Integraler av trigonometriske funksjoner.
Eksempler på løsninger

I denne leksjonen skal vi se på integraler av trigonometriske funksjoner, det vil si at fyllingen av integralene vil være sinus, cosinus, tangenter og cotangens i ulike kombinasjoner. Alle eksempler vil bli analysert i detalj, tilgjengelig og forståelig selv for en tekanne.

For å lykkes med å studere integraler av trigonometriske funksjoner, må du ha god forståelse for de enkleste integralene, samt beherske noen integrasjonsteknikker. Du kan bli kjent med disse materialene i forelesninger Ubestemt integral. Eksempler på løsninger Og .

Og nå trenger vi: Tabell over integraler, Derivattabell Og Katalog over trigonometriske formler. Alle læremidler finner du på siden Matematiske formler og tabeller. Jeg anbefaler å skrive ut alt. Jeg fokuserer spesielt på trigonometriske formler, de skal være foran øynene dine– uten dette vil arbeidseffektiviteten reduseres merkbart.

Men først om hva integraler er i denne artikkelen Ingen. Det er ingen integraler av formen, - cosinus, sinus, multiplisert med et eller annet polynom (sjeldnere noe med en tangent eller cotangens). Slike integraler er integrert av deler, og for å lære metoden, besøk leksjonen Integrasjon etter deler. Eksempler på løsninger Også her er det ingen integraler med "buer" - arctangent, arcsine, etc., de er også oftest integrert av deler.

Når du finner integraler av trigonometriske funksjoner, brukes en rekke metoder:

(4) Vi bruker tabellformelen , den eneste forskjellen er at i stedet for "X" har vi et komplekst uttrykk.

Eksempel 2

Eksempel 3

Finn det ubestemte integralet.

En klassiker av sjangeren for de som drukner i konkurransen. Som du sikkert har lagt merke til, i tabellen over integraler er det ingen integral av tangent og cotangens, men likevel kan slike integraler finnes.

(1) Vi bruker den trigonometriske formelen

(2) Vi bringer funksjonen under differensialtegnet.

(3) Vi bruker tabellintegralen .

Eksempel 4

Finn det ubestemte integralet.

Dette er et eksempel for uavhengig avgjørelse, den komplette løsningen og svaret er på slutten av leksjonen.

Eksempel 5

Finn det ubestemte integralet.

Gradene våre vil gradvis øke =).
Først løsningen:

(1) Vi bruker formelen

(2) Vi bruker den trigonometriske hovedidentiteten , hvorav det følger at .

(3) Del telleren med nevneren ledd for ledd.

(4) Vi bruker linearitetsegenskapen til det ubestemte integralet.

(5) Vi integrerer ved å bruke tabellen.

Eksempel 6

Finn det ubestemte integralet.

Dette er et eksempel på en uavhengig løsning, den fullstendige løsningen og svaret er på slutten av leksjonen.

Det er også integraler av tangenter og cotangenter, som er i høyere makter. Integralet til tangentkuben diskuteres i leksjonen Hvordan beregne arealet til en flat figur? Integraler av tangent (cotangens) til fjerde og femte potens kan fås på siden Komplekse integraler.

Redusere graden av integranden

Denne teknikken fungerer når integrand-funksjonene er fylt med sinus og cosinus til og med grader. For å redusere graden, bruk trigonometriske formler , og , og den siste formelen brukes ofte i motsatt retning: .

Eksempel 7

Finn det ubestemte integralet.

Løsning:

I prinsippet er det ikke noe nytt her, bortsett fra at vi brukte formelen (senker graden av integranden). Vær oppmerksom på at jeg har forkortet løsningen. Etter hvert som du får erfaring, kan integralen av finnes muntlig dette sparer tid og er ganske akseptabelt når du fullfører oppgaver. I dette tilfellet er det tilrådelig å ikke beskrive regelen , først tar vi verbalt integralet av 1, deretter av .

Eksempel 8

Finn det ubestemte integralet.

Dette er et eksempel på en uavhengig løsning, den fullstendige løsningen og svaret er på slutten av leksjonen.

Dette er den lovede gradøkningen:

Eksempel 9

Finn det ubestemte integralet.

