ஹார்னர் பிரிவு. பாடம் தலைப்பு "Bezout இன் தேற்றம். ஹார்னரின் திட்டம் மற்றும் அதன் பயன்பாடு"

பாடத்தின் நோக்கங்கள்:

• ஹார்னரின் திட்டத்தைப் பயன்படுத்தி உயர் பட்டங்களின் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க மாணவர்களுக்குக் கற்பித்தல்;
• ஜோடிகளாக வேலை செய்யும் திறனை வளர்த்துக் கொள்ளுங்கள்;
• பாடத்தின் முக்கிய பிரிவுகளுடன் இணைந்து, மாணவர்களின் திறன்களை வளர்ப்பதற்கான அடிப்படையை உருவாக்குதல்;
• மாணவர் தனது திறனை மதிப்பிடவும், கணிதத்தில் ஆர்வத்தை வளர்க்கவும், சிந்திக்கும் திறன் மற்றும் தலைப்பில் பேசவும் உதவுங்கள்.

உபகரணங்கள்:குழு வேலைக்கான அட்டைகள், ஹார்னரின் வரைபடத்துடன் கூடிய சுவரொட்டி.

கற்பித்தல் முறை:விரிவுரை, கதை, விளக்கம், பயிற்சி பயிற்சிகள்.

கட்டுப்பாட்டு வடிவம்:பணிகளை சரிபார்க்கிறது சுதந்திரமான முடிவு, சுயாதீன வேலை.

பாடம் முன்னேற்றம்

1. நிறுவன தருணம்

2. மாணவர்களின் அறிவைப் புதுப்பித்தல்

ஒரு எண் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் மூலமா என்பதை தீர்மானிக்க எந்த தேற்றம் உங்களை அனுமதிக்கிறது (தேற்றத்தை உருவாக்கவும்)?

பெசவுட்டின் தேற்றம். பல்லுறுப்புக்கோவை P(x)ஐ x-c க்கு சமமாகப் பிரிப்பது P(c), P(c)=0 எனில், c என்ற எண் பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர் எனப்படும். வகுத்தல் செயல்பாட்டைச் செய்யாமல், கொடுக்கப்பட்ட எண் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலமா என்பதைத் தீர்மானிக்க தேற்றம் அனுமதிக்கிறது.

எந்த அறிக்கைகள் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்பதை எளிதாக்குகின்றன?

a) பல்லுறுப்புக்கோவையின் முன்னணி குணகம் என்றால் ஒன்றுக்கு சமம், பின்னர் பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்கள் கட்டற்ற காலத்தின் வகுப்பாளர்களிடையே தேடப்பட வேண்டும்.

b) பல்லுறுப்புக்கோவையின் குணகங்களின் கூட்டுத்தொகை 0 எனில், வேர்களில் ஒன்று 1 ஆகும்.

c) சம இடங்களில் உள்ள குணகங்களின் கூட்டுத்தொகை ஒற்றைப்படை இடங்களில் உள்ள குணகங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருந்தால், வேர்களில் ஒன்று -1 க்கு சமம்.

ஈ) அனைத்து குணகங்களும் நேர்மறையாக இருந்தால், பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்கள் எதிர்மறை எண்களாகும்.

இ) ஒற்றைப்படை பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை குறைந்தபட்சம் ஒரு உண்மையான மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது.

3. புதிய பொருள் கற்றல்

முழு இயற்கணித சமன்பாடுகளையும் தீர்க்கும் போது, ​​பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வேர்களின் மதிப்புகளை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். ஹார்னர் ஸ்கீம் எனப்படும் சிறப்பு வழிமுறையைப் பயன்படுத்தி கணக்கீடுகள் மேற்கொள்ளப்பட்டால், இந்த செயல்பாட்டை கணிசமாக எளிதாக்கலாம். இந்த சுற்றுக்கு ஆங்கில விஞ்ஞானி வில்லியம் ஜார்ஜ் ஹார்னர் பெயரிடப்பட்டது. ஹார்னர்ஸ் ஸ்கீம் என்பது பல்லுறுப்புக்கோவை P(x) ஐ x-c ஆல் வகுத்தலின் பங்கு மற்றும் மீதியைக் கணக்கிடுவதற்கான ஒரு வழிமுறையாகும். இது எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதை சுருக்கமாக.

ஒரு தன்னிச்சையான பல்லுறுப்புக்கோவை P(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + …+ a n-1 x+ a n கொடுக்கப்பட வேண்டும். இந்த பல்லுறுப்புக்கோவையை x-c ஆல் வகுத்தல் என்பது P(x)=(x-c)g(x) + r(x) வடிவத்தில் அதன் பிரதிநிதித்துவமாகும். பகுதி g(x)=in 0 x n-1 + in n x n-2 +…+in n-2 x + in n-1, இதில் 0 =a 0, n =st n-1 +a n , n =1,2,3,…n-1. மீதமுள்ள r(x)= st n-1 +a n. இந்த கணக்கீட்டு முறை ஹார்னர் திட்டம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. அல்காரிதம் என்ற பெயரில் "திட்டம்" என்ற வார்த்தையானது, அதன் செயல்படுத்தல் பொதுவாக பின்வருமாறு வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது. முதலில், அட்டவணை 2 (n+2) வரையவும். கீழ் இடது கலத்தில் c எண்ணையும், மேல் வரியில் P(x) என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையின் குணகங்களையும் எழுதவும். இந்த வழக்கில், மேல் இடது செல் காலியாக உள்ளது.

	0 =a 0 இல்	1 =st 1 +a 1 இல்	2 இல் = sv 1 + ஏ 2		n-1 =st n-2 +a n-1 இல்	r(x)=f(c)=st n-1 +a n

அல்காரிதத்தை இயக்கிய பிறகு, கீழ் வலது கலத்தில் எழுதப்பட்ட எண், x-c ஆல் பல்லுறுப்புக்கோவை P(x) பிரிவின் மீதியாகும். 0 இல் உள்ள மற்ற எண்கள், 1 இல், 2 இல்,... கீழ் வரியில் உள்ள எண்கள் விகுதியின் குணகங்களாகும்.

எடுத்துக்காட்டாக: பல்லுறுப்புக்கோவை P(x)= x 3 -2x+3 ஐ x-2 ஆல் வகுக்கவும்.

x 3 -2x+3=(x-2) (x 2 +2x+2) + 7 என்று பெறுகிறோம்.

4. ஆய்வு செய்யப்பட்ட பொருளின் ஒருங்கிணைப்பு

எடுத்துக்காட்டு 1: P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையை முழு எண் குணகங்களுடன் காரணிகளாக மாற்றவும்.

இலவச கால -1: 1 இன் வகுப்பாளர்களிடையே முழு வேர்களையும் நாங்கள் தேடுகிறோம்; -1. ஒரு அட்டவணையை உருவாக்குவோம்:

X = -1 – ரூட்

பி(x)= (x+1) (2x 3 -9x 2 +6x -1)

1/2ஐ சரிபார்ப்போம்.

					X=1/2 - ரூட்

எனவே, பல்லுறுப்புக்கோவை P(x) வடிவத்தில் குறிப்பிடப்படலாம்

பி(x)= (x+1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) = (x+1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)

எடுத்துக்காட்டு 2: 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0 சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்

சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் எழுதப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவையின் குணகங்களின் கூட்டுத்தொகை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருப்பதால், வேர்களில் ஒன்று 1. ஹார்னரின் திட்டத்தைப் பயன்படுத்துவோம்:

						X=1 - ரூட்

நாம் P(x)=(x-1) (2x 3 -3x 2 =2x +2) பெறுகிறோம். இலவச சொல் 2 இன் வகுப்பாளர்களிடையே வேர்களைத் தேடுவோம்.

இன்னும் அப்படியே வேர்கள் இல்லை என்று கண்டுபிடித்தோம். 1/2ஐ சரிபார்ப்போம்; -1/2.

					X= -1/2 - ரூட்

பதில்: 1; -1/2.

எடுத்துக்காட்டு 3: 5x 4 – 3x 3 – 4x 2 -3x+ 5 = 0 சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

இந்த சமன்பாட்டின் வேர்களை 5: 1;-1;5;-5 என்ற இலவசச் சொல்லின் வகுப்பாளர்களிடையே தேடுவோம். குணகங்களின் கூட்டுத்தொகை பூஜ்ஜியமாக இருப்பதால், x=1 என்பது சமன்பாட்டின் வேர் ஆகும். ஹார்னரின் திட்டத்தைப் பயன்படுத்துவோம்:

சமன்பாட்டை மூன்று காரணிகளின் பெருக்கமாக முன்வைப்போம்: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) = 0. இருபடிச் சமன்பாடு 5x 2 -7x+5=0 ஐத் தீர்த்தால், D=49-100=-51 கிடைத்தது, வேர்கள் இல்லை.

அட்டை 1

1. பல்லுறுப்புக்கோவை காரணி: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
2. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0

அட்டை 2

1. பல்லுறுப்புக்கோவை காரணி: x 4 - x 3 -7x 2 +13x-6
2. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0

அட்டை 3

1. காரணி: 2x 3 -21x 2 +37x+24
2. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: x 3 -2x 2 +4x-8=0

அட்டை 4

1. காரணி: 5x 3 -46x 2 +79x-14
2. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0

5. சுருக்கமாக

ஜோடிகளாக தீர்க்கும் போது அறிவைச் சோதிப்பது செயல் முறை மற்றும் பதிலின் பெயரை அங்கீகரிப்பதன் மூலம் வகுப்பில் மேற்கொள்ளப்படுகிறது.

வீட்டுப்பாடம்:

சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கவும்:

a) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x+1=0

b) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0

c) x 4 + x 3 + x + 1 = 4x 2

ஈ) x 4 +2x 3 -x-2=0

இலக்கியம்

1. என்.யா விலென்கின் மற்றும் பலர்., அல்ஜீப்ரா மற்றும் பகுப்பாய்வின் ஆரம்பம், தரம் 10 (கணிதத்தின் ஆழமான ஆய்வு): அறிவொளி, 2005.
2. யு.ஐ. சகார்ச்சுக், எல்.எஸ். சகடெலோவா, உயர் டிகிரிகளின் சமன்பாடுகளின் தீர்வு: வோல்கோகிராட், 2007.
3. எஸ்.பி. காஷ்கோவ், எண் அமைப்புகள் மற்றும் அவற்றின் பயன்பாடு.

ஸ்லைடு 3

ஹார்னர் வில்லியம்ஸ் ஜார்ஜ் (1786-22.9.1837) - ஆங்கிலக் கணிதவியலாளர். பிரிஸ்டலில் பிறந்தார். அவர் அங்கு படித்து வேலை செய்தார், பின்னர் குளித்தலை பள்ளிகளில். இயற்கணிதத்தின் அடிப்படை வேலைகள். 1819 இல் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் உண்மையான வேர்களை தோராயமாக கணக்கிடுவதற்கான ஒரு முறையை வெளியிட்டது, இது இப்போது ருஃபினி-ஹார்னர் முறை என்று அழைக்கப்படுகிறது (இந்த முறை 13 ஆம் நூற்றாண்டில் சீனர்களால் அறியப்பட்டது). ஹார்னருக்குப் பிறகு.

ஸ்லைடு 4

ஹார்னர் திட்டம்

n வது பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவையை நேரியல் பைனோமியலால் வகுக்கும் முறை - a, முழுமையடையாத பகுதியின் குணகங்கள் மற்றும் மீதமுள்ளவை பல்லுறுப்புக்கோவையின் குணகங்கள் மற்றும் சூத்திரங்களுடன் தொடர்புடையவை என்பதன் அடிப்படையில்:

ஸ்லைடு 5

ஹார்னரின் திட்டத்தின் படி கணக்கீடுகள் அட்டவணையில் வைக்கப்பட்டுள்ளன:

எடுத்துக்காட்டு 1. பகுதி அளவு x3-x2+3x - 13 மற்றும் மீதி 42=f(-3) ஆகும்.

ஸ்லைடு 6

இந்த முறையின் முக்கிய நன்மை என்னவென்றால், குறியீட்டின் சுருக்கம் மற்றும் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையை ஒரு இருபக்கமாக விரைவாகப் பிரிக்கும் திறன். உண்மையில், ஹார்னரின் திட்டம் என்பது குழுவாக்கும் முறையைப் பதிவுசெய்வதற்கான மற்றொரு வடிவமாகும், இருப்பினும் பிந்தையதைப் போலல்லாமல், இது முற்றிலும் காட்சியற்றது. பதில் (காரணியாக்கம்) இங்கே தானாகவே பெறப்படுகிறது, அதைப் பெறுவதற்கான செயல்முறையை நாம் காணவில்லை. நாங்கள் ஹார்னரின் திட்டத்தின் கடுமையான ஆதாரத்தில் ஈடுபட மாட்டோம், ஆனால் அது எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதை மட்டும் காட்டுவோம்.

ஸ்லைடு 7

எடுத்துக்காட்டு 2.

P(x)=x4-6x3+7x-392 என்ற பல்லுறுப்புக்கோவை x-7 ஆல் வகுபடும் என்பதை நிரூபித்து, வகுப்பின் அளவைக் கண்டுபிடிப்போம். தீர்வு. ஹார்னரின் திட்டத்தைப் பயன்படுத்தி, P(7) ஐக் காண்கிறோம்: இங்கிருந்து நாம் P(7)=0 ஐப் பெறுகிறோம், அதாவது. ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையை x-7 ஆல் வகுக்கும் போது மீதமுள்ளவை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், எனவே, பல்லுறுப்புக்கோவை P(x) என்பது (x-7) இன் பெருக்கல் ஆகும், மேலும், அட்டவணையின் இரண்டாவது வரிசையில் உள்ள எண்கள் அதன் குணகங்களாகும் P(x) இன் பகுதி (x-7) ஆல் வகுக்கப்படுகிறது, எனவே P(x)=(x-7)(x3+x2+7x+56).

ஸ்லைடு 8

பல்லுறுப்புக்கோவை x3 - 5x2 - 2x + 16 காரணி.

இந்த பல்லுறுப்புக்கோவை முழு எண் குணகங்களைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு முழு எண் இந்த பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலமாக இருந்தால், அது எண் 16 இன் வகுப்பியாகும். எனவே, கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு முழு எண்கள் இருந்தால், இவை எண்கள் ±1 ஆக மட்டுமே இருக்க முடியும்; ± 2; ± 4; ± 8; ±16. நேரடி சரிபார்ப்பின் மூலம், எண் 2 என்பது இந்த பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர், அதாவது, x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x), Q(x) என்பது இரண்டாம் பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும்.

ஸ்லைடு 9

இதன் விளைவாக வரும் எண்கள் 1, −3, −8 என்பது பல்லுறுப்புக்கோவையின் குணகங்கள் ஆகும், இது அசல் பல்லுறுப்புக்கோவையை x – 2 ஆல் வகுத்தால் பெறப்படுகிறது. இதன் பொருள் பிரிவின் முடிவு: 1 x2 + (–3)x + ( –8) = x2 – 3x – 8. பிரிவின் விளைவாக வரும் பல்லுறுப்புக்கோவையின் அளவு எப்போதும் அசல் அளவை விட 1 குறைவாக இருக்கும். எனவே: x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)(x2 – 3x – 8).

அல்காரிதம் விளக்கம்

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை கொடுக்கப்பட்டது:

.

ஒரு நிலையான மதிப்புக்கு கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவையின் மதிப்பைக் கணக்கிடுவது அவசியமாக இருக்கட்டும். பல்லுறுப்புக்கோவையை பின்வரும் வடிவத்தில் பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவோம்:

.

பின்வரும் வரிசையை வரையறுப்போம்:

… …

தேடல் மதிப்பு. இது அப்படித்தான் என்று காட்டுவோம்.

இதன் விளைவாக வரும் குறியீட்டு படிவத்தை மாற்றி, உள் அடைப்புக்குறிக்குள் தொடங்கி வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிடுவோம். இதைச் செய்ய, பின்வரும் துணை வெளிப்பாடுகளை மாற்றுவோம்:

ஹார்னரின் வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி பல்லுறுப்புக்கோவையை இருசொல் மூலம் பிரிக்கவும்

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையால் வகுக்கப்படும்போது, ​​​​முடிவு எஞ்சியிருக்கும் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும்.

இந்த வழக்கில், விளைவான பல்லுறுப்புக்கோவையின் குணகங்கள் மறுநிகழ்வு உறவுகளை திருப்திப்படுத்துகின்றன:

, .

அதே வழியில், நீங்கள் வேர்களின் பெருக்கத்தை தீர்மானிக்க முடியும் (புதிய பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு ஹார்னரின் திட்டத்தைப் பயன்படுத்தவும்). பவர்களில் பல்லுறுப்புக்கோவையை விரிவுபடுத்தும் போது குணகங்களைக் கண்டறிய இந்தத் திட்டம் பயன்படுத்தப்படலாம்:

குறிப்புகள்

மேலும் பார்க்கவும்

இலக்கியம்

• அனானி வி. லெவிடின் அத்தியாயம் 6. மாற்றும் முறை: ஹார்னரின் திட்டம் மற்றும் விரிவாக்கம்// வழிமுறைகள்: வடிவமைப்பு மற்றும் பகுப்பாய்வு அறிமுகம் = ஐகோரிதம்களின் வடிவமைப்பு மற்றும் பகுப்பாய்வு அறிமுகம். - எம்.: "வில்லியம்ஸ்", 2006. - பி. 284-291. - ISBN 0-201-74395-7
• வோல்கோவ் ஈ. ஏ.§ 2. பல்லுறுப்புக்கோவை மதிப்புகளின் கணக்கீடு. ஹார்னர் திட்டம் // எண் முறைகள். - பாடநூல் பல்கலைக்கழகங்களுக்கான கையேடு. - 2வது பதிப்பு., ரெவ். - எம்.: நௌகா, 1987. - 248 பக்.
• எஸ்.பி. காஷ்கோவ்§14. ஹார்னரின் திட்டம் மற்றும் ஒரு நிலை அமைப்பிலிருந்து மற்றொன்றுக்கு மொழிபெயர்ப்பு // எண் அமைப்புகள் மற்றும் அவற்றின் பயன்பாடு. - எம்.: MTsNMO, 2004. - பக். 37-39. - (நூலகம் "கணிதக் கல்வி"). - ISBN 5-94057-146-8

இணைப்புகள்

• பல பரிமாண பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் கணக்கீடு - பல மாறிகளில் உள்ள ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு ஹார்னரின் திட்டத்தின் பொதுமைப்படுத்தல்.

விக்கிமீடியா அறக்கட்டளை.

• 2010.
• குளோர்குனால்டோல்

ஷ்டில்மார்க், அலெக்சாண்டர் ராபர்டோவிச்

மற்ற அகராதிகளில் "ஹார்னர் திட்டம்" என்ன என்பதைப் பார்க்கவும்:- ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையை ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையால் வகுக்கும் போது முழுமையற்ற பங்கு மற்றும் எஞ்சியவற்றைக் கண்டறியும் ஒரு நுட்பம், அங்கு அனைத்து குணகங்களும் ஒரு குறிப்பிட்ட புலத்தில் உள்ளன, எடுத்துக்காட்டாக, சிக்கலான எண்களின் புலத்தில். எந்தப் பல்லுறுப்புக்கோவையையும், முழுமையடையாத பகுதி இருக்கும் வடிவத்தில் மட்டுமே நாம் பிரதிநிதித்துவப்படுத்த முடியும்,... ... கணித கலைக்களஞ்சியம்

ஹார்னர் முறை- ஹார்னரின் திட்டம் (அல்லது ஹார்னரின் விதி, ஹார்னரின் முறை) என்பது ஒரு மாறியின் கொடுக்கப்பட்ட மதிப்பிற்கு மோனோமியல்களின் கூட்டுத்தொகையாக எழுதப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவையின் மதிப்பைக் கணக்கிடுவதற்கான ஒரு வழிமுறையாகும். ஹார்னரின் முறையானது பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்களைக் கண்டறியவும், வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிடவும் உங்களை அனுமதிக்கிறது... ... விக்கிபீடியா

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்- இந்த வார்த்தைக்கு வேறு அர்த்தங்கள் உள்ளன, ரூட் (அர்த்தங்கள்) பார்க்கவும். ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர் (ஒரே பூஜ்ஜியம் அல்ல) k என்பது பின்வரும் இரண்டு சமமான நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் ஒரு உறுப்பு ஆகும்: கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவை ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையால் வகுபடும் ... ... விக்கிபீடியா;

பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் நெடுவரிசைப் பிரிவு- இயற்கணிதத்தில், பல்லுறுப்புக்கோவைகளை ஒரு நெடுவரிசையால் பிரிப்பது என்பது ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் அளவை விட குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையால் வகுப்பதற்கான வழிமுறையாகும். அல்காரிதம் என்பது எண்களை ஒரு நெடுவரிசையால் வகுக்கும் பொதுவான வடிவமாகும், இது கைமுறையாக எளிதாக செயல்படுத்தப்படலாம். விக்கிபீடியாவிற்கு... ...

ஹார்னர், வில்லியம் ஜார்ஜ்- வில்லியம் ஜார்ஜ் ஹார்னர் (1786, பிரிஸ்டல் செப்டம்பர் 22, 1837) பிரிட்டிஷ் கணிதவியலாளர். இங்கிலாந்தில் உள்ள பிரிஸ்டல் நகரில் 1786 இல் பிறந்தார். பிரிஸ்டலில் உள்ள கிங்ஸ்ட்வுட் பள்ளியில் படித்தார். 14 வயதில், விக்கிப்பீடியாவில் உதவி இயக்குநரானார்

மூச்சுக்குழாய் பின்னல்- I Brachial plexus (plexus brachialis) 4 8 கர்ப்பப்பை வாய் மற்றும் 1 2 தொராசி முதுகெலும்பு நரம்புகளின் முன்புற கிளைகளின் நரம்பு இழைகளின் பிளெக்ஸஸ் பல டிரங்குகள் மற்றும் மூட்டைகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது, இதன் விளைவாக குறுகிய மற்றும் நீண்ட நரம்புகள் உருவாகின்றன ... ... மருத்துவ கலைக்களஞ்சியம்

ரேடிகுலிடிஸ்- (லத்தீன் ரேடிக்ஸ் மூலத்திலிருந்து), முதுகெலும்பு நரம்புகளின் வேர்களின் நோய்கள், 20 ஆம் நூற்றாண்டின் முற்பகுதியில் நிறுவப்பட்ட சொல். டிஜெரின் மற்றும் அவரது பள்ளியின் பணிக்கு நன்றி. R. வேர்களில் ஒரு அழற்சி சிதைவு செயல்முறையை அடிப்படையாகக் கொண்டது [பார்க்க. தனி அட்டவணை (கட்டுரை 255... ...

தைராய்டு சுரப்பி- (gl. thyreoidea, syn. corpus thyreoideum), முதுகெலும்புகளின் மிக முக்கியமான நாளமில்லா சுரப்பிகளில் ஒன்று. Shch இன் கரு வளர்ச்சியில். குடலின் கில் பகுதியின் கீழ் சுவரின் எபிட்டிலியத்திலிருந்து எழுகிறது; சைக்ளோஸ்டோம் மீனின் லார்வாக்களில் இது வடிவத்தையும் கொண்டுள்ளது ... ... பெரிய மருத்துவ கலைக்களஞ்சியம்

கதிர்குலிடிஸ்- நான் ரேடிகுலிடிஸ் (ரேடிகுலிடிஸ்; லேட். ரேடிகுலா ரூட் + ஐடிஸ்) முதுகெலும்பு நரம்புகளின் வேர்களுக்கு அழற்சி மற்றும் சுருக்க சேதம். ஒரு பொதுவான தண்டு (படம்) இணைக்கும் மட்டத்தில் முன்புற மற்றும் பின்புற வேர்களுக்கு ஒருங்கிணைந்த சேதம் முன்பு நியமிக்கப்பட்டது... ... மருத்துவ கலைக்களஞ்சியம்

முதுகெலும்பு சுழற்சி- (செரிப்ரோஸ்பைனல் சுழற்சிக்கு ஒத்ததாக) முதுகெலும்பின் பல மேல் கர்ப்பப்பை வாய்ப் பகுதிகளுக்கு முன்புற மற்றும் பின்புற முள்ளந்தண்டு தமனிகள் மூலம் இரத்தம் வழங்கப்படுவதாக நிறுவப்பட்டுள்ளது. முதுகெலும்பு தமனிகள். CIII CIV பிரிவுகளுக்கு கீழே அமைந்துள்ள பிரிவுகள்... ... மருத்துவ கலைக்களஞ்சியம்

சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளை தீர்க்கும் போது, ​​மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட பட்டம் கொண்ட ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை காரணியாக அடிக்கடி தேவைப்படுகிறது. இந்தக் கட்டுரையில் இதைச் செய்வதற்கான எளிதான வழியைப் பார்ப்போம்.

வழக்கம் போல், உதவிக்கு கோட்பாட்டிற்கு வருவோம்.

பெசவுட்டின் தேற்றம்ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையை இருசொல் மூலம் பிரிக்கும் போது எஞ்சியிருப்பதைக் கூறுகிறது.

ஆனால் எங்களுக்கு முக்கியமானது தேற்றம் அல்ல, ஆனால் அதிலிருந்து பின்விளைவு:

எண் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலமாக இருந்தால், பல்லுறுப்புக்கோவை மீதியின்றி இருபக்கத்தால் வகுபடும்.

பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒரு மூலத்தையாவது எப்படியாவது கண்டுபிடித்து, பின்னர் பல்லுறுப்புக்கோவையை வகுக்கும் பணியை எதிர்கொள்கிறோம். இதன் விளைவாக, நாம் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையைப் பெறுகிறோம், அதன் பட்டம் அசல் அளவை விட ஒன்று குறைவாக உள்ளது. பின்னர், தேவைப்பட்டால், நீங்கள் செயல்முறையை மீண்டும் செய்யலாம்.

இந்த பணி இரண்டாக உடைகிறது: ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது, மற்றும் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையை ஒரு பைனோமியலால் எவ்வாறு பிரிப்பது.

இந்த புள்ளிகளை இன்னும் விரிவாகப் பார்ப்போம்.

1. ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது.

முதலில் 1 மற்றும் -1 எண்கள் பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்களா என்பதைச் சரிபார்க்கிறோம்.

பின்வரும் உண்மைகள் இங்கே எங்களுக்கு உதவும்:

பல்லுறுப்புக்கோவையின் அனைத்து குணகங்களின் கூட்டுத்தொகை பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், அந்த எண் பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலமாகும்.

எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையில் குணகங்களின் கூட்டுத்தொகை பூஜ்ஜியம்: . பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர் என்ன என்பதைச் சரிபார்ப்பது எளிது.

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் குணகங்களின் கூட்டுத்தொகையானது ஒற்றைப்படை சக்திகளில் உள்ள குணகங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருந்தால், அந்த எண் பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலமாகும்.இலவச சொல் ஒரு சமமான பட்டத்திற்கான குணகமாக கருதப்படுகிறது, ஏனெனில் , a என்பது இரட்டை எண்.

எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையில் சம சக்திகளுக்கான குணகங்களின் கூட்டுத்தொகை: , மற்றும் ஒற்றைப்படை சக்திகளுக்கான குணகங்களின் கூட்டுத்தொகை: . பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர் என்ன என்பதைச் சரிபார்ப்பது எளிது.

1 அல்லது -1 இரண்டும் பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்கள் என்றால், நாம் தொடருவோம்.

பட்டத்தின் குறைக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு (அதாவது, முன்னணி குணகம் - உள்ள குணகம் - ஒற்றுமைக்கு சமமான பல்லுறுப்புக்கோவை), வியட்டா சூத்திரம் செல்லுபடியாகும்:

பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்கள் எங்கே.

பல்லுறுப்புக்கோவையின் மீதமுள்ள குணகங்களைப் பற்றிய வியட்டா சூத்திரங்களும் உள்ளன, ஆனால் நாங்கள் இதில் ஆர்வமாக உள்ளோம்.

இந்த வியட்டா சூத்திரத்திலிருந்து அது பின்வருமாறு ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்கள் முழு எண்களாக இருந்தால், அவை அதன் இலவச காலத்தின் வகுப்பிகள் ஆகும், இது ஒரு முழு எண் ஆகும்.

இதன் அடிப்படையில், பல்லுறுப்புக்கோவையின் இலவச காலத்தை நாம் காரணியாக்க வேண்டும், மேலும் சிறியது முதல் பெரியது வரை, எந்த காரணிகள் பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர் என்பதைச் சரிபார்க்கவும்.

எடுத்துக்காட்டாக, பல்லுறுப்புக்கோவையைக் கவனியுங்கள்

இலவச காலத்தின் வகுப்பாளர்கள்: ;

;

;

பல்லுறுப்புக்கோவையின் அனைத்து குணகங்களின் கூட்டுத்தொகை சமமாக இருக்கும், எனவே, எண் 1 என்பது பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர் அல்ல.

சம சக்திகளுக்கான குணகங்களின் கூட்டுத்தொகை:

ஒற்றைப்படை சக்திகளுக்கான குணகங்களின் கூட்டுத்தொகை:

எனவே, எண் -1 என்பது பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர் அல்ல.

எண் 2 என்பது பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலமா என்பதைச் சரிபார்ப்போம்: எனவே, எண் 2 என்பது பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர். இதன் பொருள், Bezout இன் தேற்றத்தின்படி, பல்லுறுப்புக்கோவையானது மீதியின்றி இருசொல் மூலம் வகுபடும்.

2. ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையை ஒரு இருபக்கமாக எவ்வாறு பிரிப்பது.

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை ஒரு நெடுவரிசையால் ஒரு இருபக்கமாக பிரிக்கலாம்.

ஒரு நெடுவரிசையைப் பயன்படுத்தி பல்லுறுப்புக்கோவையை இருசொல் மூலம் பிரிக்கவும்: ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையை இருசொல் மூலம் பிரிக்க மற்றொரு வழி உள்ளது - ஹார்னர்ஸ் திட்டம்.

புரிந்து கொள்ள இந்த வீடியோவை பாருங்கள்

ஒரு நெடுவரிசையுடன் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை மூலம் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை எவ்வாறு பிரிப்பது மற்றும் ஹார்னரின் திட்டத்தைப் பயன்படுத்துதல்.

ஒரு நெடுவரிசையால் வகுக்கும் போது, ​​அசல் பல்லுறுப்புக்கோவையில் சில அளவு தெரியாதவை காணவில்லை என்றால், அதன் இடத்தில் 0 ஐ எழுதுகிறோம் - ஹார்னரின் திட்டத்திற்கான அட்டவணையைத் தொகுக்கும்போது அதே வழியில். எனவே, நாம் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையை ஒரு பைனோமியலால் வகுக்க வேண்டும் மற்றும் பிரிவின் விளைவாக நாம் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையைப் பெறுகிறோம் என்றால், ஹார்னரின் திட்டத்தைப் பயன்படுத்தி பல்லுறுப்புக்கோவையின் குணகங்களைக் கண்டறியலாம்:நாமும் பயன்படுத்தலாம்

ஹார்னர் திட்டம்

கொடுக்கப்பட்ட எண் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலமா என்பதைச் சரிபார்க்க: எண் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலமாக இருந்தால், பல்லுறுப்புக்கோவையைப் பிரிக்கும்போது மீதமுள்ளது பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருக்கும், அதாவது இரண்டாவது வரிசையின் கடைசி நெடுவரிசையில் ஹார்னரின் வரைபடம் நமக்கு 0 கிடைக்கும்.ஹார்னரின் திட்டத்தைப் பயன்படுத்தி, "ஒரே கல்லில் இரண்டு பறவைகளைக் கொல்கிறோம்": ஒரே நேரத்தில் எண்ணானது ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலமா என்பதைச் சரிபார்த்து, இந்த பல்லுறுப்புக்கோவையை ஒரு பைனாமியலால் பிரிக்கிறோம்.

உதாரணம்.

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்:

1. கட்டற்றச் சொல்லின் வகுத்தல்களை எழுதிவிட்டு, கட்டற்றச் சொல்லின் வகுபவர்களிடையே பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்களைத் தேடுவோம்.

24 இன் வகுப்பிகள்:

2. எண் 1 என்பது பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலமா என்பதைச் சரிபார்ப்போம்.

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் குணகங்களின் கூட்டுத்தொகை, எனவே, எண் 1 என்பது பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர் ஆகும்.

3. ஹார்னரின் திட்டத்தைப் பயன்படுத்தி அசல் பல்லுறுப்புக்கோவையை இருபக்கமாகப் பிரிக்கவும்.

A) அட்டவணையின் முதல் வரிசையில் அசல் பல்லுறுப்புக்கோவையின் குணகங்களை எழுதுவோம்.

கடைசி நெடுவரிசையில், நாங்கள் எதிர்பார்த்தபடி, அசல் பல்லுறுப்புக்கோவையை மீதி இல்லாமல் இருசொல் மூலம் பிரித்தோம். பிரிவின் விளைவாக வரும் பல்லுறுப்புக்கோவையின் குணகங்கள் அட்டவணையின் இரண்டாவது வரிசையில் நீல நிறத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளன:

1 மற்றும் -1 எண்கள் பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்கள் அல்ல என்பதைச் சரிபார்ப்பது எளிது

B) அட்டவணையைத் தொடரலாம். எண் 2 என்பது பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலமா என்பதைச் சரிபார்ப்போம்:

எனவே ஒன்றால் வகுக்கப்பட்டதன் விளைவாகப் பெறப்படும் பல்லுறுப்புக்கோவையின் அளவு, அசல் பல்லுறுப்புக்கோவையின் அளவைக் காட்டிலும் குறைவாக உள்ளது, எனவே, குணகங்களின் எண்ணிக்கையும் நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கையும் ஒன்று குறைவாக இருக்கும்.

கடைசி நெடுவரிசையில் நமக்கு கிடைத்தது -40 - பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாத ஒரு எண், எனவே, பல்லுறுப்புக்கோவை ஒரு எஞ்சிய ஒரு இருபக்கத்தால் வகுக்கப்படுகிறது, மேலும் எண் 2 பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர் அல்ல.

C) எண் -2 என்பது பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலமா என்பதைச் சரிபார்ப்போம். முந்தைய முயற்சி தோல்வியடைந்ததால், குணகங்களுடன் குழப்பத்தைத் தவிர்க்க, இந்த முயற்சியுடன் தொடர்புடைய வரியை அழிப்பேன்:

அருமை! பூஜ்ஜியத்தை மீதியாகப் பெற்றோம், எனவே, பல்லுறுப்புக்கோவை மீதியின்றி இருபக்கமாகப் பிரிக்கப்பட்டது, எனவே, எண் -2 என்பது பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர். ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையை ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையால் பிரிப்பதன் மூலம் பெறப்படும் பல்லுறுப்புக்கோவையின் குணகங்கள் அட்டவணையில் பச்சை நிறத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளன.

பிரிவின் விளைவாக நாம் ஒரு இருபடி முக்கோணத்தைப் பெறுகிறோம் , வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி அதன் வேர்களை எளிதாகக் கண்டறியலாம்:

எனவே, அசல் சமன்பாட்டின் வேர்கள்:

{}

பதில்: ( }

ஹார்னர் திட்டம் - ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையை பிரிக்கும் முறை

$$P_n(x)=\sum\ வரம்புகள்_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n)+a_(1)x^(n-1 )+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$$

$x-a$ என்ற இருமொழியில். நீங்கள் ஒரு அட்டவணையுடன் வேலை செய்ய வேண்டும், அதன் முதல் வரிசையில் கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவையின் குணகங்கள் உள்ளன. இரண்டாவது வரியின் முதல் உறுப்பு $x-a$ என்ற இருசொல்லிலிருந்து எடுக்கப்பட்ட $a$ எண்ணாக இருக்கும்:

n வது பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவையை $x-a$ என்ற இருசொல் மூலம் பிரித்த பிறகு, அசல் பட்டத்தை விட ஒன்று குறைவாக இருக்கும் பல்லுறுப்புக்கோவையைப் பெறுகிறோம், அதாவது. $n-1$ சமம். ஹார்னரின் திட்டத்தின் நேரடி பயன்பாடு எடுத்துக்காட்டுகளுடன் நிரூபிக்க எளிதானது.

எடுத்துக்காட்டு எண். 1

ஹார்னரின் திட்டத்தைப் பயன்படுத்தி $5x^4+5x^3+x^2-11$ ஐ $x-1$ ஆல் வகுக்கவும்.

இரண்டு வரிகளின் அட்டவணையை உருவாக்குவோம்: முதல் வரியில் $5x^4+5x^3+x^2-11$ என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையின் குணகங்களை எழுதுகிறோம், $x$ மாறியின் அதிகாரங்களின் இறங்கு வரிசையில் அமைக்கப்பட்டிருக்கும். இந்த பல்லுறுப்புக்கோவையில் முதல் நிலை வரை $x$ இல்லை, அதாவது. முதல் சக்திக்கு $x$ இன் குணகம் 0. நாம் $x-1$ ஆல் வகுப்பதால், இரண்டாவது வரியில் ஒன்றை எழுதுகிறோம்:

இரண்டாவது வரியில் காலியாக உள்ள கலங்களை நிரப்ப ஆரம்பிக்கலாம். இரண்டாவது வரியின் இரண்டாவது கலத்தில் $5$ என்ற எண்ணை எழுதுகிறோம், அதை முதல் வரியின் தொடர்புடைய கலத்திலிருந்து நகர்த்துகிறோம்:

இந்தக் கொள்கையின்படி அடுத்த கலத்தை நிரப்புவோம்: $1\cdot 5+5=10$:

இரண்டாவது வரியின் நான்காவது கலத்தை அதே வழியில் நிரப்புவோம்: $1\cdot 10+1=11$:

ஐந்தாவது கலத்திற்கு நாம் பெறுவது: $1\cdot 11+0=11$:

இறுதியாக, கடைசி, ஆறாவது கலத்திற்கு, எங்களிடம் உள்ளது: $1\cdot 11+(-11)=0$:

சிக்கல் தீர்க்கப்பட்டது, பதிலை எழுதுவது மட்டுமே எஞ்சியுள்ளது:

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, இரண்டாவது வரியில் அமைந்துள்ள எண்கள் (ஒன்றுக்கும் பூஜ்ஜியத்திற்கும் இடையில்) $5x^4+5x^3+x^2-11$ ஐ $x-1$ ஆல் வகுத்த பிறகு பெறப்படும் பல்லுறுப்புக்கோவையின் குணகங்களாகும். இயற்கையாகவே, அசல் பல்லுறுப்புக்கோவையின் அளவு $5x^4+5x^3+x^2-11$ நான்குக்கு சமமாக இருந்ததால், $5x^3+10x^2+11x+11$ ஆனது ஒன்று குறைவாக, அதாவது. மூன்று சமம். இரண்டாவது வரியின் கடைசி எண் (பூஜ்ஜியம்) என்பது பல்லுறுப்புக்கோவை $5x^4+5x^3+x^2-11$ஐ $x-1$ ஆல் வகுக்கும் போது மீதமுள்ளதைக் குறிக்கிறது. எங்கள் விஷயத்தில், மீதமுள்ளது பூஜ்ஜியமாகும், அதாவது. பல்லுறுப்புக்கோவைகள் சமமாகப் பிரிக்கப்படுகின்றன. இந்த முடிவைப் பின்வருமாறு வகைப்படுத்தலாம்: $x=1$ இல் $5x^4+5x^3+x^2-11$ என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையின் மதிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமம்.

முடிவை இந்த வடிவத்திலும் உருவாக்கலாம்: $5x^4+5x^3+x^2-11$ இல் $x=1$ இல் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவையின் மதிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருப்பதால், ஒற்றுமை என்பது பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர் ஆகும். $5x^4+5x^3+ x^2-11$.

எடுத்துக்காட்டு எண். 2

பல்லுறுப்புக்கோவை $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ ஐ $x+3$ ஆல் வகுக்கவும்.

$x+3$ என்ற வெளிப்பாடு $x-(-3)$ வடிவத்தில் குறிப்பிடப்பட வேண்டும் என்பதை உடனடியாகக் குறிப்பிடுவோம். ஹார்னரின் திட்டமானது சரியாக $-3$ ஐ உள்ளடக்கும். அசல் பல்லுறுப்புக்கோவையின் அளவு $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ நான்குக்கு சமமாக இருப்பதால், பிரிவின் விளைவாக மூன்றாம் பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவையைப் பெறுகிறோம்:

முடிவு என்று அர்த்தம்

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^ 3+4x-17)+4$$

இந்த சூழ்நிலையில், $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ ஐ $x+3$ ஆல் வகுக்கும் போது மீதமுள்ள தொகை $4$ ஆகும். அல்லது, அதே என்னவென்றால், $x=-3$க்கான பல்லுறுப்புக்கோவை $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ மதிப்பு $4$க்கு சமம். கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவையில் $x=-3$ ஐ நேரடியாக மாற்றுவதன் மூலம் இதை இருமுறை சரிபார்ப்பது எளிது:

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cdot (-3)-47=4.$$

அந்த. ஒரு மாறியின் கொடுக்கப்பட்ட மதிப்பிற்கான பல்லுறுப்புக்கோவையின் மதிப்பை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டுமானால், ஹார்னரின் திட்டத்தைப் பயன்படுத்தலாம். ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் அனைத்து வேர்களையும் கண்டறிவதே எங்கள் இலக்காக இருந்தால், எடுத்துக்காட்டு எண் 3 இல் விவாதிக்கப்பட்டபடி, அனைத்து வேர்களையும் தீர்ந்துவிடும் வரை ஹார்னரின் திட்டத்தை தொடர்ச்சியாக பல முறை பயன்படுத்தலாம்.

எடுத்துக்காட்டு எண். 3

ஹார்னரின் திட்டத்தைப் பயன்படுத்தி $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையின் அனைத்து முழு எண் வேர்களையும் கண்டறியவும்.

கேள்விக்குரிய பல்லுறுப்புக்கோவையின் குணகங்கள் முழு எண்களாகும், மேலும் மாறியின் (அதாவது $x^6$) அதிக சக்தியின் குணகம் ஒன்றுக்கு சமம். இந்த வழக்கில், பல்லுறுப்புக்கோவையின் முழு எண் வேர்கள் கட்டற்ற காலத்தின் வகுப்பாளர்களிடையே தேடப்பட வேண்டும், அதாவது. எண் 45 இன் வகுப்பிகளில். கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு, அத்தகைய வேர்கள் எண்கள் $45 ஆக இருக்கலாம்; \; 15; \; 9; \; 5; \; 3; \; 1$ மற்றும் $-45; \; -15; \; -9; \; -5; \; -3; \; -1$. எடுத்துக்காட்டாக, $1$ என்ற எண்ணைச் சரிபார்ப்போம்:

நீங்கள் பார்க்கிறபடி, $x=1$ உடன் பல்லுறுப்புக்கோவை $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ மதிப்பு $192$ க்கு சமம் (கடைசி எண் இரண்டாவது வரியில்), மற்றும் $0 $ அல்ல, எனவே ஒற்றுமை இந்த பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர் அல்ல. ஒன்றுக்கான காசோலை தோல்வியடைந்ததால், $x=-1$ மதிப்பைச் சரிபார்ப்போம். இதற்காக நாங்கள் புதிய அட்டவணையை உருவாக்க மாட்டோம், ஆனால் அட்டவணையை தொடர்ந்து பயன்படுத்துவோம். எண் 1, அதில் ஒரு புதிய (மூன்றாவது) வரியைச் சேர்த்தல். இரண்டாவது வரியில், $1$ இன் மதிப்பு சரிபார்க்கப்பட்டது, சிவப்பு நிறத்தில் முன்னிலைப்படுத்தப்படும், மேலும் விவாதங்களில் பயன்படுத்தப்படாது.

நீங்கள் நிச்சயமாக, அட்டவணையை மீண்டும் எழுதலாம், ஆனால் அதை கைமுறையாக நிரப்புவதற்கு நிறைய நேரம் எடுக்கும். மேலும், சரிபார்ப்பு தோல்வியடையும் பல எண்கள் இருக்கலாம், மேலும் ஒவ்வொரு முறையும் புதிய அட்டவணையை எழுதுவது கடினம். "காகிதத்தில்" கணக்கிடும் போது, ​​சிவப்பு கோடுகளை வெறுமனே கடக்க முடியும்.

எனவே, $x=-1$ இல் உள்ள $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையின் மதிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமம், அதாவது. $-1$ என்ற எண் இந்த பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர் ஆகும். $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ என்ற பல்லுறுப்புக்கோவை $x-(-1)=x+1$ஐப் பிரித்தால் $x என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையைப் பெறுகிறோம் ^5+x ^4-22x^3+2x^2+69x+45$, அட்டவணையின் மூன்றாவது வரிசையில் இருந்து எடுக்கப்பட்ட குணகங்கள். எண். 2 (எண். 1ஐப் பார்க்கவும்). கணக்கீடுகளின் முடிவை இந்த வடிவத்தில் வழங்கலாம்:

\begin(சமன்பாடு)x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2 +69x+45)\முடிவு(சமன்பாடு)

முழு எண் வேர்களுக்கான தேடலைத் தொடரலாம். இப்போது நாம் $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$ என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்களைத் தேட வேண்டும். மீண்டும், இந்த பல்லுறுப்புக்கோவையின் முழு எண் வேர்கள் அதன் இலவச காலத்தின் வகுப்பான்களில் தேடப்படுகின்றன, எண்கள் $45$. $-1$ எண்ணை மீண்டும் சரிபார்க்க முயற்சிப்போம். நாங்கள் புதிய அட்டவணையை உருவாக்க மாட்டோம், ஆனால் முந்தைய அட்டவணையை தொடர்ந்து பயன்படுத்துவோம். எண் 2, அதாவது. அதில் மேலும் ஒரு வரியைச் சேர்ப்போம்:

எனவே, $-1$ என்பது $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$ என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர் ஆகும். இந்த முடிவை இப்படி எழுதலாம்:

\begin(சமன்பாடு)x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \end(சமன்பாடு)

சமத்துவத்தை (2) கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, சமத்துவம் (1) பின்வரும் வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதப்படலாம்:

\தொடங்கு(சமன்பாடு)\தொடங்கு(சீரமைக்கப்பட்டது) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x ^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^ 4-22x^2+24x+45)\முடிவு(சீரமைக்கப்பட்டது)\முடிவு(சமன்பாடு)

இப்போது நாம் $x^4-22x^2+24x+45$ என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்களைத் தேட வேண்டும், இயற்கையாகவே, அதன் இலவசச் சொல்லின் (எண்கள் $45$). மீண்டும் $-1$ எண்ணைச் சரிபார்ப்போம்:

$-1$ என்பது $x^4-22x^2+24x+45$ என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர் ஆகும். இந்த முடிவை இப்படி எழுதலாம்:

\begin(சமன்பாடு)x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \end(சமன்பாடு)

சமத்துவத்தை (4) கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, பின்வரும் வடிவத்தில் சமத்துவத்தை (3) மீண்டும் எழுதுகிறோம்:

\தொடங்கு(சமன்பாடு)\தொடங்கு(சீரமைக்கப்பட்டது) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3 +24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^ 2-21x+45)\முடிவு(சீரமைக்கப்பட்டது)\முடிவு(சமன்பாடு)

இப்போது நாம் $x^3-x^2-21x+45$ என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்களைத் தேடுகிறோம். மீண்டும் $-1$ எண்ணைச் சரிபார்ப்போம்:

சோதனை தோல்வியில் முடிந்தது. ஆறாவது வரியை சிவப்பு நிறத்தில் முன்னிலைப்படுத்தி மற்றொரு எண்ணைச் சரிபார்க்க முயற்சிப்போம், எடுத்துக்காட்டாக, எண் $3$:

மீதமுள்ளது பூஜ்ஜியமாகும், எனவே $3$ என்பது கேள்விக்குரிய பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலமாகும். எனவே $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. இப்போது சமத்துவத்தை (5) பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதலாம்.