În primul rând, să înțelegem diferența dintre un cerc și un cerc. Pentru a vedea această diferență, este suficient să luăm în considerare care sunt ambele cifre. Acestea sunt un număr infinit de puncte din plan, situate la o distanță egală de un singur punct central. Dar, dacă cercul este format și din spațiu interior, atunci nu aparține cercului. Se dovedește că un cerc este atât un cerc care îl limitează (cercul(r)), cât și un număr nenumărat de puncte care se află în interiorul cercului.
Pentru orice punct L situat pe cerc, se aplică egalitatea OL=R. (Lungimea segmentului OL este egală cu raza cercului).
Un segment care leagă două puncte dintr-un cerc este al acestuia coardă.
O coardă care trece direct prin centrul unui cerc este diametru acest cerc (D). Diametrul poate fi calculat folosind formula: D=2R
Circumferinţă calculat prin formula: C=2\pi R
Aria unui cerc: S=\pi R^(2)
Arc de cerc se numește acea parte a acesteia care se află între cele două puncte ale sale. Aceste două puncte definesc două arce de cerc. CD-ul de acorduri subtinde două arcuri: CMD și CLD. Acordurile identice subtind arcuri egale.
Unghiul central Un unghi care se află între două raze se numește.
Lungimea arcului poate fi găsit folosind formula:
- Folosind măsurarea gradului: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
- Folosind măsura radianilor: CD = \alpha R
Diametrul, care este perpendicular pe coardă, împarte coarda și arcele contractate de aceasta în jumătate.
Dacă acordurile AB și CD ale cercului se intersectează în punctul N, atunci produsele segmentelor coardelor separate de punctul N sunt egale între ele.
AN\cdot NB = CN\cdot ND
Tangent la un cerc
Tangent la un cerc Se obișnuiește să se numească o dreaptă care are un punct comun cu un cerc.
Dacă o linie are două puncte comune, se numește secantă.
Dacă desenați raza la punctul tangent, aceasta va fi perpendiculară pe tangenta la cerc.
Să desenăm două tangente din acest punct la cercul nostru. Se pare că segmentele tangente vor fi egale între ele, iar centrul cercului va fi situat pe bisectoarea unghiului cu vârful în acest punct.
AC = CB
Acum să desenăm o tangentă și o secantă la cerc din punctul nostru. Obținem că pătratul lungimii segmentului tangent va fi egal cu produsul întregului segment secant și părții sale exterioare.
AC^(2) = CD \cdot BC
Putem concluziona: produsul unui întreg segment al primei secante și al părții sale externe este egal cu produsul unui întreg segment al celei de-a doua secante și al părții sale externe.
AC\cdot BC = EC\cdot DC
Unghiuri într-un cerc
Măsurile gradelor unghiului central și arcului pe care se sprijină sunt egale.
\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)
Unghiul înscris este un unghi al cărui vârf este pe un cerc și ale cărui laturi conțin coarde.
Îl puteți calcula știind dimensiunea arcului, deoarece este egal cu jumătate din acest arc.
\angle AOB = 2 \angle ADB
Pe baza unui diametru, unghi înscris, unghi drept.
\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)
Unghiurile înscrise care subtind același arc sunt identice.
Unghiurile înscrise care se sprijină pe o coardă sunt identice sau suma lor este egală cu 180^ (\circ) .
\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)
\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB
Pe același cerc sunt vârfurile triunghiurilor cu unghiuri identice și cu o bază dată.
Un unghi cu un vârf în interiorul cercului și situat între două coarde este identic cu jumătate din suma valorilor unghiulare ale arcelor de cerc care sunt conținute în unghiurile date și verticale.
\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)
Un unghi cu un vârf în afara cercului și situat între două secante este identic cu jumătate din diferența dintre valorile unghiulare ale arcelor de cerc care sunt conținute în interiorul unghiului.
\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)
Cerc înscris
Cerc înscris este un cerc tangent la laturile unui poligon.
În punctul în care bisectoarele colțurilor unui poligon se intersectează, se află centrul acestuia.
