Procesul de căutare a celor mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un segment amintește de un zbor fascinant în jurul unui obiect (graficul funcției) într-un elicopter, trăgând în anumite puncte dintr-un tun cu rază lungă de acțiune și selectând puncte foarte speciale din aceste puncte pentru lovituri de control. Punctele sunt selectate într-un anumit mod și în conformitate cu anumite reguli. După ce reguli? Vom vorbi mai departe despre asta.
Dacă funcţia y = f(x) este continuă pe intervalul [ o, b] , apoi ajunge pe acest segment cel mai puţin Şi cele mai mari valori . Acest lucru se poate întâmpla fie în puncte extremum, sau la capetele segmentului. Prin urmare, pentru a găsi cel mai puţin Şi cele mai mari valori ale funcției , continuu pe intervalul [ o, b] , trebuie să-i calculați valorile în totalitate puncte criticeși la capetele segmentului, apoi alegeți cel mai mic și cel mai mare dintre ele.
De exemplu, doriți să determinați cea mai mare valoare a funcției f(x) pe segmentul [ o, b] . Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți toate punctele sale critice pe [ o, b] .
Punct critic numit punctul în care functie definita, și ea derivat fie egal cu zero, fie nu există. Apoi trebuie calculate valorile funcției în punctele critice. Și, în sfârșit, ar trebui să comparăm valorile funcției în punctele critice și la capetele segmentului ( f(o) Și f(b)). Cel mai mare dintre aceste numere va fi cea mai mare valoare a funcției de pe segment [o, b] .
Probleme de găsire cele mai mici valori ale funcției .
Căutăm împreună cele mai mici și cele mai mari valori ale funcției
Exemplul 1. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții 
pe segment [-1, 2]
.
Soluţie. Găsiți derivata acestei funcții. Să echivalăm derivata cu zero () și să obținem două puncte critice: și . Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, este suficient să-i calculați valorile la capetele segmentului și la punctul, deoarece punctul nu aparține segmentului [-1, 2]. Aceste valori ale funcției sunt: , , . De aici rezultă că cea mai mică valoare a funcției(indicat cu roșu pe graficul de mai jos), egal cu -7, este realizat la capătul din dreapta al segmentului - în punctul , și cel mai mare(de asemenea roșu pe grafic), este egal cu 9, - în punctul critic.
Dacă o funcție este continuă într-un anumit interval și acest interval nu este un segment (dar este, de exemplu, un interval; diferența dintre un interval și un segment: punctele limită ale intervalului nu sunt incluse în interval, ci punctele de limită ale segmentului sunt incluse în segment), apoi printre valorile funcției este posibil să nu fie cel mai mic și cel mai mare. Deci, de exemplu, funcția prezentată în figura de mai jos este continuă pe ]-∞, +∞[ și nu are cea mai mare valoare.
Cu toate acestea, pentru orice interval (închis, deschis sau infinit), următoarea proprietate a funcțiilor continue este adevărată.
Exemplul 4. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment [-1, 3] .
Soluţie. Găsim derivata acestei funcții ca derivată a coeficientului:
.
Echivalăm derivata cu zero, ceea ce ne oferă un punct critic: . Aparține segmentului [-1, 3] . Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, găsim valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul critic găsit:
Să comparăm aceste valori. Concluzie: egal cu -5/13, la punctul și cea mai mare valoare egal cu 1 la punctul .
Continuăm să căutăm împreună cele mai mici și mai mari valori ale funcției
Sunt profesori care, pe tema găsirii celor mai mici și mai mari valori ale unei funcții, nu dau elevilor exemple de rezolvat mai complexe decât cele discutate, adică acelea în care funcția este un polinom sau un fracție, al cărei numărător și numitor sunt polinoame. Dar nu ne vom limita la astfel de exemple, deoarece printre profesori sunt cei cărora le place să-i oblige pe elevi să gândească în întregime (tabelul derivatelor). Prin urmare, se vor folosi funcția logaritmică și trigonometrică.
Exemplul 6. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment .
Soluţie. Găsim derivata acestei funcții ca derivat al produsului :
Echivalăm derivata cu zero, ceea ce dă un punct critic: . Aparține segmentului. Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, găsim valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul critic găsit:
Rezultatul tuturor acțiunilor: funcția își atinge valoarea minimă, egal cu 0, în punctul și în punctul și cea mai mare valoare, egal e², la punctul.
Exemplul 7. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții 
pe segment .
Soluţie. Găsiți derivata acestei funcții:
Echivalăm derivata cu zero:
Singurul punct critic aparține segmentului. Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, găsim valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul critic găsit:
Concluzie: funcția își atinge valoarea minimă, egal cu , la punctul și cea mai mare valoare, egal , la punctul .
În problemele extreme aplicate, găsirea celor mai mici (maxime) valori ale unei funcții, de regulă, se reduce la găsirea minimului (maximului). Dar nu minimele sau maximele în sine prezintă un interes practic mai mare, ci acele valori ale argumentului la care sunt atinse. La rezolvarea problemelor aplicate, apare o dificultate suplimentară - alcătuirea funcțiilor care descriu fenomenul sau procesul luat în considerare.
Exemplul 8. Un rezervor cu o capacitate de 4, avand forma unui paralelipiped cu baza patrata si deschis in varf, trebuie sa fie cositorit. Ce dimensiune ar trebui să aibă rezervorul, astfel încât să se folosească cea mai mică cantitate de material pentru a-l acoperi?
Soluţie. Lasă x- partea de bază, h- inaltimea rezervorului, S- suprafața sa fără acoperire, V- volumul acestuia. Suprafața rezervorului este exprimată prin formula, adică este o funcție a două variabile. A exprima Sîn funcție de o variabilă, folosim faptul că , de unde . Înlocuind expresia găsită hîn formula pentru S:
Să examinăm această funcție până la extrem. Este definită și diferențiabilă peste tot în ]0, +∞[ , și
.
Echivalăm derivata cu zero () și găsim punctul critic. În plus, atunci când derivata nu există, dar această valoare nu este inclusă în domeniul definiției și, prin urmare, nu poate fi un punct extremum. Deci, acesta este singurul punct critic. Să verificăm prezența unui extremum folosind al doilea semn suficient. Să găsim derivata a doua. Când derivata a doua este mai mare decât zero (). Aceasta înseamnă că atunci când funcția atinge un minim 
. De la aceasta minim este singurul extrem al acestei funcții, este cea mai mică valoare a acesteia. Deci, partea bazei rezervorului ar trebui să fie de 2 m, iar înălțimea acestuia ar trebui să fie de .
Exemplul 9. Din punct de vedere O situat pe linia de cale ferata, pana la punct CU, situat la o distanţă de acesta l, marfa trebuie transportata. Costul transportului unei unități de greutate pe unitate de distanță pe calea ferată este egal cu , iar pe autostradă este egal cu . Până în ce punct M linii feroviar ar trebui construită o autostradă pentru a transporta mărfuri din O V CU a fost cea mai economică (secțiunea AB se presupune că calea ferată este dreaptă)?
Adesea în fizică și matematică este necesar să se găsească cea mai mică valoare a unei funcții. Vă vom spune acum cum să faceți acest lucru.
Cum să găsiți cea mai mică valoare a unei funcții: instrucțiuni
- Pentru a calcula cea mai mică valoare a unei funcții continue pe un anumit segment, trebuie să urmați următorul algoritm:
- Aflați derivata funcției.
- Găsiți pe un segment dat punctele în care derivata este egală cu zero, precum și toate punctele critice. Apoi aflați valorile funcției în aceste puncte, adică rezolvați ecuația în care x este egal cu zero. Aflați care este valoarea cea mai mică.
- Identificați ce valoare are o funcție asupra punctelor finale. Determinați cea mai mică valoare a funcției în aceste puncte.
- Comparați datele obținute cu cea mai mică valoare. Cel mai mic dintre numerele rezultate va fi cea mai mică valoare a funcției.
Rețineți că dacă o funcție pe un segment nu are cele mai mici puncte, aceasta înseamnă că este în creștere sau descreștere pe acest segment. Prin urmare, cea mai mică valoare ar trebui calculată pe segmentele finite ale funcției.
În toate celelalte cazuri, valoarea funcției este calculată conform algoritmului specificat. În fiecare punct al algoritmului va trebui să rezolvați o ecuație liniară simplă cu o rădăcină. Rezolvați ecuația folosind o imagine pentru a evita greșelile.
Cum să găsiți cea mai mică valoare a unei funcții pe un segment pe jumătate deschis? Într-o perioadă pe jumătate deschisă sau deschisă a funcției, cea mai mică valoare ar trebui găsită după cum urmează. La punctele finale ale valorii funcției, calculați limita unilaterală a funcției. Cu alte cuvinte, rezolvați o ecuație în care punctele de tendință sunt date de valorile a+0 și b+0, unde a și b sunt numele punctelor critice.
Acum știți cum să găsiți cea mai mică valoare a unei funcții. Principalul lucru este să faceți toate calculele corect, precis și fără erori.
Algoritmul standard pentru rezolvarea unor astfel de probleme presupune, după găsirea zerourilor funcției, determinarea semnelor derivatei pe intervale. Apoi, calculul valorilor la punctele maxime (sau minime) găsite și la limita intervalului, în funcție de ce întrebare este în stare.
Vă sfătuiesc să faceți lucrurile puțin diferit. De ce? Am scris despre asta.
Îmi propun să rezolv astfel de probleme după cum urmează:
1. Găsiți derivata.
2. Aflați zerourile derivatei.
3. Stabiliți care dintre ele aparțin acestui interval.
4. Calculăm valorile funcției la limitele intervalului și punctelor pasului 3.
5. Tragem o concluzie (raspunde la intrebarea pusa).
În timp ce rezolvați exemplele prezentate, rezolvarea ecuațiilor pătratice nu este discutată în detaliu, ar trebui să puteți face acest lucru. Ar trebui să știe și ei.
Să ne uităm la exemple:
77422. Aflați cea mai mare valoare a funcției y=x 3 –3x+4 pe segmentul [–2;0].
Să găsim zerourile derivatei:
Punctul x = –1 aparține intervalului specificat în condiție.
Calculăm valorile funcției la punctele –2, –1 și 0:
Cea mai mare valoare a funcției este 6.
Raspuns: 6
77425. Aflați cea mai mică valoare a funcției y = x 3 – 3x 2 + 2 pe segment.
Să găsim derivata funcției date:
Să găsim zerourile derivatei:
Intervalul specificat în condiție conține punctul x = 2.
Calculăm valorile funcției la punctele 1, 2 și 4:
Cea mai mică valoare a funcției este –2.
Răspuns: -2
77426. Aflați cea mai mare valoare a funcției y = x 3 – 6x 2 pe segmentul [–3;3].
Să găsim derivata funcției date:
Să găsim zerourile derivatei:
Intervalul specificat în condiție conține punctul x = 0.
Calculăm valorile funcției la punctele –3, 0 și 3:
Cea mai mică valoare a funcției este 0.
Raspuns: 0
77429. Aflați cea mai mică valoare a funcției y = x 3 – 2x 2 + x +3 pe segment.
Să găsim derivata funcției date:
3x 2 – 4x + 1 = 0
Obținem rădăcinile: x 1 = 1 x 1 = 1/3.
Intervalul specificat în condiție conține doar x = 1.
Să găsim valorile funcției la punctele 1 și 4:
Am constatat că cea mai mică valoare a funcției este 3.
Raspuns: 3
77430. Aflați cea mai mare valoare a funcției y = x 3 + 2x 2 + x + 3 pe segmentul [– 4; –1].
Să găsim derivata funcției date:
Să găsim zerourile derivatei și să rezolvăm ecuația pătratică:
3x 2 + 4x + 1 = 0
Să luăm rădăcinile:
Rădăcina x = –1 aparține intervalului specificat în condiție.
Găsim valorile funcției la punctele –4, –1, –1/3 și 1:
Am descoperit că cea mai mare valoare a funcției este 3.
Raspuns: 3
77433. Aflați cea mai mică valoare a funcției y = x 3 – x 2 – 40x +3 pe segment.
Să găsim derivata funcției date:
Să găsim zerourile derivatei și să rezolvăm ecuația pătratică:
3x 2 – 2x – 40 = 0
Să luăm rădăcinile:
Intervalul specificat în condiție conține rădăcina x = 4.
Găsiți valorile funcției la punctele 0 și 4:
Am constatat că cea mai mică valoare a funcției este –109.
Răspuns: –109
Să luăm în considerare o modalitate de a determina cele mai mari și cele mai mici valori ale funcțiilor fără o derivată. Această abordare poate fi utilizată dacă aveți probleme mari cu determinarea derivatei. Principiul este simplu - înlocuim toate valorile întregi din interval în funcție (fapt este că în toate astfel de prototipuri răspunsul este un număr întreg).
77437. Aflați cea mai mică valoare a funcției y=7+12x–x 3 pe segmentul [–2;2].
Înlocuiți puncte de la –2 la 2: Vizualizați soluția
77434. Aflați cea mai mare valoare a funcției y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 pe segmentul [–2;0].
Asta e tot. Mult succes pentru tine!
Cu stimă, Alexander Krutitskikh.
P.S: V-as fi recunoscator daca mi-ati spune despre site pe retelele de socializare.
Lecție pe tema: „Găsirea celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții continue pe un segment”
Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările! Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.
Manuale si simulatoare in magazinul online Integral pentru nota 10 din 1C
Rezolvăm probleme de geometrie. Sarcini de construcție interactive pentru clasele 7-10
Rezolvăm probleme de geometrie. Sarcini interactive pentru construirea în spațiu
Ce vom studia:
1. Găsirea celor mai mari și mai mici valori din graficul unei funcții.2. Găsirea celei mai mari și mai mici valori folosind derivata.
3. Algoritm pentru găsirea celei mai mari și mai mici valori a unei funcții continue y=f(x) pe segment.
4. Cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții pe un interval deschis.
5. Exemple.
Găsirea celei mai mari și mai mici valori din graficul unei funcții
Băieți, am găsit cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții înainte. Ne-am uitat la graficul unei funcții și am dedus unde funcția atinge cea mai mare valoare și unde atinge cea mai mică.
Să repetăm:
Din graficul funcției noastre putem observa că cea mai mare valoare se obține în punctul x= 1, este egală cu 2. Cea mai mică valoare se obține în punctul x= -1 și este egală cu -2. Această metodă este destul de ușor să găsiți cele mai mari și cele mai mici valori, dar nu este întotdeauna posibil să reprezentați graficul unei funcții.
Găsirea celei mai mari și mai mici valori folosind derivate
Băieți, ce părere aveți, cum puteți găsi cea mai mare și cea mai mică valoare folosind derivatul?
Răspunsul poate fi găsit în subiectul extreme ale unei funcții. Acolo, tu și cu mine am găsit punctele de maxim și minim, termenii nu sunt similari? Cu toate acestea, valorile cele mai mari și cele mai mici nu trebuie confundate cu maximul și minimul unei funcții, acestea sunt concepte diferite.
Deci haideți să introducem regulile:
a) Dacă o funcție este continuă pe un interval, atunci ea își atinge valorile maxime și minime pe acest interval.
b) Funcția își poate atinge valorile maxime și minime atât la capetele segmentelor, cât și în interiorul acesteia. Să ne uităm la acest punct mai detaliat. 
În figura a, funcția își atinge valorile maxime și minime la capetele segmentelor.
În figura b, funcția își atinge valorile maxime și minime în interiorul segmentului. În figura c, punctul minim este situat în interiorul segmentului, iar punctul maxim este la capătul segmentului, în punctul b.
c) Dacă valorile maxime și minime sunt atinse în interiorul segmentului, atunci numai în punctele staționare sau critice.
Algoritm pentru găsirea celei mai mari și mai mici valori a unei funcții continue y= f(x) pe un segment
- Aflați derivata f"(x).
- Găsiți punctele staționare și critice în interiorul segmentului.
- Calculați valoarea funcției în punctele staționare și critice, precum și la f(a) și f(b). Selectați cele mai mici și cele mai mari valori; acestea vor fi punctele celei mai mici și mai mari valori ale funcției.
Cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții pe un interval deschis
Băieți, cum găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe un interval deschis? Pentru a face acest lucru, vom folosi o teoremă importantă, care este dovedită în cursul matematicii superioare.
Teorema. Fie funcția y= f(x) să fie continuă pe intervalul x și să aibă un punct unic staționar sau critic x= x0 în interiorul acestui interval, atunci:
a) dacă x= x0 este punctul maxim, atunci y este maximul. = f(x0).
b) dacă x= x0 este punctul minim, atunci y este numele. = f(x0).
Exemplu
Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției y= $\frac(x^3)(3)$ + 2x 2 + 4x - 5 pe segment
a) [-9;-1], b) [-3;3], c) .
Rezolvare: Aflați derivata: y"= x 2 + 4x + 4.
Derivata există în întregul domeniu al definiției, atunci trebuie să găsim puncte staționare.
y"= 0, la x= -2.
Vom efectua calcule suplimentare pentru segmentele necesare.
a) Aflați valorile funcției la capetele segmentului și în punctul staționar.
Apoi numele y. = -122, la x= -9; y max. = y = -7$\frac(1)(3)$, cu x= -1.
b) Aflați valorile funcției la capetele segmentului și în punctul staționar. Cele mai mari și cele mai scăzute valori sunt atinse la capetele segmentului.
Apoi numele y. = -8, la x= -3, y max. = 34, la x= 3.
c) Punctul staționar nu cade pe segmentul nostru să găsim valorile la capetele segmentului.
Apoi numele y. = 34, cu x= 3, y max. = 436, la x= 9.
Exemplu
Aflați cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției y= x 2 - 3x + 5 + |1-x| pe segment.
Soluție: să extindem modulul și să ne transformăm funcția:
y= x 2 - 3x + 5 + 1 - x, pentru x ≤ 1.
y= x 2 - 3x + 5 - 1 + x, pentru x ≥ 1.
Apoi funcția noastră va lua forma:
\begin(equation*)f(x)= \begin(cases) x^2 - 4x + 6,\quad for\quad x ≤ 1 \\ x^2 - 2x + 4,\quad for\quad x ≥ 1 \end(cases) \end(equation*) Să găsim punctele critice: \begin(equation*)f"(x)= \begin(cases) 2x - 4,\quad for\quad x ≤ 1 \\ 2x - 2, \quad for\quad x ≥ 1 \end(cases) \end(equation*) \begin(equation*)f"(x)=0,\quad for\quad x= \begin(cases) 2,\ quad for \quad x ≤ 1 \\ 1,\quad for\quad x ≥ 1 \end(cases) \end(equation*) Deci, avem două puncte staționare și să nu uităm că funcția noastră constă din două funcții pentru diferite x.
Să găsim cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției, pentru a face acest lucru, calculăm valorile funcției în punctele staționare și la capetele segmentului:
Răspuns: Funcția atinge valoarea minimă în punctul staționar x= 1, y este cel mai mic. = 3. Funcția atinge cea mai mare valoare la sfârșitul segmentului în punctul x = 4, y max. = 12.
Exemplu
Aflați cea mai mare valoare a funcției y= $\frac(3x)(x^2 + 3)$ pe rază: , b) , c) [-4;7].
b) Aflați cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției y= x 2 - 6x + 8 + |x - 2| pe segmentul [-1;5].
c) Aflați cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției y= $-2x-\frac(1)(2x)$ pe rază (0;+∞).
Micuță și drăguță sarcină simplă din categoria celor care servesc drept salvare pentru un elev plutitor. Este mijlocul lunii iulie în natură, așa că este timpul să vă acomodați cu laptopul pe plajă. Dis-de-dimineață, a început să se joace raza de soare a teoriei, pentru a se concentra în curând pe practică, care, în ciuda ușurinței declarate, conține cioburi de sticlă în nisip. În acest sens, vă recomand să luați în considerare cu conștiință cele câteva exemple din această pagină. Pentru a rezolva probleme practice trebuie să fii capabil găsiți derivateși înțelegeți materialul articolului Intervale de monotonitate și extreme ale funcției.
În primul rând, pe scurt despre principalul lucru. În lecția despre continuitatea functiei Am dat definiția continuității la un punct și a continuității la un interval. Comportamentul exemplar al unei funcții pe un segment este formulat într-un mod similar. O funcție este continuă pe un interval dacă:
1) este continuu pe intervalul ;
2) continuă într-un punct corect iar la punct stânga.
În al doilea paragraf am vorbit despre așa-numitul continuitate unilaterală funcţionează la un punct. Există mai multe abordări pentru a-l defini, dar voi rămâne la linia pe care am început-o mai devreme:
Funcția este continuă în punct corect, dacă este definită într-un punct dat și limita sa din dreapta coincide cu valoarea funcției într-un punct dat: 
. Este continuu la punct stânga, dacă este definită într-un punct dat și limita sa din stânga este egală cu valoarea din acest punct: 
Imaginează-ți asta puncte verzi- acestea sunt unghiile pe care este atașată banda elastică magică:
Luați mental linia roșie în mâini. Evident, indiferent cât de mult am întinde graficul în sus și în jos (de-a lungul axei), funcția va rămâne în continuare limitat– un gard în sus, un gard în jos, iar produsul nostru pășește în padoc. Astfel, o funcție continuă pe un interval este mărginită pe ea. În cursul analizei matematice, acest fapt aparent simplu este afirmat și dovedit cu strictețe. Prima teoremă a lui Weierstrass....Mulți oameni sunt enervați că afirmațiile elementare sunt fundamentate plictisitor în matematică, dar acest lucru are o semnificație importantă. Să presupunem că un anumit locuitor din Evul Mediu Terry a tras un grafic în cer dincolo de limitele vizibilității, acesta a fost inserat. Înainte de inventarea telescopului, funcția limitată în spațiu nu era deloc evidentă! Într-adevăr, de unde știi ce ne așteaptă la orizont? La urma urmei, Pământul era odată considerat plat, așa că astăzi chiar și teleportarea obișnuită necesită dovezi =)
Conform A doua teoremă a lui Weierstrass, continuu pe un segmentfuncția își atinge limita superioară exactăși a ta marginea inferioară exactă .
Numărul este de asemenea numit valoarea maximă a funcției pe segmentși sunt notate cu , iar numărul este valoarea minimă a funcției pe segment marcat .
In cazul nostru: 
Nota
: în teorie, înregistrările sunt comune 
.
În linii mari, cea mai mare valoare este acolo unde se află cel mai înalt punct de pe grafic, iar cea mai mică valoare este acolo unde este punctul cel mai jos.
Important! După cum sa subliniat deja în articolul despre extreme ale funcției, cea mai mare valoare a funcțieiŞi cea mai mică valoare a funcției – NU ACEȘI, Ce functia maximaŞi functie minima. Deci, în exemplul luat în considerare, numărul este minimul funcției, dar nu valoarea minimă.
Apropo, ce se întâmplă în afara segmentului? Da, chiar și o inundație, în contextul problemei luate în considerare, acest lucru nu ne interesează deloc. Sarcina implică doar găsirea a două numere 
si asta e!
Mai mult, soluția este pur analitică, așadar nu este nevoie să faci un desen!
Algoritmul se află la suprafață și se sugerează din figura de mai sus:
1) Găsiți valorile funcției în puncte critice, care aparţin acestui segment.
Prindeți un alt bonus: aici nu este nevoie să verificați condiția suficientă pentru un extremum, deoarece, așa cum tocmai am arătat, prezența unui minim sau maxim nu garanteaza inca, care este valoarea minimă sau maximă. Funcția demonstrativă atinge un maxim și, prin voința sorții, același număr este cea mai mare valoare a funcției de pe segment. Dar, desigur, o astfel de coincidență nu are loc întotdeauna.
Deci, în primul pas, este mai rapid și mai ușor să calculați valorile funcției în punctele critice aparținând segmentului, fără a vă deranja dacă există sau nu extreme în ele.
2) Calculăm valorile funcției la capetele segmentului.
3) Dintre valorile funcției găsite în paragrafele 1 și 2, selectați cea mai mică și cea mai mare număr mare, notează răspunsul.
Ne așezăm pe malul mării albastre și lovim apa puțin adâncă cu călcâiele:
Exemplul 1
Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe un segment
Soluţie:
1) Să calculăm valorile funcției în punctele critice aparținând acestui segment:
Să calculăm valoarea funcției în al doilea punct critic:
2) Să calculăm valorile funcției la capetele segmentului: 
3) Rezultate „îndrăznețe” au fost obținute cu exponenți și logaritmi, ceea ce complică semnificativ compararea acestora. Din acest motiv, să ne înarmam cu un calculator sau Excel și să calculăm valori aproximative, fără a uita că: 
Acum totul este clar.
Răspuns:
Exemplu rațional fracționar pentru decizie independentă:
Exemplul 6
Găsiți valorile maxime și minime ale unei funcții pe un segment
