Si të mësoni të zgjidhni problemet në gjeometrinë analitike?
Problem tipik me një trekëndësh në një aeroplan

Ky mësim është krijuar për afrimin me ekuatorin midis gjeometrisë së rrafshit dhe gjeometrisë së hapësirës. Për momentin, ekziston nevoja për të sistemuar informacionin e grumbulluar dhe për t'iu përgjigjur një pyetjeje shumë të rëndësishme: si të mësojmë të zgjidhim probleme në gjeometrinë analitike? Vështirësia është se ju mund të dilni me një numër të pafund problemesh në gjeometri, dhe asnjë libër shkollor nuk do të përmbajë gjithë morinë dhe shumëllojshmërinë e shembujve. Kjo nuk është derivat i një funksioni me pesë rregulla diferencimi, një tabelë dhe disa teknika….

Ka zgjidhje! Nuk do të flas me zë të lartë për faktin se kam zhvilluar një lloj teknikë madhështore, megjithatë, për mendimin tim, ekziston një qasje efektive për problemin në shqyrtim, i cili lejon që edhe një çajnik i plotë të arrijë rezultate të mira dhe të shkëlqyera. Të paktën, algoritmi i përgjithshëm për zgjidhjen e problemeve gjeometrike mori formë shumë qartë në kokën time.

ÇFARË JU DUHET TË DINI DHE TË MUND TË BËNI
për zgjidhjen me sukses të problemeve të gjeometrisë?

Nuk ka shpëtim nga kjo - në mënyrë që të mos shtypni rastësisht butonat me hundën tuaj, duhet të zotëroni bazat e gjeometrisë analitike. Prandaj, nëse sapo keni filluar të studioni gjeometrinë ose e keni harruar plotësisht, ju lutemi filloni me mësimin Vektorë për dummies. Përveç vektorëve dhe veprimeve me ta, ju duhet të dini konceptet themelore të gjeometrisë së rrafshët, në veçanti, ekuacioni i një drejtëze në një rrafsh Dhe . Gjeometria e hapësirës është paraqitur në artikuj Ekuacioni i planit, Ekuacionet e një drejtëze në hapësirë, Probleme themelore në vijë të drejtë dhe rrafsh dhe disa mësime të tjera. Linjat e lakuara dhe sipërfaqet hapësinore të rendit të dytë qëndrojnë disi larg, dhe nuk ka aq shumë probleme specifike me to.

Le të supozojmë se studenti tashmë ka njohuri dhe aftësi bazë në zgjidhjen e problemeve më të thjeshta të gjeometrisë analitike. Por ndodh kështu: lexon deklaratën e problemit dhe... dëshiron ta mbyllësh fare të gjithë, ta hedhësh në një cep të largët dhe ta harrosh, si një ëndërr e keqe. Për më tepër, kjo në thelb nuk varet nga niveli i kualifikimeve tuaja herë pas here, unë vetë ndeshem me detyra për të cilat zgjidhja nuk është e dukshme. Çfarë duhet bërë në raste të tilla? Nuk ka nevojë të kesh frikë nga një detyrë që nuk e kupton!

Së pari, duhet të instalohet - A është ky një problem "i sheshtë" apo hapësinor? Për shembull, nëse kushti përfshin vektorë me dy koordinata, atëherë, sigurisht, kjo është gjeometria e një rrafshi. Dhe nëse mësuesi e ngarkoi dëgjuesin mirënjohës me një piramidë, atëherë është e qartë se gjeometria e hapësirës. Rezultatet e hapit të parë janë tashmë mjaft të mira, sepse ne arritëm të ndërpresim një sasi të madhe informacioni të panevojshëm për këtë detyrë!

Së dyti. Gjendja zakonisht do t'ju shqetësojë me ndonjë figurë gjeometrike. Në të vërtetë, ecni nëpër korridoret e universitetit tuaj të lindjes dhe do të shihni shumë fytyra të shqetësuara.

