Zgjidhe ekuacionin X 2 + (1x) 2 =x
Vërtetoni se nuk ka numra të plotë që rriten me 5 herë kur shifra fillestare zhvendoset në fund.
Në një mbretëri të caktuar, çdo dy njerëz janë ose miq ose armiq. Çdo person në një moment mund të grindet me të gjithë miqtë e tij dhe të bëjë paqe me të gjithë armiqtë e tij. Doli se çdo tre njerëz mund të bëhen miq në këtë mënyrë. Provoni se atëherë të gjithë njerëzit në këtë mbretëri mund të bëhen miq.
Në një trekëndësh, njëra nga medianat është pingul me një nga përgjysmuesit. Vërtetoni se njëra anë e këtij trekëndëshi është dyfishi i madhësisë së tjetrës.
Detyrat për mbajtjen e olimpiadës rajonale (qytetare) për nxënësit e shkollës në matematikë.
Në gjuajtjen e objektivit, atleti shënoi vetëm 8,9 dhe 10 pikë. Në total, pasi kishte gjuajtur më shumë se 11 goditje, ai shënoi saktësisht 100 pikë. Sa goditje bëri atleti dhe cilat ishin goditjet?
Vërtetoni të vërtetën e pabarazisë:
3. Zgjidheni ekuacionin:
Gjeni një numër treshifror që zvogëlohet me një faktor 7 pasi të keni kaluar shifrën e mesme.
Në trekëndëshin ABC, përgjysmuesit janë tërhequr nga kulmet A dhe B. Më pas, vijat paralele me këta përgjysmues janë tërhequr nga kulmi C. Pikat D dhe E të kryqëzimit të këtyre drejtëzave me përgjysmues janë të lidhura. Doli se vijat e drejta DE dhe AB janë paralele. Vërtetoni se trekëndëshi ABC është dykëndësh.
Detyrat për mbajtjen e olimpiadës rajonale (qytetare) për nxënësit e shkollës në matematikë.
Zgjidheni sistemin e ekuacioneve:
Në brinjët AB dhe AD të paralelogramit ABCD, merren përkatësisht pikat E dhe K, në mënyrë që segmenti EK të jetë paralel me diagonalen VD. Vërtetoni se sipërfaqet e trekëndëshave ALL dhe SDK janë të barabarta.
Ata vendosën të ulnin grupin e turistëve në autobusë në mënyrë që secili autobus të kishte të njëjtin numër pasagjerësh. Në fillim u futën 22 persona në çdo autobus, por rezultoi se nuk ishte e mundur të futej një turist. Kur një autobus mbeti bosh, të gjithë turistët hipën në autobusët e mbetur në mënyrë të barabartë. Sa autobusë ishin fillimisht dhe sa turistë ishin në grup, nëse dihet që çdo autobus mund të strehojë jo më shumë se 32 persona?
Detyrat për mbajtjen e olimpiadës rajonale (qytetare) për nxënësit e shkollës në matematikë.
Zgjidheni sistemin e ekuacioneve:
Vërtetoni se katër distanca nga një pikë në një rreth në kulmin e një katrori të brendashkruar në të nuk mund të jenë njëkohësisht numra racionalë.
Zgjidhjet e mundshme për problemet
1. Përgjigje: x=1, x=0,5
Lëvizja e shifrës fillestare në fund nuk e ndryshon vlerën e numrit. Në këtë rast, sipas kushteve të problemit, ata duhet të marrin një numër që është 5 herë më i madh se numri i parë. Prandaj, shifra e parë e numrit të dëshiruar duhet të jetë e barabartë me 1 dhe vetëm 1. (pasi nëse shifra e parë është 2 ose më shumë, vlera do të ndryshojë, 2*5=10). Kur zhvendosni 1 në fund, numri që rezulton përfundon me 1, prandaj nuk pjesëtohet me 5.
Nga kushti del se nëse A dhe B janë miq, atëherë C është ose armiku i tyre i përbashkët ose mik i përbashkët (përndryshe ata të tre nuk do të pajtohen). Le të marrim të gjithë miqtë e personit A. Nga sa u tha del se ata janë të gjithë miqësorë me njëri-tjetrin dhe janë në armiqësi me të tjerët. Tani le A dhe miqtë e tij të grinden me radhë me miqtë dhe të bëjnë paqe me armiqtë. Pas kësaj, të gjithë do të jenë miq.
Vërtet, le të jetë A i pari që do të grindet me miqtë e tij dhe do të bëjë paqe me armiqtë e tij, por atëherë secili nga miqtë e tij të mëparshëm do të bëjë paqe me të, dhe armiqtë e mëparshëm do të mbeten miq. Pra, të gjithë njerëzit rezultojnë të jenë miq të A-së, dhe për rrjedhojë miq të njëri-tjetrit.
Numri 111 plotpjesëtohet me 37, kështu që shuma e mësipërme pjesëtohet me 37.
Sipas kushtit, numri pjesëtohet me 37, pra shuma
Pjestueshem me 37.
Vini re se mediana dhe përgjysmuesja e treguar nuk mund të dalin nga i njëjti kulm, pasi përndryshe këndi në këtë kulm do të ishte më i madh se 180 0. Tani le në trekëndëshin ABC përgjysmuesin AD dhe median CE të kryqëzohen në pikën F. Atëherë AF është përgjysmues dhe lartësia në trekëndëshin ACE, që do të thotë se ky trekëndësh është dykëndësh (AC = AE), dhe meqë CE është mediana, atëherë AB = 2AE dhe, rrjedhimisht, AB = 2AC.
Zgjidhjet e mundshme për problemet
1. Përgjigje: 9 goditje për 8 pikë,
2 goditje për 9 pikë,
1 gjuajtje për 10 pikë.
Le x atleti bëri goditjet, duke eliminuar nga 8 pikë secili, y gjuajtje për 9 pikë, z gjuajtje për 10 pikë. Pastaj mund të krijoni një sistem:
Duke përdorur ekuacionin e parë të sistemit, shkruajmë:
Nga ky sistem rezulton se x+ y+ z=12
Le të shumëzojmë ekuacionin e dytë me (-8) dhe ta shtojmë atë tek i pari. Ne e kuptojmë atë y+2 z=4 , ku y=4-2 z, y=2(2- z) . Prandaj, në- një numër çift, d.m.th. y=2t, Ku.
Prandaj,
3. Përgjigje: x = -1/2, x = -4
Pas reduktimit të thyesave në të njëjtin emërues marrim
4. Përgjigje: 105
Le të shënojmë me x, y, z përkatësisht shifrat e para, të dyta dhe të treta të numrit treshifror të dëshiruar. Pastaj mund të shkruhet në formën . Kryqëzimi i shifrës së mesme do të rezultojë në një numër dyshifror. Sipas kushteve të problemit, d.m.th. numra të panjohur x, y, z plotësojnë ekuacionin
7(10 x+ z)=100 x+10 y+ x, i cili pasi sjell terma dhe shkurtesa të ngjashme merr formën 3 z=15 x+5 y.
Nga ky ekuacion del se z duhet të jetë i pjesëtueshëm me 5 dhe duhet të jetë pozitiv, pasi sipas kushtit . Prandaj z =5, dhe numrat x, y plotësoni ekuacionin 3 = 3x + y, i cili, për shkak të kushtit, ka një zgjidhje unike x = 1, y = 0. Për rrjedhojë, kushti i problemës plotësohet nga numri i vetëm 105.
Le të shënojmë me shkronjën F pikën në të cilën kryqëzohen drejtëzat AB dhe CE. Meqenëse drejtëzat DB dhe CF janë paralele, atëherë . Meqenëse BD është përgjysmues i këndit ABC, arrijmë në përfundimin se . Nga kjo rrjedh se, d.m.th. trekëndëshi BCF është dykëndësh dhe BC=BF. Por nga kushti del se katërkëndëshi BDEF është paralelogram. Prandaj BF = DE, dhe për rrjedhojë BC = DE. Është vërtetuar në mënyrë të ngjashme se AC = DE. Kjo çon në barazinë e kërkuar.
Zgjidhjet e mundshme për problemet
1.
Nga këtu (x + y) 2 = 1 , d.m.th. x + y = 1 ose x + y = -1.
Le të shqyrtojmë dy raste.
A) x + y = 1. Zëvendësimi x = 1 – y
b) x + y = -1. Pas zëvendësimit x = -1-y
Pra, vetëm katër çiftet e mëposhtme të numrave mund të jenë zgjidhje për sistemin: (0;1), (2;-1), (-1;0), (1;-2). Duke zëvendësuar në ekuacionet e sistemit origjinal, ne jemi të bindur se secili nga këto katër çifte është një zgjidhje e sistemit.