Først løsningen, så kommentarene:

(1) Forbered integranden for å bruke formelen .

(2) Vi bruker faktisk formelen.

(3) Vi kvadrerer nevneren og tar konstanten ut av integrertegnet. Det kunne vært gjort litt annerledes, men etter min mening var det mer praktisk.

(4) Vi bruker formelen

(5) I tredje ledd reduserer vi igjen graden, men ved å bruke formelen .

(6) Vi presenterer lignende begreper (her delte jeg begrep for begrep og gjorde tillegget).

(7) Egentlig tar vi integralet, linearitetsregelen og metoden for å subsumere en funksjon under differensialtegnet utføres muntlig.

(8) Å kjemme svaret.

! I et ubestemt integral kan svaret ofte skrives på flere måter

I eksemplet som nettopp ble vurdert, kunne det endelige svaret vært skrevet annerledes - å åpne parentesene og til og med gjøre dette før du integrerer uttrykket, det vil si at følgende avslutning på eksemplet er ganske akseptabelt:

Det er ganske mulig at dette alternativet er enda mer praktisk, jeg forklarte det akkurat slik jeg var vant til å løse det selv). Her er et annet typisk eksempel for en uavhengig løsning:

Eksempel 10

Finn det ubestemte integralet.

Dette eksemplet kan løses på to måter, og du kan lykkes to helt forskjellige svar(mer presist vil de se helt annerledes ut, men fra et matematisk synspunkt vil de være likeverdige). Mest sannsynlig vil du ikke se den mest rasjonelle metoden og vil lide med åpningsparenteser og bruk av andre trigonometriske formler. Den mest effektive løsningen gis på slutten av leksjonen.

For å oppsummere avsnittet konkluderer vi: enhver integral av skjemaet , hvor og – til og med tall, løses ved metoden for å redusere graden av integranden.
I praksis kom jeg over integraler med 8 og 10 grader, og jeg måtte løse deres forferdelige rot ved å senke graden flere ganger, noe som resulterte i lange, lange svar.

Variabel erstatningsmetode

Som nevnt i artikkelen Variabel endringsmetode i ubestemt integral, hovedforutsetningen for å bruke erstatningsmetoden er det faktum at det i integranden er en viss funksjon og dens deriverte:
(funksjoner er ikke nødvendigvis i produktet)

Eksempel 11

Finn det ubestemte integralet.

Vi ser på tabellen med derivater og legger merke til formlene, , det vil si at i vår integrand er det en funksjon og dens deriverte. Imidlertid ser vi at under differensiering transformeres cosinus og sinus gjensidig til hverandre, og spørsmålet oppstår: hvordan utføre en endring av variabel og hva mener vi med sinus eller cosinus?! Spørsmålet kan løses ved vitenskapelig poking: hvis vi utfører erstatningen feil, vil det ikke komme noe godt ut av det.

En generell retningslinje: i lignende tilfeller må du angi funksjonen som er i nevneren.

Vi avbryter løsningen og gjør en erstatning

Alt er bra i nevneren, alt avhenger bare av , nå gjenstår det å finne ut hva det blir til.
For å gjøre dette finner vi differensialen:

Eller kort sagt:
Fra den resulterende likheten, ved å bruke proporsjonsregelen, uttrykker vi uttrykket vi trenger:

Så:

Nå er hele integranden vår bare avhengig av og vi kan fortsette å løse

Ferdig. La meg minne deg på at formålet med erstatningen er å forenkle integranden i dette tilfellet, alt kom ned til integrasjon strømfunksjon i henhold til tabellen.

Det er ingen tilfeldighet at jeg beskrev dette eksempelet så detaljert at dette ble gjort med det formål å gjenta og forsterke leksjonsmateriellet Variabel endringsmetode i ubestemt integral.

Og nå to eksempler for din egen løsning:

Eksempel 12

Finn det ubestemte integralet.

Eksempel 13

Finn det ubestemte integralet.

Fullfør løsninger og svar på slutten av leksjonen.

Eksempel 14

Finn det ubestemte integralet.

Også her, i integranden, er det sinus og cosinus (en funksjon med en derivert), men i et produkt, og det oppstår et dilemma - hva mener vi med sinus eller cosinus?