Në problemet "të sheshta", për të mos përmendur pikat dhe linjat e dukshme, figura më e njohur është një trekëndësh. Ne do ta analizojmë atë në shumë detaje. Më pas vjen paralelogrami, dhe shumë më pak të zakonshme janë drejtkëndëshi, katrori, rombi, rrethi dhe forma të tjera.

Në problemet hapësinore, të njëjtat figura të sheshta + vetë avionët dhe piramidat e zakonshme trekëndore me paralelopipedë mund të fluturojnë.

Pyetja dy - A dini gjithçka për këtë figurë? Supozoni se kushti flet për një trekëndësh izoscelular, dhe ju e mbani mend në mënyrë të paqartë se çfarë lloj trekëndëshi është. Hapim një libër shkollor dhe lexojmë për një trekëndësh dykëndësh. Çfarë duhet bërë... doktori tha një romb, kjo do të thotë një romb. Gjeometria analitike është gjeometri analitike, por problemi do të zgjidhet nga vetitë gjeometrike të vetë figurave, i njohur për ne nga programi shkollor. Nëse nuk e dini se sa është shuma e këndeve të një trekëndëshi, mund të vuani për një kohë të gjatë.

Së treti. GJITHMONË përpiquni të ndiqni vizatimin(në një draft/përfundim kopje/mendërisht), edhe nëse kjo nuk kërkohet nga kushti. Në problemet "të sheshta", vetë Euklidi urdhëroi të merrte një vizore dhe një laps - dhe jo vetëm për të kuptuar gjendjen, por edhe për qëllimin e vetë-testimit. Në këtë rast, shkalla më e përshtatshme është 1 njësi = 1 cm (2 qeliza fletoreje). Le të mos flasim për studentë dhe matematikanë të pakujdesshëm që rrotullohen në varret e tyre - është pothuajse e pamundur të gabosh në probleme të tilla. Për detyra hapësinore, ne kryejmë një vizatim skematik, i cili gjithashtu do të ndihmojë në analizimin e gjendjes.

Një vizatim ose vizatim skematik shpesh ju lejon të shihni menjëherë mënyrën për të zgjidhur një problem. Sigurisht, për këtë ju duhet të dini themelet e gjeometrisë dhe të kuptoni vetitë e formave gjeometrike (shih paragrafin e mëparshëm).

Së katërti. Zhvillimi i një algoritmi zgjidhjeje. Shumë probleme gjeometrike janë me shumë hapa, kështu që zgjidhja dhe dizajni i saj është shumë i përshtatshëm për t'u ndarë në pika. Shpesh algoritmi ju vjen menjëherë në mendje pasi të keni lexuar kushtin ose të keni përfunduar vizatimin. Në rast vështirësish, fillojmë me PYETJEN e detyrës. Për shembull, sipas kushtit "duhet të ndërtoni një vijë të drejtë...". Këtu pyetja më logjike është: "Çfarë mjafton të dish për të ndërtuar këtë vijë të drejtë?" Supozoni, "ne e dimë pikën, ne duhet të dimë vektorin e drejtimit". Bëjmë pyetjen e mëposhtme: “Si ta gjejmë këtë vektor drejtimi? Ku?" etj.

Ndonjëherë ka një "bug" - problemi nuk zgjidhet dhe kjo është ajo. Arsyet e ndalimit mund të jenë si më poshtë:

– Boshllëk serioz në njohuritë bazë. Me fjalë të tjera, ju nuk dini dhe/ose nuk shihni diçka shumë të thjeshtë.

– Mosnjohja e vetive të figurave gjeometrike.

- Detyra ishte e vështirë. Po, ndodh. Nuk ka kuptim të avullosh me orë të tëra dhe të mbledhësh lot në shami. Kërkoni këshilla nga mësuesi, kolegët tuaj ose bëni një pyetje në forum. Për më tepër, është më mirë ta bëni deklaratën e tij konkrete - për atë pjesë të zgjidhjes që nuk e kuptoni. Një thirrje në formën e "Si ta zgjidhim problemin?" nuk duket shumë mirë... dhe mbi të gjitha për reputacionin tuaj.

Faza e pestë. Ne vendosim-kontrollojmë, vendosim-kontrollojmë, vendosim-kontrollojmë- japim një përgjigje. Është e dobishme të kontrolloni secilën pikë të detyrës menjëherë pas përfundimit të tij. Kjo do t'ju ndihmojë të zbuloni menjëherë gabimin. Natyrisht, askush nuk e ndalon zgjidhjen e shpejtë të të gjithë problemit, por ekziston rreziku i rishkrimit të gjithçkaje përsëri (shpesh disa faqe).

Këto janë, ndoshta, të gjitha konsideratat kryesore që duhen ndjekur gjatë zgjidhjes së problemeve.

Pjesa praktike e orës së mësimit paraqitet në gjeometrinë e rrafshët. Do të ketë vetëm dy shembuj, por nuk do të duket e mjaftueshme =)

Le të kalojmë nëpër fillin e algoritmit që sapo pashë në punën time të vogël shkencore:

Shembulli 1

Janë dhënë tre kulme të një paralelogrami. Gjeni majën.

Le të fillojmë të kuptojmë:

Hapi i parë: Është e qartë se po flasim për një problem “të sheshtë”.

Hapi dy: Problemi trajton një paralelogram. A e mbani mend të gjithë këtë figurë paralelogrami? Nuk ka nevojë të buzëqeshni, shumë njerëz marrin arsimin e tyre në moshën 30-40-50 ose më shumë vjeç, kështu që edhe faktet e thjeshta mund të fshihen nga kujtesa. Përkufizimi i një paralelogrami gjendet në shembullin nr. 3 të mësimit Varësia lineare (jo) e vektorëve. Baza e vektorëve.

Hapi i tretë: Të bëjmë një vizatim në të cilin shënojmë tre kulme të njohura. Është qesharake që nuk është e vështirë të ndërtosh menjëherë pikën e dëshiruar:

Ndërtimi i tij, natyrisht, është i mirë, por zgjidhja duhet të formulohet në mënyrë analitike.

Hapi i katërt: Zhvillimi i një algoritmi zgjidhjeje. Gjëja e parë që të vjen ndërmend është se një pikë mund të gjendet si kryqëzimi i vijave. Ne nuk i dimë ekuacionet e tyre, kështu që do të duhet të merremi me këtë çështje:

1) Anët e kundërta paralele. Me pikë Le të gjejmë vektorin e drejtimit të këtyre anëve. Kjo detyra më e thjeshtë që u diskutua në klasë Vektorë për dummies.

Shënim: është më e saktë të thuhet "ekuacioni i një drejtëze që përmban një anë", por këtu dhe më tej për shkurtësi do të përdor frazat "ekuacioni i një ane", "vektori i drejtimit të një ane" etj.

3) Anët e kundërta janë paralele. Duke përdorur pikat, gjejmë vektorin e drejtimit të këtyre anëve.

4) Le të krijojmë një ekuacion të një vije të drejtë duke përdorur një pikë dhe një vektor drejtimi

Në paragrafët 1-2 dhe 3-4, ne në fakt e zgjidhëm të njëjtën problem dy herë, meqë ra fjala, u diskutua në shembullin nr. 3 të mësimit Problemet më të thjeshta me një vijë të drejtë në një aeroplan. Ishte e mundur të merrej një rrugë më e gjatë - së pari gjeni ekuacionet e linjave dhe vetëm atëherë "nxirrni" vektorët e drejtimit prej tyre.

5) Tani dihen ekuacionet e vijave. Mbetet vetëm të hartojmë dhe zgjidhim sistemin përkatës të ekuacioneve lineare (shih shembujt nr. 4, 5 të të njëjtit mësim Problemet më të thjeshta me një vijë të drejtë në një aeroplan).

Pika është gjetur.

Detyra është mjaft e thjeshtë dhe zgjidhja e saj është e qartë, por ka një rrugë më të shkurtër!

Zgjidhja e dytë:

Diagonalet e një paralelogrami përgjysmohen nga pika e tyre e prerjes. E shënova pikën, por për të mos e rrëmuar vizatimin, nuk i vizatova vetë diagonalet.

Le të krijojmë një ekuacion për anën pikë për pikë:

Për të kontrolluar, duhet të zëvendësoni mendërisht ose në një draft koordinatat e secilës pikë në ekuacionin që rezulton. Tani le të gjejmë shpatin. Për ta bërë këtë, ne rishkruajmë ekuacionin e përgjithshëm në formën e një ekuacioni me një koeficient të pjerrësisë:

Kështu, pjerrësia është:

Në mënyrë të ngjashme, gjejmë ekuacionet e anëve. Nuk shoh shumë kuptim për të përshkruar të njëjtën gjë, kështu që do të jap menjëherë rezultatin e përfunduar:

2) Gjeni gjatësinë e anës. Ky është problemi më i thjeshtë i trajtuar në klasë. Vektorë për dummies. Për pikë ne përdorim formulën:

Duke përdorur të njëjtën formulë është e lehtë të gjesh gjatësitë e anëve të tjera. Kontrolli mund të bëhet shumë shpejt me një vizore të rregullt.

Ne përdorim formulën .

Le të gjejmë vektorët:

Kështu:

Meqë ra fjala, gjatë rrugës gjetëm gjatësitë e anëve.

Si rezultat:

Epo, duket se është e vërtetë për të qenë bindëse, mund të lidhni një këndor.

Kujdes! Mos e ngatërroni këndin e një trekëndëshi me këndin midis vijave të drejta. Këndi i një trekëndëshi mund të jetë i mpirë, por këndi midis vijave të drejta nuk mundet (shih paragrafin e fundit të artikullit Problemet më të thjeshta me një vijë të drejtë në një aeroplan). Megjithatë, për të gjetur këndin e një trekëndëshi, mund të përdorni edhe formulat nga mësimi i mësipërm, por vrazhdësia është se ato formula gjithmonë japin një kënd të mprehtë. Me ndihmën e tyre, e zgjidha këtë problem në draft dhe mora rezultatin. Dhe në kopjen përfundimtare do të më duhej të shkruaja justifikime shtesë, se .

4) Shkruani një ekuacion për një drejtëz që kalon nëpër një pikë paralele me drejtëzën.

Detyrë standarde, e diskutuar në detaje në shembullin nr. 2 të mësimit Problemet më të thjeshta me një vijë të drejtë në një aeroplan. Nga ekuacioni i përgjithshëm i drejtëzës Le të nxjerrim vektorin udhëzues. Le të krijojmë një ekuacion të një vije të drejtë duke përdorur një pikë dhe një vektor drejtimi:

Si të gjeni lartësinë e një trekëndëshi?

5) Le të krijojmë një ekuacion për lartësinë dhe të gjejmë gjatësinë e saj.

Nuk ka shpëtim nga përkufizimet strikte, kështu që do t'ju duhet të vidhni nga një tekst shkollor:

Lartësia e trekëndëshit quhet pingulja e tërhequr nga kulmi i trekëndëshit në drejtëzën që përmban anën e kundërt.

Kjo do të thotë, është e nevojshme të krijohet një ekuacion për një pingul të tërhequr nga kulmi në anën. Kjo detyrë diskutohet në shembujt nr. 6, 7 të mësimit Problemet më të thjeshta me një vijë të drejtë në një aeroplan. Nga barazimi. hiqni vektorin normal. Le të përpilojmë ekuacionin e lartësisë duke përdorur një pikë dhe një vektor drejtimi:

Ju lutemi vini re se ne nuk i dimë koordinatat e pikës.

Ndonjëherë ekuacioni i lartësisë gjendet nga raporti i koeficientëve këndorë të drejtëzave pingule: . Në këtë rast, atëherë: . Le të hartojmë ekuacionin e lartësisë duke përdorur një pikë dhe një koeficient këndor (shiko fillimin e mësimit Ekuacioni i një vije të drejtë në një plan):

Gjatësia e lartësisë mund të gjendet në dy mënyra.

Ka një rrugë rrethrrotullimi:

a) gjeni – pikën e kryqëzimit të lartësisë dhe anës;
b) gjeni gjatësinë e segmentit duke përdorur dy pika të njohura.

Por në klasë Problemet më të thjeshta me një vijë të drejtë në një aeroplan u konsiderua një formulë e përshtatshme për distancën nga një pikë në një vijë. Pika është e njohur: , ekuacioni i drejtëzës është gjithashtu i njohur: , Kështu:

6) Llogaritni sipërfaqen e trekëndëshit. Në hapësirë, zona e një trekëndëshi llogaritet tradicionalisht duke përdorur prodhim vektorial i vektorëve, por këtu na jepet një trekëndësh në një plan. Ne përdorim formulën e shkollës:
- Sipërfaqja e një trekëndëshi është e barabartë me gjysmën e prodhimit të bazës dhe lartësisë së tij.

Në këtë rast:

Si të gjeni median e një trekëndëshi?

7) Le të krijojmë një ekuacion për mesataren.

Mediana e një trekëndëshi quhet segment që lidh kulmin e një trekëndëshi me mesin e anës së kundërt.

a) Gjeni pikën - mesin e anës. Ne përdorim formulat për koordinatat e mesit të një segmenti. Koordinatat e skajeve të segmentit janë të njohura: , pastaj koordinatat e mesit:

Kështu:

Le të hartojmë ekuacionin mesatar pikë për pikë :

Për të kontrolluar ekuacionin, duhet të zëvendësoni koordinatat e pikave në të.

8) Gjeni pikën e kryqëzimit të lartësisë dhe mesatares. Unë mendoj se të gjithë kanë mësuar tashmë se si ta kryejnë këtë element të patinazhit të figurave pa rënë:

KapitulliV. GJEOMETRI ANALITIKE NË RAFSH

DHE NË HAPËSIRË

Seksioni përfshin detyra që diskutohen në temën “Gjeometria analitike në rrafsh dhe në hapësirë”: hartimi i ekuacioneve të ndryshme të drejtëzave në rrafsh dhe në hapësirë; përcaktimi i pozicionit relativ të drejtëzave në një rrafsh, drejtëza, drejtëz dhe rrafsh, plane në hapësirë; imazhi i kurbave të rendit të dytë. Duhet theksuar se ky seksion paraqet probleme të përmbajtjes ekonomike, zgjidhja e të cilave përdor informacion nga gjeometria analitike në një rrafsh.

Gjatë zgjidhjes së problemeve të gjeometrisë analitike, këshillohet përdorimi i teksteve shkollore nga autorët e mëposhtëm: D.V. Kletenika, N. Sh. Kremer, D.T. Shkruar nga V.I. Malykhina, sepse Kjo literaturë mbulon një gamë më të gjerë detyrash që mund të përdoren për vetë-studim mbi këtë temë. Zbatimi i gjeometrisë analitike në zgjidhjen e problemeve ekonomike është paraqitur në botimet arsimore nga M.S. Krass dhe V.I. Ermakova.

Problemi 5.1. Jepen koordinatat e kulmeve të trekëndëshitABC . E nevojshme

a) shkruani ekuacionet e brinjëve të trekëndëshit;

b) të shkruajë ekuacionin e lartësisë mbidetare të një trekëndëshi të nxjerrë nga kulmiME anashAB dhe gjeni gjatësinë e saj;

c) shkruani ekuacionin e medianes së një trekëndëshi të nxjerrë nga kulmiNË anashAC ;

d) gjeni këndet e trekëndëshit dhe përcaktoni llojin e tij (drejtkëndor, akut, i mpirë);

e) të gjejë gjatësitë e brinjëve të trekëndëshit dhe të përcaktojë llojin e tij (shkallë, dykëndësh, barabrinjës);

e) gjeni koordinatat e qendrës së gravitetit (pika e kryqëzimit të ndërmjetësve) të trekëndëshitABC ;

g) gjeni koordinatat e orthoqendrës (pika e kryqëzimit të lartësive) të trekëndëshit.ABC .

Për secilën nga pikat a) – c) të zgjidhjes, bëni vizatime në një sistem koordinativ. Në foto, shënoni linjat dhe pikat që korrespondojnë me pikat e detyrës.

Shembulli 5.1

Jepen koordinatat e kulmeve të trekëndëshitABC : . Është e nevojshme që a) të shkruhet ekuacionet e brinjëve të trekëndëshit; b) të shkruajë ekuacionin e lartësisë mbidetare të një trekëndëshi të nxjerrë nga kulmi ME anashAB dhe gjeni gjatësinë e saj; c) shkruani ekuacionin e medianes së një trekëndëshi të nxjerrë nga kulmiNË anashAC ; d) të gjejë gjatësitë e brinjëve të trekëndëshit dhe të përcaktojë llojin e tij (shkallë, dykëndësh, barabrinjës); e) të gjejë këndet e trekëndëshit dhe të përcaktojë llojin e tij (drejtkëndor, akut, i trashë); e) gjeni koordinatat e qendrës së gravitetit (pika e kryqëzimit të ndërmjetësve) të trekëndëshit ABC ; g) gjeni koordinatat e orthoqendrës (pika e kryqëzimit të lartësive) të trekëndëshit.ABC .

Zgjidhje

A) Për secilën anë të trekëndëshit dihen koordinatat e dy pikave që shtrihen në vijat e kërkuara, që do të thotë se ekuacionet e brinjëve të trekëndëshit janë ekuacionet e drejtëzave që kalojnë nëpër dy pika të dhëna.

,

Ku
Dhe
koordinatat përkatëse të pikave.

Kështu, duke zëvendësuar koordinatat e pikave që korrespondojnë me vijat e drejta në formulën (5.1), marrim

,
,
,

nga ku, pas shndërrimeve, shkruajmë ekuacionet e brinjëve

Në Fig. 7 ne përshkruajmë anët përkatëse të trekëndëshit
drejt.

Përgjigje:

b) Le
– lartësia e tërhequr nga kulmi anash
. Sepse
kalon nëpër një pikë pingul me vektorin
, atëherë do të përpilojmë ekuacionin e drejtëzës duke përdorur formulën e mëposhtme

Ku
– koordinatat e vektorit pingul me vijën e dëshiruar,
– koordinatat e një pike që i përket kësaj drejtëze. Gjeni koordinatat e vektorit pingul me drejtëzën
, dhe zëvendësojeni në formulën (5.2)

,
,

.

Gjeni gjatësinë e lartësisë CH si largësi nga pika në një vijë të drejtë

,

Ku
– ekuacioni i një drejtëze
,
– koordinatat e pikave .

Në paragrafin e mëparshëm u gjet

Duke zëvendësuar të dhënat në formulën (5.3), marrim

,

Në Fig. 8 vizatoni një trekëndësh dhe lartësinë e gjetur CH.

Përgjigje: .

R është.

8 V)
mesatare
trekëndëshi
ndan anën në dy pjesë të barabarta, d.m.th. pika
është mesi i segmentit
. Bazuar në këtë, ju mund të gjeni koordinatat

, ,

Ku
Dhe
Dhe pikë

;
.

, duke e zëvendësuar me formulat (5.4), marrim
mesatare
Ekuacioni mesatar
Dhe
Le ta shkruajmë si një ekuacion të drejtëzës që kalon nëpër pika

,

.

Përgjigje: sipas formulës (5.1)

R (Fig. 9).

është. 9

,
,
.

G)
Dhe
mesatare
Gjatësitë e brinjëve të trekëndëshit i gjejmë si gjatësi të vektorëve përkatës, d.m.th.
.

Përgjigje: Partitë
izosceles me bazë
;

,
.

d) Këndet e një trekëndëshi
le të gjejmë këndet ndërmjet vektorëve që dalin nga kulmet përkatëse të një trekëndëshi të caktuar, d.m.th.

,
,
.

Meqenëse trekëndëshi është dykëndësh me bazë
, Kjo

,

Ne llogarisim këndet midis vektorëve duke përdorur formulën (4.4), e cila kërkon produkte skalare të vektorëve
,
.

Le të gjejmë koordinatat dhe madhësitë e vektorëve të nevojshëm për të llogaritur këndet

,
;

,
,
.

Duke zëvendësuar të dhënat e gjetura në formulën (4.4), marrim

,

Meqenëse kosinuset e të gjitha këndeve të gjetura janë pozitive, atëherë trekëndëshi
është me kënd akute.

Përgjigje: Partitë
me kënd akute;

,
,
.

e) Le

, pastaj koordinatat
. Bazuar në këtë, ju mund të gjeni koordinatat
mund të gjendet duke përdorur formulat (5.5)

, ,

Ku
,
Dhe
– koordinatat e pikave përkatësisht , Dhe , pra,

,
.

Përgjigje:
– qendra e gravitetit të trekëndëshit
.

dhe) Le – ortoqendra e trekëndëshit
. Gjeni koordinatat e pikës si koordinatat e pikës së kryqëzimit të lartësive të trekëndëshit. Ekuacioni i lartësisë
u gjet në b). Le të gjejmë ekuacionin e lartësisë
:

,
,

.

Sepse
, pastaj zgjidhja e sistemit

është koordinatat e pikës , ku gjejmë
.

Përgjigje:
– ortoqendra e trekëndëshit
.

Problemi 5.2. Kostot fikse në një ndërmarrje kur prodhohen disa produkte janëF V 0 fshij. për njësi prodhimi, me të ardhura që arrijnë nëR 0 fshij. për njësi të produktit të prodhuar. Krijoni një funksion fitimiP (q ) (q

Të dhënat për gjendjen e problemit që korrespondojnë me opsionet:

Shembulli 5.2

Kostot fikse në një ndërmarrje kur prodhohen disa produkte janë
fshij. në muaj, kosto të ndryshueshme -
fshij. për njësi prodhimi, me të ardhura që arrijnë në
fshij. për njësi të produktit të prodhuar. Krijoni një funksion fitimiP (q ) (q – sasia e produkteve të prodhuara); të ndërtojë grafikun e tij dhe të përcaktojë pikën e çiftit.

Zgjidhje

Le të llogarisim kostot totale të prodhimit pas lëshimit q njësitë e disa produkteve

Nëse shitet q njësitë e prodhimit, atëherë të ardhurat totale do të jenë

Bazuar në funksionet e marra të të ardhurave totale dhe kostove totale, gjejmë funksionin e fitimit

,

.

Pika e barazimit - pika në të cilën fitimi është zero, ose pika në të cilën kostot totale janë të barabarta me të ardhurat totale

,

,

nga e gjejmë?

- thyej.

Për të paraqitur një grafik (Fig. 10) të funksionit të fitimit, do të gjejmë një pikë më shumë

Përgjigje: funksion fitimi
, thyej
.

Problemi 5.3. Ligjet e ofertës dhe kërkesës për një produkt të caktuar përcaktohen përkatësisht nga ekuacionetfq = fq D (q ), fq = fq S (q ), Kufq - çmimi i produktit,q – sasia e mallit. Supozohet se kërkesa përcaktohet vetëm nga çmimi i produktit në tregfq ME , dhe oferta është vetëm sipas çmimitfq S të marra nga furnitorët. E nevojshme

a) të përcaktojë pikën e ekuilibrit të tregut;

b) pikën e ekuilibrit pas futjes së një takse të barabartë met . Përcaktoni rritjen e çmimit dhe uljen e vëllimit të shitjeve në ekuilibër;

c) gjeni një subvencions , e cila do të çojë në një rritje të shitjeve ngaq 0 njësive në lidhje me origjinalin (përcaktuar në paragrafin a));

d) gjeni një pikë të re ekuilibri dhe të ardhura të qeverisë kur futni një taksë proporcionale me çmimin dhe të barabartëN %;

e) përcaktoni se sa para do të shpenzojë qeveria për blerjen e suficitit kur vendos një çmim minimal të barabartë me fq 0 .

Për çdo pikë zgjidhjeje, bëni një vizatim në sistemin e koordinatave. Në figurë, shënoni linjat dhe pikat që korrespondojnë me artikullin e detyrës.

Të dhënat për gjendjen e problemit që korrespondojnë me opsionet:

Në gjeometri, koncepti i "kulmit të një trekëndëshi" shpesh konsiderohet. Kjo është pika e kryqëzimit të dy anëve të një figure të caktuar. Ky koncept shfaqet pothuajse në çdo problem, kështu që ka kuptim ta shqyrtojmë atë në më shumë detaje.

Përcaktimi i kulmit të një trekëndëshi

Në një trekëndësh, ka tre pika ku anët kryqëzohen, duke formuar tre kënde. Quhen kulme, kurse brinjët në të cilat mbështeten quhen brinjë të trekëndëshit.

Oriz. 1. Kulmi në një trekëndësh.

Kulmet në trekëndësha tregohen me shkronja të mëdha. Prandaj, më shpesh në matematikë, anët shënohen me dy shkronja të mëdha latine, pas emrave të kulmeve që hyjnë në anët. Për shembull, ana AB është ana e një trekëndëshi që lidh kulmet A dhe B.

Oriz. 2. Përcaktimi i kulmeve në një trekëndësh.

Karakteristikat e konceptit

Nëse marrim një trekëndësh të orientuar në mënyrë arbitrare në një rrafsh, atëherë në praktikë është shumë e përshtatshme të shprehim karakteristikat e tij gjeometrike përmes koordinatave të kulmeve të kësaj figure. Kështu, kulmi A i një trekëndëshi mund të shprehet si një pikë me parametra të caktuar numerikë A(x; y).

Duke ditur koordinatat e kulmeve të trekëndëshit, mund të gjeni pikat e kryqëzimit të medianeve, gjatësinë e lartësisë së ulur në njërën nga anët e figurës dhe zonën e trekëndëshit.

Për ta bërë këtë, përdoren vetitë e vektorëve të përshkruar në sistemin koordinativ Kartezian, sepse gjatësia e anës së një trekëndëshi përcaktohet përmes gjatësisë së vektorit me pikat në të cilat ndodhen kulmet përkatëse të kësaj figure.

Përdorimi i kulmit të një trekëndëshi

Për çdo kulm të një trekëndëshi, mund të gjeni një kënd që do të jetë ngjitur me këndin e brendshëm të figurës në fjalë. Për ta bërë këtë, do t'ju duhet të zgjasni njërën nga anët e trekëndëshit. Meqenëse ka dy anë në secilën kulm, ka dy kënde të jashtme në secilën kulm. Një kënd i jashtëm është i barabartë me shumën e dy këndeve të brendshme të një trekëndëshi që nuk janë ngjitur me të.

Oriz. 3. Vetia e këndit të jashtëm të trekëndëshit.

Nëse ndërtoni dy kënde të jashtme në një kulm, ato do të jenë të barabarta, si ato vertikale.

Çfarë kemi mësuar?

Një nga konceptet e rëndësishme të gjeometrisë kur merret parasysh lloje të ndryshme trekëndëshat është kulmi. Kjo është pika ku kryqëzohen dy brinjë të një këndi të caktuar. figura gjeometrike. Ai shënohet me një nga shkronjat e mëdha të alfabetit latin. Kulmi i një trekëndëshi mund të shprehet në terma të koordinatave x dhe y, kjo ndihmon në përcaktimin e gjatësisë së anës së trekëndëshit si gjatësia e një vektori.

Test mbi temën

Vlerësimi i artikullit

Vlerësimi mesatar: 4.2. Gjithsej vlerësimet e marra: 153.