Së pari, le të kuptojmë ndryshimin midis një rrethi dhe një rrethi. Për të parë këtë ndryshim, mjafton të shqyrtojmë se cilat janë të dyja shifrat. Këto janë një numër i pafund pikash në aeroplan, të vendosura në një distancë të barabartë nga një pikë e vetme qendrore. Por, nëse rrethi përbëhet edhe nga hapësira e brendshme, atëherë ai nuk i përket rrethit. Rezulton se një rreth është njëkohësisht një rreth që e kufizon atë (rrethi(r)), dhe një numër i panumërt pikash që janë brenda rrethit.
Për çdo pikë L që shtrihet në rreth, vlen barazia OL=R. (Gjatësia e segmentit OL është e barabartë me rrezen e rrethit).
Një segment që lidh dy pika në një rreth është i tij akord.
Një akord që kalon drejtpërdrejt në qendër të një rrethi është diametri ky rreth (D). Diametri mund të llogaritet duke përdorur formulën: D=2R
Perimetri llogaritur me formulën: C=2\pi R
Zona e një rrethi: S=\pi R^(2)
Harku i një rrethi quhet ajo pjesë e saj që ndodhet midis dy pikave të saj. Këto dy pika përcaktojnë dy harqe të një rrethi. CD-ja e kordës nënshtron dy harqe: CMD dhe CLD. Akordet identike nënshtrojnë harqe të barabarta.
Këndi qendror Një kënd që shtrihet midis dy rrezeve quhet.
Gjatësia e harkut mund të gjendet duke përdorur formulën:
- Përdorimi i masës së shkallës: CD = \frac(\pi R \alfa ^(\circ))(180^(\circ))
- Duke përdorur masën e radianit: CD = \alpha R
Diametri, i cili është pingul me kordën, ndan kordon dhe harqet e kontraktuara prej saj në gjysmë.
Nëse kordat AB dhe CD të rrethit priten në pikën N, atëherë prodhimet e segmenteve të kordave të ndara nga pika N janë të barabarta me njëri-tjetrin.
AN\cdot NB = CN\cdot ND
Tangjent në një rreth
Tangjent në një rrethËshtë zakon të quajmë një vijë të drejtë që ka një pikë të përbashkët me një rreth.
Nëse një drejtëz ka dy pika të përbashkëta, quhet sekant.
Nëse e vizatoni rrezen në pikën tangjente, ajo do të jetë pingul me tangjenten me rrethin.
Le të vizatojmë dy tangjente nga kjo pikë në rrethin tonë. Rezulton se segmentet tangjente do të jenë të barabarta me njëri-tjetrin, dhe qendra e rrethit do të vendoset në përgjysmuesin e këndit me kulmin në këtë pikë.
AC = CB
Tani le të vizatojmë një tangjente dhe një sekante në rreth nga pika jonë. Ne marrim se katrori i gjatësisë së segmentit tangjent do të jetë i barabartë me produktin e të gjithë segmentit sekant dhe pjesës së jashtme të tij.
AC^(2) = CD \cdot BC
Mund të konkludojmë: prodhimi i një segmenti të tërë të sekantit të parë dhe pjesës së jashtme të tij është i barabartë me produktin e një segmenti të tërë të sekantit të dytë dhe pjesës së jashtme të tij.
AC\cdot BC = EC\cdot DC
Kënde në një rreth
Masat e shkallës së këndit qendror dhe harkut në të cilin mbështetet janë të barabarta.
\këndi COD = \ filxhan CD = \alfa ^(\circ)
Këndi i brendashkruarështë një kënd, kulmi i të cilit është në një rreth dhe anët e të cilit përmbajnë korda.
Mund ta llogarisni duke ditur madhësinë e harkut, pasi është e barabartë me gjysmën e këtij harku.
\kënd AOB = 2 \kënd ADB
Bazuar në një diametër, kënd të brendashkruar, kënd të drejtë.
\kënd CBD = \kënd CED = \kënd CAD = 90^ (\circ)
Këndet e brendashkruara që nënshtrojnë të njëjtin hark janë identike.
Këndet e brendashkruara që mbështeten në një kordë janë identike ose shuma e tyre është e barabartë me 180^ (\circ) .
\këndi ADB + \këndi AKB = 180^ (\circ)
\këndi ADB = \këndi AEB = \këndi AFB
Në të njëjtin rreth janë kulmet e trekëndëshave me kënde identike dhe një bazë të caktuar.
Një kënd me një kulm brenda rrethit dhe i vendosur midis dy kordave është identik me gjysmën e shumës së vlerave këndore të harqeve të rrethit që përmbahen brenda këndeve të dhëna dhe vertikale.
\kënd DMC = \kënd ADM + \kënd DAM = \frac(1)(2) \majtas (\kup DmC + \kupë AlB \djathtas)
Një kënd me një kulm jashtë rrethit dhe i vendosur midis dy sekanteve është identik me gjysmën e ndryshimit në vlerat këndore të harqeve të rrethit që përmbahen brenda këndit.
\këndi M = \këndi CBD - \këndi ACB = \frac(1)(2) \majtas (\kup DmC - \kupë AlB \djathtas)
Rreth i brendashkruar
Rreth i brendashkruarështë një rreth tangjent me brinjët e një shumëkëndëshi.
Në pikën ku kryqëzohen përgjysmorët e këndeve të një shumëkëndëshi, ndodhet qendra e tij.
Një rreth mund të mos jetë i gdhendur në çdo shumëkëndësh.
Sipërfaqja e një shumëkëndëshi me një rreth të brendashkruar gjendet me formulën:
S = pr,
p është gjysmëperimetri i shumëkëndëshit,
r është rrezja e rrethit të brendashkruar.
Nga kjo rrjedh se rrezja e rrethit të brendashkruar është e barabartë me:
r = \frac(S)(p)
Shumat e gjatësive anët e kundërta do të jetë identik nëse rrethi është i brendashkruar në një katërkëndësh konveks. Dhe anasjelltas: një rreth përshtatet në një katërkëndësh konveks nëse shumat e gjatësive të anëve të kundërta janë identike.
AB + DC = AD + BC
Është e mundur të futet një rreth në cilindo nga trekëndëshat. Vetëm një të vetme. Në pikën ku kryqëzohen përgjysmorët e këndeve të brendshme të figurës, qendra e këtij rrethi të brendashkruar do të shtrihet.
Rrezja e rrethit të brendashkruar llogaritet me formulën:
r = \frac(S)(p) ,
ku p = \frac(a + b + c)(2)
rrethi
Nëse një rreth kalon nëpër çdo kulm të një shumëkëndëshi, atëherë një rreth i tillë zakonisht quhet përshkruar për një shumëkëndësh.
Në pikën e kryqëzimit të përgjysmuesve pingulë të anëve të kësaj figure do të jetë qendra e rrethit.
Rrezja mund të gjendet duke e llogaritur atë si rrezja e rrethit që është rrethuar rreth trekëndëshit të përcaktuar nga çdo 3 kulme të shumëkëndëshit.
Ekziston kushti i mëposhtëm: një rreth mund të përshkruhet rreth një katërkëndëshi vetëm nëse shuma e këndeve të kundërta të tij është e barabartë me 180^( \circ) .
\këndi A + \këndi C = \këndi B + \këndi D = 180^ (\rreth)
Rreth çdo trekëndëshi mund të përshkruani një rreth, dhe vetëm një. Qendra e një rrethi të tillë do të vendoset në pikën ku kryqëzohen përgjysmuesit pingul të brinjëve të trekëndëshit.
Rrezja e rrethit të rrethuar mund të llogaritet duke përdorur formulat:
R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)
R = \frac(abc)(4 S)
a, b, c janë gjatësitë e brinjëve të trekëndëshit,
S është zona e trekëndëshit.
Teorema e Ptolemeut
Më në fund, merrni parasysh teoremën e Ptolemeut.
Teorema e Ptolemeut thotë se prodhimi i diagonaleve është identik me shumën e prodhimeve të anëve të kundërta të një katërkëndëshi ciklik.
AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD
.png)
Rrethi, pjesët e tij, përmasat dhe marrëdhëniet e tyre janë gjëra që has vazhdimisht një argjendari. Unaza, byzylykë, kasta, tuba, topa, spirale - duhet të bëhen shumë gjëra të rrumbullakëta. Si mund t'i llogaritni të gjitha këto, veçanërisht nëse keni pasur fatin të kapërceni orët e gjeometrisë në shkollë?..
Le të shohim fillimisht se çfarë pjesë ka një rreth dhe si quhen ato.
- Një rreth është një vijë që mbyll një rreth.
- Një hark është një pjesë e një rrethi.
- Rrezja është një segment që lidh qendrën e një rrethi me çdo pikë të rrethit.
- Një akord është një segment që lidh dy pika në një rreth.
- Një segment është një pjesë e një rrethi të kufizuar nga një akord dhe një hark.
- Një sektor është një pjesë e një rrethi të kufizuar nga dy rreze dhe një hark.
Sasitë që na interesojnë dhe emërtimet e tyre:
Tani le të shohim se cilat probleme që lidhen me pjesët e një rrethi duhet të zgjidhen.
- Gjeni gjatësinë e zhvillimit të çdo pjese të unazës (byzylykut). Diametri dhe korda janë të specifikuara (opsioni: diametri dhe kënd qendror), gjeni gjatësinë e harkut.
- Ekziston një vizatim në një aeroplan, ju duhet të zbuloni madhësinë e tij në projeksion pasi ta përkulni atë në një hark. Duke pasur parasysh gjatësinë dhe diametrin e harkut, gjeni gjatësinë e kordës.
- Gjeni lartësinë e pjesës së marrë duke përkulur një pjesë të sheshtë të punës në një hark. Opsionet e të dhënave burimore: gjatësia dhe diametri i harkut, gjatësia e harkut dhe korda; gjeni lartësinë e segmentit.
Jeta do t'ju japë shembuj të tjerë, por unë i dhashë këto vetëm për të treguar nevojën për të vendosur disa dy parametra për të gjetur të gjithë të tjerët. Kjo është ajo që ne do të bëjmë. Do të thotë, do të marrim pesë parametra të segmentit: D, L, X, φ dhe H. Më pas, duke zgjedhur të gjitha çiftet e mundshme prej tyre, do t'i konsiderojmë si të dhëna fillestare dhe do t'i gjejmë të gjitha të tjerat me stuhi mendimesh.
Për të mos e ngarkuar pa nevojë lexuesin, nuk do të jap zgjidhje të detajuara, por do t'i paraqes vetëm rezultatet në formë formulash (ato raste kur nuk ka zgjidhje formale, do t'i diskutoj gjatë rrugës).
Dhe një shënim tjetër: për njësitë matëse. Të gjitha sasitë, përveç këndit qendror, maten në të njëjtat njësi abstrakte. Kjo do të thotë që nëse, për shembull, specifikoni një vlerë në milimetra, atëherë tjetra nuk ka nevojë të specifikohet në centimetra, dhe vlerat që rezultojnë do të maten në të njëjtat milimetra (dhe zonat në milimetra katrorë). E njëjta gjë mund të thuhet për inç, këmbë dhe milje detare.
Dhe vetëm këndi qendror në të gjitha rastet matet në gradë dhe asgjë tjetër. Sepse, si rregull i madh, njerëzit që dizajnojnë diçka të rrumbullakët nuk priren të matin këndet në radianë. Shprehja "këndi pi me katër" ngatërron shumë, ndërsa "këndi dyzet e pesë gradë" është i kuptueshëm për të gjithë, pasi është vetëm pesë gradë më i lartë se normalja. Sidoqoftë, në të gjitha formulat do të ketë një kënd më shumë - α - i pranishëm si vlerë e ndërmjetme. Në kuptim, kjo është gjysma e këndit qendror, e matur në radianë, por nuk mund të gërmoni me siguri në këtë kuptim.
1. Jepet diametri D dhe gjatësia e harkut L
; gjatësia e kordës 
;
lartësia e segmentit 
; kënd qendror 
.
2. Jepet diametri D dhe gjatësia e kordës X
; gjatësia e harkut;
lartësia e segmentit ; kënd qendror 
.
