Аналитик геометрийн асуудлыг хэрхэн шийдэж сурах вэ?
Хавтгай дээрх гурвалжинтай холбоотой ердийн асуудал

Энэ хичээлийг хавтгайн геометр ба сансар огторгуйн геометрийн хоорондох экватор руу ойртох талаар бий болгосон. Одоогийн байдлаар хуримтлагдсан мэдээллийг системчилж, маш чухал асуултанд хариулах шаардлагатай байна. Аналитик геометрийн асуудлыг хэрхэн шийдэж сурах вэ?Хэцүү зүйл бол та геометрийн хязгааргүй олон тооны бодлого бодож олох боломжтой бөгөөд ямар ч сурах бичигт олон янзын жишээг багтаахгүй. Энэ биш функцийн деривативялгах таван дүрэм, хүснэгт, хэд хэдэн арга техниктэй.

Шийдэл бий! Би ямар нэгэн гайхалтай техник боловсруулсан тухайгаа чангаар ярихгүй, гэхдээ миний бодлоор хэлэлцэж буй асуудалд үр дүнтэй арга байдаг бөгөөд энэ нь бүрэн цайны сав ч гэсэн сайн, маш сайн үр дүнд хүрэх боломжийг олгодог. Наад зах нь геометрийн бодлого бодох ерөнхий алгоритм миний толгойд маш тодорхой тогтсон.

ТА МЭДЭХ ХЭРЭГТЭЙ, ХИЙХ ЧАДВАРТАЙ БАЙХ
геометрийн асуудлыг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд?

Үүнээс зугтах зүйл алга - хамараараа товчлуурыг санамсаргүй цохихгүйн тулд та аналитик геометрийн үндсийг эзэмших хэрэгтэй. Тиймээс хэрэв та геометрийн хичээлийг дөнгөж судалж эхэлсэн эсвэл бүр мартсан бол хичээлээ эхлүүлээрэй Дамми нарт зориулсан векторууд. Векторууд ба тэдгээртэй хийх үйлдлээс гадна та хавтгай геометрийн үндсэн ойлголтуудыг мэдэх хэрэгтэй. хавтгай дээрх шулууны тэгшитгэлМөн . Сансар огторгуйн геометрийг нийтлэлд үзүүлэв Хавтгай тэгшитгэл, Орон зай дахь шугамын тэгшитгэл, Шулуун ба хавтгай дээрх үндсэн бодлого болон бусад хичээлүүд. Хоёрдахь эрэмбийн муруй шугамууд ба орон зайн гадаргуу нь бие биенээсээ бага зэрэг зайд байрладаг бөгөөд тэдгээрт тийм ч тодорхой асуудал байдаггүй.

Оюутан аналитик геометрийн хамгийн энгийн бодлогуудыг шийдвэрлэх үндсэн мэдлэг, чадвартай болсон гэж үзье. Гэхдээ иймэрхүү зүйл тохиолддог: та асуудлын мэдэгдлийг уншиж, ... та бүх зүйлийг бүхэлд нь хааж, хамгийн хол буланд хаяж, муу зүүд шиг мартахыг хүсч байна. Түүнээс гадна, энэ нь үндсэндээ таны мэргэшлийн түвшнээс хамаардаггүй; би үе үе шийдэл нь тодорхойгүй ажлуудтай тулгардаг. Ийм тохиолдолд юу хийх вэ? Та ойлгохгүй байгаа ажлаас айх шаардлагагүй!

Нэгдүгээрт, суурилуулсан байх ёстой - Энэ "хавтгай" эсвэл орон зайн асуудал уу?Жишээлбэл, хэрэв нөхцөл нь хоёр координат бүхий векторуудыг багтаасан бол энэ нь мэдээжийн хэрэг, хавтгайн геометр юм. Хэрэв багш талархалтай сонсогчдод пирамид ачсан бол орон зайн геометр байгаа нь тодорхой юм. Эхний алхамын үр дүн аль хэдийн сайн байна, учир нь бид энэ даалгаварт шаардлагагүй асар их хэмжээний мэдээллийг хасаж чадсан!

Хоёрдугаарт. Нөхцөл байдал нь ихэвчлэн геометрийн дүрстэй холбоотой байх болно. Үнэхээр төрөлх их сургуулийнхаа коридороор алхвал та маш их санаа зовсон царайг харах болно.

"Хавтгай" бодлогод тодорхой цэг, шугамыг дурдахгүй байхын тулд хамгийн алдартай дүрс бол гурвалжин юм. Бид үүнийг нарийвчлан шинжлэх болно. Дараа нь параллелограмм ирдэг бөгөөд тэгш өнцөгт, дөрвөлжин, ромб, тойрог болон бусад хэлбэрүүд нь хамаагүй бага байдаг.

Орон зайн асуудалд ижил хавтгай дүрсүүд + онгоцнууд өөрсдөө болон параллелепипед бүхий нийтлэг гурвалжин пирамидууд нисч чаддаг.

Хоёр дахь асуулт - Та энэ зургийн талаар бүгдийг мэдэх үү?Нөхцөл нь ижил өнцөгт гурвалжны тухай ярьж байна гэж бодъё, мөн та энэ гурвалжин ямар төрлийн гурвалжин болохыг маш тодорхой санадаггүй. Бид сургуулийн сурах бичгийг нээж, тэгш өнцөгт гурвалжны тухай уншдаг. Яах вэ... эмч ромб гэж хэлсэн, ромбо гэсэн үг. Аналитик геометр бол аналитик геометр, гэхдээ Асуудлыг дүрсүүдийн геометрийн шинж чанараар шийдэх болно, сургуулийн сургалтын хөтөлбөрөөс бидэнд мэдэгддэг. Хэрэв та гурвалжны өнцгийн нийлбэр хэд болохыг мэдэхгүй бол та удаан хугацаанд зовж шаналж болно.

Гуравдугаарт. Зургийг үргэлж дагаж мөрдөхийг хичээ(ноорог/дуусгасан хуулбар дээр/сэтгэцийн хувьд), энэ нь нөхцөлөөр шаардлагагүй байсан ч. "Хавтгай" асуудалд Евклид өөрөө захирагч, харандаа авахыг тушаажээ - зөвхөн нөхцөл байдлыг ойлгохын тулд төдийгүй өөрийгөө шалгах зорилгоор. Энэ тохиолдолд хамгийн тохиромжтой масштаб нь 1 нэгж = 1 см (2 дэвтэр нүд) юм. хайхрамжгүй оюутнууд, математикчид булшиндаа эргэлдэж байгаа тухай ярихаа больё - ийм бодлогод алдаа гаргах нь бараг боломжгүй юм. Орон зайн даалгаврын хувьд бид схемийн зургийг гүйцэтгэдэг бөгөөд энэ нь нөхцөл байдалд дүн шинжилгээ хийхэд тусална.

Зураг эсвэл бүдүүвч зураг нь ихэвчлэн асуудлыг шийдэх арга замыг шууд харах боломжийг олгодог. Мэдээжийн хэрэг, үүний тулд та геометрийн үндэс суурийг мэдэж, геометрийн дүрсийн шинж чанарыг ойлгох хэрэгтэй (өмнөх догол мөрийг үзнэ үү).

Дөрөвдүгээрт. Шийдлийн алгоритм боловсруулах. Геометрийн олон асуудлууд нь олон үе шаттай байдаг тул шийдэл, түүний загвар нь цэг болгон задлахад маш тохиромжтой. Ихэнх тохиолдолд алгоритм нь нөхцөлийг уншиж эсвэл зурж дуусгасны дараа шууд санаанд орж ирдэг. Хэцүү тохиолдолд бид даалгаврын АСУУЛТ-аас эхэлнэ. Жишээлбэл, "та шулуун шугам барих хэрэгтэй ..." гэсэн нөхцлийн дагуу. Энд хамгийн логик асуулт бол: "Энэ шулуун шугамыг барихад юу мэдэхэд хангалттай вэ?" "Бид цэгийг мэддэг, бид чиглэлийн векторыг мэдэх хэрэгтэй" гэж бодъё. Бид дараах асуултыг асууж байна: "Энэ чиглэлийн векторыг хэрхэн олох вэ? Хаана?" гэх мэт.

Заримдаа "алдаа" байдаг - асуудал шийдэгдээгүй, тэгээд л болоо. Зогсоох шалтгаан нь дараахь байж болно.

- Суурь мэдлэгийн ноцтой зөрүү. Өөрөөр хэлбэл, та маш энгийн зүйлийг мэдэхгүй ба/эсвэл харахгүй байна.

– Геометрийн дүрсийн шинж чанарыг үл тоомсорлодог.

- Даалгавар хэцүү байсан. Тиймээ, тохиолддог. Олон цагаар ууранд жигнэж, алчууранд нулимс цуглуулах нь утгагүй юм. Багш, хамт суралцагч нараасаа зөвлөгөө авах эсвэл форум дээр асуулт асуугаарай. Түүгээр ч барахгүй шийдлийн таны ойлгохгүй байгаа хэсгийг тодорхой болгох нь дээр. "Асуудлыг хэрхэн шийдэх вэ?" тийм ч сайн харагдахгүй байна ..., хамгийн гол нь өөрийн нэр хүндийн төлөө.

Тавдугаар шат. Бид шийднэ-шалгана, шийднэ-шалгана, шийднэ-шалгана-хариулна. Даалгаврын цэг бүрийг шалгах нь ашигтай байдаг дууссаны дараа шууд. Энэ нь алдааг даруй илрүүлэхэд тусална. Мэдээжийн хэрэг, асуудлыг бүхэлд нь хурдан шийдвэрлэхийг хэн ч хориглодоггүй, гэхдээ бүгдийг дахин бичих эрсдэлтэй байдаг (ихэвчлэн хэд хэдэн хуудас).

Эдгээр нь магадгүй асуудлыг шийдвэрлэхдээ дагаж мөрдөх ёстой бүх гол зүйл юм.

Хичээлийн практик хэсгийг хавтгай геометрээр үзүүлэв. Зөвхөн хоёр жишээ байх болно, гэхдээ хангалттай биш юм шиг =)

Шинжлэх ухааны бяцхан ажил дээрээ саяхан үзсэн алгоритмын утгыг авч үзье.

Жишээ 1

Параллелограммын гурван орой өгөгдсөн. Дээд талыг ол.

Ингээд ойлгож эхэлцгээе:

Нэгдүгээр алхам: “Хавтгай” асуудал ярьж байгаа нь ойлгомжтой.

Хоёрдугаар алхам: Асуудал нь параллелограммыг авч үздэг. Энэ параллелограмм дүрсийг бүгд санаж байна уу? Инээмсэглэх шаардлагагүй, олон хүн 30-40-50 ба түүнээс дээш насанд боловсрол эзэмшдэг тул энгийн баримтуудыг ч ой санамжаас арилгадаг. Параллелограммын тодорхойлолтыг хичээлийн 3-р жишээнд үзүүлэв Векторуудын шугаман (бус) хамаарал. Векторуудын үндэс.

Гуравдугаар алхам: Бид гурван мэдэгдэж буй оройг тэмдэглэсэн зураг зурцгаая. Хүссэн цэгээ шууд бий болгох нь тийм ч хэцүү биш нь инээдтэй юм.

Үүнийг бүтээх нь мэдээж сайн хэрэг, гэхдээ шийдлийг аналитик байдлаар томъёолох ёстой.

Дөрөвдүгээр алхам: Шийдлийн алгоритм боловсруулах. Хамгийн түрүүнд санаанд орж байгаа зүйл бол цэгийг шугамын огтлолцол гэж үзэж болно. Бид тэдний тэгшитгэлийг мэдэхгүй тул бид энэ асуудлыг шийдэх хэрэгтэй болно.

1) Эсрэг талуудзэрэгцээ. Оноогоор Эдгээр талуудын чиглэлийн векторыг олъё. Энэ хамгийн энгийн даалгаваранги дээр хэлэлцсэн Дамми нарт зориулсан векторууд.

Жич: "хажуу талыг агуулсан шулууны тэгшитгэл" гэж хэлэх нь илүү зөв байх болно, гэхдээ энд, цаашлаад би "талын тэгшитгэл", "талын чиглэлийн вектор" гэх мэт хэллэгүүдийг ашиглах болно.

3) Эсрэг талууд параллель байна. Цэгүүдийг ашиглан бид эдгээр талуудын чиглэлийн векторыг олно.

4) Цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя

1-2 ба 3-4-т бид нэг асуудлыг хоёр удаа шийдсэн, энэ тухай хичээлийн №3 жишээнд хэлэлцсэн Онгоц дээрх шулуун шугамын хамгийн энгийн асуудлууд. Илүү урт замыг сонгох боломжтой байсан - эхлээд шугамуудын тэгшитгэлийг олж, зөвхөн дараа нь тэдгээрээс чиглэлийн векторуудыг "сугалах" боломжтой.

5) Одоо шугамын тэгшитгэлүүд мэдэгдэж байна. Шугаман тэгшитгэлийн харгалзах системийг зохиож, шийдвэрлэх л үлдлээ (ижил хичээлийн 4, 5-р жишээг үзнэ үү). Онгоц дээрх шулуун шугамын хамгийн энгийн асуудлууд).

Гол нь олдсон.

Асуудал нь маш энгийн бөгөөд шийдэл нь ойлгомжтой, гэхдээ илүү богино арга зам бий!

Хоёр дахь шийдэл:

Параллелограммын диагональуудыг огтлолцох цэгээр нь хуваана. Би цэгийг тэмдэглэсэн боловч зургийг будлиулахгүйн тулд диагональуудыг өөрөө зураагүй.

Хажуугийн цэгийн тэгшитгэлийг цэгээр байгуулъя.

Шалгахын тулд та оюун ухаанаараа эсвэл ноорог дээр цэг бүрийн координатыг үүссэн тэгшитгэлд орлуулах хэрэгтэй. Одоо налууг олъё. Үүнийг хийхийн тулд бид ерөнхий тэгшитгэлийг налуугийн коэффициент бүхий тэгшитгэл хэлбэрээр дахин бичнэ.

Тиймээс налуу нь:

Үүний нэгэн адил бид талуудын тэгшитгэлийг олдог. Би ижил зүйлийг тайлбарлах нь утгагүй юм, тиймээс би эцсийн үр дүнг шууд өгөх болно:

2) Хажуугийн уртыг ол. Энэ бол ангид хамгийн энгийн асуудал юм. Дамми нарт зориулсан векторууд. Онооны хувьд Бид томъёог ашигладаг:

Үүнтэй ижил томъёог ашиглан бусад талуудын уртыг олоход хялбар байдаг. Шалгалтыг ердийн захирагчаар маш хурдан хийж болно.

Бид томъёог ашигладаг .

Векторуудыг олъё:

Тиймээс:

Дашрамд хэлэхэд, бид хажуугийн уртыг олсон.

Үүний үр дүнд:

За, үнэмшилтэй байх нь үнэн юм шиг санагдаж байна, та буланд шилжүүлэгчийг холбож болно.

Анхаар! Гурвалжны өнцгийг шулуун шугамын хоорондох өнцөгтэй андуурч болохгүй. Гурвалжны өнцөг нь мохоо байж болох ч шулуун шугамын хоорондох өнцөг боломжгүй (өгүүллийн сүүлийн догол мөрийг үзнэ үү). Онгоц дээрх шулуун шугамын хамгийн энгийн асуудлууд). Гэхдээ гурвалжны өнцгийг олохын тулд дээрх хичээлийн томъёог ашиглаж болно, гэхдээ барзгар байдал нь тэдгээр томьёо нь үргэлж хурц өнцөг өгдөг. Тэдний тусламжтайгаар би энэ асуудлыг төсөл дээр шийдэж, үр дүнд хүрсэн. Эцсийн хуулбар дээр би нэмэлт шалтаг бичих хэрэгтэй болно.

4) Шугамтай параллель цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг бич.

Хичээлийн 2-р жишээнд дэлгэрэнгүй авч үзсэн стандарт даалгавар Онгоц дээрх шулуун шугамын хамгийн энгийн асуудлууд. Шугамын ерөнхий тэгшитгэлээс Хөтөч векторыг гаргаж авцгаая. Цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя:

Гурвалжны өндрийг хэрхэн олох вэ?

5) Өндөрт тэгшитгэл үүсгэж, уртыг нь олцгооё.

Хатуу тодорхойлолтоос зугтах арга байхгүй тул та сургуулийн сурах бичгээс хулгайлах хэрэгтэй болно.

Гурвалжингийн өндөр гурвалжны оройноос эсрэг талыг агуулсан шулуун руу татсан перпендикуляр гэж нэрлэдэг.

Өөрөөр хэлбэл оройгоос хажуу тийш зурсан перпендикулярын тэгшитгэлийг бий болгох шаардлагатай. Энэ даалгаварыг хичээлийн 6, 7-р жишээн дээр авч үзсэн болно Онгоц дээрх шулуун шугамын хамгийн энгийн асуудлууд. Eq-аас. хэвийн векторыг арилгах. Цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан өндрийн тэгшитгэлийг байгуулъя.

Бид цэгийн координатыг мэдэхгүй гэдгийг анхаарна уу.

Заримдаа перпендикуляр шулуунуудын өнцгийн коэффициентүүдийн харьцаанаас өндрийн тэгшитгэл олддог: . Энэ тохиолдолд: . Цэг ба өнцгийн коэффициент ашиглан өндрийн тэгшитгэлийг зохиоё (хичээлийн эхлэлийг үзнэ үү). Хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэл):

Өндөр уртыг хоёр аргаар олж болно.

Тойрог зам бий:

a) олох - өндөр ба хажуугийн огтлолцлын цэг;
б) мэдэгдэж буй хоёр цэгийг ашиглан хэрчмийн уртыг ол.

Гэхдээ ангид Онгоц дээрх шулуун шугамын хамгийн энгийн асуудлуудцэгээс шулуун хүртэлх зайны тохиромжтой томьёог авч үзсэн. Цэг нь мэдэгдэж байна: , шугамын тэгшитгэл нь бас мэдэгдэж байна: , Тиймээс:

6) Гурвалжны талбайг тооцоол. Орон зайд гурвалжны талбайг уламжлалт байдлаар тооцоолдог векторуудын вектор үржвэр, гэхдээ энд бидэнд хавтгай дээрх гурвалжин өгөгдсөн. Бид сургуулийн томъёог ашигладаг:
- Гурвалжны талбай нь түүний суурь ба өндрийн үржвэрийн талтай тэнцүү байна.

Энэ тохиолдолд:

Гурвалжны медианыг хэрхэн олох вэ?

7) Медианд тэгшитгэл байгуулъя.

Гурвалжны медиан гурвалжны оройг эсрэг талын дунд хэсэгтэй холбосон хэрчмийг гэнэ.

a) Хажуугийн дунд цэгийг ол. Бид ашигладаг сегментийн дунд цэгийн координатын томъёо. Сегментийн төгсгөлийн координатууд нь мэдэгдэж байна: , дараа нь дунд хэсгийн координатууд:

Тиймээс:

Дундаж тэгшитгэлийг цэгээр байгуулъя :

Тэгшитгэлийг шалгахын тулд цэгүүдийн координатыг орлуулах хэрэгтэй.

8) Өндөр ба медиан огтлолцох цэгийг ол. Уран гулгалтын энэ элементийг унахгүйгээр хэрхэн хийхийг хүн бүр аль хэдийн сурсан гэж би бодож байна.

БүлэгВ. ХАВТГАЛ ДЭЭР АНАЛИТИК ГЕОМЕТР

БА САНСАР ДЭЭД

Энэ хэсэгт "Хавтгай ба орон зай дахь аналитик геометр" сэдвээр хэлэлцсэн даалгавруудыг багтаасан болно: хавтгай ба орон зайд шулуун шугамын янз бүрийн тэгшитгэлийг зурах; хавтгай, шулуун, шулуун ба хавтгай, орон зай дахь хавтгай дээрх шугамуудын харьцангуй байрлалыг тодорхойлох; Хоёр дахь эрэмбийн муруйнуудын зураг. Энэ хэсэгт хавтгай дээрх аналитик геометрийн мэдээллийг ашигладаг эдийн засгийн агуулгын асуудлыг танилцуулж байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Аналитик геометрийн асуудлыг шийдвэрлэхдээ дараах зохиогчдын сурах бичгийг ашиглахыг зөвлөж байна: D.V. Клетеника, Н. Ш Кремер, Д.Т. Бичсэн: V.I. Малыхина, учир нь Энэхүү уран зохиол нь энэ сэдвээр бие даан суралцахад ашиглаж болох өргөн хүрээний даалгавруудыг багтаасан болно. Эдийн засгийн асуудлыг шийдвэрлэхэд аналитик геометрийн хэрэглээг М.С. Красс ба V.I. Ермакова.

Асуудал 5.1. Гурвалжны оройн координатыг өгөвABC . Шаардлагатай

а) гурвалжны талуудын тэгшитгэлийг бичих;

б) оройноос нь татсан гурвалжны өндрийн тэгшитгэлийг бичХАМТ тал рууAB мөн түүний уртыг олох;

в) оройноос татсан гурвалжны медианы тэгшитгэлийг бичIN тал рууАС ;

г) гурвалжны өнцгийг олж, түүний төрлийг тогтоох (тэгш өнцөгт, хурц, мохоо);

д) гурвалжны талуудын уртыг олж, түүний төрлийг тодорхойлох (масштаб, тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт);

д) гурвалжны хүндийн төвийн координатыг (медиануудын огтлолцох цэг) ол.ABC ;

g) гурвалжны ортоцентрийн (өндөрийн огтлолцлын цэг) координатыг ол.ABC .

Шийдлийн а) – в) цэг бүрийн хувьд координатын системээр зураг зурна. Зурган дээр даалгаврын цэгүүдэд тохирох шугам, цэгүүдийг тэмдэглэ.

Жишээ 5.1

Гурвалжны оройн координатыг өгөвABC : . Үүнд: a) гурвалжны талуудын тэгшитгэлийг бичих; б) оройноос нь татсан гурвалжны өндрийн тэгшитгэлийг бич ХАМТ тал рууAB мөн түүний уртыг олох; в) оройноос татсан гурвалжны медианы тэгшитгэлийг бичIN тал рууАС ; г) гурвалжны талуудын уртыг олж, түүний төрлийг тодорхойлох (масштаб, тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт); д) гурвалжны өнцгийг олж, түүний төрлийг тогтоох (тэгш өнцөгт, хурц, мохоо); е) гурвалжны хүндийн төвийн координатыг (медиануудын огтлолцох цэг) ол. ABC ; g) гурвалжны ортоцентрийн (өндөрийн огтлолцлын цэг) координатыг ол.ABC .

Шийдэл

A)Гурвалжны тал бүрийн хувьд шаардлагатай шулуунууд дээр байрлах хоёр цэгийн координатыг мэддэг бөгөөд энэ нь гурвалжны талуудын тэгшитгэл нь өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуунуудын тэгшитгэл юм.

,

Хаана
Тэгээд
цэгүүдийн харгалзах координатууд.

Тиймээс шулуун шугамд харгалзах цэгүүдийн координатыг (5.1) томъёонд орлуулснаар бид олж авна.

,
,
,

Эндээс хувиргасны дараа талуудын тэгшитгэлийг бичдэг

Зураг дээр. 7 бид гурвалжны харгалзах талуудыг дүрсэлсэн
шулуун.

Хариулт:

б)Болъё
– оройноос авсан өндөр тал руу
. Түүнээс хойш
цэгээр дамждаг векторт перпендикуляр
, дараа нь бид дараах томъёог ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулна

Хаана
– хүссэн шулуунд перпендикуляр векторын координат,
– энэ шулуунд хамаарах цэгийн координатууд. Шугаманд перпендикуляр векторын координатыг ол
, (5.2) томъёонд орлуулна.

,
,

.

Өндөрийн уртыг ол CHцэгээс зайтай адил шулуун шугам руу

,

Хаана
- шулуун шугамын тэгшитгэл
,
- цэгийн координат .

Өмнөх догол мөрөнд үүнийг олж мэдсэн

Өгөгдлийг (5.3) томъёонд орлуулснаар бид олж авна

,

Зураг дээр. 8 гурвалжин ба олсон өндрийг зур CH.

Хариулт: .

Р байна.

8 V)
дундаж
гурвалжин
талыг хуваадаг хоёр тэнцүү хэсэгт, өөрөөр хэлбэл. цэг
сегментийн дунд цэг юм
. Үүний үндсэн дээр та координатыг олох боломжтой

, ,

Хаана
Тэгээд
Тэгээд оноо

;
.

, алийг нь томъёонд (5.4) орлуулснаар бид олж авна
дундаж
Медиан тэгшитгэл
Тэгээд
Үүнийг цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл болгон бичье

,

.

Хариулт:томъёоны дагуу (5.1)

Р (Зураг 9).

байна. 9

,
,
.

G)
Тэгээд
дундаж
Бид гурвалжны талуудын уртыг харгалзах векторуудын уртаар олдог, өөрөөр хэлбэл.
.

Хариулт:Намууд
суурьтай тэгш өнцөгт
;

,
.

г)Гурвалжны өнцөг
Өгөгдсөн гурвалжны харгалзах оройноос гарч буй векторуудын хоорондох өнцгийг олъё, өөрөөр хэлбэл.

,
,
.

Гурвалжин нь суурьтай тэгш өнцөгт учраас
, Тэр

,

Бид векторуудын скаляр үржвэрийг шаарддаг (4.4) томъёог ашиглан векторуудын хоорондох өнцгийг тооцоолно
,
.

Өнцгийг тооцоолоход шаардлагатай векторуудын координат ба хэмжээг олъё

,
;

,
,
.

Олсон өгөгдлийг (4.4) томъёонд орлуулснаар бид олж авна

,

Олдсон бүх өнцгийн косинус эерэг тул гурвалжин болно
хурц өнцөгтэй.

Хариулт:Намууд
хурц өнцөгт;

,
,
.

д)Болъё

, дараа нь координатууд
. Үүний үндсэн дээр та координатыг олох боломжтой
(5.5) томъёог ашиглан олж болно.

, ,

Хаана
,
Тэгээд
- цэгүүдийн координатууд , Тэгээд , тиймээс,

,
.

Хариулт:
- гурвалжны хүндийн төв
.

ба)Болъё - гурвалжны ортот төв
. Цэгийн координатыг ол гурвалжны өндрийн огтлолцох цэгийн координатууд. Өндөр тэгшитгэл
хаягаар олдсон б). Өндөрийн тэгшитгэлийг олцгооё
:

,
,

.

Түүнээс хойш
, дараа нь системийн шийдэл

цэгийн координат юм , бид хаанаас олдог
.

Хариулт:
- гурвалжны ортот төв
.

Асуудал 5.2. Зарим бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэхэд аж ахуйн нэгжид тогтмол зардал гардагФ В 0 үрэх. нэгж бүтээгдэхүүнд ногдох орлоготойР 0 үрэх. үйлдвэрлэсэн бүтээгдэхүүний нэгжид . Ашгийн функцийг бий болгохП (q ) (q

Сонголтуудад тохирох асуудлын нөхцөл байдлын өгөгдөл:

Жишээ 5.2

Зарим бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэхэд аж ахуйн нэгжид тогтмол зардал гардаг
үрэх. сард, хувьсах зардал -
үрэх. нэгж бүтээгдэхүүнд ногдох орлоготой
үрэх. үйлдвэрлэсэн бүтээгдэхүүний нэгжид . Ашгийн функцийг бий болгохП (q ) (q - үйлдвэрлэсэн бүтээгдэхүүний тоо хэмжээ); түүний графикийг байгуулж, үр дүнгийн цэгийг тодорхойлно.

Шийдэл

Гаргасны дараа үйлдвэрлэлийн нийт зардлыг тооцож үзье qзарим бүтээгдэхүүний нэгж

Хэрэв зарагдсан бол qүйлдвэрлэлийн нэгж, дараа нь нийт орлого болно

Нийт орлого ба нийт зардлын олж авсан функцууд дээр үндэслэн ашгийн функцийг олно

,

.

Эвдрэлийн цэг - ашиг тэг болох цэг эсвэл нийт зардал нийт орлоготой тэнцэх цэг

,

,

бид хаанаас олох вэ?

- эвдрэх.

Ашгийн функцийн графикийг (Зураг 10) зурахын тулд бид өөр нэг цэгийг олох болно

Хариулт:ашгийн функц
, тэгшлэх
.

Асуудал 5.3. Тодорхой бүтээгдэхүүний эрэлт, нийлүүлэлтийн хуулийг тэгшитгэлээр тодорхойлнох = х Д (q ), х = х С (q ), Хаанах - бүтээгдэхүүний үнэ;q - барааны тоо хэмжээ. Эрэлт нь зөвхөн зах зээл дээрх бүтээгдэхүүний үнээр тодорхойлогддог гэж үздэгх ХАМТ , мөн санал нь зөвхөн үнийн санал юмх С ханган нийлүүлэгчид хүлээн авсан. Шаардлагатай

a) зах зээлийн тэнцвэрийн цэгийг тодорхойлох;

б) татвар ногдуулсны дараах тэнцвэрийн цэгт . Үнийн өсөлт, тэнцвэрт борлуулалтын хэмжээг бууруулахыг тодорхойлох;

в) татаас олохс , энэ нь борлуулалтыг нэмэгдүүлэхэд хүргэнэq 0 нэгж эх хувьтай харьцуулахад (а)-д тодорхойлсон);

г) үнэд пропорциональ, тэнцүү татвар ногдуулахдаа шинэ тэнцвэрийн цэг, засгийн газрын орлогыг олох.Н %;

д) тэнцүү доод үнийг тогтоохдоо засгийн газраас илүүдэл хэсгийг худалдаж авахад хэр их мөнгө зарцуулахыг тодорхойлох х 0 .

Шийдлийн цэг бүрийн хувьд координатын системд зураг зурна. Зураг дээр даалгаврын зүйлд тохирох мөр, цэгүүдийг тэмдэглэ.

Сонголтуудад тохирох асуудлын нөхцөл байдлын өгөгдөл:

Геометрийн хувьд "гурвалжны орой" гэсэн ойлголтыг ихэвчлэн авч үздэг. Энэ нь өгөгдсөн дүрсийн хоёр талын огтлолцох цэг юм. Энэ ойлголт бараг бүх асуудалд гарч ирдэг тул үүнийг илүү нарийвчлан авч үзэх нь зүйтэй юм.

Гурвалжны оройг тодорхойлох

Гурвалжин нь талууд огтлолцдог гурван цэгтэй бөгөөд гурван өнцөг үүсгэдэг. Тэдгээрийг орой гэж нэрлэдэг ба тэдгээрийн тулгуурласан талуудыг гурвалжны талууд гэж нэрлэдэг.

Цагаан будаа. 1. Гурвалжин дахь орой.

Гурвалжин дахь оройг том латин үсгээр тэмдэглэв. Тиймээс ихэвчлэн математикийн хувьд талуудыг хоёр том латин үсгээр тэмдэглэдэг бөгөөд тэдгээр нь талууд руу орох оройнуудын нэрсийн дараа байдаг. Жишээлбэл, AB тал нь А ба В оройг холбосон гурвалжны тал юм.

Цагаан будаа. 2. Гурвалжин дахь оройн тэмдэглэгээ.

Үзэл баримтлалын шинж чанар

Хэрэв бид дур мэдэн хавтгайд чиглэсэн гурвалжинг авбал практик дээр түүний геометрийн шинж чанарыг энэ зургийн оройн координатаар илэрхийлэх нь маш тохиромжтой. Тиймээс гурвалжны А оройг тодорхой тоон параметр A(x; y) бүхий цэгээр илэрхийлж болно.

Гурвалжны оройн координатыг мэдсэнээр та медиануудын огтлолцлын цэгүүд, зургийн аль нэг тал руу буулгасан өндрийн урт, гурвалжны талбайг олох боломжтой.

Үүнийг хийхийн тулд декартын координатын системд дүрслэгдсэн векторуудын шинж чанарыг ашигладаг, учир нь гурвалжны хажуугийн урт нь векторын уртаар энэ зургийн харгалзах оройнууд байрладаг цэгүүдээр тодорхойлогддог.

Гурвалжны оройг ашиглаж байна

Гурвалжны аль ч оройн хувьд та тухайн зургийн дотоод өнцөгтэй зэрэгцэн орших өнцгийг олж болно. Үүнийг хийхийн тулд та гурвалжны нэг талыг сунгах хэрэгтэй болно. Орой бүрт хоёр тал байдаг тул орой тус бүрт хоёр гадаад өнцөг бий. Гадна өнцөг нь гурвалжны хажууд ороогүй хоёр дотоод өнцгийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Цагаан будаа. 3. Гурвалжны гадаад өнцгийн шинж чанар.

Хэрэв та нэг орой дээр хоёр гадаад өнцгийг барьвал тэдгээр нь босоо өнцөгтэй адил тэнцүү байх болно.

Бид юу сурсан бэ?

Геометрийн чухал ойлголтуудын нэг нь авч үзэхэд янз бүрийн төрөлгурвалжин нь орой юм. Энэ бол өгөгдсөн өнцгийн хоёр тал огтлолцох цэг юм. геометрийн дүрс. Энэ нь латин цагаан толгойн том үсгүүдийн нэгээр тэмдэглэгдсэн байдаг. Гурвалжны оройг х ба у координатаар илэрхийлж болох бөгөөд энэ нь гурвалжны хажуугийн уртыг векторын урт гэж тодорхойлоход тусална.

Сэдвийн тест

Нийтлэлийн үнэлгээ

Дундаж үнэлгээ: 4.2. Хүлээн авсан нийт үнэлгээ: 153.