வாதத்தின் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் (பொது நோக்கத்திலிருந்து) செயல்படுத்தப்படுகிறது.
உலகளாவிய மாற்று சூத்திரங்கள்.
இந்த சூத்திரங்கள் மூலம், ஒரு வாதத்தின் வெவ்வேறு முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளைக் கொண்ட எந்த வெளிப்பாட்டையும் ஒரு செயல்பாட்டின் பகுத்தறிவு வெளிப்பாடாக மாற்றுவது எளிது. டிஜி (α/2):
தொகைகளை தயாரிப்புகளாகவும், தயாரிப்புகளை தொகைகளாகவும் மாற்றுவதற்கான சூத்திரங்கள்.
முன்னர், கணக்கீடுகளை எளிமைப்படுத்த மேற்கூறிய சூத்திரங்கள் பயன்படுத்தப்பட்டன. மடக்கை அட்டவணைகளைப் பயன்படுத்தி கணக்கிட்டனர், பின்னர் - ஒரு ஸ்லைடு விதி, ஏனெனில் மடக்கைகள் எண்களைப் பெருக்குவதற்கு மிகவும் பொருத்தமானவை. அதனால்தான் ஒவ்வொரு அசல் வெளிப்பாடும் மடக்கைக்கு வசதியாக இருக்கும் ஒரு வடிவமாக குறைக்கப்பட்டது, அதாவது தயாரிப்புகளுக்கு உதாரணமாக:
2 பாவம் α பாவம் பி = cos (α - பி) - cos (α + பி);
2 cos α cos பி = cos (α - பி) + cos (α + பி);
2 பாவம் α cos பி = பாவம் (α - பி) + பாவம் (α + பி).
குறிப்பாக, அதற்கான கோணம் எங்கே
டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் செயல்பாடுகளுக்கான சூத்திரங்கள் மேலே உள்ளவற்றிலிருந்து எளிதாகப் பெறப்படுகின்றன.
பட்டம் குறைப்பு சூத்திரங்கள்.
|
பாவம் 2 α = (1 - cos 2α)/2; |
cos 2 α = (1 + cos 2α)/2; |
|
பாவம் 3α = (3 பாவம்α - பாவம் 3α )/4; |
cos 3 a = (3 cosα + காஸ் 3α )/4. |
இந்த சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி, முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் குறைந்த சக்திகளைக் கொண்ட சமன்பாடுகளாக எளிதாகக் குறைக்கப்படுகின்றன. உயர் பட்டங்களுக்கான குறைப்பு சூத்திரங்கள் அதே வழியில் பெறப்படுகின்றன பாவம்மற்றும் cos.
ஒரே வாதத்தின் மூலம் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளை வெளிப்படுத்துதல்.
ரூட்டின் முன் உள்ள அடையாளம் கால் கோண இருப்பிடத்தைப் பொறுத்தது α .
அடிப்படை முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளுக்கு இடையே உள்ள உறவுகள் - சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் - கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. முக்கோணவியல் சூத்திரங்கள். முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளுக்கு இடையே நிறைய தொடர்புகள் இருப்பதால், இது முக்கோணவியல் சூத்திரங்களின் மிகுதியை விளக்குகிறது. சில சூத்திரங்கள் ஒரே கோணத்தின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளை இணைக்கின்றன, மற்றவை - பல கோணத்தின் செயல்பாடுகள், மற்றவை - பட்டத்தை குறைக்க உங்களை அனுமதிக்கின்றன, நான்காவது - அரை கோணத்தின் தொடுகோடு மூலம் அனைத்து செயல்பாடுகளையும் வெளிப்படுத்துகின்றன.
இந்த கட்டுரையில், பெரும்பாலான முக்கோணவியல் சிக்கல்களைத் தீர்க்க போதுமான அனைத்து அடிப்படை முக்கோணவியல் சூத்திரங்களையும் பட்டியலிடுவோம். மனப்பாடம் செய்வதற்கும் பயன்படுத்துவதற்கும் எளிதாக, நாங்கள் அவற்றை நோக்கத்தின் அடிப்படையில் தொகுத்து அட்டவணையில் உள்ளிடுவோம்.
பக்க வழிசெலுத்தல்.
அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளங்கள்
அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளங்கள்ஒரு கோணத்தின் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றுக்கு இடையேயான உறவை வரையறுக்கவும். அவை சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் வரையறையிலிருந்தும், அதே போல் அலகு வட்டத்தின் கருத்தாக்கத்திலிருந்தும் பின்பற்றப்படுகின்றன. ஒரு முக்கோணவியல் செயல்பாட்டை மற்றவற்றின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்த அவை உங்களை அனுமதிக்கின்றன.
இந்த முக்கோணவியல் சூத்திரங்கள், அவற்றின் வழித்தோன்றல் மற்றும் பயன்பாட்டின் எடுத்துக்காட்டுகள் பற்றிய விரிவான விளக்கத்திற்கு, கட்டுரையைப் பார்க்கவும்.
குறைப்பு சூத்திரங்கள்
குறைப்பு சூத்திரங்கள்சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் பண்புகளைப் பின்பற்றவும், அதாவது அவை கால இடைவெளியின் பண்புகளை பிரதிபலிக்கின்றன. முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள், சமச்சீர் சொத்து, அத்துடன் மாற்றத்தின் சொத்து கொடுக்கப்பட்ட கோணம். இந்த முக்கோணவியல் சூத்திரங்கள் தன்னிச்சையான கோணங்களில் வேலை செய்வதிலிருந்து பூஜ்ஜியத்திலிருந்து 90 டிகிரி வரையிலான கோணங்களில் வேலை செய்ய உங்களை அனுமதிக்கின்றன.
இந்த சூத்திரங்களுக்கான பகுத்தறிவு, அவற்றை மனப்பாடம் செய்வதற்கான நினைவூட்டல் விதி மற்றும் அவற்றின் பயன்பாட்டின் எடுத்துக்காட்டுகளை கட்டுரையில் படிக்கலாம்.
கூட்டல் சூத்திரங்கள்
முக்கோணவியல் கூட்டல் சூத்திரங்கள்இரண்டு கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை அல்லது வேறுபாட்டின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் அந்த கோணங்களின் முக்கோணவியல் சார்புகளின் அடிப்படையில் எவ்வாறு வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன என்பதைக் காட்டுகின்றன. இந்த சூத்திரங்கள் பின்வரும் முக்கோணவியல் சூத்திரங்களைப் பெறுவதற்கான அடிப்படையாக செயல்படுகின்றன.
இரட்டை, மூன்று போன்றவற்றுக்கான சூத்திரங்கள். கோணம்
இரட்டை, மூன்று போன்றவற்றுக்கான சூத்திரங்கள். கோணம் (அவை பல கோண சூத்திரங்கள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன) இரட்டை, மூன்று போன்றவற்றின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் எப்படி என்பதைக் காட்டுகின்றன. கோணங்கள் () ஒற்றை கோணத்தின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன. அவற்றின் வழித்தோன்றல் கூட்டல் சூத்திரங்களை அடிப்படையாகக் கொண்டது.
இரட்டை, மூன்று போன்றவற்றிற்கான கட்டுரை சூத்திரங்களில் மேலும் விரிவான தகவல்கள் சேகரிக்கப்பட்டுள்ளன. கோணம்
அரை கோண சூத்திரங்கள்
அரை கோண சூத்திரங்கள்அரைக் கோணத்தின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் முழுக் கோணத்தின் கோசைனின் அடிப்படையில் எவ்வாறு வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன என்பதைக் காட்டுகின்றன. இந்த முக்கோணவியல் சூத்திரங்கள் இரட்டை கோண சூத்திரங்களிலிருந்து பின்பற்றப்படுகின்றன.
அவர்களின் முடிவு மற்றும் பயன்பாட்டின் எடுத்துக்காட்டுகள் கட்டுரையில் காணலாம்.
பட்டம் குறைப்பு சூத்திரங்கள்
டிகிரிகளைக் குறைப்பதற்கான முக்கோணவியல் சூத்திரங்கள்முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் இயற்கையான சக்திகளிலிருந்து சைன்கள் மற்றும் கோசைன்களுக்கு முதல் நிலை, ஆனால் பல கோணங்களில் மாறுவதற்கு வசதியாக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் சக்திகளை முதலில் குறைக்க அவை உங்களை அனுமதிக்கின்றன.
முக்கோணவியல் சார்புகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரங்கள்
முக்கிய நோக்கம் முக்கோணவியல் சார்புகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரங்கள்முக்கோணவியல் வெளிப்பாடுகளை எளிதாக்கும் போது மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும் செயல்பாடுகளின் தயாரிப்புக்கு செல்ல வேண்டும். இந்த சூத்திரங்கள் முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதிலும் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, ஏனெனில் அவை சைன்கள் மற்றும் கொசைன்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டைக் கணக்கிட அனுமதிக்கின்றன.
சைன்கள், கொசைன்கள் மற்றும் சைன் பை கொசைன் ஆகியவற்றின் தயாரிப்புக்கான சூத்திரங்கள்
முக்கோணவியல் சார்புகளின் பெருக்கத்திலிருந்து ஒரு தொகை அல்லது வேறுபாட்டிற்கு மாறுவது சைன்கள், கொசைன்கள் மற்றும் சைன் பை கோசைன் ஆகியவற்றின் தயாரிப்புக்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி மேற்கொள்ளப்படுகிறது.
உலகளாவிய முக்கோணவியல் மாற்று
முக்கோணவியலின் அடிப்படை சூத்திரங்களின் மதிப்பாய்வை அரை கோணத்தின் தொடுகோணத்தின் அடிப்படையில் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளை வெளிப்படுத்தும் சூத்திரங்களுடன் நிறைவு செய்கிறோம். இந்த மாற்று என்று அழைக்கப்பட்டது உலகளாவிய முக்கோணவியல் மாற்று. அனைத்து முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளும் வேர்கள் இல்லாமல் அரை கோணத்தின் தொடுகோடு அடிப்படையில் பகுத்தறிவுடன் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன என்பதில் அதன் வசதி உள்ளது.
குறிப்புகள்.
- இயற்கணிதம்:பாடநூல் 9 ஆம் வகுப்புக்கு. சராசரி பள்ளி/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; எட். S. A. Telyakovsky - M.: Education, 1990. - 272 pp.: ill - ISBN 5-09-002727-7
- பாஷ்மகோவ் எம். ஐ.இயற்கணிதம் மற்றும் பகுப்பாய்வின் ஆரம்பம்: பாடநூல். 10-11 தரங்களுக்கு. சராசரி பள்ளி - 3வது பதிப்பு. - எம்.: கல்வி, 1993. - 351 பக்.: நோய். - ISBN 5-09-004617-4.
- இயற்கணிதம்மற்றும் பகுப்பாய்வின் ஆரம்பம்: Proc. 10-11 தரங்களுக்கு. பொது கல்வி நிறுவனங்கள் / A. N. Kolmogorov, A. M. அப்ரமோவ், யு. பி. டட்னிட்சின் மற்றும் பலர்; எட். A. N. Kolmogorov - 14th ed.: Education, 384 pp.: ill - ISBN 5-09-013651-3
- குசெவ் வி. ஏ., மொர்ட்கோவிச் ஏ.ஜி.கணிதம் (தொழில்நுட்பப் பள்ளிகளில் சேருபவர்களுக்கான கையேடு): Proc. கொடுப்பனவு.- எம்.; உயர்ந்தது பள்ளி, 1984.-351 ப., நோய்.
புத்திசாலி மாணவர்களின் பதிப்புரிமை
அனைத்து உரிமைகளும் பாதுகாக்கப்பட்டவை.
பதிப்புரிமை சட்டத்தால் பாதுகாக்கப்படுகிறது. உள் பொருட்கள் மற்றும் தோற்றம் உட்பட தளத்தின் எந்தப் பகுதியையும் எந்த வடிவத்திலும் மறுஉருவாக்கம் செய்யக்கூடாது அல்லது பதிப்புரிமைதாரரின் முன் எழுத்துப்பூர்வ அனுமதியின்றி பயன்படுத்த முடியாது.
IN அடையாள மாற்றங்கள் முக்கோணவியல் வெளிப்பாடுகள்பின்வரும் இயற்கணித நுட்பங்களைப் பயன்படுத்தலாம்: ஒரே மாதிரியான சொற்களைச் சேர்த்தல் மற்றும் கழித்தல்; பொதுவான காரணியை அடைப்புக்குறிக்குள் வைப்பது; அதே அளவு மூலம் பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல்; சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களின் பயன்பாடு; ஒரு முழுமையான சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுப்பது; ஒரு இருபடி முக்கோணத்தை காரணியாக்குதல்; மாற்றங்களை எளிதாக்க புதிய மாறிகளின் அறிமுகம்.
பின்னங்களைக் கொண்ட முக்கோணவியல் வெளிப்பாடுகளை மாற்றும் போது, நீங்கள் விகிதாச்சாரத்தின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தலாம், பின்னங்களைக் குறைக்கலாம் அல்லது பின்னங்களை பொதுவான வகுப்பிற்கு மாற்றலாம். கூடுதலாக, நீங்கள் பகுதியின் முழுப் பகுதியையும் தேர்வு செய்யலாம், பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினை அதே அளவு மூலம் பெருக்கலாம், மேலும் முடிந்தால், எண் அல்லது வகுப்பின் ஒருமைப்பாட்டை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளலாம். தேவைப்பட்டால், நீங்கள் ஒரு பகுதியை பல எளிய பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகை அல்லது வேறுபாடாகக் குறிப்பிடலாம்.
கூடுதலாக, முக்கோணவியல் வெளிப்பாடுகளை மாற்றுவதற்கு தேவையான அனைத்து முறைகளையும் பயன்படுத்தும்போது, மாற்றப்படும் வெளிப்பாடுகளின் அனுமதிக்கப்பட்ட மதிப்புகளின் வரம்பை தொடர்ந்து கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது அவசியம்.
ஒரு சில உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்.
எடுத்துக்காட்டு 1.
கணக்கீடு A = (sin (2x – π) cos (3π – x) + sin (2x – 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x – π/2) cos ( 2x – 7π /2) +
+
பாவம் (3π/2 – x) பாவம் (2x –5π/2)) 2
தீர்வு.
குறைப்பு சூத்திரங்களிலிருந்து இது பின்வருமாறு:
பாவம் (2x – π) = -sin 2x; cos (3π – x) = -cos x;
பாவம் (2x – 9π/2) = -cos 2x; cos (x + π/2) = -sin x;
cos (x – π/2) = sin x; cos (2x – 7π/2) = -sin 2x;
பாவம் (3π/2 – x) = -cos x; பாவம் (2x – 5π/2) = -cos 2x.
எங்கிருந்து, வாதங்களைச் சேர்ப்பதற்கான சூத்திரங்கள் மற்றும் முக்கிய முக்கோணவியல் அடையாளத்தின் மூலம், நாம் பெறுகிறோம்
A = (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 = sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) =
= பாவம் 2 3x + காஸ் 2 3x = 1
பதில்: 1.
எடுத்துக்காட்டு 2.
M = cos α + cos (α + β) · cos γ + cos β – sin (α + β) · sin γ + cos γ என்ற வெளிப்பாட்டை ஒரு தயாரிப்பாக மாற்றவும்.
தீர்வு.
வாதங்களைச் சேர்ப்பதற்கான சூத்திரங்கள் மற்றும் முக்கோணவியல் சார்புகளின் கூட்டுத்தொகையை பொருத்தமான குழுவாக்கத்திற்குப் பிறகு ஒரு தயாரிப்பாக மாற்றுவதற்கான சூத்திரங்களிலிருந்து, எங்களிடம் உள்ளது
M = (cos (α + β) cos γ – sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =
2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =
2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =
2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =
2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) காஸ் ((β – γ)/2) – (α + ( β + γ)/2)/2) =
4cos ((β + γ)/2) cos ((α +β)/2) cos ((α + γ)/2).
பதில்: M = 4cos ((α + β)/2) · cos ((α + γ)/2) · cos ((β + γ)/2).
எடுத்துக்காட்டு 3.
வெளிப்பாடு A = cos 2 (x + π/6) – cos (x + π/6) cos (x – π/6) + cos 2 (x – π/6) என்பது R மற்றும் அனைத்து x க்கும் ஒன்றை எடுக்கும் என்பதைக் காட்டு அதே அர்த்தம். இந்த மதிப்பைக் கண்டறியவும்.
தீர்வு.
இந்த சிக்கலை தீர்க்க இரண்டு வழிகள் உள்ளன. முதல் முறையைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், ஒரு முழுமையான சதுரத்தை தனிமைப்படுத்தி, தொடர்புடைய அடிப்படை முக்கோணவியல் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், நாங்கள் பெறுகிறோம்
A = (cos (x + π/6) – cos (x – π/6)) 2 + cos (x – π/6) cos (x – π/6) =
4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2(cos 2x + cos π/3) =
பாவம் 2 x + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 1/2 · (1 – cos 2x) + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 3/4.
இரண்டாவது வழியில் சிக்கலைத் தீர்ப்பது, R இலிருந்து x இன் செயல்பாடாக A ஐக் கருத்தில் கொண்டு அதன் வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடுங்கள். மாற்றங்களுக்குப் பிறகு நாம் பெறுகிறோம்
А´ = -2cos (x + π/6) sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) cos (x – π/6) + cos (x + π/6) sin (x + π/6)) – 2cos (x – π/6) பாவம் (x – π/6) =
பாவம் 2(x + π/6) + பாவம் ((x + π/6) + (x – π/6)) – பாவம் 2(x – π/6) =
பாவம் 2x – (sin (2x + π/3) + sin (2x – π/3)) =
பாவம் 2x – 2sin 2x · cos π/3 = sin 2x – sin 2x ≡ 0.
எனவே, ஒரு இடைவெளியில் வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாட்டின் நிலைத்தன்மையின் அளவுகோல் காரணமாக, நாங்கள் முடிவு செய்கிறோம்
A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x € R. 
பதில்: x € Rக்கு A = 3/4.
முக்கோணவியல் அடையாளங்களை நிரூபிக்கும் முக்கிய நுட்பங்கள்:
A)பொருத்தமான மாற்றங்களின் மூலம் அடையாளத்தின் இடது பக்கத்தை வலது பக்கம் குறைத்தல்;
b)அடையாளத்தின் வலது பக்கத்தை இடது பக்கம் குறைத்தல்;
V)அடையாளத்தின் வலது மற்றும் இடது பக்கங்களை ஒரே வடிவத்தில் குறைத்தல்;
ஜி)நிரூபிக்கப்பட்ட அடையாளத்தின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டை பூஜ்ஜியமாகக் குறைத்தல்.
எடுத்துக்காட்டு 4.
cos 3x = -4cos x · cos (x + π/3) · cos (x + 2π/3) என்பதைச் சரிபார்க்கவும்.
தீர்வு.
தொடர்புடைய முக்கோணவியல் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி இந்த அடையாளத்தின் வலது பக்கத்தை மாற்றுவது, எங்களிடம் உள்ளது
4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =
2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3))) =
2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =
2cos x · cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) – cos x = cos 3x.
அடையாளத்தின் வலது பக்கம் இடது பக்கம் குறைக்கப்பட்டுள்ளது.
எடுத்துக்காட்டு 5.
sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ = 2 எனில் α, β, γ ஆகியவை சில முக்கோணத்தின் உள் கோணங்கள் என்பதை நிரூபிக்கவும்.
தீர்வு.
α, β, γ ஆகியவை சில முக்கோணங்களின் உள் கோணங்களைக் கருத்தில் கொண்டு, அதைப் பெறுகிறோம்
α + β + γ = π மற்றும், எனவே, γ = π – α – β.
sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ =
பாவம் 2 α + பாவம் 2 β + பாவம் 2 (π – α – β) – 2cos α · cos β · cos (π – α – β) =
சின் 2 α + பாவம் 2 β + பாவம் 2 (α + β) + (காஸ் (α + β) + காஸ் (α – β) · (காஸ் (α + β) =
சின் 2 α + பாவம் 2 β + (sin 2 (α + β) + காஸ் 2 (α + β)) + காஸ் (α – β) (காஸ் (α + β) =
1/2 · (1 – cos 2α) + ½ · (1 – cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) = 2.
அசல் சமத்துவம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.
எடுத்துக்காட்டு 6.
முக்கோணத்தின் α, β, γ ஆகிய கோணங்களில் ஒன்று 60°க்கு சமமாக இருப்பதற்கு, sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0 என்பது அவசியம் மற்றும் போதுமானது என்பதை நிரூபிக்கவும்.
தீர்வு.
இந்தப் பிரச்சனையின் நிலை, தேவை மற்றும் போதுமானது ஆகிய இரண்டையும் நிரூபிப்பதை உள்ளடக்கியது.
முதலில் நிரூபிப்போம் தேவை.
என்று காட்டலாம்
sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2).
எனவே, cos (3/2 60°) = cos 90° = 0 என்பதைக் கணக்கில் எடுத்துக் கொண்டால், α, β அல்லது γ கோணங்களில் ஒன்று 60°க்கு சமமாக இருந்தால், பிறகு
cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 மற்றும், எனவே, sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.
இப்போது நிரூபிப்போம் போதுமான அளவுகுறிப்பிட்ட நிபந்தனை.
sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0 என்றால், cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0, எனவே
cos (3α/2) = 0, அல்லது cos (3β/2) = 0, அல்லது cos (3γ/2) = 0.
எனவே,
அல்லது 3α/2 = π/2 + πk, அதாவது. α = π/3 + 2πk/3, 
அல்லது 3β/2 = π/2 + πk, அதாவது. β = π/3 + 2πk/3,
அல்லது 3γ/2 = π/2 + πk,
அந்த. γ = π/3 + 2πk/3, இங்கு k ϵ Z.
α, β, γ ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்கள் என்பதிலிருந்து, நம்மிடம் உள்ளது
0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.
எனவே, α = π/3 + 2πk/3 அல்லது β = π/3 + 2πk/3 அல்லது
அனைத்து kϵZ இல் γ = π/3 + 2πk/3 மட்டுமே k = 0 பொருத்தமானது.
இது α = π/3 = 60°, அல்லது β = π/3 = 60°, அல்லது γ = π/3 = 60°.
அறிக்கை நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.
இன்னும் கேள்விகள் உள்ளதா? முக்கோணவியல் வெளிப்பாடுகளை எப்படி எளிதாக்குவது என்று தெரியவில்லையா?
ஆசிரியரின் உதவியைப் பெற, பதிவு செய்யவும்.
முதல் பாடம் இலவசம்!
இணையதளம், உள்ளடக்கத்தை முழுமையாகவோ அல்லது பகுதியாகவோ நகலெடுக்கும்போது, மூலத்திற்கான இணைப்பு தேவை.
