Typer potensfunksjoner, deres egenskaper og grafer. Grunnleggende elementære funksjoner: deres egenskaper og grafer. Derivert av en eksponentiell funksjon

På definisjonsdomenet til potensfunksjonen y = x p gjelder følgende formler:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Egenskaper til potensfunksjoner og deres grafer

Potensfunksjon med eksponent lik null, p = 0

Hvis eksponenten til potensfunksjonen y = x p er lik null, p = 0, er potensfunksjonen definert for alle x ≠ 0 og er en konstant lik en:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.

Potensfunksjon med naturlig oddetallseksponent, p = n = 1, 3, 5, ...

Betrakt en potensfunksjon y = x p = x n med en naturlig oddetallseksponent n = 1, 3, 5, ... .

Denne indikatoren kan også skrives i formen: n = 2k + 1, hvor k = 0, 1, 2, 3, ... er et ikke-negativt heltall. Nedenfor er egenskapene og grafene til slike funksjoner.

Graf av en potensfunksjon y = x n med en naturlig oddetallseksponent for ulike verdier av eksponenten n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
Omfang: -∞ < y < ∞
Flere betydninger: Paritet:
oddetall, y(-x) = - y(x) Monotone:
monotont øker Ekstrem:
Ingen
Konveks:< x < 0 выпукла вверх
på -∞< x < ∞ выпукла вниз
på 0 Bøyningspunkter:
Bøyningspunkter:
x = 0, y = 0
;
Grenser:
Private verdier:
ved x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
ved x = 0, y(0) = 0 n = 0
for x = 1, y(1) = 1 n = 1
Omvendt funksjon:
for n = 1 er funksjonen dens inverse: x = y for n ≠ 1, invers funksjon

er roten til grad n:

Potensfunksjon med naturlig jevn eksponent, p = n = 2, 4, 6, ...

Betrakt en potensfunksjon y = x p = x n med en naturlig jevn eksponent n = 2, 4, 6, ... .

Graf av en potensfunksjon y = x n med en naturlig oddetallseksponent for ulike verdier av eksponenten n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
Omfang: Denne indikatoren kan også skrives i formen: n = 2k, hvor k = 1, 2, 3, ... - naturlig. Egenskapene og grafene til slike funksjoner er gitt nedenfor.< ∞
Flere betydninger: Graf av en potensfunksjon y = x n med en naturlig jevn eksponent for ulike verdier av eksponenten n = 2, 4, 6, ....
oddetall, y(-x) = - y(x)
0 ≤ y
jevn, y(-x) = y(x)
monotont øker for x ≤ 0 avtar monotont
Ingen for x ≥ 0 øker monotont
på 0 Ekstrem:
minimum, x = 0, y = 0 Bøyningspunkter:
x = 0, y = 0
;
Grenser:
konveks ned Skjæringspunkter med koordinatakser:
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
ved x = 0, y(0) = 0 n = 0
for x = 1, y(1) = 1 n = 1
for n = 2, kvadratrot:
for n ≠ 2, roten av grad n:

Potensfunksjon med negativ heltallseksponent, p = n = -1, -2, -3, ...

Betrakt en potensfunksjon y = x p = x n med en negativ heltallseksponent n = -1, -2, -3, ... .

Hvis vi setter n = -k, hvor k = 1, 2, 3, ... er et naturlig tall, kan det representeres som:

Graf av en potensfunksjon y = x n med en negativ heltallseksponent for ulike verdier av eksponenten n = -1, -2, -3, ... .

Odd eksponent, n = -1, -3, -5, ...

Graf av en potensfunksjon y = x n med en naturlig oddetallseksponent for ulike verdier av eksponenten n = 1, 3, 5, .... Nedenfor er egenskapene til funksjonen y = x n med en oddetall negativ eksponent n = -1, -3, -5, ....
Omfang: x ≠ 0
Flere betydninger: Paritet:
oddetall, y(-x) = - y(x) y ≠ 0
monotont øker Ekstrem:
Ingen
avtar monotont< 0 : выпукла вверх
på x
på 0 Ekstrem:
minimum, x = 0, y = 0 Ekstrem:
for x > 0: konveks nedover
avtar monotont< 0, y < 0
Skilt:
x = 0, y = 0
; ; ;
Grenser:
ved x = 0, y(0) = 0 n = 0
for x = 1, y(1) = 1 n = 1
for x > 0, y > 0
når n = -1,< -2 ,

på n

Even eksponent, n = -2, -4, -6, ...

Graf av en potensfunksjon y = x n med en naturlig oddetallseksponent for ulike verdier av eksponenten n = 1, 3, 5, .... Nedenfor er egenskapene til funksjonen y = x n med en oddetall negativ eksponent n = -1, -3, -5, ....
Omfang: Nedenfor er egenskapene til funksjonen y = x n med en jevn negativ eksponent n = -2, -4, -6, ....
Flere betydninger: Graf av en potensfunksjon y = x n med en naturlig jevn eksponent for ulike verdier av eksponenten n = 2, 4, 6, ....
oddetall, y(-x) = - y(x)
avtar monotont< 0 : монотонно возрастает
y > 0
monotont øker Ekstrem:
Ingen for x ≥ 0 øker monotont
på 0 Ekstrem:
minimum, x = 0, y = 0 Ekstrem:
for x > 0: konveks nedover Nedenfor er egenskapene til funksjonen y = x n med en jevn negativ eksponent n = -2, -4, -6, ....
x = 0, y = 0
; ; ;
Grenser:
ved x = 0, y(0) = 0 n = 0
for x = 1, y(1) = 1 n = 1
for x > 0: avtar monotont
når n = -1,< -2 ,

ved n = -2,

Potensfunksjon med rasjonell (brøk) eksponent

Tenk på en potensfunksjon y = x p med en rasjonell (brøk)eksponent, der n er et heltall, m > 1 er et naturlig tall. Dessuten har ikke n, m felles divisorer.

Nevneren til brøkindikatoren er oddetall

La nevneren til brøkeksponenten være oddetall: m = 3, 5, 7, ... . I dette tilfellet er potensfunksjonen x p definert for både positive og negative verdier av argumentet x.< 0

La oss vurdere egenskapene til slike potensfunksjoner når eksponenten p er innenfor visse grenser.

P-verdien er negativ, s

La den rasjonelle eksponenten (med oddetall m = 3, 5, 7, ...) være mindre enn null: .

Grafer av potensfunksjoner med en rasjonell negativ eksponent for ulike verdier av eksponenten, der m = 3, 5, 7, ... - oddetall.

Graf av en potensfunksjon y = x n med en naturlig oddetallseksponent for ulike verdier av eksponenten n = 1, 3, 5, .... Nedenfor er egenskapene til funksjonen y = x n med en oddetall negativ eksponent n = -1, -3, -5, ....
Omfang: x ≠ 0
Flere betydninger: Paritet:
oddetall, y(-x) = - y(x) y ≠ 0
monotont øker Ekstrem:
Ingen
avtar monotont< 0 : выпукла вверх
på x
på 0 Ekstrem:
minimum, x = 0, y = 0 Ekstrem:
for x > 0: konveks nedover
avtar monotont< 0, y < 0
Skilt:
x = 0, y = 0
; ; ;
Grenser:
Oddeteller, n = -1, -3, -5, ...
ved x = 0, y(0) = 0 n = 0
for x = 1, y(1) = 1 n = 1

Vi presenterer egenskapene til potensfunksjonen y = x p med en rasjonell negativ eksponent, der n = -1, -3, -5, ... er et oddetall negativt heltall, m = 3, 5, 7 ... er et odde naturlig heltall.

ved x = -1, y(-1) = (-1) n = -1

Graf av en potensfunksjon y = x n med en naturlig oddetallseksponent for ulike verdier av eksponenten n = 1, 3, 5, .... Nedenfor er egenskapene til funksjonen y = x n med en oddetall negativ eksponent n = -1, -3, -5, ....
Omfang: Nedenfor er egenskapene til funksjonen y = x n med en jevn negativ eksponent n = -2, -4, -6, ....
Flere betydninger: Graf av en potensfunksjon y = x n med en naturlig jevn eksponent for ulike verdier av eksponenten n = 2, 4, 6, ....
oddetall, y(-x) = - y(x)
avtar monotont< 0 : монотонно возрастает
y > 0
monotont øker Ekstrem:
Ingen for x ≥ 0 øker monotont
på 0 Ekstrem:
minimum, x = 0, y = 0 Ekstrem:
for x > 0: konveks nedover Nedenfor er egenskapene til funksjonen y = x n med en jevn negativ eksponent n = -2, -4, -6, ....
x = 0, y = 0
; ; ;
Grenser:
Partall teller, n = -2, -4, -6, ...
ved x = 0, y(0) = 0 n = 0
for x = 1, y(1) = 1 n = 1

Egenskaper til potensfunksjonen y = x p med en rasjonell negativ eksponent, hvor n = -2, -4, -6, ... er et partall negativt heltall, m = 3, 5, 7 ... er et oddetall naturlig heltall .< p < 1

ved x = -1, y(-1) = (-1) n = 1< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

P-verdien er positiv, mindre enn én, 0

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Graf av en potensfunksjon y = x n med en naturlig oddetallseksponent for ulike verdier av eksponenten n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < +∞
Omfang: -∞ < y < +∞
Flere betydninger: Paritet:
oddetall, y(-x) = - y(x) Monotone:
monotont øker Ekstrem:
Ingen
avtar monotont< 0 : выпукла вниз
Graf av en potensfunksjon med rasjonell eksponent (0
på 0 Bøyningspunkter:
minimum, x = 0, y = 0 Bøyningspunkter:
for x > 0: konveks nedover
avtar monotont< 0, y < 0
Skilt:
x = 0, y = 0
;
Grenser:
Oddeteller, n = 1, 3, 5, ...
for x > 0: konveks oppover
ved x = -1, y(-1) = -1
for x = 1, y(1) = 1 n = 1

Partall teller, n = 2, 4, 6, ...

Egenskapene til potensfunksjonen y = x p med en rasjonell eksponent innenfor 0 presenteres< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Graf av en potensfunksjon y = x n med en naturlig oddetallseksponent for ulike verdier av eksponenten n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < +∞
Omfang: Denne indikatoren kan også skrives i formen: n = 2k, hvor k = 1, 2, 3, ... - naturlig. Egenskapene og grafene til slike funksjoner er gitt nedenfor.< +∞
Flere betydninger: Graf av en potensfunksjon y = x n med en naturlig jevn eksponent for ulike verdier av eksponenten n = 2, 4, 6, ....
oddetall, y(-x) = - y(x)
avtar monotont< 0 : монотонно убывает
for x > 0: øker monotont
monotont øker minimum ved x = 0, y = 0
Ingen konveks oppover for x ≠ 0
på 0 Ekstrem:
minimum, x = 0, y = 0 Bøyningspunkter:
for x > 0: konveks nedover for x ≠ 0, y > 0
x = 0, y = 0
;
Grenser:
ved x = -1, y(-1) = 1
for x > 0: konveks oppover
ved x = -1, y(-1) = -1
for x = 1, y(1) = 1 n = 1

Indeksen p er større enn én, p > 1

Graf av en potensfunksjon med en rasjonell eksponent (p > 1) for ulike verdier av eksponenten, der m = 3, 5, 7, ... - oddetall.

Oddeteller, n = 5, 7, 9, ...

Egenskaper til potensfunksjonen y = x p med en rasjonell eksponent større enn én: .

Graf av en potensfunksjon y = x n med en naturlig oddetallseksponent for ulike verdier av eksponenten n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
Omfang: -∞ < y < ∞
Flere betydninger: Paritet:
oddetall, y(-x) = - y(x) Monotone:
monotont øker Ekstrem:
Ingen
Konveks:< x < 0 выпукла вверх
på -∞< x < ∞ выпукла вниз
på 0 Bøyningspunkter:
minimum, x = 0, y = 0 Bøyningspunkter:
x = 0, y = 0
;
Grenser:
Oddeteller, n = 1, 3, 5, ...
for x > 0: konveks oppover
ved x = -1, y(-1) = -1
for x = 1, y(1) = 1 n = 1

Hvor n = 5, 7, 9, ... - oddetall naturlig, m = 3, 5, 7 ... - oddetall naturlig.

Partall teller, n = 4, 6, 8, ...

Graf av en potensfunksjon y = x n med en naturlig oddetallseksponent for ulike verdier av eksponenten n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
Omfang: Denne indikatoren kan også skrives i formen: n = 2k, hvor k = 1, 2, 3, ... - naturlig. Egenskapene og grafene til slike funksjoner er gitt nedenfor.< ∞
Flere betydninger: Graf av en potensfunksjon y = x n med en naturlig jevn eksponent for ulike verdier av eksponenten n = 2, 4, 6, ....
oddetall, y(-x) = - y(x)
avtar monotont< 0 монотонно убывает
Egenskaper til potensfunksjonen y = x p med en rasjonell eksponent større enn én: .
monotont øker minimum ved x = 0, y = 0
Ingen for x ≥ 0 øker monotont
på 0 Ekstrem:
minimum, x = 0, y = 0 Bøyningspunkter:
x = 0, y = 0
;
Grenser:
ved x = -1, y(-1) = 1
for x > 0: konveks oppover
ved x = -1, y(-1) = -1
for x = 1, y(1) = 1 n = 1

Hvor n = 4, 6, 8, ... - partall naturlig, m = 3, 5, 7 ... - oddetall naturlig.

for x > 0 øker monotont

Nevneren til brøkindikatoren er partall

La nevneren til brøkeksponenten være jevn: m = 2, 4, 6, ... . I dette tilfellet er potensfunksjonen x p ikke definert for negative verdier av argumentet. Egenskapene sammenfaller med egenskapene til en potensfunksjon med en irrasjonell eksponent (se neste avsnitt).

Power funksjon med irrasjonell eksponent

Betrakt en potensfunksjon y = x p med en irrasjonell eksponent p.< 0

Graf av en potensfunksjon y = x n med en naturlig oddetallseksponent for ulike verdier av eksponenten n = 1, 3, 5, .... Egenskapene til slike funksjoner skiller seg fra de som er diskutert ovenfor ved at de ikke er definert for negative verdier av argumentet x.
Omfang: Nedenfor er egenskapene til funksjonen y = x n med en jevn negativ eksponent n = -2, -4, -6, ....
oddetall, y(-x) = - y(x) y ≠ 0
Ingen for x ≥ 0 øker monotont
på 0 Ekstrem:
minimum, x = 0, y = 0 Ekstrem:
x = 0, y = 0 ;
For positive verdier av argumentet avhenger egenskapene kun av verdien til eksponenten p og avhenger ikke av om p er heltall, rasjonell eller irrasjonell. y = x p for forskjellige verdier av eksponenten p.

Potensfunksjon med negativ eksponent s

x > 0< p < 1

Graf av en potensfunksjon y = x n med en naturlig oddetallseksponent for ulike verdier av eksponenten n = 1, 3, 5, .... Privat betydning:
Omfang: For x = 1, y(1) = 1 p = 1
oddetall, y(-x) = - y(x) Monotone:
Ingen Potensfunksjon med positiv eksponent p > 0
på 0 Ekstrem:
minimum, x = 0, y = 0 Bøyningspunkter:
x = 0, y = 0
Grenser: Indikator mindre enn én 0
y = x p for forskjellige verdier av eksponenten p.

x ≥ 0

Graf av en potensfunksjon y = x n med en naturlig oddetallseksponent for ulike verdier av eksponenten n = 1, 3, 5, .... Privat betydning:
Omfang: For x = 1, y(1) = 1 p = 1
oddetall, y(-x) = - y(x) Monotone:
Ingen for x ≥ 0 øker monotont
på 0 Ekstrem:
minimum, x = 0, y = 0 Bøyningspunkter:
x = 0, y = 0
Grenser: Indikator mindre enn én 0
y = x p for forskjellige verdier av eksponenten p.

y ≥ 0
konveks oppover

For x = 0, y(0) = 0 p = 0 .

Indikatoren er større enn én p > 1 Brukt litteratur: I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Håndbok i matematikk for ingeniører og studenter, "Lan", 2009.

Artikkelen nedenfor gir nøkkelmateriale om emnet grunnleggende elementære funksjoner. Vi vil introdusere begreper, gi dem definisjoner; La oss studere hver type elementære funksjoner i detalj og analysere egenskapene deres.

Følgende typer grunnleggende elementære funksjoner skilles ut:

Definisjon 1

konstant funksjon (konstant);
nte rot;
makt funksjon;
eksponentiell funksjon;
logaritmisk funksjon;
trigonometriske funksjoner;
broderlige trigonometriske funksjoner.

En konstantfunksjon er definert av formelen: y = C (C er et visst reelt tall) og har også et navn: konstant. Denne funksjonen bestemmer korrespondansen mellom en hvilken som helst reell verdi av den uavhengige variabelen x til samme verdi av variabelen y - verdien av C.

Grafen til en konstant er en rett linje som er parallell med abscisseaksen og går gjennom et punkt som har koordinater (0, C). For klarhetens skyld presenterer vi grafer av konstante funksjoner y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 (angitt i henholdsvis svart, rød og blå farger på tegningen).

Definisjon 2

Denne elementære funksjonen er definert av formelen y = x n (n er et naturlig tall større enn én).

La oss vurdere to varianter av funksjonen.

n-te rot, n – partall

For klarhets skyld indikerer vi en tegning som viser grafer for slike funksjoner: y = x, y = x 4 og y = x8. Disse funksjonene er fargekodet: henholdsvis svart, rød og blå.

Grafene til en funksjon med jevn grad har et lignende utseende for andre verdier av eksponenten.

Definisjon 3

Egenskaper til den n-te rotfunksjonen, n er et partall

definisjonsdomene – settet av alle ikke-negative reelle tall [ 0 , + ∞) ;
når x = 0, funksjon y = x n har en verdi lik null;
gitt funksjon-funksjon generelt syn(er verken partall eller oddetall);
område: [ 0 , + ∞) ;
denne funksjonen y = x n med jevne roteksponenter øker gjennom hele definisjonsdomenet;
funksjonen har en konveksitet med en oppadgående retning gjennom hele definisjonsdomenet;
det er ingen bøyningspunkter;
det er ingen asymptoter;
grafen til funksjonen for jevn n går gjennom punktene (0; 0) og (1; 1).

n-te rot, n – oddetall

En slik funksjon er definert på hele settet med reelle tall. For klarhet, vurder grafene til funksjonene y = x 3, y = x 5 og x 9. På tegningen er de indikert med farger: svart, rød og blå og kurver henholdsvis.

Andre oddeverdier av roteksponenten til funksjonen y = x n vil gi en graf av lignende type.

Definisjon 4

Egenskaper til den n-te rotfunksjonen, n er et oddetall

definisjonsdomene – settet av alle reelle tall;
denne funksjonen er rar;
verdiområde - settet med alle reelle tall;
funksjonen y = x n for odde roteksponenter øker over hele definisjonsdomenet;
funksjonen har konkavitet på intervallet (- ∞ ; 0 ] og konveksitet på intervallet [ 0 , + ∞);
bøyningspunktet har koordinater (0; 0);
det er ingen asymptoter;
Grafen til funksjonen for oddetall n går gjennom punktene (- 1 ; - 1), (0 ; 0) og (1 ; 1).

Power funksjon

Definisjon 5

Potensfunksjonen er definert av formelen y = x a.

Utseendet til grafene og egenskapene til funksjonen avhenger av verdien til eksponenten.

når en potensfunksjon har en heltallseksponent a, så avhenger typen graf for potensfunksjonen og dens egenskaper av om eksponenten er partall eller oddetall, samt hvilket fortegn eksponenten har. La oss vurdere alle disse spesielle tilfellene mer detaljert nedenfor;
eksponenten kan være brøkdel eller irrasjonell - avhengig av dette varierer også typen grafer og funksjonens egenskaper. Vi vil analysere spesielle tilfeller ved å sette flere betingelser: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
en potensfunksjon kan ha en null-eksponent, vi vil også analysere dette tilfellet mer detaljert nedenfor.

La oss analysere kraftfunksjonen y = x a, når a er et oddetall, for eksempel, a = 1, 3, 5...

For klarhet angir vi grafene til slike potensfunksjoner: y = x (grafisk farge svart), y = x 3 (blå farge på grafen), y = x 5 (rød farge på grafen), y = x 7 (grafisk farge grønn). Når a = 1, får vi den lineære funksjonen y = x.

Definisjon 6

Egenskaper til en potensfunksjon når eksponenten er oddetall positiv

funksjonen øker for x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
funksjonen har konveksitet for x ∈ (- ∞ ; 0 ] og konkavitet for x ∈ [ 0 ; + ∞) (unntatt den lineære funksjonen);
bøyningspunktet har koordinater (0 ; 0) (unntatt lineær funksjon);
det er ingen asymptoter;
overgangspunkter for funksjonen: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0), (1 ; 1) .

La oss analysere kraftfunksjonen y = x a, når a er et partall positivt tall, for eksempel, a = 2, 4, 6...

For klarhet angir vi grafene for slike potensfunksjoner: y = x 2 (grafisk farge svart), y = x 4 (blå farge på grafen), y = x 8 (rød farge på grafen). Når a = 2, får vi en kvadratisk funksjon, hvis graf er en kvadratisk parabel.

Definisjon 7

Egenskaper til en potensfunksjon når eksponenten til og med er positiv:

definisjonsdomene: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
avtagende for x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
funksjonen har konkavitet for x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
det er ingen bøyningspunkter;
det er ingen asymptoter;
overgangspunkter for funksjonen: (- 1 ; 1) , (0 ; 0), (1 ; 1) .

Figuren nedenfor viser eksempler på potensfunksjonsgrafer y = x a når a er et negativt oddetall: y = x - 9 (grafisk farge svart); y = x - 5 (blå farge på grafen); y = x - 3 (rød farge på grafen); y = x - 1 (grafisk farge grønn). Når a = - 1, får vi invers proporsjonalitet, grafen som er en hyperbel.

Definisjon 8

Egenskaper til en potensfunksjon når eksponenten er oddetall negativ:

Når x = 0, får vi en diskontinuitet av den andre typen, siden lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ for a = - 1, - 3, - 5, …. Dermed er den rette linjen x = 0 en vertikal asymptote;

område: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
funksjonen er oddetall fordi y (- x) = - y (x);
funksjonen er avtagende for x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞);
funksjonen har konveksitet for x ∈ (- ∞ ; 0) og konkavitet for x ∈ (0 ; + ∞) ;
det er ingen bøyningspunkter;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, når a = - 1, - 3, - 5, . . . .

overgangspunkter for funksjonen: (- 1 ; - 1), (1 ; 1) .

Figuren nedenfor viser eksempler på grafer for potensfunksjonen y = x a når a er et partall negativt tall: y = x - 8 (grafisk farge svart); y = x - 4 (blå farge på grafen); y = x - 2 (rød farge på grafen).

Definisjon 9

Egenskaper til en potensfunksjon når eksponenten er til og med negativ:

definisjonsdomene: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Når x = 0, får vi en diskontinuitet av den andre typen, siden lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ for a = - 2, - 4, - 6, …. Dermed er den rette linjen x = 0 en vertikal asymptote;

funksjonen er partall fordi y(-x) = y(x);
funksjonen øker for x ∈ (- ∞ ; 0) og avtagende for x ∈ 0; + ∞ ;
funksjonen har konkavitet ved x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
det er ingen bøyningspunkter;
horisontal asymptote – rett linje y = 0, fordi:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 når a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

overgangspunkter for funksjonen: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Helt fra begynnelsen, vær oppmerksom på følgende aspekt: i tilfellet når a er en positiv brøk med en oddetall, tar noen forfattere intervallet - ∞ som definisjonsdomene for denne potensfunksjonen; + ∞ , som angir at eksponenten a er en irreduserbar brøk. For øyeblikket DEFINERER IKKE forfatterne av mange pedagogiske publikasjoner om algebra og analyseprinsipper potensfunksjoner, der eksponenten er en brøkdel med en odde nevner for negative verdier av argumentet. Videre vil vi holde oss til nøyaktig denne posisjonen: vi tar settet [ 0 ; + ∞). Anbefaling til elever: finn ut lærerens syn på dette punktet for å unngå uenighet.

Så la oss se på strømfunksjonen y = x a , når eksponenten er et rasjonelt eller irrasjonelt tall, forutsatt at 0< a < 1 .

La oss illustrere potensfunksjonene med grafer y = x a når a = 11 12 (grafisk farge svart); a = 5 7 (rød farge på grafen); a = 1 3 (blå farge på grafen); a = 2 5 (grønn farge på grafen).

Andre verdier av eksponenten a (forutsatt 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Definisjon 10

Egenskaper for kraftfunksjonen ved 0< a < 1:

område: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
funksjonen øker for x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
funksjonen er konveks for x ∈ (0 ; + ∞);
det er ingen bøyningspunkter;
det er ingen asymptoter;

La oss analysere kraftfunksjonen y = x a, når eksponenten er et ikke-heltallsrasjonalt eller irrasjonelt tall, forutsatt at a > 1.

La oss illustrere potensfunksjonen med grafer y = x a under gitte forhold ved å bruke følgende funksjoner som eksempel: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (hhv. svarte, røde, blå, grønne grafer).

Andre verdier av eksponenten a, gitt a > 1, vil gi en lignende graf.

Definisjon 11

Egenskaper for strømfunksjonen for en > 1:

definisjonsdomene: x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
område: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
denne funksjonen er en funksjon av generell form (den er verken oddetall eller partall);
funksjonen øker for x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
funksjonen har konkavitet for x ∈ (0 ; + ∞) (når 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
det er ingen bøyningspunkter;
det er ingen asymptoter;
passasjepunkter for funksjonen: (0 ; 0), (1 ; 1) .

Vær oppmerksom på at når a er en negativ brøk med en odde nevner, er det i verkene til noen forfattere et syn på at definisjonsdomenet i dette tilfellet er intervallet - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) med forbehold om at eksponenten a er en irreduserbar brøk. For tiden forfatterne undervisningsmateriell i algebra og analyseprinsipper er potensfunksjoner med en eksponent i form av en brøk med en oddetall for negative verdier av argumentet IKKE BESTEMT. Videre følger vi nøyaktig dette synet: vi tar mengden (0 ; + ∞) som domene for definisjon av potensfunksjoner med negative brøkeksponenter. Anbefaling til elevene: Klargjør lærerens visjon på dette tidspunktet for å unngå uenigheter.

La oss fortsette emnet og analysere kraftfunksjonen y = x a gitt: - 1< a < 0 .

La oss presentere en tegning av grafer for følgende funksjoner: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (svart, rød, blå, grønn farge av linjene, henholdsvis).

Definisjon 12

Egenskaper for strømfunksjonen ved - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ når - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

område: y ∈ 0 ; + ∞ ;
denne funksjonen er en funksjon av generell form (den er verken oddetall eller partall);
det er ingen bøyningspunkter;

Tegningen nedenfor viser grafer av potensfunksjoner y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 (svart, rød, blå, grønne farger henholdsvis kurver).

Definisjon 13

Egenskaper til kraftfunksjonen for en< - 1:

definisjonsdomene: x ∈ 0 ; + ∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ når a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

område: y ∈ (0 ; + ∞) ;
denne funksjonen er en funksjon av generell form (den er verken oddetall eller partall);
funksjonen er avtagende for x ∈ 0; + ∞ ;
funksjonen har en konkavitet for x ∈ 0; + ∞ ;
det er ingen bøyningspunkter;
horisontal asymptote – rett linje y = 0;
overgangspunkt for funksjonen: (1; 1) .

Når a = 0 og x ≠ 0, får vi funksjonen y = x 0 = 1, som definerer linjen som punktet (0; 1) ekskluderes fra (det ble avtalt at uttrykket 0 0 ikke vil gis noen betydning ).

Eksponentialfunksjonen har formen y = a x, hvor a > 0 og a ≠ 1, og grafen til denne funksjonen ser annerledes ut basert på verdien av grunntallet a. La oss vurdere spesielle tilfeller.

La oss først se på situasjonen når basen til eksponentialfunksjonen har en verdi fra null til én (0< a < 1) . Et godt eksempel er grafene for funksjoner for a = 1 2 (blå farge på kurven) og a = 5 6 (rød farge på kurven).

Grafene til eksponentialfunksjonen vil ha et lignende utseende for andre verdier av basen under betingelsen 0< a < 1 .

Definisjon 14

Egenskaper til eksponentialfunksjonen når basen er mindre enn én:

område: y ∈ (0 ; + ∞) ;
denne funksjonen er en funksjon av generell form (den er verken oddetall eller partall);
en eksponentiell funksjon hvis base er mindre enn én, avtar over hele definisjonsdomenet;
det er ingen bøyningspunkter;
horisontal asymptote – rett linje y = 0 med variabel x som har en tendens til + ∞;

Tenk nå på tilfellet når basisen til eksponentialfunksjonen er større enn én (a > 1).

La oss illustrere dette spesielle tilfellet med en graf av eksponentielle funksjoner y = 3 2 x (blå farge på kurven) og y = e x (rød farge på grafen).

Andre verdier av basen, større enheter, vil gi et lignende utseende som grafen til eksponentialfunksjonen.

Definisjon 15

Egenskaper til eksponentialfunksjonen når basen er større enn én:

definisjonsdomene – hele settet med reelle tall;
område: y ∈ (0 ; + ∞) ;
denne funksjonen er en funksjon av generell form (den er verken oddetall eller partall);
en eksponentiell funksjon hvis base er større enn én øker som x ∈ - ∞; + ∞ ;
funksjonen har en konkavitet ved x ∈ - ∞; + ∞ ;
det er ingen bøyningspunkter;
horisontal asymptote – rett linje y = 0 med variabel x som har en tendens til - ∞;
passasjepunkt for funksjonen: (0; 1) .

Den logaritmiske funksjonen har formen y = log a (x), hvor a > 0, a ≠ 1.

En slik funksjon er kun definert for positive verdier av argumentet: for x ∈ 0; + ∞ .

Grafen til en logaritmisk funksjon har annen type, basert på verdien av base a.

La oss først vurdere situasjonen når 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Andre verdier av basen, ikke større enheter, vil gi en lignende type graf.

Definisjon 16

Egenskaper for en logaritmisk funksjon når grunntallet er mindre enn én:

definisjonsdomene: x ∈ 0 ; + ∞ . Ettersom x har en tendens til null fra høyre, har funksjonsverdiene en tendens til +∞;
verdiområde: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
denne funksjonen er en funksjon av generell form (den er verken oddetall eller partall);
logaritmisk
funksjonen har en konkavitet for x ∈ 0; + ∞ ;
det er ingen bøyningspunkter;
det er ingen asymptoter;

La oss nå se på det spesielle tilfellet når basen til den logaritmiske funksjonen er større enn én: a > 1 . Tegningen under viser grafer av logaritmiske funksjoner y = log 3 2 x og y = ln x (henholdsvis blå og røde farger på grafene).

Andre verdier av basen større enn én vil gi en lignende type graf.

Definisjon 17

Egenskaper for en logaritmisk funksjon når grunntallet er større enn én:

definisjonsdomene: x ∈ 0 ; + ∞ . Ettersom x har en tendens til null fra høyre, har funksjonsverdiene en tendens til - ∞ ;
verdiområde: y ∈ - ∞ ; + ∞ (hele settet med reelle tall);
denne funksjonen er en funksjon av generell form (den er verken oddetall eller partall);
den logaritmiske funksjonen øker for x ∈ 0; + ∞ ;
funksjonen er konveks for x ∈ 0; + ∞ ;
det er ingen bøyningspunkter;
det er ingen asymptoter;
passasjepunkt for funksjonen: (1; 0) .

De trigonometriske funksjonene er sinus, cosinus, tangens og cotangens. La oss se på egenskapene til hver av dem og den tilhørende grafikken.

Generelt er alle trigonometriske funksjoner preget av egenskapen periodisitet, dvs. når verdiene til funksjonene gjentas for forskjellige verdier av argumentet, forskjellig fra hverandre med perioden f (x + T) = f (x) (T er perioden). Dermed legges elementet "minste positive periode" til listen over egenskaper til trigonometriske funksjoner. I tillegg vil vi indikere verdiene til argumentet der den tilsvarende funksjonen blir null.

Sinusfunksjon: y = sin(x)

Grafen til denne funksjonen kalles en sinusbølge.

Definisjon 18

Egenskaper til sinusfunksjonen:

definisjonsdomene: hele settet med reelle tall x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
funksjonen forsvinner når x = π · k, hvor k ∈ Z (Z er settet med heltall);
funksjonen øker for x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z og avtagende for x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
sinusfunksjonen har lokale maksima i punktene π 2 + 2 π · k; 1 og lokale minima ved punktene - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
sinusfunksjonen er konkav når x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z og konveks når x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
det er ingen asymptoter.

Cosinus funksjon: y = cos(x)

Grafen til denne funksjonen kalles en cosinusbølge.

Definisjon 19

Egenskaper til cosinusfunksjonen:

definisjonsdomene: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
minste positive periode: T = 2 π;
verdiområde: y ∈ - 1 ; 1;
denne funksjonen er partall, siden y (- x) = y (x);
funksjonen øker for x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z og avtagende for x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
cosinusfunksjonen har lokale maksima i punktene 2 π · k ; 1, k ∈ Z og lokale minima i punktene π + 2 π · k; - 1, k ∈ z;
cosinusfunksjonen er konkav når x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z og konveks når x ∈ - π 2 + 2 π · k; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
bøyningspunkter har koordinater π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z
det er ingen asymptoter.

Tangentfunksjon: y = t g (x)

Grafen til denne funksjonen kalles tangent.

Definisjon 20

Egenskaper til tangentfunksjonen:

definisjonsdomene: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, hvor k ∈ Z (Z er settet med heltall);
Oppførselen til tangentfunksjonen på grensen til definisjonsdomenet lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Dermed er de rette linjene x = π 2 + π · k k ∈ Z vertikale asymptoter;
funksjonen forsvinner når x = π · k for k ∈ Z (Z er settet med heltall);
verdiområde: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
denne funksjonen er merkelig, siden y (- x) = - y (x) ;
funksjonen øker som - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z;
tangentfunksjonen er konkav for x ∈ [π · k; π 2 + π · k), k ∈ Z og konveks for x ∈ (- π 2 + π · k ; π · k ], k ∈ Z ;
bøyningspunkter har koordinater π · k ; 0, k ∈ Z;

Kotangens funksjon: y = c t g (x)

Grafen til denne funksjonen kalles en cotangentoid. .

Definisjon 21

Egenskaper til cotangensfunksjonen:

definisjonsdomene: x ∈ (π · k ; π + π · k) , hvor k ∈ Z (Z er settet med heltall);

Oppførselen til cotangensfunksjonen på grensen til definisjonsdomenet lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Dermed er de rette linjene x = π · k k ∈ Z vertikale asymptoter;

minste positive periode: T = π;
funksjonen forsvinner når x = π 2 + π · k for k ∈ Z (Z er settet med heltall);
verdiområde: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
denne funksjonen er merkelig, siden y (- x) = - y (x) ;
funksjonen er avtagende for x ∈ π · k ; π + π k, k ∈ Z;
cotangensfunksjonen er konkav for x ∈ (π · k; π 2 + π · k ], k ∈ Z og konveks for x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k), k ∈ Z ;
bøyningspunkter har koordinater π 2 + π · k; 0, k ∈ Z;
Det er ingen skrå eller horisontale asymptoter.

De inverse trigonometriske funksjonene er arcsine, arccosine, arctangent og arccotangent. Ofte, på grunn av tilstedeværelsen av prefikset "bue" i navnet, kalles inverse trigonometriske funksjoner buefunksjoner .

Arc sinus funksjon: y = a r c sin (x)

Definisjon 22

Egenskaper til arcsine-funksjonen:

denne funksjonen er merkelig, siden y (- x) = - y (x) ;
arcsine-funksjonen har en konkavitet for x ∈ 0; 1 og konveksitet for x ∈ - 1 ; 0 ;
bøyningspunkter har koordinater (0; 0), som også er nullpunktet til funksjonen;
det er ingen asymptoter.

Arc cosinus funksjon: y = a r c cos (x)

Definisjon 23

Egenskaper til buekosinusfunksjonen:

definisjonsdomene: x ∈ - 1 ; 1;
område: y ∈ 0 ; π;
denne funksjonen er av en generell form (verken partall eller oddetall);
funksjonen avtar over hele definisjonsdomenet;
buekosinusfunksjonen har en konkavitet ved x ∈ - 1; 0 og konveksitet for x ∈ 0; 1;
bøyningspunkter har koordinater 0; π 2;
det er ingen asymptoter.

Buetangensfunksjon: y = a r c t g (x)

Definisjon 24

Egenskaper til arctangens-funksjonen:

definisjonsdomene: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
verdiområde: y ∈ - π 2 ; π 2;
denne funksjonen er merkelig, siden y (- x) = - y (x) ;
funksjonen øker over hele definisjonsdomenet;
den arctangent funksjonen har konkavitet for x ∈ (- ∞ ; 0 ] og konveksitet for x ∈ [ 0 ; + ∞);
bøyningspunktet har koordinater (0; 0), som også er nullpunktet til funksjonen;
horisontale asymptoter er rette linjer y = - π 2 som x → - ∞ og y = π 2 som x → + ∞ (i figuren er asymptotene grønne linjer).

Arc tangens funksjon: y = a r c c t g (x)

Definisjon 25

Egenskaper til arccotangens-funksjonen:

definisjonsdomene: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
område: y ∈ (0; π) ;
denne funksjonen er av en generell form;
funksjonen avtar over hele definisjonsdomenet;
bue-cotangens-funksjonen har en konkavitet for x ∈ [ 0 ; + ∞) og konveksitet for x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
bøyningspunktet har koordinater 0; π 2;
horisontale asymptoter er rette linjer y = π ved x → - ∞ (grønn linje på tegningen) og y = 0 ved x → + ∞.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

10. klasse

STRØMFUNKSJON

Makt ringtefunksjon gitt av formelHvor, s – et reelt tall.

jeg . Indikator- et partall naturlig tall. Deretter strømfunksjonen Hvorn

D ( y )= (−; +).

2) Verdiområdet til en funksjon er et sett med ikke-negative tall, hvis:

sett med ikke-positive tall hvis:

3) ) . Så funksjonenOy .

4) Hvis, så reduseres funksjonen somX (- ; 0] og øker medX og avtar klX \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \]

Graf (fig. 2).

Figur 2. Graf for funksjonen $f\left(x\right)=x^(2n)$

Egenskaper til en potensfunksjon med en naturlig oddetallseksponent

Definisjonsdomenet er alle reelle tall.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- funksjonen er merkelig.

$f(x)$ er kontinuerlig over hele definisjonsdomenet.

Området er alle reelle tall.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Funksjonen øker over hele definisjonsdomenet.

$f\left(x\right)0$, for $x\in (0,+\infty)$.

$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \venstre(2n-1\høyre)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Funksjonen er konkav for $x\in (-\infty ,0)$ og konveks for $x\in (0,+\infty)$.

Graf (fig. 3).

Figur 3. Graf for funksjonen $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

Potensfunksjon med heltallseksponent

La oss først introdusere konseptet med en grad med en heltallseksponent.

Definisjon 3

Kraften til et reelt tall $a$ med heltallseksponent $n$ bestemmes av formelen:

Figur 4.

La oss nå vurdere en potensfunksjon med en heltallseksponent, dens egenskaper og graf.

Definisjon 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\i Z)$ kalles en potensfunksjon med en heltallseksponent.

Hvis graden er større enn null, kommer vi til tilfellet med en potensfunksjon med en naturlig eksponent. Vi har allerede diskutert det ovenfor. Når $n=0$ får vi en lineær funksjon $y=1$. Vi vil overlate vurderingen til leseren. Det gjenstår å vurdere egenskapene til en potensfunksjon med en negativ heltallseksponent

Egenskaper til en potensfunksjon med negativ heltallseksponent

Definisjonsdomenet er $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Hvis eksponenten er partall, så er funksjonen partall hvis den er oddetall, så er funksjonen oddetall.

$f(x)$ er kontinuerlig over hele definisjonsdomenet.

Omfang:

Hvis eksponenten er partall, så $(0,+\infty)$ hvis den er oddetall, så $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$;

For en oddetallseksponent reduseres funksjonen som $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Hvis eksponenten er partall, reduseres funksjonen som $x\in (0,+\infty)$. og øker som $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ over hele definisjonsdomenet

Er du kjent med funksjonene y=x, y=x2, y=x3, y=1/x osv. Alle disse funksjonene er spesielle tilfeller av kraftfunksjonen, dvs. funksjonen y=xp, hvor p er et gitt reelt tall.
Egenskapene og grafen til en potensfunksjon avhenger vesentlig av egenskapene til en potens med en reell eksponent, og spesielt av verdiene som x Og s grad er fornuftig x s. La oss gå videre til en lignende vurdering av ulike saker avhengig av
eksponent s.

Indikator p=2n-et naturlig partall.

y=x2n, Hvor n- et naturlig tall, har følgende

egenskaper:

definisjonsdomene - alle reelle tall, dvs. settet R;
sett med verdier - ikke-negative tall, dvs. y er større enn eller lik 0;
funksjon y=x2n selv, fordi x 2n=(- x) 2n
funksjonen avtar på intervallet x<0 og øker på intervallet x>0.

Graf av en funksjon y=x2n har samme form som for eksempel grafen til en funksjon y=x 4.

2. Indikator p=2n-1- oddetall
I dette tilfellet strømfunksjonen y=x2n-1, hvor er et naturlig tall, har følgende egenskaper:

definisjonsdomene - sett R;
sett med verdier - sett R;
funksjon y=x2n-1 merkelig fordi (- x) 2n-1=x2n-1;
funksjonen øker på hele den reelle aksen.

Graf av en funksjon y=x 2n-1 har samme form som for eksempel grafen til funksjonen y=x 3 .

3. Indikator p=-2n, Hvor n- naturlig tall.

I dette tilfellet strømfunksjonen y=x -2n =1/x 2n har følgende egenskaper:

definisjonsdomene - sett R, bortsett fra x=0;
sett med verdier - positive tall y>0;
funksjon y =1/x2n selv, fordi 1/(-x)2n=1/x 2n;
funksjonen øker på intervallet x<0 и убывающей на промежутке x>0.

Graf over funksjon y =1/x2n har samme form som for eksempel grafen til funksjonen y =1/x 2.