Sunt date așteptările matematice a=3 și abaterea standard =5 ale unei variabile aleatoare X distribuite normal.

Notați densitatea distribuției de probabilitate și reprezentați-o schematic.

Aflați probabilitatea ca x să ia o valoare din intervalul (2;10).

Aflați probabilitatea ca x să ia o valoare mai mare decât 10.

Găsiți un interval simetric față de așteptarea matematică, în care valorile mărimii x vor fi conținute cu probabilitatea =0,95.

1). Să compunem funcția de densitate de distribuție a unei variabile aleatoare X cu parametrii а=3, =5 folosind formula

. Să construim un grafic schematic al funcției
. Să fim atenți la faptul că curba normală este simetrică față de dreapta x = 3 și are max în acest punct egal cu
, adică
și două puncte de inflexiune
cu ordonata

Să construim un grafic

2) Să folosim formula:

Valorile funcției se găsesc din tabelul aplicației.

4) Să folosim formula
. Conform condiției, probabilitatea de a cădea într-un interval simetric față de așteptarea matematică
. Folosind tabelul, găsim t la care Ф(t)=0,475, t=2. Mijloace
. Astfel,
. Răspunsul este x(-1;7).

La problemele 31-40.

Găsiți un interval de încredere pentru o estimare cu o fiabilitate de 0,95 a așteptării matematice necunoscute a a unei caracteristici X distribuite normal populatia, dacă abaterea standard generală =5, media eșantionului
iar dimensiunea eșantionului n=25.

Trebuie să găsim un interval de încredere
.

Toate cantitățile cu excepția t sunt cunoscute. Să aflăm t din raportul Ф(t)=0,95/2=0,475. Folosind tabelul anexă găsim t=1,96. Înlocuind, obținem în sfârșit intervalul de încredere dorit de 12,04

La problemele 41-50.

Departamentul de control tehnic a verificat 200 de loturi de produse identice și a primit următoarea distribuție empirică, frecvența n i - numărul de loturi care conțin x i produse non-standard. produsele standard X sunt distribuite conform legii lui Poisson.

Să găsim media eșantionului:

Să luăm media eșantionului =0,6 ca o estimare a parametrului  al distribuției Poisson. Prin urmare, legea lui Poisson asumată
arata ca
.

Setând i=0,1,2,3,4, găsim probabilitățile P i de apariție a i produse nestandard în 200 de loturi:
,
,
,
,
.

Să găsim frecvențele teoretice folosind formula
. Înlocuind valorile probabilității în această formulă, obținem
,
,
,
,
.

Să comparăm frecvențele empirice și teoretice folosind testul Pearson. Pentru a face acest lucru, vom crea un tabel de calcul. Să combinăm frecvențele mici (4+2=6) și frecvențele teoretice corespunzătoare (3.96+0.6=4.56).

În practică, majoritatea variabilelor aleatoare care sunt influențate de un număr mare de factori aleatori se supun legii distribuției normale a probabilității. Prin urmare, în diverse aplicații ale teoriei probabilităților, această lege are o importanță deosebită.

Variabila aleatorie $X$ respectă legea distribuției normale a probabilității dacă densitatea distribuției sale de probabilitate are următoarea formă

$$f\left(x\right)=((1)\over (\sigma \sqrt(2\pi )))e^(-(((\left(x-a\right))^2)\over ( 2(\sigma )^2)))$$

Graficul funcției $f\left(x\right)$ este prezentat schematic în figură și se numește „curba gaussiană”. În dreapta acestui grafic se află bancnota germană de 10 mărci, care a fost folosită înainte de introducerea monedei euro. Dacă te uiți cu atenție, poți vedea pe această bancnotă curba Gauss și descoperitorul ei, cel mai mare matematician Carl Friedrich Gauss.

Să revenim la funcția noastră de densitate $f\left(x\right)$ și să dăm câteva explicații cu privire la parametrii de distribuție $a,\ (\sigma )^2$. Parametrul $a$ caracterizează centrul de dispersie al valorilor unei variabile aleatoare, adică are semnificația unei așteptări matematice. Când parametrul $a$ se modifică și parametrul $(\sigma )^2$ rămâne neschimbat, putem observa o deplasare în graficul funcției $f\left(x\right)$ de-a lungul abscisei, în timp ce graficul densității el însuși nu își schimbă forma.

Parametrul $(\sigma )^2$ este varianța și caracterizează forma curbei graficului densității $f\left(x\right)$. La modificarea parametrului $(\sigma )^2$ cu parametrul $a$ neschimbat, putem observa cum graficul densității își schimbă forma, comprimându-se sau întinzându-se, fără a se deplasa de-a lungul axei absciselor.

Probabilitatea ca o variabilă aleatoare distribuită normal să se încadreze într-un interval dat

După cum se știe, probabilitatea ca o variabilă aleatorie $X$ să cadă în intervalul $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ poate fi calculată $P\left(\alpha< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:

$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$

Aici funcția $\Phi \left(x\right)=((1)\over (\sqrt(2\pi )))\int^x_0(e^(-t^2/2)dt)$ este Funcția Laplace. Valorile acestei funcții sunt preluate din . Pot fi observate următoarele proprietăți ale funcției $\Phi \left(x\right)$.

1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, adică funcția $\Phi \left(x\right)$ este impară.

2 . $\Phi \left(x\right)$ este o funcție crescătoare monotonă.

3 . $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) \Phi \left(x\right)\ )=0,5$, $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) \ Phi \ stânga(x\dreapta)\ )=-0,5$.

Pentru a calcula valorile funcției $\Phi \left(x\right)$, puteți utiliza și vrăjitorul funcției $f_x$ în Excel: $\Phi \left(x\right)=NORMDIST\left(x ;0;1;1\dreapta )-0,5$. De exemplu, să calculăm valorile funcției $\Phi \left(x\right)$ pentru $x=2$.

Probabilitatea ca o variabilă aleatoare distribuită normal $X\in N\left(a;\ (\sigma )^2\right)$ să se încadreze într-un interval simetric în raport cu așteptarea matematică $a$ poate fi calculată folosind formula

$$P\left(\left|X-a\right|< \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$

Regula trei sigma. Este aproape sigur că o variabilă aleatoare distribuită normal $X$ va intra în intervalul $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$.

Exemplul 1 . Variabila aleatoare $X$ este supusă legii distribuției normale a probabilității cu parametrii $a=2,\ \sigma =3$. Aflați probabilitatea ca $X$ să cadă în intervalul $\left(0.5;1\right)$ și probabilitatea de a satisface inegalitatea $\left|X-a\right|< 0,2$.

Folosind formula

$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$

găsim $P\left(0.5;1\right)=\Phi \left(((1-2)\peste (3))\right)-\Phi \left((((0.5-2)\ peste (3) ))\right)=\Phi \left(-0.33\right)-\Phi \left(-0.5\right)=\Phi \left(0.5\right)-\Phi \left(0.33\right)=0.191- 0,129=0,062 USD.

$$P\left(\left|X-a\right|< 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$

Exemplul 2 . Să presupunem că, în cursul anului, prețul acțiunilor unei anumite companii este o variabilă aleatorie distribuită conform legii normale cu o așteptare matematică egală cu 50 de unități monetare convenționale și o abatere standard egală cu 10. Care este probabilitatea ca pe o bază selectată aleatoriu ziua perioadei în discuție prețul promoției va fi:

a) mai mult de 70 de unități monetare convenționale?

b) sub 50 pe acţiune?

c) între 45 și 58 de unități monetare convenționale pe acțiune?

Fie variabila aleatoare $X$ prețul acțiunilor unei anumite companii. Prin condiție, $X$ este supus unei distribuții normale cu parametrii $a=50$ - așteptare matematică, $\sigma =10$ - abatere standard. Probabilitatea $P\left(\alpha< X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:

$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$

$$а)\ P\left(X>70\right)=\Phi \left(((\infty -50)\peste (10))\right)-\Phi \left(((70-50)\ peste (10))\right)=0,5-\Phi \left(2\right)=0,5-0,4772=0,0228.$$

$$b)\P\left(X< 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$

$$in)\ P\left(45< X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$

Legea normală a distribuției probabilităților

Fără exagerare, poate fi numită lege filosofică. Observând diferite obiecte și procese din lumea din jurul nostru, de multe ori ne întâlnim cu faptul că ceva nu este suficient și că există o normă:


Iată o vedere de bază funcții de densitate distribuție normală de probabilitate și vă urez bun venit la această lecție interesantă.

Ce exemple poți da? Există pur și simplu întuneric din ele. Aceasta este, de exemplu, înălțimea, greutatea oamenilor (și nu numai), puterea lor fizică, abilitățile mentale etc. Există o „masă principală” (dintr-un motiv sau altul)și există abateri în ambele sensuri.

Acestea sunt caracteristici diferite ale obiectelor neînsuflețite (aceeași dimensiune, greutate). Aceasta este o durată aleatorie a proceselor, de exemplu, timpul unei curse de o sută de metri sau transformarea rășinii în chihlimbar. Din fizică, mi-am amintit moleculele de aer: unele dintre ele sunt lente, altele rapide, dar majoritatea se mișcă la viteze „standard”.

Apoi, ne abatem de la centru cu încă o abatere standard și calculăm înălțimea:

Marcarea punctelor pe desen (verde)și vedem că acest lucru este destul.

În etapa finală, desenați cu atenție un grafic și deosebit de atent reflectă-l convex/concav! Ei bine, probabil că ați realizat cu mult timp în urmă că axa x este asimptotă orizontală, și este absolut interzis să „urcați” în spatele lui!

Când depuneți o soluție electronic, este ușor să creați un grafic în Excel și, în mod neașteptat pentru mine, am înregistrat chiar și un scurt videoclip pe acest subiect. Dar mai întâi, să vorbim despre cum se schimbă forma curbei normale în funcție de valorile și.

Când creșteți sau descreșteți „a” (cu „sigma” constantă) graficul îşi păstrează forma şi se deplasează la dreapta/stânga respectiv. Deci, de exemplu, când funcția ia forma iar graficul nostru „se mută” cu 3 unități la stânga - exact la originea coordonatelor:


O cantitate distribuită normal cu zero așteptări matematice a primit un nume complet natural - centrat; funcția sa de densitate – chiar, iar graficul este simetric față de ordonată.

În cazul schimbării „sigma” (cu constantă „a”), graficul „rămâne același”, dar își schimbă forma. Când este mărită, devine mai jos și alungită, ca o caracatiță care își întinde tentaculele. Și, invers, la scăderea graficului devine mai îngustă și mai înaltă- se dovedește a fi o „caracatiță surprinsă”. Da, când scădere„sigma” de două ori: graficul anterior se îngustează și se întinde de două ori:

Totul este în deplină concordanță cu transformări geometrice ale graficelor.

Se numește o distribuție normală cu o valoare sigma unitară normalizat, și dacă este și centrat(cazul nostru), atunci se numește o astfel de distribuție standard. Are o funcție de densitate și mai simplă, care a fost deja găsită în Teorema locală a lui Laplace: . Distribuția standard și-a găsit aplicație largă în practică și foarte curând îi vom înțelege în sfârșit scopul.

Ei bine, acum hai să ne uităm la film:

Da, absolut corect - cumva nemeritat a rămas în umbră funcția de distribuție a probabilității. Să ne amintim de ea definiţie:
– probabilitatea ca o variabilă aleatorie să ia o valoare MAI MINĂ decât variabila care „parcurge” toate valorile reale până la „plus” infinit.

În interiorul integralei, se folosește de obicei o literă diferită, astfel încât să nu existe „suprapuneri” cu notația, deoarece aici fiecare valoare este asociată cu integrală improprie , care este egal cu unii număr din intervalul .

Aproape toate valorile nu pot fi calculate cu acuratețe, dar așa cum tocmai am văzut, cu puterea de calcul modernă, acest lucru nu este dificil. Deci, pentru funcție distribuție standard, funcția Excel corespunzătoare conține, în general, un singur argument:

=NORMSDIST(z)

Unu, doi - și gata:

Desenul arată clar implementarea tuturor proprietățile funcției de distribuție, iar din nuanțele tehnice de aici ar trebui să acordați atenție asimptote orizontaleși punctul de inflexiune.

Acum să ne amintim una dintre sarcinile cheie ale subiectului, și anume, să aflăm cum să găsim probabilitatea ca o variabilă aleatorie normală va lua valoarea din interval. Geometric, această probabilitate este egală cu zonăîntre curba normală și axa x din secțiunea corespunzătoare:

dar de fiecare dată când încerc să obțin o valoare aproximativă este nerezonabil și, prin urmare, este mai rațional de utilizat formula „uşoară”.:
.

! De asemenea, își amintește , Ce

Aici puteți utiliza din nou Excel, dar există câteva „dar” semnificative: în primul rând, nu este întotdeauna la îndemână, iar în al doilea rând, valorile „gata făcute” vor ridica cel mai probabil întrebări din partea profesorului. De ce?

Am mai vorbit despre asta de multe ori: la un moment dat (și nu cu mult timp în urmă) un calculator obișnuit era un lux, iar metoda „manuală” de rezolvare a problemei în cauză este încă păstrată în literatura educațională. Esența lui este să standardiza valorile „alfa” și „beta”, adică reduc soluția la distribuția standard:

Nota : funcția este ușor de obținut din cazul generalfolosind liniar înlocuitori. Apoi, de asemenea:

iar din inlocuirea efectuata urmatoarea formula: trecerea de la valorile unei distribuții arbitrare la valorile corespunzătoare ale unei distribuții standard.

De ce este necesar acest lucru? Faptul este că valorile au fost calculate meticulos de strămoșii noștri și compilate într-un tabel special, care se află în multe cărți despre terwer. Dar și mai des există un tabel de valori, despre care ne-am ocupat deja Teorema integrală a lui Laplace:

Dacă avem la dispoziție un tabel de valori ale funcției Laplace , apoi rezolvăm prin ea:

Valorile fracționale sunt în mod tradițional rotunjite la 4 zecimale, așa cum se face în tabelul standard. Și pentru control există Punctul 5 aspect.

iti amintesc ca , și pentru a evita confuzia controlează întotdeauna, un tabel cu CE funcție este în fața ochilor tăi.

Răspuns este necesar să fie dat ca procent, astfel încât probabilitatea calculată trebuie înmulțită cu 100, iar rezultatul trebuie furnizat cu un comentariu semnificativ:

– cu un zbor de la 5 la 70 m, aproximativ 15,87% din obuze vor cădea

Ne antrenăm pe cont propriu:

Exemplul 3

Diametrul rulmenților fabricați din fabrică este o variabilă aleatorie, distribuită în mod normal, cu o așteptare matematică de 1,5 cm și o abatere standard de 0,04 cm. Aflați probabilitatea ca dimensiunea unui rulment selectat aleatoriu să fie cuprinsă între 1,4 și 1,6 cm.

În soluția eșantion și mai jos, voi folosi funcția Laplace ca cea mai comună opțiune. Apropo, rețineți că, conform formulării, capetele intervalului pot fi incluse în considerația de aici. Cu toate acestea, acest lucru nu este critic.

Și deja în acest exemplu am întâlnit un caz special - când intervalul este simetric în raport cu așteptarea matematică. Într-o astfel de situație, poate fi scris sub forma și, folosind ciudățenia funcției Laplace, simplifica formula de lucru:

Parametrul delta este apelat abatere din așteptarea matematică, iar inegalitatea dublă poate fi „ambalată” folosind modul:

– probabilitatea ca valoarea unei variabile aleatoare să se abate de la așteptarea matematică cu mai puțin de .

E bine că soluția se încadrează într-o singură linie :)
– probabilitatea ca diametrul unui rulment luat la întâmplare să difere de la 1,5 cm cu cel mult 0,1 cm.

Rezultatul acestei sarcini s-a dovedit a fi aproape de unitate, dar aș dori o fiabilitate și mai mare - și anume, să aflu limitele în care se află diametrul aproape toată lumea rulmenti. Există vreun criteriu pentru asta? Există! La întrebarea pusă răspunde așa-zisa

regula trei sigma

Esența sa este aceea practic de încredere este faptul că o variabilă aleatoare distribuită normal va lua o valoare din interval .

Într-adevăr, probabilitatea abaterii de la valoarea așteptată este mai mică decât:
sau 99,73%

În ceea ce privește rulmenții, este vorba de 9973 de piese cu un diametru de la 1,38 la 1,62 cm și doar 27 de exemplare „substandard”.

În cercetarea practică, regula trei sigma este de obicei aplicată în direcția opusă: dacă statistic S-a constatat că aproape toate valorile variabilă aleatoare în studiu se încadrează într-un interval de 6 abateri standard, atunci există motive convingătoare pentru a crede că această valoare este distribuită conform unei legi normale. Verificarea se realizează folosind teorie ipotezele statistice.

Continuăm să rezolvăm problemele aspre sovietice:

Exemplul 4

Valoarea aleatorie a erorii de cântărire este distribuită conform legii normale cu așteptări matematice zero și o abatere standard de 3 grame. Găsiți probabilitatea ca următoarea cântărire să fie efectuată cu o eroare care să nu depășească 5 grame în valoare absolută.

Soluţie foarte simplu. După condiție, notăm imediat că la următoarea cântărire (ceva sau cineva) vom obține aproape 100% rezultatul cu o precizie de 9 grame. Dar problema implică o abatere mai restrânsă și conform formulei :

– probabilitatea ca următoarea cântărire să fie efectuată cu o eroare care să nu depășească 5 grame.

Răspuns:

Problema rezolvată este fundamental diferită de una aparent similară. Exemplul 3 lectie despre distribuție uniformă. A apărut o eroare rotunjire rezultatele măsurătorilor, aici vorbim despre eroarea aleatorie a măsurătorilor în sine. Astfel de erori apar din cauza caracteristicilor tehnice ale dispozitivului în sine. (gama de erori acceptabile este de obicei indicată în pașaportul său), și, de asemenea, din vina experimentatorului - atunci când, de exemplu, „cu ochi” luăm citiri din acul acelorași cântare.

Printre altele, există și așa-numitele sistematic erori de măsurare. Este deja non-aleatorie erori care apar din cauza configurării sau funcționării incorecte a dispozitivului. De exemplu, cântarele de podea nereglementate pot „adăuga” în mod constant kilograme, iar vânzătorul cântărește în mod sistematic clienții. Sau poate fi calculată nu sistematic. Cu toate acestea, în orice caz, o astfel de eroare nu va fi aleatorie, iar așteptarea sa este diferită de zero.

…Dezvolt urgent un curs de instruire în vânzări =)

Să rezolvăm singuri problema inversă:

Exemplul 5

Diametrul rolei este o variabilă aleatorie distribuită normal, abaterea sa standard este egală cu mm. Aflați lungimea intervalului, simetric față de așteptarea matematică, în care este probabil să cadă lungimea diametrului rolei.

Punctul 5* layout-ul de proiectare a ajuta. Vă rugăm să rețineți că așteptările matematice nu sunt cunoscute aici, dar acest lucru nu ne împiedică deloc să rezolvăm problema.

Și o sarcină de examen pe care o recomand cu căldură pentru a consolida materialul:

Exemplul 6

O variabilă aleatoare distribuită în mod normal este specificată de parametrii săi (așteptările matematice) și (abaterea standard). Necesar:

a) notează densitatea de probabilitate și descrie schematic graficul acesteia;
b) aflați probabilitatea ca acesta să ia o valoare din interval ;
c) găsiți probabilitatea ca valoarea absolută să se abate de la cel mult ;
d) folosind regula „trei sigma”, găsiți valorile variabilei aleatoare.

Astfel de probleme sunt oferite peste tot, iar de-a lungul anilor de practică am rezolvat sute și sute dintre ele. Asigurați-vă că exersați desenarea manuală a unui desen și folosind tabele de hârtie;)

Ei bine, voi privi un exemplu de complexitate crescută:

Exemplul 7

Densitatea distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare are forma . Găsiți, așteptări matematice, dispersie, funcție de distribuție, construiți grafice de densitate și funcții de distribuție, găsiți.

Soluţie: În primul rând, să observăm că condiția nu spune nimic despre natura variabilei aleatoare. Prezența unui exponent în sine nu înseamnă nimic: se poate dovedi, de exemplu, indicativ sau chiar arbitrar distribuție continuă. Și, prin urmare, „normalitatea” distribuției trebuie să fie justificată:

Din moment ce funcţia determinat la orice valoare reală și poate fi redusă la formă , atunci variabila aleatoare este distribuită conform legii normale.

Începem. Pentru aceasta selectați un pătrat complet si organizeaza fracție cu trei etaje:


Asigurați-vă că efectuați o verificare, revenind indicatorul la forma sa originală:

, ceea ce am vrut să vedem.

Astfel:
- De regula operațiunilor cu puteri"ciupiți" Și aici puteți nota imediat caracteristicile numerice evidente:

Acum să găsim valoarea parametrului. Deoarece multiplicatorul distribuției normale are forma și , atunci:
, de unde exprimăm și substituim în funcția noastră:
, după care vom parcurge din nou înregistrarea cu ochii și ne vom asigura că funcția rezultată are forma .

Să construim un grafic de densitate:

și graficul funcției de distribuție :

Dacă nu aveți Excel sau chiar un calculator obișnuit la îndemână, atunci ultimul grafic poate fi construit cu ușurință manual! În momentul în care funcția de distribuție ia valoarea și iată-l

După cum am menționat mai devreme, exemple de distribuții de probabilitate variabilă aleatoare continuă X sunt:

• distribuție uniformă
• distribuție exponențială probabilitățile unei variabile aleatoare continue;
• distribuția normală de probabilitate a unei variabile aleatoare continue.

Să dăm conceptul unei legi de distribuție normală, funcția de distribuție a unei astfel de legi și procedura de calcul a probabilității ca o variabilă aleatoare X să cadă într-un anumit interval.

№	Indicator	Legea distribuției normale	Nota
	Definiţie	Numit normal distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare continue X, a cărei densitate are forma
			unde m x este așteptarea matematică a variabilei aleatoare X, σ x este abaterea standard
2	Funcția de distribuție
	Probabilitate se încadrează în intervalul (a;b)		- Funcția integrală Laplace
	Probabilitate faptul că valoarea absolută a abaterii este mai mică decât un număr pozitiv δ		la m x = 0

Un exemplu de rezolvare a unei probleme pe tema „Legea distribuției normale a unei variabile aleatoare continue”

Sarcină.

Lungimea X a unei anumite piese este o variabilă aleatorie distribuită conform legii de distribuție normală și are o valoare medie de 20 mm și o abatere standard de 0,2 mm.
Necesar:
a) notează expresia pentru densitatea distribuției;
b) aflați probabilitatea ca lungimea piesei să fie între 19,7 și 20,3 mm;
c) aflați probabilitatea ca abaterea să nu depășească 0,1 mm;
d) determinați ce procent sunt piesele a căror abatere de la valoarea medie nu depășește 0,1 mm;
e) găsiți ce abatere ar trebui stabilită astfel încât procentul pieselor a căror abatere de la medie nu depășește valoarea specificată să crească la 54%;
f) găsiți un interval simetric față de valoarea medie în care X va fi situat cu probabilitate 0,95.

Soluţie. O) Găsim densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare X distribuită conform unei legi normale:

cu condiția ca m x =20, σ =0,2.

b) Pentru o distribuție normală a unei variabile aleatoare, probabilitatea de a cădea în intervalul (19.7; 20.3) este determinată de:
Ф((20,3-20)/0,2) – Ф((19,7-20)/0,2) = Ф(0,3/0,2) – Ф(-0,3/0, 2) = 2Ф(0,3/0,2) = 2Ф(1,5) = 2*0,4332 = 0,8664.
Am găsit valoarea Ф(1,5) = 0,4332 în anexe, în tabelul de valori al funcției integrale Laplace Φ(x) ( tabelul 2 )

V) Găsim probabilitatea ca valoarea absolută a abaterii să fie mai mică decât un număr pozitiv 0,1:
R(|X-20|< 0,1) = 2Ф(0,1/0,2) = 2Ф(0,5) = 2*0,1915 = 0,383.
Am găsit valoarea Ф(0,5) = 0,1915 în anexe, în tabelul de valori al funcției integrale Laplace Φ(x) ( tabelul 2 )

G) Deoarece probabilitatea unei abateri mai mici de 0,1 mm este de 0,383, rezultă că, în medie, 38,3 părți din 100 vor avea o astfel de abatere, i.e. 38,3%.

d) Deoarece procentul pieselor a căror abatere de la medie nu depășește valoarea specificată a crescut la 54%, atunci P(|X-20|< δ) = 0,54. Отсюда следует, что 2Ф(δ/σ) = 0,54, а значит Ф(δ/σ) = 0,27.

Folosind aplicația ( tabelul 2 ), găsim δ/σ = 0,74. Prin urmare δ = 0,74*σ = 0,74*0,2 = 0,148 mm.

e) Deoarece intervalul necesar este simetric față de valoarea medie m x = 20, acesta poate fi definit ca mulțimea de valori a lui X care satisface inegalitatea 20 − δ< X < 20 + δ или |x − 20| < δ .

Conform condiției, probabilitatea de a găsi X în intervalul dorit este 0,95, ceea ce înseamnă P(|x − 20|< δ)= 0,95. С другой стороны P(|x − 20| < δ) = 2Ф(δ/σ), следовательно 2Ф(δ/σ) = 0,95, а значит Ф(δ/σ) = 0,475.

Folosind aplicația ( tabelul 2 ), găsim δ/σ = 1,96. Prin urmare, δ = 1,96*σ = 1,96*0,2 = 0,392.
Interval de căutare : (20 – 0,392; 20 + 0,392) sau (19,608; 20,392).