Este posibil ca un cerc să nu fie înscris în fiecare poligon.
Aria unui poligon cu un cerc înscris se găsește prin formula:
S = pr,
p este semiperimetrul poligonului,
r este raza cercului înscris.
Rezultă că raza cercului înscris este egală cu:
r = \frac(S)(p)
Sumele lungimilor laturi opuse va fi identică dacă cercul este înscris într-un patrulater convex. Și invers: un cerc se potrivește într-un patrulater convex dacă sumele lungimilor laturilor opuse sunt identice.
AB + DC = AD + BC
Este posibil să se înscrie un cerc în oricare dintre triunghiuri. Doar unul singur. În punctul în care bisectoarele unghiurilor interne ale figurii se intersectează, centrul acestui cerc înscris se va afla.
Raza cercului înscris se calculează cu formula:
r = \frac(S)(p),
unde p = \frac(a + b + c)(2)
Cerc circular
Dacă un cerc trece prin fiecare vârf al unui poligon, atunci un astfel de cerc este de obicei numit descris despre un poligon.
În punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare ale laturilor acestei figuri se va afla centrul cercului circumscris.
Raza poate fi găsită calculând-o ca raza cercului care este circumscris triunghiului definit de oricare 3 vârfuri ale poligonului.
Există următoarea condiție: un cerc poate fi descris în jurul unui patrulater numai dacă suma unghiurilor sale opuse este egală cu 180^( \circ) .
\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ (\circ)
În jurul oricărui triunghi poți descrie un cerc și doar unul. Centrul unui astfel de cerc va fi situat în punctul în care bisectoarele perpendiculare ale laturilor triunghiului se intersectează.
Raza cercului circumscris poate fi calculată folosind formulele:
R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)
R = \frac(abc)(4 S)
a, b, c sunt lungimile laturilor triunghiului,
S este aria triunghiului.
teorema lui Ptolemeu
În cele din urmă, luați în considerare teorema lui Ptolemeu.
Teorema lui Ptolemeu afirmă că produsul diagonalelor este identic cu suma produselor laturilor opuse ale unui patrulater ciclic.
AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD
.png)
Cercul, părțile sale, dimensiunile și relațiile lor sunt lucruri pe care un bijutier le întâlnește constant. Inele, brățări, caste, tuburi, bile, spirale - trebuie făcute o mulțime de lucruri rotunde. Cum poți calcula toate acestea, mai ales dacă ai avut norocul să sări peste orele de geometrie la școală?...
Să ne uităm mai întâi la ce părți are un cerc și cum se numesc.
- Un cerc este o linie care cuprinde un cerc.
- Un arc este o parte a unui cerc.
- Raza este un segment care leagă centrul unui cerc cu orice punct al cercului.
- O coardă este un segment care leagă două puncte dintr-un cerc.
- Un segment este o parte a unui cerc delimitată de o coardă și un arc.
- Un sector este o parte a unui cerc delimitată de două raze și un arc.
Cantitățile care ne interesează și denumirea acestora:
Acum să vedem ce probleme legate de părțile unui cerc trebuie rezolvate.
- Găsiți lungimea dezvoltării oricărei părți a inelului (brățară). Sunt specificate diametrul și coarda (opțiune: diametru și unghiul central), găsiți lungimea arcului.
- Există un desen pe un plan, trebuie să-i aflați dimensiunea în proiecție după ce îl îndoiți într-un arc. Având în vedere lungimea și diametrul arcului, găsiți lungimea coardei.
- Aflați înălțimea piesei obținute prin îndoirea unei piese de prelucrat plată într-un arc. Opțiuni de date sursă: lungimea și diametrul arcului, lungimea arcului și coarda; aflați înălțimea segmentului.
Viața vă va oferi și alte exemple, dar le-am dat doar pentru a arăta nevoia de a seta vreo doi parametri pentru a-i găsi pe toți ceilalți. Asta vom face. Și anume, vom lua cinci parametri ai segmentului: D, L, X, φ și H. Apoi, alegând toate perechile posibile dintre aceștia, le vom considera date inițiale și îi vom găsi pe restul prin brainstorming.
Pentru a nu împovăra inutil cititorul, nu voi da soluții detaliate, ci voi prezenta doar rezultatele sub formă de formule (acele cazuri în care nu există o soluție formală, le voi discuta pe parcurs).
Și încă o notă: despre unitățile de măsură. Toate mărimile, cu excepția unghiului central, sunt măsurate în aceleași unități abstracte. Aceasta înseamnă că, dacă, de exemplu, specificați o valoare în milimetri, atunci cealaltă nu trebuie să fie specificată în centimetri, iar valorile rezultate vor fi măsurate în aceiași milimetri (și zonele în milimetri pătrați). Același lucru se poate spune despre inci, picioare și mile marine.
Și numai unghiul central în toate cazurile este măsurat în grade și nimic altceva. Pentru că, de regulă, oamenii care proiectează ceva rotund nu au tendința de a măsura unghiurile în radiani. Expresia „unghi pi cu patru” îi încurcă pe mulți, în timp ce „unghiul patruzeci și cinci de grade” este de înțeles de toată lumea, deoarece este cu doar cinci grade mai mare decât în mod normal. Cu toate acestea, în toate formulele va mai exista un unghi - α - prezent ca valoare intermediară. În sens, acesta este jumătate din unghiul central, măsurat în radiani, dar cu siguranță nu puteți aprofunda în acest sens.
1. Având în vedere diametrul D și lungimea arcului L
; lungimea coardei 
;
înălțimea segmentului 
; unghiul central 
.
2. Având în vedere diametrul D și lungimea coardei X
; lungimea arcului;
înălțimea segmentului ; unghiul central 
.
Deoarece coarda împarte cercul în două segmente, această problemă are nu una, ci două soluții. Pentru a obține al doilea, trebuie să înlocuiți unghiul α din formulele de mai sus cu unghiul .
3. Având în vedere diametrul D și unghiul central φ
; lungimea arcului;
lungimea coardei ; înălțimea segmentului .
4. Având în vedere diametrul D și înălțimea segmentului H
; lungimea arcului;
lungimea coardei ; unghiul central .
6. Având în vedere lungimea arcului L și unghiul central φ
; diametrul;
lungimea coardei ; înălțimea segmentului .
8. Având în vedere lungimea coardei X și unghiul central φ
; lungimea arcului 
;
diametrul; înălțimea segmentului .
9. Având în vedere lungimea coardei X și înălțimea segmentului H
; lungimea arcului ;
diametrul; unghiul central .
10. Având în vedere unghiul central φ și înălțimea segmentului H
; diametru 
;
lungimea arcului; lungimea coardei .
Cititorul atent nu a putut să nu observe că am ratat două opțiuni:
5. Având în vedere lungimea arcului L și lungimea coardei X
7. Având în vedere lungimea arcului L și înălțimea segmentului H
Acestea sunt doar acele două cazuri neplăcute când problema nu are o soluție care ar putea fi scrisă sub forma unei formule. Și sarcina nu este atât de rară. De exemplu, aveți o bucată plată de lungime L și doriți să o îndoiți astfel încât lungimea ei să devină X (sau înălțimea sa devine H). Ce diametru ar trebui să iau dornul (bara transversală)?
Această problemă se rezumă la rezolvarea ecuațiilor: 
; - la varianta 5
; - la varianta 7
și deși nu pot fi rezolvate analitic, pot fi ușor rezolvate programatic. Și chiar știu de unde să obțin un astfel de program: chiar pe acest site, sub numele . Tot ceea ce vă spun aici pe larg, ea face în microsecunde.
Pentru a completa imaginea, să adăugăm la rezultatele calculelor noastre circumferința și trei valori ale zonei - cerc, sector și segment. (Zonele ne vor ajuta foarte mult la calcularea masei tuturor părților rotunde și semicirculare, dar mai multe despre asta într-un articol separat.) Toate aceste cantități sunt calculate folosind aceleași formule:
circumferinţă;
zona unui cerc 
;
zona sectorului 
;
zona segmentului 
;
Și în concluzie, permiteți-mi să vă reamintesc încă o dată despre existența absolutului program gratuit, care efectuează toate calculele de mai sus, eliberându-vă de a fi nevoit să vă amintiți ce este o arctangentă și unde să o căutați.
Probleme la găsirea ariei unui cerc - obligatoriu parte a examenului de stat unificatîn matematică. De regulă, acest subiect este atribuit mai multor sarcini simultan în testul de certificare. Toți elevii de liceu, indiferent de nivelul lor de pregătire, ar trebui să înțeleagă algoritmul pentru găsirea circumferinței și a ariei unui cerc.
Dacă astfel de sarcini planimetrice vă provoacă dificultăți, vă recomandăm să apelați la portalul educațional Shkolkovo. Cu noi puteți umple golurile în cunoștințe.
Secțiunea corespunzătoare a site-ului prezintă o selecție largă de probleme pentru găsirea circumferinței și a ariei unui cerc, similare cu cele incluse în examenul de stat unificat. După ce a învățat să le execute corect, absolventul va putea face față cu succes examenului.
Repere
Problemele care necesită utilizarea formulelor de suprafață pot fi directe sau inverse. În primul caz, parametrii elementelor figurii sunt cunoscuți. În acest caz, cantitatea necesară este suprafața. În al doilea caz, dimpotrivă, zona este cunoscută și este necesar să se găsească un element al figurii. Algoritmul pentru calcularea răspunsului corect în astfel de sarcini diferă doar în ordinea în care sunt aplicate formulele de bază. De aceea, atunci când se începe rezolvarea unor astfel de probleme, este necesar să se repete materialul teoretic.
Pe portal educațional„Shkolkovo” prezintă toate informațiile de bază cu privire la subiectul „Găsirea lungimii unui cerc sau a unui arc și a ariei unui cerc”, precum și asupra altor subiecte, de exemplu, Specialiștii noștri l-au pregătit și l-au prezentat în cea mai mare măsură. formă accesibilă.
După ce și-au amintit formulele de bază, studenții pot începe să completeze probleme pentru găsirea zonei unui cerc, similare cu cele incluse în examenul de stat unificat, online. Pentru fiecare exercițiu, site-ul oferă o soluție detaliată și răspunsul corect. Dacă este necesar, orice sarcină poate fi salvată în secțiunea „Favorite” pentru a reveni la ea mai târziu și a discuta cu profesorul.
Cursul video „Obțineți A” include toate subiectele necesare pentru a promova cu succes Examenul de stat unificat la matematică cu 60-65 de puncte. Complet toate problemele 1-13 Examinare de stat unificată de profilîn matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea examenului de stat unificat de bază la matematică. Dacă vrei să promovezi examenul de stat unificat cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!
Curs de pregătire pentru Examenul Unificat de Stat pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce aveți nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului de stat unificat la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și asta înseamnă mai mult de 70 de puncte la examenul de stat unificat și nici un student cu 100 de puncte, nici un student la științe umaniste nu se pot descurca fără ele.
Toată teoria necesară. Soluții rapide, capcane și secrete ale examenului de stat unificat. Au fost analizate toate sarcinile curente ale părții 1 din Banca de activități FIPI. Cursul respectă pe deplin cerințele Examenului de stat unificat 2018.
Cursul conține 5 subiecte mari, câte 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și clar.
Sute de sarcini de examen de stat unificat. Probleme cu cuvinte și teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referință, analiza tuturor tipurilor de sarcini de examinare unificată de stat. Stereometrie. Soluții complicate, cheat sheets utile, dezvoltarea imaginației spațiale. Trigonometrie de la zero la problema 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicații clare ale conceptelor complexe. Algebră. Rădăcini, puteri și logaritmi, funcție și derivată. Baza soluției sarcini complexe 2 părți ale examenului de stat unificat.
