish natijasida boshlar paydo bo'ladi;
- tanga otish natijasi quyruq bo'ladi.
Teoremaga ko'ra: 
Bu hodisalarning bir xil darajada mumkinligi va ularning ehtimolliklari bir xil ekanligi mutlaqo aniq 
.
Ehtimollar tengligi tufayli teng darajada mumkin bo'lgan hodisalar ko'pincha deyiladi teng darajada ehtimol . Va bu erda mastlik darajasini aniqlash uchun til twister =)
Kub bilan misol: hodisalar qarama-qarshidir, shuning uchun 
.
Ko'rib chiqilayotgan teorema qarama-qarshi hodisaning ehtimolini tezda topish imkonini berishi bilan qulaydir. Shunday qilib, agar beshta o'ralish ehtimoli ma'lum bo'lsa, uning o'ralmasligi ehtimolini hisoblash oson:
Bu beshta elementar natija ehtimolini umumlashtirishdan ko'ra ancha sodda. Aytgancha, elementar natijalar uchun bu teorema ham to'g'ri:
. Masalan, agar otuvchining nishonga tegish ehtimoli bo'lsa, u o'tkazib yuborish ehtimoli.
! Ehtimollar nazariyasida harflardan boshqa maqsadlarda foydalanish istalmagan.
Bilimlar kuni sharafiga men so'ramayman uy vazifasi=), lekin quyidagi savollarga javob berish juda muhim:
- Qanday turdagi tadbirlar mavjud?
– Hodisaning tasodif va teng ehtimoli nima?
– Voqealarning mos kelishi/mos kelmasligi atamalarini qanday tushunasiz?
– Voqealarning to‘liq guruhi, qarama-qarshi hodisalar nima?
– Hodisalarni qo‘shish va ko‘paytirish nimani anglatadi?
– Ehtimollikning klassik ta’rifining mohiyati nimada?
– To‘liq guruhni tashkil etuvchi hodisalarning ehtimolliklarini qo‘shish teoremasi nima uchun foydali?
Yo'q, siz hech narsani siqishingiz shart emas, bular ehtimollik nazariyasining asoslari - bu sizning boshingizga tezda mos keladigan astar turi. Va bu imkon qadar tezroq sodir bo'lishi uchun men sizga darslar bilan tanishishingizni maslahat beraman
Ko'pchilik "ehtimollar nazariyasi" tushunchasiga duch kelganda, bu juda qiyin va juda murakkab narsa deb o'ylab, qo'rqib ketishadi. Lekin aslida hamma narsa unchalik fojiali emas. Bugun biz ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchasini ko'rib chiqamiz va aniq misollar yordamida muammolarni qanday hal qilishni o'rganamiz.
Fan
Matematikaning «ehtimollar nazariyasi» kabi sohasi nimani o'rganadi? U naqsh va miqdorlarni qayd etadi. Olimlar bu masalaga birinchi marta XVIII asrda, qimor o'yinlarini o'rganganlarida qiziqishgan. Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchasi hodisadir. Bu tajriba yoki kuzatish orqali aniqlangan har qanday haqiqatdir. Ammo tajriba nima? Ehtimollar nazariyasining yana bir asosiy tushunchasi. Demak, bu holatlar majmui tasodifan emas, balki muayyan maqsad uchun yaratilgan. Kuzatishga kelsak, bu erda tadqiqotchining o'zi eksperimentda qatnashmaydi, balki bu hodisalarning guvohi bo'lib, u hech qanday tarzda sodir bo'layotgan narsaga ta'sir qilmaydi;
Voqealar
Biz ehtimollik nazariyasining asosiy tushunchasi hodisa ekanligini bilib oldik, ammo tasnifni hisobga olmadik. Ularning barchasi quyidagi toifalarga bo'lingan:
- Ishonchli.
- Mumkin emas.
- Tasodifiy.
Tajriba davomida qanday hodisalar kuzatilganligi yoki yaratilganligidan qat'i nazar, ularning barchasi ushbu tasnifga bo'ysunadi. Sizni har bir tur bilan alohida tanishishga taklif qilamiz.
Ishonchli voqea
Bu zaruriy chora-tadbirlar majmui ko'rilgan holat. Mohiyatni yaxshiroq tushunish uchun bir nechta misollar keltirgan ma'qul. Fizika, kimyo, iqtisod va oliy matematika bu qonunga bo'ysunadi. Ehtimollar nazariyasi ishonchli hodisa kabi muhim tushunchani o'z ichiga oladi. Mana bir nechta misollar:
- Biz ishlaymiz va ish haqi shaklida tovon olamiz.
- Biz imtihonlarni yaxshi topshirdik, tanlovdan o'tdik va buning uchun biz ta'lim muassasasiga kirish shaklida mukofot olamiz.
- Biz bankka pul qo‘yganmiz, kerak bo‘lsa qaytarib beramiz.
Bunday hodisalar ishonchli. Agar barcha kerakli shartlarni bajargan bo'lsak, kutilgan natijani albatta qo'lga kiritamiz.
Mumkin bo'lmagan voqealar
Endi biz ehtimollik nazariyasi elementlarini ko'rib chiqamiz. Biz keyingi turdagi hodisani, ya'ni imkonsiz narsani tushuntirishga o'tishni taklif qilamiz. Birinchidan, eng muhim qoidani belgilaylik - imkonsiz hodisaning ehtimoli nolga teng.
Muammolarni hal qilishda ushbu formuladan chetga chiqish mumkin emas. Aniqlik uchun bunday voqealarga misollar keltiramiz:
- Suv ortiqcha o'n haroratda muzlab qoldi (bu mumkin emas).
- Elektr etishmasligi ishlab chiqarishga hech qanday ta'sir ko'rsatmaydi (oldingi misoldagi kabi mumkin emas).
Ko'proq misollar keltirishning hojati yo'q, chunki yuqorida tavsiflanganlar ushbu toifaning mohiyatini juda aniq aks ettiradi. Imkonsiz hodisa hech qanday sharoitda tajriba davomida sodir bo'lmaydi.
Tasodifiy hodisalar
Elementlarni o'rganish alohida e'tibor Ushbu turdagi hodisaga e'tibor berishga arziydi. Bu fan o'rganadi. Tajriba natijasida biror narsa sodir bo'lishi yoki bo'lmasligi mumkin. Bundan tashqari, sinov cheksiz ko'p marta o'tkazilishi mumkin. Bunga yorqin misollar kiradi:
- Tanga otish - bu tajriba yoki sinov, boshlarning qo'nishi - voqea.
- To'pni sumkadan ko'r-ko'rona tortib olish - bu qizil to'pni olish - bu hodisa va hokazo.
Bunday misollar cheksiz ko'p bo'lishi mumkin, lekin, umuman olganda, mohiyati aniq bo'lishi kerak. Hodisalar haqida olingan bilimlarni umumlashtirish va tizimlashtirish uchun jadval taqdim etiladi. Ehtimollar nazariyasi taqdim etilganlarning faqat oxirgi turini o'rganadi.
Ism | ta'rifi | |
Ishonchli | Muayyan shartlar bajarilgan taqdirda 100% kafolat bilan sodir bo'ladigan hodisalar. | Kirish imtihonini yaxshi topshirgan holda ta'lim muassasasiga qabul qilish. |
Mumkin emas | Hech qanday sharoitda hech qachon sodir bo'lmaydigan voqealar. | Havo harorati o'ttiz daraja Selsiyda qor yog'moqda. |
Tasodifiy | Tajriba/sinov paytida yuz berishi yoki bo'lmasligi mumkin bo'lgan hodisa. | Basketbol to'pini halqaga tashlashda zarba yoki o'tkazib yuborish. |
Qonunlar
Ehtimollar nazariyasi - bu voqea sodir bo'lish ehtimolini o'rganadigan fan. Boshqalar singari, u ham ba'zi qoidalarga ega. Ehtimollar nazariyasining quyidagi qonunlari mavjud:
- Tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketliklarining yaqinlashishi.
- Katta sonlar qonuni.
Murakkab narsaning imkoniyatini hisoblashda, natijaga osonroq va tezroq erishish uchun oddiy hodisalar to'plamidan foydalanishingiz mumkin. E'tibor bering, ehtimollik nazariyasi qonunlari ma'lum teoremalar yordamida osongina isbotlanadi. Biz birinchi navbatda birinchi qonun bilan tanishishingizni tavsiya qilamiz.
Tasodifiy miqdorlar ketma-ketligining yaqinlashishi
E'tibor bering, konvergentsiyaning bir nechta turlari mavjud:
- Tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketligi ehtimollikda yaqinlashadi.
- Deyarli imkonsiz.
- O'rtacha kvadrat konvergentsiya.
- Tarqatish konvergentsiyasi.
Shunday qilib, darhol uning mohiyatini tushunish juda qiyin. Bu mavzuni tushunishga yordam beradigan ta'riflar. Birinchi ko'rinishdan boshlaylik. Ketma-ket deyiladi ehtimollikda konvergent, agar quyidagi shart bajarilsa: n cheksizlikka intiladi, ketma-ketlik moyil bo'lgan son noldan katta va birga yaqin.
Keling, keyingi ko'rinishga o'tamiz, deyarli albatta. Ketma-ketlik yaqinlashishi aytiladi deyarli albatta n cheksizlikka moyil bo'lgan va P birlikka yaqin qiymatga moyil bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchiga.
Keyingi turi o'rtacha kvadrat konvergentsiya. SC konvergentsiyasidan foydalanganda vektor tasodifiy jarayonlarini o'rganish ularning koordinatali tasodifiy jarayonlarini o'rganishga qisqartiriladi.
Bitta oxirgi tur qoldi, keling, to'g'ridan-to'g'ri muammolarni hal qilishga o'tishimiz uchun uni qisqacha ko'rib chiqaylik. Tarqatishdagi konvergentsiyaning boshqa nomi bor - "zaif"; Zaif konvergentsiya cheklovchi taqsimot funksiya uzluksizligining barcha nuqtalarida taqsimot funksiyalarining yaqinlashuvidir.
Biz, albatta, va'damizni bajaramiz: zaif konvergentsiya yuqoridagilarning barchasidan shu bilan farq qiladi tasodifiy o'zgaruvchi ehtimollik maydonida aniqlanmagan. Bu mumkin, chunki shart faqat taqsimlash funktsiyalari yordamida tuzilgan.
Katta sonlar qonuni
Ehtimollar nazariyasi teoremalari, masalan:
- Chebishev tengsizligi.
- Chebishev teoremasi.
- Chebishevning umumlashtirilgan teoremasi.
- Markov teoremasi.
Agar biz ushbu teoremalarning barchasini ko'rib chiqsak, bu savol bir necha o'nlab varaqlarga cho'zilishi mumkin. Bizning asosiy vazifamiz ehtimollik nazariyasini amaliyotda qo'llashdir. Buni hoziroq qilishni taklif qilamiz. Ammo bundan oldin, ehtimollik nazariyasi aksiomalarini ko'rib chiqaylik, ular muammolarni hal qilishda asosiy yordamchilar bo'ladi;
Aksiomalar
Biz imkonsiz voqea haqida gapirganimizda, birinchisini uchratdik. Esda tutaylik: imkonsiz hodisaning ehtimoli nolga teng. Biz juda yorqin va esda qolarli misol keltirdik: o'ttiz daraja Selsiy havo haroratida qor yog'di.
Ikkinchisi quyidagicha: ishonchli hodisa ehtimollik bilan sodir bo'ladi birga teng. Endi buni matematik til yordamida qanday yozishni ko'rsatamiz: P(B)=1.
Uchinchidan: Tasodifiy hodisa ro'y berishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin, lekin imkoniyat har doim noldan birgacha o'zgarib turadi. Qiymat birga qanchalik yaqin bo'lsa, imkoniyat shunchalik ko'p bo'ladi; qiymat nolga yaqinlashsa, ehtimollik juda past. Buni matematik tilda yozamiz: 0<Р(С)<1.
Oxirgi, to'rtinchi aksiomani ko'rib chiqaylik, bu shunday eshitiladi: ikkita hodisa yig'indisining ehtimoli ularning ehtimolliklari yig'indisiga teng. Uni matematik tilda yozamiz: P(A+B)=P(A)+P(B).
Ehtimollar nazariyasi aksiomalari eslab qolish qiyin bo'lmagan eng oddiy qoidalardir. Keling, allaqachon olgan bilimlarimiz asosida ba'zi muammolarni hal qilishga harakat qilaylik.
Lotereya chiptasi
Birinchidan, eng oddiy misolni ko'rib chiqaylik - lotereya. Tasavvur qiling, siz omad uchun bitta lotereya chiptasini sotib oldingiz. Siz kamida yigirma rubl yutib olishingiz ehtimoli qanday? Jami mingta chipta muomalaga kiritilgan bo‘lib, ulardan birida besh yuz so‘mlik, o‘ntasida yuz so‘mdan, elliktasida yigirma so‘mdan, yuztasida beshta sovrin bor. Ehtimollik muammolari omad imkoniyatini topishga asoslanadi. Endi yuqoridagi vazifaning yechimini birgalikda tahlil qilamiz.
Agar biz besh yuz rubl miqdoridagi yutuqni bildirish uchun A harfidan foydalansak, unda A ni olish ehtimoli 0,001 ga teng bo'ladi. Biz buni qanday oldik? Siz shunchaki "omadli" chiptalar sonini ularning umumiy soniga bo'lishingiz kerak (bu holda: 1/1000).
B - yuz rubllik g'alaba, ehtimollik 0,01 bo'ladi. Endi biz avvalgi harakatdagi kabi printsip asosida ishladik (10/1000)
C - yutuqlar yigirma rubl. Biz ehtimollikni topamiz, u 0,05 ga teng.
Qolgan chiptalar bizni qiziqtirmaydi, chunki ularning mukofot jamg'armasi shartda ko'rsatilganidan kamroq. To'rtinchi aksiomani qo'llaymiz: kamida yigirma rubl yutib olish ehtimoli P (A) + P (B) + P (C). P harfi ma'lum bir hodisaning yuzaga kelish ehtimolini bildiradi, biz ularni oldingi harakatlarda topdik. Faqat kerakli ma'lumotlarni to'plash qoladi va biz olgan javob 0,061. Bu raqam vazifa savoliga javob bo'ladi.
Karta to'plami
Ehtimollar nazariyasidagi muammolar murakkabroq bo'lishi mumkin, masalan, quyidagi vazifani olaylik; Sizning oldingizda o'ttiz oltita kartadan iborat paluba bor. Sizning vazifangiz stackni aralashtirmasdan ketma-ket ikkita kartani chizishdir, birinchi va ikkinchi kartalar aslar bo'lishi kerak, kostyum muhim emas.
Birinchidan, birinchi kartaning ace bo'lish ehtimolini topamiz, buning uchun biz to'rtni o'ttiz oltiga bo'lamiz. Ular uni chetga surib qo'yishdi. Biz ikkinchi kartani chiqaramiz, bu uch o'ttiz beshdan bir ehtimollik bilan ace bo'ladi. Ikkinchi hodisaning ehtimoli biz qaysi kartani birinchi bo'lib chizganimizga bog'liq, biz bu acemi yoki yo'qmi deb o'ylaymiz. Bundan kelib chiqadiki, B hodisa A hodisaga bog'liq.
Keyingi qadam bir vaqtning o'zida sodir bo'lish ehtimolini topishdir, ya'ni biz A va B ni ko'paytiramiz. Ularning ko'paytmasi quyidagicha topiladi: biz bir hodisaning ehtimolligini ikkinchisining shartli ehtimolligiga ko'paytiramiz, biz buni birinchi bo'lib hisoblaymiz. voqea sodir bo'ldi, ya'ni biz birinchi karta bilan eys chizdik.
Hamma narsa aniq bo'lishi uchun keling, voqealar kabi elementga belgi beraylik. A hodisa sodir bo'lgan deb hisoblab chiqiladi. U quyidagicha hisoblanadi: P(B/A).
Keling, muammomizni hal qilishni davom ettiramiz: P(A * B) = P (A) * P (B/A) yoki P (A * B) = P (B) * P (A/B). Ehtimollik (4/36) * ((3/35)/(4/36) ga teng. Biz eng yaqin yuzlikgacha yaxlitlash orqali hisoblaymiz. Bizda: 0,11 * (0,09/0,11) = 0,11 * 0, 82 = 0.09 Biz ketma-ket ikkita eys chizishimiz ehtimoli to'qqiz yuzdan biriga teng qiymat juda kichik, ya'ni hodisaning yuzaga kelish ehtimoli juda kichik.
Unutilgan raqam
Biz ehtimollik nazariyasi tomonidan o'rganiladigan vazifalarning yana bir nechta variantlarini tahlil qilishni taklif qilamiz. Siz ushbu maqolada ulardan ba'zilarini hal qilish misollarini ko'rgansiz, keling, quyidagi muammoni hal qilishga harakat qilaylik: bola do'stining telefon raqamining oxirgi raqamini unutdi, lekin qo'ng'iroq juda muhim bo'lganligi sababli, u hamma narsani birma-bir terishni boshladi. . Biz uning uch martadan ko'p bo'lmagan qo'ng'iroq qilish ehtimolini hisoblashimiz kerak. Ehtimollar nazariyasining qoidalari, qonunlari va aksiomalari ma'lum bo'lsa, masalaning echimi eng oddiy.
Yechimni ko'rib chiqishdan oldin, uni o'zingiz hal qilishga harakat qiling. Biz bilamizki, oxirgi raqam noldan to'qqizgacha bo'lishi mumkin, ya'ni jami o'nta qiymat. To'g'ri bo'lish ehtimoli 1/10 ga teng.
Keyinchalik, voqeaning kelib chiqishi variantlarini ko'rib chiqishimiz kerak, deylik, bola to'g'ri taxmin qildi va darhol to'g'ri yozdi, bunday hodisaning ehtimoli 1/10 ga teng. Ikkinchi variant: birinchi qo'ng'iroq o'tkazib yuborilgan, ikkinchisi esa maqsadda. Keling, bunday hodisaning ehtimolini hisoblaymiz: 9/10 ni 1/9 ga ko'paytiramiz va natijada biz ham 1/10 ni olamiz. Uchinchi variant: birinchi va ikkinchi qo'ng'iroqlar noto'g'ri manzilda bo'lib chiqdi, faqat uchinchisi bilan bola o'zi xohlagan joyga etib bordi. Biz bunday hodisaning ehtimolini hisoblaymiz: 9/10 ni 8/9 va 1/8 ga ko'paytiramiz, natijada 1/10. Muammoning shartlariga ko'ra bizni boshqa variantlar qiziqtirmaydi, shuning uchun biz faqat olingan natijalarni qo'shishimiz kerak, oxirida bizda 3/10. Javob: bolaning uch martadan ko'p bo'lmagan qo'ng'iroq qilish ehtimoli 0,3 ga teng.
Raqamlar bilan kartalar
Sizning oldingizda to'qqizta karta bor, ularning har birida birdan to'qqizgacha raqam yozilgan, raqamlar takrorlanmaydi. Ular qutiga solingan va yaxshilab aralashtiriladi. Buning ehtimolini hisoblashingiz kerak
- juft raqam paydo bo'ladi;
- ikki raqamli.
Yechimga o'tishdan oldin, m - muvaffaqiyatli holatlar soni, n - variantlarning umumiy soni ekanligini belgilaylik. Sonning juft bo‘lish ehtimoli topilsin. To'rtta juft son borligini hisoblash qiyin bo'lmaydi, bu bizning m bo'ladi, jami to'qqizta mumkin bo'lgan variant mavjud, ya'ni m=9. Keyin ehtimollik 0,44 yoki 4/9 ga teng.
Ikkinchi holatni ko'rib chiqaylik: variantlar soni to'qqizta va muvaffaqiyatli natijalar umuman bo'lishi mumkin emas, ya'ni m nolga teng. Chizilgan kartada ikki xonali raqam bo'lishi ehtimoli ham nolga teng.
KIRISH
Ko'p narsa biz uchun tushunarsiz, chunki bizning tushunchalarimiz zaif;
lekin bu narsalar bizning tushunchalar doirasiga kirmagani uchun.
Kozma Prutkov
O‘rta maxsus o‘quv yurtlarida matematikani o‘rganishdan asosiy maqsad o‘quvchilarga matematikadan u yoki bu darajada foydalanadigan boshqa dastur fanlarini o‘rganish, amaliy hisob-kitoblarni amalga oshirish, shakllantirish va rivojlantirish uchun zarur bo‘lgan matematik bilim va ko‘nikmalar to‘plamini berishdan iborat. mantiqiy fikrlash.
Ushbu ishda dastur va O'rta kasb-hunar ta'limining Davlat ta'lim standartlari (Rossiya Federatsiyasi Ta'lim vazirligi. M., 2002) tomonidan nazarda tutilgan "Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika asoslari" matematika bo'limining barcha asosiy tushunchalari. ), izchil kiritiladi, asosiy teoremalar shakllantiriladi, ularning aksariyati isbotlanmagan. Asosiy muammolar va ularni hal qilish usullari va bu usullarni amaliy muammolarni hal qilishda qo'llash texnologiyalari ko'rib chiqiladi. Taqdimot batafsil sharhlar va ko'plab misollar bilan birga keladi.
