Zakonisht kufiri i dytë i shquar shkruhet në këtë formë:
\fillim(ekuacion) \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\djathtas)^x=e\fund(ekuacion)
Numri $e$ i treguar në anën e djathtë të barazisë (1) është irracional. Vlera e përafërt e këtij numri është: $e\approx(2(,)718281828459045)$. Nëse bëjmë zëvendësimin $t=\frac(1)(x)$, atëherë formula (1) mund të rishkruhet si më poshtë:
\fillimi(ekuacioni) \lim_(t\to(0))\biggl(1+t\biggr)^(\frac(1)(t))=e\fund(ekuacioni)
Ashtu si me kufirin e parë të shquar, nuk ka rëndësi se cila shprehje qëndron në vend të ndryshores $x$ në formulën (1) ose në vend të ndryshores $t$ në formulën (2). Gjëja kryesore është të plotësoni dy kushte:
- Baza e shkallës (d.m.th., shprehja në kllapa të formulave (1) dhe (2)) duhet të priret drejt unitetit;
- Eksponenti (d.m.th. $x$ në formulën (1) ose $\frac(1)(t)$ në formulën (2)) duhet të priret në pafundësi.
Kufiri i dytë i shquar thuhet se zbulon pasigurinë e $1^\infty$. Ju lutemi vini re se në formulën (1) ne nuk specifikojmë se për cilin pafundësi ($+\infty$ ose $-\infty$) po flasim. Në cilindo nga këto raste, formula (1) është e saktë. Në formulën (2), ndryshorja $t$ mund të priret në zero si në të majtë ashtu edhe në të djathtë.
Vërej se ka edhe disa pasoja të dobishme nga kufiri i dytë i jashtëzakonshëm. Shembujt e përdorimit të kufirit të dytë të shquar, si dhe pasojat e tij, janë shumë të njohura në mesin e përpiluesve të llogaritjeve dhe testeve standarde standarde.
Shembulli nr. 1
Llogaritni kufirin $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7)$.
Le të vërejmë menjëherë se baza e shkallës (d.m.th. $\frac(3x+1)(3x-5)$) tenton në unitet:
$$ \lim_(x\to\infty)\frac(3x+1)(3x-5)=\majtas|\frac(\infty)(\infty)\djathtas| =\lim_(x\to\infty)\frac(3+\frac(1)(x))(3-\frac(5)(x)) =\frac(3+0)(3-0) = 1. $$
Në këtë rast, eksponenti (shprehja $4x+7$) tenton në pafundësi, d.m.th. $\lim_(x\to\infty)(4x+7)=\infty$.
Baza e shkallës priret në unitet, eksponenti priret në pafundësi, d.m.th. kemi të bëjmë me pasiguri $1^\infty$. Le të zbatojmë një formulë për të zbuluar këtë pasiguri. Në bazën e fuqisë së formulës është shprehja $1+\frac(1)(x)$, dhe në shembullin që po shqyrtojmë, baza e fuqisë është: $\frac(3x+1)(3x- 5) $. Prandaj, veprimi i parë do të jetë një rregullim formal i shprehjes $\frac(3x+1)(3x-5)$ në formën $1+\frac(1)(x)$. Së pari, shtoni dhe zbritni një:
$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\djathtas)^(4x+7) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\majtas(1+\frac(3x+1)(3x-5)-1\djathtas)^(4x+7) $$
Ju lutemi vini re se nuk mund të shtoni thjesht një njësi. Nëse jemi të detyruar të shtojmë një, atëherë duhet ta zbresim atë në mënyrë që të mos ndryshojmë vlerën e të gjithë shprehjes. Për të vazhduar zgjidhjen, marrim parasysh këtë
$$ \frac(3x+1)(3x-5)-1 =\frac(3x+1)(3x-5)-\frac(3x-5)(3x-5) =\frac(3x+1- 3x+5)(3x-5) =\frac(6)(3x-5). $$
Meqenëse $\frac(3x+1)(3x-5)-1=\frac(6)(3x-5)$, atëherë:
$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(3x+1)(3x-5)-1\djathtas)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\ majtas(1+\frac(6)(3x-5)\djathtas)^(4x+7) $$
Le të vazhdojmë rregullimin. Në shprehjen $1+\frac(1)(x)$ të formulës, numëruesi i fraksionit është 1 dhe në shprehjen tonë $1+\frac(6)(3x-5)$ numëruesi është $6$. Për të marrë 1$ në numërues, hidhni 6$ në emërues duke përdorur konvertimin e mëposhtëm:
$$ 1+\frac(6)(3x-5) =1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6)) $$
Kështu,
$$ \lim_(x\to\infty)\majtas(1+\frac(6)(3x-5)\djathtas)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\majtas(1+ \frac(1)(\frac(3x-5)(6))\djathtas)^(4x+7) $$
