Objektivat e mësimit:
- Mësoni studentët të zgjidhin ekuacione të shkallëve më të larta duke përdorur skemën e Hornerit;
- të zhvillojë aftësinë për të punuar në çifte;
- të krijojë, në lidhje me seksionet kryesore të lëndës, një bazë për zhvillimin e aftësive të studentëve;
- ndihmoni studentin të vlerësojë potencialin e tij, të zhvillojë interes për matematikën, aftësinë për të menduar dhe për të folur për këtë temë.
Pajisjet: letra për punë në grup, poster me diagramin e Hornerit.
Metoda e mësimdhënies: leksion, tregim, shpjegim, kryerja e ushtrimeve stërvitore.
Formulari i kontrollit: duke kontrolluar detyrat vendim i pavarur, punë e pavarur.
Ecuria e mësimit
1. Momenti organizativ
2. Përditësimi i njohurive të nxënësve
Cila teoremë ju lejon të përcaktoni nëse një numër është rrënja e një ekuacioni të caktuar (formuloni një teoremë)?
Teorema e Bezout. Pjesa e mbetur e pjesëtimit të polinomit P(x) me binomin x-c është e barabartë me P(c), numri c quhet rrënja e polinomit P(x) nëse P(c)=0. Teorema lejon që, pa kryer operacionin e pjesëtimit, të përcaktohet nëse një numër i caktuar është rrënja e një polinomi.
Cilat deklarata e bëjnë më të lehtë gjetjen e rrënjëve?
a) Nëse koeficienti kryesor i polinomit e barabartë me një, atëherë rrënjët e polinomit duhen kërkuar ndër pjesëtuesit e termit të lirë.
b) Nëse shuma e koeficientëve të një polinomi është 0, atëherë njëra prej rrënjëve është 1.
c) Nëse shuma e koeficientëve në vendet çift është e barabartë me shumën e koeficientëve në vendet tek, atëherë njëra prej rrënjëve është e barabartë me -1.
d) Nëse të gjithë koeficientët janë pozitivë, atëherë rrënjët e polinomit janë numra negativë.
e) Një polinom me shkallë tek ka të paktën një rrënjë reale.
3. Mësimi i materialit të ri
Kur zgjidhni ekuacione të tëra algjebrike, duhet të gjeni vlerat e rrënjëve të polinomeve. Ky operacion mund të thjeshtohet ndjeshëm nëse llogaritjet kryhen duke përdorur një algoritëm të veçantë të quajtur skema Horner. Ky qark mban emrin e shkencëtarit anglez William George Horner. Skema e Hornerit është një algoritëm për llogaritjen e koeficientit dhe mbetjes së pjesëtimit të polinomit P(x) me x-c. Shkurtimisht si funksionon.
Le të jepet një polinom arbitrar P(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + …+ a n-1 x+ a n. Pjestimi i këtij polinomi me x-c është paraqitja e tij në formën P(x)=(x-c)g(x) + r(x). Pjesshme g(x)=në 0 x n-1 + në n x n-2 +...+në n-2 x + në n-1, ku në 0 =a 0, në n =st n-1 +a n , n=1,2,3,…n-1. Mbetja r(x)= st n-1 +a n. Kjo metodë llogaritjeje quhet skema Horner. Fjala "skemë" në emrin e algoritmit është për faktin se zbatimi i tij zakonisht formatohet si më poshtë. Së pari, vizatoni tabelën 2 (n+2). Në qelizën e poshtme majtas shkruani numrin c, dhe në rreshtin e sipërm koeficientët e polinomit P(x). Në këtë rast, qeliza e sipërme e majtë lihet bosh.
në 0 =a 0 |
në 1 =st 1 +a 1 |
në 2 = sv 1 + A 2 |
në n-1 =st n-2 +a n-1 |
r(x)=f(c)=st n-1 +a n |
Numri që pas ekzekutimit të algoritmit rezulton i shkruar në qelizën e poshtme djathtas është pjesa e mbetur e pjesëtimit të polinomit P(x) me x-c. Numrat e tjerë në 0, në 1, në 2,... në fund janë koeficientët e herësit.
Për shembull: Pjesëtojmë polinomin P(x)= x 3 -2x+3 me x-2.
Marrim se x 3 -2x+3=(x-2) (x 2 +2x+2) + 7.
