Paraqitja e informacionit numerik duke përdorur sistemet e numrave
Numrat përdoren për të regjistruar informacione rreth numrit të objekteve. Numrat shkruhen duke përdorur sisteme të veçanta të shenjave të quajtura sisteme numrash. Alfabeti i sistemeve të numrave përbëhet nga simbole të quajtura shifra. Për shembull, në sistemin e numrave dhjetorë, numrat shkruhen duke përdorur dhjetë shifra të njohura: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Shënimiështë një sistem shenjash në të cilin numrat shkruhen sipas rregullave të caktuara duke përdorur simbole të një alfabeti të caktuar, të quajtur numra.
Të gjitha sistemet e numrave ndahen në dy grupe të mëdha: pozicionale Dhe jopozicionale sistemet e numrave. Në sistemet e numrave pozicional, vlera e një shifre varet nga pozicioni i saj në numër, por në sistemet e numrave jopozicional nuk varet.
Sistemi i numrave jopozicional romak. Më i zakonshmi nga sistemet e numrave jopozicional është romak. Numrat e përdorur në të janë: I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500), M (1000).
Kuptimi i një shifre nuk varet nga pozicioni i saj në numër. Për shembull, në numrin XXX (30), numri X shfaqet tre herë dhe në secilin rast tregon të njëjtën vlerë - numri 10, tre numra nga 10 shtohen në 30.
Madhësia e një numri në sistemin numerik romak përcaktohet si shuma ose ndryshimi i shifrave në numër. Nëse numri më i vogël është në të majtë të atij më të madh, atëherë ai zbritet, nëse në të djathtë, shtohet. Për shembull, shkrimi i numrit dhjetor 1998 në sistemin numerik romak do të duket kështu:
MCMXCVIII = 1000 + (1000 - 100) + (100 -10)+ 5 + 1 + 1 + 1.
Sistemet e numrave pozicional. Sistemi i parë i numrave pozicional u shpik në Babiloninë e Lashtë, dhe numërimi babilonas ishte seksagesimal, domethënë përdorte gjashtëdhjetë shifra! Është interesante se ne ende përdorim një bazë prej 60 kur matim kohën (1 minutë përmban 60 sekonda dhe 1 orë përmban 60 minuta).
Në shekullin e 19-të, sistemi i numrave duodecimal u bë mjaft i përhapur. Deri më tani, ne shpesh përdorim një duzinë (numri 12): ka dy duzina orë në ditë, një rreth përmban tridhjetë dhjetëra gradë, e kështu me radhë.
Vlera sasiore e një shifre varet nga pozicioni i saj në numër.
Sistemet më të zakonshme të numrave pozicional sot janë dhjetorë, binare, oktalë dhe heksadecimalë. Çdo sistem pozicioni ka një specifikë alfabeti i numrave Dhe bazë.
NË sistemet e numrave pozicional baza e sistemit është e barabartë me numrin e shifrave (shenjat në alfabetin e tij) dhe përcakton se sa herë ndryshojnë vlerat e shifrave identike në pozicionet ngjitur të numrit.
Sistemi i numrave dhjetor ka një alfabet numrash, i cili përbëhet nga dhjetë shifra të njohura, të ashtuquajturat arabe, dhe një bazë prej 10, binar - dy shifra dhe baza 2, oktal - tetë shifra dhe baza 8, heksadecimal - gjashtëmbëdhjetë shifra (si numra përdoren të dyja shkronjat e alfabetit latin dhe baza 16 (Tabela 1.2).
Sistemi i numrave dhjetorë. Le të marrim numrin dhjetor 555 si shembull Shifra 5 shfaqet tre herë, ku 5-ja më e djathtë përfaqëson pesë njëshe, e dyta nga e djathta përfaqëson pesë dhjetëshe dhe në fund e treta nga e djathta përfaqëson pesëqind.
Pozicioni i një shifre në një numër quhet shkarkimi. Shifra e një numri rritet nga e djathta në të majtë, nga shifra e ulët në të lartë. Në sistemin dhjetor, shifra e vendosur në pozicionin më të djathtë (shifror) tregon numrin e njësive, shifra e zhvendosur një pozicion në të majtë - numrin e dhjetëra, madje edhe më tej në të majtë - qindra, pastaj mijëra, e kështu me radhë. Prandaj, ne kemi një shifër njësish, një shifër dhjetëshe, e kështu me radhë.
Numri 555 është shkruar në formën e njohur mbështjellë formë. Ne jemi mësuar aq shumë me këtë formë shënimi sa nuk e vërejmë më se si shumëzojmë mendërisht shifrat e një numri me fuqi të ndryshme të numrit 10.
NË zgjeruar formë numri, një shumëzim i tillë shkruhet në mënyrë eksplicite. Pra, në formë të zgjeruar, shkrimi i numrit 555 në sistemin dhjetor do të duket kështu:
555 10 = 5 × 10 2 + 5 × 10 1 + 5 × 10 0.
Siç shihet nga shembulli, një numër në sistemin e numrave pozicional shkruhet si shuma e një serie numrash fuqish bazat(në këtë rast 10), koeficientët e të cilëve janë shifrat e këtij numri.
Eksponentët negativë përdoren për të shkruar thyesat dhjetore. Për shembull, numri 555.55 në formë të zgjeruar shkruhet si më poshtë:
555,55 10 = 5 × 10 2 + 5 × 10 1 + 5 × 10 0 + 5 × 10 -1 + 5 × 10 -2.
Në përgjithësi, në sistemin e numrave dhjetorë, shkrimi i numrit A 10, i cili përmban n shifra të plota dhe m shifra thyesore, duket kështu:
A 10 = a n-1 × 10 n-1 + ... + a 0 × 10 0 + a -1 × 10 -1 + ... + a -m × 10 -m
Koeficientët a i në këtë shënim janë shifrat e një numri dhjetor, i cili në formë të palosur shkruhet si më poshtë:
A 10 = a n-1 a n-2 ... a 0, a -1 ... a -m.
Nga formulat e mësipërme është e qartë se shumëzimi ose pjesëtimi i një numri dhjetor me 10 (vlera e bazës) çon në lëvizjen e pikës dhjetore që ndan pjesën e plotë nga pjesa thyesore një vend në të djathtë ose në të majtë, përkatësisht. . Për shembull:
555,55 10 × 10 = 5555,5 10;
555,55 10: 10 = 55,555 10 .
Sistemi binar i numrave. Në sistemin binar të numrave, baza është 2, dhe alfabeti përbëhet nga dy shifra (0 dhe 1). Rrjedhimisht, numrat në sistemin binar në formë të zgjeruar shkruhen si një shumë e fuqive të bazës 2 me koeficientë, që janë numrat 0 ose 1.
Për shembull, një numër binar i zgjeruar mund të duket kështu:
A 2 = 1 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 + 0 × 2 -1 + 1 × 2 -2.
Forma e palosur e të njëjtit numër:
A 2 = 101,01 2.
Në përgjithësi, në sistemin binar, shkrimi i numrit A 2, i cili përmban n shifra të plota dhe m shifra thyesore, duket kështu:
A 2 = a n-1 × 2 n-1 + a n-2 × 2 n-2 + ... + a 0 × 2 0 + a -1 × 2 -1 + ... + a -m × 2 -m
Koeficientët a i në këtë shënim janë shifrat (0 ose 1) të një numri binar, i cili në formë të palosur shkruhet si më poshtë:
A 2 = a n-1 a n-2 ... a 0 , a -1 a -2 ... a -m
Nga formulat e mësipërme është e qartë se shumëzimi ose pjesëtimi i një numri binar me 2 (vlera bazë) çon në lëvizjen e presjes që ndan pjesën e plotë nga pjesa thyesore me një shifër përkatësisht djathtas ose majtas. Për shembull:
101,01 2 × 2 = 1010,1 2;
101,01 2: 2 = 10,101 2 .
Sistemet e numrave pozicional me bazë arbitrare.Është e mundur të përdoren një sërë sistemesh numrash pozicional, baza e të cilave është e barabartë ose më e madhe se 2. Në sistemet e numrave me bazë q (sistemi i numrave q-ary), numrat në formë të zgjeruar shkruhen si një shumë e fuqive të baza q me koeficientë, që janë numrat 0, 1, q - 1:
A q = a n-1 × q n-1 + a n-2 × q n-2 + ... + a 0 × q 0 + a -1 × q -1 + ... + a -m × q -m
Koeficientët a i në këtë hyrje janë shifrat e numrit të shkruar në sistemin e numrave q-ary.
Kështu, në sistemin oktal, baza është e barabartë me tetë (q = 8). Atëherë numri oktal A 8 = 673.2 8 i shkruar në formë të palosur në formë të zgjeruar do të duket si:
A 8 = 6 × 8 2 + 7 × 8 1 + 3 × 8 0 + 2 × 8 -1.
Në sistemin heksadecimal, baza është gjashtëmbëdhjetë (q = 16), atëherë numri heksadecimal A 16 = 8A, F 16 i shkruar në formë të palosur do të duket si:
A 16 = 8 × 16 1 + A × 16 0 + F × 16 -1.
Nëse shprehim shifrat heksadecimalë përmes vlerave të tyre dhjetore (A=10, F=15), atëherë numri do të marrë formën:
A 16 = 8 × 16 1 + 10 × 16 0 + 15 × 16 -1.
Pyetje për t'u marrë parasysh
1. Si ndryshojnë sistemet e numrave pozicional nga ato jopozicionale?
2. A mund të përdoret një simbol i shkronjës si numër?
3. Sa shifra përdoren në sistemin e numrave q-ary?
Kërkimet
1.6. Shkruani numrat 19,99 10 ; 10.10 2; 64,5 8; 39,F 16 në formë të zgjeruar.
1.7. Sa herë do të rriten numrat 10.1 10? 10.1 2; 64,5 8; 39,F 16 kur zhvendoset numri dhjetor një vend djathtas?
1.8. Kur pika dhjetore zhvendoset dy vende në të djathtë, numri 11.11 x rritet 4 herë. Me çfarë është x e barabartë?
1.9. Cila është baza minimale që mund të ketë një sistem numrash nëse përmban numrat 23 dhe 67?
1.10. Shkruani numrin 1999 10 në sistemin numerik romak.
Rregullat: (zakonisht) mos vendosni më shumë se tre shifra identike në një rresht nëse shifra e ulët (vetëm një!) është në të majtë të shifrës së lartë, ajo zbritet nga shuma (pjesërisht jo pozicionale!) Shembuj: MDCXLIV = – – = = M M C C C L X X X I X M CCCLXXXIX = 1644
3999) është e nevojshme të futni shifra të reja (V, X, L, C, D, M) si të shkruani numrat thyesorë? si kryhen veprimet aritmetike: CCCLIX + CLXXIV =? Ku përdoret: numrat e kapitujve në libra: emërtimi i shekujve: “Piratët e XX” title=" Disavantazhet: për të shkruar numra të mëdhenj (>3999) duhet të futni shifra të reja (V, X, L, C, D, M ) si të shkruajmë numrat thyesorë: CCCLIX + CLXXIV = Ku përdoren: numrat e kapitujve në libra: përcaktimi i shekujve: "Piratët e XX"?" class="link_thumb"> 9 !} Disavantazhet: për të shkruar numra të mëdhenj (>3999) duhet të futni shifra të reja (V, X, L, C, D, M) si të shkruani numra thyesorë? si kryhen veprimet aritmetike: CCCLIX + CLXXIV =? Ku përdoret: numrat e kapitujve në libra: emërtimi i shekujve: numri i orës "Piratët e shekullit të 20-të" 3999) është e nevojshme të futni shifra të reja (V, X, L, C, D, M) si të shkruani numrat thyesorë? si kryhen veprimet aritmetike: CCCLIX + CLXXIV =? Ku përdoret: numrat e kapitujve në libra: përcaktimi i shekujve: "Piratët XX"> 3999) është e nevojshme të futni shifra të reja (V, X, L, C, D, M) si të shkruani numrat thyesorë? si të kryeni Veprimet aritmetike: CCCLIX + CLXXIV = Ku përdoren: numrat e kapitujve në libra: emërtimi i shekujve: "Piratët e shekullit të 20-të" numri i orës"> 3999) është e nevojshme të futen shifra të reja (V, X, L, C, D? , M) si të shkruajmë numrat thyesorë? si kryhen veprimet aritmetike: CCCLIX + CLXXIV =? Ku përdoret: numrat e kapitujve në libra: emërtimi i shekujve: “Piratët e XX” title=" Disavantazhet: për të shkruar numra të mëdhenj (>3999) duhet të futni shifra të reja (V, X, L, C, D, M ) si të shkruajmë numrat thyesorë: CCCLIX + CLXXIV = Ku përdoren: numrat e kapitujve në libra: përcaktimi i shekujve: "Piratët e XX"?"> title="Disavantazhet: për të shkruar numra të mëdhenj (>3999) duhet të futni shifra të reja (V, X, L, C, D, M) si të shkruani numra thyesorë? si kryhen veprimet aritmetike: CCCLIX + CLXXIV =? Ku përdoret: numrat e kapitujve në libra: emërtimi i shekujve: “Piratët XX"> !}
Në një sistem numrash pozicional, vlera sasiore e një shifre varet nga pozicioni i saj në numër. Pozicioni i shifrës quhet shifër. Shifra e numrit rritet nga e djathta në të majtë. Në numrin 555, 5-ja e parë është në pozicionin e qindsheve, 5-ja e dytë është në pozicionin e dhjetësheve dhe 5-ja e tretë është në pozicionin e njësive (555=).
A) = 5* * *10 0 b) = 1*2 2 +0*2 1 +1*2 0
Numri i kufizuar i karaktereve për shkrimin e numrave; Lehtësia e kryerjes së veprimeve aritmetike. Baza e sistemit të numrave pozicional (q) është numri i simboleve të përdorura për të shkruar një numër. Detyrë: sa dhe çfarë shifra nevojiten për të shkruar një numër në sistemin e numrave kuinar, në sistemin e numrave oktal, në sistemin e numrave heksadecimal.
Opsioni 1. 1. A është e vërtetë që një numër mund të shkruhet në sistemin e numrave binar? 2. A është e vërtetë që sistemet e numrave alfabetikë janë jopozicionalë? 3. A është e vërtetë që kompjuterët përdorin sistemin numerik romak? 4. A është e vërtetë që për llogaritjet komplekse aritmetike është e përshtatshme të përdoret sistemi i numrave romak? 5. A është e vërtetë që ekziston një shifër 2 në sistemin e numrave binar? Opsioni i 2-të. 1. A është e vërtetë që një numër mund të shkruhet në sistemin e numrave kuaternar? 2. A është e vërtetë që numrat arabë janë të përshtatshëm për llogaritjet komplekse aritmetike? 3. A është e vërtetë që memoria e kompjuterit përdor sistemin e numrave dhjetorë? 4. A është e vërtetë që të gjitha sistemet e numrave ndahen në dy grupe të mëdha? 5. A është e vërtetë që sistemi i numrave dhjetorë është pozicional?
Opsioni Përgjigjuni numrave po jo 2 po jo tabela për kontrollin e rezultateve të testit "5" - pa gabime "4" - një gabim "3" - dy gabime "2" - tre gabime Kriteret e vlerësimit:
E gjithë bota e di se kalendari i Majave përfundon më 21 dhjetor 2012. Por askush nuk e di pse. Le të fillojmë me faktin se në fakt nuk përfundon kalendari, por i ashtuquajturi Cikli i Madh. Ose "Dielli i Pestë" në terminologjinë Maja, që zgjat 5126 vjet. Dita e fundit e këtij cikli është 21 dhjetor 2012. Por ky nuk është fundi i botës. Pas vitit 2012 fillon cikli i radhës. Sipas shkencëtarëve, "Dielli i Pestë" filloi në 13 gusht 3113 para Krishtit. Pse atëherë? Me çfarë ngjarje lidhej kjo? Askush nuk e di. Nuk dihet gjithashtu se ku e kanë marrë Majat e lashtë sistemin e tyre të sofistikuar të numërimit të kohës dhe ndarjes së saj në cikle.
Pyetja nr. 2 Paraqitja e informacionit numerik duke përdorur sistemet e numrave. Sistemet e numrave pozicional.
D
Një sistem numrash është një sistem shenjash në të cilin numrat shkruhen sipas rregullave të caktuara duke përdorur simbole të një alfabeti të caktuar të quajtur numra.
Të gjitha sistemet e numrave ndahen në dy grupe të mëdha: sistemet e numrave pozicional dhe jopozicional. Në sistemet e numrave pozicional, vlera e një shifre varet nga pozicioni i saj në numër, por në sistemet e numrave jopozicional nuk varet.
Sistemi më i zakonshëm i numrave jopozicional është romak. Numrat e përdorur në të janë: I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500), M (1000). Kuptimi i një shifre nuk varet nga pozicioni i saj në numër (XXX (30) - shifra X shfaqet tre herë dhe në secilin rast tregon të njëjtën vlerë - 10). Madhësia e një numri në sistemin numerik romak përcaktohet si shuma ose ndryshimi i shifrave në numër. Nëse numri më i vogël është në të majtë të atij më të madh, atëherë ai zbritet, nëse në të djathtë, shtohet.
Sistemet e numrave pozicional.
P
Në sistemet e numrave pozicional, vlera sasiore e një shifre varet nga pozicioni i saj në numër.
N
Në sistemet e numrave pozicional, baza e sistemit është e barabartë me numrin e shifrave (shenjat në alfabetin e tij) dhe përcakton se sa herë ndryshojnë vlerat e shifrave identike në pozicionet ngjitur të numrit.
|
Sistemi i numrave |
Baza |
Alfabeti i numrave |
|
dhjetore |
0,1,2.3,4,5,6,7,8,9 |
|
|
Binar | ||
|
oktal | ||
|
Heksadecimal |
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A (10), B(11),C(12),D(13),E(14),F(15) |
Si shembull, merrni parasysh numrin dhjetor 555. Pozicioni i një shifre në një numër quhet - shkarkimi. Shifra e një numri rritet nga e djathta në të majtë, nga shifra e ulët në të lartë. Në sistemin dhjetor, shifra e vendosur në pozicionin më të djathtë (shifror) tregon numrin e njësive, shifra e zhvendosur një pozicion në të majtë - numrin e dhjetëra, madje edhe më tej në të majtë - qindra, pastaj mijëra, e kështu me radhë. Prandaj, ne kemi një shifër njësish, një shifër dhjetëshe, e kështu me radhë. Numri 555 është shkruar në formën tonë të njohur të shembur. Në formë të zgjeruar duket kështu.
Pozicioni i shenjës në imazhin e numrit nuk varet nga vlera që përfaqëson. Vlera e shënuar me një shifër në shënimin e një numri varet nga pozicioni i saj.
Dhjetorja e lashtë egjiptiane Rreth mijëvjeçarit të tretë para Krishtit, egjiptianët e lashtë dolën me sistemin e tyre numerik, në të cilin ikona të veçanta - hieroglife - u përdorën për të treguar numrat kryesorë 1, 100, etj. Të gjithë numrat e tjerë përbëheshin nga këta numra kyç duke përdorur veprimin e mbledhjes. Shënimi Egjipti i lashtëështë dhjetore, por jo pozicionale dhe shtuese.
1. Si shumica e njerëzve, egjiptianët përdorën shkopinj për të numëruar një numër të vogël objektesh. Nëse duhet të përshkruhen disa shkopinj, atëherë ato janë përshkruar në dy rreshta, dhe rreshti i poshtëm duhet të ketë të njëjtin numër shkopinjsh si pjesa e sipërme, ose një më shumë. 10. Egjiptianët i lidhnin lopët me pranga të tilla Nëse keni nevojë të përshkruani disa dhjetëra, atëherë hieroglifi u përsërit me numrin e kërkuar. E njëjta gjë vlen edhe për hieroglifët e tjerë. 100. Ky është një litar matës që është përdorur për të matur parcelat e tokës pas përmbytjes së Nilit. 1000 A keni parë ndonjëherë një zambak uji në lulëzim? Nëse jo, atëherë nuk do ta kuptoni kurrë pse egjiptianët i dhanë një rëndësi të tillë imazhit të kësaj lule. 10,000 "Kini kujdes në numër të madh!" - thotë gishti tregues i ngritur. 100,000 Ky është një gërshërë. Tadpole e zakonshme bretkose. 1000 duke parë një numër të tillë, një person i zakonshëm do të habitet shumë dhe do të ngrejë duart drejt qiellit. Kjo është ajo që ky hieroglif përfaqëson 10,000 Egjiptianët adhuronin Amon Ra, perëndinë e Diellit, dhe kjo është arsyeja pse ata përshkruanin numrin e tyre më të madh si. dielli në rritje
Shifrat e numrit janë regjistruar duke filluar me vlerat më të mëdha dhe duke përfunduar me ato më të voglat. Nëse nuk kishte dhjetëshe, njësi ose ndonjë shifër tjetër, atëherë ne kalonim në shifrën tjetër. Përpiquni të shtoni këta dy numra, duke ditur që nuk mund të përdorni më shumë se 9 hieroglife identike dhe menjëherë do të kuptoni se për të punuar me këtë sistem ju nevojiten person i veçantë. Një person i zakonshëm nuk mund ta bëjë këtë.
Në sistemet e numrave jopozicionalë, pozicioni i shifrës në shënimin e numrave nuk varet nga vlera që përfaqëson. Një shembull është sistemi romak. Në sistemin romak shkronjat latine përdoren si numra: I 1 V 5 X 10 L 50 C 100 D 500 M 1000 Një numër në sistemin numerik romak shënohet me një grup shifrash të njëpasnjëshme. Në një shënim të tillë numrash, kuptimi i shifrës nuk varet nga vendi i tij në shënimin e numrave.
Një numër në sistemin numerik romak përcaktohet nga një grup shifrash të njëpasnjëshme. Vlera e një numri është e barabartë me: Shuma e vlerave të disa shifrave identike në një rresht (grupi i llojit të parë); III=3. Dallimi midis vlerave të dy shifrave, nëse në të majtë të shifrës më të madhe ka një më të vogël (grupi i llojit të dytë). IV=4. ü Shifra e majtë mund të jetë më e vogël se e djathta me një maksimum prej një renditjeje madhësie: ü vetëm X (10) mund të shfaqet para L(50) dhe C(100); ü para D(500) dhe M(1000) – vetëm C(100); ü para V(5) – vetëm I(1). Shuma e vlerave të grupeve dhe numrave që nuk përfshihen në grupet e tipit të parë dhe të dytë. CLVI=156. Nuk duhet të ketë më shumë se tre numra identikë afër. Numri 32 =XXXII = (X+X+X)+(I+I)= 30+2 Numri 444 = CDXLIV=(D-C)+(L-X)+(V-I)= 400+40+4. Numri 1974 në sistemin numerik romak duket si MCMLXXIV= M+(M-C)+L+(X+X)+(V-I)=1000+900+50+20+4. MCMXCVIII = 1000+(1000 -100)+(100 -10)+5+1+1+1 = 1998
Nuk ka asnjë informacion të besueshëm për origjinën e numrave romakë. Në numërimin romak, gjurmët e sistemit të numrave të pesëfishtë janë qartë të dukshme. Në gjuhën e romakëve nuk ka gjurmë të sistemit të pesëfishtë. Kjo do të thotë se këta numra u huazuan nga romakët nga një popull tjetër (me shumë mundësi etruskët). Ky numërim mbizotëroi në Itali deri në shekullin e 13-të, dhe në vende të tjera Evropën Perëndimore- deri në shekullin e 16-të. Në Shën Petersburg ndodhet një monument i Pjetrit I. Në piedestalin e granitit të monumentit ka një numër romak: MDCCLXXXII = 1000 + 500 + 100 + 50 + 3*10 + 2 = 1782. Ky është viti i hapjes së monumentit. Numrat romakë janë përdorur për një kohë shumë të gjatë. Edhe 200 vjet më parë, në letrat e biznesit, numrat duhej të tregoheshin me numra romakë (besohej se numrat e zakonshëm arabë ishin të lehtë për t'u falsifikuar). E hasim mjaft shpesh në jetën e përditshme. Këto janë numrat e kapitujve në libra, treguesit e shekullit, numrat në një numërues ore, etj.
Sistemi seksagezimal babilonas Fillimi i shfaqjes së tij konsiderohet të jetë mijëvjeçari i dytë para Krishtit. e. Numrat në këtë sistem përbëheshin nga dy lloje shenjash: Numri 60 dhe fuqitë e tjera të 60 u caktuan në të njëjtën mënyrë si 1. Për të përcaktuar vlerën e një numri, rekordi i tij duhej të ndahej në shifra nga e djathta në të majtë. Alternimi i grupeve të numrave identikë i përgjigjej alternimit të shifrave: 132= ? ?
Vlera e një numri përcaktohej nga vlerat e shifrave përbërëse të tij, por duke marrë parasysh faktin se shifrat në secilën shifër pasuese "peshonin" 60 herë më shumë se të njëjtat shifra të shifrës së mëparshme. Rezulton se në numrat nga 1 deri në 59 kuptimi i një shifre nuk varej nga numri i saj, por për numrat më të mëdhenj ose të barabartë me 60, kuptimi i një shifre varej nga pozicioni i saj në regjistrimin e numrave. Këtu mund të lindë konfuzion: shenja e njësisë mund të interpretohet si çdo fuqi e numrit 60; numri mund të jetë 92 (60+30+2) ose 3632 (3600+30+2); mund të jetë i barabartë me 444 (7*60+24) ose 7*3600+24. Kjo ishte për shkak të mungesës së 0. Më pas, babilonasit futën një shenjë për të treguar shifrën seksagesimale që mungonte. Por ky simbol zakonisht nuk vendosej në fund të numrit, kështu që nuk ishte një zero në kuptimin tonë. Ky sistem numrash është i pari i bazuar në parimin e pozicionit. Ata vënë në dukje rolin e madh të këtij sistemi numrash në matematikë dhe astronomi. Pra, ne ende e ndajmë një orë në 60 minuta, dhe një minutë në 60 sekonda, një rreth në 360 pjesë (gradë).
Sistemi i numrave dhjetorë jopozicional të Egjiptit të lashtë Shfaqja e këtij sistemi daton në gjysmën e dytë të mijëvjeçarit të tretë para Krishtit. e. Përdorte shenja të veçanta për të treguar fuqitë e dhjetës: Numri 345 shkruhej kështu: . Çdo shifër në një numër nuk duhet të përsëritet më shumë se 9 herë. Shufrat dhe sistemet e numrave të lashtë egjiptianë bazoheshin në parimin e mbledhjes, sipas të cilit vlera e një numri është e barabartë me shumën e vlerave të shifrave të përfshira në shkrimin e numrit. Në një shënim të tillë numrash, kuptimi i shifrës nuk varet nga vendi që zë në shënimin e numrave.
Rusia e lashtë Një shembull i përdorimit të këtyre shenjave në Rusi: faturat për pagimin e taksave (yasak), të cilat plotësoheshin nga mbledhësit e taksave dhe paguheshin
Sllave cirilike dhjetore alfabetike Ky numërim u krijua së bashku me sistemin alfabetik sllav për përkthimin e Biblës nga Kirili dhe Metodi në shekullin IX. Kjo formë e shkrimit të numrave ishte plotësisht e ngjashme me shkrimin grek të numrave. Deri në shekullin e 17-të, kjo formë e regjistrimit të numrave ishte zyrtare në territor Rusia moderne, Bjellorusia, Ukraina, Bullgaria, Hungaria, Serbia dhe Kroacia. Deri më tani, librat e kishës ortodokse përdorin këtë numërim.
Numrat shkruheshin nga shifrat në të njëjtën mënyrë nga e majta në të djathtë, nga e madhe në të vogël. Numrat nga 11 deri në 19 shkruheshin me dy shifra, me njësinë që vinte para dhjetës: Ne lexojmë fjalë për fjalë "katërmbëdhjetë" - "katër dhe dhjetë". Siç dëgjojmë, shkruajmë: jo 10+4, por 4+10, - katër dhe dhjetë. Numrat nga 21 e lart shkruheshin së pari me shenjën e dhjetësheve të plota. Shënimi i një numri është shtues ai përdor vetëm mbledhjen: = 800+60+3 Për të mos ngatërruar shkronjat dhe numrat, janë përdorur titujt - vija horizontale mbi numrat. "Mendja njerëzore nuk mund të kuptojë më shumë se kaq." Për të treguar numrat më të mëdhenj se 900, u përdorën ikona të veçanta që iu shtuan shkronjës. Kështu u formuan numrat:
Sistemet alfabetike të numrave Në sistemin alfabetik të numrave, fillimet e një sistemi pozicional janë të dukshme, pasi të njëjtat shkronja përdoreshin për të përcaktuar njësi të kategorive të ndryshme, vetëm me shtimin e emërtimeve të veçanta. Sisteme të tilla numrash ishin të papërshtatshëm për operacione me numra të mëdhenj. Gjatë zhvillimit të shoqërisë njerëzore, këto sisteme ia lanë vendin atyre pozicionale.
Sistemi indian shumëzues Sistemet e numrave pozicional u ngritën në mënyrë të pavarur nga njëri-tjetri në Babiloninë e lashtë, midis majave dhe, së fundi, në Indi. Në sisteme të tilla numrash, fillimisht u shfaqën shënime të veçanta, të shtuara në dhjetëra dhe qindra. Nëse dhjetëshet i shënojmë me X dhe qindëshet me Y, atëherë 323 = 3 Y 2 X 3. Sistemi modern i numrave dhjetorë u ngrit rreth shekullit të 5-të. N. e. në Indi. Shfaqja e këtij sistemi u bë e mundur pas shfaqjes së zeros. Emërtimi aktual 0 u shfaq për herë të parë në Greqi pasi shkencëtarët grekë u njohën me vëzhgimet astronomike të babilonasve. Për të përcaktuar kategorinë zero, grekët filluan të përdorin shkronjën O - shkronja e parë e fjalës "OUDEN" - ASGJE. Indianët kombinuan sistemin e tyre shumëzues me zeron greke dhe parimet alfabetike të shkrimit të numrave në Greqi.
Por ky sistem dhe numrat e përdorur në të quhen arabisht, sepse numra të tillë “i sollën” në Evropë tregtarët arabë së bashku me mallrat e tyre. Në Evropë, një sistem i tillë numrash u përhap që nga fillimi i shekullit të 12-të. Manuali i hartuar në shekullin e 9-të nga Muhamedi i Khorezmit luajti një rol vendimtar në përhapjen e tij. Ajo u përkthye në latinisht në shekullin e 12-të. Rregullat për zbritjen, shumëzimin dhe pjesëtimin me kolonë u zhvilluan gjithashtu në shekullin e 9-të nga matematikani i shquar Muhamed ibn Musa al Khwarizmi. Rregulla të tilla quhen algoritmi (algoritme) sipas emrit të tij.
Ai ishte një matematikan italian. Falë librit të tij “Liber Abaci”, Evropa mësoi sistemin indo-arab të numrave, i cili më vonë zëvendësoi numrat romakë.
Një sistem numrash pozicional quhet tradicional nëse baza e tij formohet nga terma progresion gjeometrik, dhe kuptimet e shifrave janë numra të plotë jo negativë. Një sekuencë bazë numrash, secila prej të cilave specifikon peshën e shifrës përkatëse. Emëruesi P i një progresion gjeometrik, termat e të cilit përbëjnë bazën e sistemit tradicional të numrave, quhet baza e këtij sistemi numerik. Sistemet tradicionale të numrave me bazë P quhen ndryshe P-ary.
Një sistem numrash ose numërimi është një mënyrë për të shkruar numra. Simbolet me të cilat shkruhen numrat quhen shifra dhe kombinimi i tyre quhet alfabeti i sistemit të numrave. Numri i shifrave që përbëjnë një alfabet quhet dimensioni i tij. Një sistem numrash quhet pozicional nëse ekuivalenti sasior i një shifre varet nga pozicioni i tij në shënimin e numrit. Në sistemin dhjetor me të cilin jemi njohur, vlera e një numri formohet si më poshtë: vlera e shifrave shumëzohet me "peshën" e shifrave përkatëse dhe mblidhen të gjitha vlerat që rezultojnë. Për shembull, 5047=5*1000+0*100+4*10+7*1. Kjo metodë e formimit të vlerës së një numri quhet shtues-shumësues.
Ku A është vetë numri, q është baza e sistemit të numrave, a është shifrat e sistemit të numrave të dhënë, n është numri i shifrave të pjesës së plotë të numrit, m është numri i shifrave të pjesës thyesore. të numrit. Shembull: 32478 = njësi dhjetëra qindra mijëra
Përkthimi nga SS 10 Përkthimi kryhet veçmas për numrin e plotë dhe veçmas për pjesën thyesore të numrit. Le të përkthejmë, për shembull, numrin 24.8510 në SS të 2-të. 24 2 0 12 2 2410 = 110002 0 6 2 0 3 2 1 1
Ajo ishte 1100 vjeç. Ajo shkoi në klasën 101. Ajo mbante 100 libra në çantën e saj. E gjithë kjo është e vërtetë, jo marrëzi. Kur ka dhjetë këmbë pluhur. Ajo ecte përgjatë rrugës, Një qenush me vetëm një bisht, por me njëqind këmbë, vraponte gjithmonë pas saj, Ajo kapte çdo zë me dhjetë veshët e saj, Dhe 10 duar të nxirë mbanin çantën dhe zinxhirin. Dhe 10 sy blu të errët shikonin nëpër botë si zakonisht. Por gjithçka do të bëhet krejtësisht e zakonshme, kur të kuptoni historinë tonë. PËRGJIGJE
Ajo ishte 12 vjeçe. Ajo shkoi në klasën e 5-të. Ajo mbante 4 libra në çantën e saj. E gjithë kjo është e vërtetë, jo marrëzi. Kur ka dhjetë këmbë pluhur. Ajo ecte rrugës, Një qenush me një bisht, por me njëqind këmbë, vraponte gjithmonë pas saj, Ajo kapte çdo zë me dhjetë veshët e saj, Dhe 2 duar të nxirë mbanin çantën dhe zinxhirin. Dhe 2 sy blu të errët shikonin nëpër botë si zakonisht. Por gjithçka do të bëhet krejtësisht e zakonshme, kur të kuptoni historinë tonë.
