Tashmë në Egjipti i lashtë njihte jo vetëm aritmetikën, por edhe progresionin gjeometrik. Këtu, për shembull, është një problem nga papirusi Rhind: “Shtatë fytyra kanë shtatë mace; Çdo mace ha shtatë minj, çdo mi ha shtatë kallinj misri dhe çdo kalli elbi mund të rritë shtatë masa elbi. Sa të mëdhenj janë numrat në këtë seri dhe shuma e tyre?
 |
|
Oriz. 1. Problemi i progresionit gjeometrik egjiptian i lashtë |
Kjo detyrë u përsërit shumë herë me variacione të ndryshme midis popujve të tjerë herë të tjera. Për shembull, në të shkruar në shekullin e 13-të. “Libri i Abacus” nga Leonardo i Pizës (Fibonacci) ka një problem në të cilin shfaqen 7 gra të moshuara gjatë rrugës për në Romë (padyshim pelegrine), secila prej të cilave ka 7 mushka, secila prej të cilave ka 7 çanta, secila prej të cilave përmban 7 bukë, secila prej të cilave ka 7 thika, secila prej të cilave ka 7 këllëf. Problemi pyet sa objekte ka.
Shuma e n termave të parë të progresionit gjeometrik S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . Kjo formulë mund të vërtetohet, për shembull, si kjo: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.
Shtoni numrin b 1 q n në S n dhe merrni:
|
Nga këtu S n (q – 1) = b 1 (q n – 1), dhe marrim formulën e nevojshme.
Tashmë në një nga pllakat prej balte të Babilonisë së Lashtë, që daton në shekullin e 6-të. para Krishtit e., përmban shumën 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. Vërtetë, si në një sërë rastesh të tjera, ne nuk e dimë se si ky fakt ishte i njohur për babilonasit. .
Rritja e shpejtë e progresionit gjeometrik në një numër kulturash, veçanërisht në indiane, përdoret vazhdimisht si një simbol vizual i pafundësisë së universit. Në legjendën e famshme për shfaqjen e shahut, sundimtari i jep mundësinë shpikësit të tij të zgjedhë vetë shpërblimin dhe ai kërkon numrin e kokrrave të grurit që do të fitoheshin nëse njëra do të vendosej në katrorin e parë. tabelë shahu, dy për të dytin, katër për të tretën, tetë për të katërtin etj., sa herë që numri dyfishohet. Vladyka mendoi se më së shumti po flisnim për disa çanta, por ai e llogariti gabimisht. Është e lehtë të shihet se për të 64 katrorët e tabelës së shahut, shpikësi do të duhej të merrte (2 64 – 1) kokrra, e cila shprehet si një numër 20-shifror; edhe sikur të mbillet e gjithë sipërfaqja e Tokës, do të duheshin të paktën 8 vjet për të mbledhur sasinë e nevojshme të kokrrave. Kjo legjendë nganjëherë interpretohet se tregon mundësi praktikisht të pakufizuara të fshehura në lojën e shahut.
Është e lehtë të shihet se ky numër është me të vërtetë 20-shifror:
2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (një llogaritje më e saktë jep 1,84∙10 19). Por pyes veten nëse mund të zbuloni se me cilën shifër përfundon ky numër?
Një progresion gjeometrik mund të rritet nëse emëruesi është më i madh se 1, ose zvogëlohet nëse është më i vogël se një. Në rastin e fundit, numri q n për n mjaftueshëm të madh mund të bëhet arbitrarisht i vogël. Ndërsa progresioni gjeometrik në rritje rritet papritur shpejt, progresioni gjeometrik në rënie zvogëlohet po aq shpejt.
Sa më i madh n, aq më i dobët numri q n ndryshon nga zero, dhe aq më afër shuma e n termave të progresionit gjeometrik S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) me numrin S = b 1 / ( 1 – q). (Për shembull, F. Viet arsyetoi në këtë mënyrë). Numri S quhet shuma e një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie. Megjithatë, për shumë shekuj pyetja se cili është kuptimi i përmbledhjes së TË GJITHË progresionit gjeometrik, me numrin e tij të pafund të termave, nuk ishte mjaftueshëm e qartë për matematikanët.
Një progresion gjeometrik në rënie mund të shihet, për shembull, në aporiat e Zenos "Half Division" dhe "Achilles and the Tortoise". Në rastin e parë, tregohet qartë se e gjithë rruga (duke supozuar gjatësinë 1) është shuma numër i pafund segmentet 1/2, 1/4, 1/8, etj. Kështu është, natyrisht, nga pikëpamja e ideve për shumën e fundme të një progresion të pafund gjeometrik. E megjithatë - si mund të jetë kjo?
|
Oriz. 2. Progresion me koeficient 1/2 |
Në aporia për Akilin, situata është pak më e ndërlikuar, sepse këtu emëruesi i progresionit nuk është 1/2, por ndonjë numër tjetër. Le të vrapojë, për shembull, Akili me shpejtësinë v, breshka lëviz me shpejtësinë u dhe distanca fillestare ndërmjet tyre është l. Akili do ta përshkojë këtë distancë në kohën l/v, dhe gjatë kësaj kohe breshka do të lëvizë një distancë lu/v. Kur Akili drejton këtë segment, distanca midis tij dhe breshkës do të bëhet e barabartë me l (u /v) 2, etj. Rezulton se të kapësh breshkën do të thotë të gjesh shumën e një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie me termin e parë l dhe emëruesi u /v. Kjo shumë - segmenti që Akili do të vrapojë përfundimisht në vendin e takimit me breshkën - është i barabartë me l / (1 – u /v) = lv / (v – u). Por, përsëri, si duhet të interpretohet ky rezultat dhe pse ka fare kuptim? për një kohë të gjatë nuk ishte shumë e qartë.
|
Oriz. 3. Progresion gjeometrik me koeficient 2/3 |
Arkimedi përdori shumën e një progresion gjeometrik për të përcaktuar sipërfaqen e një segmenti parabole. Le këtë segment e parabolës kufizohet me kordën AB dhe le të jetë tangjentja në pikën D të parabolës paralele me AB. Le të jetë C pika e mesit e AB, E pika e mesit e AC, F pika e mesit e CB. Të vizatojmë drejtëza paralele me DC përmes pikave A, E, F, B; Le të presim tangjenten e vizatuar në pikën D këto drejtëza në pikat K, L, M, N. Le të vizatojmë edhe segmentet AD dhe DB. Le të presë drejtëza EL drejtëzën AD në pikën G dhe parabolën në pikën H; linja FM kryqëzon drejtëzën DB në pikën Q dhe parabolën në pikën R. Sipas teorisë së përgjithshme të seksioneve konike, DC është diametri i një parabole (d.m.th., një segment paralel me boshtin e saj); ajo dhe tangjentja në pikën D mund të shërbejnë si boshte koordinative x dhe y, në të cilat ekuacioni i parabolës shkruhet si y 2 = 2px (x është distanca nga D në çdo pikë të një diametri të caktuar, y është gjatësia e një segment paralel me një tangjente të caktuar nga kjo pikë e diametrit deri në një pikë të vetë parabolës).
Në bazë të ekuacionit të parabolës, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, dhe meqë DK = 2DL, atëherë KA = 4LH. Sepse KA = 2LG, LH = HG. Sipërfaqja e segmentit ADB të një parabole është e barabartë me sipërfaqen e trekëndëshit ΔADB dhe zonat e segmenteve AHD dhe DRB të kombinuara. Nga ana tjetër, zona e segmentit AHD është në mënyrë të ngjashme me sipërfaqen e trekëndëshit AHD dhe segmentet e mbetura AH dhe HD, me secilën prej të cilave mund të kryeni të njëjtin veprim - të ndaheni në një trekëndësh (Δ) dhe dy segmentet e mbetura (), etj.:
Sipërfaqja e trekëndëshit ΔAHD është e barabartë me gjysmën e sipërfaqes së trekëndëshit ΔALD (ata kanë një bazë të përbashkët AD, dhe lartësitë ndryshojnë me 2 herë), e cila, nga ana tjetër, është e barabartë me gjysmën e sipërfaqes së trekëndëshi ΔAKD, dhe për këtë arsye gjysma e sipërfaqes së trekëndëshit ΔACD. Kështu, sipërfaqja e trekëndëshit ΔAHD është e barabartë me një të katërtën e sipërfaqes së trekëndëshit ΔACD. Po kështu, sipërfaqja e trekëndëshit ΔDRB është e barabartë me një të katërtën e sipërfaqes së trekëndëshit ΔDFB. Pra, zonat e trekëndëshave ΔAHD dhe ΔDRB, të marra së bashku, janë të barabarta me një të katërtën e sipërfaqes së trekëndëshit ΔADB. Përsëritja e këtij operacioni kur zbatohet në segmentet AH, HD, DR dhe RB do të zgjedhë trekëndësha prej tyre, sipërfaqja e të cilëve, marrë së bashku, do të jetë 4 herë më e vogël se sipërfaqja e trekëndëshave ΔAHD dhe ΔDRB, të marra së bashku, dhe pra 16 herë më pak se sipërfaqja e trekëndëshit ΔADB. Dhe kështu me radhë:
Kështu, Arkimedi vërtetoi se "çdo segment që përmban një vijë të drejtë dhe një parabolë përbën katër të tretat e një trekëndëshi që ka të njëjtën bazë dhe lartësi të barabartë".
Le të shqyrtojmë një seri të caktuar.
7 28 112 448 1792...
Është absolutisht e qartë se vlera e ndonjë prej elementeve të tij është saktësisht katër herë më e madhe se ajo e mëparshme. Kjo do të thotë se ky serial është një progresion.
Një progresion gjeometrik është një sekuencë e pafundme numrash. tipar kryesor që është se numri tjetër fitohet nga ai i mëparshmi duke shumëzuar me ndonjë numër specifik. Kjo shprehet me formulën e mëposhtme.
a z +1 =a z ·q, ku z është numri i elementit të zgjedhur.
Prandaj, z ∈ N.
Periudha kur studiohet progresioni gjeometrik në shkollë është klasa e 9-të. Shembujt do t'ju ndihmojnë të kuptoni konceptin:
0.25 0.125 0.0625...
Bazuar në këtë formulë, emëruesi i progresionit mund të gjendet si më poshtë:
As q as b z nuk mund të jenë zero. Gjithashtu, secili prej elementeve të progresionit nuk duhet të jetë i barabartë me zero.
Prandaj, për të gjetur numrin tjetër në një seri, duhet të shumëzoni atë të fundit me q.
Për të vendosur këtë progresion, duhet të specifikoni elementin dhe emëruesin e tij të parë. Pas kësaj, është e mundur të gjendet ndonjë nga termat pasues dhe shuma e tyre.
Varietetet
Në varësi të q dhe a 1, ky progresion ndahet në disa lloje:
- Nëse edhe 1 edhe q janë më të mëdha se një, atëherë një sekuencë e tillë është një progresion gjeometrik që rritet me çdo element pasues. Një shembull i kësaj është paraqitur më poshtë.
Shembull: a 1 =3, q=2 - të dy parametrat janë më të mëdhenj se një.
Atëherë sekuenca e numrave mund të shkruhet kështu:
3 6 12 24 48 ...
- Nëse |q| është më pak se një, domethënë, shumëzimi me të është i barabartë me pjesëtimin, atëherë një progresion me kushte të ngjashme është një progresion gjeometrik në rënie. Një shembull i kësaj është paraqitur më poshtë.
Shembull: a 1 =6, q=1/3 - a 1 është më e madhe se një, q është më e vogël.
Pastaj sekuenca e numrave mund të shkruhet si më poshtë:
6 2 2/3 ... - çdo element është 3 herë më i madh se elementi pas tij.
- Shenjë alternative. Nëse q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.
Shembull: a 1 = -3, q = -2 - të dy parametrat janë më pak se zero.
Atëherë sekuenca e numrave mund të shkruhet kështu:
3, 6, -12, 24,...
Formulat
Ka shumë formula për përdorim të përshtatshëm të progresioneve gjeometrike:
- Formula e termit Z. Ju lejon të llogaritni një element nën një numër specifik pa llogaritur numrat e mëparshëm.
Shembull:q = 3, a 1 = 4. Kërkohet numërimi i elementit të katërt të progresionit.
Zgjidhja:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.
- Shuma e elementeve të parë, numri i të cilëve është i barabartë me z. Ju lejon të llogaritni shumën e të gjithë elementëve të një sekuence deri nëa zpërfshirëse.
Që nga (1-q) është në emërues, atëherë (1 - q)≠ 0, pra q nuk është e barabartë me 1.
Shënim: nëse q=1, atëherë progresioni do të ishte një seri numrash që përsëriten pafundësisht.
Shuma e progresionit gjeometrik, shembuj:a 1 = 2, q= -2. Llogaritni S5.
Zgjidhja:S 5 = 22 - llogaritja duke përdorur formulën.
- Shuma nëse |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.
Shembull:a 1 = 2 , q= 0,5. Gjeni shumën.
Zgjidhja:S z = 2 · = 4
S z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4
Disa veti:
- Veti karakteristike. Nëse kushti i mëposhtëm punon për çdoz, atëherë seria e numrave të dhënë është një progresion gjeometrik:
a z 2 = a z -1 · az+1
- Gjithashtu, katrori i çdo numri në një progresion gjeometrik gjendet duke shtuar katrorët e çdo dy numrash të tjerë në një seri të caktuar, nëse ato janë në distancë të barabartë nga ky element.
a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , Kut- distanca midis këtyre numrave.
- Elementetndryshojnë në qnjë herë.
- Logaritmet e elementeve të një progresion formojnë gjithashtu një progresion, por një aritmetik, domethënë secila prej tyre është më e madhe se e mëparshmja për një numër të caktuar.
Shembuj të disa problemeve klasike
Për të kuptuar më mirë se çfarë është një progresion gjeometrik, shembujt me zgjidhje për klasën 9 mund të ndihmojnë.
- Kushtet:a 1 = 3, a 3 = 48. Gjeniq.
Zgjidhja: çdo element pasues është më i madh se ai i mëparshmi nëq një herë.Është e nevojshme që disa elementë të shprehen në terma të të tjerëve duke përdorur një emërues.
Prandaj,a 3 = q 2 · a 1
Gjatë zëvendësimitq= 4
- Kushtet:a 2 = 6, a 3 = 12. Llogaritni S 6.
Zgjidhja:Për ta bërë këtë, thjesht gjeni q, elementin e parë dhe zëvendësojeni atë në formulë.
a 3 = q· a 2 , pra,q= 2
a 2 = q · një 1,Kjo është arsyeja pse a 1 = 3
S 6 = 189
- · a 1 = 10, q= -2. Gjeni elementin e katërt të progresionit.
Zgjidhja: për ta bërë këtë, mjafton të shprehni elementin e katërt përmes të parës dhe përmes emëruesit.
a 4 = q 3· a 1 = -80
Shembull aplikimi:
- Një klient banke bëri një depozitë në shumën prej 10,000 rubla, sipas kushteve të së cilës çdo vit klientit do t'i shtohet 6% e saj në shumën e principalit. Sa para do të jenë në llogari pas 4 vjetësh?
Zgjidhja: Shuma fillestare është 10 mijë rubla. Kjo do të thotë që një vit pas investimit llogaria do të ketë një shumë të barabartë me 10,000 + 10,000 · 0,06 = 10000 1,06
Prandaj, shuma në llogari pas një viti tjetër do të shprehet si më poshtë:
(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000
Domethënë, çdo vit shuma rritet me 1.06 herë. Kjo do të thotë se për të gjetur shumën e fondeve në llogari pas 4 vitesh, mjafton të gjesh elementin e katërt të progresionit, i cili jepet nga elementi i parë i barabartë me 10 mijë dhe emëruesi i barabartë me 1.06.
S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625
Shembuj të problemeve që përfshijnë llogaritjen e shumave:
Progresioni gjeometrik përdoret në probleme të ndryshme. Një shembull për gjetjen e shumës mund të jepet si më poshtë:
a 1 = 4, q= 2, llogaritS 5.
Zgjidhja: të gjitha të dhënat e nevojshme për llogaritjen janë të njohura, thjesht duhet t'i zëvendësoni ato në formulë.
S 5 = 124
- a 2 = 6, a 3 = 18. Llogaritni shumën e gjashtë elementëve të parë.
Zgjidhja:
Në gjeom. progresion, çdo element tjetër është q herë më i madh se ai i mëparshmi, domethënë, për të llogaritur shumën që duhet të dini elementina 1 dhe emëruesq.
a 2 · q = a 3
q = 3
Në mënyrë të ngjashme, ju duhet të gjenia 1 , duke ditura 2 Dheq.
a 1 · q = a 2
a 1 =2
S 6 = 728.
Progresioni gjeometrik, së bashku me progresionin aritmetik, është një seri numrash e rëndësishme që studiohet në lëndën e algjebrës shkollore në klasën e 9-të. Në këtë artikull do të shohim emëruesin e një progresion gjeometrik dhe se si vlera e tij ndikon në vetitë e tij.
Përkufizimi i progresionit gjeometrik
Së pari, le të japim përkufizimin e kësaj serie numrash. Një progresion gjeometrik është një seri numrash racionalë që formohen duke shumëzuar në mënyrë sekuenciale elementin e tij të parë me një numër konstant të quajtur emërues.
Për shembull, numrat në seritë 3, 6, 12, 24, ... janë një progresion gjeometrik, sepse nëse shumëzoni 3 (elementin e parë) me 2, merrni 6. Nëse shumëzoni 6 me 2, merrni 12, e kështu me radhë.
Anëtarët e sekuencës në shqyrtim zakonisht shënohen me simbolin ai, ku i është një numër i plotë që tregon numrin e elementit në seri.
Përkufizimi i mësipërm i progresionit mund të shkruhet në gjuhën matematikore si më poshtë: an = bn-1 * a1, ku b është emëruesi. Është e lehtë të kontrollosh këtë formulë: nëse n = 1, atëherë b1-1 = 1, dhe marrim a1 = a1. Nëse n = 2, atëherë an = b * a1, dhe përsëri vijmë te përkufizimi i serisë së numrave në fjalë. Arsyetimi i ngjashëm mund të vazhdohet për vlera të mëdha të n.
Emëruesi i progresionit gjeometrik
Numri b përcakton plotësisht se çfarë karakteri do të ketë e gjithë seria e numrave. Emëruesi b mund të jetë pozitiv, negativ ose më i madh ose më i vogël se një. Të gjitha opsionet e mësipërme çojnë në sekuenca të ndryshme:
- b > 1. Ka një seri numrash racionalë në rritje. Për shembull, 1, 2, 4, 8, ... Nëse elementi a1 është negativ, atëherë e gjithë sekuenca do të rritet vetëm në vlerë absolute, por do të zvogëlohet në varësi të shenjës së numrave.
- b = 1. Shpesh ky rast nuk quhet progresion, pasi ekziston një seri e zakonshme numrash racionalë identikë. Për shembull, -4, -4, -4.
Formula për shumën
Para se të kaloni në rishikim detyra specifike Duke përdorur emëruesin e llojit të progresionit në shqyrtim, duhet të jepet një formulë e rëndësishme për shumën e n elementëve të tij të parë. Formula duket si: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
Këtë shprehje mund ta merrni vetë nëse merrni parasysh sekuencën rekursive të termave të progresionit. Gjithashtu vini re se në formulën e mësipërme mjafton të njihni vetëm elementin e parë dhe emëruesin për të gjetur shumën e një numri arbitrar termash.
Sekuenca pafundësisht në rënie
Një shpjegim u dha më lart se çfarë është. Tani, duke ditur formulën për Sn, le ta zbatojmë atë në këtë seri numrash. Meqenëse çdo numër, moduli i të cilit nuk e kalon 1, tenton në zero kur rritet në fuqi të mëdha, domethënë b∞ => 0 nëse -1
Meqenëse diferenca (1 - b) do të jetë gjithmonë pozitive, pavarësisht nga vlera e emëruesit, shenja e shumës së një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie S∞ përcaktohet në mënyrë unike nga shenja e elementit të tij të parë a1.
Tani le të shohim disa probleme ku do të tregojmë se si të zbatojmë njohuritë e marra në numra specifikë.
Detyra nr. 1. Llogaritja e elementeve të panjohura të progresionit dhe shumës
Duke pasur parasysh një progresion gjeometrik, emëruesi i progresionit është 2, dhe elementi i tij i parë është 3. Me çfarë do të jenë të barabartë termat e 7-të dhe të 10-të të tij dhe sa është shuma e shtatë elementeve fillestare të tij?
Gjendja e problemit është mjaft e thjeshtë dhe përfshin përdorimin e drejtpërdrejtë të formulave të mësipërme. Pra, për të llogaritur numrin e elementit n, përdorim shprehjen an = bn-1 * a1. Për elementin e 7-të kemi: a7 = b6 * a1, duke zëvendësuar të dhënat e njohura, marrim: a7 = 26 * 3 = 192. Të njëjtën gjë bëjmë edhe për termin e 10-të: a10 = 29 * 3 = 1536.
Le të përdorim formulën e njohur për shumën dhe të përcaktojmë këtë vlerë për 7 elementët e parë të serisë. Ne kemi: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
Problemi nr. 2. Përcaktimi i shumës së elementeve arbitrare të një progresion
Le të jetë -2 e barabartë me emëruesin e progresionit gjeometrik bn-1 * 4, ku n është një numër i plotë. Është e nevojshme të përcaktohet shuma nga elementi i 5-të në të 10-të të kësaj serie, përfshirëse.
Problemi i paraqitur nuk mund të zgjidhet drejtpërdrejt duke përdorur formula të njohura. Mund të zgjidhet duke përdorur 2 metoda të ndryshme. Për plotësinë e prezantimit të temës, i paraqesim të dyja.
Metoda 1. Ideja është e thjeshtë: duhet të llogaritni dy shumat korresponduese të termave të parë dhe më pas të zbrisni tjetrën nga njëri. Ne llogarisim shumën më të vogël: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Tani llogarisim shumën më të madhe: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Vini re se në shprehjen e fundit u përmblodhën vetëm 4 terma, pasi i pesti tashmë është përfshirë në shumën që duhet të llogaritet sipas kushteve të problemit. Së fundi, marrim ndryshimin: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
Metoda 2. Përpara se të zëvendësoni numrat dhe të numëroni, mund të merrni një formulë për shumën midis m dhe n termave të serisë në fjalë. Ne bëjmë saktësisht të njëjtën gjë si në metodën 1, vetëm se fillimisht punojmë me paraqitjen simbolike të shumës. Kemi: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Ju mund të zëvendësoni numrat e njohur në shprehjen që rezulton dhe të llogaritni rezultatin përfundimtar: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
Problemi nr 3. Cili është emëruesi?
Le të gjejmë a1 = 2, emëruesin e progresionit gjeometrik, me kusht që shuma e tij e pafundme të jetë 3, dhe dihet se kjo është një seri numrash në rënie.
Bazuar në kushtet e problemit, nuk është e vështirë të merret me mend se cila formulë duhet të përdoret për ta zgjidhur atë. Sigurisht, për shumën e progresionit pafundësisht në rënie. Kemi: S∞ = a1 / (1 - b). Nga ku shprehim emëruesin: b = 1 - a1 / S∞. Mbetet për të zëvendësuar vlerat e njohura dhe për të marrë numrin e kërkuar: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 ose -0.333(3). Këtë rezultat mund ta kontrollojmë në mënyrë cilësore nëse kujtojmë se për këtë lloj sekuence moduli b nuk duhet të shkojë përtej 1. Siç shihet, |-1 / 3|
Detyra nr. 4. Rivendosja e një serie numrash
Le të jepen 2 elementë të një serie numrash, për shembull, i 5-ti është i barabartë me 30 dhe i 10-ti është i barabartë me 60. Është e nevojshme të rindërtohet e gjithë seria nga këto të dhëna, duke ditur se ajo plotëson vetitë e një progresion gjeometrik.
Për të zgjidhur problemin, fillimisht duhet të shkruani shprehjen përkatëse për çdo term të njohur. Kemi: a5 = b4 * a1 dhe a10 = b9 * a1. Tani ndajmë shprehjen e dytë me të parën, marrim: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Prej këtu përcaktojmë emëruesin duke marrë rrënjën e pestë të raportit të termave të njohur nga deklarata e problemit, b = 1,148698. Ne e zëvendësojmë numrin që rezulton në një nga shprehjet për elementin e njohur, marrim: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.
Kështu, gjetëm emëruesin e progresionit bn, dhe progresionin gjeometrik bn-1 * 17,2304966 = an, ku b = 1,148698.
Ku përdoren progresionet gjeometrike?
Nëse nuk do të kishte zbatim praktik të kësaj serie numrash, atëherë studimi i saj do të reduktohej në interes thjesht teorik. Por një aplikim i tillë ekziston.
Më poshtë janë 3 shembujt më të famshëm:
- Paradoksi i Zenonit, në të cilin Akili i shkathët nuk mund të arrijë breshkat e ngadalta, zgjidhet duke përdorur konceptin e një sekuence numrash pafundësisht në rënie.
- Nëse vendosni kokrra gruri në çdo katror të një dërrase shahu në mënyrë që në katrorin e parë të vendosni 1 kokërr, në të dytin - 2, në të tretën - 3, e kështu me radhë, atëherë për të mbushur të gjitha katrorët e tabelës do t'ju nevojiten. 18446744073709551615 kokrra!
- Në lojën "Kulla e Hanoi", për të lëvizur disqet nga një shufër në tjetrën, është e nevojshme të kryhen operacione 2n - 1, domethënë numri i tyre rritet në mënyrë eksponenciale me numrin n të disqeve të përdorur.
Matematika është ajo qënjerëzit kontrollojnë natyrën dhe veten.
Matematikani sovjetik, akademik A.N. Kolmogorov
Progresioni gjeometrik.
Së bashku me problemet mbi progresionet aritmetike, problemet që lidhen me konceptin e progresionit gjeometrik janë gjithashtu të zakonshme në provimet pranuese në matematikë. Për të zgjidhur me sukses probleme të tilla, duhet të njihni vetitë e progresioneve gjeometrike dhe të keni aftësi të mira në përdorimin e tyre.
Ky artikull i kushtohet prezantimit të vetive themelore të progresionit gjeometrik. Këtu janë dhënë edhe shembuj të zgjidhjes së problemeve tipike., huazuar nga detyrat e provimeve pranuese në matematikë.
Le të vëmë re së pari vetitë themelore të progresionit gjeometrik dhe të kujtojmë formulat dhe pohimet më të rëndësishme, lidhur me këtë koncept.
Përkufizimi. Një sekuencë numrash quhet progresion gjeometrik nëse çdo numër, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me atë të mëparshëm, shumëzuar me të njëjtin numër. Numri quhet emëruesi i një progresion gjeometrik.
Për progresion gjeometrikformulat janë të vlefshme
, (1)
Ku . Formula (1) quhet formula e termit të përgjithshëm të një progresion gjeometrik, dhe formula (2) paraqet vetinë kryesore të një progresion gjeometrik: çdo term i progresionit përkon me mesataren gjeometrike të termave të tij fqinjë dhe .
Shënim, se është pikërisht për shkak të kësaj vetie që progresioni në fjalë quhet “gjeometrik”.
Formulat e mësipërme (1) dhe (2) janë përgjithësuar si më poshtë:
, (3)
Për të llogaritur shumën së pari anëtarët e një progresion gjeometrikzbatohet formula
Nëse shënojmë , atëherë
Ku . Meqenëse, formula (6) është një përgjithësim i formulës (5).
Në rastin kur dhe progresion gjeometrikështë në rënie pafundësisht. Për të llogaritur shumënnga të gjithë termat e një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie, përdoret formula
. (7)
Për shembull, duke përdorur formulën (7) mund të tregojmë, Çfarë
Ku . Këto barazi janë marrë nga formula (7) me kushtin që , (barazia e parë) dhe , (barazia e dytë).
Teorema. Nëse, atëherë
Dëshmi. Nëse, atëherë
Teorema është vërtetuar.
Le të vazhdojmë të shqyrtojmë shembuj të zgjidhjes së problemeve në temën "Progresioni gjeometrik".
Shembulli 1. Jepet: , dhe . Gjeni.
Zgjidhje. Nëse zbatojmë formulën (5), atëherë
Përgjigje:.
Shembulli 2. Le të jetë. Gjeni.
Zgjidhje. Meqenëse dhe , përdorim formulat (5), (6) dhe marrim një sistem ekuacionesh
Nëse ekuacioni i dytë i sistemit (9) pjesëtohet me të parin, pastaj ose . Nga kjo rezulton se . Le të shqyrtojmë dy raste.
1. Nëse, atëherë nga ekuacioni i parë i sistemit (9) kemi.
2. Nëse , atëherë .
Shembulli 3. Le , dhe . Gjeni.
Zgjidhje. Nga formula (2) rrjedh se ose . Që atëherë ose .
Sipas kushtit. Megjithatë, prandaj. Që nga dhe atëherë këtu kemi një sistem ekuacionesh
Nëse ekuacioni i dytë i sistemit pjesëtohet me të parin, atëherë ose .
Meqenëse, ekuacioni ka një rrënjë unike të përshtatshme. Në këtë rast, rrjedh nga ekuacioni i parë i sistemit.
Duke marrë parasysh formulën (7), marrim.
Përgjigje:.
Shembulli 4. Jepet: dhe . Gjeni.
Zgjidhje. Që atëherë.
Që atëherë ose
Sipas formulës (2) kemi . Në këtë drejtim, nga barazia (10) marrim ose .
Megjithatë, sipas kushtit, pra.
Shembulli 5. Dihet se. Gjeni.
Zgjidhje. Sipas teoremës kemi dy barazi
Që atëherë ose . Sepse, atëherë.
Përgjigje:.
Shembulli 6. Jepet: dhe . Gjeni.
Zgjidhje. Duke marrë parasysh formulën (5), marrim
Që atëherë. Që nga , dhe , atëherë .
Shembulli 7. Le të jetë. Gjeni.
Zgjidhje. Sipas formulës (1) mund të shkruajmë
Prandaj, ne kemi ose . Dihet se dhe , prandaj dhe .
Përgjigje:.
Shembulli 8. Gjeni emëruesin e një progresioni të pafundëm gjeometrik në rënie nëse
Dhe .
Zgjidhje. Nga formula (7) rrjedh Dhe . Nga këtu dhe nga kushtet e problemit fitojmë një sistem ekuacionesh
Nëse ekuacioni i parë i sistemit është në katror, dhe pastaj pjesëtojeni ekuacionin që rezulton me ekuacionin e dytë, atëherë marrim
Ose .
Përgjigje:.
Shembulli 9. Gjeni të gjitha vlerat për të cilat sekuenca , , është një progresion gjeometrik.
Zgjidhje. Le , dhe . Sipas formulës (2), e cila përcakton vetinë kryesore të një progresion gjeometrik, ne mund të shkruajmë ose .
Nga këtu marrim ekuacionin kuadratik, rrënjët e të cilit janë Dhe .
Le të kontrollojmë: nëse, pastaj , dhe ;
nëse , atëherë , dhe . Në rastin e parë kemi
dhe , dhe në të dytën – dhe .
Përgjigje: ,.Shembulli 10.
, (11)
Zgjidhe ekuacionin
ku dhe .
Nga formula (7) rrjedh, Çfarë Zgjidhje. Ana e majtë e ekuacionit (11) është shuma e një progresioni gjeometrik të pafundmë në rënie, në të cilin dhe , subjekt i: dhe .. Në këtë drejtim, ekuacioni (11) merr formën ose . Rrënjë e përshtatshme
Përgjigje:.
ekuacioni kuadratik është Shembulli 11. Psekuenca e numrave pozitivë formon një progresion aritmetik , A- progresion gjeometrik
Zgjidhje., dhe këtu. Gjeni. Sepse sekuenca aritmetike , Kjo (prona kryesore progresion aritmetik). Që kur , pastaj ose . Nga kjo rezulton,që progresioni gjeometrik ka formën. Sipas formulës (2)
, pastaj e shkruajmë atë . Që atëherë dhe atëherë. Në këtë rast, shprehja merr formën ose . Sipas kushtit,pra nga barazimi. ne marrim një zgjidhje unike për problemin në shqyrtim
Përgjigje:.
, d.m.th. . Shembulli 12.
. (12)
Zgjidhje. Llogaritni shumën
Shumëzoni të dyja anët e barazisë (12) me 5 dhe merrni sekuenca aritmetike
Nëse i zbresim (12) nga shprehja që rezulton
ose .
Përgjigje:.
Për të llogaritur, ne zëvendësojmë vlerat në formulën (7) dhe marrim . Që atëherë., Shembujt e zgjidhjes së problemeve të dhëna këtu do të jenë të dobishëm për aplikantët kur përgatiten për provimet pranuese. Për një studim më të thellë të metodave të zgjidhjes së problemeve, lidhur me progresionin gjeometrik mund të përdoret mjete mësimore
nga lista e literaturës së rekomanduar.
1. Mbledhja e problemave në matematikë për aplikantët në kolegje / Ed. M.I. Skanavi. – M.: Miri dhe Edukimi, 2013. – 608 f. 2. Suprun V.P. Matematika për nxënësit e shkollave të mesme: seksione shtesë të kurrikulës shkollore. – M.: Lenand / URSS
, 2014. – 216 f. 3. Medynsky M.M. Një kurs i plotë i matematikës elementare në problema dhe ushtrime. Libri 2: Sekuencat e numrave dhe përparimet. – M.: Editus
, 2015. – 208 f.
Ende keni pyetje?
Për të marrë ndihmë nga një mësues, regjistrohu.
faqe interneti, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin.
Ju mund të shkruani çdo numër, dhe mund të ketë sa më shumë prej tyre që dëshironi (në rastin tonë, ka ato). Sado numra të shkruajmë, gjithmonë mund të themi se cili është i pari, cili është i dyti, e kështu me radhë deri në të fundit, domethënë mund t'i numërojmë. Ky është një shembull i një sekuence numrash:
Sekuenca e numraveështë një grup numrash, secilit prej të cilëve mund t'i caktohet një numër unik.
Për shembull, për sekuencën tonë:
Numri i caktuar është specifik për vetëm një numër në sekuencë. Me fjalë të tjera, nuk ka tre numra të dytë në sekuencë. Numri i dytë (si numri i th) është gjithmonë i njëjtë.
Numri me numër quhet anëtari i n-të i sekuencës.
Ne zakonisht e quajmë të gjithë sekuencën me ndonjë shkronjë (për shembull,), dhe çdo anëtar i kësaj sekuence është e njëjta shkronjë me një indeks të barabartë me numrin e këtij anëtari: .
Në rastin tonë:
Llojet më të zakonshme të progresionit janë aritmetik dhe gjeometrik. Në këtë temë do të flasim për llojin e dytë - progresion gjeometrik.
Pse nevojitet progresioni gjeometrik dhe historia e tij?
Edhe në kohët e lashta, murgu matematikan italian Leonardo i Pizës (i njohur më mirë si Fibonacci) merrej me nevojat praktike të tregtisë. Murgu u përball me detyrën për të përcaktuar se cili është numri më i vogël i peshave që mund të përdoren për të peshuar një produkt? Në veprat e tij, Fibonacci dëshmon se një sistem i tillë peshash është optimal: Kjo është një nga situatat e para në të cilën njerëzit duhej të përballeshin me një progresion gjeometrik, për të cilin ndoshta keni dëgjuar tashmë dhe të paktën e keni. koncept i përgjithshëm. Pasi ta kuptoni plotësisht temën, mendoni pse një sistem i tillë është optimal?
Aktualisht, në praktikën jetësore, përparimi gjeometrik manifestohet kur investoni para në një bankë, kur shuma e interesit përllogaritet në shumën e akumuluar në llogari për periudhën e mëparshme. Me fjalë të tjera, nëse vendosni para në një depozitë me afat në një bankë kursimi, atëherë pas një viti depozita do të rritet me shumën origjinale, d.m.th. shuma e re do të jetë e barabartë me kontributin e shumëzuar me. Në një vit tjetër, kjo shumë do të rritet me, d.m.th. shuma e fituar në atë kohë përsëri do të shumëzohet me e kështu me radhë. Një situatë e ngjashme përshkruhet në problemet e llogaritjes së të ashtuquajturit interesi i përbërë- përqindja merret çdo herë nga shuma që është në llogari, duke marrë parasysh interesat e mëparshme. Ne do të flasim për këto detyra pak më vonë.
