Execut pentru toate valorile argumentului (din domeniul general).
Formule de substituție universală.
Cu aceste formule, este ușor să transformați orice expresie care conține diferite funcții trigonometrice ale unui argument într-o expresie rațională a unei funcții tg (α /2):
Formule de conversie a sumelor în produse și a produselor în sume.
Anterior, formulele de mai sus erau folosite pentru a simplifica calculele. Ei au calculat folosind tabele logaritmice și mai târziu - o regulă de calcul, deoarece logaritmii sunt cei mai potriviti pentru înmulțirea numerelor. De aceea, fiecare expresie originală a fost redusă la o formă care ar fi convenabilă pentru logaritmizare, adică la produse De exemplu:
2 păcat α păcat b = cos (α - b) - cos (α + b);
2 cos α cos b = cos (α - b) + cos (α + b);
2 păcat α cos b = păcat (α - b) + păcat (α + b).
unde este unghiul pentru care, în special,
Formulele pentru funcțiile tangentă și cotangentă sunt ușor de obținut din cele de mai sus.
Formule de reducere a gradului.
|
sin 2 α = (1 - cos 2α)/2; |
cos 2 α = (1 + cos 2α)/2; |
|
păcatul 3α = (3 sinα - păcatul 3α )/4; |
cos 3 a = (3 cosα + cos 3α )/4. |
Folosind aceste formule, ecuațiile trigonometrice sunt ușor reduse la ecuații cu puteri mai mici. Formulele de reducere pentru grade superioare sunt derivate în același mod păcatŞi cos.
Exprimarea funcțiilor trigonometrice printr-una dintre ele de același argument.
Semnul din fața rădăcinii depinde de locația sfert de unghi α .
Sunt date relațiile dintre funcțiile trigonometrice de bază - sinus, cosinus, tangentă și cotangentă formule trigonometrice. Și deoarece există destul de multe conexiuni între funcțiile trigonometrice, acest lucru explică abundența formulelor trigonometrice. Unele formule conectează funcții trigonometrice ale aceluiași unghi, altele - funcții ale unui unghi multiplu, altele - vă permit să reduceți gradul, al patrulea - exprimă toate funcțiile prin tangenta unui jumătate de unghi etc.
În acest articol vom enumera în ordine toate formulele trigonometrice de bază, care sunt suficiente pentru a rezolva marea majoritate a problemelor de trigonometrie. Pentru ușurință de memorare și utilizare, le vom grupa după scop și le vom introduce în tabele.
Navigare în pagină.
Identități trigonometrice de bază
Identități trigonometrice de bază definiți relația dintre sinus, cosinus, tangentă și cotangente a unui unghi. Ele decurg din definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei, precum și a conceptului de cerc unitar. Ele vă permit să exprimați o funcție trigonometrică în termenii oricărei alte.
Pentru o descriere detaliată a acestor formule de trigonometrie, derivarea lor și exemple de aplicare, consultați articolul.
Formule de reducere
Formule de reducere rezultă din proprietățile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei, adică reflectă proprietatea periodicității funcții trigonometrice, proprietatea simetriei, precum și proprietatea deplasării prin unghi dat. Aceste formule trigonometrice vă permit să treceți de la lucrul cu unghiuri arbitrare la lucrul cu unghiuri cuprinse între zero și 90 de grade.
Rațiunea acestor formule, o regulă mnemonică pentru memorarea lor și exemple de aplicare a acestora pot fi studiate în articol.
Formule de adunare
Formule trigonometrice de adunare arată cum funcțiile trigonometrice ale sumei sau diferenței a două unghiuri sunt exprimate în termeni de funcții trigonometrice ale acelor unghiuri. Aceste formule servesc drept bază pentru derivarea următoarelor formule trigonometrice.
Formule pentru dublu, triplu etc. unghi
Formule pentru dublu, triplu etc. unghiul (se mai numesc și formule cu unghiuri multiple) arată cum funcțiile trigonometrice dublu, triplu etc. unghiurile () sunt exprimate în termeni de funcții trigonometrice ale unui singur unghi. Derivarea lor se bazează pe formule de adunare.
Informații mai detaliate sunt colectate în formulele articolului pentru dublu, triplu etc. unghi
Formule cu jumătate de unghi
Formule cu jumătate de unghi arătați cum sunt exprimate funcțiile trigonometrice ale unui semiunghi în termeni de cosinus al unui unghi întreg. Aceste formule trigonometrice decurg din formulele cu unghi dublu.
Concluzia lor și exemple de aplicare pot fi găsite în articol.
Formule de reducere a gradului
Formule trigonometrice pentru reducerea gradelor sunt concepute pentru a facilita trecerea de la puterile naturale ale funcțiilor trigonometrice la sinusuri și cosinusuri de gradul întâi, dar unghiuri multiple. Cu alte cuvinte, ele vă permit să reduceți puterile funcțiilor trigonometrice la prima.
Formule pentru suma și diferența funcțiilor trigonometrice
Scopul principal formule pentru suma și diferența funcțiilor trigonometrice este să mergem la produsul funcțiilor, ceea ce este foarte util atunci când simplificați expresiile trigonometrice. Aceste formule sunt, de asemenea, utilizate pe scară largă în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice, deoarece vă permit să factorizați suma și diferența sinusurilor și cosinusurilor.
Formule pentru produsul dintre sinusuri, cosinus și sinus cu cosinus
Trecerea de la produsul funcțiilor trigonometrice la o sumă sau diferență se realizează folosind formulele pentru produsul dintre sinusuri, cosinus și sinus cu cosinus.
Substituție trigonometrică universală
Terminăm trecerea în revistă a formulelor de bază ale trigonometriei cu formule care exprimă funcții trigonometrice în termeni de tangente a unui jumătate de unghi. Acest înlocuitor a fost numit substituție trigonometrică universală. Comoditatea sa constă în faptul că toate funcțiile trigonometrice sunt exprimate rațional în termeni de tangente a unui jumătate de unghi fără rădăcini.
Referințe.
- Algebră: Manual pentru clasa a IX-a. medie scoala/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky - M.: Educație, 1990. - 272 p.: ill. - ISBN 5-09-002727-7
- Bashmakov M. I. Algebra și începuturile analizei: manual. pentru clasele 10-11. medie şcoală - Ed. a 3-a. - M.: Educaţie, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
- Algebră iar începutul analizei: Proc. pentru clasele 10-11. învăţământul general instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorov - ed. a XIV-a - M.: Educație, 2004. - 384 p. - ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru cei care intră în școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.
Drepturi de autor de către cleverstudents
Toate drepturile rezervate.
Protejat de legea dreptului de autor. Nicio parte a site-ului, inclusiv materialele interne și aspectul, nu poate fi reprodusă sub nicio formă sau utilizată fără permisiunea prealabilă scrisă a deținătorului drepturilor de autor.
ÎN transformări identitare expresii trigonometrice se pot folosi următoarele tehnici algebrice: adunarea şi scăderea termenilor identici; scoaterea din paranteze a factorului comun; înmulțirea și împărțirea cu aceeași cantitate; aplicarea formulelor de multiplicare abreviate; selectarea unui pătrat complet; factorizarea unui trinom pătratic; introducerea de noi variabile pentru simplificarea transformărilor.
Când convertiți expresii trigonometrice care conțin fracții, puteți utiliza proprietățile de proporție, de reducere a fracțiilor sau de conversie a fracțiilor la un numitor comun. În plus, puteți utiliza selecția întregii părți a fracției, înmulțind numărătorul și numitorul fracției cu aceeași sumă și, de asemenea, dacă este posibil, luați în considerare omogenitatea numărătorului sau numitorului. Dacă este necesar, puteți reprezenta o fracție ca sumă sau diferență a mai multor fracții mai simple.
În plus, atunci când se aplică toate metodele necesare pentru conversia expresiilor trigonometrice, este necesar să se țină cont în mod constant de intervalul de valori permise ale expresiilor care sunt convertite.
Să ne uităm la câteva exemple.
Exemplul 1.
Calculați A = (sin (2x – π) cos (3π – x) + sin (2x – 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x – π/2) cos ( 2x – 7π) /2) +
+
sin (3π/2 – x) sin (2x –5π/2)) 2
Soluţie.
Din formulele de reducere rezultă:
sin (2x – π) = -sin 2x; cos (3π – x) = -cos x;
sin (2x – 9π/2) = -cos 2x; cos (x + π/2) = -sin x;
cos (x – π/2) = sin x; cos (2x – 7π/2) = -sin 2x;
sin (3π/2 – x) = -cos x; sin (2x – 5π/2) = -cos 2x.
De unde, în virtutea formulelor de adunare a argumentelor și a identității trigonometrice principale, obținem
A = (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 = sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) =
= sin 2 3x + cos 2 3x = 1
Raspuns: 1.
Exemplul 2.
Transformați expresia M = cos α + cos (α + β) · cos γ + cos β – sin (α + β) · sin γ + cos γ într-un produs.
Soluţie.
Din formulele de adăugare a argumentelor și formulele de conversie a sumei funcțiilor trigonometrice într-un produs după gruparea corespunzătoare, avem
M = (cos (α + β) cos γ – sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =
2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =
2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =
2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =
2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) cos ((β – γ)/2) – (α + ( β +) γ)/2)/2) =
4cos ((β + γ)/2) cos ((α +β)/2) cos ((α + γ)/2).
Răspuns: M = 4cos ((α + β)/2) · cos ((α + γ)/2) · cos ((β + γ)/2).
Exemplul 3.
Să se arate că expresia A = cos 2 (x + π/6) – cos (x + π/6) cos (x – π/6) + cos 2 (x – π/6) ia unul pentru tot x din R și acelasi sens. Găsiți această valoare.
Soluţie.
Iată două moduri de a rezolva această problemă. Aplicând prima metodă, prin izolarea unui pătrat complet și folosind formulele trigonometrice de bază corespunzătoare, obținem
A = (cos (x + π/6) – cos (x – π/6)) 2 + cos (x – π/6) cos (x – π/6) =
4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2(cos 2x + cos π/3) =
Sin 2 x + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 1/2 · (1 – cos 2x) + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 3/4.
Rezolvând problema în al doilea mod, considerați A ca o funcție a lui x din R și calculați derivata acesteia. După transformări obținem
А´ = -2cos (x + π/6) sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) cos (x – π/6) + cos (x + π/6) sin (x + π/6)) – 2cos (x – π/6) sin (x – π/6) =
Sin 2(x + π/6) + sin ((x + π/6) + (x – π/6)) – sin 2(x – π/6) =
Sin 2x – (sin (2x + π/3) + sin (2x – π/3)) =
Sin 2x – 2sin 2x · cos π/3 = sin 2x – sin 2x ≡ 0.
Prin urmare, datorită criteriului de constanță al unei funcții diferențiabile pe un interval, concluzionăm că
A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x € R. 
Răspuns: A = 3/4 pentru x € R.
Principalele tehnici de demonstrare a identităților trigonometrice sunt:
O) reducerea laturii stângi a identității la dreapta prin transformări adecvate;
b) reducerea laturii drepte a identității la stânga;
V) reducerea părților drepte și stângi ale identității la aceeași formă;
G) reducând la zero diferența dintre laturile stânga și dreapta ale identității care se dovedește.
Exemplul 4.
Verificați dacă cos 3x = -4cos x · cos (x + π/3) · cos (x + 2π/3).
Soluţie.
Transformând partea dreaptă a acestei identități folosind formulele trigonometrice corespunzătoare, avem
4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =
2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3))) =
2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =
2cos x · cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) – cos x = cos 3x.
Partea dreaptă a identității este redusă la stânga.
Exemplul 5.
Demonstrați că sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ = 2 dacă α, β, γ sunt unghiurile interioare ale unui triunghi.
Soluţie.
Având în vedere că α, β, γ sunt unghiurile interioare ale unui triunghi, obținem că
α + β + γ = π și, prin urmare, γ = π – α – β.
sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ =
Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π – α – β) – 2cos α · cos β · cos (π – α – β) =
Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α – β) · (cos (α + β) =
Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α – β) (cos (α + β) =
1/2 · (1 – cos 2α) + ½ · (1 – cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) = 2.
Egalitatea inițială a fost dovedită.
Exemplul 6.
Demonstrați că pentru ca unul dintre unghiurile α, β, γ ale triunghiului să fie egal cu 60°, este necesar și suficient ca sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.
Soluţie.
Starea acestei probleme presupune dovedirea atât a necesității, cât și a suficienței.
Mai întâi să demonstrăm necesitate.
Se poate arăta că
sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2).
Prin urmare, ținând cont de faptul că cos (3/2 60°) = cos 90° = 0, obținem că dacă unul dintre unghiurile α, β sau γ este egal cu 60°, atunci
cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 și, prin urmare, sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.
Să demonstrăm acum adecvarea condiția specificată.
Dacă sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0, atunci cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 și, prin urmare
fie cos (3α/2) = 0, fie cos (3β/2) = 0, fie cos (3γ/2) = 0.
Prin urmare,
sau 3α/2 = π/2 + πk, adică. α = π/3 + 2πk/3, 
sau 3β/2 = π/2 + πk, adică. β = π/3 + 2πk/3,
sau 3γ/2 = π/2 + πk,
aceste. γ = π/3 + 2πk/3, unde k ϵ Z.
Din faptul că α, β, γ sunt unghiurile unui triunghi, avem
0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.
Prin urmare, pentru α = π/3 + 2πk/3 sau β = π/3 + 2πk/3 sau
γ = π/3 + 2πk/3 din toate kϵZ numai k = 0 este potrivit.
Rezultă că fie α = π/3 = 60°, fie β = π/3 = 60°, fie γ = π/3 = 60°.
Afirmația a fost dovedită.
Mai ai întrebări? Nu sunteți sigur cum să simplificați expresiile trigonometrice?
Pentru a obține ajutor de la un tutor, înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!
site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.