Du kan prøve å utføre en erstatning ved å bruke vitenskapelig poking, og hvis ingenting fungerer, utpek det som en annen funksjon, men det er:

Generell retningslinje: du må angi funksjonen som billedlig talt er i en "ubehagelig posisjon".

Vi ser at i dette eksempelet «lider» elevkosinus av graden, og sinusen sitter fritt, av seg selv.

Derfor, la oss gjøre en erstatning:

Hvis noen fortsatt har problemer med algoritmen for å erstatte en variabel og finne differensialen, bør du gå tilbake til leksjonen Variabel endringsmetode i ubestemt integral.

Eksempel 15

Finn det ubestemte integralet.

La oss analysere integranden, hva skal betegnes med?
La oss huske retningslinjene våre:
1) Funksjonen er mest sannsynlig i nevneren;
2) Funksjonen er i en "ubeleilig posisjon".

Forresten, disse retningslinjene gjelder ikke bare for trigonometriske funksjoner.

Sinusen passer til begge kriteriene (spesielt det andre), så en erstatning foreslår seg selv. I prinsippet kan utskiftingen allerede utføres, men først ville det være greit å finne ut hva man skal gjøre med? Først "kniper" vi av en cosinus:

Vi reserverer oss for vår "fremtidige" differensial

Og vi uttrykker det gjennom sinus ved å bruke den grunnleggende trigonometriske identiteten:

Nå her er erstatningen:

Generell regel: Hvis i integranden er en av de trigonometriske funksjonene (sinus eller cosinus) i merkelig grad, så må du "bite av" en funksjon fra den odde graden, og utpeke en annen funksjon bak den. Vi snakker kun om integraler der det er cosinus og sinus.

I det betraktede eksemplet hadde vi en cosinus med en oddetall potens, så vi plukket en cosinus fra potensen og utpekte den som en sinus.

Eksempel 16

Finn det ubestemte integralet.

Gradene tar av =).
Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Full løsning og svar på slutten av timen.

Universell trigonometrisk substitusjon

Universell trigonometrisk substitusjon er et vanlig tilfelle av den variable erstatningsmetoden. Du kan prøve å bruke den når du "ikke vet hva du skal gjøre." Men faktisk er det noen retningslinjer for bruken. Typiske integraler der den universelle trigonometriske substitusjonen må brukes, er følgende integraler: , , , osv.

Eksempel 17

Finn det ubestemte integralet.

Den universelle trigonometriske substitusjonen i dette tilfellet implementeres på følgende måte. La oss erstatte: . Jeg bruker ikke bokstaven , men bokstaven , dette er ikke en slags regel, det er bare at igjen, jeg er vant til å løse ting på denne måten.

Her er det mer praktisk å finne differensialet for dette, fra likhet, uttrykker jeg:
Jeg fester en arctangent til begge deler:

Arctangens og tangens opphever hverandre:

Slik:

I praksis trenger du ikke å beskrive det så detaljert, men bare bruk det ferdige resultatet:

! Uttrykket er bare gyldig hvis vi under sinus og cosinus bare har "X'er", for integralet (som vi skal snakke om senere) alt blir litt annerledes!

Ved utskifting blir sinus og cosinus til følgende brøker:
, , disse likhetene er basert på kjente trigonometriske formler: ,

Så det endelige designet kan se slik ut:

La oss utføre en universell trigonometrisk substitusjon:

Tabell over antiderivater ("integraler"). Tabell over integraler. Tabellformede ubestemte integraler. (De enkleste integralene og integralene med en parameter). Formler for integrering etter deler. Newton-Leibniz formel.

