முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்புகள்.
தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

இந்தப் பாடத்தில் முக்கோணவியல் சார்புகளின் ஒருங்கிணைப்புகளைப் பார்ப்போம், அதாவது ஒருங்கிணைப்புகளை நிரப்புவது சைன்கள், கோசைன்கள், டேன்ஜென்ட்கள் மற்றும் பல்வேறு சேர்க்கைகளில் இருக்கும். அனைத்து எடுத்துக்காட்டுகளும் விரிவாக பகுப்பாய்வு செய்யப்படும், அணுகக்கூடிய மற்றும் ஒரு தேநீர் தொட்டிக்கு கூட புரிந்துகொள்ளக்கூடியதாக இருக்கும்.

முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்புகளை வெற்றிகரமாகப் படிக்க, நீங்கள் எளிமையான ஒருங்கிணைப்புகளைப் பற்றி நன்கு புரிந்து கொள்ள வேண்டும், அதே போல் சில ஒருங்கிணைப்பு நுட்பங்களில் தேர்ச்சி பெற்றிருக்க வேண்டும். விரிவுரைகளில் இந்த பொருட்களை நீங்கள் அறிந்து கொள்ளலாம் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு. தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்மற்றும் .

இப்போது நமக்குத் தேவை: ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணை, வழித்தோன்றல்கள் அட்டவணைமற்றும் முக்கோணவியல் சூத்திரங்களின் அடைவு. அனைத்து கற்பித்தல் உதவிகளையும் பக்கத்தில் காணலாம் கணித சூத்திரங்கள் மற்றும் அட்டவணைகள். எல்லாவற்றையும் அச்சிட பரிந்துரைக்கிறேன். நான் குறிப்பாக கவனம் செலுத்துகிறேன் முக்கோணவியல் சூத்திரங்கள், அவை உங்கள் கண்களுக்கு முன்னால் இருக்க வேண்டும்- இது இல்லாமல், வேலை திறன் குறிப்பிடத்தக்க அளவில் குறையும்.

ஆனால் முதலில், இந்த கட்டுரையில் என்ன ஒருங்கிணைப்புகள் உள்ளன என்பது பற்றி இல்லை. படிவத்தின் ஒருங்கிணைப்புகள் எதுவும் இல்லை, - கொசைன், சைன், சில பல்லுறுப்புக்கோவையால் பெருக்கப்படுகிறது (குறைவாக அடிக்கடி ஒரு தொடு அல்லது கோடேன்ஜென்ட் கொண்ட ஒன்று). இத்தகைய ஒருங்கிணைப்புகள் பகுதிகளால் ஒருங்கிணைக்கப்படுகின்றன, மேலும் முறையை அறிய, பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு பாடத்தைப் பார்வையிடவும். தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் இங்கே “வளைவுகள்” - ஆர்க்டேன்ஜென்ட், ஆர்க்சைன் போன்றவற்றுடன் எந்த ஒருங்கிணைப்பும் இல்லை, அவை பெரும்பாலும் பகுதிகளால் ஒருங்கிணைக்கப்படுகின்றன.

முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்புகளைக் கண்டறியும் போது, ​​பல முறைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன:

(4) நாங்கள் அட்டவணை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் , ஒரே வித்தியாசம் என்னவென்றால், "X" க்கு பதிலாக ஒரு சிக்கலான வெளிப்பாடு உள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு 2

எடுத்துக்காட்டு 3

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்.

போட்டியில் மூழ்கியவர்களுக்கான வகையின் ஒரு கிளாசிக். நீங்கள் கவனித்தபடி, ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையில் தொடுகோடு மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் ஒருங்கிணைப்பு இல்லை, இருப்பினும், அத்தகைய ஒருங்கிணைப்புகளைக் காணலாம்.

(1) நாங்கள் முக்கோணவியல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்

(2) நாங்கள் செயல்பாட்டை வேறுபாட்டுக் குறியின் கீழ் கொண்டு வருகிறோம்.

(3) டேபிள் இன்டெகிராலைப் பயன்படுத்துகிறோம் .

எடுத்துக்காட்டு 4

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்.

என்பதற்கு இது ஒரு உதாரணம் சுதந்திரமான முடிவு, முழுமையான தீர்வு மற்றும் பதில் பாடத்தின் முடிவில் உள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு 5

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்.

எங்கள் பட்டங்கள் படிப்படியாக அதிகரிக்கும் =).
முதலில் தீர்வு:

(1) நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்

(2) முக்கிய முக்கோணவியல் அடையாளத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் , அதில் இருந்து அது பின்வருமாறு .

(3) எண்ணை வகுக்க காலத்தால் வகுக்கவும்.

(4) காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் நேரியல் பண்புகளைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

(5) நாங்கள் அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி ஒருங்கிணைக்கிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு 6

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்.

இது ஒரு சுயாதீன தீர்வுக்கான ஒரு எடுத்துக்காட்டு, முழு தீர்வு மற்றும் பதில் பாடத்தின் முடிவில் உள்ளது.

தொடுகோடுகள் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட்களின் ஒருங்கிணைப்புகளும் உள்ளன, அவை உயர் சக்திகளில் உள்ளன. தொடுகோடு கனசதுரத்தின் ஒருங்கிணைப்பு பாடத்தில் விவாதிக்கப்படுகிறது ஒரு தட்டையான உருவத்தின் பகுதியை எவ்வாறு கணக்கிடுவது?நான்காவது மற்றும் ஐந்தாவது அதிகாரங்களுக்கு தொடுகோடு (கோட்டான்ஜென்ட்) ஒருங்கிணைப்புகளை பக்கத்தில் பெறலாம் சிக்கலான ஒருங்கிணைப்புகள்.

