Деривативын геометрийн утга нь товч юм. Хичээлийн сэдэв нь "үүсмэлийн геометрийн утга" юм. V. Асуудлыг шийдвэрлэх

Сэдэв. Дериватив. Деривативын геометрийн болон механик утга

Хэрэв энэ хязгаар байгаа бол функцийг тухайн цэг дээр дифференциалагдах боломжтой гэнэ. Функцийн деривативыг (томьёо 2) гэж тэмдэглэнэ.

1. Деривативын геометрийн утга. Функцийн графикийг харцгаая. Зураг 1-ээс харахад функцийн графикийн А ба В хоёр цэгийн хувьд 3) томъёог бичиж болно. Энэ нь AB секантын налуу өнцгийг агуулдаг.

Тиймээс ялгааны харьцаа нь секантын налуутай тэнцүү байна. Хэрэв та А цэгийг засаж, В цэгийг түүн рүү чиглүүлбэл энэ нь хязгааргүй буурч 0-д ойртож, AB секанс нь шүргэгч AC-д ойртоно. Тиймээс ялгааны харьцааны хязгаар нь A цэг дээрх шүргэгчийн налуутай тэнцүү байна. Энэ нь дүгнэлтэд хүргэдэг.

Тухайн цэг дэх функцийн дериватив нь тухайн цэг дэх энэ функцийн графиктай шүргэгчийн налуу юм. Энэ бол деривативын геометрийн утга юм.

1. Тангенсийн тэгшитгэл . Тухайн цэг дээрх функцийн графиктай шүргэгчийн тэгшитгэлийг гаргая. Ерөнхий тохиолдолд өнцгийн коэффициент бүхий шулуун шугамын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна. b-г олохын тулд шүргэгч нь А цэгийг дайран өнгөрдөг давуу талыг ашиглана: . Үүнд: . Энэ илэрхийлэлийг b-ийн оронд орлуулснаар шүргэгч тэгшитгэлийг (томьёо 4) авна.

Ажлын төрөл: 7

Нөхцөл байдал

y=3x+2 шулуун шугам нь y=-12x^2+bx-10 функцийн графиктай шүргэгч байна.

Шүргэдэг цэгийн абсцисс тэгээс бага байвал b-г ол.

Шийдлийг харуулах

Шийдэл

y=-12x^2+bx-10 функцийн график дээрх энэ графикийн шүргэгч дамжин өнгөрөх цэгийн абсциссаг x_0 гэж үзье. x_0 цэг дээрх деривативын утга нь шүргэгчийн налуутай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл y"(x_0)=-24x_0+b=3. Нөгөө талаас шүргэлтийн цэг нь графын аль алинд нь нэгэн зэрэг хамаарна. функц ба тангенс, өөрөөр хэлбэл -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2 тэгшитгэлийн системийг авна

Энэ системийг шийдэж, бид x_0^2=1-ийг авах бөгөөд энэ нь x_0=-1 эсвэл x_0=1 гэсэн үг юм.

Абсцисса нөхцлийн дагуу шүргэгч цэгүүд тэгээс бага тул x_0=-1, тэгвэл b=3+24x_0=-21.

Ажлын төрөл: 7
Хариулах

Нөхцөл байдал

Сэдэв: Деривативын геометрийн утга. Функцийн графикт шүргэгч

Шүргэдэг цэгийн абсцисс тэгээс бага байвал b-г ол.

Шийдлийг харуулах

y=-3x+4 шулуун нь y=-x^2+5x-7 функцийн графиктай шүргэгчтэй параллель байна.

Шүргэх цэгийн абсциссыг ол.

Абсцисса нөхцлийн дагуу шүргэгч цэгүүд тэгээс бага тул x_0=-1, тэгвэл b=3+24x_0=-21.

Дурын x_0 цэгийн y=-x^2+5x-7 функцийн графикт шулуун шугамын өнцгийн коэффициент нь y"(x_0)-тай тэнцүү байна. Харин y"=-2x+5 нь y" гэсэн утгатай. (x_0)=-2x_0+5 Нөхцөлд заасан y=-3x+4 шулууны коэффициент нь ижил өнцгийн коэффициенттэй тул = гэсэн утгыг олно -2x_0 +5=-3. Бид дараахийг авна: x_0 = 4.Эх сурвалж: “Математик. 2017 оны улсын нэгдсэн шалгалтын бэлтгэл.

Ажлын төрөл: 7
Хариулах

Нөхцөл байдал

Шүргэдэг цэгийн абсцисс тэгээс бага байвал b-г ол.

Шийдлийг харуулах

Профайлын түвшин

" Эд. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. Зургаас бид шүргэгч нь A(-6; 2) ба B(-1; 1) цэгүүдээр дамждаг болохыг тодорхойлно. x=-6 ба y=1 шулуунуудын огтлолцох цэгийг C(-6; 1), ABC өнцгийг \alpha гэж тэмдэглэе (зураг дээр хурц байгааг харж болно). Дараа нь AB шулуун шугам нь мохоо тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй \pi -\alpha өнцөг үүсгэнэ. Мэдэгдэж байгаагаар, tg(\pi -\alpha) нь f(x) функцын x_0 цэг дэх деривативын утга байх болно.

Абсцисса нөхцлийн дагуу шүргэгч цэгүүд тэгээс бага тул x_0=-1, тэгвэл b=3+24x_0=-21.

Үүнийг анхаарна уу

Ажлын төрөл: 7
Хариулах

Нөхцөл байдал

tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15.

Шүргэдэг цэгийн абсцисс тэгээс бага байвал b-г ол.

Шийдлийг харуулах

Эндээс багасгах томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг авна.

tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0.2.

Эх сурвалж: “Математик. 2017 оны улсын нэгдсэн шалгалтын бэлтгэл. Профайлын түвшин." Эд. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. y=-2x-4 шулуун шугам нь y=16x^2+bx+12 функцийн графиктай шүргэгч байна.

Шүргэх цэгийн абсцисса нь тэгээс их байвал b-г ол.

Абсцисса нөхцлийн дагуу шүргэгч цэгүүд тэгээс бага тул x_0=-1, тэгвэл b=3+24x_0=-21.

Үүнийг анхаарна уу

Ажлын төрөл: 7
Хариулах

Нөхцөл байдал

y=16x^2+bx+12 функцийн график дээрх цэгийн абсцисса нь x_0 байг.

Шүргэдэг цэгийн абсцисс тэгээс бага байвал b-г ол.

Шийдлийг харуулах

y=6 шулуун шугам нь Ox тэнхлэгтэй параллель байна. Тиймээс функцийн графикт шүргэгч нь Ox тэнхлэгтэй параллель байх цэгүүдийг олно.

Абсцисса нөхцлийн дагуу шүргэгч цэгүүд тэгээс бага тул x_0=-1, тэгвэл b=3+24x_0=-21.

Үүнийг анхаарна уу

Ажлын төрөл: 7
Хариулах

Нөхцөл байдал

Энэ график дээр ийм цэгүүд нь экстремум цэгүүд (хамгийн их эсвэл хамгийн бага оноо) юм. Таны харж байгаагаар 4 экстремум цэг байдаг.

Шүргэдэг цэгийн абсцисс тэгээс бага байвал b-г ол.

Шийдлийг харуулах

y=4x-6 шулуун нь y=x^2-4x+9 функцийн графиктай шүргэгчтэй параллель байна.

Абсцисса нөхцлийн дагуу шүргэгч цэгүүд тэгээс бага тул x_0=-1, тэгвэл b=3+24x_0=-21.

Үүнийг анхаарна уу

Ажлын төрөл: 7
Хариулах

Нөхцөл байдал

Шүргэх цэгийн абсциссыг ол.

Шүргэдэг цэгийн абсцисс тэгээс бага байвал b-г ол.