Ka shumë raste më të thjeshta ku aplikohet progresion gjeometrik. Për shembull, përhapja e gripit: një person infektoi një person tjetër, ata, nga ana tjetër, infektuan një person tjetër, dhe kështu vala e dytë e infeksionit është një person, dhe ata, nga ana tjetër, infektuan një tjetër... e kështu me radhë. .
Nga rruga, një piramidë financiare, e njëjta MMM, është një llogaritje e thjeshtë dhe e thatë e bazuar në vetitë e një progresion gjeometrik. Interesante? Le ta kuptojmë.
Progresioni gjeometrik.
Le të themi se kemi një sekuencë numrash:
Do të përgjigjeni menjëherë se kjo është e lehtë dhe emri i një sekuence të tillë është me dallimin e anëtarëve të saj. Po për këtë:
Nëse zbrisni numrin e mëparshëm nga numri pasues, do të shihni se çdo herë që merrni një ndryshim të ri (dhe kështu me radhë), por sekuenca ekziston patjetër dhe është e lehtë për t'u vërejtur - çdo numër pasues është herë më i madh se ai i mëparshmi!
Ky lloj sekuence numrash quhet progresion gjeometrik dhe është caktuar.
Progresioni gjeometrik () është një sekuencë numerike, termi i parë i së cilës është i ndryshëm nga zero, dhe çdo term, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me atë të mëparshëm, shumëzuar me të njëjtin numër. Ky numër quhet emëruesi i një progresion gjeometrik.
Kufizimet që termi i parë ( ) nuk është i barabartë dhe nuk janë të rastësishëm. Le të supozojmë se ata nuk janë atje, dhe termi i parë është ende i barabartë, dhe q është i barabartë me, hmm.. le të jetë, atëherë rezulton:
Pajtohu që ky nuk është më një përparim.
Siç e kuptoni, do të marrim të njëjtat rezultate nëse ka ndonjë numër tjetër përveç zeros, a. Në këto raste, thjesht nuk do të ketë përparim, pasi e gjithë seria e numrave do të jetë ose të gjitha zero, ose një numër, dhe të gjitha të tjerat janë zero.
Tani le të flasim më në detaje për emëruesin e progresionit gjeometrik, domethënë o.
Le të përsërisim: - ky është numri sa herë ndryshon çdo term pasues? progresion gjeometrik.
Çfarë mendoni se mund të jetë? Kjo është e drejtë, pozitive dhe negative, por jo zero (ne folëm për këtë pak më lart).
Le të supozojmë se e jona është pozitive. Le në rastin tonë, a. Sa është vlera e termit të dytë dhe? Ju lehtë mund t'i përgjigjeni kësaj:
Kjo është e drejtë. Prandaj, nëse, atëherë të gjitha kushtet e mëvonshme të progresionit kanë të njëjtën shenjë - ato janë pozitive.
Po sikur të jetë negative? Për shembull, a. Sa është vlera e termit të dytë dhe?
Kjo është një histori krejtësisht e ndryshme
Mundohuni të numëroni kushtet e këtij progresi. Sa keni marrë? kam. Kështu, nëse, atëherë alternojnë shenjat e termave të progresionit gjeometrik. Kjo do të thotë, nëse shihni një progresion me shenja alternative për anëtarët e tij, atëherë emëruesi i tij është negativ. Kjo njohuri mund t'ju ndihmojë të provoni veten kur zgjidhni probleme në këtë temë.
Tani le të praktikojmë pak: përpiquni të përcaktoni se cilat sekuenca numrash janë një progresion gjeometrik dhe cilat janë një progresion aritmetik:
E kuptove? Le të krahasojmë përgjigjet tona:
- Progresioni gjeometrik - 3, 6.
- Progresioni aritmetik - 2, 4.
- Nuk është as një progresion aritmetik dhe as gjeometrik - 1, 5, 7.
Le të kthehemi në progresionin tonë të fundit dhe të përpiqemi të gjejmë anëtarin e tij, ashtu si në atë aritmetik. Siç mund ta keni marrë me mend, ka dy mënyra për ta gjetur atë.
Ne e shumëzojmë me radhë çdo term me.
Pra, termi i th i progresionit gjeometrik të përshkruar është i barabartë me.
Siç e keni menduar tashmë, tani ju vetë do të nxirrni një formulë që do t'ju ndihmojë të gjeni ndonjë anëtar të progresionit gjeometrik. Apo e keni zhvilluar tashmë atë për veten tuaj, duke përshkruar se si të gjeni anëtarin e th hap pas hapi? Nëse po, atëherë kontrolloni korrektësinë e arsyetimit tuaj.
Le ta ilustrojmë këtë me shembullin e gjetjes së termit të th të këtij progresioni:
Me fjalë të tjera:
Gjeni vetë vlerën e termit të progresionit të dhënë gjeometrik.
A funksionoi? Le të krahasojmë përgjigjet tona:
Ju lutemi vini re se keni marrë saktësisht të njëjtin numër si në metodën e mëparshme, kur ne shumëzuam në mënyrë sekuenciale me çdo term të mëparshëm të progresionit gjeometrik.
Le të përpiqemi ta "depersonalizojmë" këtë formulë - le ta vendosim atë në formë të përgjithshme dhe të marrim:
Formula e përftuar është e vërtetë për të gjitha vlerat - pozitive dhe negative. Kontrolloni këtë vetë duke llogaritur termat e progresionit gjeometrik me kushtet e mëposhtme: , a.
A keni numëruar? Le të krahasojmë rezultatet:
Pajtohu që do të ishte e mundur të gjesh një term të një progresion në të njëjtën mënyrë si një term, megjithatë, ekziston mundësia e llogaritjes së gabuar. Dhe nëse kemi gjetur tashmë termin e th të progresionit gjeometrik, atëherë çfarë mund të jetë më e thjeshtë sesa përdorimi i pjesës "të cunguar" të formulës.
Progresioni gjeometrik pafundësisht në rënie.
Kohët e fundit, ne folëm për faktin se mund të jetë ose më i madh ose më i vogël se zero, megjithatë, ka vlera të veçanta për të cilat quhet progresion gjeometrik pafundësisht në rënie.
Pse mendoni se është dhënë ky emër?
Së pari, le të shkruajmë një progresion gjeometrik të përbërë nga terma.
Le të themi, atëherë:
Shohim që çdo term pasues është më pak se ai i mëparshmi me një faktor, por a do të ketë ndonjë numër? Do të përgjigjeni menjëherë - "jo". Kjo është arsyeja pse ai është pafundësisht në rënie - zvogëlohet dhe zvogëlohet, por kurrë nuk bëhet zero.
Për të kuptuar qartë se si duket kjo vizualisht, le të përpiqemi të vizatojmë një grafik të përparimit tonë. Pra, për rastin tonë, formula merr formën e mëposhtme:
Në grafikë, ne jemi mësuar të komplotojmë varësinë nga:
Thelbi i shprehjes nuk ka ndryshuar: në hyrjen e parë treguam varësinë e vlerës së një anëtari të një progresioni gjeometrik nga numri rendor i tij, dhe në hyrjen e dytë thjesht morëm vlerën e një anëtari të një progresion gjeometrik si , dhe caktoi numrin rendor jo si, por si. Gjithçka që mbetet për t'u bërë është të ndërtohet një grafik.
Le të shohim se çfarë keni. Këtu është grafiku me të cilin dola:
A e sheh? Funksioni zvogëlohet, priret në zero, por nuk e kalon kurrë atë, pra është në rënie pafundësisht. Le të shënojmë pikat tona në grafik, dhe në të njëjtën kohë çfarë do të thotë koordinata dhe:
Mundohuni të përshkruani skematikisht një grafik të një progresion gjeometrik nëse termi i parë i tij është gjithashtu i barabartë. Analizoni cili është ndryshimi me grafikun tonë të mëparshëm?
A ia dolët? Këtu është grafiku me të cilin dola:
Tani që i keni kuptuar plotësisht bazat e temës së progresionit gjeometrik: ju e dini se çfarë është, ju dini si ta gjeni termin e tij dhe gjithashtu e dini se çfarë është një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie, le të kalojmë te vetia e tij kryesore.
Veti e progresionit gjeometrik.
A ju kujtohet vetia e termave të një progresion aritmetik? Po, po, si të gjesh vlerën e një numri të caktuar të një progresioni kur ka vlera të mëparshme dhe të mëvonshme të termave të këtij progresioni. A ju kujtohet? Këtu është:
Tani përballemi me të njëjtën pyetje për termat e një progresion gjeometrik. Për të nxjerrë një formulë të tillë, le të fillojmë të vizatojmë dhe të arsyetojmë. Do ta shihni, është shumë e lehtë, dhe nëse harroni, mund ta nxirrni vetë.
Le të marrim një tjetër progresion të thjeshtë gjeometrik, në të cilin dimë dhe. Si të gjeni? Me progresion aritmetik është e lehtë dhe e thjeshtë, por po këtu? Në fakt, nuk ka asgjë të komplikuar as në gjeometrik - thjesht duhet të shkruani çdo vlerë që na është dhënë sipas formulës.
Ju mund të pyesni, çfarë duhet të bëjmë për këtë tani? Po, shumë e thjeshtë. Së pari, le t'i përshkruajmë këto formula në një foto dhe të përpiqemi të bëjmë manipulime të ndryshme me to për të arritur një vlerë.
Le të abstragojmë nga numrat që na jepen, le të ndalemi vetëm në shprehjen e tyre përmes formulës. Ne duhet të gjejmë vlerën e theksuar në portokalli, duke ditur termat ngjitur me të. Le të përpiqemi të kryejmë veprime të ndryshme me ta, si rezultat i të cilave mund të marrim.
Shtim.
Le të përpiqemi të shtojmë dy shprehje dhe marrim:
Nga kjo shprehje, siç mund ta shihni, ne nuk mund ta shprehim në asnjë mënyrë, prandaj, do të provojmë një opsion tjetër - zbritjen.
Zbritja.
Siç mund ta shihni, ne nuk mund ta shprehim as këtë, prandaj, le të përpiqemi t'i shumëzojmë këto shprehje me njëra-tjetrën.
Shumëzimi.
Tani shikoni me kujdes atë që kemi duke shumëzuar termat e progresionit gjeometrik që na është dhënë në krahasim me atë që duhet gjetur:
Mendoni se për çfarë po flas? Në mënyrë korrekte, për të gjetur, duhet të marrim rrënjën katrore të numrave të progresionit gjeometrik ngjitur me atë të dëshiruar të shumëzuar me njëri-tjetrin:
Ja ku shkoni. Ju vetë keni nxjerrë vetinë e progresionit gjeometrik. Provoni ta shkruani këtë formulë në pamje e përgjithshme. A funksionoi?
Keni harruar kushtin për? Mendoni pse është e rëndësishme, për shembull, përpiquni ta llogaritni vetë. Çfarë do të ndodhë në këtë rast? Kjo është e drejtë, absurditet i plotë sepse formula duket si kjo:
Prandaj, mos harroni këtë kufizim.
Tani le të llogarisim se çfarë është e barabartë
Përgjigja e saktë është! Nëse nuk e keni harruar vlerën e dytë të mundshme gjatë llogaritjes, atëherë jeni të shkëlqyer dhe mund të kaloni menjëherë në stërvitje, dhe nëse keni harruar, lexoni atë që diskutohet më poshtë dhe kushtojini vëmendje pse të dy rrënjët duhet të shënohen në përgjigjen.
Le të vizatojmë të dy progresionet tona gjeometrike - njëra me një vlerë dhe tjetra me një vlerë dhe të kontrollojmë nëse të dyja kanë të drejtë të ekzistojnë:
Për të kontrolluar nëse një progresion i tillë gjeometrik ekziston apo jo, është e nevojshme të shihet nëse të gjitha termat e tij të dhëna janë të njëjta? Njehsoni q për rastin e parë dhe të dytë.
Shihni pse duhet të shkruajmë dy përgjigje? Sepse shenja e termit që kërkoni varet nëse është pozitive apo negative! Dhe meqenëse nuk e dimë se çfarë është, duhet të shkruajmë të dyja përgjigjet me një plus dhe një minus.
Tani që keni zotëruar pikat kryesore dhe keni nxjerrë formulën për vetinë e progresionit gjeometrik, gjeni, duke ditur dhe
Krahasoni përgjigjet tuaja me ato të sakta:
Çfarë mendoni, po sikur të mos na jepeshin vlerat e termave të progresionit gjeometrik ngjitur me numrin e dëshiruar, por në distancë të barabartë prej tij. Për shembull, ne duhet të gjejmë, dhe të japim dhe. A mund të përdorim formulën që kemi nxjerrë në këtë rast? Përpiquni të konfirmoni ose kundërshtoni këtë mundësi në të njëjtën mënyrë, duke përshkruar se nga çfarë përbëhet secila vlerë, siç keni bërë kur keni nxjerrë fillimisht formulën, në.
Çfarë keni marrë?
Tani shikoni me kujdes përsëri.
dhe, në përputhje me rrethanat:
Nga kjo mund të konkludojmë se formula funksionon jo vetëm me fqinjët me termat e dëshiruar të progresionit gjeometrik, por edhe me të barabarta nga ajo që anëtarët kërkojnë.
Kështu, formula jonë fillestare merr formën:
Domethënë, nëse në rastin e parë e thamë këtë, tani themi se mund të jetë i barabartë me cilindo numri natyror, e cila është më e vogël. Gjëja kryesore është se është e njëjtë për të dy numrat e dhënë.
Praktikoni me shembuj specifikë, thjesht jini jashtëzakonisht të kujdesshëm!
- , . Gjeni.
- , . Gjeni.
- , . Gjeni.
E vendosur? Shpresoj se keni qenë jashtëzakonisht të vëmendshëm dhe keni vënë re një kapje të vogël.
Le të krahasojmë rezultatet.
Në dy rastet e para, ne zbatojmë me qetësi formulën e mësipërme dhe marrim vlerat e mëposhtme:
Në rastin e tretë, pas ekzaminimit të kujdesshëm të numrave serialë të numrave që na janë dhënë, kuptojmë se ata nuk janë të barabartë nga numri që kërkojmë: është numri i mëparshëm, por është hequr në një pozicion, pra është nuk është e mundur të zbatohet formula.
Si ta zgjidhim atë? Në fakt nuk është aq e vështirë sa duket! Le të shkruajmë se nga përbëhet secili numër që na është dhënë dhe numri që kërkojmë.
Pra kemi dhe. Le të shohim se çfarë mund të bëjmë me ta? Unë sugjeroj të ndahet me. Ne marrim:
Ne i zëvendësojmë të dhënat tona në formulën:
Hapi tjetër që mund të gjejmë është - për këtë ne duhet të marrim rrënjën kubike të numrit që rezulton.
Tani le të shohim përsëri se çfarë kemi. Ne e kemi atë, por ne duhet ta gjejmë atë, dhe ajo, nga ana tjetër, është e barabartë me:
Ne gjetëm të gjitha të dhënat e nevojshme për llogaritjen. Zëvendësoni në formulë:
Përgjigja jonë: .
Provoni të zgjidhni vetë një problem tjetër të ngjashëm:
E dhënë:,
Gjeni:
Sa keni marrë? Unë kam -.
Siç mund ta shihni, në thelb keni nevojë mbani mend vetëm një formulë- . Të gjitha të tjerat mund t'i tërhiqni vetë pa asnjë vështirësi në çdo kohë. Për ta bërë këtë, thjesht shkruani progresionin më të thjeshtë gjeometrik në një copë letër dhe shkruani se me çfarë është i barabartë secili prej numrave të tij, sipas formulës së përshkruar më sipër.
Shuma e termave të një progresion gjeometrik.
Tani le të shohim formulat që na lejojnë të llogarisim shpejt shumën e termave të një progresion gjeometrik në një interval të caktuar:
Për të nxjerrë formulën për shumën e termave të një progresion të fundëm gjeometrik, shumëzojini të gjitha pjesët e ekuacionit të mësipërm me. Ne marrim:
Shikoni me kujdes: çfarë kanë të përbashkët dy formulat e fundit? Kjo është e drejtë, anëtarët e zakonshëm, për shembull, dhe kështu me radhë, përveç anëtarit të parë dhe të fundit. Le të përpiqemi të zbresim 1-shin nga ekuacioni i 2-të. Çfarë keni marrë?
Tani shprehni termin e progresionit gjeometrik përmes formulës dhe zëvendësoni shprehjen që rezulton në formulën tonë të fundit:
Gruponi shprehjen. Ju duhet të merrni:
Gjithçka që mbetet për t'u bërë është të shprehemi:
Prandaj, në këtë rast.
Po sikur? Cila formulë funksionon atëherë? Imagjinoni një progresion gjeometrik në. Si është ajo? Një seri numrash identikë është e saktë, kështu që formula do të duket si kjo:
Ka shumë legjenda për progresionin aritmetik dhe gjeometrik. Një prej tyre është legjenda e Setit, krijuesit të shahut.
Shumë njerëz e dinë se loja e shahut u shpik në Indi. Kur mbreti hindu e takoi atë, ai ishte i kënaqur me zgjuarsinë e saj dhe shumëllojshmërinë e pozicioneve të mundshme në të. Pasi mësoi se ishte shpikur nga një prej nënshtetasve të tij, mbreti vendosi ta shpërblente personalisht. Ai e thirri shpikësin pranë vetes dhe e urdhëroi që t'i kërkonte gjithçka që donte, duke i premtuar se do të përmbushte edhe dëshirën më të shkathët.
Seta kërkoi kohë për të menduar dhe kur të nesërmen Seta doli para mbretit, ai e befasoi mbretin me modestinë e paparë të kërkesës së tij. Kërkoi të jepte një kokërr grurë për katrorin e parë të tabelës së shahut, një kokërr grurë për të dytin, një kokërr grurë për të tretën, një të katërt etj.
Mbreti u zemërua dhe e përzuri Sethin, duke thënë se kërkesa e shërbëtorit ishte e padenjë për bujarinë e mbretit, por premtoi se shërbëtori do të merrte kokrrat e tij për të gjitha katrorët e dërrasës.
Dhe tani pyetja: duke përdorur formulën për shumën e termave të një progresion gjeometrik, llogaritni sa kokrra duhet të marrë Seth?
Le të fillojmë të arsyetojmë. Meqenëse, sipas kushtit, Sethi kërkoi një kokërr gruri për katrorin e parë të tabelës së shahut, për të dytin, për të tretën, për të katërtin etj., atëherë shohim se problemi ka të bëjë me një progresion gjeometrik. Me çfarë barazohet në këtë rast?
E drejta.
Totali i katrorëve të tabelës së shahut. Përkatësisht,. Ne i kemi të gjitha të dhënat, gjithçka që mbetet është t'i futim në formulë dhe të llogarisim.
Për të imagjinuar të paktën përafërsisht "shkallën" e një numri të caktuar, ne transformojmë duke përdorur vetitë e shkallës:
Sigurisht, nëse dëshironi, mund të merrni një kalkulator dhe të llogarisni se me cilin numër përfundoni, dhe nëse jo, do të duhet të pranoni fjalën time për të: vlera përfundimtare e shprehjes do të jetë.
Kjo është:
kuintilion kadrilion trilion miliardë milion mijë.
Phew) Nëse dëshironi të imagjinoni përmasat e këtij numri, atëherë vlerësoni se sa i madh do të duhej një hambar për të akomoduar të gjithë sasinë e grurit.
Nëse hambari është m i lartë dhe m i gjerë, gjatësia e tij do të duhej të shtrihej për km, d.m.th. dy herë më shumë se nga Toka në Diell.
Nëse mbreti do të kishte qenë i fortë në matematikë, ai mund ta kishte ftuar vetë shkencëtarin të numëronte kokrrat, sepse për të numëruar një milion kokrra, do t'i duhej të paktën një ditë numërimi i palodhshëm, dhe duke qenë se është e nevojshme të numërohen kuintilionë, kokrrat do të duhej të numëroheshin gjatë gjithë jetës së tij.
Tani le të zgjidhim një problem të thjeshtë që përfshin shumën e termave të një progresion gjeometrik.
Një student i klasës 5A Vasya u sëmur nga gripi, por vazhdon të shkojë në shkollë. Çdo ditë Vasya infekton dy persona, të cilët, nga ana tjetër, infektojnë dy persona të tjerë, e kështu me radhë. Ka vetëm njerëz në klasë. Për sa ditë e gjithë klasa do të sëmuret me grip?
Pra, termi i parë i progresionit gjeometrik është Vasya, domethënë një person. Termi i th i progresionit gjeometrik është dy personat që ai infektoi në ditën e parë të mbërritjes së tij. Shuma totale e termave të progresionit është e barabartë me numrin e studentëve 5A. Prandaj, ne flasim për një përparim në të cilin:
Le t'i zëvendësojmë të dhënat tona në formulën për shumën e termave të një progresion gjeometrik:
E gjithë klasa do të sëmuret brenda disa ditësh. Nuk u besoni formulave dhe numrave? Mundohuni të portretizoni vetë "infeksionin" e studentëve. A funksionoi? Shiko si më duket mua:
Llogaritni vetë se sa ditë do të duheshin që nxënësit të sëmuren me grip nëse secili infekton një person dhe në klasë do të kishte vetëm një person.
Çfarë vlere keni marrë? Doli që të gjithë filluan të sëmuren pas një dite.
Siç mund ta shihni, një detyrë e tillë dhe vizatimi për të ngjajnë me një piramidë, në të cilën secila pasuese "sjell" njerëz të rinj. Megjithatë, herët a vonë vjen një moment kur ky i fundit nuk mund të tërheqë askënd. Në rastin tonë, nëse imagjinojmë që klasa është e izoluar, personi nga mbyll zinxhirin (). Kështu, nëse një person përfshihej në një piramidë financiare në të cilën jepeshin para nëse sillnit dy pjesëmarrës të tjerë, atëherë personi (ose në përgjithësi) nuk do të sillte askënd, në përputhje me rrethanat, do të humbiste gjithçka që investoi në këtë mashtrim financiar.
Gjithçka që u tha më lart i referohet një progresion gjeometrik në rënie ose në rritje, por, siç e mbani mend, ne kemi një lloj të veçantë - një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie. Si të llogaritet shuma e anëtarëve të saj? Dhe pse ky lloj progresi ka disa karakteristika? Le ta kuptojmë së bashku.
Pra, së pari, le të shohim përsëri këtë vizatim të një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie nga shembulli ynë:
Tani le të shohim formulën për shumën e një progresion gjeometrik, të nxjerrë pak më herët:
ose
Për çfarë po përpiqemi? Është e drejtë, grafiku tregon se priret në zero. Kjo do të thotë, në, do të jetë pothuajse e barabartë, përkatësisht, gjatë llogaritjes së shprehjes do të marrim pothuajse. Në këtë drejtim, ne besojmë se gjatë llogaritjes së shumës së një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie, kjo kllapa mund të neglizhohet, pasi do të jetë e barabartë.
- formula është shuma e termave të një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie.
E RËNDËSISHME! Ne përdorim formulën për shumën e termave të një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie vetëm nëse kushti thotë në mënyrë eksplicite që ne duhet të gjejmë shumën e pafundme numri i anëtarëve.
Nëse specifikohet një numër specifik n, atëherë ne përdorim formulën për shumën e n termave, edhe nëse ose.
Tani le të praktikojmë.
- Gjeni shumën e termave të parë të progresionit gjeometrik me dhe.
- Gjeni shumën e termave të një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie me dhe.
Shpresoj se keni qenë jashtëzakonisht të kujdesshëm. Le të krahasojmë përgjigjet tona:
Tani ju dini gjithçka rreth progresionit gjeometrik dhe është koha për të kaluar nga teoria në praktikë. Problemet më të zakonshme të progresionit gjeometrik që hasen në provim janë problemet me llogaritjen e interesit të përbërë. Këto janë ato për të cilat do të flasim.
Probleme në llogaritjen e interesit të përbërë.
Ju ndoshta keni dëgjuar për të ashtuquajturën formula të interesit të përbërë. A e kuptoni se çfarë do të thotë? Nëse jo, le ta kuptojmë, sepse sapo të kuptoni vetë procesin, do të kuptoni menjëherë se çfarë lidhje ka progresioni gjeometrik me të.
Ne të gjithë shkojmë në bankë dhe e dimë se ka kushte të ndryshme për depozitat: kjo përfshin një afat, shërbime shtesë dhe interes me dy në mënyra të ndryshme llogaritjet e tij - të thjeshta dhe komplekse.
ME interes i thjeshtë gjithçka është pak a shumë e qartë: interesi llogaritet një herë në fund të afatit të depozitës. Kjo do të thotë, nëse themi se depozitojmë 100 rubla për një vit, atëherë ato do të kreditohen vetëm në fund të vitit. Prandaj, deri në fund të depozitës do të marrim rubla.
Interesi i përbërë- ky është një opsion në të cilin ndodh kapitalizimi i interesit, d.m.th. shtimi i tyre në shumën e depozitës dhe llogaritja e mëvonshme e të ardhurave jo nga shuma fillestare, por nga shuma e depozitës së akumuluar. Kapitalizimi nuk ndodh vazhdimisht, por me një frekuencë të caktuar. Si rregull, periudha të tilla janë të barabarta dhe më shpesh bankat përdorin një muaj, tremujor ose vit.
Le të supozojmë se depozitojmë të njëjtat rubla çdo vit, por me kapitalizimin mujor të depozitës. çfarë po bëjmë?
A kupton gjithçka këtu? Nëse jo, le ta kuptojmë hap pas hapi.
Ne sollëm rubla në bankë. Deri në fund të muajit, ne duhet të kemi një shumë në llogarinë tonë të përbërë nga rublat tona plus interesat mbi to, domethënë:
Dakord?
Mund ta heqim nga kllapa dhe më pas marrim:
Dakord, kjo formulë është tashmë më e ngjashme me atë që kemi shkruar në fillim. E vetmja gjë që mbetet është të kuptojmë përqindjet
Në deklaratën e problemit na thuhet për normat vjetore. Siç e dini, ne nuk shumëzojmë me - ne konvertojmë përqindjet në thyesa dhjetore, domethënë:
E drejtë? Tani mund të pyesni, nga erdhi numri? Shumë e thjeshtë!
E përsëris: deklarata e problemit thotë për VJETOR interesi që rritet MUJORE. Siç e dini, në një vit muajsh, në përputhje me rrethanat, banka do të na ngarkojë një pjesë të interesit vjetor në muaj:
E kuptove? Tani përpiquni të shkruani se si do të duket kjo pjesë e formulës nëse them se interesi llogaritet çdo ditë.
A ia dolët? Le të krahasojmë rezultatet:
bravo! Le të kthehemi në detyrën tonë: shkruani se sa do të kreditohet në llogarinë tonë në muajin e dytë, duke marrë parasysh që interesi është grumbulluar në shumën e depozitës së akumuluar.
Ja çfarë mora:
Ose, me fjalë të tjera:
Unë mendoj se ju tashmë keni vënë re një model dhe keni parë një progresion gjeometrik në të gjithë këtë. Shkruani se me çfarë do të jetë e barabartë anëtari i tij, ose, me fjalë të tjera, çfarë shume parash do të marrim në fund të muajit.
E bëri? Le të kontrollojmë!
Siç mund ta shihni, nëse vendosni para në një bankë për një vit me një normë të thjeshtë interesi, do të merrni rubla, dhe nëse me një normë interesi të përbërë, do të merrni rubla. Përfitimi është i vogël, por kjo ndodh vetëm gjatë vitit, por për një periudhë më të gjatë kapitalizimi është shumë më fitimprurës:
Le të shqyrtojmë një lloj tjetër problemi: interesi i përbërë. Pas asaj që keni kuptuar, do të jetë elementare për ju. Pra, detyra:
Kompania Zvezda filloi të investojë në industri në vitin 2000, me kapital në dollarë. Çdo vit që nga viti 2001 ka marrë një fitim të barabartë me kapitalin e një viti më parë. Sa fitim do të marrë kompania Zvezda në fund të vitit 2003 nëse fitimet nuk tërhiqen nga qarkullimi?
Kapitali i kompanisë Zvezda në vitin 2000.
- kapitali i kompanisë Zvezda në 2001.
- kapitali i kompanisë Zvezda në 2002.
- kapitali i kompanisë Zvezda në 2003.
Ose mund të shkruajmë shkurt:
Për rastin tonë:
2000, 2001, 2002 dhe 2003.
Përkatësisht:
rubla
Ju lutemi vini re se në këtë problem nuk kemi pjesëtim as me as me, pasi përqindja jepet VJETOR dhe llogaritet VJETOR. Kjo do të thotë, kur lexoni një problem për interesin e përbërë, kushtojini vëmendje se çfarë përqindje është dhënë dhe në cilën periudhë llogaritet, dhe vetëm atëherë vazhdoni me llogaritjet.
Tani ju dini gjithçka rreth progresionit gjeometrik.
Trajnimi.
- Gjeni termin e progresionit gjeometrik nëse dihet se, dhe
- Gjeni shumën e termave të parë të progresionit gjeometrik nëse dihet se, dhe
- Kompania MDM Capital filloi të investojë në industri në vitin 2003, me kapital në dollarë. Çdo vit që nga viti 2004 ka marrë një fitim të barabartë me kapitalin e një viti më parë. Kompania MSK Cash Flows filloi të investojë në industri në vitin 2005 në vlerë prej 10,000 dollarë, duke filluar të fitojë në vitin 2006 në shumën prej. Për sa dollarë është kapitali i njërës kompani më i madh se tjetri në fund të vitit 2007, nëse fitimet nuk tërhiqeshin nga qarkullimi?
Përgjigjet:
- Meqenëse deklarata e problemit nuk thotë se progresioni është i pafund dhe kërkohet të gjendet shuma e një numri specifik të termave të tij, llogaritja kryhet sipas formulës:
Kompania MDM Capital:2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- rritet me 100%, pra 2 herë.
Përkatësisht:
rubla
Kompania MSK Cash Flows:2005, 2006, 2007.
- rritet me, pra me herë.
Përkatësisht:
rubla
rubla
Le të përmbledhim.
1) Progresioni gjeometrik ( ) është një sekuencë numerike, termi i parë i së cilës është i ndryshëm nga zero, dhe çdo term, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me atë të mëparshëm, shumëzuar me të njëjtin numër. Ky numër quhet emëruesi i një progresion gjeometrik.
2) Ekuacioni i termave të progresionit gjeometrik është .
3) mund të marrë çdo vlerë përveç dhe.
- nëse, atëherë të gjithë termat pasues të progresionit kanë të njëjtën shenjë - ato janë pozitive;
- nëse, atëherë të gjitha kushtet pasuese të progresionit shenja alternative;
- kur - progresioni quhet pafundësisht në rënie.
4) , me - veti e progresionit gjeometrik (termat ngjitur)
ose
, në ( terma të barabarta)
Kur ta gjeni, mos e harroni duhet të ketë dy përgjigje.
Për shembull,
5) Shuma e termave të progresionit gjeometrik llogaritet me formulën:
ose
ose
E RËNDËSISHME! Ne përdorim formulën për shumën e termave të një progresioni gjeometrik pafundësisht në rënie vetëm nëse kushti thotë në mënyrë eksplicite që duhet të gjejmë shumën e një numri të pafund termash.
6) Problemet e interesit të përbërë llogariten gjithashtu duke përdorur formulën e termit të gjashtë të një progresion gjeometrik, me kusht që fondet të mos jenë tërhequr nga qarkullimi:
PROGRESIONI GJEOMETRIK. SHKURTËZIM PËR GJËRAT KRYESORE
Progresioni gjeometrik( ) është një sekuencë numerike, termi i parë i së cilës është i ndryshëm nga zero, dhe çdo term, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me atë të mëparshëm, shumëzuar me të njëjtin numër. Ky numër quhet emëruesi i një progresion gjeometrik.
Emëruesi i progresionit gjeometrik mund të marrë çdo vlerë përveç dhe.
- Nëse, atëherë të gjitha kushtet pasuese të progresionit kanë të njëjtën shenjë - ato janë pozitive;
- nëse, atëherë të gjithë anëtarët e mëvonshëm të progresionit alternojnë shenjën;
- kur - progresioni quhet pafundësisht në rënie.
Ekuacioni i termave të progresionit gjeometrik - .
Shuma e termave të një progresion gjeometrik llogaritur me formulën:
ose
Nëse progresioni është pafundësisht në rënie, atëherë:
Epo, tema mbaroi. Nëse po i lexoni këto rreshta, do të thotë se jeni shumë i lezetshëm.
Sepse vetëm 5% e njerëzve janë në gjendje të zotërojnë diçka vetë. Dhe nëse lexoni deri në fund, atëherë jeni në këtë 5%!
Tani gjëja më e rëndësishme.
Ju e keni kuptuar teorinë për këtë temë. Dhe, e përsëris, kjo... kjo është thjesht super! Ju jeni tashmë më të mirë se shumica dërrmuese e bashkëmoshatarëve tuaj.
Problemi është se kjo mund të mos jetë e mjaftueshme ...
Për çfarë?
Për dhënien me sukses të Provimit të Unifikuar të Shtetit, për hyrjen në kolegj me buxhet dhe, MË E RËNDËSISHME, për jetën.
Unë nuk do t'ju bind për asgjë, do të them vetëm një gjë ...
Njerëzit që kanë marrë një arsim të mirë fitojnë shumë më tepër se ata që nuk e kanë marrë atë. Kjo është statistika.
Por kjo nuk është gjëja kryesore.
Kryesorja është se ata janë MË TË LUMTUR (ka studime të tilla). Ndoshta sepse shumë më tepër mundësi hapen para tyre dhe jeta bëhet më e ndritshme? nuk e di...
Por mendoni vetë...
Çfarë duhet për t'u siguruar që të jesh më i mirë se të tjerët në Provimin e Unifikuar të Shtetit dhe në fund të fundit të jesh... më i lumtur?
FITO DORA TUAJ DUKE ZGJIDHUR PROBLEMET NË KËTË TEMË.
Nuk do t'ju kërkohet teoria gjatë provimit.
Do t'ju duhet zgjidh problemet me kohën.
Dhe, nëse nuk i keni zgjidhur ato (SHUME!), patjetër që do të bëni një gabim budalla diku ose thjesht nuk do të keni kohë.
Është si në sport - duhet ta përsërisni shumë herë për të fituar me siguri.
Gjeni koleksionin ku të dëshironi, domosdoshmërisht me zgjidhje, analiza e detajuar dhe vendosni, vendosni, vendosni!
Ju mund të përdorni detyrat tona (opsionale) dhe ne, natyrisht, i rekomandojmë ato.
Në mënyrë që të përmirësoheni në përdorimin e detyrave tona, ju duhet të ndihmoni për të zgjatur jetën e librit shkollor YouClever që po lexoni aktualisht.
Si? Ka dy opsione:
- Zhbllokoni të gjitha detyrat e fshehura në këtë artikull -
- Zhbllokoni aksesin në të gjitha detyrat e fshehura në të 99 artikujt e librit shkollor - Bleni një libër shkollor - 499 RUR
Po, ne kemi 99 artikuj të tillë në tekstin tonë shkollor dhe qasja në të gjitha detyrat dhe të gjitha tekstet e fshehura në to mund të hapen menjëherë.
Qasja në të gjitha detyrat e fshehura ofrohet për TË GJITHË jetën e faqes.
Dhe në përfundim ...
Nëse nuk ju pëlqejnë detyrat tona, gjeni të tjera. Vetëm mos u ndalni në teori.
"Kuptuar" dhe "Unë mund të zgjidh" janë aftësi krejtësisht të ndryshme. Ju duhen të dyja.
Gjeni problemet dhe zgjidhni ato!
