Hvordan beregne arealet til et sirkelsegment. Hvordan beregne arealet av et segment og arealet til et segment av en kule. Gitt diameteren D og høyden til segmentet H

Sirkelen, dens deler, deres størrelser og forhold er ting som en gullsmed stadig møter. Ringer, armbånd, kaster, rør, kuler, spiraler – det skal lages mange runde ting. Hvordan kan du beregne alt dette, spesielt hvis du var så heldig å hoppe over geometritimer på skolen?

La oss først se på hvilke deler en sirkel har og hva de kalles.

En sirkel er en linje som omslutter en sirkel.
En bue er en del av en sirkel.
Radius er et segment som forbinder midten av en sirkel med et hvilket som helst punkt på sirkelen.
En akkord er et segment som forbinder to punkter på en sirkel.
Et segment er en del av en sirkel avgrenset av en akkord og en bue.
En sektor er en del av en sirkel avgrenset av to radier og en bue.

Mengdene vi er interessert i og deres betegnelser:

La oss nå se hvilke problemer knyttet til deler av en sirkel som må løses.

Finn lengden på utviklingen av en hvilken som helst del av ringen (armbånd). Gitt diameteren og korden (alternativ: diameter og midtvinkel), finn lengden på buen.
Det er en tegning på et plan, du må finne ut størrelsen i projeksjon etter å ha bøyd den til en bue. Gitt buelengden og diameteren, finn akkordlengden.
Finn ut høyden på delen oppnådd ved å bøye et flatt arbeidsstykke til en bue. Kildedataalternativer: buelengde og diameter, buelengde og korde; finn høyden på segmentet.

Livet vil gi deg andre eksempler, men jeg ga disse bare for å vise behovet for å sette noen to parametere for å finne alle de andre. Dette er hva vi skal gjøre. Vi vil nemlig ta fem parametere for segmentet: D, L, X, φ og H. Deretter, ved å velge alle mulige par fra dem, vil vi vurdere dem som innledende data og finne resten ved brainstorming.

For ikke å belaste leseren unødig, vil jeg ikke gi detaljerte løsninger, men presentere kun resultatene i form av formler (de tilfellene der det ikke finnes noen formell løsning, vil jeg diskutere underveis).

Og en merknad til: om måleenheter. Alle mengder unntatt sentral vinkel, måles i de samme abstrakte enhetene. Dette betyr at hvis du for eksempel spesifiserer en verdi i millimeter, trenger ikke den andre å spesifiseres i centimeter, og de resulterende verdiene vil bli målt i samme millimeter (og arealer i kvadratmillimeter). Det samme kan sies om tommer, fot og nautiske mil.

Og bare sentralvinkelen i alle tilfeller måles i grader og ingenting annet. For som en tommelfingerregel pleier ikke folk som designer noe rundt å måle vinkler i radianer. Uttrykket "vinkel pi med fire" forvirrer mange, mens "vinkel førtifem grader" er forståelig for alle, siden den bare er fem grader høyere enn normalt. Imidlertid vil det i alle formler være en vinkel til - α - til stede som en mellomverdi. I betydning er dette halve sentralvinkelen, målt i radianer, men du kan trygt ikke fordype deg i denne betydningen.

1. Gitt diameteren D og buelengden L

; akkord lengde ;
segmenthøyde ; sentral vinkel .

2. Gitt diameter D og kordelengde X

; buelengde ;
segmenthøyde ; sentral vinkel .

Siden akkorden deler sirkelen i to segmenter, har dette problemet ikke én, men to løsninger. For å få den andre, må du erstatte vinkelen α i formlene ovenfor med vinkelen .

3. Gitt diameteren D og midtvinkelen φ

; buelengde ;
akkord lengde ; segmenthøyde .

4. Gitt diameteren D og høyden til segmentet H

; buelengde ;
akkord lengde ; sentral vinkel .

6. Gitt buelengde L og midtvinkel φ

; diameter ;
akkord lengde ; segmenthøyde .

8. Gitt kordelengden X og sentralvinkelen φ

; buelengde ;
diameter ; segmenthøyde .

9. Gitt lengden på akkorden X og høyden på segmentet H

; buelengde ;
diameter ; sentral vinkel .

10. Gitt den sentrale vinkelen φ og høyden til segmentet H

; diameter ;
buelengde ; akkord lengde .

Den oppmerksomme leseren kunne ikke unngå å legge merke til at jeg gikk glipp av to alternativer:

5. Gitt buelengde L og kordelengde X

7. Gitt lengden på buen L og høyden på segmentet H

Dette er bare de to ubehagelige tilfellene når problemet ikke har en løsning som kan skrives i form av en formel. Og oppgaven er ikke så sjelden. For eksempel har du et flatt stykke med lengde L, og du vil bøye det slik at lengden blir X (eller høyden blir H). Hvilken diameter skal jeg ta doren (tverrstangen)?

Dette problemet kommer ned til å løse ligningene:
; - i alternativ 5
; - i alternativ 7
og selv om de ikke kan løses analytisk, kan de enkelt løses programmatisk. Og jeg vet til og med hvor jeg kan få tak i et slikt program: på denne siden, under navnet . Alt jeg forteller deg her i lengden, gjør hun på mikrosekunder.

For å fullføre bildet, la oss legge til resultatene av våre beregninger omkretsen og tre områdeverdier - sirkel, sektor og segment. (Områder vil hjelpe oss mye når vi beregner massen til alle runde og halvsirkelformede deler, men mer om dette i en egen artikkel.) Alle disse mengdene er beregnet ved hjelp av de samme formlene:

omkrets;
området av en sirkel ;
sektorområde ;
segmentområde ;

Og avslutningsvis, la meg minne deg nok en gang om eksistensen av absolutt gratis program, som utfører alle beregningene ovenfor, og frigjør deg fra å måtte huske hva en arctangens er og hvor du skal lete etter den.

Den matematiske verdien av areal har vært kjent siden tiden antikkens Hellas. Selv i disse fjerne tider fant grekerne ut at et område er en sammenhengende del av en overflate, som er begrenset på alle sider av en lukket kontur. Dette er en numerisk verdi som måles i kvadratenheter. Arealet er en numerisk karakteristikk av både flate geometriske figurer (planimetriske) og overflatene til kropper i rommet (volumetrisk).

Foreløpig finnes det ikke bare i skolens læreplan i geometri- og matematikktimer, men også i astronomi, hverdagsliv, konstruksjon, designutvikling, produksjon og mange andre menneskelige fag. Svært ofte tyr vi til å beregne arealene til segmentene ved hjelp av personlig tomt ved utforming av et landskapsområde eller under renoveringsarbeid av ultramoderne romdesign. Derfor vil kunnskap om metoder for å beregne ulike arealer være nyttig alltid og overalt.

For å beregne arealet til et sirkulært segment og et kulesegment, må du forstå de geometriske termene som vil være nødvendig under beregningsprosessen.

Først av alt er et segment av en sirkel et fragment av en flat figur av en sirkel, som ligger mellom sirkelbuen og akkorden som skjærer den av. Dette konseptet må ikke forveksles med sektortallet. Dette er helt andre ting.

En akkord er et segment som forbinder to punkter som ligger på en sirkel.

Den sentrale vinkelen er dannet mellom to segmenter - radier. Den måles i grader ved buen den hviler på.

Et segment av en kule dannes når en del er avskåret av et plan. I dette tilfellet er bunnen av det kuleformede segmentet en sirkel, og høyden er vinkelrett som kommer fra sentrum av sirkelen til skjæringspunktet med overflaten. av sfæren. Dette skjæringspunktet kalles toppunktet til kulesegmentet.

For å bestemme arealet til et kulesegment, må du kjenne avskjæringssirkelen og høyden på det kuleformede segmentet. Produktet av disse to komponentene vil være arealet av kulesegmentet: S=2πRh, der h er høyden på segmentet, 2πR er omkretsen, og R er radiusen til storsirkelen.

For å beregne arealet til et sirkelsegment, kan du ty til følgende formler:

1. For å finne arealet til et segment mest mulig på en enkel måte, er det nødvendig å beregne forskjellen mellom arealet av sektoren der segmentet er innskrevet, og hvis base er akkorden til segmentet: S1=S2-S3, hvor S1 er området til segmentet, S2 er arealet av sektoren og S3 er arealet av trekanten.

Du kan bruke en omtrentlig formel for å beregne arealet til et sirkulært segment: S=2/3*(a*h), der a er trekantens basis eller h er høyden til segmentet, som er resultatet av forskjellen mellom radiusen til sirkelen og

2. Arealet til et segment som er forskjellig fra en halvsirkel, beregnes som følger: S = (π R2:360)*α ± S3, hvor π R2 er arealet av sirkelen, α er gradmålet til sentralvinkelen, som inneholder sirkelbuen til sirkelsegmentet, S3 er arealet av trekanten som ble dannet mellom de to radiene til sirkelen og korden, som har en vinkel i det sentrale punktet av sirkelen og to toppunkter i kontaktpunktene til radiene med sirkelen.

Hvis vinkel α< 180 градусов, используется знак минус, если α >180 grader, plusstegn påført.

3. Du kan beregne arealet til et segment ved å bruke andre metoder ved hjelp av trigonometri. Som regel legges en trekant til grunn. Hvis sentralvinkelen måles i grader, er følgende formel akseptabel: S= R2 * (π*(α/180) - sin α)/2, hvor R2 er kvadratet av sirkelens radius, α er gradsmål av midtvinkelen.

4. For å beregne arealet til et segment ved hjelp av trigonometriske funksjoner, kan du bruke en annen formel, forutsatt at midtvinkelen måles i radianer: S= R2 * (α - sin α)/2, der R2 er kvadratet av sirkelens radius, α er gradmålet til det sentrale vinkel.

Definere et sirkelsegment

Segment- Dette geometrisk figur, som oppnås ved å kutte av en del av sirkelen med en akkord.

Online kalkulator

Denne figuren er plassert mellom akkorden og sirkelbuen.

Akkord

Dette er et segment som ligger inne i en sirkel og forbinder to vilkårlig valgte punkter på den.

Når du skjærer av en del av en sirkel med en akkord, kan du vurdere to figurer: dette er vårt segment og en likebenet trekant, hvis sider er radiene til sirkelen.

Arealet til et segment kan bli funnet som forskjellen mellom arealene til en sektor av en sirkel og denne likebenede trekanten.

Arealet til et segment kan finnes på flere måter. La oss se på dem mer detaljert.

Formel for arealet av et sirkelsegment ved å bruke radiusen og buelengden til sirkelen, høyden og bunnen av trekanten

S = 1 2 ⋅ R ⋅ s − 1 2 ⋅ h ⋅ a S=\frac(1)(2)\cdot R\cdot s-\frac(1)(2)\cdot h\cdot aS=2 1 ⋅ R⋅s -2 1 ⋅ h⋅en

R R R- radius av sirkelen;
s s s- buelengde;
h h h- høyden på en likebenet trekant;
a a en- lengden på bunnen av denne trekanten.

Eksempel

Gitt en sirkel er radiusen numerisk lik 5 (cm), høyden, som er trukket til bunnen av trekanten, er lik 2 (cm), lengden på buen er 10 (cm). Finn arealet til et sirkelsegment.

Løsning

R=5 R=5 R=5
h = 2 h = 2 h =2
s = 10 s = 10 s =1 0

For å beregne arealet trenger vi bare bunnen av trekanten. La oss finne det ved å bruke formelen:

A = 2 ⋅ h ⋅ (2 ⋅ R − h) = 2 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5 − 2) = 8 a=2\cdot\sqrt(h\cdot(2\cdot R-h))=2\cdot\ sqrt(2\cdot(2\cdot 5-2))=8a =2 ⋅ h ⋅ (2 ⋅ R − h ) = 2 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5 − 2 ) = 8

Nå kan du beregne arealet av segmentet:

S = 1 2 ⋅ R ⋅ s − 1 2 ⋅ h ⋅ a = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 10 − 1 2 ⋅ 2 ⋅ 8 = 17 S=\frac(1)(2)\cdot R\fracdot s-\ (1)(2)\cdot h\cdot a=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 10-\frac(1)(2)\cdot 2\cdot 8=17S=2 1 ⋅ R⋅s -2 1 ⋅ h⋅a =2 1 ⋅ 5 ⋅ 1 0 − 2 1 ⋅ 2 ⋅ 8 = 1 7 (se kvm.)

Svare: 17 cm kvm.

Formel for arealet av et sirkelsegment gitt radiusen til sirkelen og den sentrale vinkelen

S = R 2 2 ⋅ (α − sin ⁡ (α)) S=\frac(R^2)(2)\cdot(\alpha-\sin(\alpha))S=2 R 2 ⋅ (α − synd(α))

R R R- radius av sirkelen;
α\alfa α - den sentrale vinkelen mellom to radier som underspenner akkorden, målt i radianer.

Eksempel

Finn arealet til et sirkelsegment hvis radiusen til sirkelen er 7 (cm) og midtvinkelen er 30 grader.

Løsning

R=7 R=7 R=7
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

La oss først konvertere vinkelen i grader til radianer. Fordi π\pi π En radian er lik 180 grader, da:
3 0 ∘ = 3 0 ∘ ⋅ π 18 0 ∘ = π 6 30^(\circ)=30^(\circ)\cdot\frac(\pi)(180^(\circ))=\frac(\pi )(6)3 0 ∘ = 3 0 ∘ ⋅ 1 8 0 ∘ π = 6 π radian. Da er området til segmentet:

S = R 2 2 ⋅ (α − sin ⁡ (α)) = 49 2 ⋅ (π 6 − sin ⁡ (π 6)) ≈ 0,57 S=\frac(R^2)(2)\cdot(\alpha- \sin(\alpha))=\frac(49)(2)\cdot\Big(\frac(\pi)(6)-\sin\Big(\frac(\pi)(6)\Big)\Big )\ca.0,57S=2 R 2 ⋅ (α − sin(α)) =2 4 9 ⋅ ( 6 π − synd ( 6 π ) ) ≈ 0 . 5 7 (se kvm.)

Svare: 0,57 cm sq.

01.10.2018
Basert på NodeMcu v3 wi-fi-modulen med en ESP8266 (ESP-12e)-brikke, kan du lage (for eksempel) et termometer på en 18B20 digital sensor temperaturinformasjon vil bli sendt til MySQL-databasen ved hjelp av en GET-forespørsel. Følgende skisse lar deg sende GET-forespørsler til en spesifisert side, i mitt tilfelle er det test.php. #inkludere #inkludere …
22.09.2014
Automatisk stasjonær dimmer styrt av fotomotstand R7, designet for drift under tøffe forhold med kaldt og moderat kaldt klima ved temperaturer miljø fra -25 til +45 °C, relativ luftfuktighet opptil 85 % ved en temperatur på +20 °C og atmosfærisk trykk innenfor 200...900 mm Hg. En dimmer brukes til å regulere belysningen til en person...
25.09.2014
For å unngå skade på ledningene under reparasjonsarbeid, er det nødvendig å bruke en deteksjonsenhet skjulte ledninger. Enheten oppdager ikke bare plasseringen av skjulte ledninger, men også plasseringen av skade på skjulte ledninger. Enheten er en lydfrekvensforsterker i det første trinnet, en felteffekttransistor brukes til å øke inngangsmotstanden. I andre trinn av op-amp. Sensor -...
03.10.2014
Den foreslåtte enheten stabiliserer spenning opp til 24V og strøm opp til 2A med kortslutningsbeskyttelse. Ved ustabil oppstart av stabilisatoren, bør synkronisering fra en autonom pulsgenerator brukes (fig. 2. Stabilisatorkretsen er vist i fig. 1. En Schmitt-trigger er satt sammen på VT1 VT2, som styrer en kraftig reguleringstransistor VT3. Detaljer: VT3 er utstyrt med kjøleribbe...

Arealet til et sirkulært segment er lik forskjellen mellom arealet til den tilsvarende sirkulære sektoren og arealet av trekanten dannet av radiene til sektoren som tilsvarer segmentet og korden som begrenser segmentet.

Eksempel 1

Lengden på akkorden som dekker sirkelen er lik verdien a. Gradmålet på buen som tilsvarer akkorden er 60°. Finn arealet av det sirkulære segmentet.

Løsning

En trekant dannet av to radier og en korde er likebenet, så høyden trukket fra toppunktet til den sentrale vinkelen til siden av trekanten som dannes av korden vil også være halveringslinjen til den sentrale vinkelen, og dele den i to, og median, deler akkorden i to. Når vi vet at sinusen til vinkelen er lik forholdet mellom det motsatte benet og hypotenusen, kan vi beregne radiusen:

Sin 30° = a/2:R = 1/2;

Sc = πR²/360°*60° = πa²/6

S▲=1/2*ah, hvor h er høyden trukket fra toppunktet til den sentrale vinkelen til korden. I følge Pythagoras teorem h=√(R²-a²/4)= √3*a/2.

Følgelig er S▲=√3/4*a².

Arealet av segmentet, beregnet som Sreg = Sc - S▲, er lik:

Sreg = πa²/6 - √3/4*a²

Ved å erstatte en numerisk verdi med verdien av a, kan du enkelt beregne den numeriske verdien av segmentområdet.

Eksempel 2

Sirkelens radius er lik a. Gradmålet til buen som tilsvarer segmentet er 60°. Finn arealet av det sirkulære segmentet.

Løsning:

Arealet av sektoren som tilsvarer en gitt vinkel kan beregnes ved å bruke følgende formel:

Sc = πa²/360°*60° = πa²/6,

Arealet av trekanten som tilsvarer sektoren, beregnes som følger:

S▲=1/2*ah, der h er høyden trukket fra toppunktet til den sentrale vinkelen til korden. Ved Pythagoras setning h=√(a²-a²/4)= √3*a/2.