Cum să înțelegeți un număr natural. Studierea subiectului exact: numerele naturale - ce sunt numerele, exemplele și proprietățile. Totul despre numere naturale

Numerele naturale- numere folosite pentru a numara obiectele . Orice număr natural poate fi scris folosind zece numere: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Acest tip de număr se numește zecimal

Se numește șirul tuturor numerelor naturale firesc alaturi de .

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...

Cel mai mult mic numărul natural este unu (1). În seria naturală, fiecare număr următor este cu 1 mai mare decât cel anterior. Seria naturală fără sfârşit, nu există un număr cel mai mare în el.

Semnificația unei cifre depinde de locul ei în înregistrarea numărului. De exemplu, numărul 4 înseamnă: 4 unități dacă se află pe ultimul loc în înregistrarea numărului (în loc de unități); 4 zece, dacă ea se află pe penultimul loc (la locul zecilor); 4 sute, dacă ea este pe locul trei de la final (V sute de loc).

Numărul 0 înseamnă absența unităților din această categorieîn notația zecimală a unui număr, servește și la desemnarea numărului „. zero" Acest număr înseamnă „niciunul”. Scorul 0:3 într-un meci de fotbal înseamnă că prima echipă nu a marcat niciun gol împotriva adversarului.

Zero nu includ la numere naturale. Și într-adevăr, numărarea obiectelor nu începe niciodată de la zero.

Dacă reprezentarea unui număr natural constă dintr-un singur semn – o cifră, apoi se numește lipsit de ambiguitate. Aceste. lipsit de ambiguitatenumăr natural– un număr natural, a cărui notare este formată dintr-un singur semn – o cifră. De exemplu, numerele 1, 6, 8 sunt cu o singură cifră.

Cifra dublanumăr natural– un număr natural, a cărui notare este formată din două caractere – două cifre.

De exemplu, numerele 12, 47, 24, 99 sunt numere din două cifre.

De asemenea, pe baza numărului de caractere dintr-un anumit număr, alte numere sunt date nume:

numerele 326, 532, 893 – trei cifre;

numerele 1126, 4268, 9999 – patru cifre etc.

Două cifre, trei cifre, patru cifre, cinci cifre etc. se numesc numere numere din mai multe cifre .

Pentru a citi numerele cu mai multe cifre, acestea sunt împărțite, începând de la dreapta, în grupuri de câte trei cifre fiecare (grupul din stânga poate fi format din una sau două cifre). Aceste grupuri sunt numite cursuri.

Milion– aceasta este o mie de mii (1000 de mii), se scrie 1 milion sau 1.000.000.

Miliard- Adică 1000 de milioane. Este scris ca 1 miliard sau 1.000.000.000.

Primele trei cifre din dreapta alcătuiesc clasa de unități, următoarele trei – clasa de mii, apoi vin clasele de milioane, miliarde etc. (Fig. 1).

Orez. 1. Clasa milioane, clasa mii și clasa unități (de la stânga la dreapta)

Numărul 15389000286 este scris în grila de biți (Fig. 2).

Orez. 2. Grilă de biți: numărul 15 miliarde 389 milioane 286

Acest număr are 286 unități în clasa de unități, zero unități în clasa mii, 389 de unități în clasa milioane și 15 unități în clasa miliarde.

Istoria numerelor naturale a început în timpurile primitive. Din cele mai vechi timpuri, oamenii au numărat obiectele. De exemplu, în comerț aveai nevoie de un cont de mărfuri sau în construcții un cont de materiale. Da, chiar și în viața de zi cu zi a trebuit să număr și lucruri, mâncare, animale. La început, numerele au fost folosite doar pentru a număra în viață, în practică, dar mai târziu, odată cu dezvoltarea matematicii, au devenit parte a științei.

Numerele naturale- acestea sunt numerele pe care le folosim atunci când numărăm obiectele.

De exemplu: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ….

Zero nu este un număr natural.

Toate numerele naturale, sau să-i spunem mulțimea numerelor naturale, sunt notate cu simbolul N.

Tabelul numerelor naturale.

Seria naturală.

Numerele naturale scrise pe rând în ordine crescătoare serie naturală sau o serie de numere naturale.

Proprietățile seriei naturale:

• Cel mai mic număr natural este unul.
• Într-o serie naturală, următorul număr este mai mare decât precedentul câte unul. (1, 2, 3, ...) Trei puncte sau elipse sunt plasate dacă este imposibil să se completeze succesiunea de numere.
• Seria naturală nu are cel mai mare număr, este infinită.

Exemplul #1:
Scrieți primele 5 numere naturale.
Soluţie:
Numerele naturale încep de la unu.
1, 2, 3, 4, 5

Exemplul #2:
Este zero un număr natural?
Raspuns: nu.

Exemplul #3:
Care este primul număr din seria naturală?
Răspuns: Seria naturală începe de la unul.

Exemplul #4:
Care este ultimul număr din seria naturală? Care este cel mai mare număr natural?
Răspuns: Seria naturală începe cu unul. Fiecare număr următor este mai mare decât cel anterior, deci ultimul număr nu există. se număr mare Nu.

Exemplul #5:
Are unul din seria naturală un număr anterior?
Răspuns: nu, pentru că unu este primul număr din seria naturală.

Exemplul #6:
Numiți următorul număr din seria naturală: a)5, b)67, c)9998.
Raspuns: a)6, b)68, c)9999.

Exemplul #7:
Câte numere sunt în seria naturală între numerele: a) 1 și 5, b) 14 și 19.
Soluţie:
a) 1, 2, 3, 4, 5 – trei numere sunt între numerele 1 și 5.
b) 14, 15, 16, 17, 18, 19 – patru numere sunt între numerele 14 și 19.

Exemplul #8:
Spuneți numărul anterior după 11.
Raspuns: 10.

Exemplul #9:
Ce numere sunt folosite la numărarea obiectelor?
Răspuns: numere naturale.

În matematică, există mai multe seturi diferite de numere: reale, complexe, întregi, raționale, iraționale, ... viata de zi cu zi Cel mai adesea folosim numere naturale, deoarece le întâlnim la numărare și la căutare, desemnând numărul de obiecte.

Ce numere se numesc numere naturale?

Din zece cifre puteți scrie absolut orice sumă existentă de clase și ranguri. Valorile naturale sunt considerate a fi acelea care sunt folosite:

• Când numărați orice obiecte (primul, al doilea, al treilea, ... al cincilea, ... al zecelea).
• La indicarea numărului de articole (unu, doi, trei...)

N valorile sunt întotdeauna întregi și pozitive. Nu există cel mai mare N deoarece setul de valori întregi este nelimitat.

Atenţie! Numerele naturale se obțin la numărarea obiectelor sau la indicarea cantității acestora.

Absolut orice număr poate fi descompus și prezentat sub formă de termeni de cifre, de exemplu: 8.346.809=8 milioane+346 mii+809 unități.

Set N

Mulțimea N este în mulțime reale, întregi și pozitive. Pe diagrama mulțimilor, acestea ar fi situate unele în altele, deoarece mulțimea celor naturale face parte din ele.

Mulțimea numerelor naturale se notează cu litera N. Această mulțime are un început, dar fără sfârșit.

Există, de asemenea, o mulțime extinsă N, unde este inclus zero.

Cel mai mic număr natural

În majoritatea școlilor de matematică, cea mai mică valoare a lui N este considerată o unitate, deoarece absența obiectelor este considerată gol.

Dar în școlile străine de matematică, de exemplu în franceză, este considerat natural. Prezența lui zero în serie face demonstrația mai ușoară unele teoreme.

O serie de valori N care include zero se numește extinsă și se notează prin simbolul N0 (indice zero).

Serii de numere naturale

Seria N este o succesiune a tuturor N seturi de cifre. Această secvență nu are sfârșit.

Particularitatea seriei naturale este că următorul număr va diferi cu unul de cel precedent, adică va crește. Dar semnificațiile nu poate fi negativ.

Atenţie! Pentru ușurința numărării, există clase și categorii:

• Unități (1, 2, 3),
• Zeci (10, 20, 30),
• Sute (100, 200, 300),
• Mii (1000, 2000, 3000),
• Zeci de mii (30.000),
• Sute de mii (800.000),
• Milioane (4000000), etc.

Toate N

Toți N sunt în mulțimea valorilor reale, întregi, nenegative. Sunt ai lor parte integrantă.

Aceste valori merg la infinit, pot aparține claselor de milioane, miliarde, chintilioane etc.

De exemplu:

• Cinci mere, trei pisoi,
• Zece ruble, treizeci de creioane,
• O sută de kilograme, trei sute de cărți,
• Un milion de stele, trei milioane de oameni etc.

Secvența în N

În diferite școli de matematică puteți găsi două intervale cărora le aparține șirul N:

de la zero la plus infinit, inclusiv capete, și de la unu la plus infinit, inclusiv capete, adică totul răspunsuri întregi pozitive.

N seturi de cifre pot fi fie pare, fie impare. Să luăm în considerare conceptul de ciudățenie.

Impar (orice număr impar se termină cu numerele 1, 3, 5, 7, 9.) cu doi au un rest. De exemplu, 7:2=3,5, 11:2=5,5, 23:2=11,5.

Ce înseamnă chiar și N?

Orice sume pare ale claselor se termină în numere: 0, 2, 4, 6, 8. Când chiar N este împărțit la 2, nu va mai rămâne niciun rest, adică rezultatul este întregul răspuns. De exemplu, 50:2=25, 100:2=50, 3456:2=1728.

Important! O serie de numere de N nu poate consta doar din valori pare sau impare, deoarece acestea trebuie să alterneze: par este întotdeauna urmat de impar, urmat din nou de par etc.

Proprietăți N

Ca toate celelalte mulțimi, N are propriile sale proprietăți speciale. Să luăm în considerare proprietățile seriei N (neextinsă).

• Valoarea care este cea mai mică și care nu urmează nici unei alte este una.
• N reprezintă o succesiune, adică o valoare naturală urmează altul(cu excepția unuia - este primul).
• Când efectuăm operații de calcul pe N sume de cifre și clase (adunare, înmulțire), atunci răspunsul se dovedește întotdeauna natural sens.
• Permutarea și combinația pot fi utilizate în calcule.
• Fiecare valoare ulterioară nu poate fi mai mică decât cea anterioară. Tot în seria N se va aplica următoarea lege: dacă numărul A este mai mic decât B, atunci în seria numerică va exista întotdeauna un C pentru care egalitatea este valabilă: A+C=B.
• Dacă luăm două expresii naturale, de exemplu A și B, atunci una dintre expresii va fi adevărată pentru ele: A = B, A este mai mare decât B, A este mai mică decât B.
• Dacă A este mai mic decât B și B este mai mic decât C, atunci rezultă că că A este mai mic decât C.
• Dacă A este mai mic decât B, atunci rezultă că: dacă le adăugăm aceeași expresie (C), atunci A + C este mai mic decât B + C. De asemenea, este adevărat că dacă aceste valori sunt înmulțite cu C, atunci AC este mai mic decât AB.
• Dacă B este mai mare decât A, dar mai mic decât C, atunci: B-A mai puțin S-A.

Atenţie! Toate inegalitățile de mai sus sunt valabile și în direcția opusă.

Cum se numesc componentele înmulțirii?

În multe simple și chiar sarcini complexe Găsirea răspunsului depinde de abilitățile elevilor.

Pentru a vă înmulți rapid și corect și pentru a putea rezolva probleme inverse, trebuie să cunoașteți componentele înmulțirii.

15. 10=150. În această expresie există 15 și 10 sunt multiplicatori, iar 150 este un produs.

Înmulțirea are proprietăți care sunt necesare atunci când se rezolvă probleme, ecuații și inegalități:

• Rearanjarea factorilor nu va schimba produsul final.
• Pentru a găsi un factor necunoscut, trebuie să împărțiți produsul la un factor cunoscut (adevărat pentru toți factorii).

De exemplu: 15 . X=150. Să împărțim produsul la un factor cunoscut. 150:15=10. Hai să facem o verificare. 15 . 10=150. Conform acestui principiu, ei chiar decid ecuații liniare complexe(pentru a le simplifica).

Important! Un produs poate consta din mai mult de doi factori. De exemplu: 840=2 . 5. 7. 3. 4

Ce sunt numerele naturale în matematică?

Locuri și clase de numere naturale

Concluzie

Să rezumam. N este folosit la numărarea sau indicarea numărului de articole. Seria de mulțimi naturale de numere este infinită, dar include doar sume întregi și pozitive de cifre și clase. Înmulțirea este, de asemenea, necesară pentru a a număra obiectele, precum și pentru rezolvarea de probleme, ecuații și diverse inegalități.

Navigare în pagină:

Definiţie. Numerele naturale- acestea sunt numerele care sunt folosite pentru numărare: 1, 2, 3, ..., n, ...

Setul de numere naturale este de obicei notat cu simbolul N(din lat. naturalis- naturale).

Numerele naturale din sistemul numeric zecimal sunt scrise folosind zece cifre:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Mulțimea numerelor naturale este set comandat, adică pentru orice numere naturale m și n una dintre următoarele relații este valabilă:

• sau m = n (m este egal cu n),
• sau m > n (m mai mare decât n ),
• sau m< n (m меньше n ).

• Cel mai puțin natural numărul - unu (1)
• Nu există cel mai mare număr natural.
• Zero (0) nu este un număr natural.

Mulțimea numerelor naturale este infinită, deoarece pentru orice număr n există întotdeauna un număr m care este mai mare decât n

Dintre numerele naturale învecinate, se numește numărul care se află în stânga lui n numărul anterior n, iar numărul din dreapta este numit următoare după n.

Operatii pe numere naturale

Operațiile închise pe numere naturale (operații rezultate din numere naturale) includ următoarele operații aritmetice:

• Plus
• Multiplicare
• Exponentiație a b , unde a este baza și b este exponentul. Dacă baza și exponentul sunt numere naturale, atunci rezultatul va fi un număr natural.

În plus, sunt luate în considerare încă două operațiuni. Din punct de vedere formal, ele nu sunt operații pe numere naturale, deoarece rezultatul lor nu va fi întotdeauna un număr natural.

• Scădere(În acest caz, Minuendul trebuie să fie mai mare decât Subtrahend)
• Diviziune

Clasele și gradele

Locul este poziția (poziția) unei cifre într-o înregistrare numerică.

Cel mai jos rang este cel din dreapta. Cel mai semnificativ rang este cel din stânga.

Exemplu:

5 - unități, 0 - zeci, 7 - sute,
2 - mii, 4 - zeci de mii, 8 - sute de mii,
3 - milioane, 5 - zeci de milioane, 1 - o sută de milioane

Pentru ușurința citirii, numerele naturale sunt împărțite în grupuri de câte trei cifre fiecare, începând din dreapta.

Clasă- un grup de trei cifre în care se împarte numărul, începând din dreapta. Ultima clasă poate consta din trei, două sau o cifre.

• Prima clasă este clasa unităților;
• A doua clasă este clasa a miilor;
• A treia clasă este clasa milioanelor;
• A patra clasă este clasa miliardelor;
• Clasa a cincea - clasa de trilioane;
• Clasa a șasea - clasa de cvadrilioane (cadrilioane);
• A șaptea clasă este clasa de chintilioane (quintilioane);
• clasa a opta - clasa sextilion;
• Clasa a noua - clasa septillion;

Exemplu:

34 - miliarde 456 milioane 196 mii 45

Comparația numerelor naturale

1. Compararea numerelor naturale cu diferite numere de cifre

   Dintre numerele naturale, cel cu mai multe cifre este mai mare

2. Compararea numerelor naturale cu un număr egal de cifre

   Comparați numerele bit cu bit, începând cu cifra cea mai semnificativă. Cel care are mai multe unități în cel mai înalt rang cu același nume este mai mare

Exemplu:

3466 > 346 - deoarece numărul 3466 este format din 4 cifre, iar numărul 346 este format din 3 cifre.

34666 < 245784 - deoarece numărul 34666 este format din 5 cifre, iar numărul 245784 este format din 6 cifre.

Exemplu:

346 667 670 52 6 986

346 667 670 56 9 429

Al doilea număr natural cu un număr egal de cifre este mai mare, deoarece 6 > 2.

Definiţie

Numerele naturale sunt numere care sunt folosite la numărarea sau pentru a indica numărul de serie al unui obiect printre obiecte similare.

De exemplu. Numerele naturale vor fi: $2,37,145,1059,24411$

Numerele naturale scrise în ordine crescătoare formează o serie de numere. Începe cu cel mai mic număr natural 1. Mulțimea tuturor numerelor naturale se notează cu $N=\(1,2,3, \dots n, \ldots\)$. Este infinit pentru că nu există cel mai mare număr natural. Dacă adăugăm unul la orice număr natural, obținem numărul natural după numărul dat.

Exemplu

Exercita. Care dintre următoarele numere sunt numere naturale?

$$-89 ; 7; \frac(4)(3) ; 34; 2; 11; 3,2; \sqrt(129) ; \sqrt(5)$$

Răspuns. $7 ; 34 ; 2 ; 11$

Pe multimea numerelor naturale se introduc doua operatii aritmetice de baza - adunare si inmultire. Pentru a desemna aceste operații se folosesc, respectiv, simbolurile " + " Şi " " (sau " × " ).

Adunarea numerelor naturale

Fiecare pereche de numere naturale $n$ și $m$ este asociată cu un număr natural $s$, numit sumă. Suma $s$ este formată din câte unități există în numerele $n$ și $m$. Se spune că numărul $s$ se obține prin adăugarea numerelor $n$ și $m$, iar ele scriu

Numerele $n$ și $m$ se numesc termeni. Operația de adunare a numerelor naturale are următoarele proprietăți:

1. Comutativitate: $n+m=m+n$
2. Asociativitate: $(n+m)+k=n+(m+k)$

Citiți mai multe despre adăugarea numerelor urmând linkul.

Exemplu

Exercita. Aflați suma numerelor:

$13+9 \quad$ și $ \quad 27+(3+72)$

Soluţie. $13+9=22$

Pentru a calcula a doua sumă, pentru a simplifica calculele, îi aplicăm mai întâi proprietatea de asociativitate a adunării:

$$27+(3+72)=(27+3)+72=30+72=102$$

Răspuns.$13+9=22 \quad;\quad 27+(3+72)=102$

Înmulțirea numerelor naturale

Fiecare pereche ordonată de numere naturale $n$ și $m$ este asociată cu un număr natural $r$, numit produsul lor. Produsul $r$ conține atâtea unități câte sunt în numărul $n$, luate de câte ori sunt unități în numărul $m$. Se spune că numărul $r$ se obține prin înmulțirea numerelor $n$ și $m$ și se scrie

$n \cdot m=r \quad $ sau $ \quad n \times m=r$

Numerele $n$ și $m$ se numesc factori sau factori.

Operația de înmulțire a numerelor naturale are următoarele proprietăți:

1. Comutativitate: $n \cdot m=m \cdot n$
2. Asociativitate: $(n \cdot m) \cdot k=n \cdot(m \cdot k)$

Citiți mai multe despre înmulțirea numerelor urmând linkul.

Exemplu

Exercita. Găsiți produsul numerelor:

12$\cdot 3 \quad $ și $ \quad 7 \cdot 25 \cdot 4$

Soluţie. Prin definiția operației de înmulțire:

$$12 \cdot 3=12+12+12=36$$

Aplicăm proprietatea de asociativitate a înmulțirii celui de-al doilea produs:

$$7 \cdot 25 \cdot 4=7 \cdot(25 \cdot 4)=7 \cdot 100=700$$

Răspuns.$12 \cdot 3=36 \quad;\quad 7 \cdot 25 \cdot 4=700$

Operația de adunare și înmulțire a numerelor naturale este legată de legea distributivității înmulțirii relativ la adunare:

$$(n+m) \cdot k=n \cdot k+m \cdot k$$

Suma și produsul oricăror două numere naturale este întotdeauna un număr natural, prin urmare mulțimea tuturor numerelor naturale este închisă sub operațiile de adunare și înmulțire.

De asemenea, pe multimea numerelor naturale se pot introduce operatiile de scadere si impartire, ca operatii inverse operatiilor de adunare si respectiv inmultire. Dar aceste operații nu vor fi definite în mod unic pentru nicio pereche de numere naturale.

Proprietatea asociativă a înmulțirii numerelor naturale ne permite să introducem conceptul de putere naturală a unui număr natural: $n$-a putere a unui număr natural $m$ este numărul natural $k$ obținut prin înmulțirea numărului $m $ de la sine de $n$ ori:

Pentru a desemna $n$-a putere a unui număr $m$, se folosește de obicei următoarea notație: $m^(n)$, în care se numește numărul $m$ baza de grad, iar numărul $n$ este exponent.

Exemplu

Exercita. Găsiți valoarea expresiei $2^(5)$

Soluţie. Prin definiția puterii naturale a unui număr natural, această expresie poate fi scrisă după cum urmează

$$2^(5)=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2=32$$