Шийдлийг харуулах

Дурын x_0 цэгийн y=x^2-4x+9 функцийн графиктай шүргэгчийн налуу нь y"(x_0)-тай тэнцүү байна. Харин y"=2x-4 гэдэг нь y"(x_0)= гэсэн үг юм. Нөхцөлд заасан y =4x-7 шүргэгчийн налуу нь 4-тэй тэнцүү байна. Зэрэгцээ шугамууд нь ижил өнцгийн коэффициенттэй тул 2x_0-4=4 гэсэн утгыг олно.

Зурагт y=f(x) функцийн график ба абсцисса x_0 цэгт шүргэгчийг харуулав. x_0 цэг дээрх f(x) функцийн деривативын утгыг ол.Зургаас бид шүргэгч нь A(1; 1) ба B(5; 4) цэгүүдээр дамждаг болохыг тогтоов.

x=5 ба y=1 шулуунуудын огтлолцох цэгийг C(5; 1), BAC өнцгийг \alpha гэж тэмдэглэе (зураг дээр хурц байгааг харж болно). Дараа нь AB шулуун шугам нь Ox тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй \alpha өнцөг үүсгэнэ.

Энэхүү нийтлэлд деривативын тодорхойлолт, геометрийн утгыг нарийвчлан тайлбарласан болно

график тэмдэг

. Шүргэгчийн шулууны тэгшитгэлийг жишээн дээр авч үзэж, 2-р эрэмбийн муруйн шүргэгчийн тэгшитгэлийг олно.

Тодорхойлолт 1

y = k x + b шулуун шугамын хазайлтын өнцгийг α өнцөг гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь х тэнхлэгийн эерэг чиглэлээс эерэг чиглэлд y = k x + b шулуун хүртэл хэмжигддэг.

• Зураг дээр x чиглэлийг ногоон сум, ногоон нумаар, хазайлтын өнцгийг улаан нумаар зааж өгсөн болно. Цэнхэр шугам нь шулуун шугамыг хэлнэ. Тодорхойлолт 2 y = k x + b шулуун шугамын налууг тоон коэффициент k гэнэ.
• Өнцгийн коэффициент нь шулуун шугамын шүргэгчтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл k = t g α байна.< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >Шулуун шугамын налуу өнцөг нь зөвхөн x параллель, налуу нь байвал 0-тэй тэнцүү байна
• тэгтэй тэнцүү
• , учир нь тэгийн тангенс 0 байна. Энэ нь тэгшитгэлийн хэлбэр нь y = b болно гэсэн үг юм.< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Хэрэв y = k x + b шулуун шугамын хазайлтын өнцөг хурц байвал 0 нөхцөл хангагдсан болно.

Секант гэдэг нь f (x) функцийн 2 цэгийг дайран өнгөрөх шугам юм. Өөрөөр хэлбэл, өгөгдсөн функцийн графикийн дурын хоёр цэгээр татсан шулуун шугамыг секант гэнэ.

Зураг дээр A B нь секант, f (x) нь хар муруй, α нь улаан нум бөгөөд энэ нь секантын налуу өнцгийг харуулж байна.

Шулуун шугамын өнцгийн коэффициент нь хазайлтын өнцгийн тангенстай тэнцүү байх үед тэгш өнцөгт гурвалжны A B C тангенсыг эсрэг талынх нь зэргэлдээх хэсгийн харьцаагаар олох нь тодорхой байна.

Тодорхойлолт 4

Бид маягтын секантыг олох томъёог авдаг.

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, энд А ба В цэгүүдийн абсцисса нь x A, x B ба f (x A), f (x) утгууд юм. B) эдгээр цэгүүдийн утгын функцууд.

Секантын өнцгийн коэффициентийг k = f (x B) - f (x A) x B - x A эсвэл k = f (x A) - f (x B) x A - x B тэгшитгэлийг ашиглан тодорхойлно. , мөн тэгшитгэлийг y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) гэж бичих ёстой.
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Секант нь графикийг нүдээр 3 хэсэгт хуваадаг: А цэгийн зүүн талд, А-аас В хүртэл, В-ийн баруун талд. Доорх зургаас харахад давхцаж байгаа гурван секант байгааг харуулж байна, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийг тохируулагч ашиглан тохируулна. ижил төстэй тэгшитгэл.

Тодорхойлолтоор энэ тохиолдолд шулуун шугам ба түүний зүсэлт давхцаж байгаа нь тодорхой байна.

Секант нь өгөгдсөн функцийн графикийг олон удаа огтолж болно. Хэрэв секантын хувьд y = 0 хэлбэрийн тэгшитгэл байгаа бол синусоидтой огтлолцох цэгүүдийн тоо хязгааргүй болно.

Тодорхойлолт 5

x 0 цэг дэх f (x) функцийн графикт шүргэгч; f (x 0) нь өгөгдсөн х 0 цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугам; f (x 0), х 0-тэй ойролцоо олон x утгатай сегмент байгаа тохиолдолд.

Жишээ 1

Доорх жишээг нарийвчлан авч үзье. Тэгвэл y = x + 1 функцээр тодорхойлогдсон шулууныг координаттай (1; 2) цэг дээр y = 2 x шүргэгч гэж үзэх нь тодорхой байна. Тодорхой болгохын тулд (1; 2) ойролцоо утгатай графикуудыг авч үзэх шаардлагатай. y = 2 x функцийг хараар харуулсан бөгөөд цэнхэр шугам нь шүргэгч шугам, улаан цэг нь огтлолцох цэг юм.

y = 2 x нь y = x + 1 гэсэн шулуунтай нийлдэг нь ойлгомжтой.

Шүргэгчийг тодорхойлохын тулд B цэг нь А цэгт хязгааргүй ойртож байгаа тул бид A B-ийн шүргэгчийн зан төлөвийг авч үзэх хэрэгтэй.

Цэнхэр шугамаар заасан A B секант нь шүргэгчийн байрлал руу чиглэдэг бөгөөд α секантын налуу өнцөг нь шүргэгчийн налуу өнцөгт α x хандлагатай болж эхэлнэ.

Тодорхойлолт 6

А цэг дээрх y = f (x) функцийн графиктай шүргэгч нь B нь А руу чиглэх үед A B секантын хязгаарлах байрлал гэж тооцогддог, өөрөөр хэлбэл B → A.

Одоо цэг дээрх функцийн деривативын геометрийн утгыг авч үзье.

f (x) функцийн A B секантыг авч үзье, энд x 0, f (x 0) ба x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x), ∆ x координаттай A ба B нь байна. аргументийн өсөлт гэж тэмдэглэсэн. Одоо функц нь ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) хэлбэрийг авна. Тодорхой болгохын тулд зургийн жишээг өгье.

Үүссэн тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье A B C. Бид шийдвэрлэхийн тулд шүргэгчийн тодорхойлолтыг ашигладаг, өөрөөр хэлбэл ∆ y ∆ x = t g α харьцааг олж авна. Шүргэгчийн тодорхойлолтоос харахад lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x байна. Цэг дэх деривативын дүрмийн дагуу бид x 0 цэг дэх f (x) деривативыг функцийн өсөлтийг аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцааны хязгаар гэж нэрлэдэг бөгөөд энд ∆ x → 0 байна. , тэгвэл бид f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x гэж тэмдэглэнэ.

Эндээс f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, энд k x-ийг шүргэгчийн налуу гэж тэмдэглэнэ.

Өөрөөр хэлбэл, бид f ' (x) нь x 0 цэгт байж болохыг олж мэдсэн бөгөөд шүргэх цэгийн функцийн өгөгдсөн графиктай шүргэгч нь x 0, f 0 (x 0) -тэй тэнцүү байх ба энд -ийн утга цэг дээрх шүргэгчийн налуу нь x 0 цэгийн деривативтай тэнцүү байна. Дараа нь бид k x = f "(x 0) болно.

Тухайн цэг дээрх функцийн деривативын геометрийн утга нь тухайн цэгт графикт шүргэгч байх тухай ойлголтыг өгдөгт оршино.

Хавтгай дээрх дурын шулуун шугамын тэгшитгэлийг бичихийн тулд түүний өнгөрч буй цэгтэй өнцгийн коэффициент байх шаардлагатай. Түүний тэмдэглэгээг огтлолцол дээр x 0 гэж авна.

x 0, f 0 (x 0) цэгийн y = f (x) функцын графикт шүргэгч тэгшитгэл нь y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) хэлбэрийг авна.

Энэ нь f "(x 0) деривативын эцсийн утга нь lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ ба lim x → x 0 - байвал босоо байдлаар шүргэгчийн байрлалыг тодорхойлж чадна гэсэн үг юм. 0 f "(x ) = ∞ эсвэл огт байхгүй lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .

Шүргэгчийн байрлал нь түүний өнцгийн коэффициентийн утгаас хамаарна k x = f "(x 0). o x тэнхлэгтэй параллель байх үед бид k k = 0, o y - k x = ∞ параллель байх үед, мөн хэлбэрийг олж авна. шүргэгч тэгшитгэл x = x 0 нь k x > 0 байх тусам өсөж, k x үед буурна< 0 .

Жишээ 2

(1; 3) координаттай цэгийн y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг зохиож, хазайлтын өнцгийг тодорхойлно уу.

Шийдэл

Нөхцөлөөр бид функц нь бүх бодит тоонуудын хувьд тодорхойлогддог. (1; 3) нөхцлөөр тодорхойлсон координаттай цэг нь шүргэлтийн цэг, тэгвэл x 0 = - 1, f (x 0) = - 3 болохыг бид олж мэдэв.

1 гэсэн утгатай цэгээс деривативыг олох шаардлагатай. Бид үүнийг ойлгодог

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Шүргэх цэг дэх f' (x) утга нь налуугийн шүргэгчтэй тэнцүү байх шүргэлтийн налуу юм.

Дараа нь k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3

Эндээс α x = a r c t g 3 3 = π 6 байна

Хариулт:шүргэгч тэгшитгэл хэлбэрийг авна

y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

Тодорхой болгохын тулд бид график дүрслэлээр жишээ өгдөг.

Анхны функцийн графикт хар өнгийг ашигладаг. цэнхэр– шүргэгчийн дүрс, улаан цэг – шүргэх цэг. Баруун талд байгаа зураг нь томруулсан зургийг харуулж байна.

Жишээ 3

Өгөгдсөн функцийн графикт шүргэгч байгааг тодорхойл
y = 3 · x - 1 5 + 1 координаттай цэг дээр (1 ; 1) . Тэгшитгэл бичиж, налуу өнцгийг тодорхойлно уу.

Шийдэл

Нөхцөлөөр бид өгөгдсөн функцийн тодорхойлолтын мужийг бүх бодит тоонуудын олонлог гэж үзнэ.

Деривативыг олох руугаа явцгаая

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Хэрэв x 0 = 1 бол f' (x) нь тодорхойгүй боловч хязгаарыг lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 гэж бичнэ. · 1 + 0 = + ∞ ба lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ гэсэн утгатай. (1; 1) цэг дээрх орших босоо шүргэгч.

Хариулт:тэгшитгэл нь x = 1 хэлбэртэй байх ба налуугийн өнцөг нь π 2-тэй тэнцүү байна.

Тодорхой болгохын тулд үүнийг графикаар дүрсэлье.

Жишээ 4

y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 функцийн график дээрх цэгүүдийг ол.

1. Шүргэгч байхгүй;
2. Тангенс нь x-тэй параллель байна;
3. Шүргэх нь y = 8 5 x + 4 шулуунтай параллель байна.

Шийдэл

Тодорхойлолтын хамрах хүрээг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Нөхцөлөөр бид функц нь бүх бодит тоонуудын олонлог дээр тодорхойлогддог. Бид модулийг өргөжүүлж, системийг x ∈ - ∞ интервалаар шийддэг; 2 ба [- 2; + ∞). Бид үүнийг ойлгодог

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Энэ нь функцийг ялгах шаардлагатай байна. Бидэнд тийм байна

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

x = - 2 үед нэг талт хязгаар нь тухайн үед тэнцүү биш тул дериватив байхгүй болно.

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y "(x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Бид функцийн утгыг х = - 2 цэг дээр тооцоолж, үүнийг олж авдаг

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, өөрөөр хэлбэл цэг дээрх шүргэгч ( - 2; - 2) байхгүй болно.
2. Налуу тэг байх үед шүргэгч нь x-тэй параллель байна. Дараа нь k x = t g α x = f "(x 0). Өөрөөр хэлбэл, функцийн дериватив нь үүнийг тэг болгон хувиргах үед ийм x утгуудыг олох шаардлагатай. Өөрөөр хэлбэл, f ' утгууд. (x) нь шүргэгч нь x -тэй параллель байх шүргэлтийн цэгүүд болно.

Хэзээ x ∈ - ∞ ; - 2, дараа нь - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, x ∈ (- 2; + ∞) -ийн хувьд бид 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 болно.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Харгалзах функцийн утгыг тооцоол

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 у 2 = у (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 у 3 = у (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 у 4 = у (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Тиймээс - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 нь функцийн графикийн шаардлагатай цэгүүд гэж тооцогддог.

Шийдлийн график дүрслэлийг харцгаая.

Хар шугам нь функцийн график, улаан цэгүүд нь шүргэгч цэгүүд юм.

1. Шулуун параллель байх үед өнцгийн коэффициентүүд тэнцүү байна. Дараа нь функцын график дээр налуу нь 8 5 утгатай тэнцүү байх цэгүүдийг хайх шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд та y "(x) = 8 5 хэлбэрийн тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй. Дараа нь хэрэв x ∈ - ∞; - 2 бол бид - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 болно. 5, хэрэв x ∈ ( - 2 ; + ∞) бол 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 болно.

Дискриминант нь тэгээс бага тул эхний тэгшитгэл нь үндэсгүй. Үүнийг бичье

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Өөр нэг тэгшитгэл нь хоёр жинхэнэ үндэстэй

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

Функцийн утгыг олох руу шилжье. Бид үүнийг ойлгодог

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 у 2 = у (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Утгатай оноо - 1; 4 15, 5; 8 3 нь y = 8 5 x + 4 шулуунтай шүргэгч параллель байх цэгүүд юм.

Хариулт:хар шугам – функцийн график, улаан шугам – у = 8 5 x + 4-ийн график, цэнхэр шугам – цэг дээрх шүргэгч - 1; 4 15, 5; 8 3.

Өгөгдсөн функцүүдийн хувьд хязгааргүй тооны шүргэгч байж болно.

Жишээ 5

y = - 2 x + 1 2 шулуун шугамд перпендикуляр байрлах y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 функцийн боломжтой бүх шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл

Шүргэх тэгшитгэлийг бүрдүүлэхийн тулд шугамын перпендикуляр байдлын нөхцөл дээр үндэслэн шүргэгч цэгийн коэффициент ба координатыг олох шаардлагатай. Тодорхойлолт нь дараах байдалтай байна: шулуун шугамд перпендикуляр байгаа өнцгийн коэффициентүүдийн үржвэр нь - 1-тэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл k x · k ⊥ = - 1 гэж бичнэ. Нөхцөлөөс харахад өнцгийн коэффициент нь шулуунд перпендикуляр байрлаж, k ⊥ = - 2-тэй тэнцүү бол k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2 байна.

Одоо та мэдрэгчтэй цэгүүдийн координатыг олох хэрэгтэй. Өгөгдсөн функцийн хувьд та x, дараа нь түүний утгыг олох хэрэгтэй. Цэг дэх деривативын геометрийн утгаас гэдгийг анхаарна уу
x 0 нь k x = y "(x 0) гэдгийг олж авна. Энэ тэгшитгэлээс бид холбоо барих цэгүүдийн x утгыг олно.

