Această incertitudine este „servită” doilea limita minunata , iar în a doua parte a acelei lecții am analizat în detaliu exemple standard de soluții care se găsesc în practică în majoritatea cazurilor. Acum imaginea cu exponenții va fi finalizată, în plus, sarcinile finale ale lecției vor fi dedicate limitelor „false”, în care PARE că este necesar să se aplice cea de-a doua limită minunată, deși aceasta nu este deloc caz.
Dezavantajul celor două formule de lucru pentru a doua limită remarcabilă este că argumentul trebuie să tindă spre „plus infinit” sau spre zero. Dar ce se întâmplă dacă argumentul tinde către un număr diferit?
O formulă universală vine în ajutor (care este de fapt o consecință a celei de-a doua limite remarcabile):
Incertitudinea poate fi eliminată folosind formula:
Undeva cred că am explicat deja ce înseamnă parantezele pătrate. Nimic special, parantezele sunt doar paranteze. Ele sunt de obicei folosite pentru a evidenția mai clar notația matematică.
Să evidențiem punctele esențiale ale formulei:
1) Este vorba despre doar despre certitudine și nimic altceva.
2) Argumentul „x” poate tinde să valoare arbitrară(și nu doar la zero sau), în special, la „minus infinit” sau la cineva număr finit.
Folosind această formulă puteți rezolva toate exemplele din lecție. Limite minunate, care aparțin celei de-a 2-a limită remarcabilă. De exemplu, să calculăm limita:
În acest caz 
, iar conform formulei 
:
Adevărat, nu recomand să faceți acest lucru; tradiția este să folosiți în continuare designul „obișnuit” al soluției, dacă poate fi aplicat. Cu toate acestea folosind formula este foarte comod de verificat exemple „clasice” până la a 2-a limită remarcabilă.
Toate acestea sunt bune și corecte, dar acum există mai multe fotografii interesante în cadru:
Exemplul 18
Calculați limita 
La primul pas, nu mă voi plictisi să repet, înlocuim valoarea lui „x” în expresia de sub semnul limită. Ce se întâmplă dacă nu există nicio incertitudine? Se întâmplă! Dar nu de data asta. Înlocuindu-le pe „trei”, ajungem la concluzia că aici există incertitudine
Folosim formula
Pentru a nu trage litera „e” cu tine și pentru a nu o micșora, indicatorul 
Este mai convenabil să calculați separat:
În acest caz: 
Astfel:
Din punctul de vedere al tehnologiei de calcul, totul este de rutină: mai întâi reducem primul termen la un numitor comun, apoi scoatem constantele și efectuăm reduceri, scăpând de incertitudinea 0:0.
Ca urmare: 
Cadou promis cu diferență de logaritm și incertitudine:
Exemplul 19
Calculați limita
Mai întâi soluția completă, apoi comentariile: 
(1)-(2) În primii doi pași folosim formulele 
. U derivate complexe„dărâmăm” logaritmi, dar aici, dimpotrivă, trebuie „asamblate”.
(3) Mutați pictograma limită sub logaritm. Acest lucru se poate face deoarece acest logaritm continuu la „minus infinit”. În plus, limita se referă la „umplerea” logaritmului.
(4)-(5) Tehnica standard discutată în lecția de bază despre limite minunate, transformăm incertitudinea în formă .
(6) Folosim formula .
(7) Funcțiile exponențiale și logaritmice sunt reciproce funcții inverse, astfel încât atât „e” cât și logaritmul pot fi eliminate. Într-adevăr, după proprietatea logaritmului: . Adăugăm minusul dinaintea fracției la numitor: 
(8) Fără comentarii =)
Tipul de limită considerat nu este atât de rar, am găsit 30-40 de exemple.
Exemplul 20
Calculați limita 
Acesta este un exemplu pentru decizie independentă. Pe lângă utilizarea formulei, puteți reprezenta limita ca 
iar prin înlocuire reduce soluția cazului 
.
În concluzie, să ne uităm la limitele „false”.
Să revenim la incertitudine. Această incertitudine nu întotdeauna poate fi redusă la incertitudine și folosește a doua limită remarcabilă sau formulă corolar. Transformarea este fezabilă dacă numărătorul și numitorul bazei - echivalent funcții infinit de mari. De exemplu: .
Să luăm o pauză de la indicator și să calculăm limita bazei: 
In limita obtinuta unitate, care înseamnă numărătorul și numitorul nu doar de același ordin de creștere, ci și echivalent. În clasă Limite remarcabile. Exemple de soluții Am redus cu ușurință acest exemplu la incertitudine și am primit răspunsul.
Puteți veni cu o mulțime de limite similare:
etc.
Fracțiunile acestor exemple sunt unite prin caracteristica de mai sus: . În alte cazuri, dacă există incertitudine A doua limită remarcabilă nu se aplică.
Exemplul 21
Găsiți limite
Indiferent cât de mult ai încerca, incertitudinea nu poate fi transformată în incertitudine
Iată numărătorii și numitorii bazelor aceeași ordine de creștere, dar nu echivalentă: 
.
Astfel, a doua limită remarcabilă și, mai ales formula, NU POATE FI APLICAT.
! Nota: A nu se confunda cu Exemplul #18, în care numărătorul și numitorul bazei nu sunt echivalente. Există o incertitudine gata făcută, dar aici vorbim despre incertitudine.
Metoda de rezolvare a limitelor „false” este simplă și semnă: aveți nevoie de un numărător și un numitor temeiuriîmpărțiți cu „x” la cel mai înalt grad (indiferent de exponent):
Dacă numărătorul și numitorul bazei sunt de ordin diferit de creștere, atunci soluția este exact aceeași:
Exemplul 22
Găsiți limite 
Acestea sunt exemple scurte pentru auto-studiu
Uneori poate să nu existe deloc incertitudine:
Astfel de trucuri sunt deosebit de iubite de compilatorii colecției lui Kuznetsov. De aceea este foarte important să înlocuiți ÎNTOTDEAUNA „x” în expresia de sub semnul limită în primul pas!
Exemplul 2
Gradul major al numărătorului: 2; gradul cel mai mare al numitorului: 3.
:
Exemplul 4
Împărțiți numărătorul și numitorul la :
Nota
: ultima acțiune a fost de a înmulți numărătorul și numitorul cu pentru a scăpa de iraționalitatea în numitor.
Exemplul 6
Împărțiți numărătorul și numitorul la :
Exemplul 8
Împărțiți numărătorul și numitorul la :
Nota
: termen tind la zero mai lent decât , De aceea este zeroul „principal” al numitorului.
.
Exemplul 22
Nota
: la nesfârșit funcție mică
tinde spre zero mai lent decât , astfel încât zeroul „mai mare” al numitorului joacă un rol decisiv:
Derivata functiei nu cade departe, iar in cazul regulilor lui L'Hopital se incadreaza exact in acelasi loc in care se incadreaza functia initiala. Această circumstanță ajută la dezvăluirea incertitudinilor de forma 0/0 sau ∞/∞ și a altor incertitudini care apar la calcularea limită relația dintre două funcții infinitezimale sau infinit de mari. Calculul este foarte simplificat folosind această regulă (de fapt două reguli și note la acestea):
După cum arată formula de mai sus, atunci când se calculează limita raportului a două funcții infinitezimale sau infinit de mari, limita raportului a două funcții poate fi înlocuită cu limita raportului lor derivateși astfel obține un anumit rezultat.
Să trecem la formulări mai precise ale regulilor lui L'Hopital.
Regula lui L'Hopital pentru cazul limitei a două mărimi infinitezimale. Lasă funcțiile f(x) Și g(x o. Și chiar în acel moment o o derivata unei functii g(x) nu este zero ( g"(x o sunt egale între ele și egale cu zero:
.
Regula lui L'Hopital pentru cazul limitei a două cantități infinit de mari. Lasă funcțiile f(x) Și g(x) au derivate (adică diferențiabile) într-o vecinătate a punctului o. Și chiar în acel moment o este posibil să nu aibă derivate. Mai mult, în vecinătatea punctului o derivata unei functii g(x) nu este zero ( g"(x)≠0) și limitele acestor funcții ca x tinde către valoarea funcției în punctul o sunt egale între ele și egale cu infinit:
.
Atunci limita raportului acestor funcții este egală cu limita raportului derivatelor lor:
Cu alte cuvinte, pentru incertitudinile de forma 0/0 sau ∞/∞, limita raportului a două funcții este egală cu limita raportului derivatelor lor, dacă aceasta din urmă există (finită, adică egală cu un anumit număr, sau infinit, adică egal cu infinitul).
Note.
1. Regulile L'Hopital sunt, de asemenea, aplicabile atunci când funcțiile f(x) Și g(x) nu sunt definite când x = o.
2. Dacă, la calcularea limitei raportului derivatelor funcţiilor f(x) Și g(x) ajungem din nou la incertitudinea formei 0/0 sau ∞/∞, atunci regulile lui L'Hôpital ar trebui aplicate în mod repetat (de cel puțin două ori).
3. Regulile lui L'Hopital sunt aplicabile și atunci când argumentul funcțiilor (x) nu tinde către un număr finit o, și la infinit ( x → ∞).
Incertitudinile de alte tipuri pot fi, de asemenea, reduse la incertitudini de tipurile 0/0 și ∞/∞.
Dezvăluirea incertitudinilor de tipul „zero împărțit la zero” și „infinit împărțit la infinit”
Exemplul 1.
x=2 duce la incertitudinea formei 0/0. Prin urmare, se obține derivata fiecărei funcții
Derivata polinomului a fost calculată la numărător, iar la numitor - derivată a unei funcții logaritmice complexe. Înainte de ultimul semn egal, obișnuit limită, înlocuind un doi în loc de un X.
Exemplul 2. Calculați limita raportului a două funcții folosind regula lui L'Hopital:
Soluţie. Înlocuirea unei valori într-o funcție dată x
Exemplul 3. Calculați limita raportului a două funcții folosind regula lui L'Hopital:
Soluţie. Înlocuirea unei valori într-o funcție dată x=0 duce la incertitudinea formei 0/0. Prin urmare, calculăm derivatele funcțiilor din numărător și numitor și obținem:
Exemplul 4. Calcula
Soluţie. Înlocuirea valorii x egală cu plus infinitul într-o funcție dată duce la o incertitudine de forma ∞/∞. Prin urmare, aplicăm regula lui L'Hopital:
Comentariu. Să trecem la exemple în care regula lui L'Hopital trebuie aplicată de două ori, adică să ajungem la limita raportului derivatelor a doua, deoarece limita raportului primelor derivate este o incertitudine de forma 0 /0 sau ∞/∞.
Dezvăluirea incertitudinilor de forma „zero ori infinit”
Exemplul 12. Calcula
.
Soluţie. Primim
Acest exemplu folosește identitatea trigonometrică.
Dezvăluirea incertitudinilor de tipul „zero la puterea lui zero”, „infinit la puterea lui zero” și „unu la puterea infinitului”
Incertitudinile formei , sau sunt de obicei reduse la forma 0/0 sau ∞/∞ luând logaritmul unei funcții de forma
Pentru a calcula limita unei expresii, ar trebui să utilizați identitatea logaritmică, un caz special al căruia este proprietatea logaritmului 
.
Folosind identitatea logaritmică și proprietatea de continuitate a unei funcții (pentru a trece semnul limită), limita trebuie calculată după cum urmează:
Separat, ar trebui să găsiți limita expresiei în exponent și să construiți e la gradul găsit.
Exemplul 13.
Soluţie. Primim
.
.
Exemplul 14. Calculați folosind regula lui L'Hopital
Soluţie. Primim
Calculați limita unei expresii în exponent
.
.
Exemplul 15. Calculați folosind regula lui L'Hopital
În articolul precedent am vorbit despre cum să calculăm corect limitele funcțiilor elementare. Dacă luăm mai mult funcții complexe, atunci vom avea expresii cu o valoare nedefinită în calculele noastre. Ele se numesc incertitudini.
Se disting următoarele tipuri principale de incertitudini:
- Împărțiți 0 la 0 0 0 ;
- Împărțirea unui infinit la altul ∞ ∞;
- infinitul ridicat la puterea zero ∞ 0 .
0 ridicat la puterea zero 0 0 ;
Am enumerat toate incertitudinile principale. Alte expresii pot lua valori finite sau infinite în diferite condiții și, prin urmare, nu pot fi considerate incertitudini.
Descoperirea incertitudinilor
Incertitudinea poate fi rezolvată prin:
- Prin simplificarea formei funcției (folosind formule de înmulțire prescurtate, formule trigonometrice, înmulțirea suplimentară prin expresii conjugate și reducerea ulterioară etc.);
Cu ajutorul unor limite minunate;
Folosind regula lui L'Hopital;
Prin înlocuirea unei expresii infinitezimale cu o expresie echivalentă (de obicei această acțiune este efectuată folosind un tabel de expresii infinitezimale).
Toate informațiile prezentate mai sus pot fi prezentate clar sub forma unui tabel. În partea stângă arată tipul de incertitudine, în dreapta - o metodă potrivită pentru dezvăluirea acesteia (găsirea limitei). Acest tabel este foarte convenabil de utilizat în calculele legate de găsirea limitelor.
| Incertitudine | Metoda de dezvăluire a incertitudinii |
| 1. Împărțiți 0 la 0 | Transformarea și simplificarea ulterioară a unei expresii. Dacă expresia este sin (k x) k x sau k x sin (k x) atunci trebuie să utilizați prima limită remarcabilă. Dacă această soluție nu este potrivită, folosim regula lui L'Hopital sau un tabel de expresii infinitezimale echivalente |
| 2. Împărțirea infinitului la infinit | Transformați și simplificați o expresie sau folosiți regula lui L'Hopital |
| 3. Înmulțirea zero cu infinit sau găsirea diferenței dintre două infinitate | Conversie la 0 0 sau ∞ ∞ urmată de aplicarea regulii lui L'Hopital |
| 4. Unitate la puterea infinitului | Folosind a doua mare limită |
| 5. Ridicarea zero sau infinit la puterea zero | Luând logaritmul unei expresii folosind egalitatea lim x → x 0 ln (f (x)) = ln lim x → x 0 f (x) |
Să ne uităm la câteva probleme. Aceste exemple sunt destul de simple: în ele răspunsul se obține imediat după înlocuirea valorilor și nu există incertitudine.
Exemplul 1
Calculați limita limită x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 .
Soluţie
Efectuăm înlocuirea valorii și obținem răspunsul.
lim x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 = 1 3 + 3 1 - 1 1 5 + 3 = 3 4 = 3 2
Răspuns: lim x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 = 3 2 .
Exemplul 2
Calculați limita limită x → 0 (x 2 + 2 , 5) 1 x 2 .
Soluţie
Avem o funcție de putere exponențială, în baza căreia trebuie să înlocuim x = 0.
(x 2 + 2, 5) x = 0 = 0 2 + 2, 5 = 2, 5
Aceasta înseamnă că putem transforma limita în următoarea expresie:
lim x → 0 (x 2 + 2, 5) 1 x 2 = lim x → 0 2, 5 1 x 2
Acum să ne uităm la indicator - funcția de putere 1 x 2 = x - 2. Să ne uităm la tabelul limitelor pentru funcții de putere cu un exponent mai mic decât zero și obținem următoarele: lim x → 0 + 0 1 x 2 = lim x → 0 + 0 x - 2 = + ∞ și lim x → 0 + 0 1 x 2 = lim x → 0 + 0 x - 2 = + ∞
Astfel, putem scrie că lim x → 0 (x 2 + 2, 5) 1 x 2 = lim x → 0 2, 5 1 x 2 = 2, 5 + ∞.
Acum luăm tabelul limitelor funcțiilor exponențiale cu baze mai mari decât 0 și obținem:
lim x → 0 (x 2 + 2, 5) 1 x 2 = lim x → 0 2, 5 1 x 2 = 2, 5 + ∞ = + ∞
Răspuns: lim x → 0 (x 2 + 2 , 5) 1 x 2 = + ∞ .
Exemplul 3
Calculați limita limită x → 1 x 2 - 1 x - 1 .
Soluţie
Efectuăm înlocuirea valorii.
lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 1 2 - 1 1 - 1 = 0 0
Drept urmare, am ajuns cu incertitudine. Utilizați tabelul de mai sus pentru a selecta o metodă de soluție. Indică faptul că trebuie să simplificați expresia.
lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 0 0 = lim x → 1 (x - 1) (x + 1) x - 1 = = lim x → 1 (x - 1) (x + 1) · ( x + 1) x - 1 = lim x → 1 (x + 1) · x - 1 = = 1 + 1 · 1 - 1 = 2 · 0 = 0
După cum putem vedea, simplificarea a dus la dezvăluirea incertitudinii.
Răspuns: lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 0
Exemplul 4
Calculați limita limită x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x .
Soluţie
Înlocuim valoarea și obținem următoarea intrare.
lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = 3 - 3 12 - 3 - 6 + 3 = 0 9 - 9 = 0 0
Am ajuns la necesitatea de a împărți zero la zero, ceea ce este incertitudine. Să ne uităm la metoda de soluție necesară din tabel - aceasta este simplificarea și transformarea expresiei. Să înmulțim suplimentar numărătorul și numitorul cu expresia conjugată 12 - x + 6 + x:
lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = 0 0 = lim x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x - 6 + x 12 - x + 6 + x
Numitorul este înmulțit astfel încât să puteți utiliza apoi formula de înmulțire abreviată (diferența de pătrate) pentru a efectua reducerea.
lim x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x - 6 + x 12 - x + 6 + x = lim x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x 2 - 6 + x 2 = lim x → 3 (x - 3) 12 - x + 6 + x 12 - x - (6 + x) = = lim x → 3 (x - 3) 12 - x + 6 + x 6 - 2 x = lim x → 3 (x - 3) 12 - x + 6 + x - 2 (x - 3) = = lim x → 3 12 - x + 6 + x - 2 = 12 - 3 + 6 + 3 - 2 = 9 + 9 - 2 = - 9 = - 3
După cum putem vedea, în urma acestor acțiuni am reușit să scăpăm de incertitudine.
Răspuns: lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = - 3 .
Este important să rețineți că abordarea înmulțirii este folosită foarte des atunci când rezolvați astfel de probleme, așa că vă sfătuim să vă amintiți exact cum se face acest lucru.
Exemplul 5
Calculați limita limită x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 .
Soluţie
Efectuăm înlocuirea.
lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 1 2 + 2 1 - 3 3 1 2 - 5 1 + 2 = 0 0
Drept urmare, am ajuns cu incertitudine. Modul recomandat de a rezolva problema în acest caz este simplificarea expresiei. Deoarece la valoarea lui x, egal cu unu, numărătorul și numitorul se transformă în 0, apoi le putem factoriza și apoi le putem reduce cu x - 1, iar apoi incertitudinea va dispărea.
Factorizăm numărătorul:
x 2 + 2 x - 3 = 0 D = 2 2 - 4 1 (- 3) = 16 ⇒ x 1 = - 2 - 16 2 = - 3 x 2 = - 2 + 16 2 = 1 ⇒ x 2 + 2 x - 3 = x + 3 x - 1
Acum procedăm la fel cu numitorul:
3 x 2 - 5 x + 2 = 0 D = - 5 2 - 4 3 2 = 1 ⇒ x 1 = 5 - 1 2 3 = 2 3 x 2 = 5 + 1 2 3 = 1 ⇒ 3 x 2 - 5 x + 3 = 3 x - 2 3 x - 1
Avem o limită de următoarea formă:
lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 0 0 = lim x → 1 x + 3 x - 1 3 x - 2 3 x - 1 = = lim x → 1 x + 3 3 x - 2 3 = 1 + 3 3 1 - 2 3 = 4
După cum vedem, în timpul transformării am reușit să scăpăm de incertitudine.
Răspuns: lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 4 .
În continuare trebuie să luăm în considerare cazurile de limite la infinit din expresiile puterii. Dacă exponenții acestor expresii sunt mai mari decât 0, atunci și limita la infinit va fi infinită. În acest caz, cel mai mare grad este de importanță primordială, iar restul poate fi ignorat.
De exemplu, lim x → ∞ (x 4 + 2 x 3 - 6) = lim x → ∞ x 4 = ∞ sau lim x → ∞ x 4 + 4 x 3 + 21 x 2 - 11 5 = lim x → ∞ x 4 5 = ∞.
Dacă sub semnul limită avem o fracție cu expresii de putere în numărător și numitor, atunci ca x → ∞ avem o incertitudine de forma ∞ ∞. Pentru a scăpa de această incertitudine, trebuie să împărțim numărătorul și numitorul fracției la x m a x (m, n). Să dăm un exemplu de rezolvare a unei astfel de probleme.
Exemplul 6
Calculați limita limită x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 .
Soluţie
lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = ∞ ∞
Puterile numărătorului și numitorului sunt egale cu 7. Împărțiți-le la x 7 și obțineți:
lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 x 7 3 x 7 + 12 x 7 = = lim x → ∞ 1 + 2 x 2 - 4 x 7 3 + 12 x 7 = 1 + 2 ∞ 2 - 4 ∞ 7 3 + 12 ∞ 7 = 1 + 0 - 0 3 + 0 = 1 3
Răspuns: lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = 1 3 .
Exemplul 7
Calculați limita limită x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 .
Soluţie
lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ ∞
Numătorul are puterea de 8 3 iar numitorul are puterea de 2. Să împărțim numărătorul și numitorul la x 8 3:
lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ ∞ = lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 8 3 x 2 + x + 1 x 8 3 = = lim x → ∞ 1 + 11 x 8 3 1 x 2 3 + 1 x 5 3 + 1 x 8 3 = 1 + 11 ∞ 3 1 ∞ + 1 ∞ + 1 ∞ = 1 + 0 3 0 + 0 + 0 = 1 0 = ∞
Răspuns: lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ .
Exemplul 8
Calculați limita limită x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 .
Soluţie
lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = ∞ ∞
Avem un numărător la puterea lui 3 și un numitor la puterea lui 10 3 . Aceasta înseamnă că trebuie să împărțim numărătorul și numitorul la x 10 3:
lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = ∞ ∞ = lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 3 x 10 + 56 x 7 + 12 3 x 10 3 = = lim x → ∞ 1 x 1 3 + 2 x 4 3 - 1 x 10 3 1 + 56 x 3 + 12 x 10 3 = 1 ∞ + 2 ∞ - 1 ∞ 1 + 56 ∞ + 12 = ∞ 0 + 0 - 0 1 + 0 + 0 3 = 0
Răspuns: lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = 0 .
Concluzii
În cazul unei limite de raport, există trei opțiuni principale:
Dacă gradul numărătorului este egal cu gradul numitorului, atunci limita va fi egală cu raportul dintre coeficienții puterilor superioare.
Dacă gradul numărătorului este mai mare decât gradul numitorului, atunci limita va fi egală cu infinitul.
Dacă gradul numărătorului este mai mic decât gradul numitorului, atunci limita va fi zero.
Vom discuta alte metode de dezvăluire a incertitudinilor în articole separate.
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
LECȚIA 20
20.1 DIVULGAREA INCERTITUDINEI SPECIE
Exemplul 1
Rezolvați limita 
Mai întâi, să încercăm să înlocuim -1 în fracția: 
În acest caz, se obține așa-numita incertitudine.
Regula generala: dacă numărătorul și numitorul conțin polinoame și există o incertitudine a formei, atunci pentru a o dezvălui trebuie să factorizezi numărătorul și numitorul.
Pentru a face acest lucru, cel mai adesea trebuie să rezolvați o ecuație pătratică și/sau să utilizați formule de înmulțire abreviate.
Să factorizăm numărătorul. 
Exemplul 2
Calculați limita 
Să factorizăm numărătorul și numitorul.
Numător: Numitor: 
,
Metoda de înmulțire a numărătorului și numitorului cu expresia conjugată
Continuăm să luăm în considerare incertitudinea formei
Următorul tip de limite este similar cu tipul anterior. Singurul lucru, pe lângă polinoame, vom adăuga rădăcini.
Exemplul 3
Găsiți limita 
Înmulțiți numărătorul și numitorul cu expresia conjugată.
20.2 DIVULGAREA INCERTITUDINEI SPECIILOR
Acum vom lua în considerare grupul de limite când , iar funcția este o fracție al cărei numărător și numitor conțin polinoame
Exemplul 4
Calculați limita 
Conform regulii noastre, vom încerca să substituim infinitul în funcție. Ce obținem în vârf? Infinit. Și ce se întâmplă mai jos? De asemenea, infinitul. Astfel, avem ceea ce se numește incertitudinea speciei. S-ar putea crede că răspunsul este gata, dar în cazul general nu este deloc așa și este necesar să se aplice o tehnică de soluție, pe care o vom lua în considerare acum.
Cum se rezolvă limitele de acest tip?
Mai întâi ne uităm la numărător și găsim cea mai mare putere: 
Puterea principală în numărător este două.
Acum ne uităm la numitor și îl găsim și la cea mai mare putere: 
Cel mai înalt grad al numitorului este doi.
Apoi alegem cea mai mare putere a numărătorului și numitorului: în acest exemplu, acestea sunt aceleași și egale cu doi.
Deci, metoda de rezolvare este următoarea: pentru a dezvălui incertitudineatrebuie să împărțiți numărătorul și numitorul cuîn gradul superior.
Împărțiți numărătorul și numitorul la 
Iată-l, răspunsul, și deloc infinit.
Ce este esențial important în proiectarea unei decizii?
În primul rând, indicăm incertitudinea, dacă există.
În al doilea rând, este indicat să întrerupeți soluția pentru explicații intermediare. De obicei folosesc semnul, nu are nicio semnificație matematică, dar înseamnă că soluția este întreruptă pentru o explicație intermediară.
În al treilea rând, în limită este indicat să marchezi ce se întâmplă unde. Când lucrarea este întocmită manual, este mai convenabil să o faceți astfel: 
Este mai bine să folosiți un creion simplu pentru note.
Desigur, nu trebuie să faceți nimic din toate acestea, dar apoi, poate, profesorul va sublinia deficiențele soluției sau va începe să pună întrebări suplimentare despre sarcină. Ai nevoie de el?
Exemplul 5
Găsiți limita 
Din nou la numărător și numitor găsim în cel mai înalt grad: 
Gradul maxim la numărător: 3 Gradul maxim la numitor: 4 Selectați cel mai mare valoare, în acest caz patru. Conform algoritmului nostru, pentru a dezvălui incertitudinea, împărțim numărătorul și numitorul cu. Sarcina completă ar putea arăta astfel:
Exemplul 6
Găsiți limita 
Gradul maxim de „X” la numărător: 2 Gradul maxim de „X” la numitor: 1 (se poate scrie ca) Pentru a evidenția incertitudinea, este necesar să împărțiți numărătorul și numitorul cu. Soluția finală ar putea arăta astfel:
Împărțiți numărătorul și numitorul la
Notația nu înseamnă împărțire la zero (nu poți împărți la zero), ci împărțire cu un număr infinitezimal.
Astfel, descoperind incertitudinea speciei, putem fi capabili număr final, zero sau infinit.
PRACTICUL 20
SARCINA N 1
Soluţie: Dacă în locul variabilei punem valoarea 7 la care tinde, atunci obținem o incertitudine de formă 
SARCINA N 2Subiect: Dezvăluirea incertitudinii de tip „zero la zero”.
Soluţie: Dacă în locul unei variabile punem valoarea 0 la care tinde, atunci obținem o incertitudine de formă
SARCINA N 3Subiect: Dezvăluirea incertitudinii de tip „zero la zero”.
Soluţie: Dacă în locul variabilei punem valoarea 6 la care tinde, atunci obținem o incertitudine de formă
SARCINA N 4
Soluţie: Deoarece 
Şi 
SARCINA N 5Subiect: Dezvăluirea incertitudinii formei „de la infinit la infinit”
Soluţie: Deoarece 
Şi 
atunci există incertitudinea formei Pentru a o dezvălui, trebuie să împărțiți fiecare termen al numărătorului și numitorului. Apoi, știind ce obținem: 
MUNCĂ INDEPENDENTĂ 20
SARCINA N 1Subiect: Dezvăluirea incertitudinii de tip „zero la zero”.
SARCINA N 2Subiect: Dezvăluirea incertitudinii de tip „zero la zero”.
SARCINA N 3Subiect: Dezvăluirea incertitudinii de tip „zero la zero”.
SARCINA N 4Subiect: Dezvăluirea incertitudinii formei „de la infinit la infinit”
SARCINA N 5Subiect: Dezvăluirea incertitudinii formei „de la infinit la infinit” Limita functiei 
egal...
SARCINA N 6Subiect: Dezvăluirea incertitudinii formei „de la infinit la infinit”
Limitele le dau tuturor studenților la matematică multe probleme. Pentru a rezolva o limită, uneori trebuie să folosiți o mulțime de trucuri și să alegeți dintr-o varietate de metode de soluție exact cea care este potrivită pentru un anumit exemplu.
În acest articol nu vă vom ajuta să înțelegeți limitele capacităților dvs. sau să înțelegeți limitele controlului, dar vom încerca să răspundem la întrebarea: cum să înțelegeți limitele în matematica superioară? Înțelegerea vine odată cu experiența, așa că, în același timp, vom oferi câteva exemple detaliate de rezolvare a limitelor cu explicații.
Conceptul de limită în matematică
Prima întrebare este: care este această limită și limita a ce? Putem vorbi despre limitele secvențelor numerice și ale funcțiilor. Suntem interesați de conceptul de limită a unei funcții, deoarece acesta este ceea ce întâlnesc cel mai des elevii. Dar mai întâi, cea mai generală definiție a unei limite:
Să presupunem că există o valoare variabilă. Dacă această valoare în procesul de schimbare se apropie nelimitat de un anumit număr o , Asta o – limita acestei valori.
Pentru o funcție definită într-un anumit interval f(x)=y un astfel de număr se numește limită O , la care funcția tinde când X , tinzând la un anumit punct O . Punct O aparține intervalului pe care este definită funcția.
Sună greoi, dar este scris foarte simplu:
Lim- din engleză limită- limita.
Există, de asemenea, o explicație geometrică pentru determinarea limitei, dar aici nu vom aprofunda în teorie, deoarece ne interesează mai mult latura practică decât teoretică a problemei. Când spunem asta X tinde spre o anumită valoare, asta înseamnă că variabila nu preia valoarea unui număr, ci se apropie de el la infinit.
Să dăm un exemplu concret. Sarcina este de a găsi limita.
Pentru a rezolva acest exemplu, înlocuim valoarea x=3 într-o funcție. Primim:
Apropo, dacă sunteți interesat de operațiile de bază pe matrice, citiți un articol separat pe acest subiect.
În exemple X poate tinde spre orice valoare. Poate fi orice număr sau infinit. Iată un exemplu când X tinde spre infinit:
Intuitiv, cu cât numărul din numitor este mai mare, cu atât valoarea va lua funcția mai mică. Deci, cu o creștere nelimitată X sens 1/x va scădea și se va apropia de zero.
După cum puteți vedea, pentru a rezolva limita, trebuie doar să înlocuiți valoarea pentru care încercați în funcție X . Cu toate acestea, acesta este cel mai simplu caz. Adesea, găsirea limitei nu este atât de evidentă. În limite există incertitudini de tip 0/0 sau infinit/infinit . Ce să faci în astfel de cazuri? Recurge la trucuri!
Incertitudini în interior
Incertitudinea formei infinit/infinit
Să fie o limită:
Dacă încercăm să substituim infinitul în funcție, vom obține infinit atât la numărător, cât și la numitor. În general, merită să spunem că există un anumit element de artă în rezolvarea unor astfel de incertitudini: trebuie să observați cum puteți transforma funcția în așa fel încât incertitudinea să dispară. În cazul nostru, împărțim numărătorul și numitorul cu X în gradul superior. Ce se va întâmpla?
Din exemplul deja discutat mai sus, știm că termenii care conțin x în numitor vor tinde spre zero. Atunci soluția la limită este:
Pentru a rezolva incertitudinile de tip infinit/infinitîmpărțiți numărătorul și numitorul la X la cel mai înalt grad.
Apropo! Pentru cititorii noștri există acum o reducere de 10% la orice tip de lucrare
Un alt tip de incertitudine: 0/0
Ca întotdeauna, înlocuirea valorilor în funcție x=-1 dă 0 la numărător și numitor. Privește puțin mai atent și vei observa că avem o ecuație pătratică la numărător. Să găsim rădăcinile și să scriem:
Să reducem și să obținem:
Deci, dacă vă confruntați cu incertitudinea de tip 0/0 – factorizarea numărătorului și numitorului.
Pentru a vă facilita rezolvarea exemplelor, vă prezentăm un tabel cu limitele unor funcții:
Regula lui L'Hopital înăuntru
Altul mod puternic, permițând eliminarea incertitudinilor de ambele tipuri. Care este esența metodei?
Dacă există incertitudine în limită, luați derivata numărătorului și numitorului până când incertitudinea dispare.
Regula lui L'Hopital arată astfel:
Punct important : trebuie să existe limita în care derivatele numărătorului și numitorului stau în locul numărătorului și numitorului.
Și acum - un exemplu real:
Există o incertitudine tipică 0/0 . Să luăm derivatele numărătorului și numitorului:
Voila, incertitudinea se rezolvă rapid și elegant.
Sperăm că veți putea aplica util aceste informații în practică și veți găsi răspunsul la întrebarea „cum să rezolvați limitele în matematică superioară”. Dacă trebuie să calculați limita unei secvențe sau limita unei funcții într-un punct, dar nu există absolut timp pentru această lucrare, contactați un serviciu pentru studenți profesioniști pentru o soluție rapidă și detaliată.
