Allerede inne Det gamle Egypt visste ikke bare aritmetikk, men også geometrisk progresjon. Her er for eksempel et problem fra Rhind-papyrusen: «Syv ansikter har syv katter; Hver katt spiser syv mus, hver mus spiser syv kornaks, og hvert byggør kan dyrke syv mål bygg. Hvor store er tallene i denne serien og summen deres?
 |
|
Ris. 1. Gammelegyptisk geometrisk progresjonsproblem |
Denne oppgaven ble gjentatt mange ganger med forskjellige variasjoner blant andre folk til andre tider. For eksempel skrevet på 1200-tallet. «The Book of the Abacus» av Leonardo av Pisa (Fibonacci) har et problem der 7 gamle kvinner dukker opp på vei til Roma (selvsagt pilegrimer), som hver har 7 muldyr, som hver har 7 poser, hver av dem inneholder 7 brød, som hver har 7 kniver, som hver har 7 slirer. Oppgaven spør hvor mange gjenstander det er.
Summen av de første n leddene i den geometriske progresjonen S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . Denne formelen kan for eksempel bevises slik: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.
Legg til tallet b 1 q n til S n og få:
|
Herfra S n (q – 1) = b 1 (q n – 1), og vi får den nødvendige formelen.
Allerede på en av leirtavlene i det gamle Babylon, som dateres tilbake til 600-tallet. f.Kr e. inneholder summen 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. Riktignok, som i en rekke andre tilfeller, vet vi ikke hvordan dette faktum ble kjent for babylonerne .
Den raske økningen i geometrisk progresjon i en rekke kulturer, spesielt i indisk, brukes gjentatte ganger som et visuelt symbol på universets vidstrakte. I den berømte legenden om utseendet til sjakk gir herskeren sin oppfinner muligheten til å velge belønningen selv, og han ber om antall hvetekorn som ville oppnås hvis en ble plassert på den første ruten sjakkbrett, to for den andre, fire for den tredje, åtte for den fjerde, osv., hver gang tallet dobles. Vladyka trodde at vi på det meste snakket om noen få poser, men han feilberegnet. Det er lett å se at for alle 64 rutene på sjakkbrettet må oppfinneren motta (2 64 – 1) korn, som er uttrykt som et 20-sifret tall; selv om hele jordens overflate ble sådd, ville det ta minst 8 år å samle den nødvendige mengden korn. Denne legenden blir noen ganger tolket som å indikere de praktisk talt ubegrensede mulighetene som er skjult i sjakkspillet.
Det er lett å se at dette tallet egentlig er 20-sifret:
2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (et mer nøyaktig regnestykke gir 1,84∙10 19). Men jeg lurer på om du kan finne ut hvilket siffer dette tallet ender på?
En geometrisk progresjon kan være økende hvis nevneren er større enn 1, eller avtagende hvis den er mindre enn én. I det siste tilfellet kan tallet q n for tilstrekkelig stor n bli vilkårlig lite. Mens den økende geometriske progresjonen øker uventet raskt, avtar den avtagende geometriske progresjonen like raskt.
Jo større n, jo svakere er tallet q n forskjellig fra null, og jo nærmere summen av n ledd av den geometriske progresjonen S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) til tallet S = b 1 / ( 1 – q). (For eksempel resonnerte F. Viet på denne måten). Tallet S kalles summen av en uendelig avtagende geometrisk progresjon. Men i mange århundrer var spørsmålet om hva som er meningen med å summere HELE geometriske progresjonen, med dets uendelige antall ledd, ikke klart nok for matematikere.
En avtagende geometrisk progresjon kan sees, for eksempel i Zenos aporier «Half Division» og «Akilles and the Tortoise». I det første tilfellet er det tydelig vist at hele veien (forutsatt lengde 1) er summen uendelig antall segmenter 1/2, 1/4, 1/8 osv. Så det er selvfølgelig fra synspunkt av ideer om den endelige summen av en uendelig geometrisk progresjon. Og likevel - hvordan kan dette være?
|
Ris. 2. Progresjon med en koeffisient på 1/2 |
I aporien om Akilles er situasjonen litt mer komplisert, for her er ikke nevneren for progresjonen 1/2, men et annet tall. La for eksempel Akilles løpe med hastighet v, skilpadden beveger seg med hastighet u, og startavstanden mellom dem er l. Akilles vil tilbakelegge denne avstanden i tid l/v, og i løpet av denne tiden vil skilpadden bevege seg en distanse lu/v. Når Akilles kjører dette segmentet, vil avstanden mellom ham og skilpadden bli lik l (u /v) 2 osv. Det viser seg at å ta igjen skilpadden betyr å finne summen av en uendelig avtagende geometrisk progresjon med første ledd l og nevneren u /v. Denne summen - segmentet som Akilles til slutt vil løpe til møtestedet med skilpadden - er lik l / (1 – u /v) = lv / (v – u). Men igjen, hvordan skal dette resultatet tolkes og hvorfor gir det noen mening i det hele tatt? i lang tid det var ikke veldig tydelig.
|
Ris. 3. Geometrisk progresjon med en koeffisient på 2/3 |
Arkimedes brukte summen av en geometrisk progresjon for å bestemme arealet til et parabelsegment. La dette segmentet av parablen avgrenses av korden AB og la tangenten i punktet D av parablen være parallell med AB. La C være midtpunktet til AB, E midtpunktet til AC, F midtpunktet til CB. La oss tegne linjer parallelt med DC gjennom punktene A, E, F, B; La tangenten trukket ved punkt D skjære disse linjene i punktene K, L, M, N. La oss også tegne segmentene AD og DB. La linjen EL skjære linjen AD i punkt G, og parabelen i punkt H; linjen FM skjærer linje DB i punkt Q, og parabelen i punkt R. I følge den generelle teorien om kjeglesnitt er DC diameteren til en parabel (det vil si et segment parallelt med dens akse); den og tangenten i punktet D kan tjene som koordinatakser x og y, der parabelens ligning er skrevet som y 2 = 2px (x er avstanden fra D til ethvert punkt med en gitt diameter, y er lengden av et segment parallelt med en gitt tangent fra dette punktet med diameter til et punkt på selve parablen).
I kraft av parabelligningen er DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, og siden DK = 2DL, så er KA = 4LH. Fordi KA = 2LG, LH = HG. Arealet av segment ADB til en parabel er lik arealet av trekanten ΔADB og arealene til segmentene AHD og DRB kombinert. I sin tur er arealet av segmentet AHD på samme måte lik arealet til trekanten AHD og de resterende segmentene AH og HD, med hver av dem kan du utføre den samme operasjonen - delt i en trekant (Δ) og de to gjenværende segmentene (), osv.:
Arealet av trekanten ΔAHD er lik halve arealet av trekanten ΔALD (de har en felles base AD, og høydene avviker med 2 ganger), som igjen er lik halve arealet av trekanten ΔAKD, og derfor halve arealet av trekanten ΔACD. Dermed er arealet av trekanten ΔAHD lik en fjerdedel av arealet til trekanten ΔACD. På samme måte er arealet av trekanten ΔDRB lik en fjerdedel av arealet til trekanten ΔDFB. Så arealene til trekantene ΔAHD og ΔDRB, tatt sammen, er lik en fjerdedel av arealet til trekanten ΔADB. Ved å gjenta denne operasjonen når den brukes på segmentene AH, HD, DR og RB, velges trekanter fra dem, hvis areal, tatt sammen, vil være 4 ganger mindre enn arealet til trekantene ΔAHD og ΔDRB, tatt sammen, og derfor 16 ganger mindre enn arealet av trekanten ΔADB. Og så videre:
Dermed beviste Archimedes at "hvert segment mellom en rett linje og en parabel utgjør fire tredjedeler av en trekant med samme grunnflate og lik høyde."
La oss vurdere en bestemt serie.
7 28 112 448 1792...
Det er helt klart at verdien av noen av elementene er nøyaktig fire ganger større enn den forrige. Dette betyr at denne serien er en progresjon.
En geometrisk progresjon er en uendelig rekkefølge av tall. hovedtrekk som er at det neste tallet er hentet fra det forrige ved å multiplisere med et bestemt tall. Dette uttrykkes med følgende formel.
a z +1 =a z ·q, hvor z er tallet på det valgte elementet.
Følgelig er z ∈ N.
Perioden hvor geometrisk progresjon studeres på skolen er 9. klasse. Eksempler vil hjelpe deg å forstå konseptet:
0.25 0.125 0.0625...
Basert på denne formelen kan nevneren for progresjonen bli funnet som følger:
Verken q eller b z kan være null. Hvert av elementene i progresjonen skal heller ikke være lik null.
Følgelig, for å finne ut det neste tallet i en serie, må du multiplisere det siste med q.
For å angi denne progresjonen, må du spesifisere dets første element og nevner. Etter dette er det mulig å finne noen av de påfølgende vilkårene og summen deres.
Varianter
Avhengig av q og a 1 er denne progresjonen delt inn i flere typer:
- Hvis både a 1 og q er større enn én, er en slik sekvens en geometrisk progresjon som øker med hvert påfølgende element. Et eksempel på dette er presentert nedenfor.
Eksempel: a 1 =3, q=2 - begge parameterne er større enn én.
Deretter kan tallrekkefølgen skrives slik:
3 6 12 24 48 ...
- Hvis |q| er mindre enn én, det vil si at multiplikasjon med det tilsvarer divisjon, så er en progresjon med lignende forhold en avtagende geometrisk progresjon. Et eksempel på dette er presentert nedenfor.
Eksempel: a 1 =6, q=1/3 - a 1 er større enn én, q er mindre.
Deretter kan tallrekkefølgen skrives slik:
6 2 2/3 ... - ethvert element er 3 ganger større enn elementet etter det.
- Vekslende tegn. Hvis q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.
Eksempel: a 1 = -3, q = -2 - begge parametere er mindre enn null.
Deretter kan tallrekkefølgen skrives slik:
3, 6, -12, 24,...
Formler
Det er mange formler for praktisk bruk av geometriske progresjoner:
- Z-term formel. Lar deg beregne et element under et bestemt tall uten å beregne tidligere tall.
Eksempel:q = 3, en 1 = 4. Det kreves å telle det fjerde elementet i progresjonen.
Løsning:en 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.
- Summen av de første elementene hvis antall er lik z. Lar deg beregne summen av alle elementene i en sekvens opp tila zinklusive.
Siden (1-q) er i nevneren, så (1 - q)≠ 0, derfor er q ikke lik 1.
Merk: hvis q=1, vil progresjonen være en serie med uendelig repeterende tall.
Summen av geometrisk progresjon, eksempler:en 1 = 2, q= -2. Beregn S5.
Løsning:S 5 = 22 - beregning ved hjelp av formelen.
- Beløp hvis |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.
Eksempel:en 1 = 2 , q= 0,5. Finn beløpet.
Løsning:S z = 2 · = 4
S z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4
Noen egenskaper:
- Karakteristisk egenskap. Hvis følgende tilstand fungerer for enhverz, da er den gitte tallserien en geometrisk progresjon:
a z 2 = a z -1 · enz+1
- Dessuten finner man kvadratet til et hvilket som helst tall i en geometrisk progresjon ved å legge til kvadratene til to andre tall i en gitt serie, hvis de er like langt fra dette elementet.
a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , Hvort- avstanden mellom disse tallene.
- Elementeravvike i qen gang.
- Logaritmene til elementene i en progresjon danner også en progresjon, men en aritmetisk, det vil si at hver av dem er større enn den forrige med et visst tall.
Eksempler på noen klassiske problemer
For bedre å forstå hva en geometrisk progresjon er, kan eksempler med løsninger for klasse 9 hjelpe.
- Betingelser:en 1 = 3, en 3 = 48. Finnq.
Løsning: hvert påfølgende element er større enn det forrige iq en gang.Det er nødvendig å uttrykke noen elementer i form av andre ved å bruke en nevner.
Derfor,en 3 = q 2 · en 1
Ved erstatningq= 4
- Betingelser:en 2 = 6, en 3 = 12. Regn ut S 6.
Løsning:For å gjøre dette, finn bare q, det første elementet og bytt det inn i formelen.
en 3 = q· en 2 , derfor,q= 2
a 2 = q · en 1 ,Det er derfor a 1 = 3
S 6 = 189
- · en 1 = 10, q= -2. Finn det fjerde elementet i progresjonen.
Løsning: for å gjøre dette er det nok å uttrykke det fjerde elementet gjennom det første og gjennom nevneren.
a 4 = q 3· a 1 = -80
Applikasjonseksempel:
- En bankklient foretok et innskudd på 10 000 rubler, i henhold til hvilket klienten hvert år vil få 6% av det lagt til hovedbeløpet. Hvor mye penger er det på kontoen etter 4 år?
Løsning: Det opprinnelige beløpet er 10 tusen rubler. Dette betyr at et år etter investeringen vil kontoen ha et beløp tilsvarende 10 000 + 10 000 · 0,06 = 10000 1,06
Følgelig vil beløpet på kontoen etter et år bli uttrykt som følger:
(10000 · 1,06) · 0,06 + 10000 · 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10000
Det vil si at hvert år øker beløpet med 1,06 ganger. Dette betyr at for å finne beløpet på kontoen etter 4 år, er det nok å finne det fjerde elementet i progresjonen, som er gitt av det første elementet lik 10 tusen og nevneren lik 1,06.
S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625
Eksempler på problemer med å regne ut summer:
Geometrisk progresjon brukes i ulike problemer. Et eksempel for å finne summen kan gis som følger:
en 1 = 4, q= 2, beregnS 5.
Løsning: alle dataene som er nødvendige for beregningen er kjent, du trenger bare å erstatte dem med formelen.
S 5 = 124
- en 2 = 6, en 3 = 18. Regn ut summen av de seks første elementene.
Løsning:
I geom. progresjon, hvert neste element er q ganger større enn det forrige, det vil si for å beregne summen må du kjenne elementeten 1 og nevnerq.
en 2 · q = en 3
q = 3
På samme måte må du finneen 1 , viteen 2 Ogq.
en 1 · q = en 2
a 1 =2
S 6 = 728.
Geometrisk progresjon er sammen med aritmetisk progresjon en viktig tallrekke som studeres i skolealgebrakurset på 9. trinn. I denne artikkelen skal vi se på nevneren til en geometrisk progresjon og hvordan verdien påvirker dens egenskaper.
Definisjon av geometrisk progresjon
La oss først gi definisjonen av denne tallserien. En geometrisk progresjon er en serie med rasjonelle tall som dannes ved å multiplisere det første elementet i rekkefølge med et konstant tall kalt nevneren.
For eksempel er tallene i rekkene 3, 6, 12, 24, ... en geometrisk progresjon, for hvis du ganger 3 (det første elementet) med 2, får du 6. Ganger du 6 med 2, får du 12, og så videre.
Medlemmene av sekvensen som vurderes er vanligvis betegnet med symbolet ai, hvor i er et heltall som indikerer nummeret til elementet i serien.
Ovennevnte definisjon av progresjon kan skrives i matematisk språk som følger: an = bn-1 * a1, hvor b er nevneren. Det er lett å sjekke denne formelen: hvis n = 1, så er b1-1 = 1, og vi får a1 = a1. Hvis n = 2, så er an = b * a1, og vi kommer igjen til definisjonen av den aktuelle tallrekken. Lignende resonnement kan fortsettes for store verdier av n.