Tabell over antiderivater ("integraler").
Tabellformede ubestemte integraler.	Tabellformede ubestemte integraler.
(De enkleste integralene og integralene med en parameter).
	Integral av en kraftfunksjon.
Et integral som reduseres til integralet til en potensfunksjon hvis x drives under differensialtegnet.	Integral av en eksponential, der a er et konstant tall.
Integral av en kompleks eksponentiell funksjon.	Integral av en eksponentiell funksjon.
	Integral av en eksponentiell funksjon.
Et integral lik den naturlige logaritmen.	Integral: "Lang logaritme".
Et integral lik den naturlige logaritmen.
Integral: "Høy logaritme".	Et integral, der x i telleren er plassert under differensialtegnet (konstanten under tegnet kan enten adderes eller trekkes fra), er til syvende og sist lik et integral som er lik den naturlige logaritmen.
Cosinus integral.	Sinus integral.
Integral lik tangent.
Integral lik cotangens.	Integral lik både arcsine og arccosine
Et integral som er lik både arcsine og arccosine.	Et integral som er lik både arctangens og arccotangent.
Integral lik cosecant.	Integral lik sekant.
Integral lik cosecant.	Integral lik cosecant.
Integral lik lysbue.	Integral lik arccosecant.
Integral lik den hyperbolske sinus.	Integral lik hyperbolsk cosinus.
Integral lik hyperbolsk sinus, der sinhx er hyperbolsk sinus i den engelske versjonen.	Integral lik hyperbolsk cosinus, der sinhx er hyperbolsk sinus i den engelske versjonen.
Integral lik den hyperbolske tangenten.	Integral lik den hyperbolske cotangensen.

Integral lik den hyperbolske sekanten.

Formler for integrering etter deler. Newton-Leibniz-formel.
Integrering av et produkt (funksjon) med en konstant:
Integrering av summen av funksjoner:
ubestemte integraler:
Formel for integrering etter deler bestemte integraler:
Newton-Leibniz formel bestemte integraler:	Hvor F(a),F(b) er verdiene til antiderivatene på henholdsvis punktene b og a.

Tabell over derivater. Tabellformede derivater. Derivat av produktet. Avledet av kvotienten. Derivat av en kompleks funksjon.

Hvis x er en uavhengig variabel, da:

Tabell over derivater. Tabellderivater."tabellderivater" - ja, dessverre, det er akkurat slik de søkes etter på Internett
	Derivert av en potensfunksjon
	Derivert av eksponenten
Derivat av en kompleks eksponentiell funksjon	Derivert av eksponentiell funksjon
Derivert av en logaritmisk funksjon	Derivert av den naturlige logaritmen
	Derivert av den naturlige logaritmen til en funksjon
Derivert av sinus	Derivat av cosinus
Derivat av cosecant	Derivat av en sekant
Derivat av arcsine	Derivat av buekosinus
Derivat av arcsine	Derivat av buekosinus
Tangentderivat	Derivat av cotangens
Derivat av arctangens	Derivat av arc cotangens
Derivat av arctangens	Derivat av arc cotangens
Derivat av lysbue	Derivat av arccosecant
Derivat av lysbue	Derivat av arccosecant
Derivat av hyperbolsk sinus Derivat av hyperbolsk sinus i den engelske versjonen	Derivat av hyperbolsk cosinus Derivat av hyperbolsk cosinus i engelsk versjon
Derivat av hyperbolsk tangent	Derivat av hyperbolsk cotangens
Derivat av den hyperbolske sekanten	Derivat av den hyperbolske cosekanten

Regler for differensiering. Derivat av produktet. Avledet av kvotienten.
Derivat av en kompleks funksjon.
Derivert av et produkt (funksjon) med en konstant:
Derivert av sum (funksjoner):
Avledet av produkt (funksjoner):
Derivert av kvotienten (av funksjoner):

Derivert av en kompleks funksjon:

Egenskaper til logaritmer. Grunnleggende formler for logaritmer. Desimal (lg) og naturlige logaritmer (ln).
Grunnleggende logaritmisk identitet
La oss vise hvordan enhver funksjon av formen a b kan gjøres eksponentiell. Siden en funksjon av formen e x kalles eksponentiell, da

Enhver funksjon av formen a b kan representeres som en potens av ti

Naturlig logaritme ln (logaritme til grunntall e = 2,718281828459045...) ln(e)=1; ln(1)=0

Taylor-serien. Taylor-serien utvidelse av en funksjon. Det viser seg at flertallet matematiske funksjoner kan representeres med hvilken som helst nøyaktighet i nærheten av et bestemt punkt i form av potensrekker som inneholder potenser av en variabel i økende rekkefølge. For eksempel, i nærheten av punktet x=1:

Ved bruk av serier kalt Taylors rader blandede funksjoner som inneholder for eksempel algebraiske, trigonometriske og eksponentielle funksjoner kan uttrykkes som rene algebraiske funksjoner. Ved hjelp av serier kan du ofte raskt utføre differensiering og integrasjon.

Taylor-serien i nærheten av punkt a har formen:

1) , hvor f(x) er en funksjon som har deriverte av alle ordener ved x = a. R n - resten av leddet i Taylor-serien bestemmes av uttrykket

2)

Den k-te koeffisienten (ved x k) av serien bestemmes av formelen

3) Et spesielt tilfelle av Taylor-serien er Maclaurin (=McLaren)-serien (utvidelsen skjer rundt punktet a=0)

ved a=0

medlemmer av serien bestemmes av formelen

Vilkår for bruk av Taylor-serien.

1. For at funksjonen f(x) skal utvides til en Taylor-serie på intervallet (-R;R), er det nødvendig og tilstrekkelig at resten av leddet i Taylor (Maclaurin (=McLaren)) formel for dette funksjonen har en tendens til null som k →∞ på det spesifiserte intervallet (-R;R).

2. Det er nødvendig at det finnes deriverte for en gitt funksjon på punktet i nærheten av som vi skal konstruere Taylor-serien.

Egenskaper til Taylor-serien.

Hvis f er en analytisk funksjon, konvergerer dens Taylor-serie på et hvilket som helst punkt a i definisjonsdomenet til f til f i et eller annet nabolag til a.

Det er uendelig differensierbare funksjoner hvis Taylor-serie konvergerer, men som samtidig skiller seg fra funksjonen i et hvilket som helst nabolag til a. For eksempel:

Taylor-serier brukes i tilnærming (approksimasjon er en vitenskapelig metode som består i å erstatte noen objekter med andre, i en eller annen forstand nær de opprinnelige, men enklere) av en funksjon med polynomer. Spesielt linearisering ((fra lineær - lineær), en av metodene for omtrentlig representasjon av lukkede ikke-lineære systemer, der studiet av et ikke-lineært system erstattes av analysen av et lineært system, i en eller annen forstand tilsvarende det opprinnelige. .) ligninger oppstår ved å utvide til en Taylor-serie og kutte av alle ledd over første orden.

Dermed kan nesten enhver funksjon representeres som et polynom med en gitt nøyaktighet.

Eksempler på noen vanlige utvidelser av potensfunksjoner i Maclaurin-serien (=McLaren, Taylor i nærheten av punkt 0) og Taylor i nærheten av punkt 1. De første leddene for utvidelser av hovedfunksjonene i Taylor- og McLaren-serien.

Eksempler på noen vanlige utvidelser av potensfunksjoner i Maclaurin-serien (=McLaren, Taylor i nærheten av punkt 0)

Eksempler på noen vanlige utvidelser av Taylor-serien i nærheten av punkt 1

For å integrere rasjonelle funksjoner av formen R(sin x, cos x), brukes en substitusjon, som kalles den universelle trigonometriske substitusjonen. Så . Universell trigonometrisk substitusjon resulterer ofte i store beregninger. Derfor, når det er mulig, bruk følgende erstatninger.

Integrasjon av funksjoner rasjonelt avhengig av trigonometriske funksjoner

1. Integraler av formen ∫ sin n xdx , ∫ cos n xdx , n>0
a) Hvis n er oddetall, så skal en potens av sinx (eller cosx) legges inn under differensialens fortegn, og fra den gjenværende partalls potensen skal overføres til den motsatte funksjonen.
b) Hvis n er partall, så bruker vi formler for å redusere graden
2. Integraler av formen ∫ tg n xdx , ∫ ctg n xdx , der n er et heltall.
Formler må brukes

3. Integraler av formen ∫ sin n x cos m x dx
a) La m og n ha forskjellig paritet. Vi bruker substitusjonen t=sin x hvis n er oddetall eller t=cos x hvis m er oddetall.
b) Hvis m og n er jevne, så bruker vi formler for å redusere graden
2sin 2 x=1-cos2x , 2cos 2 x=1+cos2x .
4. Integraler av skjemaet
Hvis tallene m og n har samme paritet, bruker vi substitusjonen t=tg x. Det er ofte praktisk å bruke trigonometrisk enhetsteknikk.
5. ∫ sin(nx) cos(mx)dx , ∫ cos(mx) cos(nx)dx , ∫ sin(mx) sin(nx)dx

La oss bruke formlene for å konvertere produktet av trigonometriske funksjoner til summen deres:

• sin α cos β = ½(sin(α+β)+sin(α-β))
• cos α cos β = ½(cos(α+β)+cos(α-β))
• sin α sin β = ½(cos(α-β)-cos(α+β))

Eksempler
1. Regn ut integralet ∫ cos 4 x·sin 3 xdx .
Vi gjør erstatningen cos(x)=t. Da ∫ cos 4 x sin 3 xdx =
2. Regn ut integralet.
Gjør erstatningen sin x=t , får vi

3. Finn integralet.
Vi gjør erstatningen tg(x)=t . Bytter, får vi

Integrering av uttrykk av formen R(sinx, cosx)

Eksempel nr. 1. Beregn integraler:

Løsning.
a) Integrasjon av uttrykk på formen R(sinx, cosx), der R er en rasjonell funksjon av sin x og cos x, konverteres til integraler av rasjonelle funksjoner ved å bruke den universelle trigonometriske substitusjonen tg(x/2) = t.
Da har vi

En universell trigonometrisk substitusjon gjør det mulig å gå fra et integral av formen ∫ R(sinx, cosx) dx til et integral av en rasjonell brøkfunksjon, men ofte fører en slik substitusjon til tungvinte uttrykk. Under visse forhold er enklere erstatninger effektive:

• Hvis likheten R(-sin x, cos x) = -R(sin x, cos x)dx er tilfredsstilt, brukes substitusjonen cos x = t.
• Hvis likheten R(sin x, -cos x) = -R(sin x, cos x)dx gjelder, så er substitusjonen sin x = t.
• Hvis likheten R(-sin x, -cos x) = R(sin x, cos x)dx gjelder, så er substitusjonen tgx = t eller ctg x = t.

I dette tilfellet, for å finne integralet
la oss bruke den universelle trigonometriske substitusjonen tg(x/2) = t.
Så svar:

Eksempler på løsninger av integraler etter deler vurderes i detalj, hvis integrand er produktet av et polynom med en eksponentiell (e til x-potensen) eller med en sinus (sin x) eller en cosinus (cos x).

Innhold

Se også: Metode for integrering etter deler
Tabell over ubestemte integraler
Metoder for å beregne ubestemte integraler
Grunnleggende elementære funksjoner og deres egenskaper

Formel for integrering etter deler

Når du løser eksempler i denne delen, brukes formelen for integrering etter deler:
;
.

Eksempler på integraler som inneholder produktet av et polynom og sin x, cos x eller e x

Her er eksempler på slike integraler:
, , .

For å integrere slike integraler er polynomet betegnet med u, og den resterende delen med v dx.

Deretter bruker du formelen for integrering etter deler.

Nedenfor er en detaljert løsning på disse eksemplene.

Eksempler på løsning av integraler

Eksempel med eksponent, e i potensen av x
.

Bestem integralen:
La oss introdusere eksponenten under differensialtegnet:.

e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x)

La oss integrere med deler.
.
Her
.
.
.
Vi integrerer også den gjenværende integralen etter deler.
.

Endelig har vi:

Et eksempel på å definere et integral med sinus
.

Regn ut integralet:

e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x)

La oss introdusere sinus under differensialtegnet: her u = x 2, v = cos(2 x+3) ( , du = )′ x 2

dx


Vi integrerer også den gjenværende integralen etter deler. For å gjøre dette, introduser cosinus under differensialtegnet. her u = x, v = sin(2 x+3)

Vi integrerer også den gjenværende integralen etter deler.

, du = dx

Et eksempel på å definere et integral med sinus
.

Eksempel på produktet av et polynom og cosinus

e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x)

La oss introdusere cosinus under differensialtegnet: her u = x 2 + 3 x + 5 , v = cos(2 x+3) ( synd 2 x )′ x 2