ஏற்கனவே உள்ளே பண்டைய எகிப்துகணிதம் மட்டுமல்ல, வடிவியல் முன்னேற்றமும் தெரிந்தது. உதாரணமாக, ரைன்ட் பாப்பிரஸில் இருந்து ஒரு பிரச்சனை இங்கே: “ஏழு முகங்களில் ஏழு பூனைகள் உள்ளன; ஒவ்வொரு பூனையும் ஏழு எலிகளைத் தின்னும், ஒவ்வொரு எலியும் ஏழு சோளக் கதிர்களைத் தின்னும், ஒவ்வொரு பார்லியும் ஏழு அளவு பார்லியை வளர்க்கும். இந்தத் தொடரில் உள்ள எண்கள் மற்றும் அவற்றின் கூட்டுத்தொகை எவ்வளவு பெரியது?
 |
|
அரிசி. 1. பண்டைய எகிப்திய வடிவியல் முன்னேற்றச் சிக்கல் |
இந்த பணி மற்ற நேரங்களில் மற்ற மக்களிடையே பல்வேறு மாறுபாடுகளுடன் பல முறை மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்பட்டது. உதாரணமாக, 13 ஆம் நூற்றாண்டில் எழுதப்பட்டவை. பைசாவின் லியோனார்டோ (பிபோனச்சி) எழுதிய “தி புக் ஆஃப் தி அபாகஸ்” ஒரு பிரச்சனையில் 7 வயதான பெண்கள் ரோம் செல்லும் வழியில் தோன்றும் (வெளிப்படையாக யாத்ரீகர்கள்), ஒவ்வொருவருக்கும் 7 கழுதைகள் உள்ளன, ஒவ்வொன்றும் 7 பைகள், ஒவ்வொன்றும் 7 ரொட்டிகளைக் கொண்டுள்ளது, ஒவ்வொன்றிலும் 7 கத்திகள் உள்ளன, ஒவ்வொன்றும் 7 உறைகளைக் கொண்டுள்ளன. எத்தனை பொருள்கள் உள்ளன என்று பிரச்சனை கேட்கிறது.
வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முதல் n சொற்களின் கூட்டுத்தொகை S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . இந்த சூத்திரத்தை நிரூபிக்க முடியும், எடுத்துக்காட்டாக, இது போன்றது: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.
S n உடன் b 1 q n எண்ணைச் சேர்த்து பெறவும்:
|
இங்கிருந்து S n (q – 1) = b 1 (q n – 1), தேவையான சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்.
ஏற்கனவே பண்டைய பாபிலோனின் களிமண் மாத்திரைகளில் ஒன்றில், 6 ஆம் நூற்றாண்டைச் சேர்ந்தது. கி.மு இ., தொகை 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. உண்மை, பல நிகழ்வுகளைப் போலவே, இந்த உண்மை பாபிலோனியர்களுக்கு எப்படித் தெரிந்தது என்பது எங்களுக்குத் தெரியாது. .
பல கலாச்சாரங்களில், குறிப்பாக இந்தியாவில், வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விரைவான அதிகரிப்பு, பிரபஞ்சத்தின் பரந்த தன்மையின் காட்சி அடையாளமாக மீண்டும் மீண்டும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. சதுரங்கத்தின் தோற்றம் பற்றிய புகழ்பெற்ற புராணத்தில், ஆட்சியாளர் அதன் கண்டுபிடிப்பாளருக்கு வெகுமதியைத் தேர்ந்தெடுக்கும் வாய்ப்பை வழங்குகிறார், மேலும் அவர் முதல் சதுரத்தில் ஒரு கோதுமை தானியத்தை வைத்தால் பெறப்படும் கோதுமை தானியங்களின் எண்ணிக்கையைக் கேட்கிறார். சதுரங்கப் பலகை, இரண்டாவது இரண்டு, மூன்றாவது நான்கு, நான்காவது எட்டு, முதலியன, ஒவ்வொரு முறையும் எண் இரட்டிப்பாகும். அதிகபட்சம் நாங்கள் சில பைகளைப் பற்றி பேசுகிறோம் என்று விளாடிகா நினைத்தார், ஆனால் அவர் தவறாகக் கணக்கிட்டார். சதுரங்கப் பலகையின் அனைத்து 64 சதுரங்களுக்கும் கண்டுபிடிப்பாளர் (2 64 - 1) தானியங்களைப் பெற வேண்டும், இது 20 இலக்க எண்ணாக வெளிப்படுத்தப்படுகிறது; பூமியின் மேற்பரப்பு முழுவதும் விதைக்கப்பட்டாலும், தேவையான அளவு தானியங்களை சேகரிக்க குறைந்தது 8 ஆண்டுகள் ஆகும். இந்த புராணக்கதை சில நேரங்களில் சதுரங்க விளையாட்டில் மறைந்திருக்கும் வரம்பற்ற சாத்தியக்கூறுகளைக் குறிப்பதாக விளக்கப்படுகிறது.
இந்த எண் உண்மையில் 20 இலக்கமாக இருப்பதைப் பார்ப்பது எளிது:
2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1.6∙ 10 19 (மிகவும் துல்லியமான கணக்கீடு 1.84 ∙ 10 19 ஐ அளிக்கிறது). ஆனால் இந்த எண் எந்த இலக்கத்துடன் முடிவடைகிறது என்பதை உங்களால் கண்டுபிடிக்க முடியுமா என்று எனக்கு ஆச்சரியமாக இருக்கிறது?
வகுத்தல் 1 ஐ விட அதிகமாக இருந்தால் வடிவியல் முன்னேற்றம் அதிகரிக்கும் அல்லது ஒன்றுக்கு குறைவாக இருந்தால் குறையும். பிந்தைய வழக்கில், போதுமான அளவு பெரிய nக்கான எண் q n தன்னிச்சையாக சிறியதாக மாறும். அதிகரிக்கும் வடிவியல் முன்னேற்றம் எதிர்பாராத விதமாக விரைவாக அதிகரிக்கும் போது, குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றம் விரைவாக குறைகிறது.
பெரிய n, பலவீனமான எண் q n பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபடுகிறது, மேலும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் n சொற்களின் கூட்டுத்தொகை S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) எண் S = b 1 / ( 1 - q). (உதாரணமாக, F. Viet இந்த வழியில் நியாயப்படுத்தினார்). எண் S என்பது எண்ணற்ற அளவில் குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகை என்று அழைக்கப்படுகிறது. இருப்பினும், பல நூற்றாண்டுகளாக, முழு வடிவியல் முன்னேற்றத்தையும், அதன் எண்ணற்ற சொற்களுடன் சுருக்கமாகக் கூறுவதன் அர்த்தம் என்ன என்ற கேள்வி, கணிதவியலாளர்களுக்கு போதுமானதாக இல்லை.
எடுத்துக்காட்டாக, ஜீனோவின் அபோரியாஸ் "அரை பிரிவு" மற்றும் "அகில்லெஸ் மற்றும் ஆமை" ஆகியவற்றில் குறைந்து வரும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தைக் காணலாம். முதல் வழக்கில், முழு சாலையும் (நீளம் 1 எனக் கருதினால்) தொகை என்று தெளிவாகக் காட்டப்பட்டுள்ளது எல்லையற்ற எண்பிரிவுகள் 1/2, 1/4, 1/8, முதலியன. எனவே இது, நிச்சயமாக, ஒரு எல்லையற்ற வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வரையறுக்கப்பட்ட தொகையைப் பற்றிய கருத்துக்களின் பார்வையில் உள்ளது. இன்னும் - இது எப்படி இருக்க முடியும்?
|
அரிசி. 2. 1/2 குணகம் கொண்ட முன்னேற்றம் |
அகில்லெஸ் பற்றிய அபோரியாவில், நிலைமை இன்னும் கொஞ்சம் சிக்கலானது, ஏனெனில் இங்கே முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல் 1/2 அல்ல, ஆனால் வேறு சில எண். எடுத்துக்காட்டாக, அகில்லெஸ் v வேகத்தில் ஓடுகிறது, ஆமை u வேகத்தில் நகர்கிறது, அவற்றுக்கிடையேயான ஆரம்ப தூரம் l ஆகும். அகில்லெஸ் இந்த தூரத்தை l/v நேரத்தில் கடக்கும், இந்த நேரத்தில் ஆமை lu/v தூரத்தை நகர்த்தும். அகில்லெஸ் இந்த பிரிவை இயக்கும் போது, அவருக்கும் ஆமைக்கும் இடையே உள்ள தூரம் l (u /v) 2, முதலியன சமமாக மாறும். ஆமையைப் பிடிப்பது என்பது முதல் வார்த்தையுடன் முடிவிலா குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடிப்பதாகும். l மற்றும் வகுத்தல் u /v. இந்தக் கூட்டுத்தொகை - அகில்லெஸ் இறுதியாக ஆமையுடன் சந்திக்கும் இடத்திற்குச் செல்லும் பகுதி - l / (1 – u /v) = lv / (v – u) க்கு சமம். ஆனால், மீண்டும், இந்த முடிவை எவ்வாறு விளக்க வேண்டும், அது ஏன் எந்த அர்த்தத்தையும் தருகிறது? நீண்ட காலமாகஅது மிகவும் தெளிவாக இல்லை.
|
அரிசி. 3. 2/3 குணகம் கொண்ட வடிவியல் முன்னேற்றம் |
ஆர்க்கிமிடிஸ் ஒரு பரவளையப் பிரிவின் பரப்பளவைக் கண்டறிய ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகையைப் பயன்படுத்தினார். விடுங்கள் இந்த பிரிவுபரவளையத்தின் AB நாண் மூலம் பிரிக்கப்பட்டு, பரவளையத்தின் D புள்ளியில் உள்ள தொடுகோடு AB க்கு இணையாக இருக்கட்டும். C என்பது ABயின் நடுப்புள்ளியாகவும், E என்பது ACயின் நடுப்புள்ளியாகவும், F என்பது CBயின் நடுப்புள்ளியாகவும் இருக்கட்டும். A, E, F, B புள்ளிகள் மூலம் DC க்கு இணையான கோடுகளை வரைவோம்; புள்ளி D இல் வரையப்பட்ட தொடுகோடு K, L, M, N புள்ளிகளில் இந்தக் கோடுகளை வெட்டட்டும். AD மற்றும் DB பிரிவுகளையும் வரைவோம். EL கோடு AD கோடு G புள்ளியிலும், பரவளையம் H புள்ளியிலும் வெட்டட்டும்; எஃப்எம் கோடு டிபியை Q புள்ளியிலும், பரவளையத்தை R புள்ளியிலும் வெட்டுகிறது. கூம்பு பிரிவுகளின் பொதுவான கோட்பாட்டின் படி, DC என்பது ஒரு பரவளையத்தின் விட்டம் (அதாவது, அதன் அச்சுக்கு இணையான ஒரு பிரிவு); அது மற்றும் புள்ளி D இல் உள்ள தொடுகோடு x மற்றும் y ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளாக செயல்படும், இதில் பரவளையத்தின் சமன்பாடு y 2 = 2px என எழுதப்பட்டுள்ளது (x என்பது D இலிருந்து கொடுக்கப்பட்ட விட்டத்தின் எந்தப் புள்ளிக்கும் உள்ள தூரம், y என்பது நீளம் விட்டம் கொண்ட இந்த புள்ளியிலிருந்து பரவளையத்தின் சில புள்ளிகள் வரை கொடுக்கப்பட்ட தொடுகோடுக்கு இணையான ஒரு பிரிவு).
பரவளைய சமன்பாட்டின் மூலம், DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, மற்றும் DK = 2DL என்பதால், KA = 4LH. ஏனெனில் KA = 2LG, LH = HG. ஒரு பரவளையத்தின் ADB பிரிவின் பரப்பளவு முக்கோண ΔADB மற்றும் AHD மற்றும் DRB ஆகிய பிரிவுகளின் பகுதிகளுக்கு சமம். இதையொட்டி, AHD பிரிவின் பரப்பளவு முக்கோண AHD மற்றும் மீதமுள்ள AH மற்றும் HD பகுதிகளுக்கு சமமாக இருக்கும், ஒவ்வொன்றிலும் நீங்கள் ஒரே செயல்பாட்டைச் செய்யலாம் - ஒரு முக்கோணமாக (Δ) பிரிக்கவும் மற்றும் மீதமுள்ள இரண்டு பிரிவுகள் (), முதலியன:
முக்கோணத்தின் பரப்பளவு ΔAHD முக்கோணத்தின் பாதி பகுதிக்கு சமம் ΔALD (அவை ஒரு பொதுவான அடிப்படை AD, மற்றும் உயரங்கள் 2 மடங்கு வேறுபடுகின்றன), இதையொட்டி, இது பாதி பகுதிக்கு சமம் முக்கோணம் ΔAKD, எனவே முக்கோணத்தின் பாதி பகுதி ΔACD. எனவே, ΔAHD முக்கோணத்தின் பரப்பளவு ΔACD முக்கோணத்தின் கால் பகுதிக்கு சமம். அதேபோல், ΔDRB முக்கோணத்தின் பரப்பளவு ΔDFB முக்கோணத்தின் கால் பகுதிக்கு சமம். எனவே, ΔAHD மற்றும் ΔDRB முக்கோணங்களின் பகுதிகள் ஒன்றாக எடுத்துக் கொள்ளப்பட்டால், ΔADB முக்கோணத்தின் கால் பகுதிக்கு சமம். AH, HD, DR மற்றும் RB ஆகிய பிரிவுகளுக்குப் பயன்படுத்தப்படும்போது இந்தச் செயல்பாட்டை மீண்டும் செய்வதன் மூலம் அவற்றிலிருந்து முக்கோணங்களைத் தேர்ந்தெடுக்கும், அதன் பரப்பளவு, ஒன்றாக எடுத்துக் கொள்ளப்பட்டால், ΔAHD மற்றும் ΔDRB முக்கோணங்களின் பரப்பளவை விட 4 மடங்கு குறைவாக இருக்கும். எனவே முக்கோணத்தின் பரப்பளவை விட 16 மடங்கு குறைவு ΔADB. மற்றும் பல:
எனவே, ஆர்க்கிமிடிஸ் "ஒரு நேர் கோட்டிற்கும் பரவளையத்திற்கும் இடையில் உள்ள ஒவ்வொரு பகுதியும் ஒரே அடிப்பகுதி மற்றும் சமமான உயரம் கொண்ட ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்றில் நான்காக உள்ளது" என்று நிரூபித்தார்.
ஒரு குறிப்பிட்ட தொடரைக் கருத்தில் கொள்வோம்.
7 28 112 448 1792...
அதன் எந்த உறுப்புகளின் மதிப்பு முந்தையதை விட சரியாக நான்கு மடங்கு அதிகம் என்பது முற்றிலும் தெளிவாக உள்ளது. இந்த தொடர் ஒரு முன்னேற்றம் என்று அர்த்தம்.
ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் என்பது எண்களின் எல்லையற்ற வரிசையாகும். முக்கிய அம்சம்அதாவது சில குறிப்பிட்ட எண்ணால் பெருக்குவதன் மூலம் முந்தைய எண்ணிலிருந்து அடுத்த எண் பெறப்படுகிறது. இது பின்வரும் சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது.
a z +1 =a z ·q, இங்கு z என்பது தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை.
அதன்படி, z ∈ N.
பள்ளியில் வடிவியல் முன்னேற்றம் படிக்கும் காலம் 9 ஆம் வகுப்பு. கருத்தைப் புரிந்துகொள்ள எடுத்துக்காட்டுகள் உதவும்:
0.25 0.125 0.0625...
இந்த சூத்திரத்தின் அடிப்படையில், முன்னேற்றத்தின் வகுப்பினை பின்வருமாறு காணலாம்:
q அல்லது b z பூஜ்ஜியமாக இருக்க முடியாது. மேலும், முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு கூறுகளும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கக்கூடாது.
அதன்படி, ஒரு தொடரின் அடுத்த எண்ணைக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் கடைசி எண்ணை q ஆல் பெருக்க வேண்டும்.
இந்த முன்னேற்றத்தை அமைக்க, அதன் முதல் உறுப்பு மற்றும் வகுப்பினை நீங்கள் குறிப்பிட வேண்டும். இதற்குப் பிறகு, அடுத்தடுத்த விதிமுறைகள் மற்றும் அவற்றின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறிய முடியும்.
வகைகள்
q மற்றும் a 1 ஐப் பொறுத்து, இந்த முன்னேற்றம் பல வகைகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது:
- ஒரு 1 மற்றும் q இரண்டும் ஒன்றுக்கு அதிகமாக இருந்தால், அத்தகைய வரிசையானது ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த உறுப்புக்கும் அதிகரிக்கும் வடிவியல் முன்னேற்றமாகும். இதற்கான உதாரணம் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
எடுத்துக்காட்டு: a 1 =3, q=2 - இரண்டு அளவுருக்களும் ஒன்றுக்கு மேற்பட்டவை.
எண் வரிசையை இப்படி எழுதலாம்:
3 6 12 24 48 ...
- என்றால் |q| ஒன்றுக்குக் குறைவாக உள்ளது, அதாவது, அதன் மூலம் பெருக்குவது வகுத்தலுக்குச் சமம், பின்னர் இதே நிலைகளைக் கொண்ட முன்னேற்றம் குறைந்து வரும் வடிவியல் முன்னேற்றமாகும். இதற்கான உதாரணம் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
எடுத்துக்காட்டு: a 1 =6, q=1/3 - a 1 என்பது ஒன்றை விட பெரியது, q என்பது குறைவு.
பின்னர் எண் வரிசையை பின்வருமாறு எழுதலாம்:
6 2 2/3 ... - எந்த உறுப்பும் அதைத் தொடர்ந்து வரும் உறுப்பை விட 3 மடங்கு பெரியது.
- மாற்று அடையாளம். கே என்றால்<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.
எடுத்துக்காட்டு: a 1 = -3, q = -2 - இரண்டு அளவுருக்களும் பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக இருக்கும்.
எண் வரிசையை இப்படி எழுதலாம்:
3, 6, -12, 24,...
சூத்திரங்கள்
வடிவியல் முன்னேற்றங்களின் வசதியான பயன்பாட்டிற்கு பல சூத்திரங்கள் உள்ளன:
- Z-கால சூத்திரம். முந்தைய எண்களைக் கணக்கிடாமல் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணின் கீழ் ஒரு உறுப்பைக் கணக்கிட உங்களை அனுமதிக்கிறது.
எடுத்துக்காட்டு:கே = 3, அ 1 = 4. முன்னேற்றத்தின் நான்காவது உறுப்பை எண்ணுவது அவசியம்.
தீர்வு:அ 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.
- அளவு சமமாக இருக்கும் முதல் தனிமங்களின் கூட்டுத்தொகை z. வரையிலான வரிசையின் அனைத்து உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகையைக் கணக்கிட உங்களை அனுமதிக்கிறதுஒரு இசட்உள்ளடக்கியது.
முதல் (1-கே) வகுப்பில் உள்ளது, பின்னர் (1 - q)≠ 0, எனவே q என்பது 1க்கு சமமாக இருக்காது.
குறிப்பு: q=1 எனில், முன்னேற்றமானது எண்ணிலடங்கா மீண்டும் வரும் எண்களின் தொடராக இருக்கும்.
வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகை, எடுத்துக்காட்டுகள்:அ 1 = 2, கே= -2. S5 ஐக் கணக்கிடுங்கள்.
தீர்வு:எஸ் 5 = 22 - சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கீடு.
- தொகை என்றால் |கே| < 1 и если z стремится к бесконечности.
எடுத்துக்காட்டு:அ 1 = 2 , கே= 0.5. தொகையைக் கண்டறியவும்.
தீர்வு:எஸ் இசட் = 2 · = 4
எஸ் இசட் = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4
சில பண்புகள்:
- சிறப்பியல்பு சொத்து. பின்வரும் நிபந்தனை என்றால் எதற்கும் வேலை செய்கிறதுz, கொடுக்கப்பட்ட எண் தொடர் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம்:
ஒரு இசட் 2 = ஒரு இசட் -1 · அz+1
- மேலும், ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தில் உள்ள எந்த எண்ணின் வர்க்கமும் இந்த உறுப்பிலிருந்து சமமான தொலைவில் இருந்தால், கொடுக்கப்பட்ட தொடரில் உள்ள வேறு ஏதேனும் இரண்டு எண்களின் சதுரங்களைச் சேர்ப்பதன் மூலம் கண்டறியப்படுகிறது.
ஒரு இசட் 2 = ஒரு இசட் - டி 2 + ஒரு இசட் + டி 2 , எங்கேடி- இந்த எண்களுக்கு இடையிலான தூரம்.
- கூறுகள்q இல் வேறுபடுகின்றனஒருமுறை.
- ஒரு முன்னேற்றத்தின் உறுப்புகளின் மடக்கைகளும் ஒரு முன்னேற்றத்தை உருவாக்குகின்றன, ஆனால் ஒரு எண்கணிதம், அதாவது அவை ஒவ்வொன்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையில் முந்தையதை விட அதிகமாக இருக்கும்.
சில உன்னதமான சிக்கல்களின் எடுத்துக்காட்டுகள்
வடிவியல் முன்னேற்றம் என்றால் என்ன என்பதை நன்கு புரிந்து கொள்ள, 9 ஆம் வகுப்புக்கான தீர்வுகளுடன் எடுத்துக்காட்டுகள் உதவும்.
- நிபந்தனைகள்:அ 1 = 3, அ 3 = 48. கண்டுபிடிகே.
தீர்வு: ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த உறுப்பும் முந்தையதை விட அதிகமாக உள்ளதுகே ஒருமுறை.ஒரு வகுப்பைப் பயன்படுத்தி சில கூறுகளை மற்றவற்றின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்துவது அவசியம்.
எனவே,அ 3 = கே 2 · அ 1
மாற்றும் போதுகே= 4
- நிபந்தனைகள்:அ 2 = 6, அ 3 = 12. S 6 ஐக் கணக்கிடவும்.
தீர்வு:இதைச் செய்ய, முதல் உறுப்பு q ஐக் கண்டுபிடித்து அதை சூத்திரத்தில் மாற்றவும்.
அ 3 = கே· அ 2 , எனவே,கே= 2
a 2 = q · ஒரு 1,அதனால் தான் a 1 = 3
எஸ் 6 = 189
- · அ 1 = 10, கே= -2. முன்னேற்றத்தின் நான்காவது உறுப்பைக் கண்டறியவும்.
தீர்வு: இதைச் செய்ய, நான்காவது உறுப்பை முதல் மற்றும் வகுப்பின் மூலம் வெளிப்படுத்தினால் போதும்.
a 4 = q 3· a 1 = -80
விண்ணப்ப உதாரணம்:
- ஒரு வங்கி வாடிக்கையாளர் 10,000 ரூபிள் தொகையில் டெபாசிட் செய்தார், அதன் விதிமுறைகளின் கீழ் ஒவ்வொரு ஆண்டும் வாடிக்கையாளர் அதில் 6% அசல் தொகையில் சேர்க்கப்படுவார். 4 ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு கணக்கில் எவ்வளவு பணம் இருக்கும்?
தீர்வு: ஆரம்ப தொகை 10 ஆயிரம் ரூபிள் ஆகும். அதாவது முதலீட்டிற்கு ஒரு வருடம் கழித்து கணக்கில் 10,000 + 10,000 க்கு சமமான தொகை இருக்கும் · 0.06 = 10000 1.06
அதன்படி, மற்றொரு வருடத்திற்குப் பிறகு கணக்கில் உள்ள தொகை பின்வருமாறு வெளிப்படுத்தப்படும்:
(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000
அதாவது, ஒவ்வொரு ஆண்டும் தொகை 1.06 மடங்கு அதிகரிக்கிறது. இதன் பொருள், 4 ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு கணக்கில் உள்ள நிதிகளின் அளவைக் கண்டுபிடிக்க, முன்னேற்றத்தின் நான்காவது உறுப்பைக் கண்டறிவது போதுமானது, இது 10 ஆயிரத்திற்கு சமமான முதல் உறுப்பு மற்றும் 1.06 க்கு சமமான வகுப்பால் வழங்கப்படுகிறது.
எஸ் = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625
தொகைகளைக் கணக்கிடுவதற்கான சிக்கல்களின் எடுத்துக்காட்டுகள்:
பல்வேறு சிக்கல்களில் வடிவியல் முன்னேற்றம் பயன்படுத்தப்படுகிறது. தொகையைக் கண்டறிவதற்கான உதாரணம் பின்வருமாறு கொடுக்கப்படலாம்:
அ 1 = 4, கே= 2, கணக்கிடுங்கள்எஸ் 5.
தீர்வு: கணக்கீட்டிற்கு தேவையான அனைத்து தரவும் அறியப்படுகிறது, நீங்கள் அவற்றை சூத்திரத்தில் மாற்ற வேண்டும்.
எஸ் 5 = 124
- அ 2 = 6, அ 3 = 18. முதல் ஆறு தனிமங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கணக்கிடவும்.
தீர்வு:
ஜியோமில். முன்னேற்றம், ஒவ்வொரு அடுத்த உறுப்பும் முந்தையதை விட q மடங்கு அதிகமாகும், அதாவது, நீங்கள் உறுப்பைத் தெரிந்து கொள்ள வேண்டிய தொகையைக் கணக்கிடஅ 1 மற்றும் வகுத்தல்கே.
அ 2 · கே = அ 3
கே = 3
இதேபோல், நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்அ 1 , தெரிந்துகொள்வதுஅ 2 மற்றும்கே.
அ 1 · கே = அ 2
a 1 =2
எஸ் 6 = 728.
ஜியோமெட்ரிக் முன்னேற்றம், எண்கணித முன்னேற்றத்துடன், 9 ஆம் வகுப்பில் பள்ளி இயற்கணிதம் படிப்பில் படிக்கப்படும் ஒரு முக்கியமான எண் தொடர் ஆகும். இந்த கட்டுரையில் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுப்பையும் அதன் மதிப்பு அதன் பண்புகளை எவ்வாறு பாதிக்கிறது என்பதையும் பார்ப்போம்.
வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வரையறை
முதலில், இந்த எண் தொடரின் வரையறையை வழங்குவோம். ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் என்பது பகுத்தறிவு எண்களின் தொடர் ஆகும், இது அதன் முதல் உறுப்பை வகுத்தல் எனப்படும் நிலையான எண்ணால் வரிசையாகப் பெருக்குவதன் மூலம் உருவாகிறது.
எடுத்துக்காட்டாக, தொடரில் உள்ள எண்கள் 3, 6, 12, 24, ... ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம், ஏனெனில் நீங்கள் 3 (முதல் உறுப்பு) ஐ 2 ஆல் பெருக்கினால், உங்களுக்கு 6 கிடைக்கும். நீங்கள் 6 ஐ 2 ஆல் பெருக்கினால், உங்களுக்கு கிடைக்கும் 12, மற்றும் பல.
பரிசீலனையில் உள்ள வரிசையின் உறுப்பினர்கள் வழக்கமாக ai என்ற குறியீட்டால் குறிக்கப்படுகின்றன, அங்கு i என்பது தொடரில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கும் ஒரு முழு எண்.
முன்னேற்றத்தின் மேலே உள்ள வரையறையை கணித மொழியில் பின்வருமாறு எழுதலாம்: an = bn-1 * a1, b என்பது வகுத்தல். இந்த சூத்திரத்தைச் சரிபார்ப்பது எளிது: n = 1 என்றால், b1-1 = 1, மற்றும் a1 = a1 எனப் பெறுவோம். n = 2 எனில், பின்னர் an = b * a1, மேலும் கேள்விக்குரிய எண்களின் தொடரின் வரையறைக்கு மீண்டும் வருவோம். n இன் பெரிய மதிப்புகளுக்கு இதே போன்ற காரணத்தை தொடரலாம்.
வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல்
முழு எண் தொடரின் தன்மை என்ன என்பதை b எண் முழுமையாக தீர்மானிக்கிறது. வகுத்தல் b நேர்மறை, எதிர்மறை அல்லது ஒன்றை விட அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ இருக்கலாம். மேலே உள்ள அனைத்து விருப்பங்களும் வெவ்வேறு வரிசைகளுக்கு வழிவகுக்கும்:
- b > 1. பகுத்தறிவு எண்களின் தொடர் அதிகரித்து வருகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, 1, 2, 4, 8, ... உறுப்பு a1 எதிர்மறையாக இருந்தால், முழு வரிசையும் முழுமையான மதிப்பில் மட்டுமே அதிகரிக்கும், ஆனால் எண்களின் அடையாளத்தைப் பொறுத்து குறையும்.
- b = 1. ஒரே மாதிரியான பகுத்தறிவு எண்களின் சாதாரண தொடர் இருப்பதால், பெரும்பாலும் இந்த வழக்கு முன்னேற்றம் என்று அழைக்கப்படுவதில்லை. உதாரணமாக, -4, -4, -4.
தொகைக்கான சூத்திரம்
நாம் பார்ப்பதற்கு முன் குறிப்பிட்ட பணிகள்பரிசீலனையில் உள்ள முன்னேற்ற வகையின் வகுப்பினைப் பயன்படுத்தி, அதன் முதல் n உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு ஒரு முக்கியமான சூத்திரம் கொடுக்கப்பட வேண்டும். சூத்திரம் போல் தெரிகிறது: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் சுழல்நிலை வரிசையை நீங்கள் கருத்தில் கொண்டால், இந்த வெளிப்பாட்டை நீங்களே பெறலாம். மேலே உள்ள சூத்திரத்தில் தன்னிச்சையான எண்ணிக்கையிலான சொற்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடிக்க முதல் உறுப்பு மற்றும் வகுப்பினை மட்டும் தெரிந்து கொண்டால் போதும் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.
முடிவில்லாமல் குறையும் வரிசை
அது என்ன என்பது பற்றிய விளக்கம் மேலே கொடுக்கப்பட்டது. இப்போது, Snக்கான சூத்திரத்தை அறிந்து, அதை இந்த எண் தொடருக்குப் பயன்படுத்துவோம். மாடுலஸ் 1 ஐ விட அதிகமாக இல்லாத எந்த எண்ணும் பெரிய சக்திகளுக்கு உயர்த்தப்படும்போது பூஜ்ஜியமாக மாறும், அதாவது b∞ => 0 என்றால் -1
பிரிவின் மதிப்பைப் பொருட்படுத்தாமல், வேறுபாடு (1 - b) எப்போதும் நேர்மறையாக இருக்கும் என்பதால், முடிவில்லாத குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றம் S∞ தொகையின் அடையாளம் அதன் முதல் உறுப்பு a1 இன் அடையாளத்தால் தனித்துவமாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது.
இப்போது பல சிக்கல்களைப் பார்ப்போம், அங்கு குறிப்பிட்ட எண்களில் வாங்கிய அறிவை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதைக் காண்பிப்போம்.
பணி எண் 1. முன்னேற்றம் மற்றும் தொகையின் அறியப்படாத கூறுகளின் கணக்கீடு
ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் கொடுக்கப்பட்டால், முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல் 2, மற்றும் அதன் முதல் உறுப்பு 3. அதன் 7வது மற்றும் 10வது சொற்கள் எதற்கு சமமாக இருக்கும், மேலும் அதன் ஏழு ஆரம்ப உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை என்ன?
சிக்கலின் நிலை மிகவும் எளிமையானது மற்றும் மேலே உள்ள சூத்திரங்களின் நேரடி பயன்பாட்டை உள்ளடக்கியது. எனவே, உறுப்பு எண் n ஐ கணக்கிட, நாம் ஒரு = bn-1 * a1 என்ற வெளிப்பாட்டைப் பயன்படுத்துகிறோம். 7 வது உறுப்புக்கு நம்மிடம் உள்ளது: a7 = b6 * a1, அறியப்பட்ட தரவை மாற்றுவதன் மூலம், நாம் பெறுகிறோம்: a7 = 26 * 3 = 192. 10 வது காலத்திற்கு நாங்கள் அதையே செய்கிறோம்: a10 = 29 * 3 = 1536.
கூட்டுத்தொகைக்கான நன்கு அறியப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம் மற்றும் தொடரின் முதல் 7 உறுப்புகளுக்கு இந்த மதிப்பைத் தீர்மானிப்போம். எங்களிடம் உள்ளது: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
சிக்கல் எண் 2. ஒரு முன்னேற்றத்தின் தன்னிச்சையான கூறுகளின் கூட்டுத்தொகையை தீர்மானித்தல்
-2 என்பது வடிவியல் முன்னேற்றம் bn-1 * 4 இன் வகுப்பிற்குச் சமமாக இருக்கட்டும், இங்கு n என்பது ஒரு முழு எண். இந்தத் தொடரின் 5 முதல் 10 வது உறுப்பு வரையிலான தொகையை தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம்.
அறியப்பட்ட சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி முன்வைக்கப்படும் சிக்கலை நேரடியாக தீர்க்க முடியாது. இது 2 வெவ்வேறு முறைகளைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்படலாம். தலைப்பின் முழுமைக்காக, நாங்கள் இரண்டையும் வழங்குகிறோம்.
முறை 1. யோசனை எளிதானது: முதல் சொற்களின் இரண்டு தொடர்புடைய தொகைகளை நீங்கள் கணக்கிட வேண்டும், பின்னர் ஒன்றிலிருந்து மற்றொன்றைக் கழிக்க வேண்டும். சிறிய தொகையை நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம்: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. இப்போது நாம் பெரிய தொகையை கணக்கிடுகிறோம்: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. கடைசி வெளிப்பாட்டில் 4 சொற்கள் மட்டுமே சுருக்கப்பட்டுள்ளன என்பதை நினைவில் கொள்க, ஏனெனில் சிக்கலின் நிலைமைகளுக்கு ஏற்ப கணக்கிட வேண்டிய தொகையில் 5 வது ஏற்கனவே சேர்க்கப்பட்டுள்ளது. இறுதியாக, நாம் வித்தியாசத்தை எடுத்துக்கொள்கிறோம்: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
முறை 2. எண்களை மாற்றுவதற்கும் எண்ணுவதற்கும் முன், கேள்விக்குரிய தொடரின் m மற்றும் n விதிமுறைகளுக்கு இடையே உள்ள தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பெறலாம். முறை 1 இல் உள்ளதைப் போலவே நாங்கள் செய்கிறோம், முதலில் தொகையின் குறியீட்டு பிரதிநிதித்துவத்துடன் மட்டுமே செயல்படுகிறோம். எங்களிடம் உள்ளது: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . நீங்கள் அறியப்பட்ட எண்களை விளைவான வெளிப்பாட்டில் மாற்றலாம் மற்றும் இறுதி முடிவைக் கணக்கிடலாம்: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
பிரச்சனை எண் 3. வகுத்தல் என்றால் என்ன?
a1 = 2, வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுப்பினைக் கண்டறியலாம், அதன் முடிவிலாத் தொகை 3 என்று வழங்கினால், இது எண்களின் குறைந்து வரும் தொடர் என்று அறியப்படுகிறது.
சிக்கலின் நிலைமைகளின் அடிப்படையில், அதைத் தீர்க்க எந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும் என்று யூகிப்பது கடினம் அல்ல. நிச்சயமாக, முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகை எண்ணற்ற அளவில் குறைகிறது. எங்களிடம் உள்ளது: S∞ = a1 / (1 - b). நாம் வகுப்பினை வெளிப்படுத்தும் இடத்திலிருந்து: b = 1 - a1 / S∞. அறியப்பட்ட மதிப்புகளை மாற்றுவதற்கும் தேவையான எண்ணைப் பெறுவதற்கும் இது உள்ளது: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 அல்லது -0.333(3). இந்த வகை வரிசைக்கு மாடுலஸ் b 1 க்கு மேல் செல்லக்கூடாது என்பதை நினைவில் கொண்டால், இந்த முடிவை தரமான முறையில் சரிபார்க்கலாம். பார்க்க முடியும், |-1 / 3|
பணி எண் 4. எண்களின் வரிசையை மீட்டமைத்தல்
ஒரு எண் தொடரின் 2 கூறுகள் கொடுக்கப்பட வேண்டும், எடுத்துக்காட்டாக, 5வது 30 க்கு சமம் மற்றும் 10வது 60 க்கு சமம். இந்த தரவுகளிலிருந்து முழு தொடரையும் மறுகட்டமைப்பது அவசியம், இது ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் பண்புகளை திருப்திப்படுத்துகிறது.
சிக்கலைத் தீர்க்க, நீங்கள் முதலில் ஒவ்வொரு அறியப்பட்ட சொல்லுக்கும் தொடர்புடைய வெளிப்பாட்டை எழுத வேண்டும். எங்களிடம் உள்ளது: a5 = b4 * a1 மற்றும் a10 = b9 * a1. இப்போது நாம் இரண்டாவது வெளிப்பாட்டை முதல் மூலம் வகுக்கிறோம், நாம் பெறுகிறோம்: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. இங்கிருந்து, சிக்கல் அறிக்கையிலிருந்து அறியப்பட்ட சொற்களின் விகிதத்தின் ஐந்தாவது மூலத்தை எடுத்து, b = 1.148698 மூலம் வகுப்பினைத் தீர்மானிக்கிறோம். அறியப்பட்ட உறுப்புக்கான வெளிப்பாடுகளில் ஒன்றின் விளைவாக வரும் எண்ணை மாற்றுகிறோம், நமக்கு கிடைக்கிறது: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.
இவ்வாறு, முன்னேற்றம் bn இன் வகுப்பினையும், வடிவியல் முன்னேற்றம் bn-1 * 17.2304966 = an, b = 1.148698 ஐயும் கண்டறிந்தோம்.
வடிவியல் முன்னேற்றங்கள் எங்கே பயன்படுத்தப்படுகின்றன?
இந்த எண் தொடரின் நடைமுறை பயன்பாடு இல்லை என்றால், அதன் ஆய்வு முற்றிலும் தத்துவார்த்த ஆர்வமாக குறைக்கப்படும். ஆனால் அத்தகைய பயன்பாடு உள்ளது.
மிகவும் பிரபலமான 3 எடுத்துக்காட்டுகள் கீழே உள்ளன:
- ஜீனோவின் முரண்பாடு, இதில் வேகமான அகில்லெஸ் மெதுவான ஆமையைப் பிடிக்க முடியாது, எண்களின் முடிவில்லாத குறையும் வரிசையின் கருத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்படுகிறது.
- ஒரு சதுரங்கப் பலகையின் ஒவ்வொரு சதுரத்திலும் கோதுமை தானியங்களை வைத்தால், 1 வது சதுரத்தில் 1 தானியங்கள், 2 - 2, 3 வது - 3, மற்றும் பலவற்றைப் போட்டால், பலகையின் அனைத்து சதுரங்களையும் நிரப்ப உங்களுக்குத் தேவைப்படும். 18446744073709551615 தானியங்கள்!
- "டவர் ஆஃப் ஹனோய்" விளையாட்டில், வட்டுகளை ஒரு தடியிலிருந்து மற்றொன்றுக்கு நகர்த்துவதற்கு, 2n - 1 செயல்பாடுகளைச் செய்வது அவசியம், அதாவது, அவற்றின் எண்ணிக்கை n பயன்படுத்தப்படும் வட்டுகளின் எண்ணிக்கையுடன் அதிவேகமாக வளர்கிறது.
கணிதம் என்றால் என்னமக்கள் இயற்கையையும் தங்களையும் கட்டுப்படுத்துகிறார்கள்.
சோவியத் கணிதவியலாளர், கல்வியாளர் ஏ.என். கோல்மோகோரோவ்
வடிவியல் முன்னேற்றம்.
கணிதத்தில் நுழைவுத் தேர்வுகளில் எண்கணித முன்னேற்றங்களில் உள்ள சிக்கல்களுடன், வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கருத்து தொடர்பான சிக்கல்களும் பொதுவானவை. இத்தகைய சிக்கல்களை வெற்றிகரமாக தீர்க்க, நீங்கள் வடிவியல் முன்னேற்றங்களின் பண்புகளை அறிந்து கொள்ள வேண்டும் மற்றும் அவற்றைப் பயன்படுத்துவதில் நல்ல திறன்களைக் கொண்டிருக்க வேண்டும்.
இந்த கட்டுரை வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் அடிப்படை பண்புகளை வழங்குவதற்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்டுள்ளது. வழக்கமான சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளும் இங்கே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன., கணிதத்தில் நுழைவுத் தேர்வுகளின் பணிகளில் இருந்து கடன் வாங்கப்பட்டது.
முதலில் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் அடிப்படை பண்புகளை கவனிப்போம் மற்றும் மிக முக்கியமான சூத்திரங்கள் மற்றும் அறிக்கைகளை நினைவுபடுத்துவோம், இந்த கருத்துடன் தொடர்புடையது.
வரையறை.ஒவ்வொரு எண்ணும், இரண்டாவது எண்ணிலிருந்து தொடங்கி, முந்தைய எண்ணுக்கு சமமாக, அதே எண்ணால் பெருக்கப்பட்டால், ஒரு எண் வரிசையானது வடிவியல் முன்னேற்றம் எனப்படும். எண் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல் என்று அழைக்கப்படுகிறது.
வடிவியல் முன்னேற்றத்திற்குசூத்திரங்கள் செல்லுபடியாகும்
, (1)
எங்கே . ஃபார்முலா (1) என்பது வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் பொதுவான சொல்லின் சூத்திரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் சூத்திரம் (2) வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முக்கிய சொத்தை குறிக்கிறது: முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு காலமும் அதன் அண்டை சொற்களின் வடிவியல் சராசரியுடன் ஒத்துப்போகிறது.
குறிப்பு, இந்தச் சொத்தின் காரணமாகவே கேள்விக்குரிய முன்னேற்றம் "வடிவியல்" என்று அழைக்கப்படுகிறது.
மேலே உள்ள சூத்திரங்கள் (1) மற்றும் (2) பின்வருமாறு பொதுமைப்படுத்தப்பட்டுள்ளன:
, (3)
தொகையை கணக்கிடமுதலில் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்கள்சூத்திரம் பொருந்தும்
நாம் குறிப்பது என்றால், பின்னர்
எங்கே . , சூத்திரம் (6) என்பது சூத்திரத்தின் (5) பொதுமைப்படுத்தலாகும்.
வழக்கில் எப்போது மற்றும் வடிவியல் முன்னேற்றம்முடிவில்லாமல் குறைந்து வருகிறது. தொகையை கணக்கிடஎல்லையற்ற குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் அனைத்து விதிமுறைகளிலும், சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படுகிறது
. (7)
உதாரணமாக, சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (7) காட்டலாம், என்ன
எங்கே . இந்த சமத்துவங்கள் சூத்திரம் (7) இலிருந்து , (முதல் சமத்துவம்) மற்றும் , (இரண்டாவது சமத்துவம்) என்ற நிபந்தனையின் கீழ் பெறப்படுகின்றன.
தேற்றம்.என்றால், பின்னர்
ஆதாரம். என்றால், பின்னர்
தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.
"வடிவியல் முன்னேற்றம்" என்ற தலைப்பில் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.
எடுத்துக்காட்டு 1.கொடுக்கப்பட்டது: , மற்றும் . கண்டுபிடி .
தீர்வு.நாம் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தினால் (5), பிறகு
பதில்: .
எடுத்துக்காட்டு 2.இருக்கட்டும். கண்டுபிடி .
தீர்வு.இருந்து மற்றும் , நாம் சூத்திரங்களை (5), (6) பயன்படுத்துகிறோம் மற்றும் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்
அமைப்பின் இரண்டாவது சமன்பாடு (9) முதல் ஆல் வகுக்கப்பட்டால், பின்னர் அல்லது. இதிலிருந்து இது பின்வருமாறு . இரண்டு நிகழ்வுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.
1. என்றால், பின்னர் கணினியின் முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து (9) நம்மிடம் உள்ளது.
2. என்றால் , பிறகு .
எடுத்துக்காட்டு 3.விடு , மற்றும் . கண்டுபிடி .
தீர்வு.சூத்திரத்திலிருந்து (2) அது பின்வருமாறு அல்லது . முதல் , பின்னர் அல்லது .
நிபந்தனையின் படி. எனினும், எனவே. மற்றும் பின்னர் இங்கே சமன்பாடுகளின் அமைப்பு உள்ளது
கணினியின் இரண்டாவது சமன்பாடு முதலில் வகுக்கப்பட்டால், அல்லது .
ஏனெனில், சமன்பாடு ஒரு தனித்துவமான பொருத்தமான மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது. இந்த வழக்கில், இது அமைப்பின் முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து பின்வருமாறு.
கணக்கு சூத்திரம் (7) எடுத்து, நாங்கள் பெறுகிறோம்.
பதில்: .
எடுத்துக்காட்டு 4.கொடுக்கப்பட்டது: மற்றும் . கண்டுபிடி .
தீர்வு.அப்போதிருந்து.
முதல், பின்னர் அல்லது
சூத்திரத்தின் படி (2) எங்களிடம் உள்ளது. இது சம்பந்தமாக, சமத்துவத்திலிருந்து (10) நாம் பெறுகிறோம் அல்லது .
இருப்பினும், நிபந்தனையின்படி, எனவே.
எடுத்துக்காட்டு 5.என்பது தெரிந்ததே. கண்டுபிடி .
தீர்வு. தேற்றத்தின்படி, நமக்கு இரண்டு சமத்துவங்கள் உள்ளன
முதல் , பின்னர் அல்லது . ஏனெனில் , அப்போது .
பதில்: .
எடுத்துக்காட்டு 6.கொடுக்கப்பட்டது: மற்றும் . கண்டுபிடி .
தீர்வு.கணக்கு சூத்திரம் (5) எடுத்து, நாங்கள் பெறுகிறோம்
அப்போதிருந்து. முதல் , மற்றும் , பின்னர் .
எடுத்துக்காட்டு 7.இருக்கட்டும். கண்டுபிடி .
தீர்வு.சூத்திரம் (1) படி நாம் எழுதலாம்
எனவே, எங்களிடம் உள்ளது அல்லது . அது அறியப்படுகிறது மற்றும் , எனவே மற்றும் .
பதில்: .
எடுத்துக்காட்டு 8.ஒரு எல்லையற்ற குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுப்பினைக் கண்டறிக
மற்றும் .
தீர்வு. சூத்திரம் (7) இலிருந்து பின்வருமாறுமற்றும் . இங்கிருந்து மற்றும் சிக்கலின் நிலைமைகளிலிருந்து நாம் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்
கணினியின் முதல் சமன்பாடு சதுரமாக இருந்தால், பின்னர் வரும் சமன்பாட்டை இரண்டாவது சமன்பாட்டால் வகுக்கவும், பிறகு நாம் பெறுவோம்
அல்லது .
பதில்: .
எடுத்துக்காட்டு 9.வரிசை , ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றமாக இருக்கும் அனைத்து மதிப்புகளையும் கண்டறியவும்.
தீர்வு.விடு , மற்றும் . வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முக்கிய சொத்தை வரையறுக்கும் சூத்திரம் (2) படி, நாம் எழுதலாம் அல்லது .
இங்கிருந்து நாம் இருபடி சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம், யாருடைய வேர்கள்மற்றும் .
சரிபார்ப்போம்: என்றால், பின்னர் , மற்றும்;
என்றால் , பின்னர் , மற்றும் .முதல் வழக்கில் எங்களிடம் உள்ளது
மற்றும் , மற்றும் இரண்டாவது - மற்றும் .
பதில்:,.எடுத்துக்காட்டு 10.
, (11)
சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்
எங்கே மற்றும்.
சூத்திரம் (7) இலிருந்து பின்வருமாறு, என்ன தீர்வு. சமன்பாட்டின் இடது பக்கம் (11) என்பது எல்லையற்ற குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகையாகும், இதில் மற்றும் , உட்பட்டது: மற்றும் .. இது சம்பந்தமாக, சமன்பாடு (11) வடிவம் எடுக்கிறது அல்லது . பொருத்தமான வேர்
பதில்: .
இருபடி சமன்பாடு ஆகும்எடுத்துக்காட்டு 11. பிநேர்மறை எண்களின் வரிசைஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தை உருவாக்குகிறது , ஏ- வடிவியல் முன்னேற்றம்
தீர்வு., மற்றும் இங்கே. கண்டுபிடி . ஏனெனில்எண்கணித வரிசை , அது (முக்கிய சொத்துஎண்கணித முன்னேற்றம்) இருந்து , பின்னர் அல்லது. இதிலிருந்து பின்வருமாறு,வடிவியல் முன்னேற்றத்திற்கு வடிவம் உள்ளது. சூத்திரத்தின்படி (2)
, பின்னர் அதை எழுதுகிறோம். முதல் மற்றும் , பின்னர். இந்த வழக்கில், வெளிப்பாடு வடிவம் எடுக்கிறது அல்லது. நிபந்தனையின் படி,எனவே Eq இலிருந்து.பரிசீலனையில் உள்ள பிரச்சினைக்கு ஒரு தனித்துவமான தீர்வைப் பெறுகிறோம்
பதில்: .
, அதாவது .எடுத்துக்காட்டு 12.
. (12)
தீர்வு. தொகையைக் கணக்கிடு
சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களையும் (12) 5 ஆல் பெருக்கி பெறவும்எண்கணித வரிசை
விளைந்த வெளிப்பாட்டிலிருந்து (12) கழித்தால்
அல்லது .
பதில்: .
கணக்கிட, மதிப்புகளை சூத்திரத்தில் (7) மாற்றுவோம் மற்றும் பெறுவோம். அப்போதிருந்து., நுழைவுத் தேர்வுகளுக்குத் தயாராகும் போது விண்ணப்பதாரர்களுக்கு இங்கே கொடுக்கப்பட்டுள்ள சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள் பயனுள்ளதாக இருக்கும். சிக்கலைத் தீர்க்கும் முறைகள் பற்றிய ஆழமான ஆய்வுக்கு, வடிவியல் முன்னேற்றத்துடன் தொடர்புடையது பயன்படுத்த முடியும்கற்பித்தல் உதவிகள்
பரிந்துரைக்கப்பட்ட இலக்கியங்களின் பட்டியலிலிருந்து.
1. கல்லூரிகளுக்கு விண்ணப்பிப்பவர்களுக்கான கணிதத்தில் உள்ள சிக்கல்களின் சேகரிப்பு / எட். எம்.ஐ. ஸ்கானாவி. – எம்.: மிர் மற்றும் கல்வி, 2013. – 608 பக். 2. சுப்ருன் வி.பி. உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர்களுக்கான கணிதம்: பள்ளி பாடத்திட்டத்தின் கூடுதல் பிரிவுகள். – எம்.: லெனாண்ட் / யுஆர்எஸ்எஸ்
, 2014. - 216 பக். 3. மெடின்ஸ்கி எம்.எம். சிக்கல்கள் மற்றும் பயிற்சிகளில் அடிப்படைக் கணிதத்தின் முழுமையான பாடநெறி. புத்தகம் 2: எண் வரிசைகள் மற்றும் முன்னேற்றங்கள். – எம்.: எடிடஸ்
, 2015. – 208 பக்.
இன்னும் கேள்விகள் உள்ளதா?
ஆசிரியரின் உதவியைப் பெற, பதிவு செய்யவும்.
இணையதளத்தில், உள்ளடக்கத்தை முழுமையாகவோ அல்லது பகுதியாகவோ நகலெடுக்கும்போது, மூலத்திற்கான இணைப்பு தேவை.
நீங்கள் எந்த எண்களையும் எழுதலாம், மேலும் நீங்கள் விரும்பும் அளவுக்கு அவற்றில் பல இருக்கலாம் (எங்கள் விஷயத்தில், அவை உள்ளன). நாம் எத்தனை எண்களை எழுதினாலும், எது முதலில், எது இரண்டாவது என்று எப்போதும் சொல்லலாம், கடைசி வரை, அதாவது அவற்றை எண்ணலாம். எண் வரிசைக்கு இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு:
எண் வரிசைஎண்களின் தொகுப்பாகும், ஒவ்வொன்றும் ஒரு தனிப்பட்ட எண்ணை ஒதுக்கலாம்.
எடுத்துக்காட்டாக, எங்கள் வரிசைக்கு:
ஒதுக்கப்பட்ட எண் வரிசையில் உள்ள ஒரு எண்ணுக்கு மட்டுமே குறிப்பிட்டது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், வரிசையில் மூன்று வினாடி எண்கள் இல்லை. இரண்டாவது எண் (வது எண் போன்றது) எப்போதும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்.
எண்ணைக் கொண்ட எண் வரிசையின் n வது உறுப்பினர் என்று அழைக்கப்படுகிறது.
நாம் வழக்கமாக முழு வரிசையையும் ஏதேனும் ஒரு எழுத்து மூலம் அழைக்கிறோம் (உதாரணமாக,), இந்த வரிசையின் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும் இந்த உறுப்பினரின் எண்ணிக்கைக்கு சமமான குறியீட்டுடன் ஒரே கடிதம்: .
எங்கள் விஷயத்தில்:
முன்னேற்றத்தின் மிகவும் பொதுவான வகைகள் எண்கணிதம் மற்றும் வடிவியல் ஆகும். இந்த தலைப்பில் நாம் இரண்டாவது வகை பற்றி பேசுவோம் - வடிவியல் முன்னேற்றம்.
ஏன் வடிவியல் முன்னேற்றம் மற்றும் அதன் வரலாறு தேவை?
பண்டைய காலங்களில் கூட, இத்தாலிய கணிதவியலாளர் துறவியான பிசாவின் லியோனார்டோ (பிபோனச்சி என்று அழைக்கப்படுபவர்) வர்த்தகத்தின் நடைமுறைத் தேவைகளைக் கையாண்டார். துறவி ஒரு பொருளை எடைபோட பயன்படுத்தக்கூடிய மிகச்சிறிய எடைகள் என்ன என்பதை தீர்மானிக்கும் பணியை எதிர்கொண்டார்? ஃபிபோனச்சி தனது படைப்புகளில், அத்தகைய எடை அமைப்பு உகந்தது என்பதை நிரூபிக்கிறது: மக்கள் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தை எதிர்கொள்ள வேண்டிய முதல் சூழ்நிலைகளில் இதுவும் ஒன்றாகும், இது நீங்கள் ஏற்கனவே கேள்விப்பட்டிருக்கலாம் மற்றும் குறைந்தபட்சம் இருக்கலாம். பொதுவான கருத்து. நீங்கள் தலைப்பை முழுமையாகப் புரிந்துகொண்டவுடன், அத்தகைய அமைப்பு ஏன் உகந்தது என்று யோசித்துப் பாருங்கள்?
தற்போது, வாழ்க்கை நடைமுறையில், வங்கியில் பணத்தை முதலீடு செய்யும் போது வடிவியல் முன்னேற்றம் தன்னை வெளிப்படுத்துகிறது, முந்தைய காலத்திற்கான கணக்கில் திரட்டப்பட்ட தொகையில் வட்டி அளவு திரட்டப்படும் போது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், நீங்கள் சேமிப்பு வங்கியில் நேர வைப்புத்தொகையில் பணத்தை வைத்தால், ஒரு வருடத்திற்குப் பிறகு வைப்புத்தொகை அசல் தொகையால் அதிகரிக்கும், அதாவது. புதிய தொகை பங்களிப்பை பெருக்குவதற்கு சமமாக இருக்கும். மற்றொரு ஆண்டில், இந்தத் தொகை அதிகரிக்கும், அதாவது. அந்த நேரத்தில் பெறப்பட்ட தொகை மீண்டும் பெருக்கப்படும் மற்றும் பல. அழைக்கப்படுவதைக் கணக்கிடுவதில் உள்ள சிக்கல்களில் இதேபோன்ற சூழ்நிலை விவரிக்கப்பட்டுள்ளது கூட்டு வட்டி- முந்தைய வட்டியை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, கணக்கில் உள்ள தொகையிலிருந்து ஒவ்வொரு முறையும் சதவீதம் எடுக்கப்படுகிறது. இந்த பணிகளைப் பற்றி சிறிது நேரம் கழித்து பேசுவோம்.
வடிவியல் முன்னேற்றம் பயன்படுத்தப்படும் இன்னும் பல எளிய வழக்குகள் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, இன்ஃப்ளூயன்ஸாவின் பரவல்: ஒரு நபர் மற்றொரு நபரைத் தொற்றினார், அவர் மற்றொரு நபரைப் பாதித்தார், இதனால் இரண்டாவது அலை தொற்று ஒரு நபருக்கு ஏற்படுகிறது, மேலும் அவர்கள் மற்றொருவருக்கு தொற்று... மற்றும் பல. .
மூலம், ஒரு நிதி பிரமிடு, அதே MMM, ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் பண்புகளை அடிப்படையாகக் கொண்ட ஒரு எளிய மற்றும் உலர் கணக்கீடு ஆகும். சுவாரஸ்யமானதா? அதை கண்டுபிடிக்கலாம்.
வடிவியல் முன்னேற்றம்.
எங்களிடம் ஒரு எண் வரிசை உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம்:
இது எளிதானது மற்றும் அத்தகைய வரிசையின் பெயர் அதன் உறுப்பினர்களின் வித்தியாசத்துடன் உள்ளது என்று நீங்கள் உடனடியாக பதிலளிப்பீர்கள். இது எப்படி:
முந்தைய எண்ணை அடுத்த எண்ணிலிருந்து கழித்தால், ஒவ்வொரு முறையும் நீங்கள் புதிய வித்தியாசத்தைப் பெறுவதைக் காண்பீர்கள் (மற்றும் பல), ஆனால் வரிசை நிச்சயமாக உள்ளது மற்றும் கவனிக்க எளிதானது - ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த எண்ணும் முந்தையதை விட மடங்கு பெரியது!
இந்த வகை எண் வரிசை அழைக்கப்படுகிறது வடிவியல் முன்னேற்றம்மற்றும் நியமிக்கப்பட்டுள்ளது.
ஜியோமெட்ரிக் முன்னேற்றம் () என்பது ஒரு எண் வரிசையாகும், இதன் முதல் சொல் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது, மேலும் ஒவ்வொரு காலமும், இரண்டாவதிலிருந்து தொடங்கி, முந்தையதற்கு சமமாக, அதே எண்ணால் பெருக்கப்படுகிறது. இந்த எண் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல் என்று அழைக்கப்படுகிறது.
முதல் சொல் ( ) சமமாக இல்லை மற்றும் சீரற்றதாக இல்லாத கட்டுப்பாடுகள். எதுவும் இல்லை என்று வைத்துக்கொள்வோம், முதல் சொல் இன்னும் சமம், மற்றும் q என்பது சமம்.
இது இனி ஒரு முன்னேற்றம் அல்ல என்பதை ஒப்புக்கொள்.
நீங்கள் புரிந்து கொண்டபடி, பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர வேறு ஏதேனும் எண் இருந்தால் அதே முடிவுகளைப் பெறுவோம், a. இந்த சந்தர்ப்பங்களில், எந்த முன்னேற்றமும் இருக்காது, ஏனெனில் முழு எண் வரிசையும் அனைத்து பூஜ்ஜியங்களாகவோ அல்லது ஒரு எண்ணாகவோ இருக்கும், மீதமுள்ளவை அனைத்தும் பூஜ்ஜியங்களாக இருக்கும்.
இப்போது வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுப்பினைப் பற்றி மேலும் விரிவாகப் பேசலாம், அதாவது ஓ.
மீண்டும் சொல்கிறோம்: - இது எண் ஒவ்வொரு அடுத்த காலமும் எத்தனை முறை மாறும்?வடிவியல் முன்னேற்றம்.
அது என்னவாக இருக்கும் என்று நினைக்கிறீர்கள்? அது சரி, நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை, ஆனால் பூஜ்ஜியம் அல்ல (நாங்கள் இதைப் பற்றி கொஞ்சம் அதிகமாகப் பேசினோம்).
நம்முடையது நேர்மறை என்று வைத்துக் கொள்வோம். எங்கள் விஷயத்தில், ஏ. இரண்டாவது காலத்தின் மதிப்பு என்ன மற்றும்? நீங்கள் எளிதாக பதிலளிக்கலாம்:
அது சரிதான். அதன்படி, முன்னேற்றத்தின் அனைத்து அடுத்தடுத்த விதிமுறைகளும் ஒரே அடையாளமாக இருந்தால் - அவை நேர்மறையானவை.
எதிர்மறையாக இருந்தால் என்ன செய்வது? உதாரணமாக, ஏ. இரண்டாவது காலத்தின் மதிப்பு என்ன மற்றும்?
இது முற்றிலும் மாறுபட்ட கதை
இந்த முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளை எண்ண முயற்சிக்கவும். உங்களுக்கு எவ்வளவு கிடைத்தது? என்னிடம் உள்ளது. இவ்வாறு, என்றால், வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் அறிகுறிகள் மாறி மாறி வருகின்றன. அதாவது, அதன் உறுப்பினர்களுக்கான மாற்று அறிகுறிகளுடன் ஒரு முன்னேற்றத்தைக் கண்டால், அதன் வகுத்தல் எதிர்மறையாக இருக்கும். இந்தத் தலைப்பில் உள்ள சிக்கல்களைத் தீர்க்கும்போது உங்களை நீங்களே சோதிக்க இந்த அறிவு உங்களுக்கு உதவும்.
இப்போது கொஞ்சம் பயிற்சி செய்வோம்: எந்த எண் வரிசைகள் வடிவியல் முன்னேற்றம் மற்றும் எண்கணித முன்னேற்றம் என்பதை தீர்மானிக்க முயற்சிக்கவும்:
புரிந்ததா? எங்கள் பதில்களை ஒப்பிடுவோம்:
- வடிவியல் முன்னேற்றம் - 3, 6.
- எண்கணித முன்னேற்றம் - 2, 4.
- இது ஒரு எண்கணிதமோ அல்லது வடிவியல் முன்னேற்றமோ அல்ல - 1, 5, 7.
எங்கள் கடைசி முன்னேற்றத்திற்குத் திரும்பி, எண்கணிதத்தைப் போலவே அதன் உறுப்பினரைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சிப்போம். நீங்கள் யூகித்தபடி, அதைக் கண்டுபிடிக்க இரண்டு வழிகள் உள்ளன.
ஒவ்வொரு சொல்லையும் தொடர்ச்சியாகப் பெருக்குகிறோம்.
எனவே, விவரிக்கப்பட்ட வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வது சொல் சமம்.
நீங்கள் ஏற்கனவே யூகித்தபடி, வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் எந்த உறுப்பினரையும் கண்டுபிடிக்க உதவும் சூத்திரத்தை நீங்களே உருவாக்குவீர்கள். அல்லது வது உறுப்பினரை படிப்படியாகக் கண்டுபிடிப்பது எப்படி என்பதை விவரித்து, உங்களுக்காக ஏற்கனவே உருவாக்கியுள்ளீர்களா? அப்படியானால், உங்கள் நியாயத்தின் சரியான தன்மையை சரிபார்க்கவும்.
இந்த முன்னேற்றத்தின் வது காலத்தை கண்டுபிடிப்பதற்கான உதாரணத்துடன் இதை விளக்குவோம்:
வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால்:
கொடுக்கப்பட்ட வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் காலத்தின் மதிப்பை நீங்களே கண்டறியவும்.
அது வேலை செய்ததா? எங்கள் பதில்களை ஒப்பிடுவோம்:
வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு முந்தைய காலத்தையும் வரிசையாகப் பெருக்கும்போது, முந்தைய முறையில் இருந்த அதே எண்ணைப் பெற்றுள்ளீர்கள் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.
இந்த சூத்திரத்தை "தனிப்பயனாக்க" முயற்சிப்போம் - அதை பொதுவான வடிவத்தில் வைத்து பெறுவோம்:
பெறப்பட்ட சூத்திரம் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் உண்மை - நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை. பின்வரும் நிபந்தனைகளுடன் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளைக் கணக்கிடுவதன் மூலம் இதை நீங்களே சரிபார்க்கவும்: , a.
நீங்கள் எண்ணினீர்களா? முடிவுகளை ஒப்பிடுவோம்:
ஒரு சொல்லைப் போலவே ஒரு முன்னேற்றத்தின் காலத்தையும் கண்டுபிடிக்க முடியும் என்பதை ஒப்புக்கொள், இருப்பினும், தவறாகக் கணக்கிடுவதற்கான வாய்ப்பு உள்ளது. வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வது வார்த்தையை நாம் ஏற்கனவே கண்டுபிடித்திருந்தால், சூத்திரத்தின் "துண்டிக்கப்பட்ட" பகுதியைப் பயன்படுத்துவதை விட எளிமையானது எதுவாக இருக்கும்.
வடிவியல் முன்னேற்றம் முடிவில்லாமல் குறைகிறது.
மிக சமீபத்தில், இது பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ இருக்கலாம் என்ற உண்மையைப் பற்றி பேசினோம், இருப்பினும், வடிவியல் முன்னேற்றம் என்று அழைக்கப்படும் சிறப்பு மதிப்புகள் உள்ளன. முடிவில்லாமல் குறைகிறது.
இந்த பெயர் ஏன் கொடுக்கப்பட்டது என்று நினைக்கிறீர்கள்?
முதலில், சொற்களைக் கொண்ட சில வடிவியல் முன்னேற்றத்தை எழுதுவோம்.
அப்படியானால் சொல்லலாம்:
ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த காலமும் ஒரு காரணி மூலம் முந்தையதை விட குறைவாக இருப்பதைக் காண்கிறோம், ஆனால் ஏதேனும் எண் இருக்குமா? நீங்கள் உடனடியாக "இல்லை" என்று பதிலளிப்பீர்கள். அதனால்தான் அது முடிவில்லாமல் குறைகிறது - அது குறைகிறது மற்றும் குறைகிறது, ஆனால் பூஜ்ஜியமாக மாறாது.
இது பார்வைக்கு எப்படித் தெரிகிறது என்பதைத் தெளிவாகப் புரிந்துகொள்ள, நமது முன்னேற்றத்தின் வரைபடத்தை வரைய முயற்சிப்போம். எனவே, எங்கள் விஷயத்தில், சூத்திரம் பின்வரும் வடிவத்தை எடுக்கும்:
வரைபடங்களில் நாம் சார்ந்திருப்பதைத் திட்டமிடுவதற்குப் பழகிவிட்டோம், எனவே:
வெளிப்பாட்டின் சாராம்சம் மாறவில்லை: முதல் பதிவில், வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினரின் மதிப்பை அதன் வரிசை எண்ணின் மீது சார்ந்திருப்பதைக் காட்டினோம், இரண்டாவது பதிவில், வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினரின் மதிப்பை எடுத்துக் கொண்டோம். , மற்றும் ஆர்டினல் எண்ணை இவ்வாறு அல்ல, ஆனால் என நியமிக்கப்பட்டது. செய்ய வேண்டியது எல்லாம் ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவதுதான்.
உங்களுக்கு என்ன கிடைத்தது என்று பார்ப்போம். நான் கொண்டு வந்த வரைபடம் இதோ:
நீங்கள் பார்க்கிறீர்களா? செயல்பாடு குறைகிறது, பூஜ்ஜியத்தை நோக்கி செல்கிறது, ஆனால் அதை ஒருபோதும் கடக்காது, எனவே அது முடிவில்லாமல் குறைகிறது. வரைபடத்தில் எங்கள் புள்ளிகளைக் குறிப்போம், அதே நேரத்தில் ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் பொருள் என்ன:
அதன் முதல் காலமும் சமமாக இருந்தால், வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வரைபடத்தை திட்டவட்டமாக சித்தரிக்க முயற்சிக்கவும். நமது முந்தைய வரைபடத்திற்கும் என்ன வித்தியாசம் என்பதை பகுப்பாய்வு செய்யுங்கள்?
சமாளித்தாயா? நான் கொண்டு வந்த வரைபடம் இதோ:
வடிவியல் முன்னேற்றம் என்ற தலைப்பின் அடிப்படைகளை இப்போது நீங்கள் முழுமையாகப் புரிந்துகொண்டுள்ளீர்கள்: அது என்னவென்று உங்களுக்குத் தெரியும், அதன் சொல்லை எப்படிக் கண்டுபிடிப்பது என்பது உங்களுக்குத் தெரியும், மேலும் முடிவில்லாமல் குறைந்துவரும் வடிவியல் முன்னேற்றம் என்னவென்று உங்களுக்குத் தெரியும், அதன் முக்கிய சொத்துக்கு செல்லலாம்.
வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் சொத்து.
எண்கணித முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் சொத்து உங்களுக்கு நினைவிருக்கிறதா? ஆம், ஆம், இந்த முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் முந்தைய மற்றும் அடுத்தடுத்த மதிப்புகள் இருக்கும்போது ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான முன்னேற்றத்தின் மதிப்பை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது. உங்களுக்கு நினைவிருக்கிறதா? இதோ:
வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளுக்கு இப்போது நாம் அதே கேள்வியை எதிர்கொள்கிறோம். அத்தகைய சூத்திரத்தைப் பெற, வரைதல் மற்றும் தர்க்கம் செய்ய ஆரம்பிக்கலாம். நீங்கள் பார்ப்பீர்கள், இது மிகவும் எளிதானது, நீங்கள் மறந்துவிட்டால், அதை நீங்களே வெளியேற்றலாம்.
மற்றொரு எளிய வடிவியல் முன்னேற்றத்தை எடுத்துக் கொள்வோம், அதில் நமக்குத் தெரியும். எப்படி கண்டுபிடிப்பது? எண்கணித முன்னேற்றத்துடன் இது எளிதானது மற்றும் எளிமையானது, ஆனால் இங்கே என்ன? உண்மையில், வடிவவியலில் சிக்கலான எதுவும் இல்லை - சூத்திரத்தின்படி எங்களுக்கு வழங்கப்பட்ட ஒவ்வொரு மதிப்பையும் நீங்கள் எழுத வேண்டும்.
இதற்கு நாம் இப்போது என்ன செய்ய வேண்டும் என்று நீங்கள் கேட்கலாம். ஆம், மிகவும் எளிமையானது. முதலில், இந்த சூத்திரங்களை ஒரு படத்தில் சித்தரிப்போம், மதிப்பை அடைய அவற்றைக் கொண்டு பல்வேறு கையாளுதல்களைச் செய்ய முயற்சிப்போம்.
நமக்குக் கொடுக்கப்பட்ட எண்களிலிருந்து சுருக்கமாக, சூத்திரத்தின் மூலம் அவற்றின் வெளிப்பாட்டில் மட்டுமே கவனம் செலுத்துவோம். ஆரஞ்சு நிறத்தில் முன்னிலைப்படுத்தப்பட்ட மதிப்பை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், அதை ஒட்டிய சொற்களை அறிந்து கொள்ள வேண்டும். அவர்களுடன் பல்வேறு செயல்களைச் செய்ய முயற்சிப்போம், இதன் விளைவாக நாம் பெறலாம்.
கூட்டல்.
இரண்டு வெளிப்பாடுகளைச் சேர்க்க முயற்சிப்போம், நாங்கள் பெறுகிறோம்:
இந்த வெளிப்பாட்டிலிருந்து, நீங்கள் பார்க்கிறபடி, அதை எந்த வகையிலும் வெளிப்படுத்த முடியாது, எனவே, நாங்கள் மற்றொரு விருப்பத்தை முயற்சிப்போம் - கழித்தல்.
கழித்தல்.
நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, எங்களால் இதை வெளிப்படுத்த முடியாது, எனவே, இந்த வெளிப்பாடுகளை ஒருவருக்கொருவர் பெருக்க முயற்சிப்போம்.
பெருக்கல்.
இப்போது கண்டுபிடிக்க வேண்டியவற்றுடன் ஒப்பிடுகையில், நமக்கு வழங்கப்பட்ட வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளைப் பெருக்குவதன் மூலம் நம்மிடம் இருப்பதை கவனமாகப் பாருங்கள்:
நான் எதைப் பற்றி பேசுகிறேன் என்று யூகிக்கவா? சரியாக, கண்டுபிடிக்க, நாம் விரும்பிய ஒன்றின் அடுத்துள்ள வடிவியல் முன்னேற்ற எண்களின் வர்க்க மூலத்தை ஒன்றோடொன்று பெருக்க வேண்டும்:
இதோ போ. வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் சொத்தை நீங்களே பெற்றுக் கொண்டீர்கள். இந்த சூத்திரத்தை எழுத முயற்சிக்கவும் பொதுவான பார்வை. அது வேலை செய்ததா?
நிபந்தனை மறந்துவிட்டதா? இது ஏன் முக்கியமானது என்பதைப் பற்றி சிந்தியுங்கள், எடுத்துக்காட்டாக, அதை நீங்களே கணக்கிட முயற்சிக்கவும். இந்த வழக்கில் என்ன நடக்கும்? அது சரி, முழு முட்டாள்தனம், ஏனெனில் சூத்திரம் இதுபோல் தெரிகிறது:
அதன்படி, இந்த வரம்பை மறந்துவிடாதீர்கள்.
இப்போது அது சமம் என்பதை கணக்கிடுவோம்
சரியான பதில்! கணக்கீட்டின் போது சாத்தியமான இரண்டாவது மதிப்பை நீங்கள் மறக்கவில்லை என்றால், நீங்கள் சிறந்தவர், உடனடியாக பயிற்சிக்கு செல்லலாம், மறந்துவிட்டால், கீழே விவாதிக்கப்பட்டதைப் படித்து, இரண்டு வேர்களையும் ஏன் எழுத வேண்டும் என்பதைக் கவனியுங்கள். பதில்.
நமது இரண்டு வடிவியல் முன்னேற்றங்களையும் வரைவோம் - ஒன்று மதிப்புடனும் மற்றொன்று மதிப்புடனும் வரைந்து, இரண்டுக்கும் இருப்பதற்கான உரிமை உள்ளதா எனச் சரிபார்க்கவும்:
அத்தகைய வடிவியல் முன்னேற்றம் உள்ளதா இல்லையா என்பதைச் சரிபார்க்க, கொடுக்கப்பட்ட அனைத்து விதிமுறைகளும் ஒரே மாதிரியானதா என்பதைப் பார்க்க வேண்டியது அவசியமா? முதல் மற்றும் இரண்டாவது நிகழ்வுகளுக்கு qஐக் கணக்கிடவும்.
நாம் ஏன் இரண்டு பதில்களை எழுத வேண்டும் என்று பாருங்கள்? ஏனென்றால் நீங்கள் தேடும் காலத்தின் அடையாளம் அது நேர்மறையா எதிர்மறையா என்பதைப் பொறுத்தது! அது என்னவென்று எங்களுக்குத் தெரியாததால், இரண்டு பதில்களையும் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் மூலம் எழுத வேண்டும்.
இப்போது நீங்கள் முக்கிய புள்ளிகளில் தேர்ச்சி பெற்றுள்ளீர்கள் மற்றும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் பண்புக்கான சூத்திரத்தைப் பெற்றுள்ளீர்கள், கண்டுபிடிக்கவும், தெரிந்து கொள்ளவும் மற்றும்
உங்கள் பதில்களை சரியானவற்றுடன் ஒப்பிடுக:
நீங்கள் என்ன நினைக்கிறீர்கள், விரும்பிய எண்ணுக்கு அருகிலுள்ள வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் மதிப்புகள் வழங்கப்படவில்லை, ஆனால் அதிலிருந்து சமமானதாக இருந்தால் என்ன செய்வது. உதாரணமாக, நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட மற்றும். இந்த வழக்கில் நாம் பெறப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாமா? இந்த வாய்ப்பை உறுதிப்படுத்த அல்லது மறுக்க முயற்சிக்கவும், ஒவ்வொரு மதிப்பும் எதைக் கொண்டுள்ளது என்பதை விவரிக்கவும், நீங்கள் முதலில் சூத்திரத்தைப் பெறும்போது செய்ததைப் போல.
உனக்கு என்ன கிடைத்தது?
இப்போது மீண்டும் கவனமாக பாருங்கள்.
மற்றும், அதன்படி:
இதிலிருந்து சூத்திரம் செயல்படுகிறது என்று நாம் முடிவு செய்யலாம் அண்டை நாடுகளுடன் மட்டுமல்லவடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விரும்பிய விதிமுறைகளுடன், ஆனால் உடன் சம தூரம்உறுப்பினர்கள் என்ன தேடுகிறார்கள்.
எனவே, எங்கள் ஆரம்ப சூத்திரம் வடிவம் பெறுகிறது:
அதாவது, முதல் வழக்கில் நாம் அப்படிச் சொன்னால், இப்போது அது எதற்கும் சமமாக இருக்கலாம் என்று சொல்கிறோம் இயற்கை எண், இது சிறியது. முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு எண்களுக்கும் இது ஒன்றுதான்.
குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டுகளுடன் பயிற்சி செய்யுங்கள், மிகவும் கவனமாக இருங்கள்!
- , . கண்டுபிடி.
- , . கண்டுபிடி.
- , . கண்டுபிடி.
முடிவு செய்ததா? நீங்கள் மிகவும் கவனமாக இருந்தீர்கள் மற்றும் ஒரு சிறிய பிடிப்பை கவனித்தீர்கள் என்று நம்புகிறேன்.
முடிவுகளை ஒப்பிட்டுப் பார்ப்போம்.
முதல் இரண்டு நிகழ்வுகளில், மேலே உள்ள சூத்திரத்தை நாங்கள் அமைதியாகப் பயன்படுத்துகிறோம் மற்றும் பின்வரும் மதிப்புகளைப் பெறுகிறோம்:
மூன்றாவது வழக்கில், நமக்குக் கொடுக்கப்பட்ட எண்களின் வரிசை எண்களை கவனமாக ஆராய்ந்தால், அவை நாம் தேடும் எண்ணிலிருந்து சமமான தொலைவில் இல்லை என்பதை நாங்கள் புரிந்துகொள்கிறோம்: இது முந்தைய எண், ஆனால் ஒரு நிலையில் அகற்றப்பட்டது, எனவே அது சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த முடியாது.
அதை எப்படி தீர்ப்பது? இது உண்மையில் தோன்றுவது போல் கடினம் அல்ல! நமக்குக் கொடுக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு எண்ணும், நாம் தேடும் எண்ணும் என்ன என்பதை எழுதுவோம்.
எனவே நாம் மற்றும். நாம் அவர்களை என்ன செய்ய முடியும் என்று பார்ப்போம்? மூலம் பிரிக்க பரிந்துரைக்கிறேன். நாங்கள் பெறுகிறோம்:
நாங்கள் எங்கள் தரவை சூத்திரத்தில் மாற்றுகிறோம்:
நாம் கண்டுபிடிக்கக்கூடிய அடுத்த படி - இதற்காக நாம் விளைந்த எண்ணின் கனசதுர மூலத்தை எடுக்க வேண்டும்.
இப்போது நம்மிடம் இருப்பதை மீண்டும் பார்ப்போம். எங்களிடம் உள்ளது, ஆனால் நாம் அதைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், மேலும் அது சமமாக இருக்கும்:
கணக்கீட்டிற்கு தேவையான அனைத்து தரவையும் நாங்கள் கண்டறிந்தோம். சூத்திரத்தில் மாற்றவும்:
எங்கள் பதில்: .
இதேபோன்ற மற்றொரு சிக்கலை நீங்களே தீர்க்க முயற்சிக்கவும்:
கொடுக்கப்பட்டது:,
கண்டுபிடி:
உங்களுக்கு எவ்வளவு கிடைத்தது? என்னிடம் உள்ளது - .
நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அடிப்படையில் உங்களுக்குத் தேவை ஒரே ஒரு சூத்திரத்தை நினைவில் கொள்ளுங்கள்- . எந்த நேரத்திலும் சிரமமின்றி மீதமுள்ள அனைத்தையும் நீங்களே திரும்பப் பெறலாம். இதைச் செய்ய, மேலே விவரிக்கப்பட்ட சூத்திரத்தின்படி, எளிமையான வடிவியல் முன்னேற்றத்தை ஒரு காகிதத்தில் எழுதி, அதன் ஒவ்வொரு எண்களும் சமமானவை என்பதை எழுதுங்கள்.
வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகை.
கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் சொற்களின் கூட்டுத்தொகையை விரைவாகக் கணக்கிட அனுமதிக்கும் சூத்திரங்களைப் பார்ப்போம்:
வரையறுக்கப்பட்ட வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் சொற்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பெற, மேலே உள்ள சமன்பாட்டின் அனைத்து பகுதிகளையும் பெருக்கவும். நாங்கள் பெறுகிறோம்:
கவனமாகப் பாருங்கள்: கடைசி இரண்டு சூத்திரங்கள் பொதுவானவை என்ன? அது சரி, பொதுவான உறுப்பினர்கள், எடுத்துக்காட்டாக, மற்றும் பல, முதல் மற்றும் கடைசி உறுப்பினர் தவிர. 2 வது சமன்பாட்டிலிருந்து 1 ஐக் கழிக்க முயற்சிப்போம். உனக்கு என்ன கிடைத்தது?
இப்போது வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் காலத்தை சூத்திரத்தின் மூலம் வெளிப்படுத்தவும், அதன் விளைவாக வரும் வெளிப்பாட்டை எங்கள் கடைசி சூத்திரத்தில் மாற்றவும்:
வெளிப்பாட்டைக் குழுவாக்கு. நீங்கள் பெற வேண்டும்:
செய்ய வேண்டியது எல்லாம் வெளிப்படுத்துவதுதான்:
அதன்படி, இந்த வழக்கில்.
என்றால் என்ன? பிறகு என்ன சூத்திரம் வேலை செய்கிறது? ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தை கற்பனை செய்து பாருங்கள். அவள் எப்படிப்பட்டவள்? ஒரே மாதிரியான எண்களின் தொடர் சரியானது, எனவே சூத்திரம் இப்படி இருக்கும்:
எண்கணிதம் மற்றும் வடிவியல் முன்னேற்றம் பற்றி பல புராணக்கதைகள் உள்ளன. அவற்றில் ஒன்று சதுரங்கத்தை உருவாக்கிய செட்டின் புராணக்கதை.
செஸ் விளையாட்டு இந்தியாவில் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது என்பது பலருக்கும் தெரியும். இந்து மன்னன் அவளைச் சந்தித்தபோது, அவளுடைய புத்திசாலித்தனம் மற்றும் அவளில் சாத்தியமான பல்வேறு நிலைகள் ஆகியவற்றால் அவர் மகிழ்ச்சியடைந்தார். இது அவரது குடிமக்களில் ஒருவரால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது என்பதை அறிந்த மன்னர், அவருக்கு தனிப்பட்ட முறையில் வெகுமதி அளிக்க முடிவு செய்தார். அவர் கண்டுபிடிப்பாளரைத் தானே வரவழைத்து, அவர் விரும்பும் அனைத்தையும் அவரிடம் கேட்கும்படி கட்டளையிட்டார், மிகவும் திறமையான விருப்பத்தை கூட நிறைவேற்றுவதாக உறுதியளித்தார்.
செட்டா சிந்திக்க நேரம் கேட்டார், அடுத்த நாள் சேட்டா ராஜா முன் தோன்றியபோது, அவரது கோரிக்கையின் முன்னோடியில்லாத அடக்கத்துடன் ராஜாவை ஆச்சரியப்படுத்தினார். சதுரங்கப் பலகையின் முதல் சதுரத்திற்கு ஒரு கோதுமை தானியமும், இரண்டாவதாக ஒரு கோதுமை தானியமும், மூன்றாவதாக ஒரு கோதுமை தானியமும், நான்காவது தானியமும் கொடுக்கச் சொன்னார்.
மன்னன் கோபமடைந்து சேத்தை விரட்டினான், வேலைக்காரனின் வேண்டுகோள் மன்னனின் தாராள மனப்பான்மைக்கு தகுதியற்றது, ஆனால் வேலைக்காரன் பலகையின் அனைத்து சதுரங்களுக்கும் அவனுடைய தானியங்களைப் பெறுவதாக வாக்குறுதி அளித்தான்.
இப்போது கேள்வி: ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, சேத் எத்தனை தானியங்களைப் பெற வேண்டும் என்பதைக் கணக்கிடுங்கள்?
தர்க்கத்தை ஆரம்பிக்கலாம். நிபந்தனையின்படி, சதுரங்கப் பலகையின் முதல் சதுரத்திற்கு, இரண்டாவது, மூன்றாவது, நான்காவது போன்றவற்றுக்கு, சேத் கோதுமை தானியத்தைக் கேட்டதால், பிரச்சனை ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தைப் பற்றியது என்பதைக் காண்கிறோம். இந்த வழக்கில் அது என்ன சமம்?
சரி.
சதுரங்கப் பலகையின் மொத்த சதுரங்கள். முறையே, . எங்களிடம் எல்லா தரவுகளும் உள்ளன, அதை சூத்திரத்தில் செருகவும் கணக்கிடவும் மட்டுமே உள்ளது.
கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் தோராயமான "அளவை" கற்பனை செய்ய, பட்டத்தின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி மாற்றுகிறோம்:
நிச்சயமாக, நீங்கள் விரும்பினால், நீங்கள் ஒரு கால்குலேட்டரை எடுத்து, நீங்கள் எந்த எண்ணுடன் முடிவடையும் என்பதைக் கணக்கிடலாம், இல்லையெனில், அதற்கான எனது வார்த்தையை நீங்கள் எடுக்க வேண்டும்: வெளிப்பாட்டின் இறுதி மதிப்பு இருக்கும்.
அதாவது:
quintillion quadrillion trillion பில்லியன் மில்லியன் ஆயிரம்.
ப்யூ) இந்த எண்ணின் மகத்துவத்தை நீங்கள் கற்பனை செய்ய விரும்பினால், தானியத்தின் முழு அளவையும் வைக்க எவ்வளவு பெரிய களஞ்சியம் தேவைப்படும் என்பதை மதிப்பிடுங்கள்.
களஞ்சியமானது மீ உயரமாகவும் மீ அகலமாகவும் இருந்தால், அதன் நீளம் கிமீ வரை நீட்டிக்க வேண்டும், அதாவது. பூமியிலிருந்து சூரியனுக்கு இரு மடங்கு தூரம்.
ராஜா கணிதத்தில் வல்லவராக இருந்தால், தானியங்களை எண்ணுவதற்கு விஞ்ஞானியை அழைத்திருக்கலாம், ஏனென்றால் ஒரு மில்லியன் தானியங்களை எண்ணுவதற்கு, குறைந்தபட்சம் ஒரு நாளாவது அயராது எண்ண வேண்டும், மேலும் க்வின்டில்லியன் கணக்கில் தானியங்களை எண்ணுவது அவசியம். அவரது வாழ்நாள் முழுவதும் கணக்கிடப்பட வேண்டும்.
இப்போது வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் சொற்களின் கூட்டுத்தொகையை உள்ளடக்கிய ஒரு எளிய சிக்கலைத் தீர்ப்போம்.
5A வகுப்பு படிக்கும் மாணவர் வாஸ்யா காய்ச்சலால் பாதிக்கப்பட்டார், ஆனால் தொடர்ந்து பள்ளிக்குச் செல்கிறார். ஒவ்வொரு நாளும் வாஸ்யா இரண்டு நபர்களை பாதிக்கிறது, அவர்கள் மேலும் இரண்டு நபர்களை பாதிக்கிறார்கள், மற்றும் பல. வகுப்பில் மக்கள் மட்டுமே உள்ளனர். எத்தனை நாட்களில் முழு வகுப்பினரும் காய்ச்சலால் பாதிக்கப்படுவார்கள்?
எனவே, வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முதல் சொல் வாஸ்யா, அதாவது ஒரு நபர். வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வது சொல், அவர் வந்த முதல் நாளில் அவர் தொற்றிய இருவர். முன்னேற்ற விதிமுறைகளின் மொத்தத் தொகை 5A மாணவர்களின் எண்ணிக்கைக்கு சமம். அதன்படி, நாங்கள் ஒரு முன்னேற்றத்தைப் பற்றி பேசுகிறோம்:
வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தில் எங்கள் தரவை மாற்றுவோம்:
சில நாட்களில் முழு வகுப்பும் நோய்வாய்ப்படும். சூத்திரங்கள் மற்றும் எண்களை நம்பவில்லையா? மாணவர்களின் "தொற்று" உங்களை நீங்களே சித்தரிக்க முயற்சிக்கவும். அது வேலை செய்ததா? இது எனக்கு எப்படி இருக்கிறது என்று பாருங்கள்:
ஒவ்வொருவரும் ஒருவருக்குத் தொற்றினால், வகுப்பில் ஒருவர் மட்டுமே இருந்தால், மாணவர்கள் காய்ச்சலால் பாதிக்கப்படுவதற்கு எத்தனை நாட்கள் ஆகும் என்பதை நீங்களே கணக்கிடுங்கள்.
உங்களுக்கு என்ன மதிப்பு கிடைத்தது? ஒரு நாள் கழித்து எல்லோரும் நோய்வாய்ப்பட ஆரம்பித்தனர்.
நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அத்தகைய பணியும் அதற்கான வரைபடமும் ஒரு பிரமிட்டை ஒத்திருக்கிறது, அதில் ஒவ்வொன்றும் புதிய நபர்களை "கொண்டு வருகின்றன". இருப்பினும், விரைவில் அல்லது பின்னர் ஒரு கணம் வருகிறது, பிந்தையது யாரையும் ஈர்க்க முடியாது. எங்கள் விஷயத்தில், வகுப்பு தனிமைப்படுத்தப்பட்டதாக நாம் கற்பனை செய்தால், அந்த நபர் சங்கிலியை மூடுகிறார் (). எனவே, ஒரு நபர் நிதி பிரமிட்டில் ஈடுபட்டிருந்தால், அதில் நீங்கள் மற்ற இரண்டு பங்கேற்பாளர்களைக் கொண்டு வந்தால், அந்த நபர் (அல்லது பொதுவாக) யாரையும் கொண்டு வரமாட்டார், அதன்படி, இந்த நிதி மோசடியில் அவர்கள் முதலீடு செய்த அனைத்தையும் இழக்க நேரிடும்.
மேலே கூறப்பட்ட அனைத்தும் குறைந்து வரும் அல்லது அதிகரிக்கும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தைக் குறிக்கிறது, ஆனால், நீங்கள் நினைவில் வைத்துள்ளபடி, எங்களிடம் ஒரு சிறப்பு வகை உள்ளது - எண்ணற்ற அளவில் குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றம். அதன் உறுப்பினர்களின் தொகையை எவ்வாறு கணக்கிடுவது? இந்த வகை முன்னேற்றம் ஏன் சில பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது? அதை ஒன்றாகக் கண்டுபிடிப்போம்.
எனவே, முதலில், நமது எடுத்துக்காட்டில் இருந்து வரம்பற்ற குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் இந்த வரைபடத்தை மீண்டும் பார்ப்போம்:
இப்போது சற்று முன்னர் பெறப்பட்ட வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பார்ப்போம்:
அல்லது
நாம் எதற்காக பாடுபடுகிறோம்? அது சரி, வரைபடம் பூஜ்ஜியமாக இருப்பதைக் காட்டுகிறது. அதாவது, at, முறையே கிட்டத்தட்ட சமமாக இருக்கும், வெளிப்பாட்டைக் கணக்கிடும்போது நாம் கிட்டத்தட்ட பெறுவோம். இது சம்பந்தமாக, முடிவில்லாத குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகையைக் கணக்கிடும் போது, இந்த அடைப்புக்குறி சமமாக இருக்கும் என்பதால், புறக்கணிக்கப்படலாம் என்று நாங்கள் நம்புகிறோம்.
- சூத்திரம் என்பது எண்ணற்ற அளவில் குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகை ஆகும்.
முக்கியமானது!நாம் தொகையைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்று நிபந்தனை வெளிப்படையாகக் கூறினால் மட்டுமே, எண்ணற்ற குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் சொற்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம். எல்லையற்றஉறுப்பினர்களின் எண்ணிக்கை.
ஒரு குறிப்பிட்ட எண் n குறிப்பிடப்பட்டால், அல்லது n சொற்களின் கூட்டுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்.
இப்போது பயிற்சி செய்வோம்.
- மற்றும் உடன் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முதல் சொற்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும்.
- மற்றும் உடன் எண்ணற்ற குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும்.
நீங்கள் மிகவும் கவனமாக இருந்தீர்கள் என்று நம்புகிறேன். எங்கள் பதில்களை ஒப்பிடுவோம்:
இப்போது நீங்கள் வடிவியல் முன்னேற்றம் பற்றி அனைத்தையும் அறிவீர்கள், மேலும் கோட்பாட்டிலிருந்து நடைமுறைக்கு செல்ல வேண்டிய நேரம் இது. தேர்வில் எதிர்கொள்ளும் மிகவும் பொதுவான வடிவியல் முன்னேற்றச் சிக்கல்கள் கூட்டு வட்டியைக் கணக்கிடுவதில் உள்ள சிக்கல்கள். இவைகளைத்தான் நாம் பேசுவோம்.
கூட்டு வட்டியைக் கணக்கிடுவதில் சிக்கல்கள்.
கூட்டு வட்டி சூத்திரம் என்று அழைக்கப்படுவதைப் பற்றி நீங்கள் கேள்விப்பட்டிருக்கலாம். இதன் பொருள் என்னவென்று புரிகிறதா? இல்லையென்றால், அதைக் கண்டுபிடிப்போம், ஏனென்றால் நீங்கள் செயல்முறையைப் புரிந்துகொண்டால், வடிவியல் முன்னேற்றத்திற்கும் அதற்கும் என்ன சம்பந்தம் என்பதை நீங்கள் உடனடியாக புரிந்துகொள்வீர்கள்.
நாம் அனைவரும் வங்கிக்குச் சென்று, டெபாசிட்டுகளுக்கு வெவ்வேறு நிபந்தனைகள் உள்ளன என்பதை அறிவோம்: இதில் ஒரு காலக்கெடு, கூடுதல் சேவைகள் மற்றும் இரண்டு வட்டி பல்வேறு வழிகளில்அதன் கணக்கீடுகள் - எளிய மற்றும் சிக்கலான.
உடன் எளிய ஆர்வம்எல்லாம் அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ தெளிவாக உள்ளது: டெபாசிட் காலத்தின் முடிவில் ஒரு முறை வட்டி திரட்டப்படும். அதாவது, நாங்கள் ஒரு வருடத்திற்கு 100 ரூபிள் டெபாசிட் செய்கிறோம் என்று சொன்னால், அவை ஆண்டின் இறுதியில் மட்டுமே வரவு வைக்கப்படும். அதன்படி, வைப்புத்தொகையின் முடிவில் நாங்கள் ரூபிள் பெறுவோம்.
கூட்டு வட்டி- இது நிகழும் ஒரு விருப்பம் வட்டி மூலதனமாக்கல், அதாவது வைப்புத் தொகைக்கு அவை சேர்த்தல் மற்றும் வருமானத்தை ஆரம்பத்திலிருந்து அல்ல, ஆனால் திரட்டப்பட்ட வைப்புத் தொகையிலிருந்து கணக்கிடுதல். மூலதனமாக்கல் தொடர்ந்து நிகழாது, ஆனால் சில அதிர்வெண்களுடன். ஒரு விதியாக, அத்தகைய காலங்கள் சமமாக இருக்கும் மற்றும் பெரும்பாலும் வங்கிகள் ஒரு மாதம், காலாண்டு அல்லது வருடத்தைப் பயன்படுத்துகின்றன.
ஆண்டுதோறும் அதே ரூபிள்களை டெபாசிட் செய்கிறோம், ஆனால் வைப்புத்தொகையின் மாதாந்திர மூலதனத்துடன். நாம் என்ன செய்கிறோம்?
இங்கே உங்களுக்கு எல்லாம் புரிகிறதா? இல்லையென்றால், அதை படிப்படியாகக் கண்டுபிடிப்போம்.
நாங்கள் வங்கிக்கு ரூபிள் கொண்டு வந்தோம். மாத இறுதிக்குள், எங்கள் கணக்கில் ரூபிள் மற்றும் வட்டியுடன் கூடிய ஒரு தொகை இருக்க வேண்டும், அதாவது:
ஒப்புக்கொள்கிறீர்களா?
நாம் அதை அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து எடுக்கலாம், பின்னர் நாம் பெறுவோம்:
ஒப்புக்கொள், இந்த சூத்திரம் ஏற்கனவே நாம் ஆரம்பத்தில் எழுதியதைப் போலவே உள்ளது. எஞ்சியிருப்பது சதவீதங்களைக் கண்டுபிடிப்பதுதான்
பிரச்சனை அறிக்கையில் ஆண்டு விகிதங்கள் பற்றி கூறப்பட்டுள்ளது. உங்களுக்குத் தெரியும், நாங்கள் பெருக்குவதில்லை - சதவீதங்களை தசம பின்னங்களாக மாற்றுகிறோம், அதாவது:
சரியா? இப்போது நீங்கள் கேட்கலாம், எண் எங்கிருந்து வந்தது? மிகவும் எளிமையானது!
நான் மீண்டும் சொல்கிறேன்: பிரச்சனை அறிக்கை பற்றி கூறுகிறது ஆண்டுதிரட்டப்படும் வட்டி மாதாந்திர. உங்களுக்குத் தெரியும், ஒரு வருடத்தில், அதன்படி, மாதத்திற்கு ஆண்டு வட்டியில் ஒரு பகுதியை வங்கி எங்களிடம் வசூலிக்கும்:
உணர்ந்ததா? இப்போது வட்டி தினசரி கணக்கிடப்படுகிறது என்று நான் சொன்னால் சூத்திரத்தின் இந்த பகுதி எப்படி இருக்கும் என்பதை எழுத முயற்சிக்கவும்.
சமாளித்தாயா? முடிவுகளை ஒப்பிடுவோம்:
நல்லது! எங்கள் பணிக்குத் திரும்புவோம்: திரட்டப்பட்ட வைப்புத் தொகையில் வட்டி திரட்டப்பட்டதைக் கருத்தில் கொண்டு, இரண்டாவது மாதத்தில் எங்கள் கணக்கில் எவ்வளவு வரவு வைக்கப்படும் என்பதை எழுதுங்கள்.
எனக்கு கிடைத்தது இதோ:
அல்லது, வேறுவிதமாகக் கூறினால்:
நீங்கள் ஏற்கனவே ஒரு வடிவத்தைக் கவனித்திருக்கிறீர்கள் என்று நினைக்கிறேன், இவை அனைத்திலும் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தைக் கண்டீர்கள். அதன் உறுப்பினர் என்ன சமமாக இருப்பார், அல்லது, வேறுவிதமாகக் கூறினால், மாத இறுதியில் நாம் எவ்வளவு பணம் பெறுவோம் என்பதை எழுதுங்கள்.
செய்தாரா? சரிபார்ப்போம்!
நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, நீங்கள் ஒரு வருடத்திற்கு ஒரு வங்கியில் எளிய வட்டி விகிதத்தில் பணத்தை வைத்தால், நீங்கள் ரூபிள் பெறுவீர்கள், மேலும் கூட்டு வட்டி விகிதத்தில் இருந்தால், நீங்கள் ரூபிள் பெறுவீர்கள். நன்மை சிறியது, ஆனால் இது வது ஆண்டில் மட்டுமே நடக்கும், ஆனால் நீண்ட காலத்திற்கு மூலதனமாக்கல் மிகவும் லாபகரமானது:
மற்றொரு வகை சிக்கலைக் கருத்தில் கொள்வோம்: கூட்டு வட்டி. நீங்கள் கண்டுபிடித்த பிறகு, அது உங்களுக்கு அடிப்படையாக இருக்கும். எனவே, பணி:
Zvezda நிறுவனம் 2000 ஆம் ஆண்டில் தொழிலில் முதலீடு செய்யத் தொடங்கியது, டாலர்களில் மூலதனத்துடன். 2001 முதல் ஒவ்வொரு ஆண்டும், முந்தைய ஆண்டு மூலதனத்திற்கு நிகரான லாபத்தைப் பெற்றுள்ளது. புழக்கத்தில் இருந்து லாபம் திரும்பப் பெறப்படாவிட்டால், 2003 இன் இறுதியில் ஸ்வெஸ்டா நிறுவனம் எவ்வளவு லாபத்தைப் பெறும்?
2000 இல் Zvezda நிறுவனத்தின் தலைநகரம்.
- 2001 இல் Zvezda நிறுவனத்தின் மூலதனம்.
- 2002 இல் Zvezda நிறுவனத்தின் மூலதனம்.
- 2003 இல் Zvezda நிறுவனத்தின் மூலதனம்.
அல்லது சுருக்கமாக எழுதலாம்:
எங்கள் விஷயத்தில்:
2000, 2001, 2002 மற்றும் 2003.
முறையே:
ரூபிள்
இந்தச் சிக்கலில், சதவிகிதம் ஆண்டுதோறும் கொடுக்கப்பட்டு, அது ஆண்டுதோறும் கணக்கிடப்படுவதால், எங்களிடம் ஒரு பிரிவு இல்லை என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். அதாவது, கூட்டு வட்டியில் சிக்கலைப் படிக்கும்போது, எவ்வளவு சதவீதம் கொடுக்கப்படுகிறது, எந்தக் காலத்தில் கணக்கிடப்படுகிறது என்பதைக் கவனியுங்கள், அதன் பிறகுதான் கணக்கீடுகளுக்குச் செல்லுங்கள்.
இப்போது உங்களுக்கு வடிவியல் முன்னேற்றம் பற்றி எல்லாம் தெரியும்.
பயிற்சி.
- அது தெரிந்தால் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் காலத்தைக் கண்டறியவும், மற்றும்
- அது தெரிந்தால், வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முதல் சொற்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும்
- MDM Capital நிறுவனம் 2003 இல் தொழில்துறையில் முதலீடு செய்யத் தொடங்கியது, டாலர்களில் மூலதனத்துடன். 2004 முதல் ஒவ்வொரு ஆண்டும், முந்தைய ஆண்டு மூலதனத்திற்கு இணையான லாபம் கிடைத்து வருகிறது. MSK Cash Flows நிறுவனம் 2005 இல் $10,000 தொகையில் முதலீடு செய்யத் தொடங்கியது, 2006 இல் லாபம் ஈட்டத் தொடங்கியது. புழக்கத்தில் இருந்து லாபம் திரும்பப் பெறப்படாவிட்டால், 2007 ஆம் ஆண்டின் இறுதியில் ஒரு நிறுவனத்தின் மூலதனம் மற்றொன்றை விட எத்தனை டாலர்கள் அதிகமாகும்?
பதில்கள்:
- சிக்கல் அறிக்கையானது முன்னேற்றம் எல்லையற்றது என்று கூறாததால், அதன் விதிமுறைகளின் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், கணக்கீடு சூத்திரத்தின்படி மேற்கொள்ளப்படுகிறது:
MDM மூலதன நிறுவனம்:2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- 100% அதிகரிக்கிறது, அதாவது 2 மடங்கு.
முறையே:
ரூபிள்
எம்எஸ்கே கேஷ் ஃப்ளோஸ் நிறுவனம்:2005, 2006, 2007.
- அதிகரிக்கிறது, அதாவது, நேரங்களில்.
முறையே:
ரூபிள்
ரூபிள்
சுருக்கமாகக் கூறுவோம்.
1) ஜியோமெட்ரிக் முன்னேற்றம் ( ) என்பது ஒரு எண் வரிசையாகும், இதன் முதல் சொல் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது, மேலும் ஒவ்வொரு காலமும், இரண்டாவதிலிருந்து தொடங்கி, முந்தைய ஒன்றிற்கு சமமாக, அதே எண்ணால் பெருக்கப்படுகிறது. இந்த எண் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல் என்று அழைக்கப்படுகிறது.
2) வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் சமன்பாடு .
3) மற்றும் தவிர எந்த மதிப்பையும் எடுக்கலாம்.
- என்றால், முன்னேற்றத்தின் அனைத்து அடுத்தடுத்த விதிமுறைகளும் ஒரே அடையாளத்தைக் கொண்டுள்ளன - அவை நேர்மறையானவை;
- என்றால், முன்னேற்றத்தின் அனைத்து அடுத்தடுத்த விதிமுறைகளும் மாற்று அறிகுறிகள்;
- எப்போது - முன்னேற்றம் எல்லையற்ற குறைதல் என்று அழைக்கப்படுகிறது.
4), at - வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் சொத்து (அருகிலுள்ள சொற்கள்)
அல்லது
, மணிக்கு (சமமான விதிமுறைகள்)
நீங்கள் அதைக் கண்டுபிடித்தால், அதை மறந்துவிடாதீர்கள் இரண்டு பதில்கள் இருக்க வேண்டும்.
உதாரணமாக,
5) வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகை சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:
அல்லது
அல்லது
முக்கியமானது!எல்லையற்ற எண்ணிக்கையிலான சொற்களின் கூட்டுத்தொகையை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்று நிபந்தனை வெளிப்படையாகக் கூறினால் மட்டுமே, எல்லையற்ற குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் சொற்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்.
6) புழக்கத்தில் இருந்து நிதி திரும்பப் பெறப்படவில்லை எனில், வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வது கால சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கூட்டு வட்டியின் சிக்கல்களும் கணக்கிடப்படுகின்றன:
ஜியோமெட்ரிக் ப்ரோக்ரெஷன். முக்கிய விஷயங்களைப் பற்றி சுருக்கமாக
வடிவியல் முன்னேற்றம்( ) என்பது ஒரு எண் வரிசையாகும், இதன் முதல் சொல் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது, மேலும் ஒவ்வொரு காலமும், இரண்டாவதிலிருந்து தொடங்கி, முந்தைய ஒன்றிற்கு சமமாக, அதே எண்ணால் பெருக்கப்படுகிறது. இந்த எண் அழைக்கப்படுகிறது வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல்.
வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல்தவிர எந்த மதிப்பையும் எடுக்கலாம்.
- முன்னேற்றத்தின் அனைத்து அடுத்தடுத்த விதிமுறைகளும் ஒரே அடையாளத்தைக் கொண்டிருந்தால் - அவை நேர்மறையானவை;
- என்றால், முன்னேற்றத்தின் அனைத்து அடுத்தடுத்த உறுப்பினர்களும் மாற்று அறிகுறிகள்;
- எப்போது - முன்னேற்றம் எல்லையற்ற குறைதல் என்று அழைக்கப்படுகிறது.
வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் சமன்பாடு - .
வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகைசூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:
அல்லது
முன்னேற்றம் முடிவில்லாமல் குறைந்துவிட்டால், பின்:
சரி, தலைப்பு முடிந்தது. இந்த வரிகளை நீங்கள் படிக்கிறீர்கள் என்றால், நீங்கள் மிகவும் கூலாக இருக்கிறீர்கள் என்று அர்த்தம்.
ஏனென்றால் 5% பேர் மட்டுமே தாங்களாகவே ஏதாவது ஒன்றை மாஸ்டர் செய்ய முடிகிறது. நீங்கள் இறுதிவரை படித்தால், நீங்கள் இந்த 5% இல் இருக்கிறீர்கள்!
இப்போது மிக முக்கியமான விஷயம்.
இந்த தலைப்பில் உள்ள கோட்பாட்டை நீங்கள் புரிந்து கொண்டீர்கள். மேலும், நான் மீண்டும் சொல்கிறேன், இது... இது சூப்பர்! உங்கள் சகாக்களில் பெரும்பாலானவர்களை விட நீங்கள் ஏற்கனவே சிறந்தவர்.
பிரச்சனை என்னவென்றால், இது போதாது ...
எதற்கு?
ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் வெற்றிகரமாக தேர்ச்சி பெறுவதற்கும், பட்ஜெட்டில் கல்லூரியில் நுழைவதற்கும், மிக முக்கியமாக, வாழ்நாள் முழுவதும்.
நான் உன்னை எதையும் நம்ப வைக்க மாட்டேன், ஒன்று மட்டும் சொல்கிறேன்...
நல்ல கல்வியைப் பெற்றவர்கள் அதைப் பெறாதவர்களை விட அதிகம் சம்பாதிக்கிறார்கள். இது புள்ளிவிவரம்.
ஆனால் இது முக்கிய விஷயம் அல்ல.
முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், அவர்கள் மிகவும் மகிழ்ச்சியாக இருக்கிறார்கள் (அத்தகைய ஆய்வுகள் உள்ளன). ஒருவேளை இன்னும் பல வாய்ப்புகள் அவர்களுக்கு முன்னால் திறக்கப்பட்டு வாழ்க்கை பிரகாசமாகிவிடுமா? தெரியாது...
ஆனால் நீங்களே யோசியுங்கள்...
ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் மற்றவர்களை விட சிறப்பாக இருக்கவும், இறுதியில் மகிழ்ச்சியாக இருக்கவும் என்ன செய்ய வேண்டும்?
இந்த தலைப்பில் உள்ள சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதன் மூலம் உங்கள் கையைப் பெறுங்கள்.
தேர்வின் போது உங்களிடம் தியரி கேட்கப்படாது.
உங்களுக்கு தேவைப்படும் நேரத்திற்கு எதிராக பிரச்சனைகளை தீர்க்க.
மேலும், நீங்கள் அவற்றைத் தீர்க்கவில்லை என்றால் (நிறைய!), நீங்கள் நிச்சயமாக எங்காவது ஒரு முட்டாள் தவற்றைச் செய்வீர்கள் அல்லது நேரமில்லாமல் இருப்பீர்கள்.
இது விளையாட்டைப் போன்றது - நிச்சயமாக வெற்றி பெற நீங்கள் அதை பல முறை மீண்டும் செய்ய வேண்டும்.
நீங்கள் எங்கு வேண்டுமானாலும் சேகரிப்பைக் கண்டறியவும், அவசியம் தீர்வுகளுடன், விரிவான பகுப்பாய்வு மற்றும் முடிவு, முடிவு, முடிவு!
நீங்கள் எங்கள் பணிகளைப் பயன்படுத்தலாம் (விரும்பினால்) மற்றும் நாங்கள் நிச்சயமாக அவற்றை பரிந்துரைக்கிறோம்.
எங்கள் பணிகளை சிறப்பாகப் பயன்படுத்த, நீங்கள் தற்போது படித்துக்கொண்டிருக்கும் YouClever பாடப்புத்தகத்தின் ஆயுளை நீட்டிக்க உதவ வேண்டும்.
எப்படி? இரண்டு விருப்பங்கள் உள்ளன:
- இந்த கட்டுரையில் மறைக்கப்பட்ட அனைத்து பணிகளையும் திறக்கவும் -
- பாடப்புத்தகத்தின் அனைத்து 99 கட்டுரைகளிலும் மறைக்கப்பட்ட அனைத்து பணிகளுக்கான அணுகலைத் திறக்கவும் - ஒரு பாடப்புத்தகத்தை வாங்கவும் - 499 RUR
ஆம், எங்கள் பாடப்புத்தகத்தில் இதுபோன்ற 99 கட்டுரைகள் உள்ளன மற்றும் அனைத்து பணிகளுக்கான அணுகல் மற்றும் அவற்றில் உள்ள அனைத்து மறைக்கப்பட்ட உரைகளும் உடனடியாக திறக்கப்படும்.
அனைத்து மறைக்கப்பட்ட பணிகளுக்கான அணுகல் தளத்தின் முழு வாழ்க்கைக்கும் வழங்கப்படுகிறது.
மற்றும் முடிவில் ...
எங்கள் பணிகள் உங்களுக்குப் பிடிக்கவில்லை என்றால், மற்றவர்களைக் கண்டறியவும். கோட்பாட்டில் மட்டும் நிற்காதீர்கள்.
"புரிகிறது" மற்றும் "என்னால் தீர்க்க முடியும்" என்பது முற்றிலும் வேறுபட்ட திறன்கள். உங்களுக்கு இரண்டும் தேவை.
சிக்கல்களைக் கண்டறிந்து அவற்றைத் தீர்க்கவும்!