ஒருங்கிணைப்பின் அளவைக் குறைத்தல்

ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடுகள் சைன்கள் மற்றும் கொசைன்களால் நிரப்பப்படும் போது இந்த நுட்பம் வேலை செய்கிறது கூடபட்டங்கள். பட்டத்தை குறைக்க, முக்கோணவியல் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தவும் , மற்றும் , மற்றும் கடைசி சூத்திரம் பெரும்பாலும் எதிர் திசையில் பயன்படுத்தப்படுகிறது: .

எடுத்துக்காட்டு 7

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு:

கொள்கையளவில், நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தினோம் என்பதைத் தவிர, இங்கு புதிதாக எதுவும் இல்லை (ஒருங்கிணைந்த அளவைக் குறைத்தல்). நான் தீர்வை சுருக்கிவிட்டேன் என்பதை நினைவில் கொள்க. நீங்கள் அனுபவத்தைப் பெறும்போது, ​​​​இதன் ஒருங்கிணைப்பை வாய்வழியாகக் காணலாம், இது நேரத்தை மிச்சப்படுத்துகிறது மற்றும் பணிகளை முடிக்கும்போது மிகவும் ஏற்றுக்கொள்ளத்தக்கது. இந்த வழக்கில், விதியை விவரிக்காமல் இருப்பது நல்லது , முதலில் நாம் வாய்மொழியாக 1 இன் ஒருங்கிணைப்பை எடுத்துக்கொள்கிறோம், பின்னர் இன் .

எடுத்துக்காட்டு 8

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்.

இது ஒரு சுயாதீன தீர்வுக்கான ஒரு எடுத்துக்காட்டு, முழு தீர்வு மற்றும் பதில் பாடத்தின் முடிவில் உள்ளது.

இது வாக்குறுதியளிக்கப்பட்ட அளவு அதிகரிப்பு:

எடுத்துக்காட்டு 9

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்.

முதலில் தீர்வு, பின்னர் கருத்துகள்:

(1) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கு ஒருங்கிணைப்பைத் தயாரிக்கவும் .

(2) நாங்கள் உண்மையில் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

(3) நாம் வகுப்பினைச் சதுரம் செய்து, ஒருங்கிணைந்த குறியிலிருந்து மாறிலியை எடுக்கிறோம். இதை கொஞ்சம் வித்தியாசமாக செய்திருக்கலாம், ஆனால், என் கருத்துப்படி, இது மிகவும் வசதியானது.

(4) நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்

(5) மூன்றாவது டெர்மில் மீண்டும் பட்டத்தை குறைக்கிறோம், ஆனால் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் .

(6) நாங்கள் ஒரே மாதிரியான விதிமுறைகளை முன்வைக்கிறோம் (இங்கே நான் காலத்தை காலத்தால் வகுத்துள்ளேன் மற்றும் சேர்த்தல் செய்தார்).

(7) உண்மையில், நாம் ஒருங்கிணைந்த, நேரியல் விதியை எடுத்துக்கொள்கிறோம் மற்றும் வேறுபட்ட அடையாளத்தின் கீழ் ஒரு செயல்பாட்டை உட்படுத்தும் முறை வாய்வழியாக செய்யப்படுகிறது.

(8) விடையை இணைத்தல்.

! ஒரு காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பில், பதில் பெரும்பாலும் பல வழிகளில் எழுதப்படலாம்

இப்போது கருதப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில், இறுதிப் பதிலை வேறுவிதமாக எழுதியிருக்கலாம் - அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து, வெளிப்பாட்டை ஒருங்கிணைக்கும் முன் இதைச் செய்வது கூட, அதாவது எடுத்துக்காட்டுக்கு பின்வரும் முடிவு மிகவும் ஏற்றுக்கொள்ளத்தக்கது:

இந்த விருப்பம் இன்னும் வசதியானது என்பது மிகவும் சாத்தியம், அதை நானே தீர்க்க நான் பழகிய விதத்தை விளக்கினேன்). ஒரு சுயாதீன தீர்வுக்கான மற்றொரு பொதுவான எடுத்துக்காட்டு இங்கே:

எடுத்துக்காட்டு 10

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்.

இந்த உதாரணத்தை இரண்டு வழிகளில் தீர்க்கலாம், நீங்கள் வெற்றியடையலாம் இரண்டு முற்றிலும் மாறுபட்ட பதில்கள்(இன்னும் துல்லியமாக, அவை முற்றிலும் மாறுபட்டதாக இருக்கும், ஆனால் கணிதக் கண்ணோட்டத்தில் அவை சமமானதாக இருக்கும்). பெரும்பாலும், நீங்கள் மிகவும் பகுத்தறிவு முறையைப் பார்க்க மாட்டீர்கள் மற்றும் அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து மற்ற முக்கோணவியல் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தினால் பாதிக்கப்படுவீர்கள். பாடத்தின் முடிவில் மிகவும் பயனுள்ள தீர்வு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

பத்தியை சுருக்கமாக, நாங்கள் முடிக்கிறோம்: படிவத்தின் எந்த ஒருங்கிணைப்பும் , எங்கே மற்றும் - கூடஎண்கள், ஒருங்கிணைப்பின் அளவைக் குறைக்கும் முறையால் தீர்க்கப்படுகிறது.
நடைமுறையில், நான் 8 மற்றும் 10 டிகிரி கொண்ட ஒருங்கிணைப்புகளைக் கண்டேன், மேலும் பட்டத்தை பல முறை குறைப்பதன் மூலம் அவர்களின் பயங்கரமான குழப்பத்தை நான் தீர்க்க வேண்டியிருந்தது, இதன் விளைவாக நீண்ட, நீண்ட பதில்கள் கிடைத்தன.

மாறி மாற்று முறை

என கட்டுரையில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பில் மாறி மாற்றும் முறை, மாற்று முறையைப் பயன்படுத்துவதற்கான முக்கிய முன்நிபந்தனை என்னவென்றால், ஒருங்கிணைப்பில் ஒரு குறிப்பிட்ட செயல்பாடு மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல் உள்ளது:
(செயல்பாடுகள் தயாரிப்பில் அவசியம் இல்லை)

எடுத்துக்காட்டு 11

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்.

வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணையைப் பார்க்கிறோம் மற்றும் சூத்திரங்களைக் கவனிக்கிறோம், , அதாவது, நமது ஒருங்கிணைப்பில் ஒரு செயல்பாடு மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல் உள்ளது. இருப்பினும், வேறுபாட்டின் போது, ​​கோசைனும் சைனும் ஒன்றுக்கொன்று மாறுவதைக் காண்கிறோம், மேலும் கேள்வி எழுகிறது: மாறியின் மாற்றத்தை எவ்வாறு செய்வது மற்றும் சைன் அல்லது கொசைன் என்றால் என்ன?! விஞ்ஞான குத்துதல் மூலம் கேள்வியை தீர்க்க முடியும்: மாற்றீட்டை நாம் தவறாக செய்தால், அதில் நல்லது எதுவும் வராது.

பொதுவான வழிகாட்டுதல்: இதே போன்ற சந்தர்ப்பங்களில், வகுப்பில் உள்ள செயல்பாட்டை நீங்கள் குறிப்பிட வேண்டும்.

நாங்கள் தீர்வை குறுக்கிட்டு, மாற்றீடு செய்கிறோம்

வகுப்பில் எல்லாம் நன்றாக இருக்கிறது, எல்லாவற்றையும் மட்டுமே சார்ந்துள்ளது, இப்போது அது என்னவாக மாறும் என்பதைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.
இதைச் செய்ய, வேறுபாட்டைக் காண்கிறோம்:

அல்லது, சுருக்கமாக:
விளைந்த சமத்துவத்திலிருந்து, விகிதாச்சார விதியைப் பயன்படுத்தி, நமக்குத் தேவையான வெளிப்பாட்டை வெளிப்படுத்துகிறோம்:

எனவே:

இப்போது எங்கள் முழு ஒருங்கிணைப்பும் மட்டுமே சார்ந்துள்ளது மற்றும் நாம் தொடர்ந்து தீர்க்க முடியும்

தயார். மாற்றீட்டின் நோக்கம் இந்த விஷயத்தில் ஒருங்கிணைப்பை எளிதாக்குவதாகும் என்பதை நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்; சக்தி செயல்பாடுஅட்டவணை படி.

இந்த உதாரணத்தை நான் இவ்வளவு விரிவாக விவரித்தது தற்செயல் நிகழ்வு அல்ல காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பில் மாறி மாற்றும் முறை.

இப்போது உங்கள் சொந்த தீர்வுக்கான இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகள்:

எடுத்துக்காட்டு 12

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்.

எடுத்துக்காட்டு 13

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்.

பாடத்தின் முடிவில் முழுமையான தீர்வுகள் மற்றும் பதில்கள்.

எடுத்துக்காட்டு 14

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்.

இங்கே மீண்டும், ஒருங்கிணைப்பில், சைன் மற்றும் கோசைன் (ஒரு வழித்தோன்றலுடன் கூடிய செயல்பாடு) உள்ளன, ஆனால் ஒரு தயாரிப்பில், ஒரு குழப்பம் ஏற்படுகிறது - சைன் அல்லது கொசைன் என்றால் என்ன?

விஞ்ஞான குத்துவதைப் பயன்படுத்தி மாற்றீட்டைச் செய்ய நீங்கள் முயற்சி செய்யலாம், எதுவும் செயல்படவில்லை என்றால், அதை மற்றொரு செயல்பாடாக நியமிக்கவும், ஆனால் உள்ளது:

பொதுவான வழிகாட்டுதல்: அடையாளப்பூர்வமாகச் சொன்னால், "சங்கடமான நிலையில்" உள்ள செயல்பாட்டை நீங்கள் குறிப்பிட வேண்டும்..

இந்த எடுத்துக்காட்டில், மாணவர் கொசைன் பட்டப்படிப்பில் "பாதிக்கப்படுவதை" நாம் காண்கிறோம், மேலும் சைன் சுதந்திரமாக அமர்ந்திருக்கிறது.

எனவே, மாற்றீடு செய்வோம்:

ஒரு மாறியை மாற்றுவதற்கும் வேறுபாட்டைக் கண்டறிவதற்குமான வழிமுறையில் எவருக்கும் இன்னும் சிக்கல்கள் இருந்தால், நீங்கள் பாடத்திற்குத் திரும்ப வேண்டும். காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பில் மாறி மாற்றும் முறை.

எடுத்துக்காட்டு 15

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்.

ஒருங்கிணைப்பை பகுப்பாய்வு செய்வோம், எதைக் குறிக்க வேண்டும்?
எங்கள் வழிகாட்டுதல்களை நினைவில் கொள்வோம்:
1) செயல்பாடு பெரும்பாலும் வகுப்பில் உள்ளது;
2) செயல்பாடு "சங்கடமான நிலையில்" உள்ளது.

மூலம், இந்த வழிகாட்டுதல்கள் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளுக்கு மட்டும் செல்லுபடியாகும்.

