La oss først forstå forskjellen mellom en sirkel og en sirkel. For å se denne forskjellen er det nok å vurdere hva begge tallene er. Dette er et uendelig antall punkter på planet, plassert i lik avstand fra et enkelt sentralt punkt. Men hvis sirkelen også består av indre rom, så hører den ikke til sirkelen. Det viser seg at en sirkel både er en sirkel som begrenser den (sirkel(r)), og et utallig antall punkter som er innenfor sirkelen.
For ethvert punkt L som ligger på sirkelen, gjelder likheten OL=R. (Lengden på segmentet OL er lik radiusen til sirkelen).
Et segment som forbinder to punkter på en sirkel er dets akkord.
En akkord som går direkte gjennom midten av en sirkel er diameter denne sirkelen (D). Diameteren kan beregnes ved hjelp av formelen: D=2R
Omkrets beregnet med formelen: C=2\pi R
Arealet av en sirkel: S=\pi R^(2)
En sirkelbue kalles den delen av den som er plassert mellom de to punktene. Disse to punktene definerer to sirkelbuer. Akkord-CDen har to buer: CMD og CLD. Identiske akkorder har like buer.
Sentral vinkel En vinkel som ligger mellom to radier kalles.
Buelengde kan bli funnet ved hjelp av formelen:
- Bruke gradmål: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
- Ved å bruke radianmål: CD = \alpha R
Diameteren, som er vinkelrett på akkorden, deler akkorden og buene som trekkes sammen av den i to.
Hvis akkordene AB og CD i sirkelen skjærer hverandre i punktet N, er produktene til segmentene til akkordene atskilt med punktet N lik hverandre.
AN\cdot NB = CN\cdot ND
Tangent til en sirkel
Tangent til en sirkel Det er vanlig å kalle en rett linje som har ett felles punkt med en sirkel.
Hvis en linje har to fellespunkter, kalles den sekant.
Hvis du tegner radien til tangentpunktet, vil den være vinkelrett på tangenten til sirkelen.
La oss tegne to tangenter fra dette punktet til sirkelen vår. Det viser seg at tangentsegmentene vil være lik hverandre, og sentrum av sirkelen vil være plassert på halveringslinjen til vinkelen med toppunktet på dette punktet.
AC = CB
La oss nå tegne en tangent og en sekant til sirkelen fra punktet vårt. Vi får at kvadratet på lengden av tangentsegmentet vil være lik produktet av hele sekantsegmentet og dets ytre del.
AC^(2) = CD \cdot BC
Vi kan konkludere: produktet av et helt segment av den første sekanten og dens ytre del er lik produktet av et helt segment av den andre sekanten og dens ytre del.
AC\cdot BC = EC\cdot DC
Vinkler i en sirkel
Gradmålene til midtvinkelen og buen den hviler på er like.
\angle COD = \kopp CD = \alpha ^(\circ)
Innskrevet vinkel er en vinkel hvis toppunkt er på en sirkel og hvis sider inneholder akkorder.
Du kan beregne det ved å vite størrelsen på buen, siden den er lik halvparten av denne buen.
\angle AOB = 2 \angle ADB
Basert på en diameter, innskrevet vinkel, rett vinkel.
\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)
Innskrevne vinkler som dekker den samme buen er identiske.
Innskrevne vinkler som hviler på en akkord er identiske eller summen er lik 180^ (\circ) .
\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)
\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB
På samme sirkel er toppunktene til trekanter med identiske vinkler og en gitt base.
En vinkel med et toppunkt inne i sirkelen og plassert mellom to akkorder er identisk med halvparten av summen av vinkelverdiene til sirkelbuene som er inneholdt innenfor de gitte og vertikale vinklene.
\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \venstre (\cup DmC + \cup AlB \right)
En vinkel med et toppunkt utenfor sirkelen og plassert mellom to sekanter er identisk med halvparten av forskjellen i vinkelverdiene til sirkelbuene som er inneholdt i vinkelen.
\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \venstre (\cup DmC - \cup AlB \right)
Innskrevet sirkel
Innskrevet sirkel er en sirkel som tangerer sidene til en polygon.
På punktet der halveringslinjene til hjørnene til en polygon skjærer hverandre, er senteret plassert.
En sirkel kan ikke være innskrevet i alle polygoner.
Arealet til en polygon med en innskrevet sirkel er funnet av formelen:
S = pr,
p er halvperimeteren til polygonet,
r er radiusen til den innskrevne sirkelen.
Det følger at radiusen til den innskrevne sirkelen er lik:
r = \frac(S)(p)
Summer av lengder motsatte sider vil være identisk hvis sirkelen er innskrevet i en konveks firkant. Og omvendt: en sirkel passer inn i en konveks firkant hvis summene av lengdene på motsatte sider er identiske.
AB + DC = AD + BC
Det er mulig å skrive inn en sirkel i hvilken som helst av trekantene. Bare en enkelt. På punktet der halveringslinjene til de indre vinklene til figuren skjærer hverandre, vil sentrum av denne innskrevne sirkelen ligge.
Radiusen til den innskrevne sirkelen beregnes med formelen:
r = \frac(S)(p) ,
hvor p = \frac(a + b + c)(2)
Omkrets
Hvis en sirkel går gjennom hvert toppunkt i en polygon, kalles en slik sirkel vanligvis beskrevet om en polygon.
Ved skjæringspunktet mellom de vinkelrette halveringslinjene til sidene av denne figuren vil være sentrum av den omskrevne sirkelen.
Radiusen kan bli funnet ved å beregne den som radiusen til sirkelen som er omskrevet rundt trekanten definert av hvilke som helst tre hjørner av polygonet.
Det er følgende betingelse: en sirkel kan beskrives rundt en firkant bare hvis summen av dens motsatte vinkler er lik 180^( \circ) .
\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ (\circ)
Rundt en hvilken som helst trekant kan du beskrive en sirkel, og bare én. Sentrum av en slik sirkel vil være plassert på punktet der de vinkelrette halveringslinjene til sidene av trekanten skjærer hverandre.
Radiusen til den omskrevne sirkelen kan beregnes ved å bruke formlene:
R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)
R = \frac(abc)(4 S)
a, b, c er lengdene på sidene i trekanten,
S er arealet av trekanten.
Ptolemaios teorem
Tenk til slutt på Ptolemaios sin teorem.
Ptolemaios teorem sier at produktet av diagonaler er identisk med summen av produktene til motsatte sider av en syklisk firkant.
AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD
.png)
Sirkelen, dens deler, deres størrelser og forhold er ting som en gullsmed stadig møter. Ringer, armbånd, kaster, rør, kuler, spiraler – det skal lages mange runde ting. Hvordan kan du beregne alt dette, spesielt hvis du var så heldig å hoppe over geometritimer på skolen?
La oss først se på hvilke deler en sirkel har og hva de kalles.
- En sirkel er en linje som omslutter en sirkel.
- En bue er en del av en sirkel.
- Radius er et segment som forbinder midten av en sirkel med et hvilket som helst punkt på sirkelen.
- En akkord er et segment som forbinder to punkter på en sirkel.
- Et segment er en del av en sirkel avgrenset av en akkord og en bue.
- En sektor er en del av en sirkel avgrenset av to radier og en bue.
Mengdene vi er interessert i og deres betegnelser:
La oss nå se hvilke problemer knyttet til deler av en sirkel som må løses.
- Finn lengden på utviklingen av en hvilken som helst del av ringen (armbånd). Diameteren og korden er spesifisert (alternativ: diameter og sentral vinkel), finn lengden på buen.
- Det er en tegning på et plan, du må finne ut størrelsen i projeksjon etter å ha bøyd den til en bue. Gitt buelengden og diameteren, finn akkordlengden.
- Finn ut høyden på delen oppnådd ved å bøye et flatt arbeidsstykke til en bue. Kildedataalternativer: buelengde og diameter, buelengde og korde; finn høyden på segmentet.
Livet vil gi deg andre eksempler, men jeg ga disse bare for å vise behovet for å sette noen to parametere for å finne alle de andre. Dette er hva vi skal gjøre. Vi vil nemlig ta fem parametere for segmentet: D, L, X, φ og H. Deretter, ved å velge alle mulige par fra dem, vil vi vurdere dem som innledende data og finne resten ved brainstorming.
For ikke å belaste leseren unødig, vil jeg ikke gi detaljerte løsninger, men presentere kun resultatene i form av formler (de tilfellene der det ikke finnes noen formell løsning, vil jeg diskutere underveis).
Og en merknad til: om måleenheter. Alle størrelser, bortsett fra midtvinkelen, måles i de samme abstrakte enhetene. Dette betyr at hvis du for eksempel spesifiserer en verdi i millimeter, trenger ikke den andre å spesifiseres i centimeter, og de resulterende verdiene vil bli målt i samme millimeter (og arealer i kvadratmillimeter). Det samme kan sies om tommer, fot og nautiske mil.
Og bare sentralvinkelen i alle tilfeller måles i grader og ingenting annet. For som en tommelfingerregel pleier ikke folk som designer noe rundt å måle vinkler i radianer. Uttrykket "vinkel pi med fire" forvirrer mange, mens "vinkel førtifem grader" er forståelig for alle, siden den bare er fem grader høyere enn normalt. Imidlertid vil det i alle formler være en vinkel til - α - til stede som en mellomverdi. I betydning er dette halve sentralvinkelen, målt i radianer, men du kan trygt ikke fordype deg i denne betydningen.
1. Gitt diameteren D og buelengden L
; akkord lengde 
;
segmenthøyde 
; sentral vinkel 
.
2. Gitt diameter D og kordelengde X
; bue lengde;
segmenthøyde ; sentral vinkel 
.
Siden akkorden deler sirkelen i to segmenter, har dette problemet ikke én, men to løsninger. For å få den andre, må du erstatte vinkelen α i formlene ovenfor med vinkelen .
3. Gitt diameteren D og midtvinkelen φ
; bue lengde;
akkord lengde ; segmenthøyde .
4. Gitt diameteren D og høyden til segmentet H
; bue lengde;
akkord lengde ; sentral vinkel .
6. Gitt buelengde L og midtvinkel φ
; diameter ;
akkord lengde ; segmenthøyde .
8. Gitt kordelengden X og sentralvinkelen φ
; buelengde 
;
diameter ; segmenthøyde .
9. Gitt lengden på akkorden X og høyden på segmentet H
; buelengde ;
diameter ; sentral vinkel .
10. Gitt den sentrale vinkelen φ og høyden til segmentet H
; diameter 
;
bue lengde; akkord lengde .
Den oppmerksomme leseren kunne ikke unngå å legge merke til at jeg gikk glipp av to alternativer:
5. Gitt buelengde L og kordelengde X
7. Gitt lengden på buen L og høyden på segmentet H
Dette er bare de to ubehagelige tilfellene når problemet ikke har en løsning som kan skrives i form av en formel. Og oppgaven er ikke så sjelden. For eksempel har du et flatt stykke med lengde L, og du vil bøye det slik at lengden blir X (eller høyden blir H). Hvilken diameter skal jeg ta doren (tverrstangen)?
Dette problemet kommer ned til å løse ligningene: 
; - i alternativ 5
; - i alternativ 7
og selv om de ikke kan løses analytisk, kan de enkelt løses programmatisk. Og jeg vet til og med hvor jeg kan få tak i et slikt program: på denne siden, under navnet . Alt jeg forteller deg her i lengden, gjør hun på mikrosekunder.
For å fullføre bildet, la oss legge til resultatene av våre beregninger omkretsen og tre områdeverdier - sirkel, sektor og segment. (Områder vil hjelpe oss mye når vi beregner massen til alle runde og halvsirkelformede deler, men mer om dette i en egen artikkel.) Alle disse mengdene er beregnet ved hjelp av de samme formlene:
omkrets;
området av en sirkel 
;
sektorområde 
;
segmentområde 
;
Og avslutningsvis, la meg minne deg nok en gang om eksistensen av absolutt gratis program, som utfører alle beregningene ovenfor, og frigjør deg fra å måtte huske hva en arctangens er og hvor du skal lete etter den.
Problemer med å finne arealet av en sirkel - obligatorisk del av Unified State-eksamenen i matematikk. Som regel er dette emnet tildelt flere oppgaver samtidig i sertifiseringstesten. Alle videregående elever, uavhengig av forberedelsesnivå, bør forstå algoritmen for å finne omkretsen og arealet til en sirkel.
Hvis slike planimetriske oppgaver forårsaker vanskeligheter, anbefaler vi at du henvender deg til Shkolkovo utdanningsportal. Hos oss kan du fylle kunnskapshull.
Den tilsvarende delen av nettstedet presenterer et stort utvalg problemer for å finne omkretsen og arealet til en sirkel, lik de som er inkludert i Unified State Exam. Etter å ha lært å utføre dem riktig, vil kandidaten være i stand til å takle eksamen.
Høydepunkter
Problemer som krever bruk av områdeformler kan være direkte eller omvendt. I det første tilfellet er parametrene til figurelementene kjent. I dette tilfellet er den nødvendige mengden areal. I det andre tilfellet, tvert imot, er området kjent, og det er nødvendig å finne et element i figuren. Algoritmen for å beregne riktig svar i slike oppgaver skiller seg bare i rekkefølgen som de grunnleggende formlene brukes. Det er derfor, når du begynner å løse slike problemer, er det nødvendig å gjenta det teoretiske materialet.
På utdanningsportal"Shkolkovo" presenterer all grunnleggende informasjon om emnet "Finne lengden på en sirkel eller bue og arealet av en sirkel," så vel som om andre emner, for eksempel, spesialistene våre forberedte den og presenterte den på det meste tilgjengelig form.
Etter å ha husket de grunnleggende formlene, kan studentene begynne å fullføre problemer for å finne området til en sirkel, lik de som er inkludert i Unified State Exam, online. For hver øvelse gir nettstedet en detaljert løsning og riktig svar. Om nødvendig kan enhver oppgave lagres i "Favoritter"-delen for å gå tilbake til den senere og diskutere den med læreren.
Videokurset "Få en A" inkluderer alle emnene som er nødvendige for å bestå Unified State Exam i matematikk med 60-65 poeng. Helt alle oppgaver 1-13 Profil Unified State Examination i matematikk. Også egnet for å bestå Basic Unified State Examination i matematikk. Hvis du vil bestå Unified State-eksamenen med 90-100 poeng, må du løse del 1 på 30 minutter og uten feil!
Forberedelseskurs til Unified State Exam for klasse 10-11, samt for lærere. Alt du trenger for å løse del 1 av Unified State Exam i matematikk (de første 12 oppgavene) og oppgave 13 (trigonometri). Og dette er mer enn 70 poeng på Unified State Exam, og verken en 100-poengs student eller en humaniorastudent kan klare seg uten dem.
All nødvendig teori. Raske løsninger, fallgruver og hemmeligheter til Unified State Exam. Alle gjeldende oppgaver i del 1 fra FIPI Task Bank er analysert. Kurset oppfyller fullt ut kravene til Unified State Exam 2018.
Kurset inneholder 5 store emner, 2,5 timer hver. Hvert emne er gitt fra bunnen av, enkelt og tydelig.
Hundrevis av Unified State Exam-oppgaver. Ordproblemer og sannsynlighetsteori. Enkle og lett å huske algoritmer for å løse problemer. Geometri. Teori, referansemateriale, analyse av alle typer Unified State Examination oppgaver. Stereometri. Vanskelige løsninger, nyttige jukseark, utvikling av romlig fantasi. Trigonometri fra bunnen til problem 13. Forståelse i stedet for proppfull. Tydelige forklaringer av komplekse begreper. Algebra. Røtter, potenser og logaritmer, funksjon og derivert. Grunnlag for løsning komplekse oppgaver 2 deler av Unified State-eksamenen.
