Në fizikë, koncepti i "forcës" tregon masën e ndërveprimit të formacioneve materiale me njëri-tjetrin, duke përfshirë bashkëveprimin e pjesëve të materies (trupat makroskopikë, grimcat elementare) me njëri-tjetrin dhe me fushat fizike (elektromagnetike, gravitacionale). Në total, njihen katër lloje të ndërveprimit në natyrë: i fortë, i dobët, elektromagnetik dhe gravitacional, dhe secila ka llojin e vet të forcës. E para prej tyre korrespondon me forcat bërthamore që veprojnë brenda bërthamave atomike.
Çfarë i bashkon bërthamat?
Është e njohur se bërthama e një atomi është e vogël, madhësia e saj katër deri në pesë rend të madhësisë më e vogël se madhësia e vetë atomit. Kjo ngre një pyetje të qartë: pse është kaq i vogël? Në fund të fundit, atomet, të përbëra nga grimca të vogla, janë ende shumë më të mëdha se grimcat që përmbajnë.
Në të kundërt, bërthamat nuk janë shumë të ndryshme në madhësi nga nukleonet (protonet dhe neutronet) nga të cilat janë bërë. A ka ndonjë arsye për këtë apo është rastësi?
Ndërkohë, dihet se janë forcat elektrike ato që mbajnë elektrone të ngarkuar negativisht pranë bërthamave atomike. Cila forcë ose forca i mban të bashkuara grimcat e bërthamës? Kjo detyrë kryhet nga forcat bërthamore, të cilat janë një masë e ndërveprimeve të forta.
Forca e fortë bërthamore
Nëse në natyrë do të kishte vetëm forca gravitacionale dhe elektrike, d.m.th. që ne hasim në jetën e përditshme, atëherë bërthamat atomike, shpesh të përbëra nga shumë protone të ngarkuar pozitivisht, do të ishin të paqëndrueshme: forcat elektrike që i shtyjnë protonet larg njëri-tjetrit do të ishin shumë miliona herë më të forta se çdo forcë gravitacionale që i tërheq së bashku te një mik. . Forcat bërthamore ofrojnë një tërheqje edhe më të fortë se zmbrapsja elektrike, megjithëse vetëm një hije e madhësisë së tyre të vërtetë manifestohet në strukturën e bërthamës. Kur studiojmë strukturën e vetë protoneve dhe neutroneve, shohim mundësitë e vërteta të asaj që njihet si forca e fortë bërthamore. Forcat bërthamore janë manifestimi i saj.
Figura e mësipërme tregon se dy forcat kundërshtare në bërthamë janë zmbrapsja elektrike midis protoneve të ngarkuar pozitivisht dhe forcës bërthamore, e cila tërheq protonet (dhe neutronet) së bashku. Nëse numri i protoneve dhe neutroneve nuk është shumë i ndryshëm, atëherë forcat e dyta janë superiore ndaj të parave.
Protonet janë analoge të atomeve, dhe bërthamat janë analoge të molekulave?
Ndërmjet cilat grimca veprojnë forcat bërthamore? Para së gjithash, midis nukleoneve (protoneve dhe neutroneve) në bërthamë. Në fund të fundit, ato gjithashtu veprojnë midis grimcave (kuarke, gluonë, antikuarkë) brenda një protoni ose neutroni. Kjo nuk është për t'u habitur kur kuptojmë se protonet dhe neutronet janë thelbësisht komplekse.
Në një atom, bërthamat e vogla dhe elektronet edhe më të vogla janë relativisht larg njëra-tjetrës në krahasim me madhësinë e tyre, dhe forcat elektrike që i mbajnë ato së bashku në një atom janë mjaft të thjeshta. Por në molekula, distanca midis atomeve është e krahasueshme me madhësinë e atomeve, kështu që kompleksiteti i brendshëm i këtyre të fundit hyn në lojë. Situata e larmishme dhe komplekse e shkaktuar nga kompensimi i pjesshëm i forcave elektrike brendaatomike krijon procese në të cilat elektronet mund të lëvizin nga një atom në tjetrin. Kjo e bën fizikën e molekulave shumë më të pasur dhe më komplekse se ajo e atomeve. Po kështu, distanca midis protoneve dhe neutroneve në një bërthamë është e krahasueshme me madhësinë e tyre - dhe ashtu si me molekulat, vetitë e forcave bërthamore që mbajnë bërthamat së bashku janë shumë më komplekse sesa tërheqja e thjeshtë e protoneve dhe neutroneve.
