teorema lui Gauss. Teorema lui Gauss pentru inducția electrică (deplasare electrică) Teorema lui Gauss pentru inducția câmpului electric

Să luăm în considerare modul în care valoarea vectorului E se modifică la interfața dintre două medii, de exemplu, aer (ε 1) și apă (ε = 81). Intensitatea câmpului în apă scade brusc cu un factor de 81. Acest comportament vectorial E creează anumite inconveniente la calcularea câmpurilor în diverse medii. Pentru a evita acest inconvenient, se introduce un nou vector D– vector de inducție sau deplasare electrică a câmpului. Conexiune vectorială DŞi E arata ca

D = ε ε 0 E.

Evident, pentru câmpul unei sarcini punctiforme deplasarea electrică va fi egală cu

Este ușor de observat că deplasarea electrică se măsoară în C/m2, nu depinde de proprietăți și este reprezentată grafic prin linii asemănătoare liniilor de tensiune.

Direcția liniilor de câmp caracterizează direcția câmpului în spațiu (liniile de câmp, desigur, nu există, sunt introduse pentru comoditatea ilustrației) sau direcția vectorului intensității câmpului. Folosind linii de intensitate, puteți caracteriza nu numai direcția, ci și mărimea intensității câmpului. Pentru a face acest lucru, s-a convenit să le efectueze cu o anumită densitate, astfel încât numărul de linii de tensiune care străpunge o suprafață unitară perpendiculară pe liniile de tensiune să fie proporțional cu modulul vectorial. E(Fig. 78). Apoi numărul de linii care pătrund în zona elementară dS, normala la care n formează un unghi α cu vectorul E, este egal cu E dScos α = E n dS,

unde E n este componenta vectorială Eîn direcția normalului n. Valoarea dФ E = E n dS = E d S numit curgerea vectorului de tensiune prin amplasament d S(d S= dS n).

Pentru o suprafață închisă arbitrară S fluxul vectorial E prin aceasta suprafata este egala

O expresie similară are fluxul vectorului deplasare electrică Ф D

.

Teorema Ostrogradsky-Gauss

Această teoremă ne permite să determinăm fluxul vectorilor E și D din orice număr de sarcini. Să luăm o sarcină punctiformă Q și să definim fluxul vectorului E printr-o suprafață sferică de rază r, în centrul căreia se află.

Pentru o suprafață sferică α = 0, cos α = 1, E n = E, S = 4 πr 2 și

Ф E = E · 4 πr 2 .

Înlocuind expresia pentru E obținem

Astfel, din fiecare sarcină punctiformă iese un flux de vector F E E egal cu Q/ ε 0 . Generalizând această concluzie la cazul general al unui număr arbitrar de sarcini punctiforme, dăm formularea teoremei: fluxul total al vectorului E printr-o suprafață închisă de formă arbitrară este numeric egală cu suma algebrică a sarcinilor electrice conținute în interiorul acestei suprafețe, împărțită la ε 0, i.e.

Pentru fluxul vectorial de deplasare electrică D puteți obține o formulă similară

fluxul vectorului de inducție printr-o suprafață închisă este egal cu suma algebrică a sarcinilor electrice acoperite de această suprafață.

Dacă luăm o suprafață închisă care nu îmbrățișează o sarcină, atunci fiecare linie EŞi D va traversa această suprafață de două ori - la intrare și la ieșire, astfel încât debitul total se dovedește a fi egal cu zero. Aici este necesar să se țină cont de suma algebrică a liniilor care intră și ies.

Aplicarea teoremei Ostrogradsky-Gauss pentru calcularea câmpurilor electrice create de avioane, sfere și cilindri

O suprafață sferică cu raza R poartă o sarcină Q, distribuită uniform pe suprafața cu densitatea suprafeței σ

Să luăm punctul A din afara sferei la o distanță r de centru și să desenăm mental o sferă cu raza r încărcată simetric (Fig. 79). Aria sa este S = 4 πr 2. Fluxul vectorului E va fi egal cu

Conform teoremei Ostrogradsky-Gauss
, prin urmare,
ținând cont că Q = σ 4 πr 2 , obținem

Pentru punctele situate pe suprafața unei sfere (R = r)

D Pentru punctele situate în interiorul unei sfere goale (nu există nicio sarcină în interiorul sferei), E = 0.

2 . Suprafață cilindrică goală cu raza R și lungime lîncărcat cu densitate de sarcină de suprafață constantă
(Fig. 80). Să desenăm o suprafață cilindrică coaxială cu raza r > R.

Vector de flux E prin aceasta suprafata

După teorema lui Gauss

Echivalând părțile din dreapta ale egalităților de mai sus, obținem

.

Dacă este dată densitatea de sarcină liniară a cilindrului (sau a filetului subțire).
Că

3. Câmp de planuri infinite cu densitatea de sarcină de suprafață σ (Fig. 81).

Să considerăm câmpul creat de un plan infinit. Din considerente de simetrie rezultă că intensitatea în orice punct al câmpului are o direcție perpendiculară pe plan.

În punctele simetrice E va fi aceeași ca mărime și opusă ca direcție.

Să construim mental suprafața unui cilindru cu o bază ΔS. Apoi, un flux va ieși prin fiecare dintre bazele cilindrului

F E = E ΔS, iar debitul total prin suprafața cilindrică va fi egal cu F E = 2E ΔS.

În interiorul suprafeței există o sarcină Q = σ · ΔS. Conform teoremei lui Gauss, trebuie să fie adevărată

unde

Rezultatul obtinut nu depinde de inaltimea cilindrului selectat. Astfel, intensitatea câmpului E la orice distanță este aceeași ca mărime.

Pentru două plane încărcate diferit cu aceeași densitate de sarcină de suprafață σ, conform principiului suprapunerii, în afara spațiului dintre planuri intensitatea câmpului este zero E = 0, iar în spațiul dintre planuri
(Fig. 82a). Dacă avioanele sunt încărcate cu sarcini similare cu aceeași densitate de sarcină de suprafață, se observă imaginea opusă (Fig. 82b). În spațiul dintre planele E = 0, iar în spațiul exterior planurilor
.

Sarcina principală aplicată a electrostaticei este calculul câmpurilor electrice create în diferite dispozitive și dispozitive. În general, această problemă este rezolvată folosind legea lui Coulomb și principiul suprapunerii. Cu toate acestea, această sarcină devine foarte dificilă atunci când luăm în considerare număr mare taxe punctuale sau distribuite spațial. Dificultăți și mai mari apar atunci când în spațiu există dielectrici sau conductori, când sub influența unui câmp extern E 0 are loc o redistribuire a sarcinilor microscopice, creându-și propriul câmp suplimentar E. Prin urmare, pentru a rezolva practic aceste probleme, se folosesc metode și tehnici auxiliare. utilizate care folosesc aparate matematice complexe. Vom considera cea mai simplă metodă bazată pe aplicarea teoremei Ostrogradsky–Gauss. Pentru a formula această teoremă, introducem câteva concepte noi:

A) densitatea de sarcină

Dacă corpul încărcat este mare, atunci trebuie să cunoașteți distribuția sarcinilor în interiorul corpului.

Densitatea de încărcare a volumului– măsurată prin sarcina pe unitate de volum:

Densitatea sarcinii de suprafață– măsurată prin sarcina pe unitatea de suprafață a unui corp (când sarcina este distribuită pe suprafață):

Densitatea de sarcină liniară(distribuția sarcinii de-a lungul conductorului):

b) vector de inducție electrostatică

Vector de inducție electrostatică (vector de deplasare electrică) este o mărime vectorială care caracterizează câmpul electric.

Vector egal cu produsul vectorului asupra constantei dielectrice absolute a mediului într-un punct dat:

Să verificăm dimensiunea Dîn unități SI:

, pentru că
,

atunci dimensiunile D și E nu coincid, iar valorile lor numerice sunt, de asemenea, diferite.

Din definiție rezultă că pentru câmpul vectorial se aplică același principiu de suprapunere ca și pentru câmp :

Domeniu reprezentat grafic prin linii de inducție, la fel ca câmpul . Liniile de inducție sunt trasate astfel încât tangenta din fiecare punct să coincidă cu direcția , iar numărul de linii este egal cu valoarea numerică a lui D la o locație dată.

Pentru a înțelege sensul introducerii Să ne uităm la un exemplu.

V) flux vectorial de inducție electrostatică

Luați în considerare suprafața S într-un câmp electric și alegeți direcția normalei

1. Dacă câmpul este uniform, atunci numărul de linii de câmp prin suprafața S:

2. Dacă câmpul este neuniform, atunci suprafața este împărțită în elemente infinitezimale dS, care sunt considerate plate și câmpul din jurul lor este uniform. Prin urmare, fluxul prin elementul de suprafață este: dN = D n dS,

iar debitul total prin orice suprafață este:

(6)

Fluxul de inducție N este o mărime scalară; în funcţie de  poate fi > 0 sau< 0, или = 0.

Cel mai dificil lucru este să studiezi fenomenele electrice într-un mediu electric neomogen. Într-un astfel de mediu, ε are valori diferite, modificându-se brusc la limita dielectrică. Să presupunem că determinăm intensitatea câmpului la interfața dintre două medii: ε 1 =1 (vid sau aer) și ε 2 =3 (lichid - ulei). La interfață, în timpul trecerii de la vid la dielectric, intensitatea câmpului scade de trei ori, iar fluxul vectorului de putere scade cu aceeași cantitate (Fig. 12.25, a). O schimbare bruscă a vectorului intensității câmpului electrostatic la interfața dintre două medii creează anumite dificultăți la calcularea câmpurilor. În ceea ce privește teorema lui Gauss, în aceste condiții ea își pierde în general sensul.

Deoarece polarizabilitatea și tensiunea dielectricilor disimilați sunt diferite, numărul de linii de câmp din fiecare dielectric va fi, de asemenea, diferit. Această dificultate poate fi eliminată prin introducerea unei noi caracteristici fizice a câmpului, inducția electrică D (sau vector deplasare electrică ).

Conform formulei

ε 1 E 1 = ε 2 E 2 =E 0 =const

Înmulțind toate părțile acestor egalități cu constanta electrică ε 0 obținem

ε 0 ε 1 E 1 = ε 0 ε 2 E 2 =ε 0 E 0 =const

Să introducem notația ε 0 εE=D apoi penultima relație va lua forma

D 1 = D 2 = D 0 = const

Se numește vectorul D, egal cu produsul dintre intensitatea câmpului electric din dielectric și constanta sa dielectrică absolutăvector de deplasare electrică

(12.45)

Unitate electrică de deplasare - pandantiv pe metru pătrat(C/m2).

Deplasarea electrică este o mărime vectorială și poate fi exprimată și ca

D = ε ε 0 E =(1+χ)ε 0 E = ε 0 E + χε 0 E = ε 0 E+P

(12.46)

Spre deosebire de tensiunea E, deplasarea electrică D este constantă în toate dielectricii (Fig. 12.25, b). Prin urmare, este convenabil să se caracterizeze câmpul electric într-un mediu dielectric neomogen nu prin intensitatea E, ci prin vectorul de deplasare D. Vectorul D descrie câmpul electrostatic creat de sarcinile libere (adică în vid), dar cu distribuția lor în spațiu ca în prezența unui dielectric, deoarece sarcinile legate care apar în dielectrici pot provoca o redistribuire a sarcinilor libere creând câmpul.

Câmp vectorial este reprezentată grafic prin linii electrice de deplasare în același mod ca câmpul descrise prin linii de forță.

Linie electrică de deplasare - sunt drepte ale căror tangente în fiecare punct coincid în direcție cu vectorul deplasării electrice.

Liniile vectorului E pot începe și se termină cu orice taxe - libere și legate, în timp ce liniile vectoruluiD- doar cu taxe gratuite. linii vectorialeDSpre deosebire de liniile de tensiune, acestea sunt continue.

Deoarece vectorul deplasării electrice nu experimentează o discontinuitate la interfața dintre două medii, toate liniile de inducție care emană de la sarcinile înconjurate de o suprafață închisă vor pătrunde în el. Prin urmare, pentru vectorul deplasării electrice, teorema lui Gauss își păstrează complet sensul pentru un mediu dielectric neomogen.

Teorema lui Gauss pentru câmpul electrostatic într-un dielectric : fluxul vectorului electric deplasare printr-o suprafață închisă arbitrară este egal cu suma algebrică a sarcinilor conținute în interiorul acestei suprafețe.

(12.47)

Teorema lui Gauss pentru inducția electrică (deplasarea electrică)[

Pentru un câmp într-un mediu dielectric, teorema electrostatică a lui Gauss poate fi scrisă într-un alt mod (într-un mod alternativ) - prin fluxul vectorului de deplasare electrică (inducție electrică). În acest caz, formularea teoremei este următoarea: fluxul vectorului de deplasare electrică printr-o suprafață închisă este proporțional cu sarcina electrică liberă conținută în interiorul acestei suprafețe:

Sub formă diferențială:

Teorema lui Gauss pentru inducția magnetică

Fluxul vectorului de inducție magnetică prin orice suprafață închisă este zero:

sau sub formă diferenţială

Acest lucru este echivalent cu faptul că în natură nu există „sarcini magnetice” (monopoli) care ar crea un câmp magnetic, așa cum sarcinile electrice creează un câmp electric. Cu alte cuvinte, teorema lui Gauss pentru inducția magnetică arată că câmpul magnetic este (complet) vârtej.

Teorema lui Gauss pentru gravitația newtoniană

Pentru intensitatea câmpului gravitației newtoniene (accelerația gravitațională), teorema lui Gauss coincide practic cu cea din electrostatică, cu excepția numai a constantelor (totuși, încă dependente de alegerea arbitrară a sistemului de unități) și, cel mai important, semnul:

Unde g- intensitatea câmpului gravitațional, M- sarcina gravitațională (adică masa) în interiorul suprafeței S, ρ - densitatea masei, G- constanta newtoniana.

Conductoare într-un câmp electric. Câmp în interiorul unui conductor și pe suprafața acestuia.

Conductorii sunt corpuri prin care sarcinile electrice pot trece de la un corp încărcat la unul neîncărcat. Capacitatea conductorilor de a trece sarcini electrice prin ei înșiși se explică prin prezența purtătorilor de sarcină liberi în ei. Conductori - corpuri metalice în stare solidă și lichidă, soluții lichide de electroliți. Sarcinile libere ale unui conductor introdus într-un câmp electric încep să se miște sub influența acestuia. Redistribuirea sarcinilor determină o modificare a câmpului electric. Când intensitatea câmpului electric dintr-un conductor devine zero, electronii se opresc din mișcare. Fenomenul de separare a sarcinilor diferite într-un conductor plasat într-un câmp electric se numește inducție electrostatică. În interiorul conductorului câmp electric Nu. Acesta este utilizat pentru protecția electrostatică - protecție folosind conductori metalici de la un câmp electric. Suprafața unui corp conductor de orice formă într-un câmp electric este o suprafață echipotențială.

Condensatoare

Pentru a obține dispozitive care, la un potențial scăzut față de mediu, ar acumula (condensa) sarcini vizibile asupra lor, se folosesc de faptul că capacitatea electrică a unui conductor crește pe măsură ce alte corpuri se apropie de el. Într-adevăr, sub influența câmpului creat de conductoare încărcate, pe un corp adus acestuia apar sarcini induse (pe conductor) sau asociate (pe dielectric) (Fig. 15.5). Sarcinile cu semn opus sarcinii conductorului q sunt situate mai aproape de conductor decât cele cu același nume cu q și, prin urmare, au o mare influență asupra potențialului acestuia.

Prin urmare, atunci când orice corp este apropiat de un conductor încărcat, puterea câmpului scade și, în consecință, potențialul conductorului scade. Conform ecuației, aceasta înseamnă o creștere a capacității conductorului.

Condensatorul este format din doi conductori (plăci) (Fig. 15.6), separate printr-un strat dielectric. Atunci când unui conductor i se aplică o anumită diferență de potențial, plăcile acestuia sunt încărcate cu sarcini egale de semn opus. Capacitatea electrică a unui condensator este înțeleasă ca mărime fizică proporțională cu sarcina q și invers proporțională cu diferența de potențial dintre plăci.

Să determinăm capacitatea unui condensator plat.

Dacă aria plăcii este S și sarcina pe ea este q, atunci intensitatea câmpului dintre plăci

Pe de altă parte, diferența de potențial dintre plăci provine

Energia unui sistem de sarcini punctiforme, a unui conductor încărcat și a unui condensator.

Orice sistem de sarcini are o energie potențială de interacțiune, care este egală cu munca cheltuită pentru crearea acestui sistem. Energia unui sistem de sarcini punctiforme q 1 , q 2 , q 3 ,… q N este definită după cum urmează:

Unde φ 1 – potențialul câmpului electric creat de toate sarcinile cu excepția q 1 în punctul în care se află încărcarea q 1, etc. Dacă se modifică configurația sistemului de sarcini, atunci se schimbă și energia sistemului. Pentru a modifica configurația sistemului, trebuie să se lucreze.

Energia potențială a unui sistem de sarcini punctiforme poate fi calculată în alt mod. Energia potențială a două sarcini punctiforme q 1 , q 2 la distanță unul de celălalt este egal. Dacă există mai multe sarcini, atunci energia potențială a acestui sistem de sarcini poate fi definită ca suma energiilor potențiale ale tuturor perechilor de sarcini care pot fi compuse pentru acest sistem. Deci, pentru un sistem de trei sarcini pozitive, energia sistemului este egală cu

Densitatea de încărcare a suprafeței de pe plăcile condensatorului este egală cu raportul dintre cantitatea de sarcină de pe acesta și aria plăcii:.

Energia unui conductor solitar încărcat și a unui condensator Dacă un conductor izolat are o sarcină q, atunci există un câmp electric în jurul lui, al cărui potențial pe suprafața conductorului este egal cu , iar capacitatea este C. Să creștem sarcina cu cantitatea dq. Când transferați sarcina dq de la infinit, munca trebuie efectuată egală cu

. Dar potențialul câmpului electrostatic al unui conductor dat la infinit este zero. Apoi

La transferul sarcinii dq de la un conductor la infinit, aceeași muncă este efectuată de forțele câmpului electrostatic. În consecință, atunci când sarcina conductorului crește cu cantitatea dq, energia potențială a câmpului crește, adică.

Prin integrarea acestei expresii, găsim energia potențială a câmpului electrostatic al unui conductor încărcat pe măsură ce sarcina acestuia crește de la zero la q:

Aplicând relația, putem obține următoarele expresii pentru energia potențială W: