z xe xy функцийн нийт дифференциал нь тэнцүү байна. Функцийн дифференциал ба бүрэн дифференциал

Албан бус тайлбар

Тодорхойлолт

Функцуудын хувьд

Гөлгөр бодит утгатай функцийн дифференциал едээр тодорхойлсон М (М- домэйн буюу гөлгөр олон талт) нь 1-хэлбэр бөгөөд ихэвчлэн тэмдэглэгдсэн байдаг гехарьцаагаар тодорхойлогддог

хаана деривативыг илэрхийлнэ евекторын чиглэлд Xшүргэгч багцад М .

Үзүүлэнгийн хувьд

Гөлгөр олонлогоос олон талт хүртэлх гөлгөр газрын зургийн дифференциал нь тэдгээрийн шүргэгч багцуудын хоорондох зураглал бөгөөд ингэснээр ямар ч гөлгөр функцийн хувьд бидэнд байдаг.

Хаана Xедеривативыг илэрхийлдэг ечиглэлд X. (Тэгш байдлын зүүн талд бид деривативыг авдаг Нфункцууд g By гФ(X) баруун талд - дотор Мчиг үүрэг гүйцэтгэдэг X ).

Энэ ойлголт нь функцийн дифференциалыг ерөнхийд нь илэрхийлдэг.

Холбогдох тодорхойлолтууд

Үл хөдлөх хөрөнгө

Жишээ

Өгүүллэг

Хугацаа Дифференциал(лат. ялгаа- ялгаа, ялгаа) Лейбницийн танилцуулсан. Эхэндээ, гx"хязгааргүй" - ямар ч хязгаарлагдмал хэмжигдэхүүнээс бага боловч тэгтэй тэнцүү биш хэмжигдэхүүнийг тэмдэглэхэд ашигладаг. Энэ үзэл нь математикийн ихэнх салбарт тохиромжгүй байсан (стандарт бус шинжилгээг эс тооцвол).

Мөн үзнэ үү

Викимедиа сан.

• 2010 он.
• Бүрэн Pe (студи)

Бүрэн дуплекс

Бусад толь бичгүүдээс "Бүрэн дифференциал" гэж юу болохыг харна уу:бүрэн дифференциал - - [Л.Г.Суменко. Мэдээллийн технологийн англи-орос толь бичиг. М.: ЦНИС-ийн улсын үйлдвэр, 2003.] Сэдвүүдмэдээллийн технологи ерөнхийдөө EN энгийн дифференциал нийт дифференциал ...

Техникийн орчуулагчийн гарын авлагаБҮРЭН дифференциал - нэг цэг дэх n хувьсагчийн функц нь тухайн цэг дэх функцийн дифференциалтай ижил байна. Хэсэгчилсэн дифференциал гэдэг нэр томъёог хэсэгчилсэн дифференциал гэдэг нэр томьёотой харьцуулахын тулд ашигладаг. n хувьсагчийн функцийн тухай ойлголтыг зураглалын нээлттэй...

Математик нэвтэрхий толь бичигБүрэн дифференциал Зөвлөлтийн агуу нэвтэрхий толь бичиг

ДИФФЕРЕНЦИАЛ- (Латин, ялгаатай-аас ялгах). Хязгааргүй бага өсөлтийг хүлээн авсан хувьсагчийн функц болон ижил хувьсагчийн анхны функцийн хоорондох хязгааргүй бага зөрүүний хязгаар (мат. нэр томъёо.). Орос хэлэнд орсон гадаад үгсийн толь...... Орос хэлний гадаад үгсийн толь бичиг

Дифференциал (механик)- Энэ нэр томъёо нь өөр утгатай, Дифференциал (утга) -ыг үзнэ үү. Дифференциал төхөөрөмж (төв хэсэг) Дифференциал нь механик төхөөрөмж бөгөөд ... Википедиа

Дифференциал (машин)- Дифференциал төхөөрөмж (төв хэсэг) Дифференциал гэдэг нь нэг эх үүсвэрээс бие даасан хоёр хэрэглэгч рүү эргэлтийг дамжуулдаг механик төхөөрөмж бөгөөд эх үүсвэр болон хэрэглэгчдийн аль алиных нь эргэлтийн өнцгийн хурд ... ... Википедиа

Дөрвөн дугуйгаар хөтлөгчтэй- Энэ нэр томъёо нь өөр утгатай, Бүх дугуйгаар хөтлөгчтэй (утга) үзнэ үү. Бүх дугуйгаар хөтөлдөг тээврийн хэрэгслийн хамгийн түгээмэл (гэхдээ цорын ганц биш) дамжуулах схем. Бүх дугуйгаар хөтлөгчтэй (4х4, 4WD ... Wikipedia

ДИФФЕРЕНЦИАЛ- функцийн өсөлтийн үндсэн шугаман хэсэг. 1) Бодит хувьсагчийн бодит у = f(x) функцийг нэрлэнэ. Хэрэв энэ нь энэ цэгийн тодорхой хөршид тодорхойлогдсон бол x цэг дээр ялгах боломжтой бөгөөд хэрэв өсөлт (... ... үед) байхаар А тоо байвал. - нэг цэг дэх n хувьсагчийн функц нь тухайн цэг дэх функцийн дифференциалтай ижил байна. Хэсэгчилсэн дифференциал гэдэг нэр томъёог хэсэгчилсэн дифференциал гэдэг нэр томьёотой харьцуулахын тулд ашигладаг. n хувьсагчийн функцийн тухай ойлголтыг зураглалын нээлттэй...

Байнгын бүх дугуйгаар хөтлөгчтэй- Бүх дугуйгаар хөтөлдөг тээврийн хэрэгслийн хамгийн түгээмэл (гэхдээ цорын ганц биш) дамжуулах схем. Бүх дугуйгаар хөтлөгчтэй (4x4, 4WD, AWD) нь хөдөлгүүрээс үүссэн эргүүлэх хүчийг бүх дугуйнд дамжуулдаг тээврийн хэрэгслийн дамжуулалтын загвар юм. Өмнө нь... ... Википедиа

Дулаан- 1) T. Бидэнд тодорхой, сайн мэддэг дулааны мэдрэмжийг үүсгэдэг шалтгааныг бид нэрлэнэ. Эдгээр мэдрэхүйн эх сурвалж нь үргэлж гадаад ертөнцийн зарим бие махбодь байдаг бөгөөд бид өөрсдийн сэтгэгдлийг бодитой болгож, эдгээр биетүүдэд зарим... Нэвтэрхий толь бичиг Ф.А. Брокхаус ба И.А. Эфрон

Хоёр хувьсагчийн функцийг авч үзье z=f(x, y)ба цэг дэх түүний нийт өсөлт M 0 (x 0 , y 0)

Δ z = f(x 0 +Δ x, y 0 +Δ y) - f(x 0 , y 0).

Тодорхойлолт. Хэрэв тоо байгаа бол ПТэгээд Qнийт өсөлтийг дараах байдлаар илэрхийлж болно

Δ z = PΔ x + QΔ y + ε Δρ,

хаана ба ε→ 0 цагт Δρ→ 0 , дараа нь илэрхийлэл PΔ x + QΔ yфункцийн нийт дифференциал гэж нэрлэдэг z=f(x,y)цэг дээр M 0 (x 0 ,y 0).

Энэ тохиолдолд функцийн бүрэн өсөлт нь эхний хэсэг гэсэн хоёр хэсгээс бүрдэнэ PΔ x + QΔ y-ын хувьд шугаман байна Δ xТэгээд Δy, хоёр дахь нь -тэй харьцуулахад илүү өндөр эрэмбийн хязгааргүй жижиг юм.

Бүрэн дифференциалфункцууд z=f(x,y)гэж тэмдэглэсэн dz, тэр нь

dz = PΔ x+QΔ y.

Өгөгдсөн цэг дээр нийт дифференциалтай функцийг тухайн цэгт дифференциал гэж нэрлэдэг.

Теорем. Хэрэв u=f(M)цэг дээр ялгах боломжтой М0, дараа нь энэ нь тасралтгүй байна.

Сэтгэгдэл. Хоёр хувьсагчийн функцийн тасралтгүй байдал нь түүний ялгах чадвартай гэсэн үг биш юм.

Жишээ. үргэлжилсэн (0,0) , гэхдээ хэсэгчилсэн дериватив байхгүй - байхгүй. Үүнтэй адилаар, хэсэгчилсэн дериватив байхгүй y. Тиймээс функцийг ялгах боломжгүй юм.

теорем [ялгаварлах зайлшгүй нөхцөл]. Хэрэв z=f(x,y)цэг дээр ялгах боломжтой М0, тэгвэл энэ үед энэ нь хэсэгчилсэн деривативтай байна xТэгээд y, ба

f′ x (x 0 ,y 0) = P, f′ y (x 0 , y 0) = Q.

Сэтгэгдэл. Хэсэгчилсэн дериватив байгаа нь ялгавартай байдал үүсэхгүй. Жишээ:

Бидэнд байна , гэхдээ функц нь тасралтгүй биш тул ялгах боломжгүй.

теорем [ялгаварлах хангалттай нөхцөл]. Хэрэв функцийн эхний хэсэгчилсэн деривативууд z=f(x,y)цэгийн зарим хөршид тодорхойлсон M 0 (x 0 ,y 0)мөн цэг дээр тасралтгүй байна М0, тэгвэл энэ функц нь энэ үед нийт дифференциалтай байна.

Сэтгэгдэл. Бидэнд байна

Δ z = f′ x (x 0 , y 0)Δ x + f′ y (x 0 , y 0)Δ y + ε Δρ,

Хаана ε→ 0 цагт Δρ→ 0 . Тиймээс,

f(x 0 +Δ x,y 0 +Δ y) - f(x 0 ,y 0) ≈ f′ x (x 0 ,y 0)Δ x + f′ y (x 0 ,y 0)Δ y

f(x 0 +Δ x, y 0 +Δ y) ≈ f(x 0 ,y 0) + f′ x (x 0 , y 0)Δ x + f′ y (x 0 , y 0)Δ y.

Энэ томъёог ойролцоогоор тооцоололд ашигладаг.

Тогтмол үед Δ xТэгээд Δyнийт дифференциал нь хувьсагчийн функц юм xТэгээд y:

тавья dx=Δ x, dy=Δyмөн эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийг бие даасан хувьсагчийн дифференциал гэж нэрлэе.

Дараа нь бид томъёог авна

өөрөөр хэлбэл функцийн нийт дифференциал нь эхний хэсэгчилсэн дериватив болон аргументуудын харгалзах дифференциалуудын үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Гурван хувьсагчийн функцийн нийт дифференциалыг ижил төстэй байдлаар тодорхойлж, илэрхийлнэ. Хэрэв u=f(x, y, z)мөн тоонууд байдаг П, Q, Ртиймэрхүү

Δ u = PΔ x+QΔ y+RΔ z+εΔρ, ε→ 0цагт δρ→ 0 ,

тэгвэл нийт дифференциал нь илэрхийлэл болно

du = PΔ x+QΔ y+RΔ z.

Хэрэв энэ функцийн эхний хэсэгчилсэн деривативууд тасралтгүй байвал

Хаана dx=Δ x, dz=Δ z, dz=Δ z.

Тодорхойлолт. Функцийн хоёр дахь эрэмбийн нийт дифференциал нь түүний нийт дифференциалын нийт дифференциал юм.

Хэрэв z=f(x,y), dz=z′ x dx+z′ y dy, Тэр

Шүргэдэг хавтгай ба гадаргуу хэвийн

Гадаргууг анхаарч үзээрэй С, тэгшитгэлээр өгөгдсөн

z=f(x, y).

Болъё f(x, y)зарим бүс нутагт хэсэгчилсэн деривативтай. Ингээд авч үзье M 0 (x 0 , y 0).

- цэг дээрх шүргэгчийн өнцгийн коэффициент М0хавтгайгаар гадаргуугийн хэсэг рүү y=y 0, өөрөөр хэлбэл шугам руу z=f(x,y 0). Энэ шугамын шүргэгч нь дараах хэлбэртэй байна.

z-z 0 =f′ x (x 0 , y 0)(x-x 0), y=y 0.

Үүний нэгэн адил, онгоцны хэсэг x=x 0тэгшитгэлийг өгдөг

z-z 0 =f′ y (x 0 , y 0)(y-y 0), x=x 0.

Эдгээр хоёр шулууныг агуулсан хавтгай тэгшитгэлтэй байна

z-z 0 =f′ x (x 0 , y 0)(x-x 0)+f′ y (x 0 , y 0)(y-y 0)

ба гадаргуутай шүргэгч хавтгай гэж нэрлэдэг Сцэг дээр P 0 (x 0 , y 0 , z 0).

Шүргэх хавтгай тэгшитгэлийг дахин бичиж болно гэдгийг анхаарна уу

z-z 0 =df.

Тиймээс, геометрийн утганийт дифференциал: цэг дээрх дифференциал М0нэмэгдүүлэхийн тулд (x-x 0 , y-y 0)нь шүргэгч хавтгайн гадаргууд хэрэглэх цэгийн өсөлт юм z=f(x,y)цэг дээр (x 0 , y 0)ижил өсөлтийн хувьд.

Шүргэдэг хавтгай нь цэг дээр хэвийн вектортой байна (x 0 , y 0 , z 0) - \vec(n)=(f′ x (x 0 , y 0), f′ y (x 0 , y 0), -1). Нэг цэгээр дамжин өнгөрөх шугам P0ба чиглэлийн вектортой байна \vec(n), гадаргууг хэвийн гэж нэрлэдэг z=f(x,y)энэ үед. Түүний тэгшитгэлүүд нь:

Нарийн төвөгтэй функцуудыг ялгах

Дифференциалагдах функцийг өгье z=F(v, w), тэдгээрийн аргументууд нь хувьсагчийн дифференциал функцууд юм xТэгээд y:

v=v(x, y), w=w(x, y).

Хэрэв функц бол

z=F(v(x, y), w(x, y))=\Phi(x, y)

утга учиртай бол нийлмэл функц гэж нэрлэдэг xТэгээд y.

Теорем. Хэсэгчилсэн дериватив z′ x, z' y нарийн төвөгтэй функцбайдаг ба томъёогоор илэрхийлэгддэг

Хэрэв vТэгээд w- нэг хувьсагчийн ялгах функцууд т, тэр нь

v=v(t), w=w(t),

мөн функц нь утга учиртай

z=F(v(t), w(t))=f(t),

дараа нь түүний деривативыг томъёогоор илэрхийлнэ

Энэ деривативыг нийт дериватив гэж нэрлэдэг.

Хэрэв ялгах функц өгөгдсөн бол

u=F(ξ, η, ζ),

хэний аргументууд ξ=ξ(t), η=η(t), ζ=ζ(t)- хувьсагчийн ялгах функцууд тболон функц

u=F(ξ(t), η(t), ζ(t))

IV. ХОЁР ХУВЬСАГЧИЙН функцууд

§ 10. Хоёр хувьсагчийн функцийг ялгах үндэс

Хэсэгчилсэн деривативфункцээс хувьсагчаар x- энэ бол хязгаар

.

Функцийн хэсэгчилсэн дериватив
хувьсагчаар y- энэ бол хязгаар

.

Холбогдох тэмдгүүд: Тэгээд , эсвэл Тэгээд .

Дериватив хувьсагчийн багахан өөрчлөлттэй функцийн өөрчлөлтийн хурд юм x, хувьсагч үед yтогтмол байна. Мэдээжийн хэрэг, - шинэ функц.

Хайж байхдаа гэдэгт бид итгэдэг yүсгээр (параметр) илэрхийлсэн тоо юм. Дараа нь бид нэг хувьсагчийн функцийг авна
, мөн бид нэг хувьсагчийн функцийг ялгах дүрмийг ашиглан түүний деривативыг олдог.

Мөн нь жижиг өөрчлөлтийн хувьд функцийн өөрчлөлтийн хурд юм yмөн байнгын x, мөн хайх үед функц зохио
нэг хувьсагчийн функцээр ялгах.

Жишээ 1.Функцийн хэсэгчилсэн деривативууд:

Жишээ 2.Функцийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олцгооё
:

1-р тохиолдолд тогтмол үржүүлэгчийг ашигласан
, хамааралгүй x, 2 дахь тохиолдолд - үржүүлэгч , хамааралгүй y.

Жишээ 3.Бидний олсон функцийн хувьд

Бүрэн дифференциал
хэрхэн гэдгийг харуулж байна ойролцоогоорХэрэв та нэмэгдвэл функц өөрчлөгдөнө xхэмжээгээр
мөн тэр үед y- хэмжээгээр
(Хэрэв
эсвэл
, дараа нь бид бууруулах талаар ярьж байна xэсвэл y).

Жишээ 4.Функцийн бүрэн дифференциалыг олъё
В ерөнхий үзэлмөн цэг дээр
:

A)
- цагт
чадлын функцийн деривативыг олж авна;

б)
- цагт
экспоненциал функцийн деривативыг олж авна.

Тиймээс, ерөнхий хэлбэрээр, эсвэл хэрэв бид нийтлэг хүчин зүйлийг гаргаж авбал,.

Нэг цэг дээрх нийт дифференциалыг координатыг нь орлуулах замаар олох
Тэгээд
, Дараа нь.

Үр дүнгийн утга. Жишээлбэл, бид функцийн утгыг олох хэрэгтэй гэж бодъё
цэг дээр
, эсвэл, аль нь адилхан, хэмжигдэхүүнийг ол
.

Хэрэв бид санаагаа авч үзвэл
, Тэр. Нэг цэг рүү шилжих үед Наргументуудын өөрчлөлт нь ба (хуучин болон шинэ координатын зөрүү) хэмжээтэй байв.

Цэг дэх нийт дифференциал М (дотор биш Н! )

цэгээс шилжих үед функцийн өсөлттэй тэнцүү байна
В
.

Тийм ч учраас . Илүү нарийн,
.

Жишээ 5.Хэд хэдэн функцийн бүрэн дифференциалыг ерөнхий хэлбэрээр болон тодорхой цэг дээр олцгооё М:

A)зөвшөөрөх
;
, Дараа нь

Ерөнхий хэлбэрийн дифференциал

цэг дээр Мболно

б)тэдэнд өгөх болтугай
Тэгээд
; Дараа нь

Дифференциал ерөнхий хэлбэрээр:

V)өгсөн бол
Тэгээд
, Тэр

Тоолуурыг хялбаршуулж үзье:

;
.

Бүрэн дифференциал дээр бид нийтлэг хүчин зүйлийг гаргаж авдаг:

Цэгийн координатыг орлъё:

эсвэл
.

Тиймээс олохын тулд
, бид итгэдэг
, дараа нь, үүний дараа

мөн үүний дагуу.

Жишээ 6.Нийт дифференциалыг ашиглан функцийн утгыг олно
цагт
(радианаар илэрхийлсэн өнцөг).

Аль болох ойрхон цэгийг сонгоцгооё
, ингэснээр утгыг үүн дотор хялбархан тооцоолох боломжтой
. Гол нь энэ
:
.

Ерөнхий хэлбэрээр хэсэгчилсэн деривативууд:

,,

мөн цэг дээр
байх болно, мөн
.

Тиймээс, цэгийн ойролцоо
хувьсагч өөрчлөгдөхтэй адил функц өөрчлөгддөг x. Манай тохиолдолд.

Шинэ функцийн утга.

Илүү нарийвчлалтай утга нь ойролцоо утгатай бараг давхцдаг. Үүний ялгаа нь үүнээс үүдэлтэй юм
, 1 биш;

Хариулт: .

Жишээ 7.Нийт дифференциалыг ашиглан бид олдог
.

Энэ тоог функцийн утга гэж төсөөлье
цэг дээр
. Үүний зэрэгцээ
Тэгээд
, мөн ийм аргументуудын хувьд функц
тооцоолоход хялбар:
.

Тэгэхээр,
,
,
,
.

Дараа нь
Прии.

Учир нь
хэсэгчилсэн деривативууд

;
.

Яг цэг дээр М
Тэгээд
, Дараа нь

(функц нь 2-р аргументаас 2 дахин хурдан өсдөг).

Хариулт:(дэлгэрэнгүй яг үнэ цэнэтэнцүү байна
).

Онцгой байдал 1.Функцийн хэсэгчилсэн деривативыг ол

3) а) ; б)
;

V)
; G)
;

Онцгой байдал 2.Заасан цэг дээрх функцүүдийн бүрэн дифференциалыг ол.

2) а)
; б)
;

V)
; G)
;

Онцгой байдал3.Нийт дифференциал ашиглан ойролцоо утгыг ол

1) а)
; б)
; V)
; G)
;

2) а)
; б)
; V)
; G)
;

3) а)
; б)
; V)
; G)
;

4) а) ; б) ; V) ; G) .

Хоёр хувьсагчийн функцийн экстремум

Цэг Мфункцийн хамгийн бага цэг гэж нэрлэдэг
, хэрэв та нээлттэй талбайг зааж өгч чадвал Д(онгоцны хэсэг xOy), утга нь
- хамгийн бага нь. Илүү хатуу М– хэрэв байгаа бол хамгийн бага оноо Д, Юу

A)
(цэг нь энэ бүсэд багтсан бөгөөд түүний хилд хамаарахгүй);

б) (ижил талбайн өөр аль ч цэг дээр функцийн утга нь бидний сонирхсон цэгээс бага байна).

Нөхцөлөөр солигдох үед
Бид хамгийн дээд цэгийн тодорхойлолтыг олж авдаг.

Жишээлбэл,
нь функцийн хамгийн бага цэг, учир нь үүн дээр болон бусад аль ч цэг дээр
.

Функцийн экстремум цэгүүдийг хайх схем

1) Олъё Тэгээд , дараа нь - оноо
, аль аль дериватив нь 0-тэй тэнцүү;

2) 2-р деривативуудыг ол
, өөрөөр хэлбэл тус тус
;

3) цэгийн координат
2-р деривативыг орлуулъя. Тоонуудыг авцгаая

4) хэрэв
, цэг дээр
туйлшрал гэж байхгүй. Хэрэв
, дараа нь ямар тэмдэг байгааг харцгаая А:

Хэрэв
, Тэр
- хамгийн бага оноо,

хэрэв
, Тэр
- хамгийн дээд цэг;

5) хэрэв байгаа бол
тийм болсон
, гарын авлагын хамрах хүрээнээс давсан шийдлийн бусад аргууд шаардлагатай (Тэйлорын цувралын өргөтгөл);

6) ижил аргаар бид үлдсэн онооны хувьд 3, 4, 5-р алхмуудыг гүйцэтгэдэг.

Жишээ 8.Функцийн экстремумыг олъё.

1)

системийг шийдвэрлэх

(тэгшитгэлийг бие даан шийдэж, координатын бүх хослол тохиромжтой);

2) 2-р деривативуудыг ол

;

;

Цэгийг шалгаж байна
, орлуулах
Тэгээд
:

3) ;
;
;

4) extremum in
Үгүй

Цэгийг шалгаж байна
, орлуулах
Тэгээд
:

3) ;
;
;

4) , extremum in
Байна.

Түүнээс хойш
, тэгвэл энэ экстремум нь хамгийн бага байна. Та түүний утгыг олж болно.

Хариулт:хамгийн багадаа
Тэгээд
, -50-тай тэнцүү.

Жишээ 9.Экстремумын функцийг авч үзье.

1) олох

системийг шийдвэрлэх

2-р тэгшитгэл нь 3 үндэстэй: -1, 0, 1, гэхдээ координатууд нь хамааралтай:

Хэрэв
, Тэр
,

Хэрэв
, Тэр
,

Хэрэв
, Тэр
.

Бид 3 оноо авдаг: ;

2) 2-р деривативуудыг авна

;
;
;

цэгийг шалгана уу
:

3)
;
;
;

4) , in
экстремум байдаг ба түүнээс хойш
, тэгвэл энэ экстремум нь хамгийн бага байна. Үүний утга;

цэгийг шалгана уу
:

3)
;
;
;

4) extremum in
Үгүй

Үүнийг нэг цэгт харахад амархан
үр дүн нь ижил байна
.

Хариулт:хамгийн багадаа -2-той тэнцүү, хамт
Тэгээд
, мөн хэзээ
Тэгээд
.

Тайлбар 1.Хэрэв та функцийн тэмдэглэгээний бүх тэмдгийг өөрчилбөл хамгийн бага оноо нь хамгийн их оноо болох ба эсрэгээр. Энэ тохиолдолд цэгүүдийн координат өөрчлөгдөхгүй. Тиймээс 9-р жишээнээс харахад бид хамгийн ихдээ 2-той тэнцүү байна
Тэгээд
, мөн хэзээ
Тэгээд
.

Хэрэв та функцэд дурын тоог нэмбэл (эсвэл хасвал) зөвхөн экстремумын утга өөрчлөгдөх боловч түүний төрөл өөрчлөгдөхгүй. Тиймээс функц нь хамгийн ихдээ байх болно
Тэгээд
, мөн хэзээ
Тэгээд
, 2+50=52-тай тэнцүү.

Онцгой байдал 4.а, б. Энэ цэг дэх функцийн утгыг олж, экстремумын төрлийг тодорхойлно уу.

A) а = 2; б= 3; б) а = 3; б= 2; V) а = 2; б= 5; G) а = 5; б = 4;

г) а = 6; б= 1; д) а = 1; б= 2; ба) а = 0; б= 4; h) а = 3; б = 0.

Онцгой байдал 5.Заасан параметртэй функцийн экстремум цэгийг ол а, б. Функцийн утгыг олж, экстремумын төрлийг тодорхойлно уу.

A) а = 2; б= 3; б) а = 3; б= 2; V) а = 2; б= 5; G) а = 5; б = 4;

г) а = 6; б= 1; д) а = 1; б= 2; ба) а = 0; б= 4; h) а = 3; б = 0.

Тайлбар 2.Хоёр хувьсагчийн функцууд нь нэг хувьсагчийн функцээс илүү төвөгтэй байдаг. Тиймээс, экстремумын асуудлыг шийдэхдээ:

a) тасралтгүй функцууд ч гэсэн хэд хэдэн хамгийн их оноотой байж болох ба хамгийн бага оноогүй (эсвэл эсрэгээр);

б) бүх суурин цэгүүд байж болно эмээлийн цэгүүд, үүнээс функц өөрчлөгдөхөд өсдөг xмөн өөрчлөгдөхөд буурдаг y(эсвэл эсрэгээр). Тиймээс функц нь хамгийн их эсвэл хамгийн бага утгатай байх болно.

Тайлбар 3.Экстремумыг судлах өгөгдсөн схем нь экстремум цэгүүдэд функцийг ялгах боломжтой гэж үздэг. Гэсэн хэдий ч энэ нь шаардлагагүй юм. Тийм ээ, функц
цэг дээр
максимумтай боловч өгөгдсөн цэг дэх деривативууд нь хязгааргүйд хүрдэг. Ийм тохиолдлууд нь гарын авлагын хамрах хүрээнээс гадуур байдаг.

Онцгой байдал 6.Функцийг экстремумыг шалгаж, экстремумын утгыг зааж өгнө үү.