Meqenëse korda e ndan rrethin në dy segmente, ky problem nuk ka një, por dy zgjidhje. Për të marrë të dytën, duhet të zëvendësoni këndin α në formulat e mësipërme me këndin .
3. Jepet diametri D dhe këndi qendror φ
; gjatësia e harkut;
gjatësia e kordës ; lartësia e segmentit .
4. Jepet diametri D dhe lartësia e segmentit H
; gjatësia e harkut;
gjatësia e kordës ; kënd qendror .
6. Është dhënë gjatësia e harkut L dhe këndi qendror φ
; diametri ;
gjatësia e kordës ; lartësia e segmentit .
8. Jepet gjatësia e kordës X dhe këndi qendror φ
; gjatësia e harkut 
;
diametri ; lartësia e segmentit .
9. Jepet gjatësia e kordës X dhe lartësia e segmentit H
; gjatësia e harkut ;
diametri ; kënd qendror .
10. Jepet këndi qendror φ dhe lartësia e segmentit H
; diametri 
;
gjatësia e harkut; gjatësia e kordës .
Lexuesi i vëmendshëm nuk mund të mos vinte re se më humbën dy opsione:
5. Jepet gjatësia e harkut L dhe gjatësia e kordës X
7. Jepet gjatësia e harkut L dhe lartësia e segmentit H
Këto janë vetëm ato dy raste të pakëndshme kur problemi nuk ka një zgjidhje që mund të shkruhet në formën e një formule. Dhe detyra nuk është aq e rrallë. Për shembull, ju keni një copë të sheshtë me gjatësi L dhe dëshironi ta përkulni në mënyrë që gjatësia e saj të bëhet X (ose lartësia e saj të bëhet H). Çfarë diametri duhet të marr mandrelin (shiritin)?
Ky problem zbret në zgjidhjen e ekuacioneve: 
; - në opsionin 5
; - në opsionin 7
dhe megjithëse nuk mund të zgjidhen në mënyrë analitike, ato mund të zgjidhen lehtësisht në mënyrë programore. Dhe unë madje e di se ku mund të marr një program të tillë: pikërisht në këtë faqe, nën emrin . Gjithçka që po ju them këtu gjatë, ajo e bën në mikrosekonda.
Për të përfunduar figurën, le t'i shtojmë rezultateve të llogaritjeve tona perimetrin dhe tre vlerat e zonës - rrethi, sektori dhe segmenti. (Zonat do të na ndihmojnë shumë gjatë llogaritjes së masës së të gjitha pjesëve të rrumbullakëta dhe gjysmërrethore, por më shumë për këtë në një artikull të veçantë.) Të gjitha këto sasi llogariten duke përdorur të njëjtat formula:
perimetri;
zona e një rrethi 
;
zona e sektorit 
;
zona e segmentit 
;
Dhe në përfundim, më lejoni t'ju kujtoj edhe një herë për ekzistencën e absolutisht program falas, i cili kryen të gjitha llogaritjet e mësipërme, duke ju çliruar nga detyrimi për të kujtuar se çfarë është një arktangjent dhe ku ta kërkoni atë.
Problemet në gjetjen e zonës së një rrethi - të detyrueshme pjesë e Provimit të Unifikuar të Shtetit në matematikë. Si rregull, disa detyra i caktohen kësaj teme në testin e certifikimit. Të gjithë nxënësit e shkollave të mesme, pavarësisht nga niveli i përgatitjes, duhet të kuptojnë algoritmin për gjetjen e perimetrit dhe sipërfaqes së rrethit.
Nëse detyra të tilla planimetrike ju shkaktojnë vështirësi, ju rekomandojmë t'i drejtoheni portalit arsimor Shkolkovo. Me ne mund të plotësoni boshllëqet në njohuri.
Seksioni përkatës i faqes paraqet një përzgjedhje të madhe të problemeve për gjetjen e perimetrit dhe sipërfaqes së një rrethi, të ngjashme me ato të përfshira në Provimin e Unifikuar të Shtetit. Pasi të mësojë t'i kryejë ato në mënyrë korrekte, maturanti do të jetë në gjendje të përballojë me sukses provimin.
Pikat kryesore
Problemet që kërkojnë përdorimin e formulave të sipërfaqes mund të jenë të drejtpërdrejta ose të kundërta. Në rastin e parë njihen parametrat e elementeve të figurës. Në këtë rast, sasia e kërkuar është sipërfaqja. Në rastin e dytë, përkundrazi, zona është e njohur dhe është e nevojshme të gjendet ndonjë element i figurës. Algoritmi për llogaritjen e përgjigjes së saktë në detyra të tilla ndryshon vetëm në rendin në të cilin zbatohen formulat bazë. Kjo është arsyeja pse, kur filloni të zgjidhni probleme të tilla, është e nevojshme të përsërisni materialin teorik.
Aktiv portal arsimor"Shkolkovo" paraqet të gjithë informacionin bazë për temën "Gjetja e gjatësisë së një rrethi ose harku dhe zona e një rrethi", si dhe për tema të tjera, për shembull, specialistët tanë e përgatitën dhe e prezantuan atë në mënyrën më të mirë. formë e aksesueshme.
Pasi të kenë kujtuar formulat bazë, studentët mund të fillojnë të plotësojnë problemet për gjetjen e sipërfaqes së një rrethi, të ngjashme me ato të përfshira në Provimin e Bashkuar të Shtetit, në internet. Për çdo ushtrim, faqja ofron një zgjidhje të detajuar dhe përgjigjen e saktë. Nëse është e nevojshme, çdo detyrë mund të ruhet në seksionin "Të preferuarat" në mënyrë që të ktheheni tek ajo më vonë dhe ta diskutoni atë me mësuesin.
Kursi video “Merr A” përfshin të gjitha temat e nevojshme për të kaluar me sukses Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë me 60-65 pikë. Plotësisht të gjitha problemet 1-13 Profili Provimi i Unifikuar i Shtetit në matematikë. I përshtatshëm edhe për kalimin e Provimit Bazë të Shtetit të Unifikuar në matematikë. Nëse doni të kaloni Provimin e Unifikuar të Shtetit me 90-100 pikë, duhet ta zgjidhni pjesën 1 në 30 minuta dhe pa gabime!
Kurs përgatitor për Provimin e Unifikuar të Shtetit për klasat 10-11, si dhe për mësuesit. Gjithçka që ju nevojitet për të zgjidhur Pjesën 1 të Provimit të Unifikuar të Shtetit në matematikë (12 detyrat e para) dhe Problemin 13 (trigonometri). Dhe kjo është më shumë se 70 pikë në Provimin e Unifikuar të Shtetit, dhe as një student me 100 pikë dhe as një student i shkencave humane nuk mund të bëjë pa to.
E gjithë teoria e nevojshme. Zgjidhje të shpejta, gracka dhe sekrete të Provimit të Unifikuar të Shtetit. Të gjitha detyrat aktuale të pjesës 1 nga Banka e Detyrave FIPI janë analizuar. Kursi përputhet plotësisht me kërkesat e Provimit të Unifikuar të Shtetit 2018.
Kursi përmban 5 tema të mëdha, 2.5 orë secila. Çdo temë jepet nga e para, thjeshtë dhe qartë.
Qindra detyra të Provimit të Unifikuar të Shtetit. Problemet e fjalëve dhe teoria e probabilitetit. Algoritme të thjeshta dhe të lehta për t'u mbajtur mend për zgjidhjen e problemeve. Gjeometria. Teori, material referues, analiza e të gjitha llojeve të detyrave të Provimit të Unifikuar të Shtetit. Stereometria. Zgjidhje të ndërlikuara, fletë të dobishme mashtrimi, zhvillimi i imagjinatës hapësinore. Trigonometria nga e para te problemi 13. Kuptimi në vend të grumbullimit. Shpjegime të qarta të koncepteve komplekse. Algjebër. Rrënjët, fuqitë dhe logaritmet, funksioni dhe derivati. Baza për zgjidhje detyra komplekse 2 pjesë të Provimit të Unifikuar të Shtetit.