4. Konsolidimi i materialit të studiuar
Shembulli 1: Faktoroni polinomin P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 në faktorë me koeficientë të plotë.
Po kërkojmë rrënjë të tëra midis pjesëtuesve të termit të lirë -1: 1; -1. Le të bëjmë një tabelë:
X = -1 – rrënjë
P(x)= (x+1) (2x 3 -9x 2 +6x -1)
Le të kontrollojmë 1/2.
X=1/2 - rrënjë |
Prandaj, polinomi P(x) mund të paraqitet në formë
P(x)= (x+1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) = (x+1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)
Shembulli 2: Zgjidheni ekuacionin 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0
Meqenëse shuma e koeficientëve të polinomit të shkruar në anën e majtë të ekuacionit është e barabartë me zero, atëherë njëra prej rrënjëve është 1. Le të përdorim skemën e Hornerit:
X=1 - rrënjë |
Marrim P(x)=(x-1) (2x 3 -3x 2 =2x +2). Ne do të kërkojmë rrënjë midis pjesëtuesve të termit të lirë 2.
Zbuluam se nuk kishte më rrënjë të paprekura. Le të kontrollojmë 1/2; -1/2.
X= -1/2 - rrënjë |
Përgjigje: 1; -1/2.
Shembulli 3: Zgjidheni ekuacionin 5x 4 – 3x 3 – 4x 2 -3x+ 5 = 0.
Ne do të kërkojmë rrënjët e këtij ekuacioni midis pjesëtuesve të termit të lirë 5: 1;-1;5;-5. x=1 është rrënja e ekuacionit, pasi shuma e koeficientëve është zero. Le të përdorim skemën e Horner:
Le ta paraqesim ekuacionin si produkt të tre faktorëve: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) = 0. Duke zgjidhur ekuacionin kuadratik 5x 2 -7x+5=0, kemi marrë D=49-100=-51, nuk ka rrënjë.
Karta 1
- Faktoroni polinomin: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
- Zgjidheni ekuacionin: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0
Karta 2
- Faktoroni polinomin: x 4 - x 3 -7x 2 +13x-6
- Zgjidhe ekuacionin: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0
Karta 3
- Faktori në: 2x 3 -21x 2 +37x+24
- Zgjidheni ekuacionin: x 3 -2x 2 +4x-8=0
Karta 4
- Faktori në: 5x 3 -46x 2 +79x-14
- Zgjidheni ekuacionin: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0
5. Duke përmbledhur
Testimi i njohurive gjatë zgjidhjes në dyshe kryhet në klasë duke njohur mënyrën e veprimit dhe emrin e përgjigjes.
Detyrë shtëpie:
Zgjidh ekuacionet:
a) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x+1=0
b) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0
c) x 4 + x 3 + x + 1 = 4x 2
d) x 4 +2x 3 -x-2=0
Letërsia
- N.Ya. Vilenkin et al., Algjebra dhe fillimet e analizës, klasa 10 (studim i thelluar i matematikës): Iluminizmi, 2005.
- U.I. Sakharchuk, L.S. Sagatelova, Zgjidhja e ekuacioneve të shkallëve më të larta: Volgograd, 2007.
- S.B. Gashkov, Sistemet e numrave dhe aplikimi i tyre.
Rrëshqitja 3
Horner Williams George (1786-22.9.1837) - matematikan anglez. Lindur në Bristol. Ai studioi dhe punoi atje, pastaj në shkollat në Bath. Punimet bazë për algjebër. Në 1819 botoi një metodë për llogaritjen e përafërt të rrënjëve reale të një polinomi, e cila tani quhet metoda Ruffini-Horner (kjo metodë ishte e njohur për kinezët në shekullin e 13-të Skema për ndarjen e një polinomi me binomin x-a). pas Hornerit.
Rrëshqitja 4
SKEMA HORNER
Një metodë e pjesëtimit të një polinomi të shkallës së n-të me një binom linear - a, bazuar në faktin se koeficientët e koeficientit jo të plotë dhe pjesës së mbetur lidhen me koeficientët e polinomit që ndahet dhe me formulat:
Rrëshqitja 5
Llogaritjet sipas skemës së Hornerit janë vendosur në tabelë:
Shembulli 1. Pjesëtoj Herësi i pjesshëm është x3-x2+3x - 13 dhe pjesa e mbetur është 42=f(-3).
Rrëshqitja 6
Avantazhi kryesor i kësaj metode është kompaktësia e shënimit dhe aftësia për të ndarë shpejt një polinom në një binom. Në fakt, skema e Hornerit është një formë tjetër e regjistrimit të metodës së grupimit, megjithëse, ndryshe nga kjo e fundit, ajo është krejtësisht jo-vizuale. Përgjigja (faktorizimi) merret këtu vetvetiu dhe ne nuk e shohim procesin e marrjes së saj. Ne nuk do të përfshihemi në një vërtetim rigoroz të skemës së Hornerit, por do të tregojmë vetëm se si funksionon.
Rrëshqitja 7
Shembulli 2.
Të vërtetojmë se polinomi P(x)=x4-6x3+7x-392 pjesëtohet me x-7 dhe të gjejmë herësin e pjesëtimit. Zgjidhje. Duke përdorur skemën e Horner-it, gjejmë P(7): Nga këtu marrim P(7)=0, d.m.th. pjesa e mbetur kur një polinom pjesëtohet me x-7 është e barabartë me zero dhe, për rrjedhojë, polinomi P(x) është shumëfish i (x-7). Për më tepër, numrat në rreshtin e dytë të tabelës janë koeficientët e herësi i P(x) pjesëtuar me (x-7), pra P(x)=(x-7)(x3+x2+7x+56).
Rrëshqitja 8
Faktoroni polinomin x3 – 5x2 – 2x + 16.
Ky polinom ka koeficientë të plotë. Nëse një numër i plotë është rrënja e këtij polinomi, atëherë ai është pjesëtues i numrit 16. Kështu, nëse një polinom i dhënë ka rrënjë të plota, atëherë këta mund të jenë vetëm numrat ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Me verifikim të drejtpërdrejtë jemi të bindur se numri 2 është rrënja e këtij polinomi, pra x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x), ku Q(x) është një polinom i shkallës së dytë.
Rrëshqitja 9
Numrat që rezultojnë 1, −3, −8 janë koeficientët e polinomit, i cili fitohet duke pjesëtuar polinomin origjinal me x – 2. Kjo do të thotë se rezultati i pjesëtimit është: 1 x2 + (–3)x + ( –8) = x2 – 3x – 8. Shkalla e një polinomi që rezulton nga pjesëtimi është gjithmonë 1 më pak se shkalla e atij origjinal. Pra: x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)(x2 – 3x – 8).
Përshkrimi i algoritmit
Jepet një polinom:
.Le të jetë e nevojshme të llogaritet vlera e një polinomi të caktuar për një vlerë fikse. Le të paraqesim polinomin në formën e mëposhtme:
.Le të përcaktojmë sekuencën e mëposhtme:
… …Vlera e kërkimit. Le të tregojmë se është kështu.
Le të zëvendësojmë formën e shënimit që rezulton dhe të llogarisim vlerën e shprehjes, duke filluar nga kllapat e brendshme. Për ta bërë këtë, ne do të zëvendësojmë nënshprehjet përmes:
Përdorimi i diagramit të Hornerit për të pjesëtuar një polinom me një binom
Kur një polinom pjesëtohet me, rezultati është një polinom me një mbetje.
Në këtë rast, koeficientët e polinomit që rezulton plotësojnë marrëdhëniet e përsëritjes:
, .Në të njëjtën mënyrë, ju mund të përcaktoni shumësinë e rrënjëve (përdorni skemën e Horner për polinomin e ri). Skema mund të përdoret gjithashtu për të gjetur koeficientët kur zgjerohet një polinom në fuqi:
Shënime
Shihni gjithashtu
Letërsia
- Ananiy V. Levitin Kapitulli 6. Metoda e konvertimit: Skema e Hornerit dhe fuqizimi// Algorithms: Introduction to Design and Analysis = Hyrje në Dizajnimin dhe Analizën e Aigoritmeve. - M.: “Williams”, 2006. - F. 284-291. - ISBN 0-201-74395-7
- Volkov E. A.§ 2. Llogaritja e vlerave polinomiale. Skema Horner // Metodat numerike. - Libër mësuesi manual për universitetet. - Botimi i 2-të, rev. - M.: Nauka, 1987. - 248 f.
- S. B. Gashkov§14. Skema e Horner dhe përkthimi nga një sistem pozicionor në tjetrin // Sistemet e numrave dhe aplikimi i tyre. - M.: MTsNMO, 2004. - fq 37-39. - (Biblioteka “Edukimi Matematik”). - ISBN 5-94057-146-8
Lidhjet
- Llogaritja e polinomeve shumëdimensionale - një përgjithësim i skemës së Hornerit në rastin e një polinomi në disa ndryshore.
Fondacioni Wikimedia.
- 2010.
- Klorquinaldol
Shtilmark, Alexander Robertovich
Shihni se çfarë është "Skema Horner" në fjalorë të tjerë:- një teknikë për gjetjen e herësit dhe mbetjes jo të plotë kur pjesëtohet një polinom me një binom, ku të gjithë koeficientët qëndrojnë në një fushë të caktuar, për shembull, në fushën e numrave kompleks. Ne mund të paraqesim çdo polinom në mënyrën e vetme në formën ku ka një herës jo të plotë,... ... Enciklopedia Matematikore
Metoda Horner- Skema e Hornerit (ose rregulla e Hornerit, metoda e Hornerit) është një algoritëm për llogaritjen e vlerës së një polinomi, i shkruar si shumë monomësh, për një vlerë të caktuar të një ndryshoreje. Metoda e Horner ju lejon të gjeni rrënjët e një polinomi, si dhe të llogaritni derivatet... ... Wikipedia
Rrënja e një polinomi- Ky term ka kuptime të tjera, shih Rrënja (kuptimet). Rrënja e një polinomi (jo identikisht zero) mbi fushën k është një element i tillë që plotësohen dy kushtet ekuivalente të mëposhtme: polinomi i dhënë është i pjesëtueshëm me një polinom ... ... Wikipedia
Ndarja me kolonë e polinomeve- Në algjebër, pjesëtimi i polinomeve me një kolonë është një algoritëm për pjesëtimin e një polinomi me një polinom shkalla e të cilit është më e vogël ose e barabartë me shkallën e polinomit. Algoritmi është një formë e përgjithësuar e pjesëtimit të numrave me një kolonë, e cila mund të zbatohet lehtësisht me dorë. Për... ... Wikipedia
Horner, William George- William George Horner (1786, Bristol 22 shtator 1837) matematikan britanik. Lindur në vitin 1786 në qytetin e Bristol në Angli. Ai u arsimua në Kingstwood School, Bristol. Në moshën 14-vjeçare u bë asistent regjisor në... ... Wikipedia
Pleksus brakial- I Pleksus Brachial (plexus brachialis) Pleksus i fibrave nervore të degëve të përparme të 4 8 nervave spinale cervikale dhe 1 2 torakale në disa trungje dhe tufa, si rezultat i ndarjes pasuese të të cilave formohen nerva të shkurtër dhe të gjatë ... ... Enciklopedia mjekësore
RADIKULITI- (nga rrënja latine radix), sëmundjet e rrënjëve të nervave kurrizore, një term i vendosur në fillim të shekullit të 20-të. falë punës së Dejerine dhe shkollës së tij. R. bazohet në një proces degjenerativ inflamator në rrënjë [shih. tabelë e veçantë (neni 255... ...
GJENDRA TIROIDE- (gl. thyreoidea, sin. corpus thyreoideum), një nga gjëndrat endokrine më të rëndësishme të vertebrorëve. Në zhvillimin embrional të Shch. lind nga epiteli i murit të poshtëm të pjesës së gushës së zorrëve; në larvat e peshkut ciklostome ka edhe formën... ... Enciklopedia e Madhe Mjekësore
Radikuliti- I Radikuliti (radikuliti; lat. rrënjë radicula + itis) dëmtim inflamator dhe ngjeshës i rrënjëve të nervave kurrizore. Dëmtimi i kombinuar i rrënjëve të përparme dhe të pasme në nivelin e lidhjes së tyre në një kordon të përbashkët (Fig.) ishte caktuar më parë... ... Enciklopedia mjekësore
Qarkullimi kurrizor- (sinonim i qarkullimit cerebrospinal) Është vërtetuar se disa segmente të sipërme të qafës së mitrës të palcës kurrizore furnizohen me gjak nga arteriet kurrizore anteriore dhe të pasme, të cilat lindin nga arteriet vertebrale. Segmentet e vendosura poshtë segmenteve CIII CIV... ... Enciklopedia mjekësore
Kur zgjidhen ekuacionet dhe pabarazitë, shpesh është e nevojshme të faktorizohet një polinom shkalla e të cilit është tre ose më e lartë. Në këtë artikull do të shikojmë mënyrën më të lehtë për ta bërë këtë.
Si zakonisht, le t'i drejtohemi teorisë për ndihmë.
Teorema e Bezout thotë se pjesa e mbetur kur pjesëtohet një polinom me një binom është .
Por ajo që është e rëndësishme për ne nuk është vetë teorema, por konkluzion prej tij:
Nëse numri është rrënja e një polinomi, atëherë polinomi pjesëtohet me binomin pa mbetje.
Ne jemi përballur me detyrën që disi të gjejmë të paktën një rrënjë të polinomit, pastaj ta ndajmë polinomin me , ku është rrënja e polinomit. Si rezultat, marrim një polinom shkalla e të cilit është një më e vogël se shkalla e asaj origjinale. Dhe pastaj, nëse është e nevojshme, mund ta përsërisni procesin.
Kjo detyrë ndahet në dy: si të gjendet rrënja e një polinomi dhe si të pjesëtohet një polinom me një binom.
Le t'i hedhim një vështrim më të afërt këtyre pikave.
1. Si të gjejmë rrënjën e një polinomi.
Së pari kontrollojmë nëse numrat 1 dhe -1 janë rrënjë të polinomit.
Faktet e mëposhtme do të na ndihmojnë këtu:
Nëse shuma e të gjithë koeficientëve të një polinomi është zero, atëherë numri është rrënja e polinomit.
Për shembull, në një polinom shuma e koeficientëve është zero: . Është e lehtë të kontrollosh se cila është rrënja e një polinomi.
Nëse shuma e koeficientëve të një polinomi me fuqi çift është e barabartë me shumën e koeficientëve me fuqi tek, atëherë numri është rrënja e polinomit. Termi i lirë konsiderohet një koeficient për një shkallë çift, pasi , a është një numër çift.
Për shembull, në një polinom shuma e koeficientëve për fuqitë çift është: , dhe shuma e koeficientëve për fuqitë tek është: . Është e lehtë të kontrollosh se cila është rrënja e një polinomi.
Nëse as 1 dhe as -1 nuk janë rrënjë të polinomit, atëherë vazhdojmë.
Për një polinom të reduktuar të shkallës (d.m.th., një polinom në të cilin koeficienti kryesor - koeficienti në - është i barabartë me unitetin), formula Vieta është e vlefshme:
Ku janë rrënjët e polinomit.
Ekzistojnë edhe formula Vieta në lidhje me koeficientët e mbetur të polinomit, por ne jemi të interesuar për këtë.
Nga kjo formulë Vieta del se nëse rrënjët e një polinomi janë numra të plotë, atëherë ato janë pjesëtues të termit të tij të lirë, i cili gjithashtu është një numër i plotë.
Nisur nga kjo, duhet të faktorizojmë termin e lirë të polinomit dhe në mënyrë sekuenciale, nga më i vogli tek më i madhi, të kontrollojmë se cili prej faktorëve është rrënja e polinomit.
Konsideroni, për shembull, polinomin
Pjesëtuesit e termit të lirë: ;
;
;
Shuma e të gjithë koeficientëve të polinomit është e barabartë me , prandaj, numri 1 nuk është rrënja e polinomit.
Shuma e koeficientëve për fuqitë çift:
Shuma e koeficientëve për fuqitë tek:
Prandaj, numri -1 gjithashtu nuk është rrënjë e polinomit.
Le të kontrollojmë nëse numri 2 është rrënja e polinomit: prandaj, numri 2 është rrënja e polinomit. Kjo do të thotë, sipas teoremës së Bezout, polinomi është i pjesëtueshëm me një binom pa mbetje.
2. Si të ndajmë një polinom në një binom.
Një polinom mund të ndahet në një binom nga një kolonë.
Ndani polinomin me një binom duke përdorur një kolonë: Ekziston një mënyrë tjetër për të ndarë një polinom me një binom - skema e Hornerit.
Shikoni këtë video për të kuptuar
si të ndahet një polinom me një binom me një kolonë dhe duke përdorur diagramin e Hornerit.
Vërej se nëse, kur ndahet me një kolonë, një shkallë e të panjohurës mungon në polinomin origjinal, ne shkruajmë 0 në vend të tij - në të njëjtën mënyrë si kur përpilojmë një tabelë për skemën e Horner. Pra, nëse duhet të ndajmë një polinom me një binom dhe si rezultat i ndarjes marrim një polinom, atëherë mund të gjejmë koeficientët e polinomit duke përdorur skemën e Hornerit: Mund të përdorim edhe
Skema Horner
për të kontrolluar nëse një numër i caktuar është rrënja e një polinomi: nëse numri është rrënja e një polinomi, atëherë pjesa e mbetur kur pjesëtohet polinomi me është e barabartë me zero, domethënë në kolonën e fundit të rreshtit të dytë të Diagrami i Hornerit marrim 0. Duke përdorur skemën e Hornerit, ne "vrasim dy zogj me një gur": në të njëjtën kohë kontrollojmë nëse numri është rrënja e një polinomi dhe e ndajmë këtë polinom me një binom.
Shembull.
Zgjidhe ekuacionin:
1. Të shkruajmë pjesëtuesit e termit të lirë dhe të kërkojmë rrënjët e polinomit midis pjesëtuesve të termit të lirë.
Pjesëtuesit e 24:
2. Le të kontrollojmë nëse numri 1 është rrënja e polinomit.
Shuma e koeficientëve të një polinomi, pra, numri 1 është rrënja e polinomit.
3. Ndani polinomin origjinal në një binom duke përdorur skemën e Hornerit.
A) Le të shkruajmë koeficientët e polinomit origjinal në rreshtin e parë të tabelës.
Në kolonën e fundit, siç pritej, ne e ndamë polinomin origjinal me një binom pa mbetje. Koeficientët e polinomit që rezultojnë nga ndarja janë paraqitur me blu në rreshtin e dytë të tabelës:
Është e lehtë të kontrollosh që numrat 1 dhe -1 nuk janë rrënjë të polinomit
B) Le të vazhdojmë tabelën. Le të kontrollojmë nëse numri 2 është rrënja e polinomit:
Pra, shkalla e polinomit, e cila fitohet si rezultat i pjesëtimit me një, është më e vogël se shkalla e polinomit origjinal, prandaj, numri i koeficientëve dhe numri i kolonave janë një më pak.
Në kolonën e fundit kemi marrë -40 - një numër që nuk është i barabartë me zero, prandaj, polinomi është i pjesëtueshëm me një binom me një mbetje, dhe numri 2 nuk është rrënja e polinomit.
C) Të kontrollojmë nëse numri -2 është rrënja e polinomit. Meqenëse përpjekja e mëparshme dështoi, për të shmangur konfuzionin me koeficientët, unë do të fshij vijën që korrespondon me këtë përpjekje:
E shkëlqyeshme! Ne morëm zero si mbetje, prandaj, polinomi u nda në një binom pa mbetje, prandaj, numri -2 është rrënja e polinomit. Koeficientët e polinomit që përftohen duke pjesëtuar një polinom me një binom janë paraqitur me ngjyrë të gjelbër në tabelë.
Si rezultat i ndarjes marrim një trinom kuadratik 
, rrënjët e të cilit mund të gjenden lehtësisht duke përdorur teoremën e Vieta:
Pra, rrënjët e ekuacionit origjinal janë:
{
}
Përgjigje: ( 
}
Skema e Horner - një metodë e ndarjes së një polinomi
$$P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n)+a_(1)x^(n-1 )+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$$
në binomin $x-a$. Ju do të duhet të punoni me një tabelë, rreshti i parë i së cilës përmban koeficientët e një polinomi të caktuar. Elementi i parë i rreshtit të dytë do të jetë numri $a$, marrë nga binomi $x-a$:
Pas pjesëtimit të një polinomi të shkallës së nëntë me një binom $x-a$, fitojmë një polinom shkalla e të cilit është një më pak se ajo origjinale, d.m.th. është e barabartë me $n-1$. Zbatimi i drejtpërdrejtë i skemës së Hornerit është më i lehtë për t'u demonstruar me shembuj.
Shembulli nr. 1
Ndani $5x^4+5x^3+x^2-11$ me $x-1$ duke përdorur skemën e Horner.
Le të bëjmë një tabelë me dy rreshta: në rreshtin e parë shkruajmë koeficientët e polinomit $5x^4+5x^3+x^2-11$, të renditur në rend zbritës të fuqive të ndryshores $x$. Vini re se ky polinom nuk përmban $x$ në shkallën e parë, d.m.th. koeficienti i $x$ ndaj fuqisë së parë është 0. Meqenëse po pjesëtojmë me $x-1$, shkruajmë një në rreshtin e dytë:
Le të fillojmë të plotësojmë qelizat boshe në rreshtin e dytë. Në qelizën e dytë të rreshtit të dytë shkruajmë numrin $5$, thjesht duke e zhvendosur atë nga qeliza përkatëse e rreshtit të parë:
Le të mbushim qelizën tjetër sipas këtij parimi: $1\cdot 5+5=10$:
Le të plotësojmë qelizën e katërt të rreshtit të dytë në të njëjtën mënyrë: $1\cdot 10+1=11$:
Për qelizën e pestë marrim: $1\cdot 11+0=11$:
Dhe së fundi, për qelizën e fundit, të gjashtë, kemi: $1\cdot 11+(-11)=0$:
Problemi është zgjidhur, gjithçka që mbetet është të shkruajmë përgjigjen:
Siç mund ta shihni, numrat e vendosur në rreshtin e dytë (midis një dhe zeros) janë koeficientët e polinomit të marrë pas pjesëtimit të $5x^4+5x^3+x^2-11$ me $x-1$. Natyrisht, meqenëse shkalla e polinomit origjinal $5x^4+5x^3+x^2-11$ ishte e barabartë me katër, atëherë shkalla e polinomit që rezulton $5x^3+10x^2+11x+11$ është një më pak, d.m.th. është e barabartë me tre. Numri i fundit në rreshtin e dytë (zero) nënkupton mbetjen kur pjesëtohet polinomi $5x^4+5x^3+x^2-11$ me $x-1$. Në rastin tonë, pjesa e mbetur është zero, d.m.th. polinomet janë të pjestueshëm në mënyrë të barabartë. Ky rezultat mund të karakterizohet edhe si vijon: vlera e polinomit $5x^4+5x^3+x^2-11$ në $x=1$ është e barabartë me zero.
Përfundimi mund të formulohet edhe në këtë formë: meqenëse vlera e polinomit $5x^4+5x^3+x^2-11$ në $x=1$ është e barabartë me zero, atëherë uniteti është rrënja e polinomit $5x^4+5x^3+ x^2-11$.
Shembulli nr. 2
Ndajeni polinomin $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ me $x+3$ duke përdorur skemën e Hornerit.
Le të përcaktojmë menjëherë se shprehja $x+3$ duhet të paraqitet në formën $x-(-3)$. Skema e Horner do të përfshijë saktësisht -3$. Meqenëse shkalla e polinomit origjinal $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ është e barabartë me katër, atëherë si rezultat i ndarjes marrim një polinom të shkallës së tretë:
Rezultati do të thotë se
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^ 3+4x-17)+4$$
Në këtë situatë, pjesa e mbetur kur pjesëtoni $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ me $x+3$ është $4$. Ose, çfarë është e njëjta, vlera e polinomit $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ për $x=-3$ është e barabartë me $4$. Nga rruga, kjo është e lehtë për t'u kontrolluar dy herë duke zëvendësuar drejtpërdrejt $x=-3$ në polinomin e dhënë:
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cdot (-3)-47=4.$$
Ato. Skema e Horner mund të përdoret nëse ju duhet të gjeni vlerën e një polinomi për një vlerë të caktuar të një ndryshoreje. Nëse qëllimi ynë është të gjejmë të gjitha rrënjët e një polinomi, atëherë skema e Hornerit mund të zbatohet disa herë radhazi derisa të kemi shterur të gjitha rrënjët, siç diskutohet në shembullin nr. 3.
Shembulli nr. 3
Gjeni të gjitha rrënjët me numra të plotë të polinomit $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ duke përdorur skemën e Hornerit.
