Drejtëza pingule, kushti i pingulitetit të drejtëzave. Mësimi "Pendikular me drejtëz" Vërtetoni teoremën pingul me drejtëzën

Një vijë e drejtë (segment i një vije të drejtë) shënohet me dy shkronja të mëdha të alfabetit latin ose një shkronjë të vogël. Pika tregohet vetëm me një shkronjë të madhe latine.

Linjat nuk mund të kryqëzohen, të kryqëzohen ose të përkojnë. Drejtëzat ndërprerëse kanë vetëm një pikë të përbashkët, drejtëzat joprerëse nuk kanë asnjë pikë të përbashkët dhe drejtëzat që përputhen kanë të gjitha pikat e përbashkëta.

Përkufizimi. Dy drejtëza që kryqëzohen në kënde të drejta quhen pingul. Perpendikulariteti i drejtëzave (ose segmenteve të tyre) tregohet me shenjën e pingulitetit "⊥".

Për shembull:

E juaja AB Dhe CD(Fig. 1) kryqëzohen në pikë RRETH dhe ∠ AOC = ∠VOS = ∠AOD = ∠BOD= 90°, atëherë AB ⊥ CD.

Nëse AB ⊥ CD(Fig. 2) dhe kryqëzohen në pikë NË, pastaj ∠ ABC = ∠ABD= 90°

Vetitë e drejtëzave pingule

1. Përmes një pike A(Fig. 3) mund të vizatohet vetëm një drejtëz pingule AB në një vijë të drejtë CD; vijat e mbetura që kalojnë nëpër pikë A dhe kalimi CD, quhen vija të drejta të pjerrëta (Fig. 3, vija të drejta AE Dhe AF).

2. Nga një pikë A ju mund të ulni pingulën në një vijë të drejtë CD; gjatësia pingul (gjatësia e segmentit AB), i nxjerrë nga pika A drejtpërdrejt CD, është distanca më e shkurtër nga A te CD(Fig. 3).

Në këtë artikull do të shqyrtojmë në detaje në një aeroplan dhe në hapësirën tre-dimensionale. Le të fillojmë me përcaktimin e drejtëzave pingule, të tregojmë shënimin dhe të japim shembuj. Pas kësaj paraqesim një kusht të domosdoshëm dhe të mjaftueshëm për pingulitetin e dy drejtëzave dhe analizojmë në detaje zgjidhjet e problemeve karakteristike.

Navigimi i faqes.

Vijat pingule - informacioni bazë.

Shembull.

Tre pika janë dhënë në sistemin e koordinatave drejtkëndëshe Oxy. A janë drejtëzat AB dhe AC pingul?

Zgjidhje.

Vektorët dhe janë vektorët e drejtimit të drejtëzave AB dhe AC. Duke iu referuar artikullit, ne llogarisim . Vektorët dhe janë pingul, pasi . Pra, plotësohet kushti i nevojshëm dhe i mjaftueshëm për pingulitetin e drejtëzave AB dhe AC. Prandaj, drejtëzat AB dhe AC janë pingul.

Përgjigje:

Po, vijat e drejta janë pingule.

Shembull.

Janë të drejta dhe pingul?

Zgjidhje.

Vektori drejtues është një vijë e drejtë dhe është vektori drejtues i një vije të drejtë . Le të llogarisim produktin skalar të vektorëve dhe: . Është jo zero, prandaj, vektorët e drejtimit të vijave nuk janë pingul. Kjo do të thotë, kushti i pingulitetit të vijave nuk është i plotësuar, prandaj, vijat origjinale nuk janë pingule.

Përgjigje:

Jo, vijat e drejta nuk janë pingule.

Po kështu, kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për pingulitetin e vijave a dhe b në sistemin koordinativ drejtkëndor Oxyz në hapësirën tredimensionale ka formën , Ku Dhe janë vektorët e drejtimit të drejtëzave a dhe b përkatësisht.

Shembull.

Janë linjat e përcaktuara në sistemin koordinativ drejtkëndor Oxyz në hapësirën tredimensionale pingul me ekuacionet Dhe ?

Zgjidhje.

Numrat në emëruesit e ekuacioneve kanonike të një drejtëze në hapësirë janë koordinatat përkatëse të vektorit drejtues të drejtëzës. Dhe koordinatat e vektorit drejtues të vijës së drejtë, e cila përcaktohet nga ekuacionet parametrike të drejtëzës në hapësirë, janë koeficientët e parametrit. Kështu, dhe janë vektorët e drejtimit të drejtëzave të dhëna. Le të zbulojmë nëse ato janë pingule: . Meqenëse produkti skalar është zero, këta vektorë janë pingul. Kjo do të thotë se plotësohet kushti i pingulitetit të drejtëzave të dhëna.

Përgjigje:

Vijat e drejta janë pingul.

Për të kontrolluar pingulësinë e dy drejtëzave në një rrafsh, ekzistojnë kushte të tjera të nevojshme dhe të mjaftueshme për pingulësinë.

Teorema.

Që drejtëzat a dhe b të jenë pingul në një rrafsh, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që vektori normal i drejtëzës a të jetë pingul me vektorin normal të drejtëzës b.

Kushti i deklaruar i pingulitetit të vijave është i përshtatshëm për t'u përdorur nëse, duke përdorur ekuacionet e dhëna të vijave, mund të gjenden lehtësisht koordinatat e vektorëve normalë të vijave. Ky pohim korrespondon me ekuacionin e përgjithshëm drejtvizor të formularit , ekuacioni i drejtëzës në segmente dhe ekuacioni i drejtëzës me koeficient këndi.

Shembull.

Sigurohuni që të jetë drejt dhe pingul.

Zgjidhje.

Duke pasur parasysh ekuacionet e drejtëzave, është e lehtë të gjesh koordinatat e vektorëve normalë të këtyre drejtëzave. – vektor i vijës normale . Le ta rishkruajmë ekuacionin në formë , nga ku duken koordinatat e vektorit normal të kësaj drejtëze: .

Vektorët dhe janë pingul, pasi produkti i tyre skalar është i barabartë me zero: . Pra, plotësohet kushti i nevojshëm dhe i mjaftueshëm për pingulitetin e drejtëzave të dhëna, pra ato janë vërtet pingule.

Në veçanti, nëse një drejtëz a në një rrafsh përcaktohet nga një ekuacion i një drejtëze me një koeficient këndor të formës , dhe një drejtëz b të formës , atëherë vektorët normalë të këtyre drejtëzave kanë koordinata dhe , përkatësisht , dhe kushti për pingulitetin e këtyre drejtëzave reduktohet në marrëdhënien e mëposhtme ndërmjet koeficientëve këndorë.

Teorema. Nga një pikë jo në një vijë, mund të vizatoni një pingul me këtë vijë.

Dëshmi . Le të jetë A një pikë që nuk shtrihet në një vijë të caktuar a (Fig. 56, a). Le të vërtetojmë se nga pika A mund të vizatojmë një pingul me drejtëzën a. Le ta përkulim mendërisht rrafshin përgjatë vijës së drejtë a (Fig. 56, b) në mënyrë që gjysma e rrafshit me kufirin a, që përmban pikën A, të mbivendoset një gjysmë rrafsh tjetër. Në këtë rast, pika A do të mbivendoset në një pikë. Le ta shënojmë me shkronjën B. Le ta drejtojmë rrafshin dhe të vizatojmë një vijë të drejtë përmes pikave A dhe B.

Le të jetë H pika e prerjes së drejtëzave AB dhe a (Fig. 56, c). Kur avioni të përkulet përsëri përgjatë vijës së drejtë a, pika H do të mbetet në vend. Prandaj, rrezja HA do të mbivendoset me rreze HB, dhe kështu këndi 1 do të mbivendoset me këndin 2. Kështu, ∠1 = ∠2. Meqenëse këndet 1 dhe 2 janë ngjitur, shuma e tyre është 180°, pra secila prej tyre është një kënd i drejtë. Prandaj, segmenti AH është pingul me drejtëzën a. Teorema është vërtetuar.

Le ta vërtetojmë tani.

Teorema. Nga një pikë që nuk shtrihet në një vijë, nuk mund të vizatohen dy pingule në këtë vijë.

Dëshmi. Le të jetë A një pikë që nuk shtrihet në një vijë të caktuar a (shih Fig. 56, a). Le të vërtetojmë se nga pika A është e pamundur të vizatohen dy pingule në drejtëzën a. Le të supozojmë se nga pika A është e mundur të vizatohen dy pingule AH dhe AK në vijën a (Fig. 57). Le ta përkulim mendërisht rrafshin përgjatë vijës së drejtë a në mënyrë që gjysma e rrafshit me kufirin a, që përmban pikën A, të mbivendoset një gjysmë rrafsh tjetër. Kur përkulen, pikat H dhe K mbeten në vend, pika A mbivendoset në një pikë të caktuar. Le ta shënojmë me shkronjën B. Në këtë rast, segmentet AH dhe AK mbivendosen mbi segmentet BH dhe BK.

Këndet AHB dhe AKB janë kënde të kundërta, pasi secili prej tyre është i barabartë me shumën e dy këndeve të drejta. Prandaj, pikat A, H dhe B shtrihen në të njëjtën drejtëz dhe gjithashtu pikat A, K dhe B shtrihen në të njëjtën drejtëz.

Kështu, kemi marrë se dy drejtëza AH dhe AK kalojnë nëpër pikat A dhe B. Por kjo nuk mund të jetë. Për rrjedhojë, supozimi ynë është i pasaktë, që do të thotë se nga pika A është e pamundur të vizatohen dy pingule në drejtëzën a. Teorema është vërtetuar.

Vërejtje 1. Teoremat mbi ekzistencën dhe për pingulën unike të drejtëzës mund të kombinohen në një teoremë:

Nga një pikë që nuk shtrihet në një vijë, është e mundur të vizatoni një pingul me këtë vijë, dhe vetëm një.

Vërejtje 2. Nga teorema mbi veçantinë e një pingule në një drejtëz del se

dy drejtëza pingul me të njëjtën drejtëz nuk priten.

Supozoni se dy drejtëza pingule me një drejtëz priten në një pikë M. Pika M nuk mund të shtrihet në vijën e drejtë a, pasi në këtë rast formohet një kënd i kundërt më i madh se 180° (Fig. 58, a). Nëse pika M nuk shtrihet në vijën a (Fig. 58, b), atëherë nga pika M do të tërhiqen dy pingule në vijën a, gjë që është e pamundur. Kështu, dy drejtëza pingul me drejtëzën a nuk ndërpriten.

Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

Informacioni personal që mbledhim na lejon t'ju kontaktojmë me oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarje të ardhshme.
Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
Ne gjithashtu mund të përdorim të dhënat personale për qëllime të brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, me qëllim që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave ose kërkesave publike nga agjencive qeveritare në territorin e Federatës Ruse - zbuloni informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.

Teorema. Nga një pikë jo në një vijë, mund të vizatoni një pingul me këtë vijë.

Dëshmi. Le të jetë A një pikë që nuk shtrihet në një vijë të caktuar a (Fig. 56, a). Le të vërtetojmë se nga pika A mund të vizatojmë një pingul me drejtëzën a. Le ta përkulim mendërisht rrafshin përgjatë vijës së drejtë a (Fig. 56, b) në mënyrë që gjysma e rrafshit me kufirin a, që përmban pikën A, të mbivendoset një gjysmë rrafsh tjetër. Në këtë rast, pika A do të mbivendoset në një pikë. Le ta shënojmë me shkronjën B. Të zgjerojmë rrafshin dhe të vizatojmë një vijë të drejtë përmes pikave A dhe B.

Le të jetë H pika e kryqëzimit të drejtëzave AB dhe a (Fig. 56, c). Kur avioni të përkulet përsëri në një vijë të drejtë, pika H do të mbetet në vend. Prandaj, rrezja HA do të mbivendoset me rreze HB, dhe kështu këndi 1 do të mbivendoset me këndin 2. Kështu, ∠1 = ∠2. Meqenëse këndet 1 dhe 2 janë ngjitur, shuma e tyre është 180°, pra secila prej tyre është një kënd i drejtë. Prandaj, segmenti AH është pingul me drejtëzën a. Teorema është vërtetuar.

26. Vërtetoni teoremën mbi veçantinë e një pingule me një drejtëz. (Fig. 57 në tekstin shkollor)

Teorema. Nga një pikë që nuk shtrihet në një vijë, është e pamundur të vizatoni dy pingul në këtë vijë.

Dëshmi. Le të jetë A një pikë që nuk shtrihet në një vijë të caktuar a (shih Fig. 56, a). Le të vërtetojmë se nga pika A është e pamundur të vizatohen dy pingule në drejtëzën a. Le të supozojmë se nga pika A është e mundur të vizatohen dy pingule AH dhe AK në vijën a (Fig. 57). Le ta përkulim mendërisht rrafshin përgjatë vijës së drejtë a në mënyrë që gjysma e rrafshit me kufirin a, që përmban pikën A, të mbivendoset një gjysmë rrafsh tjetër. Kur përkulen, pikat H dhe K mbeten në vend, pika A mbivendoset në një pikë të caktuar. Le ta shënojmë me shkronjën B. Në këtë rast, segmentet AH dhe AK janë mbivendosur mbi segmentet BH dhe BK.

http://mthm.ru/geometry7/perpendicular