Pra, baza e gradës, d.m.th. $1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))$, përshtatur në formën $1+\frac(1)(x)$ që kërkohet në formulë. Tani le të fillojmë të punojmë me eksponentin. Vini re se në formulë shprehjet në eksponentë dhe në emërues janë të njëjta:
Kjo do të thotë që në shembullin tonë, eksponenti dhe emëruesi duhet të sillen në të njëjtën formë. Për të marrë shprehjen $\frac(3x-5)(6)$ në eksponent, ne thjesht shumëzojmë eksponentin me këtë fraksion. Natyrisht, për të kompensuar një shumëzim të tillë, do t'ju duhet të shumëzoni menjëherë me thyesën reciproke, d.m.th. nga $\frac(6)(3x-5)$. Pra kemi:
$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\djathtas)^(4x+7) =\lim_(x\to\ infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\djathtas)^(\frac(3x-5)(6)\cdot\frac(6)(3x-5 )\cdot(4x+7)) =\lim_(x\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\djathtas)^(\ frac(3x-5)(6))\djathtas)^(\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)) $$
Le të shqyrtojmë veçmas kufirin e fraksionit $\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)$ që ndodhet në fuqi:
$$ \lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5) =\majtas|\frac(\infty)(\infty)\djathtas| =\lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot\majtas(4+\frac(7)(x)\djathtas))(3-\frac(5)(x)) =6\cdot\ frak (4) (3) =8. $$
Përgjigju: $\lim_(x\to(0))\biggl(\cos(2x)\biggr)^(\frac(1)(\sin^2(3x)))=e^(-\frac(2) (9)) $.
Shembulli nr. 4
Gjeni kufirin $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)$.
Meqenëse për $x>0$ kemi $\ln(x+1)-\ln(x)=\ln\left(\frac(x+1)(x)\djathtas)$, atëherë:
$$ \lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\djathtas) =\lim_(x\to+\infty)\majtas(x\cdot\ln\ majtas(\frac(x+1)(x)\djathtas)\djathtas) $$
Duke e zgjeruar thyesën $\frac(x+1)(x)$ në shumën e thyesave $\frac(x+1)(x)=1+\frac(1)(x)$ fitojmë:
$$ \lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\majtas (x\cdot\ln\majtas(1+\frac(1)(x)\djathtas)\djathtas) =\lim_(x\to+\infty)\majtas(\ln\left(\frac(x+1) (x)\djathtas)^x\djathtas) =\n(e) =1. $$
Përgjigju: $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\djathtas)=1$.
Shembulli nr. 5
Gjeni kufirin $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))$.
Meqenëse $\lim_(x\to (2))(3x-5)=6-5=1$ dhe $\lim_(x\to (2))\frac(2x)(x^2-4)= \ infty$, atëherë kemi të bëjmë me pasiguri të formës $1^\infty$. Shpjegime të hollësishme janë dhënë në shembullin nr. 2, por këtu do të kufizohemi në një zgjidhje të shkurtër. Duke bërë zëvendësimin $t=x-2$, marrim:
$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\majtas|\fillimi(lidhur)&t=x-2 ;\;x=t+2\\&t\to(0)\end (linjëzuar)\djathtas| =\lim_(t\to(0))\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(2t+4)(t^2+4t))=\\ =\lim_(t\to(0) )\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t)\cdot 3t\cdot\frac(2t+4)(t^2+4t)) =\lim_(t\to(0) )\left(\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t))\djathtas)^(\frac(6\cdot(t+2))(t+4)) =e^ 3. $$
Ju mund ta zgjidhni këtë shembull në një mënyrë tjetër, duke përdorur zëvendësimin: $t=\frac(1)(x-2)$. Natyrisht, përgjigja do të jetë e njëjtë:
$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\majtas|\fillimi(rrenjosur)&t=\frac( 1)(x-2);\;x=\frac(2t+1)(t)\\&t\to\infty\end (linjëzuar)\djathtas| =\lim_(t\to\infty)\majtas(1+\frac(3)(t)\djathtas)^(t\cdot\frac(4t+2)(4t+1))=\\ =\lim_ (t\to\infty)\majtas(1+\frac(1)(\frac(t)(3))\djathtas)^(\frac(t)(3)\cdot\frac(3)(t) \cdot\frac(t\cdot(4t+2))(4t+1)) =\lim_(t\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(t)( 3))\djathtas)^(\frac(t)(3))\djathtas)^(\frac(6\cdot(2t+1))(4t+1)) =e^3. $$
Përgjigju: $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))=e^3$.
Shembulli nr. 6
Gjeni kufirin $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\djathtas)^(3x) $.
Le të zbulojmë se çfarë priret shprehja $\frac(2x^2+3)(2x^2-4)$ nën kushtin $x\to\infty$:
$$ \lim_(x\to\infty)\frac(2x^2+3)(2x^2-4) =\majtas|\frac(\infty)(\infty)\djathtas| =\lim_(x\to\infty)\frac(2+\frac(3)(x^2))(2-\frac(4)(x^2)) =\frac(2+0)(2 -0)=1. $$
Kështu, në një kufi të caktuar kemi të bëjmë me një pasiguri të formës $1^\infty$, të cilën do ta zbulojmë duke përdorur kufirin e dytë të shquar:
$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\djathtas)^(3x) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(2x^2+3)(2x^2-4)-1\djathtas)^(3x)=\\ =\lim_(x\to \infty)\left(1+\frac(7)(2x^2-4)\djathtas)^(3x) =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac (2x^2-4)(7))\djathtas)^(3x)=\\ =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4 )(7))\djathtas)^(\frac(2x^2-4)(7)\cdot\frac(7)(2x^2-4)\cdot 3x) =\lim_(x\to\infty) \left(\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4)(7))\djathtas)^(\frac(2x^2-4)(7))\djathtas)^( \frac(21x)(2x^2-4)) =e^0 =1. $$
Përgjigju: $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\djathtas)^(3x)=1$.
|
Kufiri i parë i shquar. Nxjerrja e kufirit të parë të shquar është me interes nga pikëpamja e zbatimit të teorisë së kufijve, prandaj ne ju ofrojmë atë pothuajse në tërësi. Le të shqyrtojmë sjelljen e funksionit |
në 
. 
., ndërsa< площадь сектора МОА < площадьDСОА (см. рис. 1).
Pastaj qartë zona DMOA 
S D MOA = 
=
S MOA = 
S D C OA =
Duke iu kthyer pabarazisë së përmendur dhe duke e dyfishuar atë, marrim: mëkat < mëkat < x mëkat.
tg mëkat:
Pas ndarjes me afat mëkat 
ose 
Që kur 
, pastaj ndryshorja
-lidhet midis dy sasive që kanë të njëjtin kufi, d.m.th. , bazuar në teoremën mbi kufirin e funksionit të ndërmjetëm të paragrafit të mëparshëm, kemi: .
kufiri i parë i mrekullueshëm Shembull.
Llogaritni kufijtë e funksioneve duke përdorur kufirin e parë të dukshëm: 1) 1, 2) 0, 3)
Përgjigju. Ushtrimi:
Llogaritni kufirin e një funksioni duke përdorur kufirin e parë të dukshëm:
Përgjigje: -2.
Kufiri i dytë i shquar. Për të nxjerrë kufirin e dytë të shquar, ne prezantojmë përkufizimin e numrit:
e
Përkufizimi. 
në 
Kufiri i ndryshueshëmPër të nxjerrë kufirin e dytë të shquar, ne prezantojmë përkufizimin e numrit
:
thirri një numër
- Kufiri i dytë i mrekullueshëm Për të nxjerrë kufirin e dytë të shquar, ne prezantojmë përkufizimin e numrit Numri
– numër irracional. Vlera e tij në dhjetë shifra të vërteta dhjetore zakonisht rrumbullakoset në një numër dhjetor të vërtetë: e
= 2.7182818284..."2.7. 
Teorema. FunksioniMemorandum Mirëkuptimi nëpërmjet
nëPër të nxjerrë kufirin e dytë të shquar, ne prezantojmë përkufizimin e numrit
:
kufiri i parë i mrekullueshëm prirje drejt pafundësisë, prirje deri në kufi
Llogaritni kufijtë e funksioneve:
Zgjidhje.