Nevner for geometrisk progresjon
Tallet b bestemmer helt hvilket tegn hele tallserien skal ha. Nevneren b kan være positiv, negativ eller større enn eller mindre enn én. Alle de ovennevnte alternativene fører til forskjellige sekvenser:
- b > 1. Det er en økende rekke av rasjonelle tall. For eksempel, 1, 2, 4, 8, ... Hvis element a1 er negativt, vil hele sekvensen bare øke i absolutt verdi, men avta avhengig av tallenes fortegn.
- b = 1. Ofte kalles ikke dette tilfellet en progresjon, siden det er en vanlig serie med identiske rasjonelle tall. For eksempel -4, -4, -4.
Formel for mengde
Før du går videre til anmeldelse spesifikke oppgaver Ved å bruke nevneren for typen progresjon som vurderes, bør en viktig formel gis for summen av de første n elementene. Formelen ser slik ut: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
Du kan få dette uttrykket selv hvis du tar i betraktning den rekursive sekvensen av ledd i progresjonen. Legg også merke til at i formelen ovenfor er det nok å bare kjenne det første elementet og nevneren for å finne summen av et vilkårlig antall ledd.
Uendelig avtagende sekvens
Det ble gitt en forklaring ovenfor på hva det er. Når vi kjenner formelen for Sn, la oss bruke den på denne tallserien. Siden ethvert tall hvis modul ikke overstiger 1 har en tendens til null når det heves til store potenser, det vil si b∞ => 0 hvis -1
Siden forskjellen (1 - b) alltid vil være positiv, uavhengig av verdien av nevneren, er tegnet på summen av en uendelig avtagende geometrisk progresjon S∞ unikt bestemt av tegnet til dets første element a1.
La oss nå se på flere problemer der vi vil vise hvordan du kan bruke den ervervede kunnskapen til spesifikke tall.
Oppgave nr. 1. Beregning av ukjente elementer av progresjon og sum
Gitt en geometrisk progresjon, er nevneren for progresjonen 2, og dens første element er 3. Hva vil dens 7. og 10. ledd være lik, og hva er summen av de syv initiale elementene?
Tilstanden til problemet er ganske enkel og innebærer direkte bruk av formlene ovenfor. Så, for å beregne elementnummer n, bruker vi uttrykket an = bn-1 * a1. For det 7. elementet har vi: a7 = b6 * a1, ved å erstatte de kjente dataene, får vi: a7 = 26 * 3 = 192. Vi gjør det samme for det 10. leddet: a10 = 29 * 3 = 1536.
La oss bruke den velkjente formelen for summen og bestemme denne verdien for de første 7 elementene i serien. Vi har: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
Oppgave nr. 2. Bestemme summen av vilkårlige elementer i en progresjon
La -2 være lik nevneren for den geometriske progresjonen bn-1 * 4, hvor n er et heltall. Det er nødvendig å bestemme summen fra det 5. til det 10. elementet i denne serien, inklusive.
Problemet som stilles kan ikke løses direkte ved hjelp av kjente formler. Det kan løses ved hjelp av 2 forskjellige metoder. For fullstendig presentasjon av emnet presenterer vi begge.
Metode 1. Ideen er enkel: du må beregne de to tilsvarende summene av de første leddene, og deretter trekke den andre fra den ene. Vi beregner det mindre beløpet: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Nå regner vi ut den største summen: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Merk at i det siste uttrykket ble bare 4 termer summert, siden den femte allerede er inkludert i beløpet som må beregnes i henhold til betingelsene for problemet. Til slutt tar vi forskjellen: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
Metode 2. Før du erstatter tall og teller, kan du få en formel for summen mellom m- og n-leddene i den aktuelle rekken. Vi gjør akkurat det samme som i metode 1, bare vi først jobber med den symbolske representasjonen av beløpet. Vi har: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Du kan erstatte kjente tall i det resulterende uttrykket og beregne det endelige resultatet: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
Oppgave nr. 3. Hva er nevneren?
La a1 = 2, finn nevneren for den geometriske progresjonen, forutsatt at dens uendelige sum er 3, og det er kjent at dette er en avtagende tallrekke.
Basert på betingelsene for problemet er det ikke vanskelig å gjette hvilken formel som skal brukes for å løse det. Selvfølgelig, for summen av progresjonen uendelig avtagende. Vi har: S∞ = a1 / (1 - b). Fra hvor vi uttrykker nevneren: b = 1 - a1 / S∞. Det gjenstår å erstatte de kjente verdiene og få det nødvendige tallet: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 eller -0,333(3). Vi kan kvalitativt sjekke dette resultatet hvis vi husker at for denne typen sekvenser bør modulen b ikke gå utover 1. Som du kan se, |-1 / 3|
Oppgave nr. 4. Gjenopprette en serie med tall
La 2 elementer i en tallserie gis, for eksempel er den 5. lik 30 og den 10. er lik 60. Det er nødvendig å rekonstruere hele serien fra disse dataene, vel vitende om at den tilfredsstiller egenskapene til en geometrisk progresjon.
For å løse problemet må du først skrive ned det tilsvarende uttrykket for hvert kjent ledd. Vi har: a5 = b4 * a1 og a10 = b9 * a1. Del nå det andre uttrykket med det første, vi får: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Herfra bestemmer vi nevneren ved å ta den femte roten av forholdet mellom leddene kjent fra problemstillingen, b = 1,148698. Vi erstatter det resulterende tallet i et av uttrykkene for det kjente elementet, vi får: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.
Dermed fant vi nevneren for progresjonen bn, og den geometriske progresjonen bn-1 * 17,2304966 = an, hvor b = 1,148698.
Hvor brukes geometriske progresjoner?
Hvis det ikke fantes noen praktisk anvendelse av denne tallserien, ville studien blitt redusert til rent teoretisk interesse. Men en slik applikasjon finnes.
Nedenfor er de 3 mest kjente eksemplene:
- Zenos paradoks, der den kvikke Akilles ikke kan hamle opp med den langsomme skilpadden, løses ved å bruke konseptet med en uendelig minkende tallrekke.
- Hvis du legger hvetekorn på hver rute på et sjakkbrett slik at du legger 1 korn på den første ruten, på den 2. - 2, på den tredje - 3, og så videre, for å fylle alle rutene på brettet du trenger 18446744073709551615 korn!
- I spillet "Tower of Hanoi", for å flytte disker fra en stang til en annen, er det nødvendig å utføre 2n - 1 operasjoner, det vil si at antallet vokser eksponentielt med antallet n disker som brukes.
Matematikk er hvamennesker kontrollerer naturen og seg selv.
Sovjetisk matematiker, akademiker A.N. Kolmogorov
Geometrisk progresjon.
Sammen med problemer om aritmetiske progresjoner, er problemer knyttet til begrepet geometrisk progresjon også vanlig ved opptaksprøver i matematikk. For å lykkes med å løse slike problemer, må du kjenne egenskapene til geometriske progresjoner og ha gode ferdigheter i å bruke dem.
Denne artikkelen er viet presentasjonen av de grunnleggende egenskapene til geometrisk progresjon. Eksempler på å løse typiske problemer er også gitt her., lånt fra oppgavene til opptaksprøver i matematikk.
La oss først legge merke til de grunnleggende egenskapene til den geometriske progresjonen og huske de viktigste formlene og påstandene, knyttet til dette konseptet.
Definisjon. En tallsekvens kalles en geometrisk progresjon hvis hvert tall, fra det andre, er lik det forrige, multiplisert med det samme tallet. Tallet kalles nevneren for en geometrisk progresjon.
For geometrisk progresjonformlene er gyldige
, (1)
Hvor . Formel (1) kalles formelen for det generelle begrepet for en geometrisk progresjon, og formel (2) representerer hovedegenskapen til en geometrisk progresjon: hvert ledd i progresjonen faller sammen med det geometriske gjennomsnittet av naboleddene og .
Note, at det er nettopp på grunn av denne egenskapen at den aktuelle progresjonen kalles «geometrisk».
Formlene ovenfor (1) og (2) er generalisert som følger:
, (3)
For å beregne beløpet først medlemmer av en geometrisk progresjonformelen gjelder
Hvis vi betegner, da
Hvor . Siden , formel (6) er en generalisering av formel (5).
I tilfelle når og geometrisk progresjoner uendelig avtagende. For å beregne beløpetav alle ledd i en uendelig avtagende geometrisk progresjon, brukes formelen
. (7)
For eksempel ved hjelp av formel (7) kan vi vise, Hva
Hvor . Disse likhetene er oppnådd fra formel (7) under forutsetning av at , (første likhet) og , (andre likhet).
Teorem. Hvis, da
Bevis. Hvis, da
Teoremet er bevist.
La oss gå videre til å vurdere eksempler på å løse problemer om emnet "Geometrisk progresjon".
Eksempel 1. Gitt: , og . Finn .
Løsning. Hvis vi bruker formel (5), da
Svar: .
Eksempel 2. La det være. Finn .
Løsning. Siden og , bruker vi formler (5), (6) og får et likningssystem
Hvis den andre ligningen av system (9) er delt på den første, deretter eller . Det følger av dette at . La oss vurdere to tilfeller.
1. Hvis, så fra den første ligningen av system (9) har vi.
2. Hvis , da .
Eksempel 3. La , og . Finn .
Løsning. Fra formel (2) følger det at eller . Siden , da eller .
I følge tilstanden. Imidlertid derfor. Siden og så har vi her et ligningssystem
Hvis den andre ligningen i systemet er delt på den første, så eller .
Siden har ligningen en unik passende rot. I dette tilfellet følger det av den første ligningen i systemet.
Ved å ta hensyn til formel (7), får vi.
Svar: .
Eksempel 4. Gitt: og . Finn .
Løsning. Siden da.
Siden , da eller
I henhold til formel (2) har vi . I denne forbindelse, fra likhet (10) får vi eller .
Imidlertid etter betingelse, altså.
Eksempel 5. Det er kjent at. Finn .
Løsning. I følge teoremet har vi to likheter
Siden , da eller . Fordi da.
Svar: .
Eksempel 6. Gitt: og . Finn .
Løsning. Ved å ta hensyn til formel (5), får vi
Siden da. Siden , og , da .
Eksempel 7. La det være. Finn .
Løsning. I henhold til formel (1) kan vi skrive
Derfor har vi eller . Det er kjent at og , derfor og .
Svar: .
Eksempel 8. Finn nevneren for en uendelig avtagende geometrisk progresjon if
Og .
Løsning. Fra formel (7) følger det Og . Herfra og fra betingelsene for oppgaven får vi et likningssystem
Hvis den første ligningen i systemet er kvadratisk, og del deretter den resulterende ligningen med den andre ligningen, så får vi
Eller .
Svar: .
Eksempel 9. Finn alle verdier der sekvensen , , er en geometrisk progresjon.
Løsning. La , og . I henhold til formel (2), som definerer hovedegenskapen til en geometrisk progresjon, kan vi skrive eller .
Herfra får vi den andregradsligningen, hvis røtter er Og .
La oss sjekke: hvis, deretter , og ;
hvis , da , og . I det første tilfellet har vi
og , og i den andre – og .
Svar: , .Eksempel 10.
, (11)
Løs ligningen
hvor og.
Fra formel (7) følger det, Hva Løsning. Venstre side av ligning (11) er summen av en uendelig avtagende geometrisk progresjon, der og , underlagt: og .. I denne forbindelse har ligning (11) formen eller . Egnet rot
Svar: .
andregradsligningen er Eksempel 11. Psekvens av positive tall danner en aritmetisk progresjon , A- geometrisk progresjon
Løsning., og her. Finn . Fordi aritmetisk rekkefølge , Det (hovedeiendom aritmetisk progresjon). Siden , deretter eller . Det følger av dette,at den geometriske progresjonen har formen. I henhold til formel (2)
, så skriver vi ned det . Siden og , da. I dette tilfellet uttrykket tar formen eller . I henhold til betingelsen,så fra Eq. vi får en unik løsning på det aktuelle problemet
Svar: .
, dvs. . Eksempel 12.
. (12)
Løsning. Beregn sum
Multipliser begge sider av likhet (12) med 5 og få aritmetisk rekkefølge
Hvis vi trekker (12) fra det resulterende uttrykket
eller .
Svar: .
For å beregne, erstatter vi verdiene i formel (7) og får . Siden da., Eksemplene på problemløsning gitt her vil være nyttige for søkere når de forbereder seg til opptaksprøver. For en dypere studie av problemløsningsmetoder, relatert til geometrisk progresjon kan brukes læremidler
fra listen over anbefalt litteratur.
1. Oppgavesamling i matematikk for søkere til høyskoler / Utg. M.I. Scanavi. – M.: Mir og utdanning, 2013. – 608 s. 2. Suprun V.P. Matematikk for elever på videregående skole: tilleggsdeler av skolepensum. – M.: Lenand / URSS
, 2014. – 216 s. 3. Medynsky M.M. Et komplett kurs i elementær matematikk i oppgaver og øvelser. Bok 2: Tallsekvenser og progresjoner. – M.: Editus
, 2015. – 208 s.
Har du fortsatt spørsmål?
Registrer deg for å få hjelp fra en veileder.
nettside, ved kopiering av materiale helt eller delvis, kreves det en lenke til kilden.
Du kan skrive alle tall, og det kan være så mange av dem du vil (i vårt tilfelle er det dem). Uansett hvor mange tall vi skriver, kan vi alltid si hvilket som er først, hvilket som er nummer to, og så videre til det siste, det vil si at vi kan nummerere dem. Dette er et eksempel på en tallsekvens:
Nummerrekkefølge er et sett med tall, som hver kan tildeles et unikt nummer.
For eksempel for vår sekvens:
Det tildelte nummeret er spesifikt for bare ett nummer i sekvensen. Det er med andre ord ingen tre sekunders tall i sekvensen. Det andre tallet (som det th tallet) er alltid det samme.
Tallet med tallet kalles det n'te medlem av sekvensen.
Vi kaller vanligvis hele sekvensen med en bokstav (for eksempel), og hvert medlem av denne sekvensen er den samme bokstaven med en indeks som er lik nummeret til dette medlemmet: .
I vårt tilfelle:
De vanligste progresjonstypene er aritmetiske og geometriske. I dette emnet vil vi snakke om den andre typen - geometrisk progresjon.
Hvorfor er det nødvendig med geometrisk progresjon og dens historie?
Selv i antikken tok den italienske matematikermunken Leonardo av Pisa (bedre kjent som Fibonacci) seg av handelens praktiske behov. Munken sto overfor oppgaven med å bestemme hva som er det minste antallet vekter som kan brukes til å veie et produkt? I sine arbeider beviser Fibonacci at et slikt vektsystem er optimalt: Dette er en av de første situasjonene der folk måtte møte en geometrisk progresjon, som du sikkert allerede har hørt om og har minst generelt konsept. Når du forstår emnet fullt ut, tenk på hvorfor et slikt system er optimalt?
For øyeblikket, i livspraksis, manifesterer geometrisk progresjon seg når du investerer penger i en bank, når rentebeløpet påløper beløpet som er akkumulert på kontoen for forrige periode. Med andre ord, hvis du setter penger på et tidsinnskudd i en sparebank, så vil etter et år innskuddet øke med det opprinnelige beløpet, dvs. det nye beløpet vil være lik bidraget multiplisert med. Om et år til vil dette beløpet øke med, d.v.s. beløpet oppnådd på det tidspunktet vil igjen multipliseres med og så videre. En lignende situasjon er beskrevet i problemer med å beregne den såkalte renters rente- prosentsatsen tas hver gang fra beløpet som står på konto, tatt i betraktning tidligere renter. Vi skal snakke om disse oppgavene litt senere.
Det er mange flere enkle tilfeller der geometrisk progresjon brukes. For eksempel spredning av influensa: en person infiserte en annen person, de smittet på sin side en annen person, og dermed er den andre smittebølgen en person, og de smittet på sin side en annen... og så videre. .
Forresten, en finanspyramide, samme MMM, er en enkel og tørr beregning basert på egenskapene til en geometrisk progresjon. Interessant? La oss finne ut av det.
Geometrisk progresjon.
La oss si at vi har en tallrekke:
Du vil umiddelbart svare at dette er enkelt, og navnet på en slik sekvens er med forskjellen mellom medlemmene. Hva med dette:
Hvis du trekker det forrige tallet fra det påfølgende tallet, vil du se at hver gang du får en ny forskjell (og så videre), men sekvensen eksisterer definitivt og er lett å legge merke til - hvert påfølgende tall er ganger større enn det forrige!
Denne typen tallrekke kalles geometrisk progresjon og er utpekt.
Geometrisk progresjon () er en numerisk sekvens, hvis første ledd er forskjellig fra null, og hvert ledd, fra det andre, er lik den forrige, multiplisert med det samme tallet. Dette tallet kalles nevneren for en geometrisk progresjon.
Begrensningene om at det første leddet ( ) ikke er likt og ikke er tilfeldige. La oss anta at de ikke er der, og det første leddet fortsatt er likt, og q er likt, hmm.. la det være, så viser det seg:
Enig i at dette ikke lenger er en progresjon.
Som du forstår, vil vi få de samme resultatene hvis det er et annet tall enn null, a. I disse tilfellene vil det rett og slett ikke være noen progresjon, siden hele tallserien enten vil være alle nuller, eller ett tall, og resten er null.
La oss nå snakke mer detaljert om nevneren til den geometriske progresjonen, det vil si o.
La oss gjenta: - dette er tallet hvor mange ganger endres hvert påfølgende ledd? geometrisk progresjon.
Hva tror du det kan være? Det stemmer, positivt og negativt, men ikke null (vi snakket om dette litt høyere).
La oss anta at vår er positiv. La i vårt tilfelle, a. Hva er verdien av andre ledd og? Du kan enkelt svare på det:
Det stemmer. Følgelig, hvis, så har alle påfølgende vilkår for progresjonen det samme tegnet - de er positive.
Hva om det er negativt? For eksempel, en. Hva er verdien av andre ledd og?
Dette er en helt annen historie
Prøv å telle vilkårene for denne progresjonen. Hvor mye fikk du? jeg har. Således, hvis, så veksler tegnene til vilkårene for den geometriske progresjonen. Det vil si at hvis du ser en progresjon med vekslende fortegn for medlemmene, så er nevneren negativ. Denne kunnskapen kan hjelpe deg med å teste deg selv når du løser problemer om dette emnet.
La oss nå øve litt: prøv å finne ut hvilke tallsekvenser som er en geometrisk progresjon og hvilke som er en aritmetisk progresjon:
Har du det? La oss sammenligne svarene våre:
- Geometrisk progresjon - 3, 6.
- Aritmetisk progresjon - 2, 4.
- Det er verken en aritmetisk eller en geometrisk progresjon - 1, 5, 7.
La oss gå tilbake til vår siste progresjon og prøve å finne medlemmen, akkurat som i den aritmetiske. Som du kanskje har gjettet, er det to måter å finne den på.
Vi ganger suksessivt hvert ledd med.
Så det tredje leddet i den beskrevne geometriske progresjonen er lik.
Som du allerede har gjettet, vil du nå selv utlede en formel som vil hjelpe deg å finne ethvert medlem av den geometriske progresjonen. Eller har du allerede utviklet det for deg selv, og beskriver hvordan du finner det te medlemmet trinn for trinn? I så fall, sjekk riktigheten av resonnementet ditt.
La oss illustrere dette med eksempelet på å finne det tredje leddet i denne progresjonen:
Med andre ord:
Finn verdien av leddet til den gitte geometriske progresjonen selv.
Fungerte det? La oss sammenligne svarene våre:
Vær oppmerksom på at du fikk nøyaktig det samme tallet som i forrige metode, når vi multipliserte sekvensielt med hvert foregående ledd i den geometriske progresjonen.
La oss prøve å "depersonalisere" denne formelen - la oss sette den i generell form og få:
Den utledede formelen er sann for alle verdier - både positive og negative. Sjekk dette selv ved å beregne betingelsene for den geometriske progresjonen med følgende betingelser: , a.
Har du telt? La oss sammenligne resultatene:
Enig at det vil være mulig å finne et ledd av en progresjon på samme måte som et ledd, men det er en mulighet for å regne feil. Og hvis vi allerede har funnet det tredje leddet for den geometriske progresjonen, hva kan da være enklere enn å bruke den "avkortede" delen av formelen.
Uendelig avtagende geometrisk progresjon.
Nylig snakket vi om det faktum at det kan være enten større eller mindre enn null, men det er spesielle verdier som den geometriske progresjonen kalles for uendelig minkende.
Hvorfor tror du dette navnet er gitt?
La oss først skrive ned en geometrisk progresjon som består av ledd.
La oss si, da:
Vi ser at hvert påfølgende ledd er mindre enn det forrige med en faktor, men vil det være noe tall? Du vil umiddelbart svare - "nei". Det er derfor den avtar uendelig - den avtar og avtar, men blir aldri null.
For å tydelig forstå hvordan dette ser ut visuelt, la oss prøve å tegne en graf over progresjonen vår. Så for vårt tilfelle har formelen følgende form:
På grafer er vi vant til å plotte avhengighet av, derfor:
Essensen av uttrykket har ikke endret seg: i den første oppføringen viste vi avhengigheten av verdien til et medlem av en geometrisk progresjon på dets ordenstall, og i den andre oppføringen tok vi ganske enkelt verdien av et medlem av en geometrisk progresjon som , og betegnet ordenstallet ikke som, men som. Alt som gjenstår å gjøre er å lage en graf.
La oss se hva du har. Her er grafen jeg kom opp med:
Ser du? Funksjonen avtar, har en tendens til null, men krysser den aldri, så den er uendelig avtagende. La oss markere punktene våre på grafen, og samtidig hva koordinaten og betyr:
Prøv å skjematisk skildre en graf av en geometrisk progresjon hvis dens første ledd også er lik. Analyser hva som er forskjellen med vår forrige graf?
Klarte du deg? Her er grafen jeg kom opp med:
Nå som du fullt ut har forstått det grunnleggende om emnet geometrisk progresjon: du vet hva det er, du vet hvordan du finner begrepet, og du vet også hva en uendelig avtagende geometrisk progresjon er, la oss gå videre til hovedegenskapen.
Egenskap for geometrisk progresjon.
Husker du egenskapen til vilkårene for en aritmetisk progresjon? Ja, ja, hvordan finner du verdien av et visst antall av en progresjon når det er tidligere og etterfølgende verdier av vilkårene for denne progresjonen. Husker du? Her er det:
Nå står vi overfor nøyaktig det samme spørsmålet for vilkårene for en geometrisk progresjon. For å utlede en slik formel, la oss begynne å tegne og resonnere. Du skal se, det er veldig enkelt, og hvis du glemmer det, kan du få det ut selv.
La oss ta en annen enkel geometrisk progresjon, der vi vet og. Hvordan finne? Med aritmetisk progresjon er det enkelt og greit, men hva med her? Faktisk er det ikke noe komplisert i geometrisk heller - du trenger bare å skrive ned hver verdi gitt til oss i henhold til formelen.
Du kan spørre, hva skal vi gjøre med det nå? Ja, veldig enkelt. Først, la oss skildre disse formlene i et bilde og prøve å gjøre forskjellige manipulasjoner med dem for å komme frem til en verdi.
La oss abstrahere fra tallene som er gitt til oss, la oss fokusere bare på deres uttrykk gjennom formelen. Vi må finne verdien uthevet i oransje, og kjenne begrepene ved siden av den. La oss prøve å utføre forskjellige handlinger med dem, som et resultat av dette kan vi få.
Addisjon.
La oss prøve å legge til to uttrykk og vi får:
Fra dette uttrykket, som du kan se, kan vi ikke uttrykke det på noen måte, derfor vil vi prøve et annet alternativ - subtraksjon.
Subtraksjon.
Som du kan se, kan vi heller ikke uttrykke dette, derfor, la oss prøve å multiplisere disse uttrykkene med hverandre.
Multiplikasjon.
Se nå nøye på hva vi har ved å multiplisere vilkårene for den geometriske progresjonen gitt til oss i sammenligning med det som må finnes:
Gjett hva jeg snakker om? Riktig, for å finne må vi ta kvadratroten av de geometriske progresjonstallene ved siden av det ønskede multiplisert med hverandre:
Her går du. Du har selv utledet egenskapen til geometrisk progresjon. Prøv å skrive inn denne formelen generelt syn. Fungerte det?
Glemt betingelsen for? Tenk over hvorfor det er viktig, prøv for eksempel å beregne det selv. Hva vil skje i dette tilfellet? Det stemmer, fullstendig tull fordi formelen ser slik ut:
Følgelig, ikke glem denne begrensningen.
La oss nå beregne hva det tilsvarer
Riktig svar er! Hvis du ikke glemte den andre mulige verdien under beregningen, så er du flott og kan umiddelbart gå videre til trening, og hvis du har glemt det, les hva som er diskutert nedenfor og vær oppmerksom på hvorfor begge røttene må skrives ned i svaret.
La oss tegne begge våre geometriske progresjoner - den ene med en verdi og den andre med en verdi og sjekke om begge har rett til å eksistere:
For å sjekke om en slik geometrisk progresjon eksisterer eller ikke, er det nødvendig å se om alle dens gitte termer er like? Beregn q for det første og andre tilfellet.
Ser du hvorfor vi må skrive to svar? For tegnet på begrepet du leter etter avhenger av om det er positivt eller negativt! Og siden vi ikke vet hva det er, må vi skrive begge svarene med pluss og minus.
Nå som du har mestret hovedpunktene og utledet formelen for egenskapen til geometrisk progresjon, finne, vite og
Sammenlign svarene dine med de riktige:
Hva tror du, hva om vi ikke ble gitt verdiene til vilkårene for den geometriske progresjonen ved siden av det ønskede tallet, men like langt fra det. For eksempel må vi finne, og gitt og. Kan vi bruke formelen vi har utledet i dette tilfellet? Prøv å bekrefte eller avkrefte denne muligheten på samme måte, ved å beskrive hva hver verdi består av, som du gjorde da du opprinnelig utledet formelen, på.
Hva fikk du?
Se nå nøye igjen.
og følgelig:
Fra dette kan vi konkludere med at formelen fungerer ikke bare med naboen med de ønskede vilkårene for den geometriske progresjonen, men også med like langt fra det medlemmene ser etter.
Dermed har vår første formel formen:
Det vil si at hvis vi i det første tilfellet sa det, så sier vi nå at det kan være likt med hvilken som helst naturlig tall, som er mindre. Hovedsaken er at det er likt for begge gitte tall.
Øv med konkrete eksempler, bare vær ekstremt forsiktig!
- , . Finne.
- , . Finne.
- , . Finne.
Bestemt? Jeg håper du var ekstremt oppmerksom og la merke til en liten hake.
La oss sammenligne resultatene.
I de to første tilfellene bruker vi rolig formelen ovenfor og får følgende verdier:
I det tredje tilfellet, ved nøye undersøkelse av serienumrene til numrene gitt til oss, forstår vi at de ikke er like langt fra nummeret vi leter etter: det er det forrige nummeret, men fjernes ved en posisjon, så det er ikke mulig å bruke formelen.
Hvordan løse det? Det er faktisk ikke så vanskelig som det ser ut til! La oss skrive ned hva hvert tall gitt til oss og tallet vi leter etter består av.
Så vi har og. La oss se hva vi kan gjøre med dem? Jeg foreslår å dele på. Vi får:
Vi erstatter dataene våre med formelen:
Det neste trinnet vi kan finne er - for dette må vi ta terningroten av det resulterende tallet.
La oss nå se igjen på hva vi har. Vi har det, men vi må finne det, og det er på sin side lik:
Vi fant alle nødvendige data for beregningen. Bytt inn i formelen:
Vårt svar: .
Prøv å løse et annet lignende problem selv:
gitt: ,
Finne:
Hvor mye fikk du? jeg har -.
Som du kan se, trenger du i hovedsak husk bare én formel-. Du kan ta ut resten selv uten problemer når som helst. For å gjøre dette, skriv ganske enkelt den enkleste geometriske progresjonen på et stykke papir og skriv ned hva hvert av tallene er lik, i henhold til formelen beskrevet ovenfor.
Summen av leddene til en geometrisk progresjon.
La oss nå se på formler som lar oss raskt beregne summen av ledd av en geometrisk progresjon i et gitt intervall:
For å utlede formelen for summen av ledd av en endelig geometrisk progresjon, multipliser alle delene av ligningen ovenfor med. Vi får:
Se nøye: hva har de to siste formlene til felles? Det stemmer, for eksempel vanlige medlemmer og så videre, bortsett fra første og siste medlem. La oss prøve å trekke 1. fra 2. ligning. Hva fikk du?
Uttrykk nå termen for den geometriske progresjonen gjennom formelen og bytt ut det resulterende uttrykket med vår siste formel:
Grupper uttrykket. Du bør få:
Alt som gjenstår å gjøre er å uttrykke:
Følgelig i dette tilfellet.
Hva om? Hvilken formel fungerer da? Se for deg en geometrisk progresjon kl. Hvordan er hun? En serie med identiske tall er riktig, så formelen vil se slik ut:
Det er mange legender om både aritmetisk og geometrisk progresjon. En av dem er legenden om Set, skaperen av sjakk.
Mange vet at sjakkspillet ble oppfunnet i India. Da hindukongen møtte henne, var han henrykt over hennes vidd og variasjonen av posisjoner som var mulig i henne. Etter å ha lært at det ble oppfunnet av en av hans undersåtter, bestemte kongen seg for å belønne ham personlig. Han tilkalte oppfinneren til seg selv og beordret ham til å be ham om alt han ville, og lovet å oppfylle selv det mest dyktige ønske.
Seta ba om betenkningstid, og da Seta neste dag dukket opp for kongen, overrasket han kongen med den enestående beskjeden forespørselen hans. Han ba om å gi et hvetekorn for den første ruten på sjakkbrettet, et hvetekorn for den andre, et hvetekorn for den tredje, en fjerde, osv.
Kongen ble sint og drev Seth bort og sa at tjenerens anmodning var uverdig kongens generøsitet, men lovet at tjeneren skulle få kornene sine for alle rutene på brettet.
Og nå spørsmålet: ved å bruke formelen for summen av vilkårene for en geometrisk progresjon, beregne hvor mange korn Seth skal motta?
La oss begynne å resonnere. Siden Seth ifølge betingelsen ba om et hvetekorn for den første ruten på sjakkbrettet, for den andre, for den tredje, for den fjerde osv., så ser vi at problemet handler om en geometrisk progresjon. Hva er det lik i dette tilfellet?
Høyre.
Totale kvadrater av sjakkbrettet. Henholdsvis. Vi har alle dataene, alt som gjenstår er å plugge den inn i formelen og beregne.
For å forestille oss i det minste omtrent "skalaen" til et gitt tall, transformerer vi ved å bruke egenskapene til graden:
Selvfølgelig, hvis du vil, kan du ta en kalkulator og beregne hvilket tall du ender opp med, og hvis ikke, må du ta mitt ord for det: den endelige verdien av uttrykket vil være.
Det vil si:
quintillions quadrillion billioner milliarder millioner tusen.
Puh) Hvis du vil forestille deg hvor stor dette tallet er, anslå hvor stor en låve som kreves for å romme hele mengden korn.
Hvis låven er m høy og m bred, må lengden strekke seg over km, dvs. dobbelt så langt som fra jorden til solen.
Hvis kongen hadde vært sterk i matematikk, kunne han ha invitert vitenskapsmannen selv til å telle kornene, for for å telle en million korn, ville han trenge minst en dag med utrettelig telling, og gitt at det er nødvendig å telle kvintillioner, korn måtte telles hele livet hans.
La oss nå løse et enkelt problem som involverer summen av ledd i en geometrisk progresjon.
En elev i klasse 5A Vasya ble syk av influensa, men fortsetter å gå på skolen. Hver dag infiserer Vasya to personer, som igjen infiserer to personer til, og så videre. Det er bare folk i klassen. Om hvor mange dager vil hele klassen være influensasyk?
Så det første leddet i den geometriske progresjonen er Vasya, det vil si en person. Det tredje leddet i den geometriske progresjonen er de to personene han infiserte den første dagen han kom. Den totale summen av progresjonsterminene er lik antall 5A-studenter. Følgelig snakker vi om en progresjon der:
La oss erstatte dataene våre i formelen for summen av leddene til en geometrisk progresjon:
Hele klassen vil bli syk i løpet av dager. Tror du ikke på formler og tall? Prøv å skildre "infeksjonen" til elevene selv. Fungerte det? Se hvordan det ser ut for meg:
Regn ut selv hvor mange dager det ville ta for elevene å bli syke av influensa hvis hver enkelt smittet en person, og det var bare én person i klassen.
Hvilken verdi fikk du? Det viste seg at alle begynte å bli syke etter en dag.
Som du kan se, ligner en slik oppgave og tegningen for den en pyramide, der hver påfølgende "bringer" nye mennesker. Men før eller siden kommer et øyeblikk da sistnevnte ikke kan tiltrekke seg noen. I vårt tilfelle, hvis vi forestiller oss at klassen er isolert, lukker personen fra kjeden (). Således, hvis en person var involvert i en økonomisk pyramide der penger ble gitt hvis du tok med to andre deltakere, ville personen (eller generelt) ikke ta med noen, følgelig ville miste alt de investerte i denne økonomiske svindelen.
Alt som ble sagt ovenfor refererer til en avtagende eller økende geometrisk progresjon, men som du husker har vi en spesiell type - en uendelig avtagende geometrisk progresjon. Hvordan beregne summen av medlemmene? Og hvorfor har denne typen progresjon visse egenskaper? La oss finne ut av det sammen.
Så la oss først se igjen på denne tegningen av en uendelig avtagende geometrisk progresjon fra vårt eksempel:
La oss nå se på formelen for summen av en geometrisk progresjon, utledet litt tidligere:
eller
Hva streber vi etter? Det stemmer, grafen viser at den har en tendens til null. Det vil si at, vil være tilnærmet lik, henholdsvis ved beregning av uttrykket vil vi få nesten. I denne forbindelse tror vi at når man beregner summen av en uendelig avtagende geometrisk progresjon, kan denne braketten neglisjeres, siden den vil være lik.
- formel er summen av leddene til en uendelig avtagende geometrisk progresjon.
VIKTIG! Vi bruker formelen for summen av ledd av en uendelig avtagende geometrisk progresjon bare hvis betingelsen eksplisitt sier at vi må finne summen uendelig antall medlemmer.
Hvis et spesifikt tall n er spesifisert, bruker vi formelen for summen av n ledd, selv om eller.
La oss nå øve.
- Finn summen av de første leddene i den geometriske progresjonen med og.
- Finn summen av leddene til en uendelig avtagende geometrisk progresjon med og.
Jeg håper du var ekstremt forsiktig. La oss sammenligne svarene våre:
Nå vet du alt om geometrisk progresjon, og det er på tide å gå fra teori til praksis. De vanligste geometriske progresjonsproblemene man møter på eksamen er problemer med å beregne renters rente. Det er disse vi skal snakke om.
Problemer med å beregne renters rente.
Du har sikkert hørt om den såkalte sammensatte renteformelen. Forstår du hva det betyr? Hvis ikke, la oss finne ut av det, for når du først forstår selve prosessen, vil du umiddelbart forstå hva geometrisk progresjon har å gjøre med det.
Vi går alle til banken og vet at det er forskjellige betingelser for innskudd: dette inkluderer en termin, tilleggstjenester og renter med to på ulike måter sine beregninger - enkle og komplekse.
MED enkel rente alt er mer eller mindre klart: renter påløper én gang ved slutten av innskuddsperioden. Det vil si at hvis vi sier at vi setter inn 100 rubler i et år, blir de kreditert først på slutten av året. Følgelig vil vi motta rubler ved slutten av innskuddet.
Sammensatt rente- dette er et alternativ der det forekommer rentekapitalisering, dvs. deres tillegg til innskuddsbeløpet og påfølgende beregning av inntekt, ikke fra det opprinnelige, men fra det akkumulerte innskuddsbeløpet. Kapitalisering skjer ikke konstant, men med en viss frekvens. Som regel er slike perioder like og oftest bruker bankene en måned, kvartal eller år.
La oss anta at vi setter inn de samme rublene årlig, men med månedlig kapitalisering av innskuddet. Hva gjør vi?
Forstår du alt her? Hvis ikke, la oss finne ut av det steg for steg.
Vi tok med oss rubler til banken. Ved slutten av måneden bør vi ha et beløp på kontoen vår som består av våre rubler pluss renter på dem, det vil si:
Enig?
Vi kan ta den ut av parentes og så får vi:
Enig, denne formelen ligner allerede mer på det vi skrev i begynnelsen. Alt som gjenstår er å finne ut prosentene
I problemstillingen blir vi fortalt om årssatser. Som du vet, multipliserer vi ikke med - vi konverterer prosenter til desimalbrøker, det vil si:
Høyre? Nå kan du spørre, hvor kom tallet fra? Veldig enkelt!
Jeg gjentar: problemformuleringen sier om ÅRLIG renter som påløper MÅNEDLIG. Som du vet, i løpet av et år med måneder, vil banken følgelig belaste oss en del av den årlige renten per måned:
skjønte det? Prøv nå å skrive hvordan denne delen av formelen ville sett ut hvis jeg sa at renten beregnes daglig.
Klarte du deg? La oss sammenligne resultatene:
Godt gjort! La oss gå tilbake til oppgaven vår: skriv hvor mye som vil bli kreditert kontoen vår i den andre måneden, med tanke på at det påløper renter på det akkumulerte innskuddsbeløpet.
Her er hva jeg fikk:
Eller med andre ord:
Jeg tror du allerede har lagt merke til et mønster og sett en geometrisk progresjon i alt dette. Skriv hva medlemmene vil være lik, eller med andre ord, hvor mye penger vi vil motta i slutten av måneden.
Gjorde det? La oss sjekke!
Som du kan se, hvis du legger penger i en bank i et år til en enkel rente, vil du motta rubler, og hvis du har en sammensatt rente, vil du motta rubler. Fordelen er liten, men dette skjer bare i løpet av det året, men i en lengre periode er kapitalisering mye mer lønnsomt:
La oss vurdere en annen type problem: renters rente. Etter det du har funnet ut, blir det elementært for deg. Så oppgaven:
Zvezda-selskapet begynte å investere i industrien i 2000, med kapital i dollar. Hvert år siden 2001 har den fått et overskudd som er lik forrige års kapital. Hvor mye overskudd vil Zvezda-selskapet motta ved utgangen av 2003 hvis overskuddet ikke ble tatt ut av sirkulasjon?
Hovedstaden i Zvezda-selskapet i 2000.
- kapitalen til Zvezda-selskapet i 2001.
- kapitalen til Zvezda-selskapet i 2002.
- kapitalen til Zvezda-selskapet i 2003.
Eller vi kan skrive kort:
For vårt tilfelle:
2000, 2001, 2002 og 2003.
Henholdsvis:
rubler
Vær oppmerksom på at vi i denne oppgaven ikke har en divisjon verken etter eller etter, siden prosenten er gitt ÅRLIG og den beregnes ÅRLIG. Det vil si at når du leser et problem om rentes rente, må du være oppmerksom på hvilken prosentandel som er gitt og i hvilken periode den beregnes, og først deretter gå videre til beregninger.
Nå vet du alt om geometrisk progresjon.
Opplæring.
- Finn leddet for den geometriske progresjonen hvis det er kjent at, og
- Finn summen av de første leddene i den geometriske progresjonen hvis det er kjent at, og
- MDM Capital-selskapet begynte å investere i bransjen i 2003, med kapital i dollar. Hvert år siden 2004 har den fått et overskudd som er lik forrige års kapital. MSK Cash Flows-selskapet begynte å investere i industrien i 2005 for 10 000 dollar, og begynte å tjene penger i 2006 på et beløp på. Hvor mange dollar er kapitalen til det ene selskapet større enn det andre ved utgangen av 2007, dersom overskuddet ikke ble tatt ut av omløp?
Svar:
- Siden problemformuleringen ikke sier at progresjonen er uendelig, og det er nødvendig å finne summen av et spesifikt antall ledd, utføres beregningen i henhold til formelen:
MDM Capital Company:2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- øker med 100 %, det vil si 2 ganger.
Henholdsvis:
rubler
MSK kontantstrømselskap:2005, 2006, 2007.
- øker med, altså med ganger.
Henholdsvis:
rubler
rubler
La oss oppsummere.
1) Geometrisk progresjon ( ) er en numerisk sekvens, hvis første ledd er forskjellig fra null, og hvert ledd, fra det andre, er lik den forrige, multiplisert med det samme tallet. Dette tallet kalles nevneren for en geometrisk progresjon.
2) Ligningen av leddene for den geometriske progresjonen er .
3) kan ta alle verdier unntatt og.
- hvis, så har alle påfølgende vilkår for progresjonen det samme tegnet - de er positive;
- hvis, så alle påfølgende vilkår for progresjonen alternative tegn;
- når - progresjonen kalles uendelig avtagende.
4) , med - egenskapen til geometrisk progresjon (tilstøtende ledd)
eller
, på (lik avstand)
Når du finner det, ikke glem det det bør være to svar.
For eksempel
5) Summen av vilkårene for den geometriske progresjonen beregnes med formelen:
eller
eller
VIKTIG! Vi bruker formelen for summen av ledd av en uendelig avtagende geometrisk progresjon bare hvis betingelsen eksplisitt sier at vi må finne summen av et uendelig antall ledd.
6) Problemer med renters rente beregnes også ved hjelp av formelen for det tredje leddet i en geometrisk progresjon, forutsatt at midlene ikke er trukket ut av sirkulasjon:
GEOMETRISK PROGRESJON. KORT OM HOVEDTINGENE
Geometrisk progresjon( ) er en numerisk sekvens, hvis første ledd er forskjellig fra null, og hvert ledd, fra det andre, er lik den forrige, multiplisert med det samme tallet. Dette nummeret kalles nevner for en geometrisk progresjon.
Nevner for geometrisk progresjon kan ta hvilken som helst verdi bortsett fra og.
- Hvis alle påfølgende vilkår for progresjonen har samme tegn - de er positive;
- hvis, så veksler alle påfølgende medlemmer av progresjonen tegn;
- når - progresjonen kalles uendelig avtagende.
Ligning av termer for geometrisk progresjon - .
Summen av ledd for en geometrisk progresjon beregnet med formelen:
eller
Hvis progresjonen er uendelig avtagende, så:
Vel, emnet er over. Hvis du leser disse linjene, betyr det at du er veldig kul.
Fordi bare 5 % av mennesker er i stand til å mestre noe på egen hånd. Og hvis du leser til slutten, så er du på disse 5%!
Nå er det viktigste.
Du har forstått teorien om dette emnet. Og, jeg gjentar, dette... dette er bare supert! Du er allerede bedre enn de aller fleste av dine jevnaldrende.
Problemet er at dette kanskje ikke er nok...
For hva?
For å ha bestått Unified State-eksamenen, for å gå inn på college på et budsjett og, VIKTIGST, for livet.
Jeg vil ikke overbevise deg om noe, jeg vil bare si en ting...
Folk som har fått en god utdannelse tjener mye mer enn de som ikke har fått den. Dette er statistikk.
Men dette er ikke hovedsaken.
Hovedsaken er at de er MER LYKKELIG (det finnes slike studier). Kanskje fordi mange flere muligheter åpner seg foran dem og livet blir lysere? Vet ikke...
Men tenk selv...
Hva skal til for å være sikker på å være bedre enn andre på Unified State-eksamenen og til slutt bli... lykkeligere?
FÅ HÅNDEN DIN VED Å LØSE PROBLEMER OM DETTE EMNET.
Du vil ikke bli spurt om teori under eksamen.
Du trenger løse problemer mot tiden.
Og hvis du ikke har løst dem (MYE!), vil du definitivt gjøre en dum feil et sted eller rett og slett ikke ha tid.
Det er som i sport - du må gjenta det mange ganger for å vinne sikkert.
Finn samlingen hvor du vil, nødvendigvis med løsninger, detaljert analyse og bestemme, bestemme, bestemme!
Du kan bruke oppgavene våre (valgfritt) og vi anbefaler dem selvfølgelig.
For å bli bedre til å bruke oppgavene våre, må du bidra til å forlenge levetiden til YouClever-læreboken du leser nå.
Hvordan? Det er to alternativer:
- Lås opp alle skjulte oppgaver i denne artikkelen -
- Lås opp tilgang til alle skjulte oppgaver i alle de 99 artiklene i læreboken - Kjøp en lærebok - 499 RUR
Ja, vi har 99 slike artikler i læreboken vår og tilgang til alle oppgaver og alle skjulte tekster i dem kan åpnes umiddelbart.
Tilgang til alle skjulte oppgaver er gitt for HELE nettstedets levetid.
Og avslutningsvis...
Hvis du ikke liker oppgavene våre, finn andre. Bare ikke stopp ved teorien.
«Forstått» og «Jeg kan løse» er helt forskjellige ferdigheter. Du trenger begge deler.
Finn problemer og løs dem!