Uslubiy ko'rsatmalardan o'rganilayotgan material bilan dastlabki tanishish, ma'ruza matnini yozishda, amaliy mashg'ulotlarga tayyorgarlik ko'rishda, olingan bilim, ko'nikma va malakalarni mustahkamlashda foydalanish mumkin. Bundan tashqari, qo'llanma bakalavriat talabalari uchun ilgari o'rganilgan narsalarni tezda eslab qolish imkonini beruvchi ma'lumotnoma vositasi sifatida ham foydali bo'ladi.
Ish oxirida talabalar o'z-o'zini nazorat qilish rejimida bajarishi mumkin bo'lgan misollar va topshiriqlar mavjud.
Yo'riqnomalar sirtqi va kunduzgi bo'lim talabalari uchun mo'ljallangan.
ASOSIY TUSHUNCHALAR
Ehtimollar nazariyasi ommaviy tasodifiy hodisalarning ob'ektiv qonuniyatlarini o'rganadi. U matematik statistikaning nazariy asosi boʻlib, kuzatish natijalarini yigʻish, tavsiflash va qayta ishlash usullarini ishlab chiqish bilan shugʻullanadi. Kuzatishlar (sinovlar, tajribalar) orqali, ya'ni. so'zning keng ma'nosida tajriba, real dunyo hodisalarini bilish sodir bo'ladi.
Amaliy faoliyatimizda ko'pincha natijasini oldindan aytib bo'lmaydigan, natijasi tasodifga bog'liq bo'lgan hodisalarga duch kelamiz.
Tasodifiy hodisa uning paydo bo'lish sonining sinovlar soniga nisbati bilan tavsiflanishi mumkin, ularning har birida, barcha sinovlarning bir xil sharoitlarida, u sodir bo'lishi yoki sodir bo'lmasligi mumkin.
Ehtimollar nazariyasi - matematikaning tasodifiy hodisalar (hodisalar) o'rganiladigan va ular ommaviy takrorlanganda qonuniyatlari aniqlanadigan bo'limi.
Matematik statistika - matematikaning ilmiy asoslangan xulosalar olish va qarorlar qabul qilish uchun statistik ma'lumotlarni yig'ish, tizimlashtirish, qayta ishlash va ulardan foydalanish usullarini o'rganish bilan shug'ullanadigan bo'limi.
Bunda statistik ma'lumotlar deganda bizni qiziqtirayotgan o'rganilayotgan ob'ektlar xususiyatlarining miqdoriy xususiyatlarini ifodalovchi raqamlar yig'indisi tushuniladi. Statistik ma'lumotlar maxsus ishlab chiqilgan tajriba va kuzatishlar natijasida olinadi.
Statistik ma'lumotlar o'z mohiyatiga ko'ra ko'plab tasodifiy omillarga bog'liq, shuning uchun matematik statistika uning nazariy asosi bo'lgan ehtimollar nazariyasi bilan chambarchas bog'liq.
I. EHTIMOLLIK. EHTIMOLLARNI QO'SHISH VA KO'SHISH TEOREMALARI
1.1. Kombinatorikaning asosiy tushunchalari
Matematikaning kombinatorika deb ataladigan boʻlimida toʻplamlarni koʻrib chiqish va bu toʻplamlar elementlarining turli birikmalarini tuzish bilan bogʻliq baʼzi masalalar yechiladi. Masalan, 10 ta turli xil 0, 1, 2, 3,: , 9 sonlarini olib, ularning birikmalarini yasasak, har xil sonlarni olamiz, masalan, 143, 431, 5671, 1207, 43 va hokazo.
Ko'ramizki, bu kombinatsiyalarning ba'zilari faqat raqamlar tartibida (masalan, 143 va 431), boshqalari - ularga kiritilgan raqamlarda (masalan, 5671 va 1207), boshqalari esa raqamlar sonida farqlanadi. (masalan, 143 va 43).
Shunday qilib, olingan kombinatsiyalar turli shartlarni qondiradi.
Tarkibi qoidalariga qarab, uchta turdagi kombinatsiyani ajratish mumkin: almashtirishlar, joylashtirishlar, kombinatsiyalar.
Keling, birinchi navbatda kontseptsiya bilan tanishamiz faktorial.
1 dan n gacha bo'lgan barcha natural sonlarning ko'paytmasi deyiladi n-faktorial va yozing.
Hisoblang: a) ; b) ; V) .
Yechim. A) .
b) beri 
, keyin biz uni qavs ichidan chiqarishimiz mumkin
Keyin olamiz
V) 
.
Qayta tartibga solish.
Bir-biridan faqat elementlar tartibida farq qiluvchi n ta elementning birikmasi almashtirish deyiladi.
O'zgartirishlar belgi bilan ko'rsatilgan P n , bu erda n - har bir almashtirishga kiritilgan elementlar soni. ( R- frantsuzcha so'zning birinchi harfi almashtirish- qayta tartibga solish).
O'zgartirishlar sonini formuladan foydalanib hisoblash mumkin
yoki faktorial yordamida:
Buni eslaylik 0!=1 va 1!=1.
2-misol. Olti xil kitobni bir javonga necha usulda joylashtirish mumkin?
Yechim. Yo'llarning kerakli soni 6 ta elementning almashtirishlar soniga teng, ya'ni.
Joylashuvlar.
dan xabarlar m ichidagi elementlar n har birida bir-biridan elementlarning o'zi (kamida bitta) yoki joylashish tartibi bilan farq qiladigan bunday birikmalar deyiladi.
Joylashuvlar belgisi bilan ko'rsatilgan, bu erda m- barcha mavjud elementlar soni, n- har bir kombinatsiyadagi elementlar soni. ( A- frantsuzcha so'zning birinchi harfi tartibga solish, ya'ni "joylashtirish, tartibga solish").
Shu bilan birga, bunga ishonishadi nm.
Joylashuvlar sonini formuladan foydalanib hisoblash mumkin
,
bular. dan barcha mumkin bo'lgan joylashtirishlar soni m tomonidan elementlar n mahsulotga teng n eng kattasi bo'lgan ketma-ket butun sonlar m.
Bu formulani faktorial ko‘rinishda yozamiz:
Misol 3. Beshta abituriyent uchun har xil profildagi sanatoriylarga uchta yo'llanmani taqsimlashning nechta variantini tuzish mumkin?
Yechim. Variantlarning kerakli soni 3 ta elementning 5 ta elementini joylashtirish soniga teng, ya'ni.
.
Kombinatsiyalar.
Kombinatsiyalar barcha mumkin bo'lgan kombinatsiyalardir m tomonidan elementlar n, ular bir-biridan kamida bitta element bilan farq qiladi (bu erda m Va n- natural sonlar va n m).
Kombinatsiyalar soni m tomonidan elementlar n bilan belgilanadi ( BILAN-fransuzcha so'zning birinchi harfi kombinatsiya- kombinatsiya).
Umuman olganda, soni m tomonidan elementlar n dan joylashtirishlar soniga teng m tomonidan elementlar n dan almashtirishlar soniga bo'linadi n elementlar:
Joylashuvlar va almashtirishlar soni uchun faktorli formulalardan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:
Misol 4. 25 kishidan iborat jamoada ma'lum bir hududda ishlash uchun to'rttasini ajratish kerak. Buni necha usulda qilish mumkin?
Yechim. Tanlangan to'rt kishining tartibi muhim emasligi sababli, buni qilishning usullari mavjud.
Birinchi formuladan foydalanib topamiz
.
Bundan tashqari, muammolarni hal qilishda kombinatsiyalarning asosiy xususiyatlarini ifodalovchi quyidagi formulalar qo'llaniladi:
(ta'rifga ko'ra ular taxmin qiladilar va);
.
1.2. Kombinator masalalarni yechish
Vazifa 1. Fakultetda 16 ta fan o‘rganiladi. Dushanba kungi jadvalingizga 3 ta fanni kiritishingiz kerak. Buni necha usulda qilish mumkin?
Yechim. 16 ta elementdan uchtasini rejalashtirishning ko'plab usullari mavjud, chunki siz 16 ta elementni 3 tagacha joylashtirishingiz mumkin.
Vazifa 2. 15 ta ob'ektdan 10 ta ob'ektni tanlash kerak. Buni necha usulda qilish mumkin?
Vazifa 3. Musobaqada to'rtta jamoa qatnashdi. Ular orasida o'rindiqlarni taqsimlashning nechta varianti mumkin?
.
Masala 4. Agar 80 nafar askar va 3 nafar ofitser bo‘lsa, uchta askar va bir ofitserdan iborat patrulni necha xil usulda tuzish mumkin?
Yechim. Siz patrulda askar tanlashingiz mumkin
yo'llar, va yo'llar bilan ofitserlar. Har qanday ofitser har bir askar jamoasi bilan borishi mumkinligi sababli, juda ko'p usullar mavjud.
5-topshiriq. Agar ma'lum bo'lsa, toping.
dan beri, biz olamiz
,
,
Kombinatsiyaning ta'rifiga ko'ra, shundan kelib chiqadiki, . Bu. .
1.3. Tasodifiy hodisa tushunchasi. Hodisa turlari. Hodisa ehtimoli
Muayyan sharoitlarda amalga oshiriladigan, bir necha xil natijalarga ega bo'lgan har qanday harakat, hodisa, kuzatish deyiladi. sinov.
Bu harakat yoki kuzatish natijasi deyiladi voqea .
Agar ma'lum sharoitlarda hodisa ro'y berishi yoki sodir bo'lmasligi mumkin bo'lsa, u chaqiriladi tasodifiy . Voqea sodir bo'lishi aniq bo'lsa, u chaqiriladi ishonchli va bu sodir bo'lmasligi aniq bo'lsa, - imkonsiz.
Voqealar deyiladi mos kelmaydigan , agar ulardan faqat bittasi har safar paydo bo'lishi mumkin bo'lsa.
Voqealar deyiladi qo'shma , agar ma'lum sharoitlarda ushbu hodisalardan birining sodir bo'lishi bir xil sinov paytida boshqasining paydo bo'lishini istisno qilmasa.
Voqealar deyiladi qarama-qarshi , agar sinov shartlari ostida ular, uning yagona natijalari bo'lib, mos kelmasa.
Voqealar odatda lotin alifbosining bosh harflari bilan belgilanadi: A, B, C, D, : .
A 1 , A 2 , A 3 , : , A n hodisalarning toʻliq tizimi - berilgan test davomida kamida bittasining roʻy berishi shart boʻlgan mos kelmaydigan hodisalar toʻplami.
Agar to'liq sistema ikkita mos kelmaydigan hodisadan iborat bo'lsa, unda bunday hodisalar qarama-qarshi deb ataladi va A va belgilanadi.
Misol. Qutida 30 ta raqamlangan shar bor. Quyidagi hodisalardan qaysi biri imkonsiz, ishonchli yoki aksincha ekanligini aniqlang:
raqamlangan to'pni chiqardi (A);
juft sonli to'pni oldi (IN);
toq sonli to'pni oldi (BILAN);
raqamsiz to'pni oldi (D).
Ulardan qaysi biri to'liq guruhni tashkil qiladi?
Yechim . A- ishonchli voqea; D- imkonsiz hodisa;
In va BILAN- qarama-qarshi hodisalar.
Voqealarning to'liq guruhi quyidagilardan iborat A Va D, V Va BILAN.
Hodisa ehtimoli tasodifiy hodisaning yuzaga kelishining ob'ektiv imkoniyatining o'lchovi sifatida qaraladi.
1.4. Ehtimollikning klassik ta'rifi
Voqea sodir bo'lishining ob'ektiv imkoniyati o'lchovini ifodalovchi son deyiladi ehtimollik bu hodisa va belgi bilan ko'rsatilgan R(A).
Ta'rif. Hodisa ehtimoli A- ma'lum bir hodisaning yuzaga kelishi uchun qulay m natijalar sonining nisbati A, raqamga n barcha natijalar (mos kelmaydigan, faqat mumkin va teng darajada mumkin), ya'ni. .
Shuning uchun, hodisaning ehtimolini topish uchun testning turli natijalarini hisobga olgan holda, barcha mumkin bo'lgan nomuvofiq natijalarni hisoblash kerak. n, natijalar sonini tanlang m bizni qiziqtiradi va nisbatni hisoblang m Kimga n.
Ushbu ta'rifdan quyidagi xususiyatlar kelib chiqadi:
Har qanday testning ehtimoli birdan oshmaydigan manfiy bo'lmagan sondir.
Haqiqatan ham, kerakli hodisalarning soni m ichida. Ikkala qismga bo'lish n, olamiz
2. Ishonchli hodisaning ehtimoli birga teng, chunki .
3. Imkonsiz hodisaning ehtimoli nolga teng, chunki.
Muammo 1. 1000 ta chiptadan iborat lotereyada 200 ta yutuq bor. Bitta chipta tasodifiy chiqariladi. Ushbu chiptaning g'olib bo'lish ehtimoli qanday?
Yechim. Turli xil natijalarning umumiy soni n=1000. G'alaba qozonish uchun qulay natijalar soni m=200. Formulaga ko'ra, biz olamiz
.
Muammo 2. 18 qismdan iborat partiyada 4 ta nuqsonli. 5 qism tasodifiy tanlanadi. Ushbu 5 qismdan ikkitasi nuqsonli bo'lish ehtimolini toping.
Yechim. Barcha teng darajada mumkin bo'lgan mustaqil natijalar soni n 18 dan 5 gacha bo'lgan kombinatsiyalar soniga teng, ya'ni.
Keling, A hodisasini ma'qullaydigan m sonini hisoblaymiz. Tasodifiy olingan 5 qismdan 3 tasi yaxshi va 2 tasi nuqsonli bo'lishi kerak. Mavjud 4 ta nuqsonli ikkita nuqsonli qismni tanlash usullari soni 4 dan 2 gacha bo'lgan kombinatsiyalar soniga teng:
14 ta mavjud sifatli qismlardan uchta sifatli qismni tanlash usullari soni teng
.
Yaxshi qismlarning har qanday guruhi nuqsonli qismlarning har qanday guruhi bilan birlashtirilishi mumkin, shuning uchun kombinatsiyalarning umumiy soni m ga teng
A hodisasining talab qilinadigan ehtimoli ushbu hodisa uchun qulay bo'lgan m natijalar sonining barcha teng mumkin bo'lgan mustaqil natijalarning n soniga nisbatiga teng:
.
Cheklangan sonli hodisalar yig'indisi - ulardan kamida bittasining sodir bo'lishidan iborat hodisa.
Ikki hodisaning yig'indisi A+B belgisi va yig'indisi bilan belgilanadi n A 1 +A 2 + belgisi bilan hodisalar: +A n.
Ehtimollar qo‘shish teoremasi.
Ikki mos kelmaydigan hodisalar yig'indisining ehtimoli bu hodisalarning ehtimolliklari yig'indisiga teng.
Xulosa 1. Agar A 1, A 2, :,A n hodisasi to‘liq sistemani tashkil qilsa, bu hodisalarning ehtimolliklari yig‘indisi bittaga teng bo‘ladi.
Xulosa 2. Qarama-qarshi hodisalar ehtimoli yig'indisi va birga teng.
.
Muammo 1. 100 ta lotereya chiptalari mavjud. Ma'lumki, 5 ta chipta 20 000 rubl, 10 ta chipta 15 000 rubl, 15 chipta 10 000 rubl, 25 chipta 2 000 rubl yutadi. va qolganlari uchun hech narsa. Xarid qilingan chipta kamida 10 000 rubl yutuq olish ehtimolini toping.
Yechim. A, B va C xarid qilingan chipta mos ravishda 20 000, 15 000 va 10 000 rublga teng yutuq olishidan iborat voqealar bo'lsin. chunki A, B va C hodisalari mos kelmaydi
Vazifa 2. Texnikumning sirtqi bo'limi matematikadan testlarni shaharlardan oladi A, B Va BILAN. Shahardan test olish ehtimoli A shahardan 0,6 ga teng IN- 0,1. Keyingi test shahardan kelishi ehtimolini toping BILAN.
Matematika turli sohalarni o'z ichiga oladi, ulardan biri algebra va geometriya bilan bir qatorda ehtimollar nazariyasidir. Bu sohalarning barchasi uchun umumiy bo'lgan atamalar mavjud, ammo ularga qo'shimcha ravishda faqat bitta o'ziga xos "nisha" ga xos bo'lgan aniq so'zlar, formulalar va teoremalar mavjud.
"Ehtimollik nazariyasi" iborasi tayyor bo'lmagan o'quvchida vahima qo'zg'atadi. Darhaqiqat, tasavvur qo'rqinchli hajmli formulalar paydo bo'ladigan rasmlarni chizadi va bitta muammoni hal qilish butun daftarni oladi. Biroq, amalda hamma narsa unchalik dahshatli emas: vazifalardan qo'rqishni bir marta va umuman to'xtatish uchun ba'zi atamalarning ma'nosini bir marta tushunish va fikrlashning o'ziga xos mantig'ining mohiyatini o'rganish kifoya. Shu munosabat bilan biz ehtimollik nazariyasi va matematik statistikaning asosiy tushunchalarini ko'rib chiqamiz - yosh, ammo juda qiziqarli bilim sohasi.
Nega tushunchalarni o'rganish kerak?
Tilning vazifasi - ma'lumotni bir kishidan ikkinchisiga etkazish, u tushunishi, tushunishi va undan foydalanishi uchun. Har bir matematik kontseptsiyani oddiy so'zlar bilan tushuntirish mumkin, ammo bu holda ma'lumot almashish harakati ancha uzoq davom etadi. Tasavvur qiling-a, "gipotenuza" so'zi o'rniga siz doimo "to'g'ri burchakli uchburchakning eng uzun tomoni" deb aytishingiz kerak bo'ladi - bu juda noqulay va ko'p vaqt talab qiladi.
Shuning uchun odamlar muayyan hodisa va jarayonlar uchun yangi atamalar o'ylab topadilar. Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalari - hodisa, hodisa ehtimoli va boshqalar xuddi shu tarzda paydo bo'lgan. Bu shuni anglatadiki, formulalardan foydalanish, muammolarni hal qilish va hayotda ko'nikmalarni qo'llash uchun siz nafaqat yangi so'zlarni eslab qolmasdan, balki ularning har biri nimani anglatishini ham tushunishingiz kerak. Ularni qanchalik chuqur tushunsangiz, ma'nosini o'rgansangiz, imkoniyatlaringiz doirasi shunchalik kengayadi va atrofingizdagi dunyoni to'liqroq idrok etasiz.
Ob'ektning ma'nosi nima
Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalari bilan tanishamiz. Ehtimollikning klassik ta'rifi quyidagicha: bu tadqiqotchiga mos keladigan natijalarning mumkin bo'lganlarning umumiy soniga nisbati. Oddiy misol keltiraylik: odam o‘limni uloqtirganda, u olti tomonning istalganiga yuqoriga qaragan holda qo‘nishi mumkin. Shunday qilib, natijalarning umumiy soni oltitaga teng. Tasodifiy tanlangan tomonning paydo bo'lish ehtimoli 1/6 ga teng.
Muayyan natijaning paydo bo'lishini bashorat qilish qobiliyati turli mutaxassislar uchun juda muhimdir. Partiyada qancha nuqsonli qismlar kutilmoqda? Bu sizga qancha ishlab chiqarish kerakligini aniqlaydi. Dori kasallikni engishga yordam berish ehtimoli qanday? Bunday ma'lumotlar juda muhim. Ammo keling, qo'shimcha misollarga vaqt sarflamaylik va biz uchun yangi sohani o'rganishni boshlaylik.
Birinchi tanishuv
Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalari va ulardan foydalanishni ko'rib chiqamiz. Huquq, tabiiy fanlar va iqtisod fanlarida quyida keltirilgan formulalar va atamalar hamma joyda qo'llaniladi, chunki ular bevosita statistika va o'lchov xatolari bilan bog'liq. Ushbu masalani batafsil o'rganish sizga aniqroq va murakkab hisob-kitoblar uchun foydali bo'lgan yangi formulalarni ochib beradi, ammo oddiyidan boshlaylik.
Ehtimollar nazariyasi va matematik statistikaning eng asosiy va asosiy tushunchalaridan biri tasodifiy hodisadir. Keling, aniq so'zlar bilan tushuntiramiz: tajribaning barcha mumkin bo'lgan natijalaridan faqat bittasi natijada kuzatiladi. Ushbu hodisaning yuzaga kelish ehtimoli boshqasidan sezilarli darajada yuqori bo'lsa ham, bu tasodifiy bo'ladi, chunki nazariy jihatdan natija boshqacha bo'lishi mumkin edi.
Agar biz bir qator tajribalar o'tkazgan bo'lsak va ma'lum miqdordagi natijalarni olgan bo'lsak, unda ularning har birining ehtimoli quyidagi formula yordamida hisoblanadi: P (A) = m / n. Bu erda m - bizni qiziqtirgan natijaning ko'rinishini bir qator testlarda necha marta kuzatganimiz. O'z navbatida, n - bajarilgan tajribalarning umumiy soni. Agar biz tangani 10 marta tashlab, 5 marta boshni olgan bo'lsak, u holda m=5 va n=10.
Hodisa turlari
Har bir sinovda ba'zi natijalar kuzatilishi kafolatlanadi - bunday hodisa ishonchli deb nomlanadi. Agar bu hech qachon sodir bo'lmasa, bu imkonsiz deb ataladi. Biroq, ehtimollar nazariyasi masalalarida bunday hodisalar qo'llanilmaydi. Bilish uchun muhimroq bo'lgan asosiy tushunchalar qo'shma va qo'shma hodisalardir.
Tajriba o'tkazishda bir vaqtning o'zida ikkita hodisa sodir bo'ladi. Misol uchun, biz ikkita zar tashlaymiz - bu holda, bitta "oltita" ni tashlash ikkinchisi boshqa raqamni tashlamasligiga kafolat bermaydi. Bunday tadbirlar qo'shma deb nomlanadi.
Agar biz bitta o'limni aylantirsak, ikkita raqam bir vaqtning o'zida paydo bo'lmaydi. Bunday holda, tushirilgan "bir", "ikki" va boshqalar ko'rinishidagi natijalar mos kelmaydigan hodisalar deb hisoblanadi. Har bir aniq holatda qanday natijalar sodir bo'lishini farqlash juda muhim - bu ehtimolliklarni topish muammosida qaysi formulalardan foydalanishni aniqlaydi. Biz ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalarini bir necha paragrafdan so'ng, qo'shish va ko'paytirish xususiyatlarini ko'rib chiqsak, o'rganishni davom ettiramiz. Axir, ularsiz biron bir muammoni hal qilib bo'lmaydi.
Yig'indi va mahsulot
Aytaylik, siz va do'stingiz zarni tashladingiz va ular to'rttasini olishdi. G'alaba qozonish uchun siz "besh" yoki "olti" ni olishingiz kerak. Bunday holda, ehtimollar qo'shiladi: ikkala raqamni olish ehtimoli 1/6 bo'lganligi sababli, javob 1/6 + 1/6 = 1/3 kabi ko'rinadi.
Endi tasavvur qiling-a, siz zarni ikki marta tashladingiz va do'stingiz 11 ball oladi. Endi ketma-ket ikki marta "oltita" ni olishingiz kerak. Hodisalar bir-biridan mustaqil, shuning uchun ehtimolliklarni ko'paytirish kerak bo'ladi: 1/6 * 1/6 = 1/36.
Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalari va teoremalari orasida qo'shma hodisalar, ya'ni bir vaqtning o'zida sodir bo'lishi mumkin bo'lgan ehtimolliklar yig'indisiga e'tibor qaratish lozim. Bu holda qo'shish formulasi quyidagicha ko'rinadi: P (A+B) = P (A) + P (B) - P (AB).
Kombinatorika
Ko'pincha biz ba'zi ob'ekt parametrlarining barcha mumkin bo'lgan kombinatsiyalarini topishimiz yoki har qanday kombinatsiyalar sonini hisoblashimiz kerak (masalan, shifrni tanlashda). Bunda bizga ehtimollar nazariyasi bilan chambarchas bog'liq bo'lgan kombinatorika yordam beradi. Bu erdagi asosiy tushunchalar ba'zi yangi so'zlarni o'z ichiga oladi va bu mavzu bo'yicha bir qator formulalar foydali bo'lishi mumkin.
Aytaylik, sizda uchta raqam bor: 1, 2, 3. Ulardan barcha mumkin bo'lgan uch xonali raqamlarni yozish uchun ishlatishingiz kerak. Qancha bo'ladi? Javob: n! (undov belgisi faktor ma’nosini bildiradi). Faqat joylashish tartibi bilan farq qiluvchi ma'lum miqdordagi turli elementlarning (raqamlar, harflar va boshqalar) birikmalari almashtirishlar deyiladi.
Biroq, biz bunday holatga tez-tez duch kelamiz: parol yoki kod yaratilgan 10 ta raqam (noldan to'qqizgacha) mavjud. Uning uzunligi 4 ta belgidan iborat deb faraz qilaylik. Mumkin kodlarning umumiy sonini qanday hisoblash mumkin? Buning uchun maxsus formula mavjud: (n!)/(n - m)!
Yuqorida taklif qilingan masala shartini hisobga olsak, n=10, m=4. Bundan tashqari, faqat oddiy matematik hisoblar talab qilinadi. Aytgancha, bunday kombinatsiyalar joylashtirish deb ataladi.
Va nihoyat, kombinatsiyalar tushunchasi mavjud - bular bir-biridan kamida bitta element bilan farq qiladigan ketma-ketliklardir. Ularning soni quyidagi formula yordamida hisoblanadi: (n!) / (m!(n-m)!).
Kutish
Talaba fanning birinchi darslaridayoq duch keladigan muhim tushuncha bu matematik kutishdir. Bu barcha mumkin bo'lgan natijalar yig'indisi, ularning ehtimolliklariga ko'paytiriladi. Aslida, bu test natijasi sifatida taxmin qilishimiz mumkin bo'lgan o'rtacha raqam. Masalan, qavs ichida ehtimoli ko'rsatilgan uchta qiymat mavjud: 0 (0,2); 1 (0,5); 2 (0,3). Matematik kutilmani hisoblab chiqamiz: M(X) = 0*0,2 + 1*0,5 + 2*0,3 = 1,1. Shunday qilib, taklif qilingan ifodadan bu qiymat doimiy ekanligini va test natijasiga bog'liq emasligini ko'rish mumkin.
Ushbu kontseptsiya ko'plab formulalarda qo'llaniladi va siz kelajakda bir necha marta duch kelasiz. U bilan ishlash qiyin emas: yig'indining matematik kutilishi mat yig'indisiga teng. taxminlar - M(X+Y) = M(X) + M(Y). Xuddi shu narsa mahsulotga ham tegishli: M (XY) = M (X) * M (Y).
Dispersiya
Ehtimol siz maktab fizikasi kursidan dispersiyaning tarqalishini eslaysiz. Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalari orasida uning o'rni qanday?
Ikkita misolga qarang. Bir holatda bizga berilgan: 10(0,2); 20(0,6); 30(0,2). Boshqasida - 0(0,2); 20(0,6); 40 (0,2). Ikkala holatda ham matematik kutish bir xil bo'ladi, shuning uchun bu vaziyatlarni qanday taqqoslash mumkin? Axir, biz yalang'och ko'z bilan ikkinchi holatda qadriyatlarning tarqalishi ancha katta ekanligini ko'ramiz.
Shuning uchun dispersiya tushunchasi kiritildi. Uni olish uchun har bir tasodifiy miqdor va matematik kutishning farqlari yig'indisidan matematik kutishni hisoblash kerak. Oldingi xatboshida yozilgan birinchi misoldagi raqamlarni olaylik.
Birinchidan, matematik taxminni hisoblaymiz: M(X) = 10*0,2 + 20*0,6 + 30*0,2 = 20. Keyin dispersiya qiymati: D(X) = 40.
Statistikaning yana bir asosiy tushunchasi va ehtimollik nazariyasi standart og'ishdir. Hisoblash juda oddiy: siz dispersiyaning kvadrat ildizini olishingiz kerak.
Bu erda biz doira kabi oddiy atamani ham qayd etishimiz mumkin. Bu namunadagi maksimal va minimal qiymatlar o'rtasidagi farqni ifodalovchi qiymat.
Statistika
Ba'zi asosiy maktab tushunchalari fanda juda tez-tez qo'llaniladi. Ulardan ikkitasi o'rtacha arifmetik va medianadir. Albatta, siz ularning ma'nosini qanday topishni eslaysiz. Ammo har holda, sizga eslatib o'tamiz: arifmetik o'rtacha barcha qiymatlarning ularning soniga bo'lingan yig'indisidir. Agar 10 ta qiymat bo'lsa, biz ularni qo'shamiz va 10 ga bo'lamiz.
Median barcha mumkin bo'lgan qiymatlar orasida markaziy qiymatdir. Agar bizda toq sonli miqdorlar bo'lsa, biz ularni o'sish tartibida yozamiz va o'rtadagini tanlaymiz. Agar bizda juft qiymatlar bo'lsa, biz markaziy ikkitani olamiz va ikkitaga bo'lamiz.
Median va to'plamning ikkita ekstremal - maksimal va minimal qiymatlari o'rtasida joylashgan yana ikkita qiymat kvartillar deb ataladi. Ular xuddi shunday hisoblab chiqiladi - agar elementlar soni toq bo'lsa, qatorning o'rtasida joylashgan raqam, agar elementlar soni juft bo'lsa, ikkita markaziy element yig'indisining yarmi olinadi.
Shuningdek, maxsus grafik mavjud bo'lib, unda siz barcha namunaviy qiymatlarni, uning diapazonini, medianasini, kvartillararo oraliqlarini, shuningdek, statistik xatoga to'g'ri kelmaydigan qiymatlarni ko'rishingiz mumkin. Olingan rasm juda aniq (va hatto matematik bo'lmagan) nomga ega - "mo'ylovli quti".
Tarqatish
Tarqatish ehtimollik nazariyasi va matematik statistikaning asosiy tushunchalariga ham tegishli. Muxtasar qilib aytganda, u test natijasida ko'rishimiz mumkin bo'lgan barcha tasodifiy o'zgaruvchilar haqida umumiy ma'lumotni ifodalaydi. Bu erda asosiy parametr har bir aniq qiymatning paydo bo'lish ehtimoli bo'ladi.
Oddiy taqsimot eng tez-tez uchraydigan qiymatni o'z ichiga olgan bitta markaziy cho'qqiga ega bo'lgan taqsimotdir. Kamroq va kamroq ehtimoliy natijalar yoylarda undan ajralib turadi. Umuman olganda, grafik tashqi tomondan "slayd" ga o'xshaydi. Keyinchalik siz ushbu taqsimot turi ehtimollik nazariyasi uchun asos bo'lgan markaziy chegara teoremasi bilan chambarchas bog'liqligini bilib olasiz. Unda biz ko'rib chiqayotgan matematika bo'limi uchun turli xil hisob-kitoblarda juda foydali bo'lgan muhim naqshlar tasvirlangan.
Ammo mavzuga qaytaylik. Tarqatishning yana ikkita turi mavjud: assimetrik va multimodal. Birinchisi "oddiy" grafikning yarmiga o'xshaydi, ya'ni yoy tepalik qiymatidan faqat bir tomonga tushadi. Nihoyat, multimodal taqsimot - bu bir nechta "yuqori" qiymatlar mavjud. Shunday qilib, grafik pastga tushadi yoki yuqoriga ko'tariladi. Har qanday taqsimotda eng tez-tez uchraydigan qiymat rejim deb ataladi. Bu, shuningdek, ehtimollar nazariyasi va matematik statistikaning asosiy tushunchalaridan biridir.
Gauss taqsimoti
Gauss yoki normal taqsimot - bu kuzatuvlarning o'rtacha qiymatdan chetlanishi ma'lum bir qonunga bo'ysunadigan taqsimotdir.
Qisqacha aytganda, namunaviy qiymatlarning asosiy tarqalishi eksponent tarzda rejimga intiladi - ulardan eng tez-tez uchraydigan. Aniqrog'i, barcha qiymatlarning 99,6% uchta standart og'ish doirasida joylashgan (esda tutingki, biz ushbu kontseptsiyani yuqorida muhokama qildik?).
Gauss taqsimoti ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalaridan biridir. Undan foydalanib, siz ma'lum parametrlarga ko'ra elementning "tipik" toifasiga kiritilganligini tushunishingiz mumkin - insonning bo'yi va vazni yoshi, intellektual rivojlanish darajasi, psixologik holati va boshqalarga qarab shunday baholanadi. .
Qanday murojaat qilish kerak
Qizig'i shundaki, "zerikarli" matematik ma'lumotlar sizning foydangiz uchun ishlatilishi mumkin. Misol uchun, bir yigit ruletda bir necha million dollar yutish uchun ehtimollik nazariyasi va statistikadan foydalangan. To'g'ri, bundan oldin men tayyorgarlik ko'rishim kerak edi - bir necha oy davomida turli kazinolarda o'yin natijalarini yozib olish.
Tahlil o'tkazgandan so'ng, u jadvallardan biri biroz egilganligini aniqladi, bu bir qator qiymatlar boshqalarga qaraganda statistik jihatdan sezilarli darajada tez-tez paydo bo'lganligini anglatadi. Biroz hisob-kitob va sabr-toqat - va muassasa egalari odam qanday qilib omadli bo'lishi mumkinligi haqida bosh qotirmoqda.
Statistikaga murojaat qilmasdan hal qilib bo'lmaydigan kundalik kundalik muammolar mavjud. Misol uchun, turli o'lchamdagi do'konga qancha kiyim buyurtma qilish kerakligini qanday aniqlash mumkin: S, M, L, XL? Buning uchun shaharda, viloyatda, yaqin atrofdagi do'konlardan kim ko'proq kiyim sotib olishini tahlil qilish kerak. Agar bunday ma'lumot olinmasa, egasi ko'p pul yo'qotish xavfini tug'diradi.
Xulosa
Biz ehtimollik nazariyasining bir qancha asosiy tushunchalarini ko‘rib chiqdik: test, hodisa, almashtirishlar va joylashtirishlar, kutilgan qiymat va dispersiya, rejim va normal taqsimot... Bundan tashqari, biz bir oydan ko‘proq vaqt talab qiladigan bir qator formulalarni ko‘rib chiqdik. oliy ta'lim muassasasida o'qish uchun sinflar.
Unutmang: iqtisod, tabiiy fanlar, axborot texnologiyalari va muhandislik fanlarini o'rganishda matematika zarur. Statistikani uning sohalaridan biri sifatida bu erda ham e'tiborsiz qoldirib bo'lmaydi.
Endi bu kichik narsalar masalasi: mashq qiling, muammolar va misollarni hal qiling. Agar ko'rib chiqishga vaqt ajratmasangiz, ehtimollik nazariyasining asosiy tushunchalari va ta'riflari ham unutiladi. Bundan tashqari, keyingi formulalar asosan biz ko'rib chiqqanlarga tayanadi. Shuning uchun, ularni eslab qolishga harakat qiling, ayniqsa ularning ko'pi yo'q.