Sipas vetive të kufijve, kufiri i shkallës është i barabartë me shkallën e kufirit, d.m.th. 
Llogaritni kufijtë e funksioneve duke përdorur kufirin e parë të dukshëm: 1)Për të nxjerrë kufirin e dytë të shquar, ne prezantojmë përkufizimin e numrit 3 , 2)Për më tepër, në mënyrë të ngjashme mund të vërtetohet se 2 , 3)Për të nxjerrë kufirin e dytë të shquar, ne prezantojmë përkufizimin e numrit 4 .
e Ushtrimi.
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Llogaritni kufirin e funksionit duke përdorur kufirin e dytë të shquar: 
RRETH
përgjigje: e -5
e Vazhdimësia e një funksioni Vazhdimësia e një funksioni në një pikëFunksioni ( mëkat ), mëkat Î ( f ; a ) mëkat b Î ( f ; a ), OFunksioni ( mëkat ) nëse kufiri i funksionitMemorandum Mirëkuptimi nëpërmjet b ekziston dhe është e barabartë me vlerën e funksionit në këtë pikë:
.
Sipas këtij përkufizimi, vazhdimësia e funksionit Funksioni(mëkat) në pikën Memorandum Mirëkuptimi nëpërmjet b do të thotë se janë plotësuar kushtet e mëposhtme:
funksionin Funksioni(mëkat) duhet të përcaktohet në pikë Memorandum Mirëkuptimi nëpërmjet b ;
y funksion Funksioni(mëkat) duhet të ketë një kufi në pikë Memorandum Mirëkuptimi nëpërmjet b ;
kufiri i një funksioni Funksioni(mëkat) në pikën Memorandum Mirëkuptimi nëpërmjet b duhet të përputhet me vlerën e funksionit në këtë pikë.
kufiri i parë i mrekullueshëm
Funksioni Funksioni(mëkat)
=
mëkat 2
të përcaktuara në të gjithë vijën numerike dhe të vazhdueshme në një pikë Memorandum Mirëkuptimi nëpërmjet= 1 sepse Funksioni( 1)
= 1 dhe 
Vazhdimësia e një funksioni në një grup
e Vazhdimësia e një funksioni Vazhdimësia e një funksioni në një pikëf (x), quhet i vazhdueshëm në interval(a; b), nëse është i vazhdueshëm në çdo pikë të këtij intervali.
Nëse një funksion është i vazhdueshëm në një moment, atëherë kjo pikë quhet pika e vazhdimësisë së këtij funksioni. Në rastet kur kufiri i një funksioni në një pikë të caktuar nuk ekziston ose vlera e tij nuk përkon me vlerën e funksionit në një pikë të caktuar, atëherë funksioni quhet i ndërprerë në këtë pikë dhe vetë pika quhet ndërprerje. pika e funksionit f(x).
Vetitë e funksioneve të vazhdueshme.
1) Shuma e një numri të kufizuar funksionesh të vazhdueshme në një pikë A,
2) Prodhimi i një numri të kufizuar funksionesh të vazhdueshme në një pikë A, ka një funksion që është i vazhdueshëm në këtë pikë.
3) Raporti i një numri të kufizuar funksionesh të vazhdueshme në një pikë A,është një funksion që është i vazhdueshëm në këtë pikë nëse vlera e funksionit në emërues është e ndryshme nga zero në pikë A.
kufiri i parë i mrekullueshëm
Funksioni Funksioni(mëkat) = mëkat n, Ku n Î N, është i vazhdueshëm në të gjithë vijën numerike. Ky fakt mund të vërtetohet duke përdorur vetinë 2 dhe vazhdimësinë e funksionit Funksioni(mëkat) = mëkat.
Funksioni Funksioni(mëkat) = smëkat n (Me– konstante) është e vazhdueshme në të gjithë vijën numerike, bazuar në vetinë 2 dhe shembullin 1.
Teorema 1. Një polinom është një funksion që është i vazhdueshëm në të gjithë vijën numerike.