சைன் இரண்டு அளவுகோல்களுக்கும் பொருந்துகிறது (குறிப்பாக இரண்டாவது), எனவே ஒரு மாற்று தன்னை பரிந்துரைக்கிறது. கொள்கையளவில், மாற்றீடு ஏற்கனவே மேற்கொள்ளப்படலாம், ஆனால் முதலில் என்ன செய்வது என்று கண்டுபிடிப்பது நன்றாக இருக்கும்? முதலில், ஒரு கொசைனை "கிள்ளுகிறோம்":

எங்கள் "எதிர்கால" வேறுபாட்டிற்காக நாங்கள் ஒதுக்குகிறோம்

அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளத்தைப் பயன்படுத்தி சைன் மூலம் அதை வெளிப்படுத்துகிறோம்:

இப்போது இங்கே மாற்று:

பொது விதி: ஒருங்கிணைந்த முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளில் ஒன்று (சைன் அல்லது கொசைன்) இருந்தால் ஒற்றைப்படைபட்டம், பின்னர் நீங்கள் ஒற்றைப் பட்டத்தில் இருந்து ஒரு செயல்பாட்டை "கடிக்க" வேண்டும், அதன் பின்னால் மற்றொரு செயல்பாட்டை நியமிக்க வேண்டும்.கொசைன்கள் மற்றும் சைன்கள் உள்ள ஒருங்கிணைப்புகளைப் பற்றி மட்டுமே நாங்கள் பேசுகிறோம்.

கருத்தில் கொள்ளப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில், எங்களிடம் ஒற்றைப்படை சக்தியில் ஒரு கொசைன் இருந்தது, எனவே சக்தியிலிருந்து ஒரு கொசைனைப் பறித்து, அதை ஒரு சைன் என்று நியமித்தோம்.

எடுத்துக்காட்டு 16

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்.

பட்டங்கள் எடுக்கப்படுகின்றன =).
நீங்களே தீர்க்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு. பாடத்தின் முடிவில் முழு தீர்வு மற்றும் பதில்.

உலகளாவிய முக்கோணவியல் மாற்று

உலகளாவிய முக்கோணவியல் மாற்று என்பது மாறி மாற்று முறையின் பொதுவான வழக்கு. நீங்கள் "என்ன செய்வது என்று தெரியாதபோது" அதைப் பயன்படுத்த முயற்சி செய்யலாம். ஆனால் உண்மையில் அதன் பயன்பாட்டிற்கு சில வழிகாட்டுதல்கள் உள்ளன. உலகளாவிய முக்கோணவியல் மாற்றீடு பயன்படுத்தப்பட வேண்டிய பொதுவான ஒருங்கிணைப்புகள் பின்வரும் ஒருங்கிணைப்புகளாகும்: , , , முதலியன

எடுத்துக்காட்டு 17

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்.

இந்த வழக்கில் உலகளாவிய முக்கோணவியல் மாற்றீடு பின்வரும் வழியில் செயல்படுத்தப்படுகிறது. மாற்றுவோம்: . நான் கடிதத்தைப் பயன்படுத்துவதில்லை , ஆனால் கடிதம் , இது ஒருவித விதி அல்ல, அது தான், மீண்டும், நான் இந்த வழியில் விஷயங்களைத் தீர்க்கப் பழகிவிட்டேன்.

இதற்கான வேறுபாட்டைக் கண்டுபிடிப்பது இங்கே மிகவும் வசதியானது, சமத்துவத்திலிருந்து, நான் வெளிப்படுத்துகிறேன்:
நான் இரண்டு பகுதிகளுக்கும் ஒரு ஆர்க்டேன்ஜெண்டை இணைக்கிறேன்:

ஆர்க்டேன்ஜென்ட் மற்றும் டேன்ஜென்ட் ஒன்றையொன்று ரத்து செய்கின்றன:

இவ்வாறு:

நடைமுறையில், நீங்கள் அதை விரிவாக விவரிக்க வேண்டியதில்லை, ஆனால் முடிக்கப்பட்ட முடிவைப் பயன்படுத்தவும்:

! சைன்கள் மற்றும் கோசைன்களின் கீழ் நாம் "X'கள் இருந்தால் மட்டுமே இந்த வெளிப்பாடு செல்லுபடியாகும். (அதைப் பற்றி பின்னர் பேசுவோம்) எல்லாம் கொஞ்சம் வித்தியாசமாக இருக்கும்!

மாற்றும் போது, ​​சைன்கள் மற்றும் கொசைன்கள் பின்வரும் பின்னங்களாக மாறும்:
, இந்த சமத்துவங்கள் நன்கு அறியப்பட்ட முக்கோணவியல் சூத்திரங்களை அடிப்படையாகக் கொண்டவை: ,

எனவே, இறுதி வடிவமைப்பு இப்படி இருக்கலாம்:

உலகளாவிய முக்கோணவியல் மாற்றீட்டை மேற்கொள்வோம்:

ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் அட்டவணை ("ஒருங்கிணைந்தவை"). ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணை. அட்டவணை காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகள். (ஒரு அளவுருவுடன் கூடிய எளிமையான ஒருங்கிணைப்புகள் மற்றும் ஒருங்கிணைப்புகள்). பாகங்கள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பதற்கான சூத்திரங்கள். நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரம்.

ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் அட்டவணை ("ஒருங்கிணைந்தவை").
அட்டவணை காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகள்.	அட்டவணை காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகள்.
(ஒரு அளவுருவுடன் கூடிய எளிமையான ஒருங்கிணைப்புகள் மற்றும் ஒருங்கிணைப்புகள்).
	ஒரு சக்தி செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பு.
வேறுபட்ட குறியின் கீழ் x இயக்கப்பட்டால், ஒரு சக்தி செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்புக்குக் குறைக்கும் ஒரு ஒருங்கிணைப்பு.	ஒரு அதிவேகத்தின் ஒருங்கிணைப்பு, இங்கு a என்பது ஒரு நிலையான எண்.
ஒரு சிக்கலான அதிவேக செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பு.	ஒரு அதிவேக செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பு.
	ஒரு அதிவேக செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பு.
இயற்கை மடக்கைக்கு சமமான ஒரு ஒருங்கிணைந்த.	ஒருங்கிணைந்த: "நீண்ட மடக்கை".
இயற்கை மடக்கைக்கு சமமான ஒரு ஒருங்கிணைந்த.
ஒருங்கிணைந்த: "உயர் மடக்கை".	எண்கணிதத்தில் உள்ள x வேறுபட்ட குறியின் கீழ் வைக்கப்படும் ஒரு ஒருங்கிணைந்த (அடையாளத்தின் கீழ் உள்ள மாறிலியை கூட்டலாம் அல்லது கழிக்கலாம்), இறுதியில் இயற்கை மடக்கைக்கு சமமான ஒரு ஒருங்கிணைப்புக்கு ஒத்ததாக இருக்கும்.
கொசைன் ஒருங்கிணைந்த.	சைன் ஒருங்கிணைந்த.
தொடுகோடு சமமான ஒருங்கிணைந்த.
கோடேன்ஜென்ட்டுக்கு சமமான ஒருங்கிணைந்த.	ஆர்க்சைன் மற்றும் ஆர்க்கோசின் ஆகிய இரண்டிற்கும் சமமான ஒருங்கிணைப்பு
ஆர்க்சைன் மற்றும் ஆர்க்கோசின் ஆகிய இரண்டிற்கும் சமமான ஒரு ஒருங்கிணைப்பு.	ஆர்க்டான்ஜென்ட் மற்றும் ஆர்க்கோடேன்ஜென்ட் ஆகிய இரண்டிற்கும் சமமான ஒரு ஒருங்கிணைப்பு.
கோசெகண்டிற்கு சமமான ஒருங்கிணைந்த.	செகண்டிற்கு சமமான ஒருங்கிணைந்த.
கோசெகண்டிற்கு சமமான ஒருங்கிணைந்த.	கோசெகண்டிற்கு சமமான ஒருங்கிணைந்த.
ஆர்க்செகண்டிற்கு சமமான ஒருங்கிணைந்த.	ஆர்க்கோசெகண்டிற்கு சமமான ஒருங்கிணைந்த.
ஹைபர்போலிக் சைனுக்கு சமமான ஒருங்கிணைந்த.	ஹைபர்போலிக் கொசைனுக்கு சமமான ஒருங்கிணைந்த.
ஹைப்பர்போலிக் சைனுக்கு சமமான ஒருங்கிணைந்த, ஆங்கிலப் பதிப்பில் சின்ஹக்ஸ் என்பது ஹைபர்போலிக் சைன் ஆகும்.	ஹைபர்போலிக் கோசைனுக்கு சமமான ஒருங்கிணைந்த, ஆங்கிலப் பதிப்பில் sinhx என்பது ஹைபர்போலிக் சைன் ஆகும்.
ஹைபர்போலிக் டேன்ஜென்ட்டுக்கு சமமான ஒருங்கிணைந்த.	ஹைபர்போலிக் கோடேன்ஜென்ட்டுக்கு சமமான ஒருங்கிணைந்த.

ஹைபர்போலிக் செகண்டிற்கு சமமான ஒருங்கிணைந்த.

பாகங்கள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பதற்கான சூத்திரங்கள். நியூட்டன்-லீப்னிஸ் ஒருங்கிணைப்பு விதிகள்.
ஒரு பொருளை (செயல்பாடு) ஒரு மாறிலி மூலம் ஒருங்கிணைத்தல்:
செயல்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகையை ஒருங்கிணைத்தல்:
காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகள்:
பாகங்கள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பதற்கான சூத்திரம் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புகள்:
நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரம் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புகள்:	F(a),F(b) என்பது முறையே b மற்றும் a புள்ளிகளில் உள்ள ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் மதிப்புகள்.

வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணை. அட்டவணை வழித்தோன்றல்கள். தயாரிப்பின் வழித்தோன்றல். விகுதியின் வழித்தோன்றல். சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்.

x ஒரு சுயாதீன மாறி என்றால், பின்:

வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணை. அட்டவணை வழித்தோன்றல்கள் "அட்டவணை வழித்தோன்றல்" - ஆம், துரதிர்ஷ்டவசமாக, இணையத்தில் அவை சரியாகத் தேடப்படுகின்றன
	சக்தி செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்
	அடுக்கின் வழித்தோன்றல்
சிக்கலான அதிவேக செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்	அதிவேக செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்
மடக்கைச் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்	இயற்கை மடக்கையின் வழித்தோன்றல்
	ஒரு செயல்பாட்டின் இயற்கை மடக்கையின் வழித்தோன்றல்
சைன் என்பதன் வழித்தோன்றல்	கொசைனின் வழித்தோன்றல்
கோசெகண்டின் வழித்தோன்றல்	ஒரு விநாடியின் வழித்தோன்றல்
ஆர்க்சைனின் வழித்தோன்றல்	ஆர்க் கொசைனின் வழித்தோன்றல்
ஆர்க்சைனின் வழித்தோன்றல்	ஆர்க் கொசைனின் வழித்தோன்றல்
தொடுநிலை வழித்தோன்றல்	கோடேன்ஜென்ட்டின் வழித்தோன்றல்
ஆர்க்டேன்ஜென்ட்டின் வழித்தோன்றல்	ஆர்க் கோடேன்ஜென்ட்டின் வழித்தோன்றல்
ஆர்க்டேன்ஜென்ட்டின் வழித்தோன்றல்	ஆர்க் கோடேன்ஜென்ட்டின் வழித்தோன்றல்
ஆர்க்செகண்டின் வழித்தோன்றல்	ஆர்க்கோசெகண்டின் வழித்தோன்றல்
ஆர்க்செகண்டின் வழித்தோன்றல்	ஆர்க்கோசெகண்டின் வழித்தோன்றல்
ஹைபர்போலிக் சைனின் வழித்தோன்றல் ஆங்கிலப் பதிப்பில் ஹைபர்போலிக் சைனின் வழித்தோன்றல்	ஹைபர்போலிக் கொசைனின் வழித்தோன்றல் ஆங்கில பதிப்பில் ஹைபர்போலிக் கொசைனின் வழித்தோன்றல்
ஹைபர்போலிக் டேன்ஜென்ட்டின் வழித்தோன்றல்	ஹைபர்போலிக் கோடேன்ஜென்ட்டின் வழித்தோன்றல்
ஹைபர்போலிக் செகண்டின் வழித்தோன்றல்	ஹைபர்போலிக் கோசெகண்டின் வழித்தோன்றல்