Trekëndëshat CDF dhe BDF kanë një bazë të përbashkët FD dhe lartësi të barabarta, pasi drejtëzat BC dhe AD janë paralele. Prandaj, zonat e tyre janë të barabarta. Në mënyrë të ngjashme, zonat e trekëndëshave BDF dhe BDE janë të barabarta, pasi drejtëza BD është paralele me drejtëzën EF. Dhe sipërfaqet e trekëndëshave BDE dhe BCE janë të barabarta, pasi AB është paralel me CD. Kjo nënkupton barazinë e kërkuar të sipërfaqeve të trekëndëshave CDF dhe BCE.
Duke marrë parasysh domenin e përcaktimit të funksionit, le të ndërtojmë një grafik.
Duke përdorur formulën 
le të bëjmë transformime të mëtejshme
Duke aplikuar formulat e mbledhjes dhe duke kryer transformime të mëtejshme, marrim
5. Përgjigje: 24 autobusë, 529 turistë.
Le të shënojmë me k numri fillestar i autobusëve. Nga kushtet e problemit del se dhe se numri i të gjithë turistëve është i barabartë 22 k +1 . Pas nisjes së një autobusi, të gjithë turistët u ulën në pjesën e mbetur (k-1) autobusët. Prandaj, numri 22 k +1 duhet të ndahet me k-1. Kështu, problemi është reduktuar në përcaktimin e të gjithë numrave të plotë për të cilët numri
Është numër i plotë dhe plotëson pabarazinë (numri n është i barabartë me numrin e turistëve të hipur në çdo autobus dhe sipas kushteve të problemit, autobusi mund të strehojë jo më shumë se 32 pasagjerë).
Një numër do të jetë një numër i plotë vetëm nëse numri është një numër i plotë. Kjo e fundit është e mundur vetëm nëse k=2 dhe në k=24 .
Nëse k=2 , Kjo n=45.
Po sikur k=24 , Kjo n=23.
Nga këtu dhe nga kushti ne marrim vetëm atë k=24 plotëson të gjitha kushtet e problemit.
Prandaj, fillimisht ka pasur 24 autobusë, dhe numri i të gjithë turistëve është i barabartë me n(k-1)=23*23=529
Zgjidhjet e mundshme për problemet
1. Përgjigje:
Atëherë ekuacioni do të marrë formën:
Ne kemi marrë një ekuacion kuadratik për r.
2. Përgjigje: (0;1), (2;-1), (-1;0), (1;-2)
Duke shtuar ekuacionet e sistemit, marrim , ose
Nga këtu (x + y) 2 = 1 , d.m.th. x + y = 1 ose x + y = -1.
Le të shqyrtojmë dy raste.
A) x + y = 1. Zëvendësimi x = 1 – y në ekuacionin e parë të sistemit, marrim
b) x + y = -1. Pas zëvendësimit x = -1-y në ekuacionin e parë të sistemit, marrim ose
Zgjidhja e një ekuacioni nënkupton gjetjen e vlerave të së panjohurës për të cilat barazia është e vërtetë.
Zgjidhja e ekuacionit
- Le të paraqesim ekuacionin si më poshtë:
2x * x - 3 * x = 0.
- Shohim se termat e ekuacionit në anën e majtë kanë një faktor të përbashkët x. Le ta nxjerrim nga kllapa dhe ta shkruajmë:
x * (2x - 3) = 0.
- Shprehja që rezulton është prodhimi i faktorëve x dhe (2x - 3). Kujtojmë se prodhimi është i barabartë me 0 nëse të paktën një nga faktorët është i barabartë me 0. Kjo do të thotë se ne mund të shkruajmë barazitë:
x = 0 ose 2x - 3 = 0.
- Kjo do të thotë që një nga rrënjët e ekuacionit origjinal është x 1 = 0.
- Le të gjejmë rrënjën e dytë duke zgjidhur ekuacionin 2x - 3 = 0.
Në këtë shprehje, 2x është minuend, 3 është subtrahend dhe 0 është diferenca. Për të gjetur minuendin, duhet të shtoni subtrahend në ndryshim:
Në shprehjen e fundit, 2 dhe x janë faktorë, 3 është një produkt. Për të gjetur faktorin e panjohur, duhet ta ndani produktin me faktorin e njohur:
Kështu, gjetëm rrënjën e dytë të ekuacionit: x 2 = 1.5.
Kontrollimi i korrektësisë së zgjidhjes
Për të zbuluar nëse një ekuacion është zgjidhur saktë, duhet të zëvendësoni vlerat numerike të x në të dhe të kryeni veprimet e nevojshme aritmetike. Nëse, si rezultat i llogaritjeve, rezulton se ana e majtë dhe e djathtë e shprehjes kanë të njëjtën vlerë, atëherë ekuacioni është zgjidhur saktë.
Le të kontrollojmë:
- Le të llogarisim vlerën e shprehjes origjinale në x 1 = 0 dhe të marrim:
2 * 0 2 - 3 * 0 = 0,
0 = 0, djathtas.
- Le të llogarisim vlerën e shprehjes për x 2 = 0 dhe marrim:
2 * 1,5 2 - 3 * 1,5 = 0,
2 * 2,25 - 4,5 = 0,
0 = 0, djathtas.
- Kjo do të thotë se ekuacioni është zgjidhur saktë.
Përgjigje: x 1 = 0, x 2 = 1,5.
për të zgjidhur matematikën. Gjeni shpejt zgjidhja e një ekuacioni matematikor në modalitet online. Faqja e internetit www.site lejon zgjidhin ekuacionin pothuajse çdo e dhënë algjebrike, trigonometrike ose ekuacioni transcendental në internet. Kur studioni pothuajse çdo degë të matematikës në faza të ndryshme, duhet të vendosni ekuacionet online. Për të marrë një përgjigje menjëherë, dhe më e rëndësishmja një përgjigje të saktë, ju duhet një burim që ju lejon ta bëni këtë. Falë sajtit www.site zgjidhni ekuacionet në internet do të duhen disa minuta. Avantazhi kryesor i www.site gjatë zgjidhjes së matematikës ekuacionet online- kjo është shpejtësia dhe saktësia e përgjigjes së dhënë. Faqja është në gjendje të zgjidhë çdo ekuacionet algjebrike në internet, ekuacionet trigonometrike në internet, ekuacionet transcendentale në internet, dhe gjithashtu ekuacionet me parametra të panjohur në modalitet online. Ekuacionet shërbejnë si një aparat i fuqishëm matematikor zgjidhjet probleme praktike. Me ndihmën ekuacionet matematikore është e mundur të shprehen fakte dhe marrëdhënie që mund të duken konfuze dhe komplekse në shikim të parë. Sasi të panjohura ekuacionet mund të gjendet duke formuluar problemin në matematikore gjuha në formë ekuacionet Dhe vendosin marrë detyrën në modalitet online në faqen e internetit www.site. Çdo ekuacioni algjebrik, ekuacioni trigonometrik ose ekuacionet që përmban transcendentale veçoritë që mund t'i lehtësoni vendosin online dhe merrni përgjigjen e saktë. Kur studion shkencat e natyrës, në mënyrë të pashmangshme ndeshesh me nevojën zgjidhjen e ekuacioneve. Në këtë rast, përgjigja duhet të jetë e saktë dhe duhet të merret menjëherë në modalitet online. Prandaj për zgjidhja e ekuacioneve matematikore në internet ne rekomandojmë faqen www.site, e cila do të bëhet kalkulatori juaj i domosdoshëm zgjidhja e ekuacioneve algjebrike në internet, ekuacionet trigonometrike në internet, dhe gjithashtu ekuacionet transcendentale në internet ose ekuacionet me parametra të panjohur. Për problemet praktike të gjetjes së rrënjëve të ndryshme ekuacionet matematikore burimi www.. Zgjidhja ekuacionet online vetë, është e dobishme të kontrolloni përgjigjen e marrë duke përdorur zgjidhja e ekuacioneve në internet në faqen e internetit www.site. Ju duhet të shkruani ekuacionin saktë dhe të merrni menjëherë zgjidhje online, pas së cilës mbetet vetëm të krahasoni përgjigjen me zgjidhjen tuaj të ekuacionit. Kontrollimi i përgjigjes do të zgjasë jo më shumë se një minutë, kjo është e mjaftueshme zgjidhni ekuacionin në internet dhe krahasoni përgjigjet. Kjo do t'ju ndihmojë të shmangni gabimet në vendim dhe korrigjoni përgjigjen me kohë zgjidhja e ekuacioneve në internet qoftë ajo algjebrike, trigonometrike, transcendentale ose ekuacioni me parametra të panjohur.