Koeficientët e polinomit në fjalë janë numra të plotë dhe koeficienti i fuqisë më të lartë të ndryshores (d.m.th., $x^6$) është i barabartë me një. Në këtë rast, rrënjët e plota të polinomit duhet të kërkohen midis pjesëtuesve të termit të lirë, d.m.th. ndër pjesëtuesit e numrit 45. Për një polinom të caktuar, rrënjë të tilla mund të jenë numrat $45; \; 15; \; 9; \; 5; \; 3; \; 1$ dhe -45$; \; -15; \; -9; \; -5; \; -3; \; -1$. Le të kontrollojmë, për shembull, numrin $1$:
Siç mund ta shihni, vlera e polinomit $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ me $x=1$ është e barabartë me $192$ (numri i fundit në rreshtin e dytë), dhe jo $0 $, prandaj uniteti nuk është rrënja e këtij polinomi. Meqenëse kontrolli për njërin dështoi, le të kontrollojmë vlerën $x=-1$. Ne nuk do të krijojmë një tabelë të re për këtë, por do të vazhdojmë të përdorim tabelën. Nr. 1, duke shtuar një rresht të ri (të tretë). Rreshti i dytë, në të cilin u kontrollua vlera 1$, do të theksohet me të kuqe dhe nuk do të përdoret në diskutime të mëtejshme.
Sigurisht, thjesht mund ta rishkruani përsëri tabelën, por plotësimi i saj me dorë do të marrë shumë kohë. Për më tepër, mund të ketë disa numra, verifikimi i të cilëve do të dështojë, dhe është e vështirë të shkruhet një tabelë e re çdo herë. Kur llogaritni "në letër", vijat e kuqe thjesht mund të kalohen.
Pra, vlera e polinomit $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ në $x=-1$ është e barabartë me zero, d.m.th. numri $-1$ është rrënja e këtij polinomi. Pasi pjesëtojmë polinomin $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ me binomin $x-(-1)=x+1$ fitojmë polinomin $x. ^5+x ^4-22x^3+2x^2+69x+45$, koeficientët e të cilit janë marrë nga rreshti i tretë i tabelës. Nr. 2 (shih shembullin nr. 1). Rezultati i llogaritjeve mund të paraqitet edhe në këtë formë:
\filloj(ekuacioni)x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2 +69x+45)\fund (ekuacion)
Le të vazhdojmë kërkimin për rrënjët e numrave të plotë. Tani duhet të kërkojmë rrënjët e polinomit $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Përsëri, rrënjët e plota të këtij polinomi kërkohen midis pjesëtuesve të termit të tij të lirë, numrat $45$. Le të përpiqemi të kontrollojmë përsëri numrin $-1$. Ne nuk do të krijojmë një tabelë të re, por do të vazhdojmë të përdorim tabelën e mëparshme. Nr 2, d.m.th. Le t'i shtojmë një rresht më shumë:
Pra, numri $-1$ është rrënja e polinomit $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Ky rezultat mund të shkruhet kështu:
\fillimi(ekuacioni)x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \fund (ekuacioni)
Duke marrë parasysh barazinë (2), barazia (1) mund të rishkruhet në formën e mëposhtme:
\fillim(ekuacioni)\fillim(i rreshtuar) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x ^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^ 4-22x^2+24x+45)\fund (lidhur)\fund (ekuacion)
Tani duhet të kërkojmë rrënjët e polinomit $x^4-22x^2+24x+45$, natyrisht, midis pjesëtuesve të termit të tij të lirë (numrat $45$). Le të kontrollojmë përsëri numrin $-1$:
Numri $-1$ është rrënja e polinomit $x^4-22x^2+24x+45$. Ky rezultat mund të shkruhet kështu:
\fillimi(ekuacioni)x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \fund(ekuacioni)
Duke marrë parasysh barazinë (4), ne e rishkruajmë barazinë (3) në formën e mëposhtme:
\fillim(ekuacioni)\fillim(i rreshtuar) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3 +24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^ 2-21x+45)\fund (të rreshtuar)\fund (ekuacion)
Tani po kërkojmë rrënjët e polinomit $x^3-x^2-21x+45$. Le të kontrollojmë përsëri numrin $-1$:
Kontrolli përfundoi me dështim. Le të theksojmë rreshtin e gjashtë me të kuqe dhe të përpiqemi të kontrollojmë një numër tjetër, për shembull, numrin $3$:
Pjesa e mbetur është zero, prandaj numri $3$ është rrënja e polinomit në fjalë. Pra, $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. Tani barazia (5) mund të rishkruhet si më poshtë.