Teorema 2 . Çdo funksion racional thyesor është i vazhdueshëm në çdo pikë të fushës së tij të përkufizimit.
kufiri i parë i mrekullueshëm
Përkufizimi
FunksioniFunksioni
(
mëkat
)
quhet e vazhdueshme në një pikëx = a
, nëse në këtë pikë rritja e tij 
priret në zero kur argumenti rritet 
priret në zero, ose thënë ndryshe: funksionFunksioni
(X)
quhet e vazhdueshme në një pikëx = a
, nëse në këtë pikë një rritje infinite e vogël e argumentit i korrespondon një rritje infinite vogël të funksionit, d.m.th. 
Tani, me një shpirt të qetë, le të vazhdojmë të shqyrtojmë kufij të mrekullueshëm.
duket si.
Në vend të ndryshores x, mund të jenë të pranishëm funksione të ndryshme, gjëja kryesore është se ato priren në 0.
Është e nevojshme të llogaritet kufiri
Siç mund ta shihni, ky kufi është shumë i ngjashëm me atë të parën e mrekullueshëm, por kjo nuk është plotësisht e vërtetë. Në përgjithësi, nëse vëreni mëkat në kufi, atëherë duhet të mendoni menjëherë nëse është e mundur të përdorni kufirin e parë të shquar.
Sipas rregullit tonë nr. 1, ne zëvendësojmë zeron në vend të x:
Kemi pasiguri.
Tani le të përpiqemi të organizojmë vetë kufirin e parë të mrekullueshëm. Për ta bërë këtë, le të bëjmë një kombinim të thjeshtë:
Pra, ne organizojmë numëruesin dhe emëruesin për të theksuar 7x. Tani kufiri i njohur i shquar tashmë është shfaqur. Këshillohet që ta theksoni kur vendosni:
Le të zëvendësojmë zgjidhjen me shembullin e parë të shquar dhe të marrim:
Thjeshtimi i thyesës:
Përgjigje: 7/3.
Siç mund ta shihni, gjithçka është shumë e thjeshtë.
Duket si 
, ku e = 2.718281828... është një numër irracional.
Funksione të ndryshme mund të jenë të pranishëm në vend të ndryshores x, gjëja kryesore është se ato priren të .
Është e nevojshme të llogaritet kufiri
Këtu shohim praninë e një shkalle nën shenjën e një kufiri, që do të thotë se është e mundur të përdoret një kufi i dytë i shquar.
Si gjithmonë, ne do të përdorim rregullin nr. 1 - zëvendësojmë x në vend të:
Mund të shihet se në x baza e shkallës është , dhe eksponenti është 4x > , d.m.th. marrim një pasiguri të formës:
Le të përdorim kufirin e dytë të mrekullueshëm për të zbuluar pasigurinë tonë, por së pari duhet ta organizojmë atë. Siç mund ta shihni, duhet të arrijmë praninë në tregues, për të cilin e ngremë bazën në fuqinë 3x, dhe në të njëjtën kohë në fuqinë 1/3x, në mënyrë që shprehja të mos ndryshojë:
Mos harroni të nënvizoni kufirin tonë të mrekullueshëm:
Kështu janë ata në të vërtetë kufij të mrekullueshëm!
Nëse keni ende ndonjë pyetje rreth kufijtë e parë dhe të dytë të mrekullueshëm, atëherë mos ngurroni t'i pyesni ata në komente.
Ne do t'u përgjigjemi të gjithëve sa më shumë që të jetë e mundur.
Ju gjithashtu mund të punoni me një mësues për këtë temë.
Kemi kënaqësinë t'ju ofrojmë shërbimet e zgjedhjes së një tutori të kualifikuar në qytetin tuaj. Partnerët tanë do të zgjedhin shpejt një mësues të mirë për ju me kushte të favorshme.
Nuk ka informacion të mjaftueshëm? - Mundesh!
Ju mund të shkruani llogaritjet matematikore në fletore. Është shumë më e këndshme të shkruash individualisht në fletore me një logo (http://www.blocnot.ru).
Janë mbledhur formulat, vetitë dhe teoremat e përdorura në zgjidhjen e problemeve që mund të zgjidhen duke përdorur kufirin e parë të shquar. Janë dhënë zgjidhje të detajuara të shembujve duke përdorur kufirin e parë të shquar të pasojave të tij.
përmbajtjaShihni gjithashtu: Prova e kufirit të parë të shquar dhe pasojat e tij
Formula, veti dhe teorema të zbatuara
Këtu do të shikojmë shembuj të zgjidhjeve të problemeve që përfshijnë llogaritjen e kufijve që përdorin kufirin e parë të shquar dhe pasojat e tij.
Më poshtë janë renditur formulat, vetitë dhe teoremat që përdoren më shpesh në këtë lloj llogaritjeje.
- Kufiri i parë i shquar dhe pasojat e tij:
. - Formulat trigonometrike për sinusin, kosinusin, tangjentën dhe kotangjenten:
;
;
;
në , ;
;
;
;
;
;
.
Shembuj zgjidhjesh
Shembulli 1
Për këtë.
1. Llogaritni kufirin.
Meqenëse funksioni është i vazhdueshëm për të gjitha x, duke përfshirë pikën, atëherë
.
2. Meqenëse funksioni nuk është i përcaktuar (dhe, për rrjedhojë, nuk është i vazhdueshëm) për , ne duhet të sigurohemi që ekziston një lagje e shpuar e pikës në të cilën .
Në rastin tonë, në.
.
Kështu,
.
Prandaj ky kusht plotësohet.
;
3. Llogaritni kufirin.
.
Në rastin tonë, është e barabartë me kufirin e parë të shquar:
.
Në mënyrë të ngjashme, ne gjejmë kufirin e funksionit në emërues:
në ;
Dhe së fundi, ne zbatojmë vetitë aritmetike të kufirit të funksionit:
Le të aplikojmë.
Në . Nga tabela e funksioneve ekuivalente gjejmë:
në ; në .
.
Pastaj .
Shembulli 2 0/0 .
Gjeni kufirin:
.
Zgjidhja duke përdorur kufirin e parë të shquar
.
Në , , . Kjo është pasiguria e formës
.
Le ta transformojmë funksionin përtej shenjës së kufirit:
.
Le të bëjmë një ndryshim të ndryshores.
.
Që atëherë dhe për
Në mënyrë të ngjashme kemi:
në ;
Dhe së fundi, ne zbatojmë vetitë aritmetike të kufirit të funksionit:
Le të aplikojmë.
Meqenëse funksioni kosinus është i vazhdueshëm në të gjithë vijën numerike, atëherë
Ne zbatojmë vetitë aritmetike të kufijve:
.
Zgjidhje duke përdorur funksione ekuivalente
;
.
Le të zbatojmë teoremën për zëvendësimin e funksioneve me ato ekuivalente në kufirin e koeficientit. 0/0
.
Shembulli 3
Gjeni kufirin:
.
Le të zëvendësojmë numëruesin dhe emëruesin e thyesës:
;
;
.
Kjo është pasiguria e formës
.
Le të përpiqemi ta zgjidhim këtë shembull duke përdorur kufirin e parë të mrekullueshëm. Meqenëse vlera e ndryshores në të tenton në zero, ne do të bëjmë një zëvendësim në mënyrë që ndryshorja e re të mos priret në , por në zero. Për ta bërë këtë, ne kalojmë nga x në një ndryshore të re t, duke bërë zëvendësimin , .
.
Pastaj në ,.
Fillimisht e transformojmë funksionin përtej shenjës së kufirit duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin e thyesës me:
.
Le të zëvendësojmë dhe përdorim formulat trigonometrike të dhëna më sipër.
Ne zbatojmë vetitë aritmetike të kufijve:
.
Funksioni është i vazhdueshëm në . 0/0 .
Ne gjejmë kufirin e tij:
.
Le të transformojmë thyesën e dytë dhe të zbatojmë kufirin e parë të mrekullueshëm:
.
Bëmë një zëvendësim në numëruesin e thyesës.
.
Ne aplikojmë vetinë e kufirit të një produkti të funksioneve:
.
Shembulli 4 Në , , . Kemi pasiguri të formës Le ta transformojmë funksionin nën shenjën e kufirit. Le të zbatojmë formulën:
.
Le të zëvendësojmë:
.
Le të transformojmë emëruesin:
Pastaj
.
Meqenëse dhe për , bëjmë zëvendësimin dhe zbatojmë teoremën e kufirit 0/0
funksion kompleks
.
dhe kufiri i parë i shquar:
Zbatojmë vetitë aritmetike të kufirit të një funksioni: Shembulli 5
Gjeni kufirin e funksionit: .
Është e lehtë të shihet se në këtë shembull kemi një pasiguri të formës
.
.
,
Për ta zbuluar atë, aplikojmë rezultatin e problemit të mëparshëm, sipas të cilit
,
;
;
;
.
Ne përdorim (A5.2) dhe vazhdimësinë e funksionit kosinus. Zbatojmë vetitë aritmetike të kufirit të një funksioni.
,
këtu m është një numër jo zero, ;
;
;
.
Shembulli 6
Ne zbatojmë vetitë aritmetike të kufijve:
.
Kur , numëruesi dhe emëruesi i thyesës priren të 0
. 0/0
Kjo është pasiguria e formës
.
.
.
Le të transformojmë thyesën e dytë dhe të zbatojmë kufirin e parë të mrekullueshëm:
;
,
Për ta zgjeruar atë, ne transformojmë numëruesin e thyesës:
.
.
Le të transformojmë thyesën e dytë dhe të zbatojmë kufirin e parë të mrekullueshëm:
;
,
Për ta zgjeruar atë, ne transformojmë numëruesin e thyesës:
Le të zbatojmë formulën:
.
Ku .
.
Numëruesi i thyesës:
.
Funksioni pas shenjës së kufirit do të marrë formën:
.
Le të gjejmë kufirin e faktorit të fundit, duke marrë parasysh vazhdimësinë e tij në:
Le të zbatojmë formulën trigonometrike:
.
Le të zëvendësojmë
.
.
.
Pastaj
.
Le të aplikojmë.
Më në fund kemi:
Shënim 1: Gjithashtu ishte e mundur të zbatohej formula Shihni gjithashtu:.
Formula për kufirin e dytë të shquar është lim x → ∞ 1 + 1 x x = e. Një formë tjetër e shkrimit duket kështu: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e.
Kur flasim për kufirin e dytë të shquar, duhet të merremi me pasigurinë e formës 1 ∞, d.m.th. njësi në
shkallë e pafundme
Le të shqyrtojmë problemet në të cilat aftësia për të llogaritur kufirin e dytë të shquar do të jetë e dobishme.
Shembulli 1 Gjeni kufirin lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 . Zgjidhje
Le të zëvendësojmë
formulën e kërkuar
dhe kryeni llogaritjet.
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞
Përgjigja jonë doli të ishte një për fuqinë e pafundësisë. Për të përcaktuar metodën e zgjidhjes, ne përdorim tabelën e pasigurisë. Le të zgjedhim kufirin e dytë të shquar dhe të bëjmë një ndryshim të variablave.
t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2
Nëse x → ∞, atëherë t → - ∞. Le të shohim se çfarë kemi marrë pas zëvendësimit:
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2
Përgjigje:
Le të shqyrtojmë problemet në të cilat aftësia për të llogaritur kufirin e dytë të shquar do të jetë e dobishme.
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .
Shembulli 2
Llogaritni kufirin lim x → ∞ x - 1 x + 1 x. Le të zëvendësojmë pafundësinë dhe të marrim sa vijon. lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞
Në përgjigje, ne përsëri morëm të njëjtën gjë si në problemin e mëparshëm, prandaj, ne mund të përdorim përsëri kufirin e dytë të mrekullueshëm. Më pas duhet të zgjedhim në bazë
funksioni i fuqisë
e gjithë pjesa:
x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1
Pas kësaj, kufiri merr formën e mëposhtme:
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = e - 2
Për të kryer këtë transformim, ne përdorëm vetitë themelore të kufijve dhe fuqive.
Nëse x → ∞, atëherë t → - ∞. lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .
Shembulli 3
Llogaritni kufirin lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .
Le të shqyrtojmë problemet në të cilat aftësia për të llogaritur kufirin e dytë të shquar do të jetë e dobishme.
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞
Pas kësaj, ne duhet të transformojmë funksionin për të aplikuar kufirin e dytë të madh. Ne morëm sa vijon:
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
Meqenëse tani kemi të njëjtët eksponentë në numëruesin dhe emëruesin e thyesës (e barabartë me gjashtë), kufiri i thyesës në pafundësi do të jetë i barabartë me raportin e këtyre koeficientëve në fuqi më të larta.
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3
Duke zëvendësuar t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 ne marrim një kufi të dytë të shquar. Kjo do të thotë se:
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3
Nëse x → ∞, atëherë t → - ∞. lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .
konkluzione
Pasiguria 1 ∞, d.m.th. uniteti ndaj një fuqie të pafundme është një pasiguri fuqi-ligj, prandaj mund të zbulohet duke përdorur rregullat për gjetjen e kufijve të funksioneve të fuqisë eksponenciale.
Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter
