Gauss sin teorem. Gauss' teorem for elektrisk induksjon (elektrisk forskyvning) Gauss' teorem for elektrisk feltinduksjon

La oss vurdere hvordan verdien av vektor E endres ved grensesnittet mellom to medier, for eksempel luft (ε 1) og vann (ε = 81). Feltstyrken i vann avtar brått med en faktor på 81. Denne vektoratferden E skaper visse ulemper ved beregning av felt i ulike miljøer. For å unngå denne ulempen introduseres en ny vektor D– vektor for induksjon eller elektrisk forskyvning av feltet. Vektorforbindelse D Og E ser ut som

D = ε ε 0 E.

Det er klart at for feltet til en punktladning vil den elektriske forskyvningen være lik

Det er lett å se at den elektriske forskyvningen er målt i C/m2, ikke er avhengig av egenskaper og er grafisk representert med linjer som ligner strekklinjer.

Retningen til feltlinjene karakteriserer retningen til feltet i rommet (feltlinjer eksisterer selvfølgelig ikke, de er introdusert for enkelhets skyld) eller retningen til feltstyrkevektoren. Ved å bruke spenningslinjer kan du karakterisere ikke bare retningen, men også størrelsen på feltstyrken. For å gjøre dette ble det avtalt å utføre dem med en viss tetthet, slik at antall strekklinjer som gjennomborer en enhetsoverflate vinkelrett på strekklinjene var proporsjonal med vektormodulen E(Fig. 78). Deretter antall linjer som trenger gjennom elementærområdet dS, normalen til hvilken n danner en vinkel α med vektoren E, er lik E dScos α = E n dS,

hvor E n er vektorkomponenten E i retning av det normale n. Verdien dФ E = E n dS = E d S ringte strømning av spenningsvektoren gjennom stedet d S(d S= dS n).

For en vilkårlig lukket overflate S vektorstrømmen E gjennom denne overflaten er lik

Et lignende uttrykk har flyten til den elektriske forskyvningsvektoren Ф D

.

Ostrogradsky-Gauss teorem

Denne teoremet lar oss bestemme flyten av vektorene E og D fra et hvilket som helst antall ladninger. La oss ta en punktladning Q og definere fluksen til vektoren E gjennom en sfærisk overflate med radius r, i midten av hvilken den er plassert.

For en sfærisk overflate α = 0, cos α = 1, E n = E, S = 4 πr 2 og

Ф E = E · 4 πr 2 .

Ved å erstatte uttrykket med E får vi

Fra hver punktladning kommer det altså en strøm av F E vektor E lik Q/ ε 0 . Ved å generalisere denne konklusjonen til det generelle tilfellet av et vilkårlig antall punktladninger, gir vi formuleringen av teoremet: den totale flyten av vektoren E gjennom en lukket overflate av vilkårlig form er numerisk lik den algebraiske summen av de elektriske ladningene inne i denne overflaten, delt på ε 0, dvs.

For den elektriske forskyvningsvektorfluksen D du kan få en lignende formel

fluksen av induksjonsvektoren gjennom en lukket overflate er lik den algebraiske summen av de elektriske ladningene som dekkes av denne overflaten.

Hvis vi tar en lukket overflate som ikke omfavner en ladning, så hver linje E Og D vil krysse denne overflaten to ganger - ved inngang og utgang, så den totale flyten viser seg å være lik null. Her er det nødvendig å ta hensyn til den algebraiske summen av linjene som kommer inn og ut.

Anvendelse av Ostrogradsky-Gauss-teoremet for å beregne elektriske felt skapt av fly, kuler og sylindre

En sfærisk overflate med radius R bærer en ladning Q, jevnt fordelt over overflaten med overflatetetthet σ

La oss ta punktet A utenfor kulen i en avstand r fra sentrum og mentalt tegne en kule med radius r symmetrisk ladet (fig. 79). Arealet er S = 4 πr 2. Fluksen til vektor E vil være lik

I følge Ostrogradsky-Gauss-teoremet
, derfor,
tar vi i betraktning at Q = σ 4 πr 2, får vi

For punkter plassert på overflaten av en kule (R = r)

D For punkter plassert inne i en hul kule (det er ingen ladning inne i kulen), E = 0.

2 . Hul sylindrisk overflate med radius R og lengde l ladet med konstant overflateladningstetthet
(Fig. 80). La oss tegne en koaksial sylindrisk overflate med radius r > R.

Strømningsvektor E gjennom denne overflaten

Etter Gauss sin teorem

Ved å likestille høyresiden av de ovennevnte likhetene får vi

.

Hvis den lineære ladningstettheten til sylinderen (eller tynn tråd) er gitt
At

3. Felt av uendelige plan med overflateladningstetthet σ (fig. 81).

La oss vurdere feltet skapt av et uendelig plan. Av symmetribetraktninger følger det at intensiteten på ethvert punkt i feltet har en retning vinkelrett på planet.

Ved symmetriske punkter vil E være lik i størrelse og motsatt i retning.

La oss mentalt konstruere overflaten til en sylinder med en base ΔS. Da vil det komme en strøm ut gjennom hver av sylinderens base

FE = E ΔS, og den totale strømningen gjennom den sylindriske overflaten vil være lik FE = 2E ΔS.

Inne i overflaten er det en ladning Q = σ · ΔS. I følge Gauss sin teorem må det være sant

hvor

Resultatet som oppnås avhenger ikke av høyden på den valgte sylinderen. Dermed er feltstyrken E i enhver avstand den samme i størrelsesorden.

For to forskjellig ladede plan med samme overflateladningstetthet σ, i henhold til superposisjonsprinsippet, utenfor rommet mellom planene er feltstyrken null E = 0, og i rommet mellom planene
(Fig. 82a). Hvis flyene er ladet med like ladninger med samme overflateladningstetthet, observeres det motsatte bildet (fig. 82b). I rommet mellom planene E = 0, og i rommet utenfor planene
.

Den viktigste anvendte oppgaven til elektrostatikk er beregningen av elektriske felt opprettet i forskjellige enheter og enheter. Generelt løses dette problemet ved hjelp av Coulombs lov og superposisjonsprinsippet. Denne oppgaven blir imidlertid veldig vanskelig når man vurderer stort antall punkt- eller romlig fordelte ladninger. Enda større vanskeligheter oppstår når det er dielektrikum eller ledere i rommet, når det under påvirkning av et eksternt felt E 0 oppstår en omfordeling av mikroskopiske ladninger, og skaper deres eget tilleggsfelt E. Derfor, for å praktisk talt løse disse problemene, er hjelpemetoder og -teknikker. brukes som bruker komplekse matematiske apparater. Vi vil vurdere den enkleste metoden basert på anvendelsen av Ostrogradsky-Gauss-teoremet. For å formulere dette teoremet introduserer vi flere nye konsepter:

A) ladningstetthet

Hvis den ladede kroppen er stor, må du vite fordelingen av ladninger inne i kroppen.

Volum ladningstetthet– målt ved ladning per volumenhet:

Overflateladningstetthet– målt ved ladningen per overflateenhet av et legeme (når ladningen er fordelt over overflaten):

Lineær ladningstetthet(ladningsfordeling langs lederen):

b) elektrostatisk induksjonsvektor

Vektor av elektrostatisk induksjon (elektrisk forskyvningsvektor) er en vektormengde som karakteriserer det elektriske feltet.

Vektor lik produktet av vektoren på den absolutte dielektriske konstanten til mediet ved et gitt punkt:

La oss sjekke dimensjonen D i SI-enheter:

, fordi
,

da faller ikke dimensjonene D og E sammen, og deres numeriske verdier er også forskjellige.

Fra definisjonen det følger det for vektorfeltet samme superposisjonsprinsipp gjelder som for feltet :

Felt grafisk representert ved induksjonslinjer, akkurat som feltet . Induksjonslinjene er tegnet slik at tangenten i hvert punkt faller sammen med retningen , og antall linjer er lik den numeriske verdien av D på et gitt sted.

For å forstå betydningen av introduksjonen La oss se på et eksempel.

V) elektrostatisk induksjonsvektorfluks

Betrakt overflaten S i et elektrisk felt og velg retningen til normalen

1. Hvis feltet er ensartet, så antall feltlinjer gjennom overflaten S:

2. Hvis feltet er ujevnt, så er overflaten delt inn i infinitesimale elementer dS, som anses som flate og feltet rundt dem er ensartet. Derfor er fluksen gjennom overflateelementet: dN = D n dS,

og den totale strømmen gjennom enhver overflate er:

(6)

Induksjonsfluks N er en skalar mengde; avhengig av  kan være > 0 eller< 0, или = 0.

Det vanskeligste er å studere elektriske fenomener i et inhomogent elektrisk miljø. I et slikt medium har ε forskjellige verdier, og endres brått ved den dielektriske grensen. La oss anta at vi bestemmer feltstyrken ved grensesnittet mellom to medier: ε 1 =1 (vakuum eller luft) og ε 2 =3 (væske - olje). Ved grensesnittet, under overgangen fra vakuum til dielektrisk, synker feltstyrken tre ganger, og fluksen til styrkevektoren avtar med samme mengde (fig. 12.25, a). En brå endring i den elektrostatiske feltstyrkevektoren ved grensesnittet mellom to medier skaper visse vanskeligheter ved beregning av felt. Når det gjelder Gauss sin teorem, mister den generelt sin mening under disse forholdene.

Siden polariserbarheten og spenningen til ulik dielektrikum er forskjellig, vil antallet feltlinjer i hvert dielektrikum også være forskjellig. Denne vanskeligheten kan elimineres ved å introdusere en ny fysisk karakteristikk av feltet, elektrisk induksjon D (eller vektor elektrisk forskyvning ).

I henhold til formelen

ε 1 E 1 = ε 2 E 2 =E 0 =konst

Ved å multiplisere alle deler av disse likhetene med den elektriske konstanten ε 0 får vi

ε 0 ε 1 E 1 = ε 0 ε 2 E 2 =ε 0 E 0 =konst.

La oss introdusere notasjonen ε 0 εE=D så vil den nest siste relasjonen ha formen

D 1 = D 2 = D 0 = konst

Vektor D, lik produktet av den elektriske feltstyrken i dielektrikumet og dets absolutte dielektriske konstant, kalleselektrisk forskyvningsvektor

(12.45)

Elektrisk forskyvningsenhet – anheng per kvadratmeter(C/m2).

Elektrisk forskyvning er en vektorstørrelse og kan også uttrykkes som

D = εε 0 E =(1+χ)ε 0 E = ε 0 E + χε 0 E = ε 0 E+P

(12.46)

I motsetning til spenningen E er den elektriske forskyvningen D konstant i alle dielektrikum (fig. 12.25, b). Derfor er det praktisk å karakterisere det elektriske feltet i et inhomogent dielektrisk medium ikke ved intensiteten E, men av forskyvningsvektoren D. Vektor D beskriver det elektrostatiske feltet som skapes av frie ladninger (dvs. i et vakuum), men med deres fordeling i rommet som i nærvær av et dielektrikum, siden bundne ladninger som oppstår i dielektrikum kan forårsake en omfordeling av frie ladninger som skaper feltet.

Vektor felt er grafisk representert ved elektriske forskyvningslinjer på samme måte som feltet avbildet med kraftlinjer.

Elektrisk forskyvningslinje - dette er linjer hvis tangenter i hvert punkt faller sammen i retning med den elektriske forskyvningsvektoren.

Linjene til vektor E kan begynne og slutte på alle ladninger - fri og bundet, mens linjene til vektorD- kun mot gratis kostnader. Vektor linjerDI motsetning til spenningslinjer er de kontinuerlige.

Siden den elektriske forskyvningsvektoren ikke opplever en diskontinuitet i grensesnittet mellom to medier, vil alle induksjonslinjer som kommer fra ladninger omgitt av en lukket overflate penetrere den. Derfor, for den elektriske forskyvningsvektoren, beholder Gauss' teorem fullstendig sin betydning for et inhomogent dielektrisk medium.

Gauss' teorem for det elektrostatiske feltet i et dielektrikum : strømmen av den elektriske forskyvningsvektoren gjennom en vilkårlig lukket overflate er lik den algebraiske summen av ladningene inne i denne overflaten.

(12.47)

Gauss' teorem for elektrisk induksjon (elektrisk forskyvning)[

For et felt i et dielektrisk medium kan Gauss' elektrostatiske teorem skrives på en annen måte (på en alternativ måte) - gjennom strømmen av den elektriske forskyvningsvektoren (elektrisk induksjon). I dette tilfellet er formuleringen av teoremet som følger: strømmen av den elektriske forskyvningsvektoren gjennom en lukket overflate er proporsjonal med den frie elektriske ladningen inne i denne overflaten:

I differensiell form:

Gauss teorem for magnetisk induksjon

Fluksen til den magnetiske induksjonsvektoren gjennom enhver lukket overflate er null:

eller i differensiell form

Dette tilsvarer det faktum at i naturen er det ingen "magnetiske ladninger" (monopoler) som vil skape et magnetfelt, slik elektriske ladninger skaper et elektrisk felt. Gauss' teorem for magnetisk induksjon viser med andre ord at magnetfeltet er (helt) virvel.

Gauss teorem for Newtonsk gravitasjon

For feltstyrken til Newtonsk gravitasjon (gravitasjonsakselerasjon), faller Gauss' teorem praktisk talt sammen med det i elektrostatikk, med unntak av kun konstanter (men fortsatt avhengig av det vilkårlige valget av enhetssystemet) og, viktigst av alt, tegnet:

Hvor g- gravitasjonsfeltstyrke, M- gravitasjonsladning (dvs. masse) inne i overflaten S, ρ - massetetthet, G- Newtonsk konstant.

Ledere i et elektrisk felt. Felt inne i en leder og på overflaten.

Ledere er kropper som elektriske ladninger kan passere fra et ladet legeme til et uladet legeme. Ledernes evne til å føre elektriske ladninger gjennom seg selv forklares av tilstedeværelsen av gratis ladningsbærere i dem. Ledere - metalllegemer i fast og flytende tilstand, flytende løsninger av elektrolytter. De gratis ladningene til en leder introdusert i et elektrisk felt begynner å bevege seg under dens påvirkning. Omfordelingen av ladninger forårsaker en endring i det elektriske feltet. Når den elektriske feltstyrken i en leder blir null, slutter elektronene å bevege seg. Fenomenet med separasjon av ulik ladning i en leder plassert i et elektrisk felt kalles elektrostatisk induksjon. Inne i konduktøren elektrisk felt Ingen. Dette brukes til elektrostatisk beskyttelse - beskyttelse ved hjelp av metallledere fra et elektrisk felt. Overflaten til et ledende legeme av enhver form i et elektrisk felt er en ekvipotensialoverflate.

Kondensatorer

For å skaffe enheter som ved et lavt potensial i forhold til mediet ville akkumulere (kondensere) merkbare ladninger på seg selv, bruker de det faktum at den elektriske kapasiteten til en leder øker når andre kropper nærmer seg den. Faktisk, under påvirkning av feltet skapt av ladede ledere, vises induserte (på lederen) eller assosierte (på den dielektriske) ladninger på en kropp brakt til den (fig. 15.5). Ladninger motsatt i fortegn til ladningen til lederen q er plassert nærmere lederen enn de med samme navn med q, og har derfor stor innflytelse på potensialet.

Derfor, når et legeme bringes nær en ladet leder, synker feltstyrken, og følgelig reduseres lederens potensial. I følge ligningen betyr dette en økning i lederkapasitansen.

Kondensatoren består av to ledere (plater) (fig. 15.6), atskilt med et dielektrisk lag. Når en viss potensialforskjell påføres en leder, lades platene med like ladninger med motsatt fortegn. Den elektriske kapasiteten til en kondensator forstås som en fysisk størrelse som er proporsjonal med ladningen q og er omvendt proporsjonal med potensialforskjellen mellom platene

La oss bestemme kapasitansen til en flat kondensator.

Hvis platearealet er S og ladningen på den er q, så er feltstyrken mellom platene

På den annen side kommer potensialforskjellen mellom platene fra

Energi til et system av punktladninger, en ladet leder og en kondensator.

Ethvert system av ladninger har en viss potensiell interaksjonsenergi, som er lik arbeidet som brukes på å lage dette systemet. Energi til et system av punktladninger q 1 , q 2 , q 3 ,… q N er definert som følger:

Hvor φ 1 – potensialet til det elektriske feltet skapt av alle ladninger unntatt q 1 på punktet der ladningen er plassert q 1 osv. Hvis konfigurasjonen av ladningssystemet endres, endres også energien til systemet. For å endre systemkonfigurasjonen må arbeid gjøres.

Den potensielle energien til et system av punktladninger kan beregnes på en annen måte. Potensiell energi av to punktladninger q 1 , q 2 i avstand fra hverandre er lik. Hvis det er flere ladninger, kan den potensielle energien til dette ladningssystemet defineres som summen av de potensielle energiene til alle ladningsparene som kan sammensettes for dette systemet. Så, for et system med tre positive ladninger, er energien til systemet lik

Overflateladningstettheten på kondensatorplatene er lik forholdet mellom mengden ladning på den og arealet av platen:.

Energi til en ladet enslig leder og kondensator Hvis en isolert leder har en ladning q, så er det et elektrisk felt rundt den, hvis potensial på overflaten av lederen er lik , og kapasitansen er C. La oss øke ladningen med mengden dq. Ved overføring av ladning dq fra uendelig må det arbeides lik

. Men potensialet til det elektrostatiske feltet til en gitt leder ved uendelig er null. Da

Når du overfører ladning dq fra en leder til uendelig, gjøres det samme arbeidet av kreftene til det elektrostatiske feltet. Følgelig, når ladningen til lederen øker med en mengde dq, øker den potensielle energien til feltet, dvs.

Ved å integrere dette uttrykket finner vi den potensielle energien til det elektrostatiske feltet til en ladet leder når ladningen øker fra null til q:

Ved å anvende relasjonen kan vi få følgende uttrykk for den potensielle energien W: