Denne usikkerheten er "servert" sekund fantastisk grense , og i den andre delen av den leksjonen så vi i stor detalj på standardeksempler på løsninger som finnes i praksis i de fleste tilfeller. Nå vil bildet med eksponentene være fullført, i tillegg vil de siste oppgavene i leksjonen bli viet til "falske" grenser, der det SYNES som det er nødvendig å bruke den andre fantastiske grensen, selv om dette ikke er i det hele tatt sak.
Ulempen med de to arbeidsformlene for den andre bemerkelsesverdige grensen er at argumentet må ha en tendens til "pluss uendelig" eller til null. Men hva om argumentet har en tendens til et annet tall?
En universell formel kommer til unnsetning (som faktisk er en konsekvens av den andre bemerkelsesverdige grensen):
Usikkerhet kan elimineres ved å bruke formelen:
Et sted tror jeg at jeg allerede har forklart hva de firkantede parentesene betyr. Ikke noe spesielt, braketter er bare parentes. De brukes vanligvis til å fremheve matematisk notasjon tydeligere.
La oss fremheve de viktigste punktene i formelen:
1) Det handler om bare om sikkerhet og ingenting annet.
2) "x"-argumentet kan ha en tendens til vilkårlig verdi(og ikke bare til null eller), spesielt til "minus uendelig" eller til hvem som helst endelig antall.
Ved å bruke denne formelen kan du løse alle eksemplene i leksjonen. Fantastiske grenser, som hører til den 2. bemerkelsesverdige grensen. La oss for eksempel beregne grensen:
I dette tilfellet 
, og i henhold til formelen 
:
Riktignok anbefaler jeg ikke å gjøre dette; tradisjonen er fortsatt å bruke den "vanlige" utformingen av løsningen, hvis den kan brukes. Imidlertid ved å bruke formelen er det veldig praktisk å sjekke"klassiske" eksempler til den andre bemerkelsesverdige grensen.
Alt dette er bra og riktig, men nå er det flere interessante bilder i rammen:
Eksempel 18
Beregn grense 
I det første trinnet vil jeg ikke bli lei av å gjenta, vi erstatter verdien av "x" i uttrykket under grensetegnet. Hva om det ikke er noen usikkerhet i det hele tatt? Det skjer! Men ikke denne gangen. Ved å erstatte de "tre", kommer vi til den konklusjon at det er usikkerhet her
Vi bruker formelen
For ikke å dra bokstaven "e" rundt med deg og ikke gjøre den mindre, indikatoren 
Det er mer praktisk å beregne separat:
I dette tilfellet: 
Slik:
Fra beregningsteknologiens synspunkt er alt rutine: først reduserer vi det første leddet til en fellesnevner, deretter tar vi ut konstantene og gjennomfører reduksjoner, og blir kvitt 0:0-usikkerheten.
Som et resultat: 
Lovet gave med logaritmeforskjell og usikkerhet:
Eksempel 19
Beregn grense
Først den komplette løsningen, deretter kommentarer: 
(1)-(2) I de to første trinnene bruker vi formlene 
. U komplekse derivater vi "faller fra hverandre" logaritmer, men her må de tvert imot "settes sammen".
(3) Flytt grenseikonet under logaritmen. Dette kan gjøres fordi denne logaritmen kontinuerlig til "minus uendelig". I tillegg refererer grensen til "fyllingen" av logaritmen.
(4)-(5) Standardteknikk diskutert i den grunnleggende leksjonen om fantastiske grenser, transformerer vi usikkerheten til formen .
(6) Vi bruker formelen .
(7) Eksponentielle og logaritmiske funksjoner er gjensidige inverse funksjoner, så både "e" og logaritmen kan fjernes. Faktisk, i henhold til egenskapen til logaritmen: . Vi legger til minus før brøken til nevneren: 
(8) Ingen kommentarer =)
Typen grense som vurderes er ikke så sjelden jeg fant 30-40 eksempler.
Eksempel 20
Beregn grense 
Dette er et eksempel for uavhengig avgjørelse. I tillegg til å bruke formelen, kan du representere grensen som 
og ved utskifting redusere løsningen på saken 
.
Avslutningsvis, la oss se på de "falske" grensene.
La oss gå tilbake til usikkerheten. Denne usikkerheten ikke alltid kan reduseres til usikkerhet og bruke den andre bemerkelsesverdige grensen eller følgeformelen. Transformasjonen er gjennomførbar hvis teller og nevner av basen - tilsvarende uendelig store funksjoner. For eksempel: .
La oss ta en pause fra indikatoren og beregne grensen for basen: 
I den oppnådde grensen enhet, som betyr teller og nevner ikke bare av samme vekstorden, men også tilsvarende. I klassen Bemerkelsesverdige grenser. Eksempler på løsninger Vi reduserte enkelt dette eksempelet til usikkerhet og fikk svaret.
Du kan komme opp med mange lignende grenser:
osv.
Brøkdelene av disse eksemplene er forent av funksjonen ovenfor: . I andre tilfeller, hvis det er usikkerhet Den andre bemerkelsesverdige grensen er ikke aktuelt.
Eksempel 21
Finn grenser
Uansett hvor hardt du prøver, kan ikke usikkerhet forvandles til usikkerhet
Her er tellerne og nevnerne for basene samme vekstrekkefølge, men ikke ekvivalent: 
.
Dermed er den andre bemerkelsesverdige grensen og, spesielt formelen, KAN IKKE ANVENDES.
! Note: Må ikke forveksles med eksempel #18, der telleren og nevneren til grunntallet ikke er ekvivalente. Det er ferdig usikkerhet, men her snakker vi om usikkerhet.
Metoden for å løse "falske" grenser er enkel og tegn: du trenger en teller og en nevner begrunnelse del med "x" i høyeste grad (uavhengig av eksponent):
Hvis telleren og nevneren til basen er av ulik vekstrekkefølge, er løsningen nøyaktig den samme:
Eksempel 22
Finn grenser 
Dette er korte eksempler for selvstudier
Noen ganger det er kanskje ingen usikkerhet i det hele tatt:
Slike triks er spesielt elsket av kompilatorene til Kuznetsovs samling. Derfor er det veldig viktig å ALLTID sette "x" inn i uttrykket under grensetegnet i det første trinnet!
Eksempel 2
Major grad av teller: 2; høyeste grad av nevner: 3.
:
Eksempel 4
Del teller og nevner med :
Note
: den aller siste handlingen var å multiplisere telleren og nevneren med å kvitte seg med irrasjonalitet i nevneren.
Eksempel 6
Del teller og nevner med :
Eksempel 8
Del teller og nevner med :
Note
: sikt tendens til null saktere enn , Det er derfor er "hoved" null av nevneren.
.
Eksempel 22
Note
: uendelig liten funksjon
har en tendens til null saktere enn , så den "større" null av nevneren spiller en avgjørende rolle:
Den deriverte av funksjonen faller ikke langt, og når det gjelder L'Hopitals regler, faller den nøyaktig på samme sted der den opprinnelige funksjonen faller. Denne omstendigheten hjelper til med å avsløre usikkerheter av formen 0/0 eller ∞/∞ og noen andre usikkerheter som oppstår ved beregning begrense forholdet mellom to uendelig store eller uendelig store funksjoner. Beregningen er sterkt forenklet ved å bruke denne regelen (faktisk to regler og merknader til dem):
Som formelen ovenfor viser, når man beregner grensen for forholdet mellom to uendelig store eller uendelig store funksjoner, kan grensen for forholdet mellom to funksjoner erstattes med grensen for forholdet mellom deres derivater og dermed oppnå et visst resultat.
La oss gå videre til mer presise formuleringer av L'Hopitals regler.
L'Hopitals regel for tilfellet med grensen på to uendelig små mengder. La funksjonene f(x) Og g(x en. Og på selve punktet en en avledet av en funksjon g(x) er ikke null ( g"(x en er lik hverandre og lik null:
.
L'Hopitals regel for tilfellet med grensen på to uendelig store mengder. La funksjonene f(x) Og g(x) har derivater (det vil si differensierbare) i et eller annet område av punktet en. Og på selve punktet en de har kanskje ikke derivater. Dessuten i nærheten av punktet en avledet av en funksjon g(x) er ikke null ( g"(x)≠0) og grensene for disse funksjonene da x har en tendens til verdien av funksjonen i punktet en er lik hverandre og lik uendelig:
.
Da er grensen for forholdet mellom disse funksjonene lik grensen for forholdet mellom deres derivater:
Med andre ord, for usikkerheter av formen 0/0 eller ∞/∞, er grensen for forholdet mellom to funksjoner lik grensen for forholdet mellom deres deriverte, hvis sistnevnte eksisterer (endelig, det vil si lik en bestemt tall, eller uendelig, det vil si lik uendelig).
Notater.
1. L'Hopitals regler gjelder også når funksjonene f(x) Og g(x) er ikke definert når x = en.
2. Hvis, når du beregner grensen for forholdet mellom derivater av funksjoner f(x) Og g(x) kommer vi igjen til en usikkerhet på formen 0/0 eller ∞/∞, da bør L'Hôpitals regler brukes gjentatte ganger (minst to ganger).
3. L'Hopitals regler gjelder også når argumentet for funksjoner (x) ikke har en tendens til et endelig tall en, og til det uendelige ( x → ∞).
Usikkerheter av andre typer kan også reduseres til usikkerheter av typen 0/0 og ∞/∞.
Avsløring av usikkerheter av typene «null delt på null» og «uendelig delt på uendelig»
Eksempel 1.
x=2 fører til usikkerhet på formen 0/0. Derfor oppnås den deriverte av hver funksjon
Den deriverte av polynomet ble beregnet i telleren, og i nevneren - avledet av en kompleks logaritmisk funksjon. Før siste likhetstegnet, det vanlige begrense, erstatte en to i stedet for en X.
Eksempel 2. Beregn grensen for forholdet mellom to funksjoner ved å bruke L'Hopitals regel:
Løsning. Sette inn en verdi i en gitt funksjon x
Eksempel 3. Beregn grensen for forholdet mellom to funksjoner ved å bruke L'Hopitals regel:
Løsning. Sette inn en verdi i en gitt funksjon x=0 fører til usikkerhet på formen 0/0. Derfor beregner vi de deriverte av funksjonene i telleren og nevneren og får:
Eksempel 4. Kalkulere
Løsning. Å erstatte verdien x lik pluss uendelig i en gitt funksjon fører til en usikkerhet på formen ∞/∞. Derfor bruker vi L'Hopitals regel:
Kommentar. La oss gå videre til eksempler der L'Hopitals regel må brukes to ganger, det vil si for å komme til grensen for forholdet mellom de andre derivertene, siden grensen for forholdet til de første derivertene er en usikkerhet på formen 0 /0 eller ∞/∞.
Avdekke usikkerheter i formen "null ganger uendelig"
Eksempel 12. Kalkulere
.
Løsning. Vi får
Dette eksemplet bruker den trigonometriske identiteten.
Avsløring av usikkerheter av typene "null til null", "uendelig til null potens" og "en til uendelig potens"
Usikkerheter i formen, eller reduseres vanligvis til formen 0/0 eller ∞/∞ ved å ta logaritmen til en funksjon av formen
For å beregne grensen for et uttrykk, bør du bruke den logaritmiske identiteten, et spesialtilfelle som er egenskapen til logaritmen 
.
Ved å bruke den logaritmiske identiteten og egenskapen kontinuitet til en funksjon (for å passere grensetegnet), bør grensen beregnes som følger:
Separat bør du finne grensen for uttrykket i eksponenten og bygge e i funnet grad.
Eksempel 13.
Løsning. Vi får
.
.
Eksempel 14. Regn ut ved å bruke L'Hopitals regel
Løsning. Vi får
Beregn grensen for et uttrykk i eksponent
.
.
Eksempel 15. Regn ut ved å bruke L'Hopitals regel
I den forrige artikkelen snakket vi om hvordan man korrekt beregner grensene for elementære funksjoner. Hvis vi tar mer komplekse funksjoner, så vil vi ha uttrykk med en udefinert verdi i våre beregninger. De kalles usikkerheter.
Følgende hovedtyper av usikkerheter skilles ut:
- Del 0 med 0 0 0 ;
- Å dele en uendelighet med en annen ∞ ∞;
- uendelig hevet til null potens ∞ 0 .
0 hevet til null potens 0 0 ;
Vi har listet opp alle de viktigste usikkerhetsmomentene. Andre uttrykk kan få endelige eller uendelige verdier under andre forhold og kan derfor ikke betraktes som usikkerheter.
Avdekke usikkerheter
Usikkerhet kan løses ved å:
- Ved å forenkle formen til funksjonen (ved å bruke forkortede multiplikasjonsformler, trigonometriske formler, ytterligere multiplikasjon med konjugerte uttrykk og påfølgende reduksjon, etc.);
Ved hjelp av fantastiske grenser;
Ved å bruke L'Hopitals regel;
Ved å erstatte ett infinitesimalt uttrykk med dets ekvivalente uttrykk (som regel utføres denne handlingen ved å bruke en tabell med infinitesimale uttrykk).
All informasjon presentert ovenfor kan tydelig presenteres i form av en tabell. På venstre side viser den typen usikkerhet, til høyre - en passende metode for å avsløre den (finne grensen). Denne tabellen er veldig praktisk å bruke i beregninger knyttet til å finne grenser.
| Usikkerhet | Metode for avsløring av usikkerhet |
| 1. Del 0 med 0 | Transformasjon og påfølgende forenkling av et uttrykk. Hvis uttrykket er sin (k x) k x eller k x sin (k x), må du bruke den første bemerkelsesverdige grensen. Hvis denne løsningen ikke er egnet, bruker vi L'Hopitals regel eller en tabell med tilsvarende infinitesimale uttrykk |
| 2. Å dele uendelighet med uendelig | Forvandle og forenkle et uttrykk eller bruk L'Hopitals regel |
| 3. Multiplisere null med uendelig eller finne forskjellen mellom to uendeligheter | Konvertering til 0 0 eller ∞ ∞ etterfulgt av anvendelse av L'Hopitals regel |
| 4. Enhet til uendelighetens kraft | Bruker den andre store grensen |
| 5. Heve null eller uendelig til null potens | Å ta logaritmen til et uttrykk ved å bruke likheten lim x → x 0 ln (f (x)) = ln lim x → x 0 f (x) |
La oss se på et par problemer. Disse eksemplene er ganske enkle: i dem oppnås svaret umiddelbart etter å ha erstattet verdiene, og det er ingen usikkerhet.
Eksempel 1
Beregn grensen lim x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 .
Løsning
Vi utfører verdisubstitusjon og får svaret.
lim x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 = 1 3 + 3 1 - 1 1 5 + 3 = 3 4 = 3 2
Svare: lim x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 = 3 2 .
Eksempel 2
Beregn grensen lim x → 0 (x 2 + 2 , 5) 1 x 2 .
Løsning
Vi har en eksponentiell potensfunksjon, inn i basen må vi erstatte x = 0.
(x 2 + 2, 5) x = 0 = 0 2 + 2, 5 = 2, 5
Dette betyr at vi kan transformere grensen til følgende uttrykk:
lim x → 0 (x 2 + 2, 5) 1 x 2 = lim x → 0 2, 5 1 x 2
La oss nå se på indikatoren - strømfunksjonen 1 x 2 = x - 2. La oss se på tabellen over grenser for strømfunksjoner med en eksponent mindre enn null og vi får følgende: lim x → 0 + 0 1 x 2 = lim x → 0 + 0 x - 2 = + ∞ og lim x → 0 + 0 1 x 2 = lim x → 0 + 0 x - 2 = + ∞
Dermed kan vi skrive at lim x → 0 (x 2 + 2, 5) 1 x 2 = lim x → 0 2, 5 1 x 2 = 2, 5 + ∞.
Nå tar vi tabellen over grenser for eksponentielle funksjoner med baser større enn 0, og vi får:
lim x → 0 (x 2 + 2, 5) 1 x 2 = lim x → 0 2, 5 1 x 2 = 2, 5 + ∞ = + ∞
Svare: lim x → 0 (x 2 + 2 , 5) 1 x 2 = + ∞ .
Eksempel 3
Beregn grensen lim x → 1 x 2 - 1 x - 1.
Løsning
Vi utfører verdisubstitusjon.
lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 1 2 - 1 1 - 1 = 0 0
Det førte til at vi endte opp med usikkerhet. Bruk tabellen ovenfor for å velge en løsningsmetode. Det indikerer at du må forenkle uttrykket.
lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 0 0 = lim x → 1 (x - 1) (x + 1) x - 1 = = lim x → 1 (x - 1) (x + 1) · ( x + 1) x - 1 = lim x → 1 (x + 1) · x - 1 = = 1 + 1 · 1 - 1 = 2 · 0 = 0
Som vi kan se, har forenkling ført til avsløring av usikkerhet.
Svare: lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 0
Eksempel 4
Beregn grensen lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x .
Løsning
Vi erstatter verdien og får følgende oppføring.
lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = 3 - 3 12 - 3 - 6 + 3 = 0 9 - 9 = 0 0
Vi har kommet til behovet for å dele null med null, som er usikkerhet. La oss se på den nødvendige løsningsmetoden i tabellen - dette er forenkling og transformasjon av uttrykket. La oss i tillegg multiplisere telleren og nevneren med det konjugerte uttrykket 12 - x + 6 + x:
lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = 0 0 = lim x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x - 6 + x 12 - x + 6 + x
Nevneren multipliseres slik at du deretter kan bruke den forkortede multiplikasjonsformelen (kvadratforskjell) for å utføre reduksjonen.
lim x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x - 6 + x 12 - x + 6 + x = lim x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x 2 - 6 + x 2 = lim x → 3 (x - 3) 12 - x + 6 + x 12 - x - (6 + x) = = lim x → 3 (x - 3) 12 - x + 6 + x 6 - 2 x = lim x → 3 (x - 3) 12 - x + 6 + x - 2 (x - 3) = = lim x → 3 12 - x + 6 + x - 2 = 12 - 3 + 6 + 3 - 2 = 9 + 9 - 2 = - 9 = - 3
Som vi kan se, var vi som et resultat av disse handlingene i stand til å kvitte oss med usikkerhet.
Svare: lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = - 3 .
Det er viktig å merke seg at multiplikasjonsmetoden brukes veldig ofte når du løser problemer som dette, så vi anbefaler deg å huske nøyaktig hvordan dette gjøres.
Eksempel 5
Beregn grensen lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2.
Løsning
Vi utfører byttet.
lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 1 2 + 2 1 - 3 3 1 2 - 5 1 + 2 = 0 0
Det førte til at vi endte opp med usikkerhet. Den anbefalte måten å løse problemet på i dette tilfellet er å forenkle uttrykket. Siden ved verdien av x, lik en, blir telleren og nevneren til 0, så kan vi faktorisere dem og deretter redusere dem med x - 1, og da vil usikkerheten forsvinne.
Vi faktoriserer telleren:
x 2 + 2 x - 3 = 0 D = 2 2 - 4 1 (- 3) = 16 ⇒ x 1 = - 2 - 16 2 = - 3 x 2 = - 2 + 16 2 = 1 ⇒ x 2 + 2 x - 3 = x + 3 x - 1
Nå gjør vi det samme med nevneren:
3 x 2 - 5 x + 2 = 0 D = - 5 2 - 4 3 2 = 1 ⇒ x 1 = 5 - 1 2 3 = 2 3 x 2 = 5 + 1 2 3 = 1 ⇒ 3 x 2 - 5 x + 3 = 3 x - 2 3 x - 1
Vi har en grense på følgende form:
lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 0 0 = lim x → 1 x + 3 x - 1 3 x - 2 3 x - 1 = = lim x → 1 x + 3 3 x - 2 3 = 1 + 3 3 1 - 2 3 = 4
Som vi kan se, klarte vi under transformasjonen å kvitte oss med usikkerhet.
Svare: lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 4.
Deretter må vi vurdere tilfellene av grenser ved uendelig fra maktuttrykk. Hvis eksponentene til disse uttrykkene er større enn 0, vil grensen ved uendelig også være uendelig. I dette tilfellet er den største graden av primær betydning, og resten kan ignoreres.
For eksempel lim x → ∞ (x 4 + 2 x 3 - 6) = lim x → ∞ x 4 = ∞ eller lim x → ∞ x 4 + 4 x 3 + 21 x 2 - 11 5 = lim x → ∞ x 4 5 = ∞.
Hvis vi under grensetegnet har en brøk med potensuttrykk i teller og nevner, så har vi som x → ∞ en usikkerhet på formen ∞ ∞. For å bli kvitt denne usikkerheten må vi dele telleren og nevneren til brøken med x m a x (m, n). La oss gi et eksempel på å løse et slikt problem.
Eksempel 6
Beregn grensen lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12.
Løsning
lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = ∞ ∞
Potensene til telleren og nevneren er lik 7. Del dem på x 7 og få:
lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 x 7 3 x 7 + 12 x 7 = = lim x → ∞ 1 + 2 x 2 - 4 x 7 3 + 12 x 7 = 1 + 2 ∞ 2 - 4 ∞ 7 3 + 12 ∞ 7 = 1 + 0 - 0 3 + 0 = 1 3
Svare: lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = 1 3 .
Eksempel 7
Beregn grensen lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1.
Løsning
lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ ∞
Telleren har potensen 8 3 og nevneren har potensen 2. La oss dele telleren og nevneren med x 8 3:
lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ ∞ = lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 8 3 x 2 + x + 1 x 8 3 = = lim x → ∞ 1 + 11 x 8 3 1 x 2 3 + 1 x 5 3 + 1 x 8 3 = 1 + 11 ∞ 3 1 ∞ + 1 ∞ + 1 ∞ = 1 + 0 3 0 + 0 + 0 = 1 0 = ∞
Svare: lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ .
Eksempel 8
Beregn grensen lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 .
Løsning
lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = ∞ ∞
Vi har en teller i potensen 3 og en nevner i potensen 10 3 . Dette betyr at vi må dele telleren og nevneren med x 10 3:
lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = ∞ ∞ = lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 3 x 10 + 56 x 7 + 12 3 x 10 3 = = lim x → ∞ 1 x 1 3 + 2 x 4 3 - 1 x 10 3 1 + 56 x 3 + 12 x 10 3 = 1 ∞ + 2 ∞ - 1 ∞ 1 + 56 ∞ + 12 = ∞ 0 + 0 - 0 1 + 0 + 0 3 = 0
Svare: lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = 0.
Konklusjoner
Når det gjelder en forholdsgrense, er det tre hovedalternativer:
Hvis graden av telleren er lik graden av nevneren, vil grensen være lik forholdet mellom koeffisientene til de høyere potensene.
Hvis graden av telleren er større enn graden av nevneren, vil grensen være lik uendelig.
Hvis graden av telleren er mindre enn graden av nevneren, vil grensen være null.
Vi vil diskutere andre metoder for å avsløre usikkerheter i egne artikler.
Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter
LEKSJON 20
20.1 AVSLØRING AV ARTUSIKKERHET
Eksempel 1
Løs grensen 
La oss først prøve å erstatte -1 i brøken: 
I dette tilfellet oppnås den såkalte usikkerheten.
Generell regel: hvis telleren og nevneren inneholder polynomer, og det er usikkerhet i formen, så for å avsløre det du må faktorisere telleren og nevneren.
For å gjøre dette må du oftest løse en andregradsligning og/eller bruke forkortede multiplikasjonsformler.
La oss faktorisere telleren. 
Eksempel 2
Beregn grense 
La oss faktorisere telleren og nevneren.
Teller: Nevner: 
,
Metode for å multiplisere telleren og nevneren med det konjugerte uttrykket
Vi fortsetter å vurdere usikkerheten til skjemaet
Den neste typen grenser er lik den forrige typen. Det eneste, i tillegg til polynomer, vil vi legge til røtter.
Eksempel 3
Finn grensen 
Multipliser telleren og nevneren med det konjugerte uttrykket.
20.2 AVSLØRING AV ARTUSIKKERHET
Nå skal vi vurdere gruppen av grenser når , og funksjonen er en brøk hvis teller og nevner inneholder polynomer
Eksempel 4
Beregn grense 
I henhold til vår regel vil vi prøve å erstatte uendelig i funksjonen. Hva får vi på toppen? Uendelighet. Og hva skjer nedenfor? Også uendelig. Dermed har vi det som kalles artsusikkerhet. Man kan tro at svaret er klart, men i det generelle tilfellet er dette ikke i det hele tatt, og det er nødvendig å bruke en eller annen løsningsteknikk, som vi nå skal vurdere.
Hvordan løser man grenser av denne typen?
Først ser vi på telleren og finner den høyeste potensen: 
Den ledende potensen i telleren er to.
Nå ser vi på nevneren og finner den også i høyeste makt: 
Den høyeste graden av nevneren er to.
Deretter velger vi den høyeste potensen av telleren og nevneren: i dette eksemplet er de like og lik to.
Så løsningsmetoden er som følger: å avsløre usikkerhetdu må dele teller og nevner medi seniorgraden.
Del teller og nevner med 
Her er det, svaret, og ikke uendelig i det hele tatt.
Hva er grunnleggende viktig i utformingen av en beslutning?
Først angir vi usikkerhet, hvis noen.
For det andre er det tilrådelig å avbryte løsningen for mellomliggende forklaringer. Jeg bruker vanligvis tegnet, det har ikke noen matematisk betydning, men betyr at løsningen avbrytes for en mellomforklaring.
For det tredje, i grensen er det tilrådelig å merke hva som skal hvor. Når arbeidet er tegnet opp for hånd, er det mer praktisk å gjøre det på denne måten: 
Det er bedre å bruke en enkel blyant for notater.
Selvfølgelig trenger du ikke gjøre noe av dette, men da vil kanskje læreren påpeke mangler i løsningen eller begynne å stille flere spørsmål om oppgaven. Trenger du det?
Eksempel 5
Finn grensen 
Igjen i telleren og nevneren finner vi i høyeste grad: 
Maksimal grad i telleren: 3 Maksimal grad i nevneren: 4 Velg størst verdi, i dette tilfellet fire. I henhold til vår algoritme, for å avsløre usikkerhet, deler vi telleren og nevneren med. Hele oppgaven kan se slik ut:
Eksempel 6
Finn grensen 
Maksimal grad av "X" i telleren: 2 Maksimal grad av "X" i nevneren: 1 (kan skrives som) For å avdekke usikkerhet er det nødvendig å dele teller og nevner med. Den endelige løsningen kan se slik ut:
Del teller og nevner med
Notasjon betyr ikke divisjon med null (du kan ikke dele med null), men divisjon med et uendelig tall.
Dermed kan vi, ved å avdekke artsusikkerhet, være i stand til det endelig nummer, null eller uendelig.
PRAKTIKK 20
OPPGAVE N 1
Løsning: Hvis vi i stedet for variabelen setter verdien 7 som den har en tendens til, får vi en usikkerhet på formen 
OPPGAVE N 2Emne: Avsløring av usikkerhet av typen "null til null".
Løsning: Hvis vi i stedet for en variabel setter verdien 0 som den har en tendens til, får vi en usikkerhet på formen
OPPGAVE N 3Emne: Avsløring av usikkerhet av typen "null til null".
Løsning: Hvis vi i stedet for variabelen setter verdien 6 som den har en tendens til, får vi usikkerhet på formen
OPPGAVE N 4
Løsning: Fordi 
Og 
OPPGAVE N 5Emne: Avsløring av usikkerhet av formen "uendelig til uendelig"
Løsning: Fordi 
Og 
så er det usikkerhet i formen For å avsløre det, må du dele hvert ledd i telleren og nevneren med. Så vet vi hva vi får: 
UAVHENGIG ARBEID 20
OPPGAVE N 1Emne: Avsløring av usikkerhet av typen "null til null".
OPPGAVE N 2Emne: Avsløring av usikkerhet av typen "null til null".
OPPGAVE N 3Emne: Avsløring av usikkerhet av typen "null til null".
OPPGAVE N 4Emne: Avsløring av usikkerhet av formen "uendelig til uendelig"
OPPGAVE N 5Emne: Avsløring av usikkerhet av formen "uendelig til uendelig" Funksjonsgrense 
lik...
OPPGAVE N 6Emne: Avsløring av usikkerhet av formen "uendelig til uendelig"
Grenser gir alle matematikkstudenter mye trøbbel. For å løse en grense må du noen ganger bruke mange triks og velge fra en rekke løsningsmetoder akkurat den som passer for et bestemt eksempel.
I denne artikkelen vil vi ikke hjelpe deg med å forstå grensene for dine evner eller forstå grensene for kontroll, men vi vil prøve å svare på spørsmålet: hvordan forstå grensene i høyere matematikk? Forståelse følger med erfaring, så samtidig vil vi gi flere detaljerte eksempler på løsning av grenser med forklaringer.
Begrepet grense i matematikk
Det første spørsmålet er: hva er denne grensen og grensen for hva? Vi kan snakke om grensene for numeriske sekvenser og funksjoner. Vi er interessert i konseptet med grensen til en funksjon, siden det er dette elevene oftest møter. Men først, den mest generelle definisjonen av en grense:
La oss si at det er en variabel verdi. Hvis denne verdien i endringsprosessen ubegrenset nærmer seg et visst antall en , Det en – grensen for denne verdien.
For en funksjon definert i et bestemt intervall f(x)=y et slikt tall kalles en grense EN , som funksjonen har en tendens til når X , tendens til et visst punkt EN . Prikk EN tilhører intervallet som funksjonen er definert på.
Det høres tungvint ut, men det er skrevet veldig enkelt:
Lim- fra engelsk begrense- grense.
Det er også en geometrisk forklaring for å bestemme grensen, men her skal vi ikke fordype oss i teorien, siden vi er mer interessert i den praktiske enn den teoretiske siden av problemstillingen. Når vi sier det X har en tendens til en eller annen verdi, betyr dette at variabelen ikke tar på seg verdien av et tall, men nærmer seg det uendelig nært.
La oss gi et konkret eksempel. Oppgaven er å finne grensen.
For å løse dette eksemplet erstatter vi verdien x=3 inn i en funksjon. Vi får:
Forresten, hvis du er interessert i grunnleggende operasjoner på matriser, les en egen artikkel om dette emnet.
I eksempler X kan ha en hvilken som helst verdi. Det kan være et hvilket som helst tall eller uendelig. Her er et eksempel når X har en tendens til det uendelige:
Intuitivt, jo større tall i nevneren, jo mindre verdi vil funksjonen ha. Så, med ubegrenset vekst X betydning 1/x vil avta og nærme seg null.
Som du kan se, for å løse grensen, trenger du bare å erstatte verdien du skal strebe etter i funksjonen X . Dette er imidlertid det enkleste tilfellet. Ofte er det ikke så åpenbart å finne grensen. Innenfor rammene er det usikkerheter av typen 0/0 eller uendelig/uendelig . Hva skal man gjøre i slike tilfeller? Ty til triks!
Usikkerhet innenfor
Usikkerhet av formen uendelig/uendelig
La det være en grense:
Hvis vi prøver å erstatte uendelig i funksjonen, vil vi få uendelig i både teller og nevner. Generelt er det verdt å si at det er et visst element av kunst i å løse slike usikkerheter: du må legge merke til hvordan du kan transformere funksjonen på en slik måte at usikkerheten forsvinner. I vårt tilfelle deler vi teller og nevner med X i seniorgraden. Hva vil skje?
Fra eksemplet som allerede er diskutert ovenfor, vet vi at ledd som inneholder x i nevneren vil ha en tendens til null. Da er løsningen til grensen:
For å løse typeusikkerheter uendelig/uendelig del teller og nevner med X i høyeste grad.
Forresten! For våre lesere er det nå 10% rabatt på alle typer arbeid
En annen type usikkerhet: 0/0
Som alltid, erstatte verdier i funksjonen x=-1 gir 0 i teller og nevner. Se litt nærmere og du vil legge merke til at vi har en andregradsligning i telleren. La oss finne røttene og skrive:
La oss redusere og få:
Så hvis du står overfor type usikkerhet 0/0 – faktor telleren og nevneren.
For å gjøre det lettere for deg å løse eksempler presenterer vi en tabell med grensene for noen funksjoner:
L'Hopitals styre innenfor
En annen kraftig måte, noe som gjør det mulig å eliminere usikkerhet av begge typer. Hva er essensen av metoden?
Hvis det er usikkerhet i grensen, ta den deriverte av telleren og nevneren til usikkerheten forsvinner.
L'Hopitals regel ser slik ut:
Viktig poeng : grensen der de deriverte av telleren og nevneren står i stedet for telleren og nevneren må eksistere.
Og nå - et ekte eksempel:
Det er typisk usikkerhet 0/0 . La oss ta de deriverte av telleren og nevneren:
Voila, usikkerhet løses raskt og elegant.
Vi håper at du vil være i stand til å bruke denne informasjonen nyttig i praksis og finne svaret på spørsmålet "hvordan løse grenser i høyere matematikk." Hvis du trenger å beregne grensen for en sekvens eller grensen for en funksjon på et punkt, men det er absolutt ikke tid til dette arbeidet, kontakt en profesjonell studenttjeneste for en rask og detaljert løsning.