வேறுபாடு விதிகள். தயாரிப்பின் வழித்தோன்றல். விகுதியின் வழித்தோன்றல்.
சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்.
ஒரு மாறிலி மூலம் ஒரு பொருளின் (செயல்பாடு) வழித்தோன்றல்:
தொகையின் வழித்தோன்றல் (செயல்பாடுகள்):
தயாரிப்பின் வழித்தோன்றல் (செயல்பாடுகள்):
விகுதியின் வழித்தோன்றல் (செயல்பாடுகளின்):

சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்:

மடக்கைகளின் பண்புகள். மடக்கைகளுக்கான அடிப்படை சூத்திரங்கள். தசம (எல்ஜி) மற்றும் இயற்கை மடக்கைகள் (எல்என்).
அடிப்படை மடக்கை அடையாளம்
a b படிவத்தின் எந்தச் செயல்பாட்டையும் எவ்வாறு அதிவேகமாக மாற்றுவது என்பதைக் காண்பிப்போம். e x படிவத்தின் ஒரு செயல்பாடு அதிவேகமாக அழைக்கப்படுகிறது, பின்னர்

a b படிவத்தின் எந்தச் செயல்பாட்டையும் பத்தின் சக்தியாகக் குறிப்பிடலாம்

இயற்கை மடக்கை ln (மடிக்கணினி முதல் அடிப்படை e = 2.718281828459045...) ln(e)=1; ln(1)=0

டெய்லர் தொடர். ஒரு செயல்பாட்டின் டெய்லர் தொடர் விரிவாக்கம். அது பெரும்பான்மை என்று மாறிவிடும்ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியின் அருகாமையில் கணிதச் செயல்பாடுகள் எந்தத் துல்லியத்துடனும், அதிகரிக்கும் வரிசையில் மாறியின் சக்திகளைக் கொண்ட சக்தித் தொடரின் வடிவத்தில் குறிப்பிடப்படலாம். எடுத்துக்காட்டாக, x=1 என்ற புள்ளியின் அருகில்:

எனப்படும் தொடர்களைப் பயன்படுத்தும் போது டெய்லரின் வரிசைகள்இயற்கணிதம், முக்கோணவியல் மற்றும் அதிவேகச் சார்புகளைக் கொண்ட கலப்புச் செயல்பாடுகள் முற்றிலும் இயற்கணிதச் செயல்பாடுகளாக வெளிப்படுத்தப்படலாம். தொடரைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் அடிக்கடி வேறுபாடு மற்றும் ஒருங்கிணைப்பை விரைவாகச் செய்யலாம்.

புள்ளி a க்கு அருகில் உள்ள டெய்லர் தொடர் வடிவம் கொண்டது:

1) , f(x) என்பது x = a இல் உள்ள அனைத்து ஆர்டர்களின் வழித்தோன்றல்களைக் கொண்ட ஒரு செயல்பாடாகும். R n - டெய்லர் தொடரின் எஞ்சிய காலமானது வெளிப்பாட்டால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது

2)

தொடரின் k-th குணகம் (x k இல்) சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது

3) டெய்லர் தொடரின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு மெக்லாரின் (=மெக்லாரன்) தொடர் ஆகும் (விரிவாக்கம் புள்ளி a=0 சுற்றி ஏற்படுகிறது)

a=0 இல்

தொடரின் உறுப்பினர்கள் சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறார்கள்

டெய்லர் தொடரைப் பயன்படுத்துவதற்கான நிபந்தனைகள்.

1. f(x) சார்பு ஒரு டெய்லர் தொடராக இடைவெளியில் (-R;R) விரிவாக்கப்படுவதற்கு, டெய்லர் (Maclaurin (=McLaren)) சூத்திரத்தில் எஞ்சியிருக்கும் சொல் தேவை மற்றும் போதுமானது. செயல்பாடு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் (-R;R) k →∞ ஆக பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்.

2. டெய்லர் தொடரை நாம் கட்டமைக்கப் போகும் அருகிலுள்ள புள்ளியில் கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டிற்கான வழித்தோன்றல்கள் இருப்பது அவசியம்.

டெய்லர் தொடரின் பண்புகள்.

f என்பது ஒரு பகுப்பாய்வுச் செயல்பாடாக இருந்தால், அதன் டெய்லர் தொடர், f இன் வரையறையின் களத்தில் a எந்தப் புள்ளியிலும் a இன் சில சுற்றுப்புறங்களில் f ஆக ஒன்றிணைகிறது.

டெய்லர் தொடர் ஒன்றுபடும் எண்ணற்ற வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடுகள் உள்ளன, ஆனால் அதே நேரத்தில் a இன் எந்த சுற்றுப்புறத்திலும் உள்ள செயல்பாட்டிலிருந்து வேறுபடுகிறது. உதாரணமாக:

டெய்லர் தொடர்கள் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் செயல்பாட்டின் தோராயத்தில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன (தோராயமாக சில பொருட்களை மற்றவற்றுடன் மாற்றுவது ஒரு அறிவியல் முறையாகும். குறிப்பாக, நேரியல்மயமாக்கல் ((லினியரிஸ் - லீனியரில் இருந்து), மூடிய நேரியல் அல்லாத அமைப்புகளின் தோராயமான பிரதிநிதித்துவ முறைகளில் ஒன்று, இதில் நேரியல் அல்லாத அமைப்பின் ஆய்வு ஒரு நேரியல் அமைப்பின் பகுப்பாய்வால் மாற்றப்படுகிறது, சில அர்த்தத்தில் அசல் நிலைக்கு சமமானதாகும். .) சமன்பாடுகள் டெய்லர் தொடராக விரிவடைந்து, முதல் வரிசைக்கு மேலே உள்ள அனைத்து சொற்களையும் துண்டிப்பதன் மூலம் நிகழ்கிறது.

எனவே, கிட்டத்தட்ட எந்தச் செயல்பாட்டையும் கொடுக்கப்பட்ட துல்லியத்துடன் பல்லுறுப்புக்கோவையாகக் குறிப்பிடலாம்.

மேக்லாரின் தொடரில் (=மெக்லாரன், புள்ளி 0க்கு அருகில் டெய்லர்) மற்றும் புள்ளி 1 க்கு அருகில் உள்ள டெய்லர் மின் செயல்பாடுகளின் சில பொதுவான விரிவாக்கங்களின் எடுத்துக்காட்டுகள். டெய்லர் மற்றும் மெக்லாரன் தொடர்களில் முக்கிய செயல்பாடுகளின் விரிவாக்கங்களின் முதல் விதிமுறைகள்.

மெக்லாரின் தொடரில் உள்ள ஆற்றல் செயல்பாடுகளின் சில பொதுவான விரிவாக்கங்களின் எடுத்துக்காட்டுகள் (=மெக்லாரன், புள்ளி 0க்கு அருகில் டெய்லர்)

புள்ளி 1 க்கு அருகில் உள்ள சில பொதுவான டெய்லர் தொடர் விரிவாக்கங்களின் எடுத்துக்காட்டுகள்

R(sin x, cos x) படிவத்தின் பகுத்தறிவு செயல்பாடுகளை ஒருங்கிணைக்க, ஒரு மாற்று பயன்படுத்தப்படுகிறது, இது உலகளாவிய முக்கோணவியல் மாற்று என்று அழைக்கப்படுகிறது. பிறகு . உலகளாவிய முக்கோணவியல் மாற்றீடு பெரும்பாலும் பெரிய கணக்கீடுகளில் விளைகிறது. எனவே, முடிந்தவரை, பின்வரும் மாற்றீடுகளைப் பயன்படுத்தவும்.

முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளை பகுத்தறிவுடன் சார்ந்து செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்பு

1. வடிவத்தின் ஒருங்கிணைப்புகள் ∫ sin n xdx , ∫ cos n xdx , n>0
a) n ஒற்றைப்படை என்றால், வேறுபாட்டின் அடையாளத்தின் கீழ் sinx (அல்லது cosx) இன் ஒரு சக்தியை உள்ளிட வேண்டும், மீதமுள்ள சம சக்தியிலிருந்து எதிர் செயல்பாட்டிற்கு அனுப்பப்பட வேண்டும்.
b) n சமமாக இருந்தால், பட்டத்தைக் குறைப்பதற்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துகிறோம்
2. வடிவத்தின் ஒருங்கிணைப்புகள் ∫ tg n xdx , ∫ ctg n xdx , இதில் n ஒரு முழு எண்.
சூத்திரங்கள் பயன்படுத்தப்பட வேண்டும்

3. வடிவத்தின் ஒருங்கிணைப்புகள் ∫ sin n x cos m x dx
a) m மற்றும் n வெவ்வேறு சமநிலையில் இருக்கட்டும். n ஒற்றைப்படை என்றால் t=sin x அல்லது m ஒற்றைப்படை என்றால் t=cos x என்ற பதிலைப் பயன்படுத்துகிறோம்.
b) m மற்றும் n சமமாக இருந்தால், பட்டத்தைக் குறைப்பதற்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துகிறோம்
2sin 2 x=1-cos2x, 2cos 2 x=1+cos2x.
4. படிவத்தின் ஒருங்கிணைப்புகள்
m மற்றும் n ஆகிய எண்கள் ஒரே சமநிலையில் இருந்தால், நாம் t=tg x என்ற பதிலைப் பயன்படுத்துகிறோம். முக்கோணவியல் அலகு நுட்பத்தைப் பயன்படுத்துவது பெரும்பாலும் வசதியானது.
5. ∫ sin(nx) cos(mx)dx , ∫ cos(mx) cos(nx)dx , ∫ sin(mx) sin(nx)dx

முக்கோணவியல் சார்புகளின் பெருக்கத்தை அவற்றின் கூட்டுத்தொகையாக மாற்றுவதற்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவோம்:

• sin α cos β = ½(sin(α+β)+sin(α-β))
• cos α cos β = ½(cos(α+β)+cos(α-β))
• sin α sin β = ½(cos(α-β)-cos(α+β))

எடுத்துக்காட்டுகள்
1. ஒருங்கிணைந்த ∫ cos 4 x·sin 3 xdxஐக் கணக்கிடவும்.
மாற்று cos(x)=t ஐ உருவாக்குகிறோம். பிறகு ∫ cos 4 x sin 3 xdx =
2. ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுங்கள்.
மாற்றாக பாவம் x=t , நாம் பெறுகிறோம்

3. ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்.
நாம் மாற்றாக tg(x)=t ஐ உருவாக்குகிறோம். மாற்றாக, நாம் பெறுகிறோம்

R(sinx, cosx) வடிவத்தின் வெளிப்பாடுகளை ஒருங்கிணைத்தல்

எடுத்துக்காட்டு எண். 1. ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிடுங்கள்:

தீர்வு.
a) வடிவத்தின் வெளிப்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்பு R(sinx, cosx), இதில் R என்பது sin x மற்றும் cos x ஆகியவற்றின் பகுத்தறிவுச் செயல்பாடாகும், இது உலகளாவிய முக்கோணவியல் மாற்றீடு tg(x/2) = t ஐப் பயன்படுத்தி பகுத்தறிவு செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்புகளாக மாற்றப்படுகிறது.
பின்னர் நாம்

ஒரு உலகளாவிய முக்கோணவியல் மாற்றீடு, ∫ R(sinx, cosx) dx வடிவத்தின் ஒருங்கிணைந்த பகுதியிலிருந்து ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவுச் செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்புக்குச் செல்வதை சாத்தியமாக்குகிறது, ஆனால் பெரும்பாலும் அத்தகைய மாற்றீடு சிக்கலான வெளிப்பாடுகளுக்கு வழிவகுக்கிறது. சில நிபந்தனைகளின் கீழ், எளிமையான மாற்றீடுகள் பயனுள்ளதாக இருக்கும்:

• R(-sin x, cos x) = -R(sin x, cos x)dx என்ற சமத்துவம் திருப்தி அடைந்தால், cos x = t என்ற மாற்று பயன்படுத்தப்படும்.
• சமத்துவம் R(sin x, -cos x) = -R(sin x, cos x)dx இருந்தால், மாற்று பாவம் x = t.
• R(-sin x, -cos x) = R(sin x, cos x)dx என்ற சமத்துவம் இருந்தால், மாற்று tgx = t அல்லது ctg x = t.

இந்த வழக்கில், ஒருங்கிணைந்த கண்டுபிடிக்க
உலகளாவிய முக்கோணவியல் மாற்று tg(x/2) = t ஐப் பயன்படுத்துவோம்.
பின்னர் பதில்:

பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்புகளின் தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் விரிவாகக் கருதப்படுகின்றன, இதன் ஒருங்கிணைப்பு ஒரு அதிவேக (e to the x சக்தி) அல்லது ஒரு சைன் (sin x) அல்லது ஒரு cosine (cos x) மூலம் பல்லுறுப்புக்கோவையின் பெருக்கமாகும்.

உள்ளடக்கம்

மேலும் பார்க்க: பாகங்கள் மூலம் ஒருங்கிணைக்கும் முறை
காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணை
காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிடுவதற்கான முறைகள்
அடிப்படை அடிப்படை செயல்பாடுகள் மற்றும் அவற்றின் பண்புகள்

பாகங்கள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பதற்கான சூத்திரம்

இந்த பிரிவில் எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்க்கும் போது, ​​பாகங்கள் சூத்திரத்தின் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு பயன்படுத்தப்படுகிறது:
;
.

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை மற்றும் sin x, cos x அல்லது e x ஆகியவற்றின் பெருக்கத்தைக் கொண்ட ஒருங்கிணைப்புகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

அத்தகைய ஒருங்கிணைப்புகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் இங்கே:
, , .

அத்தகைய ஒருங்கிணைப்புகளை ஒருங்கிணைக்க, பல்லுறுப்புக்கோவை u ஆல் குறிக்கப்படுகிறது, மீதமுள்ள பகுதி v dx ஆல் குறிக்கப்படுகிறது.

அடுத்து, பாகங்கள் சூத்திரத்தின் மூலம் ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தவும்.

இந்த எடுத்துக்காட்டுகளுக்கான விரிவான தீர்வு கீழே உள்ளது.

ஒருங்கிணைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

எக்ஸ்போனெண்டுடன் உதாரணம், e க்கு x இன் சக்தி
.

ஒருங்கிணைப்பை தீர்மானிக்கவும்:
வேறுபட்ட அடையாளத்தின் கீழ் அடுக்குகளை அறிமுகப்படுத்துவோம்:.

e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x)

பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்போம்.
.
இங்கே
.
.
.
மீதமுள்ள ஒருங்கிணைப்பை பகுதிகளாகவும் ஒருங்கிணைக்கிறோம்.
.

இறுதியாக எங்களிடம் உள்ளது:

சைனுடன் ஒரு ஒருங்கிணைப்பை வரையறுப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டு
.

ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுங்கள்:

e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x)

வேறுபாடு அடையாளத்தின் கீழ் சைனை அறிமுகப்படுத்துவோம்: இங்கே u = x 2, v = cos(2 x+3) ( , du = )′ x 2

dx


மீதமுள்ள ஒருங்கிணைப்பை பகுதிகளாகவும் ஒருங்கிணைக்கிறோம். இதைச் செய்ய, வேறுபட்ட அடையாளத்தின் கீழ் கொசைனை அறிமுகப்படுத்தவும். இங்கே u = x, v =பாவம்(2 x+3)

மீதமுள்ள ஒருங்கிணைப்பை பகுதிகளாகவும் ஒருங்கிணைக்கிறோம்.

, du = dx

சைனுடன் ஒரு ஒருங்கிணைப்பை வரையறுப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டு
.

பல்லுறுப்புக்கோவை மற்றும் கொசைன் தயாரிப்புக்கான எடுத்துக்காட்டு

e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x)

வேறுபட்ட அடையாளத்தின் கீழ் கொசைனை அறிமுகப்படுத்துவோம்: இங்கே u = x 2 + 3 x + 5 , v = cos(2 x+3) ( பாவம் 2 x )′ x 2