Når du studerer algebra i ungdomsskolen(9. klasse) et av de viktige temaene er studiet av tallsekvenser, som inkluderer progresjoner – geometriske og aritmetiske. I denne artikkelen skal vi se på en aritmetisk progresjon og eksempler med løsninger.
Hva er en aritmetisk progresjon?
For å forstå dette er det nødvendig å definere den aktuelle progresjonen, samt gi de grunnleggende formlene som vil bli brukt senere for å løse problemer.
En aritmetisk eller algebraisk progresjon er et sett med ordnede rasjonelle tall, hvor hvert ledd er forskjellig fra det forrige med en konstant verdi. Denne mengden kalles differansen. Det vil si at du kan gjenopprette hele den aritmetiske progresjonen når du kjenner til et hvilket som helst medlem av en ordnet serie med tall og forskjellen.
La oss gi et eksempel. Følgende tallrekke vil være en aritmetisk progresjon: 4, 8, 12, 16, ..., siden forskjellen i dette tilfellet er 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Men settet med tall 3, 5, 8, 12, 17 kan ikke lenger tilskrives typen progresjon som vurderes, siden forskjellen for det ikke er en konstant verdi (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).
Viktige formler
La oss nå presentere de grunnleggende formlene som vil være nødvendig for å løse problemer ved å bruke aritmetisk progresjon. La oss betegne med symbolet a n nte termin sekvenser der n er et heltall. Vi betegner forskjellen med den latinske bokstaven d. Da er følgende uttrykk gyldige:
- For å bestemme verdien av det n-te leddet er følgende formel egnet: a n = (n-1)*d+a 1 .
- For å bestemme summen av de første n leddene: S n = (a n +a 1)*n/2.
For å forstå noen eksempler på aritmetisk progresjon med løsninger i 9. klasse, er det nok å huske disse to formlene, siden eventuelle problemer av typen som vurderes er basert på bruken. Du bør også huske at progresjonsforskjellen bestemmes av formelen: d = a n - a n-1.
Eksempel #1: finne et ukjent medlem
La oss gi et enkelt eksempel på en aritmetisk progresjon og formlene som må brukes for å løse den.
La sekvensen 10, 8, 6, 4, ... gis, du må finne fem ledd i den.
Fra betingelsene for problemet følger det allerede at de første 4 leddene er kjent. Den femte kan defineres på to måter:
- La oss først beregne forskjellen. Vi har: d = 8 - 10 = -2. På samme måte kan du ta to andre medlemmer som står ved siden av hverandre. For eksempel, d = 4 - 6 = -2. Siden det er kjent at d = a n - a n-1, så er d = a 5 - a 4, hvorfra vi får: a 5 = a 4 + d. Vi erstatter de kjente verdiene: a 5 = 4 + (-2) = 2.
- Den andre metoden krever også kunnskap om forskjellen på den aktuelle progresjonen, så du må først bestemme den som vist ovenfor (d = -2). Når vi vet at det første leddet a 1 = 10, bruker vi formelen for n-tallet i sekvensen. Vi har: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Ved å erstatte n = 5 i det siste uttrykket får vi: a 5 = 12-2 * 5 = 2.
Som du ser førte begge løsningene til samme resultat. Merk at i dette eksemplet er progresjonsforskjellen d en negativ verdi. Slike sekvenser kalles avtagende, siden hvert neste ledd er mindre enn det forrige.
Eksempel #2: progresjonsforskjell
La oss nå komplisere oppgaven litt, la oss gi et eksempel på hvordan
Det er kjent at i noen er 1. ledd lik 6, og 7. ledd er lik 18. Det er nødvendig å finne forskjellen og gjenopprette denne sekvensen til 7. ledd.
La oss bruke formelen for å bestemme det ukjente leddet: a n = (n - 1) * d + a 1 . La oss erstatte de kjente dataene fra tilstanden i den, det vil si tallene a 1 og en 7, vi har: 18 = 6 + 6 * d. Fra dette uttrykket kan du enkelt regne ut differansen: d = (18 - 6) /6 = 2. Dermed har vi besvart første del av oppgaven.
For å gjenopprette sekvensen til det 7. leddet, bør du bruke definisjonen av en algebraisk progresjon, det vil si a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, og så videre. Som et resultat gjenoppretter vi hele sekvensen: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.
Eksempel nr. 3: utarbeide en progresjon
La oss komplisere problemet enda mer. Nå må vi svare på spørsmålet om hvordan finne en aritmetisk progresjon. Følgende eksempel kan gis: to tall er gitt, for eksempel - 4 og 5. Det er nødvendig å lage en algebraisk progresjon slik at ytterligere tre ledd plasseres mellom disse.
Før du begynner å løse dette problemet, må du forstå hvilken plass de gitte tallene vil oppta i den fremtidige progresjonen. Siden det vil være tre ledd til mellom dem, så er en 1 = -4 og en 5 = 5. Etter å ha etablert dette, går vi videre til problemet, som ligner det forrige. Igjen, for det n-te leddet vi bruker formelen, får vi: a 5 = a 1 + 4 * d. Fra: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Det vi har her er ikke en heltallsverdi av forskjellen, men det er et rasjonelt tall, så formlene for den algebraiske progresjonen forblir de samme.
La oss nå legge den funnet forskjellen til en 1 og gjenopprette de manglende vilkårene i progresjonen. Vi får: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, som falt sammen med betingelsene for problemet.
Eksempel nr. 4: første termin av progresjon
La oss fortsette å gi eksempler på aritmetisk progresjon med løsninger. I alle tidligere problemer var det første tallet i den algebraiske progresjonen kjent. La oss nå vurdere et problem av en annen type: la to tall gis, der en 15 = 50 og en 43 = 37. Det er nødvendig å finne hvilket tall denne sekvensen begynner med.
Formlene som er brukt så langt forutsetter kunnskap om a 1 og d. I problemstillingen er ingenting kjent om disse tallene. Vi vil likevel skrive ned uttrykk for hvert begrep som det finnes informasjon om: a 15 = a 1 + 14 * d og a 43 = a 1 + 42 * d. Vi fikk to likninger der det er 2 ukjente størrelser (a 1 og d). Dette betyr at problemet reduseres til å løse et system med lineære ligninger.
Den enkleste måten å løse dette systemet på er å uttrykke en 1 i hver ligning og deretter sammenligne de resulterende uttrykkene. Første ligning: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; andre ligning: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Ved å likestille disse uttrykkene får vi: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, hvorav differansen d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (bare 3 desimaler er gitt).
Når du kjenner d, kan du bruke hvilket som helst av de 2 uttrykkene ovenfor for en 1. For eksempel, først: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.
Hvis du er i tvil om det oppnådde resultatet, kan du sjekke det, for eksempel bestemme den 43. terminen av progresjonen, som er spesifisert i tilstanden. Vi får: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Den lille feilen skyldes at det ble brukt avrunding til tusendeler i beregningene.
Eksempel nr. 5: beløp
La oss nå se på flere eksempler med løsninger for summen av en aritmetisk progresjon.
La en numerisk progresjon av følgende form gis: 1, 2, 3, 4, ...,. Hvordan beregne summen av 100 av disse tallene?
Takket være utviklingen av datateknologi er det mulig å løse dette problemet, det vil si å legge til alle tallene sekvensielt, som datamaskinen vil gjøre så snart en person trykker på Enter-tasten. Problemet kan imidlertid løses mentalt hvis du legger merke til at den presenterte tallserien er en algebraisk progresjon, og dens forskjell er lik 1. Ved å bruke formelen for summen får vi: S n = n * ( a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Det er interessant å merke seg at dette problemet kalles "Gaussian" fordi på begynnelsen av 1700-tallet var den berømte tyskeren, fortsatt bare 10 år gammel, i stand til å løse det i hodet på noen få sekunder. Gutten visste ikke formelen for summen av en algebraisk progresjon, men han la merke til at hvis du legger sammen tallene i enden av sekvensen i par, får du alltid det samme resultatet, det vil si 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., og siden disse summene vil være nøyaktig 50 (100 / 2), er det nok å multiplisere 50 med 101 for å få riktig svar.
Eksempel nr. 6: summen av ledd fra n til m
Et annet typisk eksempel på summen av en aritmetisk progresjon er følgende: gitt en serie med tall: 3, 7, 11, 15, ..., må du finne hva summen av leddene fra 8 til 14 vil være lik .
Problemet løses på to måter. Den første av dem innebærer å finne ukjente termer fra 8 til 14, og deretter summere dem sekvensielt. Siden det er få termer, er ikke denne metoden ganske arbeidskrevende. Ikke desto mindre er det foreslått å løse dette problemet ved å bruke en andre metode, som er mer universell.
Tanken er å få en formel for summen av den algebraiske progresjonen mellom leddene m og n, der n > m er heltall. For begge tilfeller skriver vi to uttrykk for summen:
- S m = m * (a m + a 1) / 2.
- S n = n * (a n + a 1) / 2.
Siden n > m er det åpenbart at 2. sum inkluderer den første. Den siste konklusjonen betyr at hvis vi tar differansen mellom disse summene og legger til begrepet a m (i tilfellet vi tar differansen trekkes den fra summen S n), vil vi få det nødvendige svaret på oppgaven. Vi har: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Det er nødvendig å erstatte formler for en n og en m i dette uttrykket. Da får vi: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1) - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.
Den resulterende formelen er noe tungvint, men summen S mn avhenger bare av n, m, a 1 og d. I vårt tilfelle er a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Ved å erstatte disse tallene får vi: S mn = 301.
Som det fremgår av løsningene ovenfor, er alle problemer basert på kunnskap om uttrykket for det n. leddet og formelen for summen av settet av første ledd. Før du begynner å løse noen av disse problemene, anbefales det at du leser tilstanden nøye, forstår tydelig hva du trenger å finne, og først deretter fortsetter med løsningen.
Et annet tips er å strebe etter enkelhet, det vil si at hvis du kan svare på et spørsmål uten å bruke komplekse matematiske beregninger, må du gjøre nettopp det, siden sannsynligheten for å gjøre en feil i dette tilfellet er mindre. For eksempel, i eksemplet med en aritmetisk progresjon med løsning nr. 6, kan man stoppe ved formelen S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, og brudd felles oppgave inn i separate deloppgaver (i dette tilfellet, finn først begrepene a n og a m).
Hvis du er i tvil om det oppnådde resultatet, anbefales det å sjekke det, slik det ble gjort i noen av eksemplene gitt. Vi fant ut hvordan man finner en aritmetisk progresjon. Hvis du finner ut av det, er det ikke så vanskelig.
Hva hovedpoenget formler?
Denne formelen lar deg finne noen VED HANS NUMMER " n" .
Du må selvfølgelig også kunne første termin en 1 og progresjonsforskjell d, vel, uten disse parameterne kan du ikke skrive ned en spesifikk progresjon.
Å memorere (eller skrive) denne formelen er ikke nok. Du må forstå essensen og bruke formelen i forskjellige problemer. Og heller ikke å glemme i rett øyeblikk, ja...) Hvordan ikke glem- Jeg vet ikke. Men hvordan huske Om nødvendig vil jeg definitivt gi deg råd. For de som fullfører leksjonen til slutten.)
Så, la oss se på formelen for det n-te leddet i en aritmetisk progresjon.
Hva er en formel generelt? Ta forresten en titt hvis du ikke har lest den. Alt er enkelt der. Det gjenstår å finne ut hva det er nte termin.
Progresjon i generelt syn kan skrives som en rekke tall:
en 1, en 2, en 3, en 4, en 5, .....
en 1- betegner det første leddet i en aritmetisk progresjon, en 3- tredje medlem, en 4- den fjerde, og så videre. Hvis vi er interessert i den femte perioden, la oss si at vi jobber med en 5, hvis ett hundre og tjuende - s en 120.
Hvordan kan vi definere det i generelle termer? noen ledd av en aritmetisk progresjon, med noen tall? Veldig enkelt! Slik:
en n
Dette er det n. ledd i en aritmetisk progresjon. Bokstaven n skjuler alle medlemsnumrene på en gang: 1, 2, 3, 4, og så videre.
Og hva gir en slik plate oss? Bare tenk, i stedet for et tall skrev de ned en bokstav...
Denne notasjonen gir oss et kraftig verktøy for å jobbe med aritmetisk progresjon. Bruke notasjonen en n, kan vi raskt finne noen medlem noen aritmetisk progresjon. Og løse en haug med andre progresjonsproblemer. Du vil se selv videre.
I formelen for det n-te leddet i en aritmetisk progresjon:
| a n = a 1 + (n-1)d |
en 1- det første leddet i en aritmetisk progresjon;
n- medlemsnummer.
Formel binder nøkkelparametere enhver progresjon: a n ; a 1; d Og n. Alle progresjonsproblemer dreier seg om disse parameterne.
Den n-te leddformelen kan også brukes til å skrive en bestemt progresjon. For eksempel kan problemet si at progresjonen er spesifisert av tilstanden:
a n = 5 + (n-1) 2.
Et slikt problem kan føre til en blindvei... Det er verken en serie eller forskjell... Men sammenligner man tilstanden med formelen, er det lett å innse at i denne progresjonen a 1 = 5, og d = 2.
Og det kan bli enda verre!) Hvis vi tar samme betingelse: a n = 5 + (n-1) 2, Ja, åpne parentesen og ta med lignende? Vi får en ny formel:
a n = 3 + 2n.
Dette Bare ikke generelt, men for en spesifikk progresjon. Det er her fallgruven lurer. Noen tror at første termin er en treer. Selv om første ledd i realiteten er fem... Litt lavere skal vi jobbe med en slik modifisert formel.
I progresjonsproblemer er det en annen notasjon - en n+1. Dette er, som du gjettet, "n pluss først"-leddet for progresjonen. Betydningen er enkel og harmløs.) Dette er et medlem av progresjonen hvis tall er større enn nummer n ganger én. For eksempel, hvis i et problem vi tar en n femte termin da en n+1 blir det sjette medlemmet. Og lignende.
Oftest betegnelsen en n+1 finnes i gjentakelsesformler. Ikke vær redd for dette skumle ordet!) Dette er bare en måte å uttrykke et medlem av en aritmetisk progresjon på gjennom den forrige. La oss si at vi får en aritmetisk progresjon i denne formen, ved å bruke en tilbakevendende formel:
a n+1 = a n+3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
Den fjerde - gjennom den tredje, den femte - gjennom den fjerde, og så videre. Hvordan kan vi umiddelbart telle for eksempel det tjuende begrepet? en 20? Men det er ingen måte!) Før vi finner ut den 19. termin, kan vi ikke telle den 20.. Dette er den grunnleggende forskjellen mellom den tilbakevendende formelen og formelen til det n-te leddet. Tilbakevendende virker bare gjennom tidligere ledd, og formelen til det n-te leddet er gjennom først og tillater med en gang finn et medlem etter nummeret. Uten å regne ut hele tallrekken i rekkefølge.
I en aritmetisk progresjon er det lett å gjøre en tilbakevendende formel til en vanlig. Tell et par påfølgende ledd, beregn differansen d, finn om nødvendig første ledd en 1, skriv formelen i sin vanlige form, og jobb med den. Slike oppgaver møter man ofte i Statens vitenskapsakademi.
Anvendelse av formelen for n'te ledd i en aritmetisk progresjon.
La oss først se på den direkte anvendelsen av formelen. På slutten av forrige leksjon var det et problem:
En aritmetisk progresjon (a n) er gitt. Finn en 121 hvis a 1 =3 og d=1/6.
Dette problemet kan løses uten formler, bare basert på betydningen av en aritmetisk progresjon. Legg til og legg til... En time eller to.)
Og i henhold til formelen vil løsningen ta mindre enn et minutt. Du kan time det.) La oss bestemme.
Betingelsene gir alle data for bruk av formelen: a 1 = 3, d = 1/6. Det gjenstår å finne ut hva som er likt n. Ingen spørsmål! Vi må finne en 121. Så vi skriver:
Vær oppmerksom! I stedet for en indeks n et spesifikt tall dukket opp: 121. Noe som er ganske logisk.) Vi er interessert i medlemmet av den aritmetiske progresjonen nummer hundre og tjueen. Dette blir vårt n. Dette er meningen n= 121 vil vi erstatte videre inn i formelen, i parentes. Vi erstatter alle tallene i formelen og regner ut:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
Det er det. Like raskt kunne man finne det fem hundre og tiende leddet, og det tusen og tredje, hvilken som helst. Vi setter i stedet nønsket nummer i indeksen til bokstaven " en" og i parentes, og vi teller.
La meg minne deg på poenget: denne formelen lar deg finne noen aritmetisk progresjonsledd VED HANS NUMMER " n" .
La oss løse problemet på en mer utspekulert måte. La oss komme over følgende problem:
Finn det første leddet i den aritmetiske progresjonen (a n), hvis a 17 =-2; d=-0,5.
Hvis du har noen problemer, vil jeg fortelle deg det første trinnet. Skriv ned formelen for det n. leddet i en aritmetisk progresjon! Ja, ja. Skriv ned med hendene, rett i notatboken:
| a n = a 1 + (n-1)d |
Og nå, når vi ser på bokstavene i formelen, forstår vi hvilke data vi har og hva som mangler? Tilgjengelig d=-0,5, det er et syttende medlem... Er det det? Hvis du tror det er det, vil du ikke løse problemet, ja...
Vi har fortsatt et nummer n! I stand a 17 =-2 skjult to parametere. Dette er både verdien av det syttende leddet (-2) og tallet (17). De. n=17. Denne "bagatellen" glir ofte forbi hodet, og uten den (uten "bagatellen", ikke hodet!) kan ikke problemet løses. Skjønt ... og uten hode også.)
Nå kan vi ganske enkelt dumt erstatte dataene våre med formelen:
a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Å ja, en 17 vi vet det er -2. Ok, la oss erstatte:
-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Det er i grunnen alt. Det gjenstår å uttrykke det første leddet i den aritmetiske progresjonen fra formelen og beregne den. Svaret vil være: a 1 = 6.
Denne teknikken - å skrive ned en formel og ganske enkelt erstatte kjente data - er til stor hjelp i enkle oppgaver. Vel, selvfølgelig må du kunne uttrykke en variabel fra en formel, men hva skal du gjøre!? Uten denne ferdigheten kan det hende at matematikk ikke studeres i det hele tatt...
Et annet populært puslespill:
Finn forskjellen på den aritmetiske progresjonen (a n), hvis a 1 =2; a 15 = 12.
Hva gjør vi? Du vil bli overrasket, vi skriver formelen!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
La oss vurdere hva vi vet: a1=2; a15=12; og (jeg vil spesielt fremheve!) n=15. Bytt gjerne dette inn i formelen:
12=2 + (15-1)d
Vi regner.)
12=2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Dette er det riktige svaret.
Så, oppgavene for en n, en 1 Og d besluttet. Alt som gjenstår er å lære hvordan du finner nummeret:
Tallet 99 er et medlem av den aritmetiske progresjonen (a n), hvor a 1 =12; d=3. Finn dette medlemmets nummer.
Vi erstatter mengdene som er kjent for oss med formelen til det n-te leddet:
a n = 12 + (n-1) 3
Ved første øyekast er det to ukjente mengder her: a n og n. Men en n- dette er et medlem av progresjonen med et nummer n...Og vi kjenner dette medlemmet av progresjonen! Det er 99. Vi vet ikke nummeret. n, Så dette nummeret er det du trenger å finne. Vi erstatter termen for progresjonen 99 med formelen:
99 = 12 + (n-1) 3
Vi uttrykker fra formelen n, tenker vi. Vi får svaret: n=30.
Og nå et problem om samme emne, men mer kreativt):
Bestem om tallet 117 er et medlem av den aritmetiske progresjonen (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
La oss skrive formelen på nytt. Hva, det er ingen parametere? Hm... Hvorfor får vi øyne?) Ser vi første ledd i progresjonen? Vi ser. Dette er -3,6. Du kan trygt skrive: a 1 = -3,6. Forskjell d Kan du fortelle fra serien? Det er enkelt hvis du vet hva forskjellen på en aritmetisk progresjon er:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Så vi gjorde det enkleste. Det gjenstår å forholde seg til det ukjente antallet n og det uforståelige tallet 117. I forrige oppgave var det i hvert fall kjent at det var terminen for progresjonen som ble gitt. Men her vet vi ikke engang ... Hva skal vi gjøre!? Vel, hva du skal gjøre, hva du skal gjøre... Slå på kreativitet!)
Vi anta at 117 tross alt er et medlem av vår progresjon. Med ukjent nummer n. Og, akkurat som i forrige oppgave, la oss prøve å finne dette nummeret. De. vi skriver formelen (ja, ja!)) og erstatter tallene våre:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Igjen uttrykker vi fra formelenn, vi teller og får:
Oops! Tallet viste seg brøkdel! Hundre og en og en halv. Og brøktall i progresjoner skjer ikke. Hvilken konklusjon kan vi trekke? Ja! Nummer 117 er ikke medlem av vår progresjon. Det er et sted mellom ett hundre og første og hundre og andre ledd. Dersom antallet viste seg naturlig, dvs. er et positivt heltall, vil tallet være et medlem av progresjonen med tallet funnet. Og i vårt tilfelle vil svaret på problemet være: Ingen.
En oppgave basert på en ekte versjon av GIA:
En aritmetisk progresjon er gitt av betingelsen:
a n = -4 + 6,8n
Finn første og tiende ledd i progresjonen.
Her er progresjonen satt på en uvanlig måte. En slags formel... Det skjer.) Men denne formelen (som jeg skrev ovenfor) - også formelen for n'te ledd i en aritmetisk progresjon! Hun tillater også finn et medlem av progresjonen etter nummeret.
Vi ser etter det første medlemmet. Den som tenker. at første ledd er minus fire er fatalt feil!) Fordi formelen i oppgaven er modifisert. Det første leddet i den aritmetiske progresjonen i den skjult. Det er greit, vi finner det nå.)
Akkurat som i tidligere problemer, erstatter vi n=1 inn i denne formelen:
a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8
Her! Første ledd er 2,8, ikke -4!
Vi ser etter tiende termin på samme måte:
a 10 = -4 + 6,8 10 = 64
Det er det.
Og nå, for de som har lest til disse linjene, den lovede bonusen.)
Anta at du i en vanskelig kampsituasjon med statseksamen eller enhetlig statseksamen har glemt den nyttige formelen for den n. terminen i en aritmetisk progresjon. Jeg husker noe, men på en eller annen måte usikker... Eller n der, eller n+1, eller n-1... Hvordan være!?
Rolig! Denne formelen er lett å utlede. Det er ikke veldig strengt, men det er definitivt nok for selvtillit og den riktige avgjørelsen!) For å konkludere er det nok å huske den grunnleggende betydningen av en aritmetisk progresjon og ha et par minutter med tid. Du trenger bare å tegne et bilde. For klarhet.
Tegn en talllinje og merk den første på den. andre, tredje osv. medlemmer. Og vi merker forskjellen d mellom medlemmene. Slik:
Vi ser på bildet og tenker: hva er det andre leddet lik? Sekund en d:
en 2 =a 1 + 1 d
Hva er det tredje begrepet? Tredje termin er lik første termin pluss to d.
en 3 =a 1 + 2 d
Skjønner du det? Det er ikke for ingenting at jeg fremhever noen ord med fet skrift. Ok, ett trinn til).
Hva er fjerde termin? Fjerde termin er lik første termin pluss tre d.
en 4 =a 1 + 3 d
Det er på tide å innse at antall hull, dvs. d, Alltid ett mindre enn antallet til medlemmet du leter etter n. Altså til tallet n, antall mellomrom vilje n-1. Derfor vil formelen være (uten variasjoner!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
Generelt er visuelle bilder svært nyttige for å løse mange problemer i matematikk. Ikke overse bildene. Men hvis det er vanskelig å tegne et bilde, så ... bare en formel!) I tillegg lar formelen til det n-te begrepet deg koble hele det kraftige arsenalet av matematikk til løsningen - likninger, ulikheter, systemer, etc. Du kan ikke sette inn et bilde i ligningen...
Oppgaver for selvstendig løsning.
For å varme opp:
1. I aritmetisk progresjon (a n) a 2 =3; a 5 = 5,1. Finn en 3.
Hint: ifølge bildet kan problemet løses på 20 sekunder... Ifølge formelen viser det seg vanskeligere. Men for å mestre formelen er den mer nyttig.) I seksjon 555 er dette problemet løst ved å bruke både bildet og formelen. Føl forskjellen!)
Og dette er ikke lenger en oppvarming.)
2. I aritmetisk progresjon (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Finn en 3 .
Hva, du vil ikke tegne et bilde?) Selvfølgelig! Bedre ifølge formelen, ja...
3. Den aritmetiske progresjonen er gitt av betingelsen:a1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Finn det hundre og tjuefemte leddet i denne progresjonen.
I denne oppgaven spesifiseres progresjonen på en tilbakevendende måte. Men å telle til det hundre og tjuefemte ledd... Ikke alle er i stand til en slik bragd.) Men formelen til det n-te leddet er innenfor makten til alle!
4. Gitt en aritmetisk progresjon (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Finn tallet på det minste positive leddet i progresjonen.
5. I henhold til betingelsene i oppgave 4, finn summen av de minste positive og største negative leddene i progresjonen.
6. Produktet av femte og tolvte ledd av en økende aritmetisk progresjon er -2,5, og summen av tredje og ellevte ledd er null. Finn en 14.
Ikke den enkleste oppgaven, ja...) "fingerspissen"-metoden vil ikke fungere her. Du må skrive formler og løse ligninger.
Svar (i uorden):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Fungerte det? Det er fint!)
Ikke alt ordner seg? Skjer. Det er forresten ett subtilt poeng i den siste oppgaven. Forsiktighet vil være nødvendig når du leser problemet. Og logikk.
Løsningen på alle disse problemene er diskutert i detalj i seksjon 555. Og fantasielementet for det fjerde, og det subtile punktet for det sjette, og generelle tilnærminger for å løse eventuelle problemer som involverer formelen til det n-te begrepet - alt er beskrevet. Jeg anbefaler det.
Hvis du liker denne siden...
Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)
Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. La oss lære - med interesse!)
Du kan bli kjent med funksjoner og derivater.
Så la oss sette oss ned og begynne å skrive noen tall. For eksempel:
Du kan skrive alle tall, og det kan være så mange av dem du vil (i vårt tilfelle er det dem). Uansett hvor mange tall vi skriver, kan vi alltid si hvilket som er først, hvilket som er nummer to, og så videre til det siste, det vil si at vi kan nummerere dem. Dette er et eksempel på en tallsekvens:
Nummerrekkefølge
For eksempel for vår sekvens:
Det tildelte nummeret er spesifikt for bare ett nummer i sekvensen. Det er med andre ord ingen tre sekunders tall i sekvensen. Det andre tallet (som det th tallet) er alltid det samme.
Tallet med tall kalles det ste leddet i sekvensen.
Vi kaller vanligvis hele sekvensen med en bokstav (for eksempel), og hvert medlem av denne sekvensen er den samme bokstaven med en indeks som er lik nummeret til dette medlemmet: .
I vårt tilfelle: 
La oss si at vi har en tallrekke der forskjellen mellom tilstøtende tall er den samme og lik.
For eksempel: 
osv.
Denne tallsekvensen kalles en aritmetisk progresjon.
Begrepet "progresjon" ble introdusert av den romerske forfatteren Boethius tilbake på 600-tallet og ble forstått i bredere forstand som en uendelig numerisk rekkefølge. Navnet "aritmetikk" ble overført fra teorien om kontinuerlige proporsjoner, som ble studert av de gamle grekerne.
Dette er en tallsekvens, hvor hvert medlem er lik den forrige lagt til det samme tallet. Dette tallet kalles forskjellen til en aritmetisk progresjon og er utpekt.
Prøv å finne ut hvilke tallsekvenser som er en aritmetisk progresjon og hvilke som ikke er det:
en)
b)
c)
d)
Har du det? La oss sammenligne svarene våre:
Er aritmetisk progresjon - b, c.
er ikke aritmetisk progresjon - a, d.
La oss gå tilbake til den gitte progresjonen () og prøve å finne verdien av dets tredje ledd. Finnes to måte å finne det på.
1. Metode
Vi kan legge til progresjonstallet til den forrige verdien til vi når den tredje ledd av progresjonen. Det er bra at vi ikke har så mye å oppsummere - bare tre verdier:
Så, det tredje leddet i den beskrevne aritmetiske progresjonen er lik.
2. Metode
Hva om vi trengte å finne verdien av det tredje leddet i progresjonen? Summeringen ville tatt oss mer enn én time, og det er ikke et faktum at vi ikke ville gjort feil når vi legger til tall.
Selvfølgelig har matematikere kommet opp med en måte der det ikke er nødvendig å legge forskjellen til en aritmetisk progresjon til den forrige verdien. Ta en nærmere titt på det tegnede bildet... Du har sikkert allerede lagt merke til et bestemt mønster, nemlig:
La oss for eksempel se hva verdien av det tredje leddet i denne aritmetiske progresjonen består av: 
Med andre ord:
Prøv å finne verdien av et medlem av en gitt aritmetisk progresjon selv på denne måten.
Har du regnet ut? Sammenlign notatene dine med svaret:
Vær oppmerksom på at du fikk nøyaktig samme tall som i den forrige metoden, da vi sekvensielt la til vilkårene for den aritmetiske progresjonen til den forrige verdien.
La oss prøve å "depersonalisere" denne formelen - la oss sette den i generell form og få:
|
Aritmetisk progresjonsligning. |
Aritmetiske progresjoner kan være økende eller avtagende.
Økende- progresjoner der hver påfølgende verdi av begrepene er større enn den forrige.
For eksempel:
Synkende- progresjoner der hver påfølgende verdi av vilkårene er mindre enn den forrige.
For eksempel:
Den utledede formelen brukes i beregningen av ledd i både økende og avtagende termer for en aritmetisk progresjon.
La oss sjekke dette i praksis.
Vi får en aritmetisk progresjon som består av følgende tall: La oss sjekke hva tallet i denne aritmetiske progresjonen vil være hvis vi bruker formelen vår til å beregne den:
Siden da:
Dermed er vi overbevist om at formelen fungerer i både avtagende og økende aritmetisk progresjon.
Prøv å finne de th og th leddene i denne aritmetiske progresjonen selv.
La oss sammenligne resultatene:
Aritmetisk progresjonsegenskap
La oss komplisere problemet - vi vil utlede egenskapen til aritmetisk progresjon.
La oss si at vi får følgende betingelse:
- aritmetisk progresjon, finn verdien.
Lett, sier du og begynner å telle etter formelen du allerede kjenner:
La, ah, da:
Helt sant. Det viser seg at vi først finner, så legger vi det til det første tallet og får det vi leter etter. Hvis progresjonen er representert av små verdier, så er det ikke noe komplisert med det, men hva om vi får tall i tilstanden? Enig, det er en mulighet for å gjøre feil i beregningene.
Tenk nå på om det er mulig å løse dette problemet i ett trinn ved å bruke en formel? Selvfølgelig ja, og det er det vi skal prøve å få frem nå.
La oss betegne den nødvendige termen for den aritmetiske progresjonen som formelen for å finne den er kjent for oss - dette er den samme formelen vi avledet i begynnelsen:
, Deretter:
- forrige termin av progresjonen er:
- neste termin i progresjonen er:
La oss oppsummere de forrige og påfølgende betingelsene for progresjonen:
Det viser seg at summen av de forrige og påfølgende leddene i progresjonen er den doble verdien av progresjonsleddet som ligger mellom dem. Med andre ord, for å finne verdien av et progresjonsledd med kjente tidligere og påfølgende verdier, må du legge dem til og dele med.
Det stemmer, vi har samme nummer. La oss sikre materialet. Beregn verdien for progresjonen selv, det er slett ikke vanskelig.
Godt gjort! Du vet nesten alt om progresjon! Det gjenstår å finne ut bare én formel, som ifølge legenden lett ble utledet av en av tidenes største matematikere, "matematikernes konge" - Karl Gauss ...
Da Carl Gauss var 9 år gammel, spurte en lærer, opptatt med å sjekke arbeidet til elevene i andre klasser, følgende problem i klassen: «Regn ut summen av alle naturlige tall fra til (ifølge andre kilder opp til) inkluderende." Se for deg lærerens overraskelse da en av elevene hans (dette var Karl Gauss) et minutt senere ga riktig svar på oppgaven, mens de fleste av våghalsens klassekamerater, etter lange utregninger, fikk feil resultat...
Unge Carl Gauss la merke til et bestemt mønster som du også lett kan legge merke til.
La oss si at vi har en aritmetisk progresjon som består av -th ledd: Vi må finne summen av disse leddene av den aritmetiske progresjonen. Selvfølgelig kan vi manuelt summere alle verdiene, men hva om oppgaven krever å finne summen av termene, slik Gauss lette etter?
La oss skildre progresjonen gitt til oss. Ta en nærmere titt på de uthevede tallene og prøv å utføre ulike matematiske operasjoner med dem. 
Har du prøvd det? Hva la du merke til? Høyre! Summene deres er like
Si meg nå, hvor mange slike par er det totalt i progresjonen gitt til oss? Selvfølgelig, nøyaktig halvparten av alle tall, altså.
Basert på det faktum at summen av to ledd i en aritmetisk progresjon er lik, og like par er like, får vi at den totale summen er lik:
.
Dermed vil formelen for summen av de første leddene i enhver aritmetisk progresjon være:
I noen problemer kjenner vi ikke begrepet, men vi vet forskjellen på progresjonen. Prøv å erstatte formelen til det te leddet med sumformelen.
Hva fikk du?
Godt gjort! La oss nå gå tilbake til oppgaven som ble stilt til Carl Gauss: beregn selv hva summen av tallene som starter fra -th er lik og summen av tallene som starter fra -th.
Hvor mye fikk du?
Gauss fant at summen av leddene er lik, og summen av leddene. Var det det du bestemte deg for?
Faktisk ble formelen for summen av ledd av en aritmetisk progresjon bevist av den antikke greske forskeren Diophantus tilbake på 300-tallet, og gjennom denne tiden benyttet vittige mennesker egenskapene til en aritmetisk progresjon.
Tenk deg for eksempel Det gamle Egypt og datidens største byggeprosjekt - byggingen av en pyramide... Bildet viser den ene siden av den. 
Hvor er progresjonen her, sier du? Se nøye og finn et mønster i antall sandblokker i hver rad av pyramideveggen. 
Hvorfor ikke en aritmetisk progresjon? Regn ut hvor mange blokker som trengs for å bygge én vegg hvis blokkklosser er plassert ved basen. Jeg håper du ikke vil telle mens du beveger fingeren over skjermen, husker du den siste formelen og alt vi sa om aritmetisk progresjon?
I dette tilfellet ser progresjonen slik ut: .
Aritmetisk progresjonsforskjell.
Antall ledd i en aritmetisk progresjon.
La oss erstatte dataene våre i de siste formlene (beregn antall blokker på 2 måter).
Metode 1.
Metode 2.
Og nå kan du beregne på skjermen: sammenlign de oppnådde verdiene med antall blokker som er i pyramiden vår. Har du det? Godt gjort, du har mestret summen av de n-te leddene i en aritmetisk progresjon.
Selvfølgelig kan du ikke bygge en pyramide fra blokker ved basen, men fra? Prøv å beregne hvor mange sandklosser som trengs for å bygge en vegg med denne tilstanden.
Klarte du deg?
Riktig svar er blokker:
Opplæring
Oppgaver:
- Masha kommer i form til sommeren. Hver dag øker hun antall knebøy med. Hvor mange ganger vil Masha trene knebøy i løpet av en uke hvis hun gjorde knebøy på den første treningsøkten?
- Hva er summen av alle oddetall som finnes i.
- Ved lagring av tømmerstokker stabler loggere dem på en slik måte at hvert topplag inneholder én tømmerstokk mindre enn den forrige. Hvor mange stokker er det i ett murverk, hvis fundamentet til murverket er stokker?
Svar:
- La oss definere parametrene for den aritmetiske progresjonen. I dette tilfellet
(uker = dager).Svare: Om to uker bør Masha gjøre knebøy en gang om dagen.
- Første oddetall, siste tall.
Aritmetisk progresjonsforskjell.
Antall oddetall i er halvparten, la oss imidlertid sjekke dette faktum ved å bruke formelen for å finne det tredje leddet i en aritmetisk progresjon:Tall inneholder oddetall.
La oss erstatte de tilgjengelige dataene i formelen:Svare: Summen av alle oddetall i er lik.
- La oss huske problemet med pyramider. For vårt tilfelle, en , siden hvert topplag er redusert med en stokk, så er det totalt en haug med lag, altså.
La oss erstatte dataene i formelen:Svare: Det er stokker i murverket.
La oss oppsummere det
- - en tallsekvens der forskjellen mellom tilstøtende tall er lik og lik. Det kan være økende eller avtagende.
- Finne formel Det tredje leddet i en aritmetisk progresjon er skrevet med formelen - , hvor er antall tall i progresjonen.
- Eiendom til medlemmer av en aritmetisk progresjon- - hvor er antall tall i progresjon.
- Summen av leddene til en aritmetisk progresjon kan finnes på to måter:
, hvor er antall verdier.
ARITMETISK PROGRESJON. MIDDELNIVÅ
Nummerrekkefølge
La oss sette oss ned og begynne å skrive noen tall. For eksempel:
Du kan skrive alle tall, og det kan være så mange av dem du vil. Men vi kan alltid si hvilken som er først, hvilken som er nummer to, og så videre, det vil si at vi kan nummerere dem. Dette er et eksempel på en tallrekke.
Nummerrekkefølge er et sett med tall, som hver kan tildeles et unikt nummer.
Med andre ord kan hvert tall assosieres med et visst naturlig tall, og et unikt. Og vi vil ikke tildele dette nummeret til noe annet nummer fra dette settet.
Tallet med nummer kalles det th medlem av sekvensen.
Vi kaller vanligvis hele sekvensen med en bokstav (for eksempel), og hvert medlem av denne sekvensen er den samme bokstaven med en indeks som er lik nummeret til dette medlemmet: .
Det er veldig praktisk hvis det tredje leddet i sekvensen kan spesifiseres med en formel. For eksempel formelen
setter sekvensen:
Og formelen er følgende sekvens:
For eksempel er en aritmetisk progresjon en sekvens (det første leddet her er likt, og forskjellen er det). Eller (, forskjell).
formel for n. ledd
Vi kaller en formel tilbakevendende der du, for å finne ut begrepet, må kjenne til de forrige eller flere tidligere:
For å finne for eksempel det tredje leddet i progresjonen ved å bruke denne formelen, må vi beregne de ni foregående. For eksempel, la det. Da:
Vel, er det klart nå hva formelen er?
I hver linje legger vi til, multiplisert med et eller annet tall. Hvilken? Veldig enkelt: dette er nummeret på gjeldende medlem minus:
Mye mer praktisk nå, ikke sant? Vi sjekker:
Bestem selv:
I en aritmetisk progresjon, finn formelen for det n-te leddet og finn det hundrede leddet.
Løsning:
Det første leddet er likt. Hva er forskjellen? Her er hva:
(Dette er grunnen til at det kalles forskjell fordi det er lik forskjellen mellom påfølgende ledd i progresjonen).
Så formelen:
Da er det hundrede leddet lik:
Hva er summen av alle naturlige tall fra til?
Ifølge legenden beregnet den store matematikeren Carl Gauss, som en 9 år gammel gutt, dette beløpet på noen få minutter. Han la merke til at summen av første og siste tall er lik, summen av andre og nest siste er den samme, summen av tredje og tredje fra slutten er den samme, og så videre. Hvor mange slike par er det totalt? Det stemmer, nøyaktig halvparten av alle tall, altså. Så,
Den generelle formelen for summen av de første leddene i enhver aritmetisk progresjon vil være:
Eksempel:
Finn summen av alle tosifrede multipler.
Løsning:
Det første slike nummer er dette. Hvert etterfølgende nummer oppnås ved å legge til det forrige nummeret. Dermed danner tallene vi er interessert i en aritmetisk progresjon med det første leddet og differansen.
Formel for begrepet for denne progresjonen:
Hvor mange ledd er det i progresjonen hvis de alle må være tosifrede?
Veldig enkelt:.
Den siste perioden av progresjonen vil være lik. Så summen:
Svar: .
Bestem nå selv:
- Hver dag løper utøveren flere meter enn dagen før. Hvor mange kilometer totalt vil han løpe i løpet av en uke hvis han løp km m den første dagen?
- En syklist reiser flere kilometer hver dag enn dagen før. Den første dagen reiste han km. Hvor mange dager trenger han å reise for å tilbakelegge en kilometer? Hvor mange kilometer vil han reise i løpet av den siste dagen av reisen?
- Prisen på kjøleskap i butikk synker like mye hvert år. Bestem hvor mye prisen på et kjøleskap falt hvert år hvis det ble lagt ut for salg for rubler seks år senere ble solgt for rubler.
Svar:
- Det viktigste her er å gjenkjenne den aritmetiske progresjonen og bestemme dens parametere. I dette tilfellet (uker = dager). Du må bestemme summen av de første leddene i denne progresjonen:
.
Svare: - Her er det gitt: , må finnes.
Selvfølgelig må du bruke samme sumformel som i forrige oppgave:
.
Bytt ut verdiene:Roten passer tydeligvis ikke, så svaret er.
La oss beregne banen som ble reist i løpet av den siste dagen ved å bruke formelen til begrepet:
(km).
Svare: - Gitt:. Finn: .
Det kunne ikke vært enklere:
(gni).
Svare:
ARITMETISK PROGRESJON. KORT OM HOVEDTINGENE
Dette er en tallsekvens der forskjellen mellom tilstøtende tall er den samme og lik.
Aritmetisk progresjon kan være økende () og avtagende ().
For eksempel:
Formel for å finne det n-te leddet i en aritmetisk progresjon
er skrevet av formelen, hvor er antall tall i progresjon.
Eiendom til medlemmer av en aritmetisk progresjon
Den lar deg enkelt finne et ledd i en progresjon hvis naboleddet er kjent - hvor er antallet tall i progresjonen.
Summen av ledd i en aritmetisk progresjon
Det er to måter å finne beløpet på:
Hvor er antall verdier.
Hvor er antall verdier.
DE RESTERENDE 2/3-ARTIKLENE ER KUN TILGJENGELIGE FOR DERE STUDENTER!
Bli en YouClever-student,
Forbered deg på Unified State-eksamen eller Unified State-eksamen i matematikk til prisen av "en kopp kaffe per måned",
Og få også ubegrenset tilgang til «YouClever»-læreboken, «100gia»-forberedelsesprogrammet (løserbok), en ubegrenset prøveversjon av Unified State Exam og Unified State Exam, 6000 problemer med analyse av løsninger og andre YouClever- og 100gia-tjenester.
Summen av en aritmetisk progresjon.
Summen av en aritmetisk progresjon er en enkel ting. Både i betydning og formel. Men det er alle slags oppgaver om dette emnet. Fra grunnleggende til ganske solid.
Først, la oss forstå betydningen og formelen for beløpet. Og så bestemmer vi oss. For din egen fornøyelse.) Betydningen av beløpet er så enkel som en moo. For å finne summen av en aritmetisk progresjon, trenger du bare å legge til alle leddene nøye. Hvis disse begrepene er få, kan du legge til uten formler. Men hvis det er mye, eller mye... tillegg er irriterende.) I dette tilfellet kommer formelen til unnsetning.
Formelen for mengden er enkel:
La oss finne ut hva slags bokstaver som er inkludert i formelen. Dette vil oppklare mye.
S n - summen av en aritmetisk progresjon. Tilleggsresultat alle medlemmer, med først Ved siste. Dette er viktig. De summerer seg nøyaktig Alle medlemmer på rad, uten å hoppe eller hoppe. Og, nettopp, med utgangspunkt i først. I problemer som å finne summen av tredje og åttende ledd, eller summen av femte til tjuende ledd, vil direkte anvendelse av formelen skuffe.)
en 1 - først medlem av progresjonen. Alt er klart her, det er enkelt først radnummer.
en n- sist medlem av progresjonen. Det siste nummeret i serien. Ikke et veldig kjent navn, men når det brukes på mengden, er det veldig passende. Da vil du se selv.
n - nummer på siste medlem. Det er viktig å forstå at i formelen dette tallet sammenfaller med antall tilføyde termer.
La oss definere konseptet siste medlem en n. Vanskelig spørsmål: hvilket medlem vil være den siste hvis gitt endeløs aritmetisk progresjon?)
For å svare trygt, må du forstå den grunnleggende betydningen av en aritmetisk progresjon og ... lese oppgaven nøye!)
I oppgaven med å finne summen av en aritmetisk progresjon, vises alltid siste ledd (direkte eller indirekte), som bør begrenses. Ellers et endelig, spesifikt beløp eksisterer rett og slett ikke. For løsningen spiller det ingen rolle om progresjonen er gitt: endelig eller uendelig. Det spiller ingen rolle hvordan det er gitt: en serie tall eller en formel for det n-te leddet.
Det viktigste er å forstå at formelen fungerer fra første ledd i progresjonen til leddet med tall n. Faktisk ser det fulle navnet på formelen slik ut: summen av de første n leddene i en aritmetisk progresjon. Antallet av disse aller første medlemmene, dvs. n, bestemmes utelukkende av oppgaven. I en oppgave er all denne verdifulle informasjonen ofte kryptert, ja... Men bry deg ikke, i eksemplene nedenfor avslører vi disse hemmelighetene.)
Eksempler på oppgaver på summen av en aritmetisk progresjon.
Først av alt, nyttig informasjon:
Hovedvanskeligheten i oppgaver som involverer summen av en aritmetisk progresjon ligger i riktig bestemmelse av elementene i formelen.
Oppgaveskriverne krypterer nettopp disse elementene med grenseløs fantasi.) Hovedsaken her er å ikke være redd. For å forstå essensen av elementene, er det nok å bare dechiffrere dem. La oss se på noen få eksempler i detalj. La oss starte med en oppgave basert på en ekte GIA.
1. Den aritmetiske progresjonen er gitt av betingelsen: a n = 2n-3,5. Finn summen av de 10 første leddene.
Bra jobbet. Enkelt.) Hva trenger vi å vite for å bestemme mengden ved hjelp av formelen? Første medlem en 1, siste semester en n, ja nummeret til det siste medlemmet n.
Hvor kan jeg få det siste medlemsnummeret? n? Ja, akkurat der, på betingelse! Det står: finn summen første 10 medlemmer. Vel, hvilket nummer blir det med? siste, tiende medlem?) Du vil ikke tro det, nummeret hans er tiende!) Derfor, i stedet for en n Vi vil erstatte inn i formelen en 10, og i stedet n- ti. Jeg gjentar, nummeret på det siste medlemmet faller sammen med antallet medlemmer.
Det gjenstår å fastslå en 1 Og en 10. Dette beregnes enkelt ved hjelp av formelen for det n-te leddet, som er gitt i problemstillingen. Vet du ikke hvordan du gjør dette? Delta på forrige leksjon, uten dette er det ingen måte.
en 1= 2 1 - 3,5 = -1,5
en 10=2·10 - 3,5 =16,5
S n = S 10.
Vi har funnet ut betydningen av alle elementene i formelen for summen av en aritmetisk progresjon. Alt som gjenstår er å erstatte dem og telle:
Det er det. Svar: 75.
En annen oppgave basert på GIA. Litt mer komplisert:
2. Gitt en aritmetisk progresjon (a n), hvor forskjellen er 3,7; a 1 = 2,3. Finn summen av de første 15 leddene.
Vi skriver umiddelbart sumformelen:
Denne formelen lar oss finne verdien av et hvilket som helst ledd etter tallet. Vi ser etter en enkel erstatning:
a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1
Alt som gjenstår er å erstatte alle elementene i formelen for summen av en aritmetisk progresjon og beregne svaret:
Svar: 423.
Forresten, hvis i sumformelen i stedet for en n Vi erstatter ganske enkelt formelen for det n-te leddet og får:
La oss presentere lignende og få en ny formel for summen av ledd i en aritmetisk progresjon:
 |
Som du kan se, kreves ikke det n-te leddet her en n. I noen problemer hjelper denne formelen mye, ja... Du kan huske denne formelen. Eller du kan bare vise den til rett tid, som her. Tross alt må du alltid huske formelen for summen og formelen for det n-te leddet.)
Nå oppgaven i form av en kort kryptering):
3. Finn summen av alle positive tosifrede tall som er multipler av tre.
Wow! Verken ditt første medlem, eller ditt siste, eller progresjon i det hele tatt... Hvordan leve!?
Du må tenke med hodet og trekke ut alle elementene i summen av den aritmetiske progresjonen fra tilstanden. Vi vet hva tosifrede tall er. De består av to tall.) Hvilket tosifret tall vil være først? 10, antagelig.) A siste tosifret tall? 99, selvfølgelig! De tresifrede vil følge ham...
Multipler av tre... Hm... Dette er tall som er delbare med tre, her! Ti er ikke delelig med tre, 11 er ikke delelig... 12... er delelig! Så noe er i ferd med å dukke opp. Du kan allerede skrive ned en serie i henhold til betingelsene for problemet:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Vil denne serien være en aritmetisk progresjon? Sikkert! Hvert begrep skiller seg fra den forrige med strengt tatt tre. Hvis du legger til 2 eller 4 til en term, for eksempel resultatet, dvs. det nye tallet er ikke lenger delelig med 3. Du kan umiddelbart bestemme forskjellen på den aritmetiske progresjonen: d = 3. Det kommer godt med!)
Så vi kan trygt skrive ned noen progresjonsparametere:
Hva blir tallet? n siste medlem? Alle som tror at 99 tar fatalt feil... Tallene går alltid på rekke og rad, men våre medlemmer hopper over tre. De stemmer ikke.
Det er to løsninger her. En måte er for de super hardtarbeidende. Du kan skrive ned progresjonen, hele tallserien, og telle antall medlemmer med fingeren.) Den andre måten er for de gjennomtenkte. Du må huske formelen for det n'te leddet. Hvis vi bruker formelen på problemet vårt, finner vi at 99 er det trettiende leddet i progresjonen. De. n = 30.
La oss se på formelen for summen av en aritmetisk progresjon:
Vi ser og gleder oss.) Vi trakk ut fra problemformuleringen alt som er nødvendig for å beregne beløpet:
en 1= 12.
en 30= 99.
S n = S 30.
Alt som gjenstår er elementær aritmetikk. Vi setter inn tallene i formelen og regner ut:
Svar: 1665
En annen type populær puslespill:
4. Gitt en aritmetisk progresjon:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Finn summen av ledd fra tjuende til trettifire.
Vi ser på formelen for beløpet og... vi blir opprørt.) Formelen, la meg minne deg, beregner beløpet fra den første medlem. Og i oppgaven må du beregne summen siden det tjuende... Formelen vil ikke fungere.
Du kan selvfølgelig skrive ut hele progresjonen i en serie, og legge til termer fra 20 til 34. Men... det er liksom dumt og tar lang tid, ikke sant?)
Det finnes en mer elegant løsning. La oss dele serien vår i to deler. Den første delen blir fra første periode til nittende. Andre del - fra tjue til trettifire. Det er klart at hvis vi beregner summen av vilkårene i den første delen S 1-19, la oss legge det til med summen av vilkårene i den andre delen S 20-34, får vi summen av progresjonen fra første ledd til trettifjerde S 1-34. Slik:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Fra dette kan vi se at finne summen S 20-34 kan gjøres ved enkel subtraksjon
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Begge beløpene på høyre side vurderes fra den første medlem, dvs. standardsumformelen er ganske anvendelig for dem. La oss komme i gang?
Vi trekker ut progresjonsparametrene fra problemformuleringen:
d = 1,5.
en 1= -21,5.
For å beregne summene av de første 19 og første 34 leddene, trenger vi de 19. og 34. leddene. Vi beregner dem ved å bruke formelen for det n-te leddet, som i oppgave 2:
en 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5
en 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28
Det er ingenting igjen. Trekk fra summen av 34 ledd summen av 19 ledd:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Svar: 262,5
En viktig merknad! Det er et veldig nyttig triks for å løse dette problemet. I stedet for direkte beregning det du trenger (S 20-34), vi telte noe som ser ut til å ikke være nødvendig - S 1-19. Og så bestemte de seg S 20-34, forkaster det unødvendige fra det komplette resultatet. Denne typen "finte med ørene" sparer deg ofte for slemme problemer.)
I denne leksjonen så vi på problemer som det er nok å forstå betydningen av summen av en aritmetisk progresjon for. Vel, du må kunne et par formler.)
Når du løser ethvert problem som involverer summen av en aritmetisk progresjon, anbefaler jeg umiddelbart å skrive ut de to hovedformlene fra dette emnet.
Formel for n'te termin:
Disse formlene vil umiddelbart fortelle deg hva du skal se etter og i hvilken retning du skal tenke for å løse problemet. Hjelper.
Og nå oppgavene for uavhengig løsning.
5. Finn summen av alle tosifrede tall som ikke er delbare med tre.
Kult?) Hintet er skjult i notatet til oppgave 4. Vel, oppgave 3 vil hjelpe.
6. Den aritmetiske progresjonen er gitt av betingelsen: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Finn summen av de første 24 leddene.
Uvanlig?) Dette er en tilbakevendende formel. Du kan lese om det i forrige leksjon. Ikke ignorer koblingen, slike problemer finnes ofte i Statens vitenskapsakademi.
7. Vasya sparte opp penger til ferien. Så mye som 4550 rubler! Og jeg bestemte meg for å gi favorittpersonen min (meg selv) noen dager med lykke). Lev vakkert uten å nekte deg selv noe. Bruk 500 rubler den første dagen, og bruk 50 rubler mer på hver påfølgende dag enn den forrige! Helt til pengene tar slutt. Hvor mange dager med lykke hadde Vasya?
Vanskelig?) En tilleggsformel fra oppgave 2 vil hjelpe.
Svar (i uorden): 7, 3240, 6.
Hvis du liker denne siden...
Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)
Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. La oss lære - med interesse!)
Du kan bli kjent med funksjoner og derivater.
Oppmerksomhet!
Det er flere
materialer i spesialseksjon 555.
For de som er veldig "ikke veldig..."
Og for de som "veldig mye...")
En aritmetisk progresjon er en serie med tall der hvert tall er like mye større (eller mindre) enn det forrige.
Dette temaet virker ofte sammensatt og uforståelig. Indeksene til bokstavene, det n'te leddet i progresjonen, forskjellen i progresjonen - alt dette er på en eller annen måte forvirrende, ja... La oss finne ut betydningen av den aritmetiske progresjonen og alt vil bli bedre med en gang.)
Begrepet aritmetisk progresjon.
Aritmetisk progresjon er et veldig enkelt og tydelig konsept. Er du i tvil? Forgjeves.) Se selv.
Jeg skal skrive en uferdig serie med tall:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Kan du utvide denne serien? Hvilke tall kommer neste, etter de fem? Alle... eh..., kort sagt, alle vil innse at tallene 6, 7, 8, 9 osv. kommer etterpå.
La oss komplisere oppgaven. Jeg gir deg en uferdig serie med tall:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Du vil kunne fange mønsteret, utvide serien og gi navn syvende radnummer?
Hvis du innså at dette tallet er 20, gratulerer! Ikke bare følte du nøkkelpunkter for aritmetisk progresjon, men også vellykket brukt dem i virksomheten! Hvis du ikke har funnet ut av det, les videre.
La oss nå oversette nøkkelpunktene fra sensasjoner til matematikk.)
Første nøkkelpunkt.
Aritmetisk progresjon omhandler serier av tall. Dette er forvirrende i begynnelsen. Vi er vant til å løse likninger, tegne grafer og alt det der... Men her utvider vi serien, finner nummeret på serien...
Det er greit. Det er bare det at progresjoner er det første bekjentskapet med en ny gren av matematikk. Seksjonen heter «Serie» og jobber spesifikt med serier av tall og uttrykk. Bli vant til det.)
Andre nøkkelpunkt.
I en aritmetisk progresjon er ethvert tall forskjellig fra det forrige med samme beløp.
I det første eksemplet er denne forskjellen én. Uansett hvilket nummer du tar, er det ett mer enn det forrige. I den andre - tre. Et hvilket som helst tall er tre mer enn det forrige. Faktisk er det dette øyeblikket som gir oss muligheten til å forstå mønsteret og beregne påfølgende tall.
Tredje nøkkelpunkt.
Dette øyeblikket er ikke slående, ja... Men det er veldig, veldig viktig. Her er det: Hvert progresjonsnummer er på sin plass. Det er det første tallet, det er det syvende, det er det førtifemte osv. Hvis du blander dem tilfeldig, vil mønsteret forsvinne. Aritmetisk progresjon vil også forsvinne. Det som er igjen er bare en rekke tall.
Det er hele poenget.
Selvfølgelig dukker det opp nye termer og betegnelser i et nytt emne. Du må kjenne dem. Ellers vil du ikke forstå oppgaven. For eksempel må du bestemme noe som:
Skriv ned de seks første leddene i den aritmetiske progresjonen (a n), hvis a 2 = 5, d = -2,5.
Inspirerende?) Bokstaver, noen indekser... Og oppgaven kunne forresten ikke vært enklere. Du trenger bare å forstå betydningen av begrepene og betegnelsene. Nå skal vi mestre denne saken og gå tilbake til oppgaven.
Vilkår og betegnelser.
Aritmetisk progresjon er en serie med tall der hvert tall er forskjellig fra det forrige med samme beløp.
Denne mengden kalles . La oss se på dette konseptet mer detaljert.
Aritmetisk progresjonsforskjell.
Aritmetisk progresjonsforskjell er beløpet som et progresjonstall med flere forrige.
En viktig poeng. Vær oppmerksom på ordet "flere". Matematisk betyr dette at hvert progresjonstall er ved å legge til forskjellen mellom aritmetisk progresjon til forrige tall.
For å beregne, la oss si sekund seriens tall, må du først tall legge til nettopp denne forskjellen i en aritmetisk progresjon. For beregning femte- forskjellen er nødvendig legge til Til fjerde, vel osv.
Aritmetisk progresjonsforskjell Kan være positiv, da vil hvert tall i serien vise seg å være ekte mer enn den forrige. Denne progresjonen kalles økende. For eksempel:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Her fås hvert tall ved å legge til positivt tall, +5 til det forrige.
Forskjellen kan være negativ, da vil hvert tall i serien være mindre enn den forrige. Denne progresjonen kalles (du vil ikke tro det!) avtagende.
For eksempel:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Her får man også hvert tall ved å legge til til den forrige, men allerede et negativt tall, -5.
Forresten, når du jobber med progresjon, er det veldig nyttig å umiddelbart bestemme dens natur - om den øker eller minker. Dette hjelper mye med å navigere i beslutningen, oppdage feilene dine og rette dem før det er for sent.
Aritmetisk progresjonsforskjell vanligvis betegnet med bokstaven d.
Hvordan finne d? Veldig enkelt. Det er nødvendig å trekke fra et hvilket som helst tall i serien tidligere tall. Subtrahere. Forresten, resultatet av subtraksjon kalles "forskjell".)
La oss definere for eksempel d for å øke aritmetisk progresjon:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Vi tar et hvilket som helst tall i serien som vi ønsker, for eksempel 11. Vi trekker fra det forrige nummer de. 8:
Dette er det riktige svaret. For denne aritmetiske progresjonen er forskjellen tre.
Du kan ta det et hvilket som helst progresjonsnummer, fordi for en bestemt progresjon d-alltid det samme. I det minste et sted i begynnelsen av raden, i hvert fall i midten, i hvert fall hvor som helst. Du kan ikke ta bare det aller første tallet. Rett og slett fordi det aller første tallet ingen tidligere.)
Forresten, å vite det d=3, er det veldig enkelt å finne det syvende tallet i denne progresjonen. La oss legge til 3 til det femte tallet - vi får det sjette, det blir 17. La oss legge til tre til det sjette tallet, vi får det syvende tallet - tjue.
La oss definere d for synkende aritmetisk progresjon:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Jeg minner deg om at, uavhengig av tegn, å bestemme d trenger fra hvilket som helst nummer ta bort den forrige. Velg et hvilket som helst progresjonstall, for eksempel -7. Hans forrige nummer er -2. Da:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Forskjellen til en aritmetisk progresjon kan være et hvilket som helst tall: heltall, brøk, irrasjonelt, hvilket som helst tall.
Andre begreper og betegnelser.
Hvert tall i serien kalles medlem av en aritmetisk progresjon.
Hvert medlem av progresjonen har sitt eget nummer. Tallene er strengt tatt i orden, uten noen triks. Første, andre, tredje, fjerde osv. For eksempel, i progresjonen 2, 5, 8, 11, 14, ... to er det første leddet, fem er det andre, elleve er det fjerde, vel, du forstår...) Vennligst forstå tydelig - selve tallene kan være absolutt hva som helst, hel, brøkdel, negativ, hva som helst, men nummerering av tall- strengt tatt i orden!
Hvordan skrive en progresjon i generell form? Ingen spørsmål! Hvert tall i en serie skrives som en bokstav. For å betegne en aritmetisk progresjon, brukes vanligvis bokstaven en. Medlemsnummeret er angitt med en indeks nederst til høyre. Vi skriver termer atskilt med komma (eller semikolon), slik:
en 1, en 2, en 3, en 4, en 5, .....
en 1- dette er det første tallet, en 3- tredje osv. Ikke noe fancy. Denne serien kan kort skrives slik: (en n).
Progresjoner skjer endelig og uendelig.
Endelig progresjonen har et begrenset antall medlemmer. Fem, trettiåtte, uansett. Men det er et begrenset antall.
Uendelig progresjon - har et uendelig antall medlemmer, som du kanskje gjetter.)
Du kan skrive den endelige progresjonen gjennom en serie som denne, alle ledd og en prikk på slutten:
en 1, en 2, en 3, en 4, en 5.
Eller som dette, hvis det er mange medlemmer:
en 1, en 2, ... en 14, en 15.
I den korte oppføringen må du i tillegg angi antall medlemmer. For eksempel (for tjue medlemmer), slik:
(a n), n = 20
En uendelig progresjon kan gjenkjennes av ellipsen på slutten av raden, som i eksemplene i denne leksjonen.
Nå kan du løse oppgavene. Oppgavene er enkle, utelukkende for å forstå betydningen av en aritmetisk progresjon.
Eksempler på oppgaver om aritmetisk progresjon.
La oss se på oppgaven ovenfor i detalj:
1. Skriv ut de seks første leddene i den aritmetiske progresjonen (a n), hvis a 2 = 5, d = -2,5.
Vi oversetter oppgaven til et forståelig språk. En uendelig aritmetisk progresjon er gitt. Det andre tallet i denne progresjonen er kjent: a 2 = 5. Progresjonsforskjellen er kjent: d = -2,5. Vi må finne det første, tredje, fjerde, femte og sjette leddet i denne progresjonen.
For klarhets skyld vil jeg skrive ned en serie i henhold til betingelsene for problemet. De seks første terminene, hvor den andre terminen er fem:
en 1, 5, en 3, en 4, en 5, en 6,....
en 3 = en 2 + d
Erstatter til uttrykk a 2 = 5 Og d = -2,5. Ikke glem minus!
en 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Den tredje terminen viste seg å være mindre enn den andre. Alt er logisk. Hvis tallet er større enn det forrige negativ verdi, som betyr at selve tallet vil være mindre enn det forrige. Progresjonen avtar. Ok, la oss ta det i betraktning.) Vi teller den fjerde termen i serien vår:
en 4 = en 3 + d
en 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
en 5 = en 4 + d
en 5=0+(-2,5)= - 2,5
en 6 = en 5 + d
en 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Så termer fra den tredje til den sjette ble beregnet. Resultatet er følgende serie:
a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....
Det gjenstår å finne den første termen en 1 ifølge den velkjente andre. Dette er et skritt i den andre retningen, til venstre.) Altså forskjellen på den aritmetiske progresjonen d skal ikke legges til en 2, A ta bort:
en 1 = en 2 - d
en 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Det er det. Oppgavesvar:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
I forbifarten vil jeg bemerke at vi løste denne oppgaven tilbakevendende vei. Dette forferdelige ordet betyr bare søket etter et medlem av progresjonen i henhold til forrige (tilstøtende) nummer. Vi skal se på andre måter å jobbe med progresjon nedenfor.
En viktig konklusjon kan trekkes fra denne enkle oppgaven.
Huske:
Hvis vi kjenner minst ett ledd og forskjellen på en aritmetisk progresjon, kan vi finne et hvilket som helst ledd for denne progresjonen.
Husker du? Denne enkle konklusjonen lar deg løse de fleste problemene på skolekurset om dette emnet. Alle oppgaver dreier seg om tre hovedparametere: medlem av en aritmetisk progresjon, forskjell på en progresjon, nummer på et medlem av progresjonen. Alle.
Selvfølgelig er ikke all tidligere algebra kansellert.) Ulikheter, ligninger og andre ting er knyttet til progresjon. Men i henhold til selve progresjonen– alt dreier seg om tre parametere.
Som et eksempel, la oss se på noen populære oppgaver om dette emnet.
2. Skriv den endelige aritmetiske progresjonen som en serie hvis n=5, d = 0,4 og a 1 = 3,6.
Alt er enkelt her. Alt er allerede gitt. Du må huske hvordan medlemmene i en aritmetisk progresjon telles, telle dem og skrive dem ned. Det er tilrådelig å ikke gå glipp av ordene i oppgavebetingelsene: "endelig" og " n=5". For ikke å telle før du er helt blå i ansiktet.) Det er bare 5 (fem) medlemmer i denne progresjonen:
a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4
a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4
en 4 = en 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
en 5 = en 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Det gjenstår å skrive ned svaret:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
En annen oppgave:
3. Bestem om tallet 7 vil være et medlem av den aritmetiske progresjonen (a n), hvis a1 = 4,1; d = 1,2.
Hmm... Hvem vet? Hvordan bestemme noe?
Hvordan-hvordan... Skriv ned progresjonen i form av en serie og se om det blir en sjuer der eller ikke! Vi teller:
a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3
a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5
en 4 = en 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Nå er det godt synlig at vi bare er syv gled igjennom mellom 6,5 og 7,7! Seven kom ikke inn i tallserien vår, og derfor vil ikke syv være medlem av den gitte progresjonen.
Svar: nei.
Og her er et problem basert på en ekte versjon av GIA:
4. Flere påfølgende ledd i den aritmetiske progresjonen skrives ut:
...; 15; X; 9; 6; ...
Her er en serie skrevet uten slutt og begynnelse. Ingen medlemsnummer, ingen forskjell d. Det er greit. For å løse problemet er det nok å forstå betydningen av en aritmetisk progresjon. La oss se og se hva som er mulig å vite fra denne serien? Hva er de tre hovedparametrene?
Medlemsnummer? Det er ikke et eneste tall her.
Men det er tre tall og - oppmerksomhet! - ord "konsekvent" i stand. Det betyr at tallene er strengt tatt i orden, uten hull. Er det to på denne rekken? nabolandet kjente tall? Ja, det har jeg! Disse er 9 og 6. Derfor kan vi beregne forskjellen på den aritmetiske progresjonen! Trekk fra seks tidligere nummer, dvs. ni:
Det er bare småtterier igjen. Hvilket tall blir det forrige for X? Femten. Dette betyr at X lett kan finnes ved enkel addisjon. Legg til forskjellen mellom den aritmetiske progresjonen til 15:
Det er det. Svare: x=12
Vi løser følgende problemer selv. Merk: disse problemene er ikke basert på formler. Rent for å forstå betydningen av en aritmetisk progresjon.) Vi skriver bare ned en rekke tall og bokstaver, ser og finner ut av det.
5. Finn det første positive leddet i den aritmetiske progresjonen hvis a 5 = -3; d = 1,1.
6. Det er kjent at tallet 5,5 er et medlem av den aritmetiske progresjonen (a n), hvor a 1 = 1,6; d = 1,3. Bestem tallet n for dette medlemmet.
7. Det er kjent at i aritmetisk progresjon a 2 = 4; a 5 = 15,1. Finn en 3.
8. Flere påfølgende ledd i den aritmetiske progresjonen skrives ut:
...; 15,6; X; 3,4; ...
Finn leddet for progresjonen angitt med bokstaven x.
9. Toget begynte å bevege seg fra stasjonen, og økte hastigheten jevnt med 30 meter per minutt. Hva blir hastigheten på toget om fem minutter? Gi svaret i km/time.
10. Det er kjent at i aritmetisk progresjon a 2 = 5; a 6 = -5. Finn en 1.
Svar (i uorden): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.
Har alt ordnet seg? Utrolig! Du kan mestre aritmetisk progresjon på et høyere nivå i de følgende leksjonene.
Har ikke alt ordnet seg? Ikke noe problem. I Spesialseksjon 555 er alle disse problemene sortert ut stykke for stykke.) Og selvfølgelig beskrives en enkel praktisk teknikk som umiddelbart fremhever løsningen på slike oppgaver klart, tydelig, med et øyeblikk!
I togpuslespillet er det forresten to problemer som folk ofte snubler over. Den ene er rent når det gjelder progresjon, og den andre er generell for alle problemer i matematikk og fysikk også. Dette er en oversettelse av dimensjoner fra en til en annen. Den viser hvordan disse problemene bør løses.
I denne leksjonen så vi på den elementære betydningen av en aritmetisk progresjon og dens hovedparametre. Dette er nok til å løse nesten alle problemer om dette emnet. Legge til d til tallene, skriv en serie, alt vil løse seg.
Fingerløsningen fungerer bra for veldig korte stykker av en rad, som i eksemplene i denne leksjonen. Hvis serien er lengre, blir beregningene mer kompliserte. For eksempel hvis i oppgave 9 i spørsmålet du erstatter "fem minutter" på "trettifem minutter" problemet vil bli betydelig verre.)
Og det er også oppgaver som i hovedsak er enkle, men absurde når det gjelder beregninger, for eksempel:
En aritmetisk progresjon (a n) er gitt. Finn en 121 hvis a 1 =3 og d=1/6.
Så hva, skal vi legge til 1/6 mange, mange ganger?! Du kan drepe deg selv!?
Det kan du.) Hvis du ikke kan en enkel formel som du kan bruke til å løse slike oppgaver på et minutt. Denne formelen vil være i neste leksjon. Og dette problemet er løst der. Om et minutt.)
Hvis du liker denne siden...
Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)
Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. La oss lære - med interesse!)
Du kan bli kjent med funksjoner og derivater.