Бид үүнийг ойлгодог

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 нүгэл 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 син 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ нүгэл 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

Энэхүү тригонометрийн тэгшитгэлийг шүргэгч цэгүүдийн ординатыг тооцоолоход ашиглана.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk эсвэл 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk эсвэл 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk эсвэл x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z нь бүхэл тоонуудын багц юм.

x холбоо барих цэг олдсон. Одоо та y-ийн утгыг хайж эхлэх хэрэгтэй:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - нүгэл 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 эсвэл y 0 = 3 - 1 - нүгэл 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 эсвэл у 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 эсвэл y 0 = - 4 5 + 1 3

Эндээс бид 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk болохыг олж авна; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 нь шүргэлтийн цэгүүд юм.

Хариулт:шаардлагатай тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичнэ

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Үзүүлэн дүрслэхийн тулд координатын шулуун дээрх функц ба шүргэгчийг авч үзье.

Зурагт функц нь [ - 10 ; 10 ], хар шугам нь функцийн график, цэнхэр шугамууд нь y = - 2 x + 1 2 хэлбэрийн өгөгдсөн шулуунтай перпендикуляр байрлах шүргэгч юм. Улаан цэгүүд нь мэдрэгчтэй цэгүүд юм.

Каноник тэгшитгэлүүд 2-р эрэмбийн муруй нь нэг утгатай функц биш юм. Тэдгээрийн шүргэгч тэгшитгэлийг мэдэгдэж буй схемийн дагуу эмхэтгэсэн.

Тойрогтой шүргэгч

x c e n t e r цэг дээр төвтэй тойргийг тодорхойлох; y c e n t e r ба R радиустай бол x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 томъёог ашиглана.

Энэ тэгш байдлыг хоёр функцийн нэгдэл хэлбэрээр бичиж болно.

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Эхний функц нь зурагт үзүүлсэн шиг дээд талд, хоёр дахь нь доод талд байрладаг.

x 0 цэг дээрх тойргийн тэгшитгэлийг бүрдүүлэх; y 0 , дээд буюу доод хагас тойрогт байрладаг бол та y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r эсвэл y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + хэлбэрийн функцийн графикийн тэгшитгэлийг олох хэрэгтэй. заасан цэг дээр y c e n t e r.

x c e n t e r цэгүүдэд байх үед; y c e n t e r + R ба x c e n t e r ; y c e n t e r - R шүргэгчийг y = y c e n t e r + R ба y = y c e n t e r - R тэгшитгэлээр, мөн x c e n t e r + R цэгүүдэд өгч болно; y c e n t e r and
x c e n t e r - R ; y c e n t e r нь o y -тэй параллель байх болно, тэгвэл бид x = x c e n t e r + R ба x = x c e n t e r - R хэлбэрийн тэгшитгэлүүдийг олж авна.

Эллипстэй шүргэгч

Эллипс нь x c e n t e r дээр төвтэй байх үед; y c e n t e r a ба b хагас тэнхлэгтэй бол x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 тэгшитгэлийг ашиглан тодорхойлж болно.

Зууван ба тойрог хоёр функцийг, тухайлбал дээд ба доод хагас эллипсийг хослуулан тэмдэглэж болно. Дараа нь бид үүнийг авдаг

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Хэрэв шүргэгч нь эллипсийн оройн хэсэгт байрладаг бол тэдгээр нь ойролцоогоор x эсвэл y орчим параллель байна. Тодорхой болгохын тулд доорх зургийг анхаарч үзээрэй.

Жишээ 6

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 эллипсийн шүргэгчийн тэгшитгэлийг x = 2-той тэнцүү x утгууд дээр бич.

Шийдэл

x = 2 утгатай тохирох шүргэгч цэгүүдийг олох шаардлагатай. Бид одоо байгаа эллипсийн тэгшитгэлд орлуулж, үүнийг олно

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Дараа нь 2; 5 3 2 + 5 ба 2; - 5 3 2 + 5 нь дээд ба доод хагас эллипсийн шүргэгч цэгүүд юм.

У-д хамаарах эллипсийн тэгшитгэлийг олох, шийдвэрлэхэд шилжье. Бид үүнийг ойлгодог

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Мэдээжийн хэрэг, дээд хагас эллипсийг y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2, доод хагас эллипс y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 хэлбэрийн функцийг ашиглан тодорхойлсон.

Цэг дэх функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг бий болгох стандарт алгоритмыг хэрэглэцгээе. 2-р цэгийн эхний шүргэгчийн тэгшитгэлийг бичье; 5 3 2 + 5 нь иймэрхүү харагдах болно

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y "(x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ у = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Хоёр дахь шүргэгчийн тэгшитгэл нь цэг дээрх утгатай болохыг олж мэдэв
2 ; - 5 3 2 + 5 хэлбэрийг авна

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x) - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ у = у " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Графикийн хувьд шүргэгчийг дараах байдлаар тэмдэглэв.

Гиперболын тангенс

Гипербол нь x c e n t e r дээр төвтэй байх үед; y c e n t e r ба оройнууд x c e n t e r + α ; y c e n t e r ба x c e n t e r - α ; y c e n t e r, x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 тэгш бус байдал үүснэ, хэрэв оройнууд нь x c e n t e r байвал; y c e n t e r + b ба x c e n t e r ; y c e n t e r - b , дараа нь x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 тэгш бус байдлыг ашиглан тодорхойлогдоно.

Гиперболыг хэлбэрийн хоёр хосолсон функцээр илэрхийлж болно

y = b A · (x - x - e n t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e e t e t e t e t e t e t e t e t e t e e t e e t e t e t e t e t e e e t e e e e e = - e t e t e e = - x (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r

Эхний тохиолдолд шүргэгч нь y-тэй параллель, хоёр дахь тохиолдолд x-тэй параллель байна.

Үүнээс үзэхэд гиперболын шүргэгчийн тэгшитгэлийг олохын тулд шүргэлтийн цэг аль функцэд хамаарахыг олж мэдэх шаардлагатай. Үүнийг тодорхойлохын тулд тэгшитгэлд орлуулж, таних эсэхийг шалгах шаардлагатай.

Жишээ 7

7-р цэгт x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 гиперболын шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич; - 3 3 - 3.

Шийдэл

Гиперболыг олохын тулд 2 функц ашиглан шийдлийн бичлэгийг хувиргах шаардлагатай. Бид үүнийг ойлгодог

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 ба y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

7-р координаттай өгөгдсөн цэг аль функцэд хамаарахыг тодорхойлох шаардлагатай; - 3 3 - 3.

Мэдээжийн хэрэг, эхний функцийг шалгахын тулд y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 шаардлагатай бол цэг нь графикт хамаарахгүй, тэгш байдал хангагдаагүй тул.

Хоёрдахь функцийн хувьд бид y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 гэсэн утгатай бөгөөд энэ нь тухайн цэг нь өгөгдсөн графикт хамааралтай гэсэн үг юм. Эндээс та налууг олох хэрэгтэй.

Бид үүнийг ойлгодог

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Хариулт:шүргэгч тэгшитгэлийг дараах байдлаар илэрхийлж болно

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Үүнийг дараах байдлаар тодорхой дүрсэлсэн болно.

Параболын шүргэгч

x 0, y (x 0) цэг дээр y = a x 2 + b x + c параболын шүргэгчийн тэгшитгэлийг үүсгэхийн тулд та стандарт алгоритмыг ашиглах ёстой, тэгвэл тэгшитгэл нь y = y "(x) хэлбэртэй болно. 0) x - x 0 + y ( x 0) орой дээрх ийм шүргэгч нь x-тэй параллель байна.

Та x = a y 2 + b y + c параболыг хоёр функцийн нэгдэл гэж тодорхойлох ёстой. Тиймээс бид y-ийн тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй. Бид үүнийг ойлгодог

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Үүнийг графикаар дараах байдлаар дүрсэлцгээе.

x 0, y (x 0) цэг нь функцэд хамаарах эсэхийг мэдэхийн тулд стандарт алгоритмын дагуу зөөлөн ажиллана. Ийм шүргэгч нь параболтай харьцуулахад o y-тэй параллель байх болно.

Жишээ 8

Бид 150 ° шүргэгч өнцөгтэй байх үед x - 2 y 2 - 5 y + 3 графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл

Бид параболыг хоёр функцээр төлөөлүүлэн шийдлийг эхлүүлнэ. Бид үүнийг ойлгодог

2 у 2 - 5 у + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - х) = 49 - 8 х у = 5 + 49 - 8 х - 4 у = 5 - 49 - 8 х - 4

Налуугийн утга нь энэ функцийн x 0 цэг дэх деривативын утгатай тэнцүү бөгөөд налуу өнцгийн тангенстай тэнцүү байна.

Бид авах:

k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

Эндээс бид холбоо барих цэгүүдийн x утгыг тодорхойлно.

Эхний функцийг дараах байдлаар бичнэ

y" = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Бид сөрөг утгыг авсан болохоор жинхэнэ үндэс байхгүй нь ойлгомжтой. Ийм функцийн хувьд 150 ° өнцөгтэй шүргэгч байхгүй гэж бид дүгнэж байна.

Хоёрдахь функцийг дараах байдлаар бичнэ

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Бидэнд байгаа холбоо барих цэгүүд нь 23 4; - 5 + 3 4.

Хариулт:шүргэгч тэгшитгэл хэлбэрийг авна

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Үүнийг графикаар дараах байдлаар дүрсэлцгээе.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Функцийн дериватив нь сургуулийн сургалтын хөтөлбөрт багтдаг хэцүү сэдвүүдийн нэг юм. Дериватив гэж юу вэ гэсэн асуултад төгсөгч бүр хариулдаггүй.

Энэ нийтлэлд дериватив гэж юу болох, яагаад хэрэгтэйг энгийн бөгөөд ойлгомжтой байдлаар тайлбарласан болно.. Бид одоо илтгэлдээ математикийн хатуу ширүүн байхыг хичээхгүй. Хамгийн гол нь утгыг нь ойлгох хэрэгтэй.

Тодорхойлолтыг санацгаая:

Дериватив нь функцийн өөрчлөлтийн хурд юм.

Зурагт гурван функцийн графикийг харуулав. Таны бодлоор аль нь илүү хурдан өсч байна вэ?

Хариулт нь ойлгомжтой - гурав дахь нь. Энэ нь хамгийн их өөрчлөлтийн хурдтай, өөрөөр хэлбэл хамгийн том дериватив юм.

Өөр нэг жишээ энд байна.

Костя, Гриша, Матвей нар нэгэн зэрэг ажилд орсон. Жилийн туршид тэдний орлого хэрхэн өөрчлөгдсөнийг харцгаая.

График нь бүгдийг нэг дор харуулдаг, тийм үү? Костягийн орлого зургаан сарын дотор хоёр дахин нэмэгджээ. Гришагийн орлого бас нэмэгдсэн, гэхдээ бага зэрэг. Матвейгийн орлого тэг болж буурсан. Эхлэх нөхцөл нь ижил боловч функцийн өөрчлөлтийн хурд, өөрөөр хэлбэл дериватив, - өөр. Матвейгийн хувьд түүний орлогын дериватив нь ерөнхийдөө сөрөг байдаг.

Зөн совингоор бид функцийн өөрчлөлтийн хурдыг хялбархан тооцоолдог. Гэхдээ бид үүнийг яаж хийх вэ?

Бидний харж байгаа зүйл бол функцийн график хэрхэн огцом дээшлэх (эсвэл доошоо) юм. Өөрөөр хэлбэл х өөрчлөгдөхөд у хэр хурдан өөрчлөгдөх вэ? Мэдээжийн хэрэг, өөр өөр цэгүүдэд ижил функц нь өөр өөр дериватив утгатай байж болно, өөрөөр хэлбэл энэ нь илүү хурдан эсвэл удаан өөрчлөгдөж болно.

Функцийн деривативыг тэмдэглэнэ.

Үүнийг график ашиглан хэрхэн олохыг бид танд үзүүлэх болно.

Зарим функцийн графикийг зурсан. Абсцисс бүхий цэгийг авч үзье. Энэ цэг дээр функцийн график руу шүргэгч зуръя. Функцийн график хэр огцом өсч байгааг бид тооцоолохыг хүсч байна. Энэ нь тохиромжтой үнэ цэнэ юм шүргэгч өнцгийн тангенс.

Тухайн цэг дэх функцийн дериватив нь тухайн цэг дэх функцийн графикт татсан шүргэгч өнцгийн тангенстай тэнцүү байна.

Шүргэгчийн налуу өнцгийн хувьд шүргэгч ба тэнхлэгийн эерэг чиглэлийн хоорондох өнцгийг авна гэдгийг анхаарна уу.

Заримдаа оюутнууд функцийн графикт шүргэгч гэж юу вэ гэж асуудаг. Энэ бол энэ хэсгийн графиктай нэг нийтлэг цэгтэй шулуун шугам бөгөөд бидний зурагт үзүүлэв. Энэ нь тойрогтой шүргэгч шиг харагдаж байна.

Олъё л доо. Тэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцгийн тангенс нь эсрэг талынх нь зэргэлдээх талын харьцаатай тэнцүү гэдгийг бид санаж байна. Гурвалжингаас:

Функцийн томъёог ч мэдэхгүй байж график ашиглан деривативыг олсон. Иймэрхүү асуудлууд нь математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд ихэвчлэн дугаарын доор байдаг.

Өөр нэг чухал харилцаа бий. Шулуун шугамыг тэгшитгэлээр өгсөн гэдгийг санаарай

Энэ тэгшитгэл дэх хэмжигдэхүүнийг нэрлэдэг шулуун шугамын налуу. Энэ нь шулуун шугамын тэнхлэгт налуу өнцгийн тангенстай тэнцүү байна.

.

Бид үүнийг ойлгодог

Энэ томъёог санацгаая. Энэ нь деривативын геометрийн утгыг илэрхийлдэг.

Тухайн цэг дээрх функцийн дериватив нь тухайн цэг дэх функцийн графикт татсан шүргэгчийн налуутай тэнцүү байна.

Өөрөөр хэлбэл дериватив нь шүргэгч өнцгийн тангенстай тэнцүү байна.

Нэг функц өөр өөр цэгүүдэд өөр өөр деривативтай байж болно гэж бид аль хэдийн хэлсэн. Дериватив нь функцийн үйлдэлтэй хэрхэн холбоотой болохыг харцгаая.

Зарим функцийн графикийг зуръя. Энэ функц нь зарим хэсэгт нэмэгдэж, бусад хэсэгт буурч, өөр өөр хурдаар явцгаая. Мөн энэ функц нь хамгийн их ба хамгийн бага оноотой байг.

Нэг цэгт функц нэмэгддэг. Тухайн цэг дээр зурсан графикт шүргэгч нь тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй хурц өнцөг үүсгэдэг. Энэ нь тухайн цэг дээрх дериватив эерэг байна гэсэн үг.

Энэ үед бидний үйл ажиллагаа буурдаг. Энэ цэг дэх шүргэгч нь тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй мохоо өнцөг үүсгэдэг. Мохоо өнцгийн тангенс сөрөг тул цэг дээрх дериватив сөрөг байна.

Энд юу болох вэ:

Хэрэв функц нэмэгдэж байвал түүний дериватив эерэг байна.

Хэрэв энэ нь буурвал дериватив нь сөрөг байна.

Хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүдэд юу тохиолдох вэ? (хамгийн их цэг) ба (хамгийн бага цэг) цэгүүдэд шүргэгч хэвтээ байгааг бид харж байна. Иймд эдгээр цэгүүд дэх шүргэгчийн тангенс тэг, дериватив нь мөн тэг байна.

Цэг - хамгийн дээд цэг. Энэ үед функцийн өсөлт бууралтаар солигдоно. Үүний үр дүнд деривативын тэмдэг нь "нэмэх" -ээс "хасах" цэгт өөрчлөгддөг.

Энэ цэг дээр - хамгийн бага цэг - дериватив нь мөн тэг байх боловч түүний тэмдэг нь "хасах" -аас "нэмэх" болж өөрчлөгддөг.

Дүгнэлт: деривативыг ашигласнаар бид функцийн зан үйлийн талаар сонирхож буй бүх зүйлийг олж мэдэх боломжтой.

Хэрэв дериватив эерэг байвал функц нэмэгдэнэ.

Хэрэв дериватив сөрөг байвал функц буурна.

Хамгийн их цэг дээр дериватив нь тэг бөгөөд тэмдэг нь "нэмэх" -ээс "хасах" болж өөрчлөгддөг.

Хамгийн бага цэг дээр дериватив нь мөн тэг бөгөөд тэмдэг нь "хасах" -аас "нэмэх" болж өөрчлөгддөг.

Эдгээр дүгнэлтийг хүснэгт хэлбэрээр бичье.

	нэмэгддэг	хамгийн дээд цэг	буурдаг	хамгийн бага цэг	нэмэгддэг
+	0	-	0	+

Хоёр жижиг тодруулга хийцгээе. USE асуудлыг шийдвэрлэхэд танд тэдгээрийн аль нэг нь хэрэг болно. Өөр нэг нь - эхний жилдээ функц, деривативын талаар илүү нухацтай судалж үзсэн.

Функцийн дериватив нь аль нэг цэгт тэгтэй тэнцүү байх боломжтой боловч энэ үед функц нь максимум эсвэл минимумгүй байна. Энэ нь гэж нэрлэгддэг зүйл юм :

Нэг цэгт графикт шүргэгч нь хэвтээ, дериватив нь тэг байна. Гэсэн хэдий ч, цэгээс өмнө функц нэмэгдэж, цэгийн дараа энэ нь нэмэгдсээр байна. Деривативын тэмдэг өөрчлөгдөхгүй - энэ нь өмнөх шигээ эерэг хэвээр байна.

Хамгийн их эсвэл хамгийн бага цэгт дериватив байхгүй байх тохиолдол бас тохиолддог. График дээр энэ нь өгөгдсөн цэг дээр шүргэгч зурах боломжгүй үед огцом завсарлагатай тохирч байна.

Функцийг графикаар бус томъёогоор өгсөн бол деривативыг хэрхэн олох вэ? Энэ тохиолдолд энэ нь хамаарна

Бид энэ өгүүллийг шаардлагатай тодорхойлолт, ойлголтуудын тоймоор эхлүүлнэ.

Үүний дараа бид шүргэгч шулууны тэгшитгэлийг бичиж, хамгийн энгийн жишээ, асуудлын нарийвчилсан шийдлүүдийг өгөх болно.

Дүгнэж хэлэхэд бид хоёр дахь эрэмбийн муруй, өөрөөр хэлбэл тойрог, эллипс, гипербол, параболын шүргэгчийн тэгшитгэлийг олоход анхаарлаа хандуулах болно.

Хуудасны навигаци.

Тодорхойлолт ба ойлголтууд.

Тодорхойлолт.

Шулуун шугамын өнцөг y=kx+b нь х тэнхлэгийн эерэг чиглэлээс эерэг чиглэлд (өөрөөр хэлбэл цагийн зүүний эсрэг) y=kx+b шулуун хүртэл хэмжсэн өнцөг юм.

Зураг дээр х тэнхлэгийн эерэг чиглэлийг хэвтээ ногоон сумаар, өнцгийн эерэг чиглэлийг ногоон нумаар, шулууныг цэнхэр шугамаар, шулууны налалтын өнцгийг тус тус үзүүлэв. шугамыг улаан нумаар харуулав.

Тодорхойлолт.

Шулуун шугамын налуу y=kx+b-г тоон коэффициент k гэнэ.

Шулуун шугамын налуу нь шулуун шугамын налуу өнцгийн тангенстай тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл, .

Тодорхойлолт.

Шууд y=f(x) функцийн графикийн хоёр цэгээр татсан AB-г дуудна секант. Өөрөөр хэлбэл, секантфункцийн графикийн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугам юм.

Зураг дээр AB таслагч шугамыг цэнхэр шугамаар, y=f(x) функцийн графикийг хар муруйгаар, таслах шугамын налуу өнцгийг улаан нумаар тус тус үзүүлэв.

Хэрэв бид шулуун шугамын өнцгийн коэффициент нь хазайлтын өнцгийн тангенстай тэнцүү (үүнийг дээр дурдсан), ABC тэгш өнцөгт гурвалжин дахь өнцгийн тангенс нь эсрэг талын хөлийн харьцаа юм. зэргэлдээх нь (энэ бол өнцгийн шүргэгчийн тодорхойлолт юм), тэгвэл бидний секантын хувьд хэд хэдэн тэгш байдал үнэн болно. , А ба В цэгүүдийн абсцисса хаана байна, - харгалзах функцийн утгууд.

Энэ нь, таслах өнцөгтэгш эрхээр тодорхойлогддог эсвэл , А секант тэгшитгэлхэлбэрээр бичсэн эсвэл (шаардлагатай бол хэсгийг үзнэ үү).

Таслах шугам нь функцийн графикийг гурван хэсэгт хуваадаг: А цэгийн зүүн талд, А цэгээс В хүртэл, В цэгийн баруун талд, гэхдээ энэ нь функцийн графиктай хоёроос дээш нийтлэг цэгтэй байж болно.

Доорх зурагт гурван өөр секант (A ба B цэгүүд өөр) харагдаж байгаа боловч тэдгээр нь давхцаж, нэг тэгшитгэлээр өгөгдсөн.

Шулуун шугамын хувьд таслах шугамын тухай яриа бид хэзээ ч гарч байгаагүй. Гэсэн хэдий ч, хэрэв бид тодорхойлолтоос эхэлбэл шулуун ба түүний зүсэлтийн шугам давхцдаг.

Зарим тохиолдолд секант нь функцийн графиктай байж болно хязгааргүй тооуулзвар цэгүүд. Жишээлбэл, y=0 тэгшитгэлээр тодорхойлогддог секант нь синусын долгионтой хязгааргүй тооны нийтлэг цэгтэй байна.

Тодорхойлолт.

цэг дээрх y=f(x) функцийн графикт шүргэгчцэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугам гэж нэрлэдэг бөгөөд түүний сегмент нь функцийн график нь x-ийн утгуудын хувьд дур мэдэн ойролцоо байдаг.

Энэ тодорхойлолтыг жишээгээр тайлбарлая. y = x+1 шулуун нь (1; 2) цэг дээрх функцийн графиктай шүргэгч болохыг харуулъя. Үүнийг хийхийн тулд бид шүргэгч (1; 2) цэгт ойртох үед эдгээр функцүүдийн графикуудыг харуулах болно. Функцийн графикийг хараар, шүргэгч шугамыг цэнхэр шугамаар, шүргэлтийн цэгийг улаан цэгээр үзүүлэв.

Дараагийн зураг бүр нь өмнөхийн томруулсан хэсэг юм (эдгээр хэсгүүдийг улаан квадратаар тодруулсан).

Шүргэх цэгийн ойролцоо функцийн график y=x+1 шүргэгч шулуунтай бараг нийлдэг нь тодорхой харагдаж байна.

Одоо илүү их зүйл рүү шилжье утга учиртай тодорхойлолтшүргэгч.

Үүнийг хийхийн тулд В цэг нь А цэгт хязгааргүй ойр байвал AB секант юу болохыг харуулах болно.

Доорх зураг нь энэ үйл явцыг харуулж байна.

Секантын AB (цэнхэр тасархай шугамаар харуулсан) шулуун шугамын шүргэгчийн байрлалыг (цэнхэр цул шугамаар харуулсан) авах хандлагатай байх болно, секантын хазайлтын өнцөг (улаан тасархай нумаар харуулсан) шүргэгчийн хазайлтын өнцөг (улаан цул нум хэлбэрээр үзүүлэв).

Тодорхойлолт.

Тиймээс, А цэг дээрх y=f(x) функцийн графиктай шүргэгчүед AB секантын хязгаарлах байрлал юм.

Одоо бид функцийн деривативын геометрийн утгыг цэг дээр тайлбарлах руу шилжиж болно.

Цэг дэх функцийн деривативын геометрийн утга.

y=f(x) функцын графикийн AB секантыг А ба В цэгүүд тус тус координаттай байхаар авч үзье. , аргументийн өсөлт хаана байна. Функцийн өсөлтөөр тэмдэглэе. Зурган дээрх бүх зүйлийг тэмдэглэе:

ABC тэгш өнцөгт гурвалжнаас бид . Тодорхойлолтоор шүргэгч нь секантын хязгаарлах байрлал юм .

Цэг дэх функцийн деривативын тодорхойлолтыг эргэн санацгаая: y=f(x) функцийн цэг дээрх дериватив нь функцийн өсөлтийг аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцааны хязгаарыг тэмдэглэнэ. .

Тиймээс, , шүргэгчийн налуу хаана байна.

Иймд y=f(x) функцийн дериватив цэг дээр байгаа нь шүргэлтийн цэг дээр y=f(x) функцийн графикт шүргэгч байгаатай тэнцүү ба шүргэгчийн налуу нь тухайн цэг дээрх деривативын утгатай тэнцүү байна, тэр нь .

Бид дүгнэж байна: цэг дээрх функцийн деривативын геометрийн утгаЭнэ цэг дэх функцийн графикт шүргэгч байхаас бүрдэнэ.

Шүргэдэг шугамын тэгшитгэл.

Хавтгай дээрх дурын шулуун шугамын тэгшитгэлийг бичихийн тулд түүний өнцгийн коэффициент болон түүнийг дайран өнгөрөх цэгийг мэдэхэд хангалттай. Шүргэх шугам нь шүргэх цэгийг дайран өнгөрөх ба дифференциалагдах функцийн өнцгийн коэффициент нь тухайн цэг дээрх деривативын утгатай тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл, шүргэгч шугамын тэгшитгэлийг бичихийн тулд бид бүх өгөгдлийг авч болно.

Нэг цэгийн y = f(x) функцийн графиктай шүргэгчийн тэгшитгэлшиг харагдаж байна.

Бид деривативын хязгаарлагдмал утгатай гэж үздэг, эс тэгвээс шүргэгч шулуун эсвэл босоо байна (хэрэв Тэгээд ), эсвэл байхгүй (хэрэв ).

Өнцгийн коэффициентээс хамааран шүргэгч нь абсцисса тэнхлэгтэй (), ординатын тэнхлэгтэй параллель (энэ тохиолдолд шүргэгч тэгшитгэл нь хэлбэртэй байх болно), нэмэгдэх () эсвэл буурах () байж болно.

Тодорхой болгохын тулд хэдэн жишээ өгөх цаг болжээ.

Жишээ.

Функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич цэг дээр (-1;-3) налуу өнцгийг тодорхойлно.

Шийдэл.

Функц нь бүх бодит тоогоор тодорхойлогддог (шаардлагатай бол нийтлэлийг үзнэ үү). (-1;-3) нь шүргэлтийн цэг тул .

Бид деривативыг олж (үүнд функцийг ялгах, деривативыг олоход тустай байж болох юм) өгүүлэлд байгаа материал нь дараах цэг дээр түүний утгыг тооцоолно.

Шүргэх цэг дэх деривативын утга нь шүргэгчийн налуу бөгөөд налуу өнцгийн тангенстай тэнцүү тул .

Тиймээс шүргэгчийн налуу өнцөг нь тэнцүү байна , ба шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

График дүрслэл.

Анхны функцийн графикийг хараар, шүргэгч шугамыг цэнхэр шугамаар, шүргэлтийн цэгийг улаан цэгээр үзүүлэв. Баруун талд байгаа зураг нь зүүн талын зурган дээрх улаан тасархай дөрвөлжин тэмдэглэсэн талбайн томруулсан зураг юм.

Жишээ.

Функцийн графикт шүргэгч байгаа эсэхийг олж мэд (1; 1) цэг дээр хэрэв тийм бол түүний тэгшитгэлийг зохиож, налуу өнцгийг тодорхойлно.

Шийдэл.

Функцийн домэйн нь бодит тоонуудын бүхэл бүтэн багц юм.

Деривативыг олох нь:

Дериватив нь тодорхойлогдоогүй үед, гэхдээ Тэгээд тиймээс (1;1) цэг дээр босоо шүргэгч байх ба түүний тэгшитгэл x = 1, налуугийн өнцөг нь -тэй тэнцүү байна.

График дүрслэл.

Жишээ.

Функцийн график дээрх бүх цэгүүдийг ол:
a) шүргэгч байхгүй; б) шүргэгч нь x тэнхлэгтэй параллель байна; в) шүргэгч шулуунтай параллель байна.

Шийдэл.

Ердийнх шигээ бид функцийн тодорхойлолтын домэйноос эхэлдэг. Бидний жишээн дээр функц нь бүхэл бүтэн бодит тоон дээр тодорхойлогддог. Үүнийг хийхийн тулд модулийн тэмдгийг өргөжүүлье, хоёр интервалыг авч үзье:

Функцийг ялгаж үзье:

At x=-2 дериватив байхгүй, учир нь энэ цэг дэх нэг талын хязгаар нь тэнцүү биш байна.

Ингээд x=-2 дахь функцийн утгыг тооцоолсны дараа бид а цэгийн хариултыг өгч болно: функцийн графикт шүргэгч (-2;-2) цэг дээр байхгүй байна.

б) Хэрэв налуу нь тэг бол шүргэгч нь x тэнхлэгтэй параллель байна (налуугийн өнцгийн тангенс тэг). Учир нь , дараа нь функцийн дериватив алга болох x-ийн бүх утгыг олох хэрэгтэй. Эдгээр утгууд нь шүргэгч нь Ox тэнхлэгтэй параллель байх шүргэгч цэгүүдийн абсцисса болно.

Бид тэгшитгэлийг шийдэх үед , тэгшитгэл нь хэзээ вэ :

Функцийн харгалзах утгуудыг тооцоолоход л үлддэг.

Тийм ч учраас, - функцийн графикийн шаардлагатай цэгүүд.

График дүрслэл.

Анхны функцийн графикийг хар зураасаар дүрсэлсэн улаан цэгүүд нь абсцисса тэнхлэгтэй параллель байх олсон цэгүүдийг тэмдэглэнэ.

в) Хэрэв хавтгай дээрх хоёр шулуун параллель байвал тэдгээрийн өнцгийн коэффициентүүд тэнцүү байна (үүнийг нийтлэлд бичсэн болно). Энэ мэдэгдэлд үндэслэн бид шүргэгчийн налуу тавны наймтай тэнцүү байх функцын график дээрх бүх цэгийг олох хэрэгтэй. Өөрөөр хэлбэл, бид тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй. Тиймээс бид тэгшитгэлийг шийдэх үед , тэгшитгэл нь хэзээ вэ .

Эхний тэгшитгэлийн ялгаварлагч нь сөрөг тул бодит үндэсгүй болно.

Хоёр дахь тэгшитгэл нь хоёр жинхэнэ үндэстэй:

Бид тохирох функцийн утгуудыг олдог:

Цэгүүд дээр функцийн графикт шүргэгч шулуунтай параллель байна.

График дүрслэл.

Функцийн графикийг хар шугамаар, улаан шугам нь шулуун шугамын графикийг, цэнхэр шугамууд нь функцийн графиктай цэгүүд дээр шүргэгчийг харуулав. .

Учир нь тригонометрийн функцуудтэдгээрийн үечилсэн байдлаас шалтгаалан ижил налуу (ижил налуу) бүхий хязгааргүй тооны шүргэгч шугам байж болно.

Жишээ.

Функцийн графикийн бүх шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич шугаманд перпендикуляр байна.

Шийдэл.

Функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг бий болгохын тулд бид зөвхөн түүний налуу болон шүргэлтийн цэгийн координатыг мэдэхэд л хангалттай.

Бид шүргэгчийн өнцгийн коэффициентийг дараахаас олдог: перпендикуляр шулуун шугамын өнцгийн коэффициентүүдийн үржвэр нь хасах нэгтэй тэнцүү байна. Нөхцөлөөр перпендикуляр шулуун шугамын өнцгийн коэффициент нь , тэгвэл тэнцүү байна .

Шүргэдэг цэгүүдийн координатыг хайж эхэлцгээе. Эхлээд абсциссуудыг олъё, дараа нь функцийн харгалзах утгуудыг тооцоолно - эдгээр нь шүргэгч цэгүүдийн ординат болно.

Нэг цэг дэх функцийн деривативын геометрийн утгыг тайлбарлахдаа бид үүнийг тэмдэглэсэн. Энэ тэгшитгэлээс бид шүргэгч цэгүүдийн абсциссыг олно.

Бид тригонометрийн тэгшитгэлд хүрлээ. Дараа нь шүргэгч цэгүүдийн ординатыг тооцоолохдоо үүнийг ашиглах болно, үүнд анхаарлаа хандуулна уу. Бид үүнийг шийднэ (хэрэв танд хүндрэлтэй байгаа бол энэ хэсгийг үзнэ үү тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх):

Шүргэдэг цэгүүдийн абсцисса олдсон тул харгалзах ординатуудыг тооцоолъё (энд бид яг дээр дурдсан тэгш байдлыг ашиглана уу):

Тиймээс холбоо барих бүх цэгүүд. Тиймээс шаардлагатай шүргэгч тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

График дүрслэл.

Хар муруйн зураг нь [-10;10] сегмент дээрх анхны функцийн графикийг, цэнхэр шугамууд нь шүргэгч шугамуудыг дүрсэлсэн байна. Тэд улаан шугамтай перпендикуляр байгаа нь тодорхой харагдаж байна. Мэдрэгч цэгүүдийг улаан цэгээр тэмдэглэсэн.

Тойрог, эллипс, гипербол, параболын шүргэгч.

Энэ хүртэл бид y = f(x) хэлбэрийн нэг утгатай функцүүдийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг янз бүрийн цэгүүдэд олох завгүй байсан. Хоёрдахь эрэмбийн муруйн каноник тэгшитгэлүүд нь нэг утгатай функц биш юм. Гэхдээ бид тойрог, эллипс, гипербол, параболыг хоёр нэг утгатай функцийн хослолоор төлөөлж, дараа нь сайн мэддэг схемийн дагуу шүргэгч тэгшитгэлийг үүсгэж болно.

Тойрогтой шүргэгч.

Нэг цэг дээр төвтэй тойрог ба R радиусыг өгөгдөнө.

Энэ тэгш байдлыг хоёр функцийн нэгдэл болгон бичье.

Энд эхний функц нь дээд хагас тойрогтой, хоёр дахь нь доод хэсэгтэй тохирч байна.

Ийнхүү дээд (эсвэл доод) хагас тойрогт хамаарах цэг дээрх тойрогтой шүргэгчийн тэгшитгэлийг бий болгохын тулд заасан цэг дээрх функцийн (эсвэл) графиктай шүргэгчийн тэгшитгэлийг олно.

Үүнийг координаттай тойргийн цэгүүдэд харуулахад хялбар байдаг Тэгээд шүргэгч нь x тэнхлэгтэй параллель бөгөөд тэгшитгэлээр тус тус өгөгдсөн (доорх зурагт тэдгээрийг цэнхэр цэгүүд ба цэнхэр шулуун шугамаар харуулсан) ба цэгүүдэд Тэгээд - ординатын тэнхлэгтэй параллель бөгөөд тэгшитгэлтэй ба тус тусад нь (доорх зурган дээр тэдгээрийг улаан цэг, улаан шулуун шугамаар тэмдэглэсэн).

Эллипстэй шүргэгч.

Нэг цэг дээр төвлөрсөн эллипс a ба b хагас тэнхлэгтэй тэгшитгэлээр өгөгдсөн .

Тойрог шиг эллипсийг дээд ба доод хагас эллипс гэсэн хоёр функцийг хослуулан тодорхойлж болно.

Эллипсийн орой дээрх шүргэгч нь абсцисса тэнхлэг (доорх зурагт цэнхэр шулуун шугамаар харуулсан) эсвэл ординатын тэнхлэгтэй (доорх зурагт улаан шулуун шугамаар харуулсан) параллель байна.

Өөрөөр хэлбэл дээд хагас эллипс нь функцээр өгөгдөнө , доод нь - .

Одоо бид стандарт алгоритмыг ашиглан цэг дээрх функцийн графиктай шүргэгчийн тэгшитгэлийг байгуулж болно.

Цэг дэх эхний шүргэгч:

Нэг цэгийн хоёр дахь шүргэгч :

График дүрслэл.

Гиперболын тангенс.

Гипербола нэг цэг дээр төвлөрсөн болон оргилууд Тэгээд тэгшитгэлээр өгөгддөг (зүүн доорх зураг), оройтой Тэгээд - тэгш байдал (баруун доорх зураг).

Хоёр функцийн хослолоор гиперболыг дараах байдлаар илэрхийлж болно

эсвэл .

Гиперболын оройнуудад шүргэгч нь эхний тохиолдолд Oy тэнхлэгтэй, хоёр дахь тохиолдолд Ox тэнхлэгтэй параллель байна.

Тиймээс гиперболд шүргэгчийн тэгшитгэлийг олохын тулд шүргэлтийн цэг аль функцэд хамаарахыг олж мэдээд ердийн аргаар явна.

Логик асуулт гарч ирнэ: цэг аль функцэд хамаарахыг хэрхэн тодорхойлох вэ. Үүнд хариулахын тулд бид координатуудыг тэгшитгэл болгон орлуулж, аль тэгшитгэл нь ижил төстэй болж хувирахыг харна. Үүнийг жишээгээр харцгаая.

Жишээ.

Гиперболын шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич цэг дээр.

Шийдэл.

Гиперболыг хоёр функц хэлбэрээр бичье.

Шүргэх цэг аль функцэд хамаарахыг олж мэдье.

Тиймээс эхний функцийн хувьд цэг нь энэ функцийн графикт хамаарахгүй.

Хоёрдахь функцийн хувьд цэг нь энэ функцийн графикт хамаарна.

Шүргэгчийн өнцгийн коэффициентийг ол:

Тиймээс шүргэгч тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна.

График дүрслэл.

Параболын шүргэгч.

Маягтын параболын шүргэгчийн тэгшитгэлийг бий болгох бидний ашигладаг цэг дээр стандарт схем, мөн шүргэгчийн тэгшитгэлийг гэж бичнэ. Орой дээрх ийм параболын графикийн шүргэгч нь Үхрийн тэнхлэгтэй параллель байна.

Парабола Эхлээд бид үүнийг хоёр функцийг нэгтгэх замаар тодорхойлно. Үүнийг хийхийн тулд y-ийн хувьд энэ тэгшитгэлийг шийдье:

Одоо бид шүргэгч цэг нь аль функцэд хамаарахыг олж мэдээд стандарт схемийн дагуу үргэлжлүүлнэ.

Орой дээрх ийм параболын графикийн шүргэгч нь Ой тэнхлэгтэй параллель байна.

Хоёрдахь функцийн хувьд:

Мэдрэх цэгийг авч байна .

Тиймээс хүссэн шүргэгчийн тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна .