Интеграл нь муруйн сегмент дээр биш, харин хязгаарлагдмал гадаргуу дээр явагддаг тохиолдолд. Муруй шугаман интегралуудын нэгэн адил гадаргуугийн интегралууд нь эхний төрөл ба хоёр дахь төрөл юм.
Эхний төрлийн гадаргуугийн интеграл хэлбэрээр бичсэн
Хаана е(М) = е(x,y,z) нь гурван хувьсагчийн функц ба гадаргуу σ - энэ функцийг нэгтгэх талбар. Хэрэв е(x,y,z) нэгдэлтэй тэнцүү бол гадаргуугийн интеграл нь гадаргуугийн талбайтай тэнцүү байна.
Маш жижиг үртэй нэлээд том наранцэцгийг төсөөлөөд үз дээ. Дараа нь наранцэцгийн гадаргуу дээр байрлах маш жижиг үрийн гадаргуугийн нийлбэрээс наранцэцгийн гадаргууг тооцоолж болно - энэ нь гадаргуугийн интегралын хялбаршуулсан тайлбар байж болно. Яагаад ийм байна вэ?
Гадаргуугийн интегралын илүү албан ёсны тодорхойлолт руу шилжье. Гадаргуу σ гэж хуваагддаг nΔ талбайтай хэсгүүд σ 1 , Δ σ 2 , ..., Δ σ n. Хэрэв та хэсэгчилсэн гадаргуу бүр дээр дурын цэгийг сонговол (үр) Мбикоординаттай ( ζ би, η би, ς би,), тэгвэл бид дүгнэж болно
Энэ нийлбэрийг функцийн интеграл нийлбэр гэж нэрлэдэг е(М) гадаргуу дээр σ . Одоо бид ийм жижиг хэсгүүдийн тоог дээд зэргээр нэмэгдүүлэх болно, хамгийн том диаметр нь Δ σ би- эсрэгээр нь багасгах. Хэрэв хэсгүүдийн диаметрүүдийн хамгийн том интеграл нийлбэр нь тэг байх хандлагатай байвал (өөрөөр хэлбэл бид аль хэдийн тэмдэглэсэнчлэн бүх хэсгүүд нь маш бага байдаг) хязгаартай бол энэ хязгаарыг гэнэ. нэгдүгээр төрлийн гадаргуугийн интеграл функцээс е(М) гадаргуу дээр σ .
Эхний төрлийн гадаргуугийн интегралын тооцоо
Гадаргууг нь тавь σ тэгшитгэлээр өгөгдсөн z = z(x, y) , түүний хавтгай дээрх проекц xOyталбай юм Дxy, функц байх үед z = z(x, y) ба түүний хэсэгчилсэн деривативууд нь бүс нутагт тасралтгүй байна Дxy.
Жишээ 1.
Хаана σ - эхний октант дахь онгоцны хэсэг.
Шийдэл. Зурах:
Хавтгайн тэгшитгэлээс бид "zet" илэрхийллийг олж авна. 
.
Дараа нь хэсэгчилсэн деривативууд нь: , ба
.
Гадаргуу σ нь зурагт үзүүлсэн гурвалжин юм ABC, ба түүний хавтгай дээрх проекц xOy- гурвалжин AOB, энэ нь шулуун шугамаар хязгаарлагддаг x = 0 , y= 0 ба 3 x + y= 6. Гадаргуугийн интегралаас давхар интеграл руу шилжиж, үүнийг шийдье.
.
Хоёр дахь төрлийн гадаргуугийн интегралын тухай ойлголт
Хоёрдахь төрлийн гадаргуугийн интегралын тодорхойлолт руу шилжихээсээ өмнө гадаргуугийн талууд ба чиглэсэн гадаргуугийн тухай ойлголттой танилцах шаардлагатай.
Орон зайд гөлгөр гадаргууг өгье σ . Энэ гадаргуу дээрх дурын цэгийг сонгоцгооё Мба түүгээр дамжуулан гадаргуу дээр хэвийн векторыг зурна. Цэгээр дамжуулан Мбид мөн гадаргуу дээр хийх болно σ гадаргуугийн хилтэй нийтлэг цэггүй дурын контур σ . Бүтэн зогсоол Мхэвийн векторын хамт бид контурын дагуу хөдөлж, хэвийн вектор гадаргууд байнга перпендикуляр байх болно. σ . Цэг буцаж ирэхэд МЭхний байрлал руу шилжихэд хоёр тохиолдол байж болно: хэвийн векторын чиглэл ижил хэвээр байх эсвэл эсрэгээр өөрчлөгдөх болно.
Хэрэв хэвийн векторын чиглэл өөрчлөгдөхгүй бол гадаргуу σ хоёр талт гэж нэрлэдэг. Хэрэв контурыг давах үед хэвийн векторын чиглэл эсрэгээр өөрчлөгдвөл гадаргууг нэг талт гэж нэрлэдэг. Хоёр талт гадаргууг чиглэсэн гадаргуу, нэг талт гадаргууг чиглээгүй гадаргуу гэж нэрлэдэг.
Нэг талт гадаргуугийн жишээ бол Мобиусын тууз (дээрх зурган дээр) бөгөөд үүнийг нэг талдаа 180 градус эргүүлж, дараа нь үзүүрийг нь наасан туузаар хийж болно. Энд хамгийн чухал зүйл бол: нэг талт гадаргуугийн хувьд хоёр дахь төрлийн гадаргуугийн интеграл гэсэн ойлголтыг оруулаагүй болно .
Тиймээс бид зөвхөн хоёр талт гадаргууг авч үзэх болно. Хоёр талт гадаргуугийн жишээ бол хавтгай, бөмбөрцөг, эллипсоид, параболоид юм.
Хоёр талт гадаргуугийн эерэг тал нь хэвийн векторын чиглэлийг тодорхойлдог. Гадаргуугийн эсрэг талыг сөрөг гэж нэрлэдэг. Гадаргуугийн эерэг тал нь түүний дээд тал юм. Хэрэв нэгж хэвийн векторууд тэнхлэгтэй хурц өнцөг үүсгэдэг бол Оз, дараа нь гадаргуугийн дээд талыг сонгоно z = z(x, y) , хэрэв өнцөг нь мохоо бол гадаргуугийн доод тал.
Эхний төрлийн гадаргуугийн интегралын нэгэн адил гадаргууг хувааж болно nхэсгүүд. Эхний төрлийн гадаргуугийн интегралын тухай ойлголтыг боловсруулахдаа интеграл нийлбэр нь функцийн утгыг үржүүлсэн хэсэг бүрийн талбайг агуулна. е(Мби). Хоёрдахь төрлийн гадаргуугийн интегралын хувьд хэсгүүдийн талбайг бус харин координатын хавтгай дээрх проекцын талбайг авна. . Гурван хувьсагчийн функцийг эхний төрлийн интегралаас ялгахын тулд бид үүнийг тэмдэглэв. Р(x,y,z) . Дараа нь интеграл нийлбэрийг дараах байдлаар бичнэ.
,
хаана Δ сби- гадаргуугийн хажуугийн хэсгүүдийн координатын тэнхлэгт дурдсан проекцуудын талбайнууд (одоогоор бид тэнхлэг дээр гэж үзэх болно. xOy).
Ийм конвенц, тэмдэглэгээгээр хоёр дахь төрлийн гадаргуугийн интегралын тодорхойлолт нь эхний төрлийн интегралын тодорхойлолттой төстэй юм. Тухайлбал: Хоёрдахь төрлийн гадаргуугийн интеграл нь тухайн гадаргуугийн хэсгүүдийн хамгийн том диаметр нь тэг байх хандлагатай байдаг тул өгөгдсөн интеграл нийлбэрийн хязгаар юм.
Үүнийг ингэж бичсэн байна.
.
Энэ тохиолдолд функц Р(x,y,z) хувьсагч дээр интегралдах боломжтой xТэгээд y, учир нь гадаргуугийн хэсгүүдийг хавтгай дээр буулгасан xOy.
Үүний нэгэн адил бид хоёр дахь төрлийн бусад хоёр гадаргуугийн интегралыг бичиж болно.
(функц П(x,y,z) хувьсагчид дээр интегралдах боломжтой yТэгээд z yOz),
(функц Q(x,y,z) хувьсагчид дээр интегралдах боломжтой zТэгээд x, учир нь гадаргуугийн хэсгүүд нь хавтгайд тусгагдсан байдаг zOx).
Эдгээр интегралуудын нийлбэр
дуудсан Хоёр дахь төрлийн гадаргуугийн ерөнхий интеграл болон томилогдсон
Хоёр дахь төрлийн гадаргуугийн интегралын тооцоо
Хоёр дахь төрлийн гадаргуугийн интегралыг гадаргуугийн ерөнхий интегралыг гадаргуугийн интегралын нийлбэр болгон задалж (өмнөх догол мөрийн төгсгөлийг харна уу) тус бүрийг давхар интеграл болгон бууруулж тооцно.
Интегралын тооцоог нарийвчлан авч үзье
.
Гадаргууг нь тавь σ тэгшитгэлээр өгөгдсөн z = z(x, y) . Бид гадаргуугийн эерэг тал, сөрөг тал, хавтгай дээрх проекцийг тэмдэглэдэг xOy - Дxy.
Тиймээс бид хоёр дахь төрлийн гадаргуугийн интегралыг тооцоолох томъёог олж авна.
Хэрэв гадаргуугийн сөрөг талыг сонгосон бол интегралын тэмдэг өөрчлөгдөнө.
Үлдсэн хоёр тусдаа интеграл - ерөнхий нэгийн нөхцлүүд - ижил төстэй байдлаар тооцогдоно.
Жишээ 2.
,
Хаана σ - онгоцоор таслагдсан онгоцны нэг хэсгийн дээд тал y= 0 ба y= 4 ба эхний октантад байрлана.
Шийдэл. Зургийг дээрх зурагт үзүүлэв. Тодорхойлолтоор бид гурван давхар интегралын нийлбэрийг олж авна.
Хоёр дахь интеграл тэгтэй тэнцүү, онгоцноос хойш σ тэнхлэгтэй параллель Өө. Тиймээс бид эхний болон гурав дахь интегралуудыг олно.
Үлдсэн зүйл бол бүх бие даасан интегралуудыг нэгтгэж, хоёр дахь төрлийн ерөнхий гадаргуугийн интегралыг олж авах явдал юм.
.
Хэрэв та хаалттай гадаргуу дээр хоёр дахь төрлийн гадаргуугийн интегралыг тооцоолох шаардлагатай бол та очиж болно гурвалсан интеграл, Остроградскийн томъёог ашиглан. Дараа нь, хэрэв функцууд П(x,y,z) , Q(x,y,z) Мөн Р(x,y,z) ба тэдгээрийн хэсэгчилсэн дериватив , , нь домайн дахь тасралтгүй функцууд юм В, энэ нь битүү гадаргуугаар хязгаарлагддаг σ , дараа нь гадаргуугийн гадна талд нэгтгэх үед тэгш байдал
Жишээ 3.Хоёр дахь төрлийн гадаргуугийн интегралыг тооцоол
,
Хаана σ - гадаргуу ба хавтгайгаас үүссэн конусын гадаргуугийн гадна тал z = 2 .
Шийдэл. Энэ гадаргуу нь радиустай конусын гадаргуу юм Р= 2 ба өндөр h= 2 . Энэ бол хаалттай гадаргуу тул та Остроградскийн томъёог ашиглаж болно. Учир нь П = 3x , Q = 4y , Р = −z, дараа нь хэсэгчилсэн деривативууд , , .
Бид гурвалсан интеграл руу шилжиж, үүнийг шийднэ.
Гадаргуугийн интегралыг тооцоолох бусад жишээ
Жишээ 4.Эхний төрлийн гадаргуугийн интегралыг тооцоол
Хаана σ - конусын хажуугийн гадаргуу нь .
Шийдэл. Хэсэгчилсэн деривативуудаас хойш 
,
, Тэр
Бид энэ гадаргуугийн интегралыг хоёр дахин багасгаж:
Хавтгай дээрх гадаргуугийн проекц xOyнь эх болон радиус дээр төвтэй тойрог юм Р= 2, тиймээс давхар интегралыг тооцоолохдоо туйлын координатын систем рүү шилждэг. Үүнийг хийхийн тулд хувьсагчдыг өөрчилье:
Бид дараах интегралыг олж, эцэст нь шийддэг.
Жишээ 5.Хоёр дахь төрлийн гадаргуугийн интегралыг тооцоол
,
Хаана σ - координатын хавтгайтай хавтгай огтлолцсоноор үүссэн гурвалжны дээд хэсэг.
Шийдэл. Энэ гадаргуугийн интегралыг хоёр интегралын нийлбэрт хуваая
, Хаана
.
Интегралыг тооцоолохын тулд I1 σ онгоц руу yOz. Төсөл нь гурвалжин юм OCB, онгоцонд байгаа yOzшулуун шугамыг хязгаарлах эсвэл, y= 0 ба z= 0. Хавтгайн тэгшитгэлээс гарна. Тиймээс бид интегралыг тооцоолж болно I1 :
Интегралыг тооцоолохын тулд I2 , гадаргуугийн проекцийг байгуулъя σ онгоц руу zOx. Төсөл нь гурвалжин юм AOCшулуун шугамаар хүрээлэгдсэн , эсвэл , x= 0 ба z= 0. Бид тооцоолно:
Бид үүссэн хоёр интегралыг нэмж, эцэст нь энэ гадаргуугийн интегралыг олж авна.
.
Жишээ 6.Хоёр дахь төрлийн гадаргуугийн интегралыг тооцоол
,
Хаана σ
- хавтгайгаар үүссэн пирамидын гаднах гадаргуу 
ба координат хавтгай.
Онолын доод хэмжээЭнэ сэдэв нь "" сэдвээр эхэлсэн муруйн ба гадаргуугийн интегралуудын хэлэлцүүлгийг үргэлжлүүлж байна. Энэ сэдэвтэй урьдчилан танилцахыг зөвлөж байна. Сэдвийн нарийн төвөгтэй байдлаас шалтгаалан муруй ба гадаргуугийн интегралууд
хоёр дахь төрлийг тусад нь авч үздэг. Хоёрдахь төрлийн гадаргуугийн интегралуудыг энд авч үзэх болно - магадгүй хамгийн төвөгтэй интеграл үйл ажиллагаа.
олон хувьсагчийн функцүүдийн шинжилгээ. Төлөвлөгөө нь хоёр дахь төрлийн муруйн интегралыг авч үзэхтэй бүрэн төстэй байх болно. Физик хэрэглээнээс эхэлцгээе.
Тэгээд бид албан ёсны математик тал руугаа шилжих болно.1. Хоёр дахь төрлийн гадаргуугийн интегралын физик хэрэглээ
Хоёрдахь төрлийн гадаргуугийн интегралыг нэвтрүүлэх хамгийн байгалийн арга бол зарим гадаргуугаар дамжин өнгөрөх шингэний урсгалыг авч үзэх явдал юм. Энгийн тохиолдлоор эхэлцгээе:
шингэн нь х тэнхлэгийн дагуу тогтмол хурдтайгаар урсдаг. Урсгалд перпендикуляр талбайг сонгож, дамжин өнгөрөх шингэний массыг олъё
түүнийг цагтаа. Энэ хугацаанд өндөр ба суурийн талбай бүхий "параллелепипед". Энэхүү "параллелепипедийн" масс
тэнцүү байна, шингэний нягт хаана байна.
Одоо шингэнийг x тэнхлэгт өнцгөөр хавтгайд параллель, гэхдээ хурдтай урсгана. Өмнөх сайтаас
тохиолдолд бид үүнийг абсцисса тэнхлэгт перпендикуляр байрлуулах болно. Цаг хугацаа өнгөрөхөд налуу "параллелепипед" дамжин өнгөрдөг (1-р зургийг үз). Түүний масс
тэнцүү байна. Нэгж хэвийн векторыг сайтад оруулах нь бидэнд бичих боломжийг олгодог гэдгийг анхаарна уу.
Модуль нь -тэй тэнцүү, чиглэл нь векторын чиглэлтэй давхцаж байгаа энгийн талбайн албан ёсны векторыг танилцуулав.
сайтын хувьд хэвийн. Дараа нь. Энэ тэмдэглэгээ нь шингэний хурдны векторын чиглэлийн талаар санаа зовохгүй байх боломжийг танд олгоно
сайт руу.Шингэн урсах талбайн жижиг байдал, тогтмол модуль ба хурдны чиглэлийн таамаглалаас татгалзах хэвээр байна. Дараа нь
гадаргуу нь жижиг хэсгүүдэд хуваагддаг бөгөөд тэдгээрийн дотор хурдны векторыг тогтмол гэж үзэж болно. Гадаргуугаар дамжин өнгөрөх шингэний масс нь
ойролцоогоор нийлбэрээр өгөгдсөн.
Гадаргууг хязгааргүй жижиг хэсгүүдэд хуваах хязгаарт тодорхой томъёог олж авна. Хязгаар нь хоёр дахь төрлийн гадаргуугийн интеграл юм..
Энэ хэсгийг бичихдээ фрагмент ашигласан боловсролын материалЕрөнхий физикийн тэнхимийн багш, түүнийг семинарын хичээлд ашигладаг.2. Хоёр дахь төрлийн гадаргуугийн интегралын тодорхойлолт
Одоо интегралын албан ёсны барилгын тухай. Вектор талбар нь гадаргуу дээр нэгдмэл байдаг тул аль талд нь байгааг тодруулах нь зүйтэй юм
гадаргуугийн хувьд интегралыг тооцоолно (шингэний урсгалыг тооцоолохтой адил: шингэн гадаргуу руу урсдаг эсвэл түүнээс урсдаг). Тиймээс үүнийг онцгойлон зааж өгсөн болно
Интеграци хийх гадаргуу нь хоёр талт эсвэл чиглүүлэх боломжтой байх ёстой (өөрөөр хэлбэл Мобиусын зурвас бүхэлдээ ажиллахгүй). Гадаргуу
нэн даруй чиглэсэн, өөрөөр хэлбэл. гадаргын нормын тодорхой чиглэлийг сонгосон (жишээлбэл, интегралыг бөмбөрцөг дээр тооцоолсон бол хэвийн байж болно.
бөмбөрцөгөөс эсвэл бөмбөрцөг рүү чиглэсэн). Талбайн бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь ерөнхий тохиолдолд цэгийн функцууд юм. Интеграцийн гадаргуу
жижиг хэсгүүдэд хуваагдаж, хэсэг бүрт цэг сонгож, нийлбэрийг нэгтгэнэ
,
Хавтгай дээрх элементийн проекцын талбай хаана байна, энэ элементийн хавтгай дээрх проекцын талбай нь хаана байна
Энэ элементийн хавтгай дээрх проекц. Бид гадаргууг хуваасан бүх элементүүдийн нийлбэрийг хийдэг.
хамгийн том хэсэгчилсэн бүсийн голчийг тэг рүү чиглүүлж, хязгаарт очно. Хязгаар нь хоёр дахь төрлийн гадаргуугийн интеграл юм
.
Энэ интегралыг 1-р алхамаас хэлбэр рүү хэрхэн бууруулахыг үзүүлье. Үүнийг хийхийн тулд та цэвэр геометрийн шинж чанартай жижиг ухралт хийх хэрэгтэй болно. Байг
координатын тэнхлэгүүдийг огтолж буй онгоц (2-р зургийг үз). Энэ онгоцны эхний октантад байрлах хэсэг нь талбайтай. Та талбайг олох хэрэгтэй
хавтгайн өгөгдсөн хэсгийн координатын хавтгай дээрх бүх гурван ортогональ проекцууд. Мэдэгдэж байгаагаар зургийн проекцын талбай нь тухайн талбайн бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна
зураг өөрөө ба тухайн зургийн хавтгай ба түүнийг тусгаж буй хавтгай хоорондын өнцгийн косинус (3-р зургийг үз). Тэдгээр. үүсгэх өнцгүүдийг олох хэрэгтэй
координатын хавтгайтай хавтгай. Хоёр хавтгайн хоорондох өнцөг нь тэдгээрийн нормуудын хоорондох өнцөгтэй тэнцүү байна. Онгоцны хэвийн нэгж нь бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй,
нь түүний чиглэлийн косинусууд юм. Тиймээс хавтгай ба хавтгай хоорондын өнцөг тэнцүү байна (2-р зургийг үз), тиймээс .
Хязгааргүй жижиг талбайд ижил хамаарал хүчинтэй байх болно: . Мөн үүнтэй адил.
Эдгээр харилцааг харгалзан интеграл хэлбэрийг авна
.
Дашрамд хэлэхэд энэ бичлэгийн хэлбэр нь илүү харагдахуйц байдаг тул бид түүнтэй ажиллах болно.Нормативын чиглэлийг өөрчлөх нь интеграл тэмдгийг өөрчлөхөд хүргэдэг.
3. Хоёр дахь төрлийн гадаргуугийн интегралын тооцоо
Интегралыг гадарга руу чиглэсэн нормын чиглэлийн косинусуудыг агуулсан хэлбэр болгон бууруулсны дараа асуудал үндсэндээ хэвийн нэгжийг бичих хүртэл буурна.
Эхний төрлийн гадаргуугийн интегралын цаашдын тооцоогоор. Эдгээр үйлдлүүдэд зарим онцлог шинж чанарууд байдаг тул тооцооллыг нарийвчлан авч үзье
энэ төрлийн интегралууд.Интеграцийн гадаргууг тодорхой тэгшитгэлээр өгсөн тохиолдлоос эхэлье, жишээлбэл,
. Дараа нь хэвийн векторыг дараах байдлаар бичнэ.
,
болон гадаргуугийн талбайн элемент.
Үүний үр дүнд гадаргуугийн интеграл дараах хэлбэрийг авна.
, (1)
интеграцийн гадаргуугийн проекц байгаа хавтгайн муж хаана байна.Интеграцийн гадаргууг хавтгайд (мөн тэгшитгэлээр өгөгдсөн) эсвэл хавтгай дээр зөв тусгасан байж магадгүй юм.
(болон тэгшитгэлээр өгөгдсөн). Дараа нь интегралыг тооцоолох томъёог бага зэрэг тохируулна.
(2)
эсвэл
. (3)
Мэдээжийн хэрэг, ийм томъёог цээжлэхийг зөвлөдөггүй: ямар нэг зүйлийг төөрөлдүүлэхэд хялбар байдаг - тэдгээрийг тодорхой зүйлтэй уялдуулан сэргээх нь дээр.
хэвийн вектор ба жижиг гадаргуугийн элементийн талбайн томъёонд үндэслэн дахин тооцоолно.Гадаргууг бүх гурван координатын хавтгайд зөв тусгасан тохиолдолд онцолсон нэг тохиолдол байдаг, жишээлбэл. гадаргуугийн тэгшитгэлээс аливаа хувьсагч
хоёрдмол утгагүй илэрхийлж болно. Дараа нь тооцооллыг ихээхэн хялбаршуулсан болно. Томъёоны бүтцэд анхаарлаа хандуулаарай (1) - (3). Тэд тус бүрт гурван байдаг
нэр томъёо, тэдгээрийн нэг нь бусдаасаа илүү энгийн харагддаг. Гадаргууг хавтгайд тусгах үед энэ нэр томъёо нь бүрэлдэхүүн хэсгийг агуулна
талбайнууд; хавтгайд төлөвлөхдөө энэ нь бүрэлдэхүүн хэсгийг агуулсан нэр томъёо юм; онгоцонд төлөвлөхдөө энэ нэр томъёо юм
бүрэлдэхүүн хэсгийг агуулсан. Хэрэв гадаргуу нь ямар ч координатын хавтгайд зөв проекц байвал интегралыг хуваана
Гурван хэсэгт хувааж, хэсэг бүрийг хамгийн тохиромжтой байдлаар төлөвлө:
.Эцэст нь, гадаргууг параметрээр тодорхойлох тохиолдол
.
Эхний төрлийн гадаргуугийн интегралыг тооцоолохдоо гурван Якобианыг анхаарч үзэх хэрэгтэй.
.
Нормаль косинусын чиглэлийг тэдгээрээр илэрхийлнэ.
,
гадаргуугийн элемент
.
Тиймээс интегралын хувьд бид олж авна
,
интеграцийн гадаргуутай харгалзах параметрийн өөрчлөлтийн хүрээ хаана байна.4. Стоксын томъёо. Остроградский-Гаусын томъёо
Хоёрдахь төрлийн гадаргуугийн интеграл нь янз бүрийн хэрэглээ, түүний дотор физик хэрэглээг олох хоёр томьёотой холбоотой юм.
Стоксын томъёо:
,
Хаана,
гадаргуу нь контурын дээгүүр сунасан, контурын хөндлөн огтлолцол нь баруун талын шурагны дүрмийн дагуу гадаргуугийн нормыг сонгоход нийцдэг.
Интеграцийн гадаргуу нь "нүх" байгаа бол тодруулга хийх шаардлагатай.
Ногоон томъёо нь энэ томьёоны онцгой тохиолдол юм. Нэмж дурдахад Стоксын томъёоноос хоёр дахь муруйн интегралын бие даасан байдлын нөхцөлийг дагаж мөрддөг.
замын хэлбэрээс ямар нэгэн байдлаар.Остроградский-Гаусын томъёо.
Учир нь вектор талбартомъёо биелэгдсэн байна
гадаргуу нь эзлэхүүнийг хязгаарладаг газар.Остроградский-Гаусын томъёо нь өөр өөр хэрэглээтэй. Тэдгээрийн хоёрыг харцгаая. Нэгдүгээрт, биеийн эзэлхүүнийг тооцоолох боломжтой гэдгийг батлахад хялбар байдаг
томъёоны дагууХоёрдугаарт, заримдаа задгай гадаргуу дээр хоёр дахь төрлийн гадаргуугийн интегралыг тооцоолох шаардлагатай байдаг бөгөөд үүнд төвөгтэй тооцоолол орно.
Дараа нь гадаргууг хааж, интегралыг гурав дахин нэг болгон хувиргаж, нэмсэн гадаргуу дээрх интегралыг хасна (доорх жишээг үзнэ үү).Анхаарна уу. Стокс ба Остроградский-Гаусын томьёо нь векторын талбарын буржгар ба зөрүүг ашиглан вектор шинжилгээнд илүү тохиромжтой бичигдсэн байдаг.
Хоёр дахь төрлийн гадаргуугийн интегралыг тооцоолох жишээ
Жишээ 1. Хавтгай интеграл.. Дараа нь бид эллипс параболоидын хэсгүүдийг (гадаад хэвийн) авна.
Интегралыг хэлбэрээр дахин бичье
.
Интеграцийн гадаргуу - эллипс параболоид нь зөвхөн хавтгай дээр зөв проекцлагдсан тул гадаргуугийн тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичнэ.
.
Нэгж хэвийн векторыг ол:.
Жишээ 3.3.Вектор талбайн ажлыг тооцоол
а = 2x 2 y би – xy 2 j
О эхлэлээс A(1;1) цэг хүртэл, хэрэв хөдөлгөөн нь дагуу явбал: A)шугамын сегмент; б)параболын нумууд; V)эвдэрсэн шугам OBA, энд B(1;0) (3.1-р зургийг үз).
Шийдэл . A) OA шулуун шугамын тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна y=x. Болъё x=t, дараа нь параметрийн хэлбэрийн шулуун шугамын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно.
x=t, y=t,
мөн А-аас В руу шилжих үед параметр т 0-ээс 1 болж өөрчлөгдөнө.Тэгвэл хийсэн ажил нь тэнцүү болно
б)Болъё x=t 2 , y=t, Дараа нь
x=t 2 , y=t, 0£ т£1 .
.
V)Шугамын тэгшитгэл (OB) байна y=0 (0£ x£1); шугамын тэгшитгэл (BA) хэлбэртэй байна x=1 (0£ y£1). Дараа нь
, 
.
Үүний үр дүнд бид,
.
Сэтгэгдэл. Хэрэв хоёр хэмжээст талбайн хувьд шугамын тэгшитгэлийг тэгшитгэлээр дүрсэлсэн бол y=y(x), хувьсагч х нь өөр өөр байна аруу б, дараа нь 2-р муруйн интегралыг дараах томъёогоор тооцоолно.
. (3.9)
Өмнөх жишээг энэ томъёог ашиглан параметрийг оруулахгүйгээр шийдэж болно т.
Жишээ 3.4.Интегралыг тооцоолох
,
Энд L нь параболын нум юм y=x A(0;1) цэгээс B(2;5) цэг хүртэл 2 +1.
Шийдэл . Зураг зурцгаая (3.2-р зургийг үз). Параболын тэгшитгэлээс бид олж авна y"=2x. Параболагийн нуман дээр байгаа тул ABхувьсагч x 0-ээс 2 хүртэл өөрчлөгдвөл (3.9) томъёоны дагуу муруйн интеграл хэлбэрийг авна.
4. Гадаргуугийн интегралууд
4.1. Эхний төрлийн гадаргуугийн интегралууд
1-р төрлийн гадаргуугийн интеграл нь давхар интегралын ерөнхий дүгнэлт бөгөөд үүнтэй төстэй байдлаар танилцуулагддаг. Зарим гадаргууг авч үзье С, гөлгөр эсвэл хэсэгчилсэн гөлгөр ба f( функцийг гүйцэтгэнэ гэж үзье. x,y,z) энэ гадаргуу дээр тодорхойлогдсон бөгөөд хязгаарлагдмал. Энэ гадаргууг хувацгаая nдурын хэсгүүд. Талбай бүрийн талбайг D гэж тэмдэглэсэн с би. Хэсэг бүр дээр бид координат бүхий цэгийг сонгоно ( x i ,y i ,z i) ба ийм цэг бүрийн функцийн утгыг тооцоол. Үүний дараа бид интеграл нийлбэрийг үүсгэнэ.
.
Хэрэв интеграл нийлбэрийн хязгаар байгаа бол n®¥ (энэ тохиолдолд хамгийн их D с би®0), өөрөөр хэлбэл. Ийм хязгаар нь хуваах арга эсвэл дундын цэгийн сонголтоос хамаарахгүй тул ийм хязгаарыг нэрлэдэг. нэгдүгээр төрлийн гадаргуугийн интеграл :
. (4.1)
Хэрэв функц f( x,y,z) гадаргуу дээр тасралтгүй байна С, дараа нь хязгаар (4.1) байна.
Хэрэв интеграл функц f( x,y,z)º1, тэгвэл 1-р төрлийн гадаргуугийн интеграл нь гадаргуугийн талбайтай тэнцүү байна С:
. (4.2)
Декартын координатын систем, тэнхлэгтэй параллель дурын шулуун шугамыг нэвтрүүлсэн гэж үзье Оз,гадаргууг гаталж болно Сзөвхөн нэг цэг дээр. Дараа нь гадаргуугийн тэгшитгэл Схэлбэрээр бичиж болно
z = z(x,y)
бөгөөд энэ нь онгоцонд өвөрмөц байдлаар тусгагдсан байдаг xOy. Үүний үр дүнд 1-р төрлийн гадаргуугийн интегралыг давхар интегралаар илэрхийлж болно.
.
(4.3)
Жишээ 4.1.Интегралыг тооцоолох
,
Хаана С- конус хэлбэрийн гадаргуугийн хэсэг z 2 =x 2 +y£2.0 z£1.
Шийдэл. Бидэнд байна
Дараа нь шаардлагатай интегралыг давхар интеграл болгон хувиргана
Хаана S xy- тойрог x 2 +y 2 £1. Тийм ч учраас
.
4.2. Хоёр дахь төрлийн гадаргуугийн интегралууд
Зарим мужид вектор талбарыг зааж өгье
а = а х би + а y j + a z к
болон аливаа хоёр талт гадаргуу С. Гадаргууг ямар нэгэн байдлаар энгийн хэсгүүдэд хуваацгаая D S i. Сайт бүр дээр бид дурын P цэгийг сонгоно биболон интеграл нийлбэрийг зохио:
, (4.4)
Хаана n (П и) – цэг дээрх өгөгдсөн гадаргуу руу чиглэсэн хэвийн вектор П и. Хэрэв Д-д ийм хэмжээний хязгаар байгаа бол S i®0 байвал энэ хязгаарыг дуудна 2-р төрлийн гадаргуугийн интеграл (эсвэл урсгал вектор талбар а гадаргуугаар дамжин С) ба тэмдгээр тэмдэглэнэ
эсвэл,
Хаана г с =n ds.
Нэгж хэвийн вектор нь координатаараа чиглэлтэй косинустай байдаг n =(cosa, cosb, cosg). Тэр
Тиймээс 2-р төрлийн гадаргуугийн интегралын тооцоог 1-р төрлийн гадаргуугийн интегралын тооцоолол болгон бууруулж болно. Гэсэн хэдий ч юу 1-р төрлийн гадаргуугийн интегралаас ялгаатай нь 2-р төрлийн интеграл нь гадаргуугийн хажуугийн сонголтоос хамаардаг. Гадаргуугийн нөгөө тал руу шилжих нь гадаргуугийн хэвийн чиглэлийг өөрчилдөг бөгөөд үүний дагуу интегралын тэмдэг өөрчлөгддөг..
Интегралыг авч үзье
.
Гадаргуугийн тэгшитгэлийг хэлбэртэй болго z=j( x,y) ба энэ гадаргуугийн эерэг талыг О тэнхлэгтэй хэвийн хэлбэрүүд гэж үзнэ zхурц өнцөг. Дараа нь
cosg ds = dxdy.
Тиймээс авч үзэж буй интегралыг хэлбэрээр бичиж болно
.
Солих z j( x,y), бид давхар интегралд хүрнэ
,
Хаана S xy- гадаргуугийн проекц Сонгоц руу xOy.
Хэрэв муруйн уртыг тодорхойлохдоо түүний хамгийн том сегментийн урт тэг байх хандлагатай тул өгөгдсөн муруйд бичээстэй тасархай шугамын хязгаар гэж өгсөн бол энэ тодорхойлолтыг 1-ийн талбай руу сунгах оролдлого болно. муруй гадаргуу нь зөрчилдөөнд хүргэж болзошгүй (Шварцын жишээ: цилиндрт бичигдсэн олон талтуудын дарааллыг авч үзэж болно, үүний хувьд аль ч нүүрний цэгүүдийн хоорондох хамгийн их зай нь тэг, талбай нь хязгааргүй байх хандлагатай байдаг). Тиймээс бид гадаргуугийн талбайг өөр аргаар тодорхойлно. L контураар хязгаарлагдсан задгай S гадаргууг авч үзээд зарим муруйгаар S1, S2,…, Sn хэсгүүдэд хуваая. Хэсэг бүрээс Ми цэгийг сонгож, энэ хэсгийг энэ цэгийг дайран өнгөрч буй гадаргуу руу шүргэгч хавтгай дээр буулгая. Бид проекцоор Ti талбай бүхий хавтгай дүрсийг олж авдаг. S гадаргуугийн аль ч хэсгийн хоёр цэгийн хоорондох хамгийн их зайг ρ гэж нэрлэе.
Тодорхойлолт 12.1. S гадаргуугийн талбайг Ti талбайн нийлбэрийн хязгаар гэж нэрлэе
Эхний төрлийн гадаргуугийн интеграл.
L контураар хязгаарлагдсан тодорхой S гадаргууг авч үзээд S1, S2,..., Sp хэсгүүдэд хуваая (бид хэсэг бүрийн талбайг Sp гэж тэмдэглэнэ). Энэ гадаргуугийн цэг бүрт f(x, y, z) функцийн утгыг зааж өгье. Si хэсэг бүрээс Mi (xi, yi, zi) цэгийг сонгоод интеграл нийлбэрийг байгуулъя.
. (12.2)
Тодорхойлолт 12.2. Хэрэв гадаргууг хэсэг болгон хуваах арга, Ми цэгийн сонголтоос үл хамааран интеграл нийлбэр (12.2) хязгаарлагдмал хязгаартай бол түүнийг f(M) = функцийн нэгдүгээр төрлийн гадаргуугийн интеграл гэнэ. f(x, y, z) гадаргуу дээр S ба тэмдэглэгдсэн байна
Сэтгэгдэл. 1-р төрлийн гадаргуугийн интеграл нь интегралын ердийн шинж чанартай байдаг (шугаман байдал, авч үзэж буй гадаргуугийн бие даасан хэсгүүдийн өгөгдсөн функцийн интегралуудын нийлбэр гэх мэт).
1-р төрлийн гадаргуугийн интегралын геометрийн болон физикийн утга.
Хэрэв интеграл функц f(M) ≡ 1 бол 12.2-р тодорхойлолтоос харахад энэ нь авч үзэж буй S гадаргуугийн талбайтай тэнцүү байна.
1-р төрлийн гадаргуугийн интегралын тооцоо.
S гадаргууг тодорхой, өөрөөр хэлбэл z = φ(x, y) хэлбэрийн тэгшитгэлээр тодорхойлсон тохиолдолд бид өөрсдийгөө хязгаарлая. Түүнээс гадна гадаргуугийн талбайн тодорхойлолтоос ийм зүйл гарч ирдэг
Si =, энд Δσi нь Si-ийн Oxy хавтгайд проекцын талбай, γi нь Ми цэг дээрх Oz тэнхлэг ба S гадаргуугийн норм хоорондын өнцөг юм. Энэ нь мэдэгдэж байна
,
Энд (xi, yi, zi) нь Ми цэгийн координатууд юм. Тиймээс,
Энэ илэрхийллийг томъёогоор (12.2) орлуулснаар бид үүнийг олж авна
,
баруун талын нийлбэрийг энэ хавтгайд S гадаргуугийн проекц болох Окси хавтгайн Ω мужаар гүйцэтгэнэ (Зураг 1).
Энэ тохиолдолд, баруун талд, тэгш муж дээрх хоёр хувьсагчийн функцийн хувьд интеграл нийлбэр олддог бөгөөд энэ нь at хязгаарт давхар интеграл өгдөг тул тооцоог багасгах боломжийг олгодог томъёог олж авсан болно давхар интегралын тооцоонд 1-р төрлийн гадаргуугийн интеграл.