Nuk ka bërthamë pa neutron, përveç hidrogjenit
Dihet se bërthamat e disa elementet kimike janë të qëndrueshme, ndërsa në të tjera zbërthehen vazhdimisht dhe diapazoni i ritmeve të këtij zbërthimi është shumë i gjerë. Pse forcat që mbajnë nukleonet në bërthama pushojnë së vepruari? Le të shohim se çfarë mund të mësojmë nga konsideratat e thjeshta rreth vetive të forcave bërthamore.
Njëra është se të gjitha bërthamat, përveç izotopit më të zakonshëm të hidrogjenit (i cili ka vetëm një proton), përmbajnë neutrone; dmth nuk ka asnjë bërthamë me disa protone që nuk përmbajnë neutrone (shih figurën më poshtë). Pra, është e qartë se neutronet luajnë rol të rëndësishëm në ndihmën që protonet të ngjiten së bashku.
Në Fig. Më sipër, së bashku me një neutron tregohen bërthama të qëndrueshme ose pothuajse të qëndrueshme. Këto të fundit, si tritiumi, tregohen me një vijë me pika, që tregon se ato përfundimisht prishen. Kombinimet e tjera me një numër të vogël protonesh dhe neutronesh nuk formojnë fare një bërthamë, ose formojnë bërthama jashtëzakonisht të paqëndrueshme. Gjithashtu me shkronja të pjerrëta tregohen emrat alternativë që u jepen shpesh disa prej këtyre objekteve; Për shembull, bërthama e helium-4 quhet shpesh një grimcë α, emri që iu dha kur u zbulua fillimisht në studimet e hershme të radioaktivitetit në vitet 1890.
Neutronet si barinj proton
Përkundrazi, nuk ka asnjë bërthamë të përbërë vetëm nga neutrone pa protone; shumica e bërthamave të lehta, të tilla si oksigjeni dhe silikoni, kanë afërsisht të njëjtin numër neutronesh dhe protonesh (Figura 2). Bërthamat e mëdha me masa të mëdha, si ari dhe radiumi, kanë pak më shumë neutrone se protone.
Kjo thotë dy gjëra:
1. Jo vetëm që neutronet janë të nevojshme për të mbajtur protonet së bashku, por edhe protonet janë të nevojshme për të mbajtur neutronet së bashku.
2. Nëse numri i protoneve dhe neutroneve bëhet shumë i madh, atëherë zmbrapsja elektrike e protoneve duhet të kompensohet duke shtuar disa neutrone shtesë.
Deklarata e fundit është ilustruar në figurën më poshtë.
Figura e mësipërme tregon bërthama atomike të qëndrueshme dhe pothuajse të qëndrueshme në funksion të P (numri i protoneve) dhe N (numri i neutroneve). Vija e treguar me pika të zeza tregon bërthama të qëndrueshme. Çdo zhvendosje lart ose poshtë nga vija e zezë nënkupton një ulje të jetëgjatësisë së bërthamave - afër saj, jetëgjatësia e bërthamave është miliona vjet ose më shumë, ndërsa lëvizni më tej në zonat blu, kafe ose të verdhë ( ngjyra të ndryshme korrespondon me mekanizma të ndryshëm të prishjes bërthamore) jeta e tyre bëhet gjithnjë e më e shkurtër, deri në fraksione të sekondës.
Vini re se bërthamat e qëndrueshme kanë P dhe N afërsisht të barabartë për P dhe N të vegjël, por N gradualisht bëhet më i madh se P me një faktor prej më shumë se një e gjysmë. Vini re gjithashtu se grupi i bërthamave të qëndrueshme dhe jetëgjata të paqëndrueshme mbetet në një brez mjaft të ngushtë për të gjitha vlerat e P deri në 82. Për një numër më të madh, bërthamat e njohura janë në parim të paqëndrueshme (megjithëse ato mund të ekzistojnë për miliona vjet). . Me sa duket, mekanizmi i përmendur më sipër për stabilizimin e protoneve në bërthama duke shtuar neutrone në to në këtë rajon nuk është 100% efektiv.
Si varet madhësia e një atomi nga masa e elektroneve të tij?
Si ndikojnë forcat në shqyrtim në strukturën e bërthamës atomike? Forcat bërthamore ndikojnë kryesisht në madhësinë e saj. Pse bërthamat janë kaq të vogla në krahasim me atomet? Për ta zbuluar, le të fillojmë me bërthamën më të thjeshtë, e cila ka një proton dhe një neutron: është izotopi i dytë më i zakonshëm i hidrogjenit, një atom që përmban një elektron (si të gjithë izotopet e hidrogjenit) dhe një bërthamë prej një protoni dhe një neutroni. . Ky izotop shpesh quhet "deuterium" dhe bërthama e tij (shih Figurën 2) nganjëherë quhet "deuteron". Si mund ta shpjegojmë se çfarë e mban të bashkuar deuteronin? Epo, mund të imagjinoni që nuk është aq i ndryshëm nga një atom i zakonshëm hidrogjeni, i cili gjithashtu përmban dy grimca (një proton dhe një elektron).
Në Fig. Është treguar më sipër se në një atom hidrogjeni, bërthama dhe elektroni janë shumë larg njëri-tjetrit, në kuptimin që atomi është shumë më i madh se bërthama (dhe elektroni është edhe më i vogël.) Por në një deuteron, distanca midis protonit dhe neutroni është i krahasueshëm me madhësitë e tyre. Kjo shpjegon pjesërisht pse forcat bërthamore janë shumë më komplekse se forcat në një atom.
Dihet se elektronet kanë një masë të vogël në krahasim me protonet dhe neutronet. Nga kjo rrjedh se
- masa e një atomi është në thelb afër masës së bërthamës së tij,
- madhësia e një atomi (në thelb madhësia e resë elektronike) është në përpjesëtim të zhdrejtë me masën e elektroneve dhe në përpjesëtim të zhdrejtë me forcën totale elektromagnetike; parimi i pasigurisë mekanika kuantike luan një rol vendimtar.
Po sikur forcat bërthamore të jenë të ngjashme me ato elektromagnetike?
Po deuteron? Ai, si atomi, përbëhet nga dy objekte, por ato janë pothuajse të njëjta masë (masat e neutronit dhe protonit ndryshojnë vetëm me rreth një pjesë në vitin 1500), kështu që të dyja grimcat janë njësoj të rëndësishme në përcaktimin e masës së deuteronit. dhe madhësia e saj. Tani supozoni se forca bërthamore e tërheq protonin drejt neutronit në të njëjtën mënyrë si forcat elektromagnetike (kjo nuk është saktësisht e vërtetë, por imagjinoni për një moment); dhe pastaj, për analogji me hidrogjenin, presim që madhësia e deuteronit të jetë në përpjesëtim të zhdrejtë me masën e protonit ose neutronit dhe në përpjesëtim të zhdrejtë me madhësinë e forcës bërthamore. Nëse madhësia e tij do të ishte e njëjtë (në një distancë të caktuar) me forcën elektromagnetike, atëherë kjo do të nënkuptonte se meqenëse një proton është rreth 1850 herë më i rëndë se një elektron, atëherë deuteroni (dhe në të vërtetë çdo bërthamë) duhet të jetë të paktën një mijë herë. më i vogël se ai i hidrogjenit.
Çfarë ofron marrja parasysh e ndryshimit të rëndësishëm midis forcave bërthamore dhe elektromagnetike?
Por ne tashmë menduam se forca bërthamore është shumë më e madhe se forca elektromagnetike (në të njëjtën distancë), sepse nëse nuk do të ishte kështu, nuk do të ishte në gjendje të parandalonte zmbrapsjen elektromagnetike midis protoneve derisa bërthama të shpërbëhet. Pra, protoni dhe neutroni nën ndikimin e tij bashkohen edhe më fort. Dhe prandaj nuk është për t'u habitur që deuteroni dhe bërthamat e tjera nuk janë vetëm një mijë, por njëqind mijë herë më të vogla se atomet! Përsëri, kjo është vetëm sepse
- protonet dhe neutronet janë pothuajse 2000 herë më të rënda se elektronet,
- në këto distanca, forca e madhe bërthamore midis protoneve dhe neutroneve në bërthamë është shumë herë më e madhe se forcat elektromagnetike përkatëse (përfshirë zmbrapsjen elektromagnetike midis protoneve në bërthamë.)
Ky supozim naiv jep përafërsisht përgjigjen e saktë! Por kjo nuk pasqyron plotësisht kompleksitetin e ndërveprimit midis protonit dhe neutronit. Një problem i dukshëm është se një forcë e ngjashme me forcën elektromagnetike, por me fuqi më të madhe tërheqëse ose refuzuese, duhet të shfaqet padyshim në jetën e përditshme, por ne nuk vërejmë diçka të tillë. Pra, diçka në lidhje me këtë forcë duhet të jetë e ndryshme nga forcat elektrike.
Gama e shkurtër e forcës bërthamore
Ajo që i bën ata të ndryshëm është se ata që i pengojnë të ndahen bërthama atomike Forcat bërthamore janë shumë të rëndësishme dhe të mëdha për protonet dhe neutronet që janë shumë afër njëri-tjetrit, por në një distancë të caktuar (i quajtur "gama" e forcës), ato bien shumë shpejt, shumë më shpejt se forcat elektromagnetike. Diapazoni, rezulton, mund të jetë gjithashtu madhësia e një bërthame mesatarisht të madhe, vetëm disa herë më e madhe se një proton. Nëse vendosni një proton dhe një neutron në një distancë të krahasueshme me këtë varg, ata do të tërheqin njëri-tjetrin dhe do të formojnë një deuteron; nëse i ndan një distancë më e madhe, vështirë se do të ndjejnë ndonjë tërheqje fare. Në fakt, nëse ato vendosen shumë afër njëri-tjetrit deri në pikën ku fillojnë të mbivendosen, ata në fakt do të zmbrapsin njëri-tjetrin. Kjo zbulon kompleksitetin e një koncepti të tillë si forcat bërthamore. Fizika vazhdon të zhvillohet vazhdimisht në drejtim të shpjegimit të mekanizmit të veprimit të tyre.
Mekanizmi fizik i ndërveprimit bërthamor
Çdo proces material, duke përfshirë ndërveprimin midis nukleoneve, duhet të ketë bartës materiale. Ato janë kuante të fushës bërthamore - pi-mezone (pione), për shkak të shkëmbimit të të cilave lind tërheqja midis nukleoneve.
Sipas parimeve të mekanikës kuantike, pi-mezonet, duke u shfaqur vazhdimisht dhe duke u zhdukur menjëherë, formojnë rreth një nukleoni "të zhveshur" diçka si një re e quajtur një shtresë mezon (mbani mend retë elektronike në atome). Kur dy nukleone të rrethuar nga shtresa të tilla gjenden në një distancë prej rreth 10 -15 m, ndodh një shkëmbim i pioneve, i ngjashëm me shkëmbimin e elektroneve të valencës në atome gjatë formimit të molekulave dhe lind tërheqja midis nukleoneve.
Nëse distancat midis nukleoneve bëhen më pak se 0,7∙10 -15 m, atëherë ata fillojnë të shkëmbejnë grimca të reja - të ashtuquajturat. ω dhe ρ-mezonet, si rezultat i të cilave nuk ndodh tërheqja, por zmbrapsja midis nukleoneve.
Forcat bërthamore: struktura e bërthamës nga më e thjeshta te më e madhja
Duke përmbledhur të gjitha sa më sipër, mund të vërejmë:
- forca e fortë bërthamore është shumë, shumë më e dobët se elektromagnetizmi në distanca shumë më të mëdha se madhësia e një bërthame tipike, kështu që ne nuk e hasim atë në jetën e përditshme; Por
- në distanca të shkurtra të krahasueshme me bërthamën, ajo bëhet shumë më e fortë - forca e tërheqjes (me kusht që distanca të mos jetë shumë e shkurtër) është në gjendje të kapërcejë zmbrapsjen elektrike midis protoneve.
Pra, kjo forcë ka rëndësi vetëm në distanca të krahasueshme me madhësinë e bërthamës. Figura më poshtë tregon varësinë e saj nga distanca midis nukleoneve.
Bërthamat e mëdha mbahen së bashku nga pak a shumë e njëjta forcë që mban së bashku deuteronin, por detajet e procesit janë aq komplekse sa nuk janë të lehta për t'u përshkruar. Ato gjithashtu nuk kuptohen plotësisht. Megjithëse skicat bazë të fizikës bërthamore janë kuptuar mirë për dekada, shumë detaje të rëndësishme janë ende nën hetim aktiv.
Brenda kernelit ka:
1) forcat repulsive elektrike ndërmjet protoneve dhe
2) forcat bërthamore midis nukleoneve (pranimi - në distanca të vogla dhe tërheqja - në distanca të mëdha).
Është vërtetuar se forcat bërthamore janë të njëjta për të dy llojet e nukleoneve. Tërheqja bërthamore midis protoneve tejkalon ndjeshëm zmbrapsjen elektrike, si rezultat i së cilës protoni mbahet fort brenda bërthamës.
Bërthama është e rrethuar nga një pengesë e mundshme e shkaktuar nga forcat bërthamore. Ikja nga bërthama e një nukleoni dhe sistemi i nukleoneve (për shembull, grimcat alfa) është i mundur ose përmes "efektit të tunelit" ose duke marrë energji nga jashtë. Në rastin e parë, ndodh prishja spontane radioaktive e bërthamës, në të dytën - një reagim i detyruar bërthamor. Të dy proceset lejojnë që të bëhen disa gjykime në lidhje me madhësinë e bërthamës. Informacion i vlefshëm për shtrirjen e pengesës së mundshme rreth bërthamave u mor duke studiuar shpërndarjen e grimcave të ndryshme bombarduese nga bërthamat - elektronet, protonet, neutronet, etj.
Hulumtimet kanë treguar se forcat bërthamore të tërheqjes midis nukleoneve zvogëlohen shumë shpejt me rritjen e distancës ndërmjet tyre. Rrezja mesatare e veprimit të forcave bërthamore, e cila mund të interpretohet në të njëjtën mënyrë si një madhësi e caktuar e kushtëzuar ("efektive") e bërthamës, bazuar në të dhënat eksperimentale, shprehet me formulën e vlerësimit.
Nëse supozojmë se bërthamat me një numër të madh nukleonesh përbëhen nga një bërthamë, ku grimcat shpërndahen në mënyrë të njëtrajtshme në të gjithë vëllimin, dhe një guaskë sferike, në të cilën densiteti i grimcave zvogëlohet në zero drejt kufijve të bërthamës, atëherë në këtë rast
Këto formula tregojnë se vëllimi "efektiv" i një bërthame është drejtpërdrejt proporcional me numrin e nukleoneve, prandaj, nukleonet në të gjitha bërthamat janë të mbushura mesatarisht me pothuajse të njëjtën densitet.
Dendësia e bërthamave është shumë e lartë; për shembull, një bërthamë me masë ka një rreze
Gjendja e nukleonit në vende të ndryshme brenda bërthamës mund të karakterizohet nga sasia e energjisë që duhet shpenzuar për të nxjerrë këtë nukleon nga bërthama. Quhet energjia e lidhjes së një nukleoni të caktuar në bërthamë. Në përgjithësi, kjo energji është e ndryshme për protonet dhe neutronet dhe mund të varet nga vendi ku në vëllimin e bërthamës ndodhet një nukleon i caktuar.
Ndërveprimi i nukleoneve në bërthamë mund të krahasohet me një ndërveprim të ngjashëm të atomeve në rrjetat kristalore të metaleve, ku
Elektronet luajnë një rol të rëndësishëm si "transmetues ndërveprimi".
Dallimi është se në bërthama "transmetuesit e ndërveprimit" midis nukleoneve janë grimca më të rënda - pi-mezon (ose pione), masa e të cilave është 273 herë më e madhe se masa e elektronit. Besohet se nukleonet gjenerojnë dhe thithin vazhdimisht pi mesonet sipas skemës
në mënyrë që çdo nukleon të jetë i rrethuar nga një re me mezone virtuale pi. Brenda bërthamës, ku grimcat janë në distanca relativisht të vogla nga njëra-tjetra, reja pi-meson merr pjesë aktive në proceset bërthamore, duke shkaktuar ndërveprim dhe transformime të ndërsjella të nukleoneve.
Hyrje
Atomi i hidrogjenit është më i thjeshti në strukturë. Siç dihet, një atom hidrogjeni ka një bërthamë të përbërë nga një proton dhe një elektron i vendosur në orbitalin 1s. Meqenëse protoni dhe elektroni kanë ngarkesa të kundërta, forca Kulonit vepron midis tyre. Dihet gjithashtu se bërthamat e atomeve kanë momentin e tyre magnetik dhe rrjedhimisht fushën e tyre magnetike. Kur grimcat e ngarkuara lëvizin në një fushë magnetike, ato i nënshtrohen forcës së Lorencit, e cila drejtohet pingul me vektorin e shpejtësisë së grimcave dhe vektorin e induksionit magnetik. Natyrisht, forca e Kulombit dhe forca e Lorencit nuk janë të mjaftueshme në mënyrë që elektroni të mbetet në orbitalin e tij, është gjithashtu e nevojshme një forcë zmbrapsëse midis elektronit dhe protonit. Konceptet moderne kuantike nuk japin një përgjigje të qartë se çfarë e shkakton saktësisht kuantizimin e orbitaleve dhe, rrjedhimisht, energjitë e një elektroni në një atom. Në kuadrin e këtij artikulli, ne do të shqyrtojmë arsyet e kuantizimit dhe do të marrim ekuacione që përshkruajnë sjelljen e një elektroni në një atom. Më lejoni t'ju kujtoj se sipas koncepteve moderne, pozicioni i një elektroni në një atom përshkruhet nga ekuacioni probabilistik i Shrodingerit. Do të marrim një ekuacion thjesht mekanik, i cili do të bëjë të mundur përcaktimin e pozicionit të elektronit në çdo kohë, i cili do të tregojë mospërputhjen e parimit të Heisenberg.
Bilanci i pushtetit
Figura 1 tregon të gjitha forcat që veprojnë në një atom.
Figura 1 – forcat që veprojnë në një elektron në një atom hidrogjeni
Le të shkruajmë ligjin e dytë të Njutonit për sistemin e forcave të paraqitur në figurë.
Le të shkruajmë një sistem ekuacionesh për projeksionet e këtyre forcave në boshtet e koordinatave XYZ.
(2)
Këtu këndi është këndi midis vektorit të rrezes r(t) dhe planit XY,
këndi – këndi ndërmjet boshtit X dhe projeksionit të vektorit të rrezes r(t) në rrafshin XY.
Le të shkruajmë secilën forcë në sistemin (2) përmes formulave të njohura, duke marrë parasysh projeksionet e tyre në bosht.
Forca e Kulonit
, (3)
ku është konstanta elektrike e barabartë me
– moduli i ngarkesës së elektronit ose protonit
– koordinatat e elektroneve në sistemin koordinativ të zgjedhur
Forca potenciale e valëve gravitacionale
Më shumë informacion për këtë forcë mund të gjeni në monografi
(4)
janë masat e elektronit dhe protonit, përkatësisht.
X– Koeficienti i proporcionalitetit është numerikisht i barabartë me katrorin e shpejtësisë së dritës.
Siç e dini, forca Lorentz llogaritet si më poshtë
Produkti vektorial (5) mund të përfaqësohet në komponentë në një bosht ortogonal me sistemin koordinativ:
(6)
Në sistemin e ekuacioneve (6), është e nevojshme të përcaktohen përbërësit e vektorit të induksionit magnetik 
.
Meqenëse momenti magnetik i bërthamës së një atomi hidrogjeni shkaktohet nga rryma e unazës së grimcave vërtet elementare që lëvizin në të, atëherë në përputhje me ligjin Biot-Savart-Laplace të marrë për një unazë me rrymë, ne shkruajmë përbërësit e vektori i induksionit magnetik:
(7)
këndi është këndi rreth konturit rrethor
– rrezja e protonit
– forca e rrymës në qarkun e unazës së protonit
– konstante magnetike
Siç dihet, forca centrifugale vepron normalisht me trajektoren e një trupi dhe varet nga masa e trupit, lakimi i trajektores dhe shpejtësia e lëvizjes.
– lakimi i menjëhershëm i trajektores
– shpejtësia e elektronit në raport me origjinën
– vektor normal ndaj trajektores së elektronit
Lakimi i menjëhershëm i trajektores përcaktohet nga shprehja
– derivatet e parë dhe të dytë të vektorit të rrezes në lidhje me kohën.
Shpejtësia e një elektroni është rrënja e shumës së katrorëve të projeksioneve të tij në boshtet koordinative, të cilat nga ana e tyre janë derivatet e parë të projeksioneve të vektorit të rrezes në lidhje me kohën, d.m.th.
Vektori normal i njësisë ndaj trajektores së elektronit përcaktohet nga shprehja
(11)
Duke zgjeruar produktet vektoriale përmes komponentëve vektorial në boshtin koordinativ, duke shkruar vektorin e rrezes përmes përbërësve të tij, ne zëvendësojmë shprehjet (9), (10) dhe (11) në (8), marrim përbërësit e forcës centrifugale në projeksione në akset koordinative:
(12)
Pasi të keni përcaktuar projeksionet e të gjitha forcave të përfshira në sistemin e ekuacioneve (2), ai mund të rishkruhet duke marrë parasysh shprehjet e mëposhtme:
Sistemi që rezulton duket si:
Nuk është e mundur të gjendet një zgjidhje analitike për këtë sistem. Zgjidhja mund të merret me metoda numerike për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve diferenciale të rendit të dytë. Zgjidhja tregohet në videon më poshtë.
Nivelet e energjisë së një elektroni përcaktohen nga një numër i plotë valësh rezonante në këmbë (një tren antinodesh prapa elektronit) që lindin përgjatë trajektores së elektronit. Nëse energjia e një fotoni të përthithur nga një elektron korrespondon me energjinë e nevojshme për të formuar një numër të plotë valësh në këmbë, lëvizja e elektronit në to përsëritet, duke i bërë ato rezonante, kështu që fotoni mbahet nga elektroni për një kohë të caktuar. dhe ne vëzhgojmë një pamje të përthithjes së fotonit nga elektroni dhe më pas emetimit të tij. Fotonet, energjia e të cilave nuk çon në shfaqjen e një numri të plotë antinydash përgjatë trajektores së elektronit, nuk kapen, sepse nuk formohet asnjë valë rezonante dhe nuk vërehet model përthithje-emetimi.
