Энэхүү тодорхойгүй байдал нь "үйлчилдэг" хоёрдугаарт гайхалтай хязгаар , мөн тэр хичээлийн хоёрдугаар хэсэгт бид ихэнх тохиолдолд практикт олддог шийдлүүдийн стандарт жишээнүүдийг нарийвчлан авч үзсэн. Одоо илтгэгчтэй зургийг дуусгах болно, үүнээс гадна хичээлийн эцсийн даалгавруудыг "хуурамч" хязгаарт зориулах болно, үүнд 2-р гайхалтай хязгаарыг хэрэглэх шаардлагатай мэт санагдаж байна, гэхдээ энэ нь огтхон ч биш юм. хэрэг.
Хоёр дахь гайхалтай хязгаарын ажлын хоёр томьёоны сул тал нь аргумент нь "нэмэх хязгааргүй" эсвэл тэг рүү чиглэх ёстой гэсэн үг юм. Гэхдээ хэрүүл маргаан өөр тоо руу чиглэж байвал яах вэ?
Бүх нийтийн томъёолол аврах ажилд ирдэг (энэ нь үнэндээ хоёр дахь гайхалтай хязгаарын үр дагавар юм):
Тодорхой бус байдлыг дараахь томъёогоор арилгаж болно.
Хаа нэгтээ би дөрвөлжин хаалт ямар утгатай болохыг аль хэдийн тайлбарласан гэж бодож байна. Онцгой зүйл байхгүй, хаалт нь зүгээр л хаалт юм. Тэдгээрийг ихэвчлэн математикийн тэмдэглэгээг илүү тод тодруулахад ашигладаг.
Томъёоны үндсэн цэгүүдийг тодруулцгаая.
1) Энэ тухай зөвхөн тодорхой байдлын тухай, өөр юу ч биш.
2) "x" аргумент нь хандлагатай байж болно дурын үнэ цэнэ(зөвхөн тэг хүртэл биш эсвэл), ялангуяа "хасах хязгааргүй" эсвэл хэн чхязгаарлагдмал тоо.
Энэ томъёог ашиглан та хичээл дээрх бүх жишээг шийдэж чадна. Гайхамшигтай хязгаарууд, 2-р гайхалтай хязгаарт хамаарах. Жишээлбэл, хязгаарыг тооцоолъё:
Энэ тохиолдолд 
, мөн томъёоны дагуу 
:
Үнэн, би үүнийг хийхийг зөвлөдөггүй, хэрэв үүнийг ашиглах боломжтой бол шийдлийн "ердийн" загварыг ашиглах болно. Гэсэн хэдий ч томъёог ашиглан шалгахад маш тохиромжтой"сонгодог" жишээнүүд нь 2-р гайхалтай хязгаар юм.
Энэ бүхэн сайн бөгөөд зөв боловч одоо хүрээн дээр илүү сонирхолтой зургууд гарч ирэв.
Жишээ 18
Хязгаарыг тооцоолох 
Эхний алхамд би давтахаас залхахгүй, бид "x" утгыг хязгаарын тэмдгийн доорх илэрхийлэлд орлуулна. Хэрэв тодорхойгүй байдал огт байхгүй бол яах вэ? Энэ нь тохиолддог! Гэхдээ энэ удаад биш. "Гурав" -ыг орлуулснаар бид энд тодорхойгүй байна гэсэн дүгнэлтэд хүрч байна
Бид томъёог ашигладаг
"e" үсгийг өөртэйгөө хамт чирэхгүй, жижигрүүлэхгүйн тулд заагч 
Тус тусад нь тооцоолох нь илүү тохиромжтой:
Энэ тохиолдолд: 
Тиймээс:
Тооцооллын технологийн үүднээс авч үзвэл бүх зүйл ердийн зүйл юм: эхлээд бид эхний гишүүнийг нийтлэг хуваагч болгон бууруулж, дараа нь тогтмолуудыг гаргаж, 0: 0-ийн тодорхойгүй байдлаас ангижрах ажлыг хийдэг.
Үүний үр дүнд: 
Логарифмын зөрүү ба тодорхойгүй байдал бүхий амласан бэлэг:
Жишээ 19
Хязгаарыг тооцоолох
Эхлээд бүрэн шийдэл, дараа нь тайлбар: 
(1)-(2) Эхний хоёр алхамд бид томъёог ашигладаг 
. У нарийн төвөгтэй деривативуудБид логарифмуудыг "унадаг" боловч энд эсрэгээр тэдгээрийг "угсрах" хэрэгтэй.
(3) Хязгаарын дүрсийг логарифмын доор шилжүүлнэ үү. Энэ логарифм учраас үүнийг хийж болно тасралтгүй"хасах хязгааргүй" хүртэл. Нэмж дурдахад, хязгаар нь логарифмын "бөглөх" гэсэн үг юм.
(4)-(5) Үндсэн хичээлээр хэлэлцсэн стандарт техник гайхалтай хязгаарууд, бид тодорхойгүй байдлыг хэлбэрт шилжүүлдэг.
(6) Бид томъёог ашигладаг .
(7) Экспоненциал ба логарифм функцууд харилцан байна урвуу функцууд, тиймээс “e” болон логарифмыг хоёуланг нь арилгаж болно. Үнэхээр логарифмын шинж чанарын дагуу: . Бид хуваарьт бутархайн өмнөх хасахыг нэмнэ: 
(8) Сэтгэгдэл байхгүй =)
Хязгаарлалтын төрөл нь тийм ч ховор биш бөгөөд би 30-40 жишээг олсон.
Жишээ 20
Хязгаарыг тооцоолох 
Энэ бол жишээ юм бие даасан шийдвэр. Томьёог ашиглахаас гадна та хязгаарыг дараах байдлаар илэрхийлж болно 
мөн солих замаар хэргийн шийдлийг багасгах 
.
Эцэст нь хэлэхэд, "хуурамч" хязгаарлалтыг харцгаая.
Тодорхойгүй байдал руугаа буцъя. Энэ тодорхойгүй байдал үргэлж биштодорхой бус байдал болгон бууруулж, хоёр дахь гайхалтай хязгаар буюу үр дүнгийн томъёог ашиглаж болно. Хэрэв өөрчлөлт хийх боломжтой бол суурийн хуваагч ба хуваагч - тэнцүүхязгааргүй том функцууд. Жишээ нь: .
Заагчаас завсарлага аваад суурийн хязгаарыг тооцоолъё. 
Хүлээн авсан хязгаарт нэгж, энэ нь тоологч ба хуваагч гэсэн утгатай өсөлтийн дарааллаар зогсохгүй мөн адил тэнцүү байна. Ангид Гайхалтай хязгаарлалтууд. Шийдлийн жишээБид энэ жишээг тодорхойгүй байдалд хялбархан буулгаж, хариултыг авсан.
Та ижил төстэй олон хязгаарлалтуудыг гаргаж ирж болно:
гэх мэт.
Эдгээр жишээнүүдийн бутархай хэсгүүдийг дээрх шинж чанараар нэгтгэдэг: . Бусад тохиолдолд тодорхойгүй байдал байгаа бол Хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг ашиглах боломжгүй.
Жишээ 21
Хязгаарыг олох
Хичнээн хичээсэн ч тодорхойгүй байдлыг тодорхой бус байдал болгон хувиргаж чадахгүй
Суурийн тоо болон хуваагчийг энд оруулав өсөлтийн дараалал ижил, гэхдээ тэнцүү биш: 
.
Тиймээс хоёр дахь гайхалтай хязгаар, ялангуяа томъёо нь ХЭРЭГЖҮҮЛЭХ БОЛОМЖГҮЙ.
! Анхаарна уу: Суурийн хуваагч ба хуваагч нь тэнцүү биш жишээ №18-тай андуурч болохгүй. Бэлэн тодорхойгүй байдал байгаа ч энд тодорхойгүй байдлын тухай ярьж байна.
"Хуурамч" хязгаарыг шийдэх арга нь энгийн бөгөөд тэмдэгт юм: танд тоологч ба хуваагч хэрэгтэй. үндэслэл"x"-д хамгийн их хэмжээгээр хуваана (экспонентээс үл хамааран):
Хэрэв суурийн тоологч ба хуваагч нь өсөлтийн өөр дараалалтай бол шийдэл нь яг ижил байна.
Жишээ 22
Хязгаарыг олох 
Эдгээр нь бие даан суралцах богино жишээ юм
Заримдаа тодорхойгүй байдал огт байхгүй байж болно:
Ийм заль мэхийг Кузнецовын цуглуулгыг эмхэтгэгчид их хайрладаг. Тийм ч учраас эхний алхам дахь хязгаарын тэмдгийн доорх илэрхийлэлд "x"-ийг ҮРГЭЛЖ орлуулах нь маш чухал юм!
Жишээ 2
Тоолуурын үндсэн зэрэг: 2; хуваагчийн дээд зэрэг: 3.
:
Жишээ 4
Тоолуур ба хуваагчийг хуваа :
Анхаарна уу
: хамгийн сүүлчийн үйлдэл нь тоо болон хуваагчийг үржүүлэх явдал байв хуваагч дахь үндэслэлгүй байдлаас ангижрах.
Жишээ 6
Тоолуур ба хуваагчийг хуваа :
Жишээ 8
Тоолуур ба хуваагчийг хуваа :
Анхаарна уу
: нэр томъёо -аас удаашрах хандлагатай байна , Тийм учраас нь хуваагчийн “үндсэн” тэг юм.
.
Жишээ 22
Анхаарна уу
: эцэс төгсгөлгүй жижиг функц
-аас удаашрах хандлагатай байна , тэгэхээр хуваагчийн "том" тэг нь шийдвэрлэх үүрэг гүйцэтгэдэг.
Функцийн дериватив нь хол унахгүй бөгөөд L'Hopital-ийн дүрмийн хувьд анхны функц унасан газарт яг унадаг. Энэ нөхцөл байдал нь 0/0 эсвэл ∞/∞ хэлбэрийн тодорхойгүй байдал болон тооцоолоход үүсдэг бусад тодорхой бус байдлыг илрүүлэхэд тусалдаг. хязгаархоёр хязгааргүй жижиг эсвэл хязгааргүй том функцийн хамаарал. Энэ дүрмийг ашиглан тооцооллыг маш хялбаршуулсан болно (үнэндээ хоёр дүрэм ба тэдгээрийн тэмдэглэл):
Дээрх томъёоноос харахад хоёр хязгааргүй жижиг эсвэл хязгааргүй том функцийн харьцааны хязгаарыг тооцоолохдоо хоёр функцийн харьцааны хязгаарыг тэдгээрийн харьцааны хязгаараар сольж болно. деривативуудулмаар тодорхой үр дүнд хүрнэ.
L'Hopital-ийн дүрмийн илүү нарийн томъёолол руу шилжье.
Хязгааргүй хоёр хэмжигдэхүүний хязгаарын тухай Л'Хопиталын дүрэм. Функцуудыг зөвшөөр е(x) Мөн g(x а. Тэгээд яг тэр мөчид а афункцийн дериватив g(x) тэг биш ( g"(x ахоорондоо тэнцүү ба тэгтэй тэнцүү байна:
.
Хоёр хязгааргүй их хэмжээний хязгаарын тухай L'Hopital дүрэм. Функцуудыг зөвшөөр е(x) Мөн g(x) цэгийн зарим хөршид дериватив (өөрөөр хэлбэл ялгах боломжтой) байна а. Тэгээд яг тэр мөчид атэд деривативгүй байж болно. Түүнээс гадна цэгийн ойролцоо афункцийн дериватив g(x) тэг биш ( g"(x)≠0) ба эдгээр функцүүдийн хязгаар нь x цэг дээрх функцийн утга руу чиглэдэг. ахоорондоо тэнцүү ба хязгааргүйтэй тэнцүү байна:
.
Дараа нь эдгээр функцүүдийн харьцааны хязгаар нь тэдгээрийн деривативуудын харьцааны хязгаартай тэнцүү байна.
Өөрөөр хэлбэл, 0/0 эсвэл ∞/∞ хэлбэрийн тодорхойгүй байдлын хувьд хоёр функцийн харьцааны хязгаар нь хэрэв сүүлийнх нь байгаа бол тэдгээрийн деривативуудын харьцааны хязгаартай тэнцүү байна (хязгаарлагдмал, өөрөөр хэлбэл тодорхой тоо, эсвэл хязгааргүй, өөрөөр хэлбэл хязгааргүйтэй тэнцүү).
Тэмдэглэл.
1. Функц ажиллах үед L'Hopital-ийн дүрэм мөн хамаарна е(x) Мөн g(x) хэзээ тодорхойлогдоогүй x = а.
2. Хэрэв функцын деривативын харьцааны хязгаарыг тооцохдоо е(x) Мөн g(x) бид дахин 0/0 эсвэл ∞/∞ хэлбэрийн тодорхойгүй байдалд хүрвэл L'Hôpital-ийн дүрмийг дахин дахин (дор хаяж хоёр удаа) хэрэглэх ёстой.
3. Функцийн аргумент (x) нь хязгаарлагдмал тоо руу чиглээгүй тохиолдолд L'Hopital-ийн дүрэм мөн хамаарна. а, мөн хязгааргүй хүртэл ( x → ∞).
Бусад төрлийн тодорхойгүй байдлыг мөн 0/0 ба ∞/∞ төрлийн тодорхойгүй байдал болгон бууруулж болно.
"Тэгийг тэгээр хуваасан" ба "хязгааргүйг хязгааргүй хуваасан" төрлийн тодорхойгүй байдлын тодруулга.
Жишээ 1.
x=2 нь 0/0 хэлбэрийн тодорхойгүй байдалд хүргэдэг. Тиймээс функц бүрийн деривативыг олж авна
Олон гишүүнтийн деривативыг тоологчоор, харин хуваарьт - нийлмэл логарифм функцийн дериватив. Сүүлчийн тэнцүү тэмдгийн өмнө ердийн хязгаар, X-ийн оронд хоёрыг орлуулах.
Жишээ 2. L'Hopital-ийн дүрмийг ашиглан хоёр функцийн харьцааны хязгаарыг тооцоол.
Шийдэл. Өгөгдсөн функцэд утгыг орлуулах x
Жишээ 3. L'Hopital-ийн дүрмийг ашиглан хоёр функцийн харьцааны хязгаарыг тооцоол.
Шийдэл. Өгөгдсөн функцэд утгыг орлуулах x=0 нь 0/0 хэлбэрийн тодорхойгүй байдалд хүргэдэг. Тиймээс бид тоологч ба хуваагч дахь функцүүдийн деривативуудыг тооцоод дараахь зүйлийг авна.
Жишээ 4.Тооцоол
Шийдэл. Өгөгдсөн функцэд хязгааргүйтэй тэнцүү x утгыг орлуулах нь ∞/∞ хэлбэрийн тодорхойгүй байдалд хүргэдэг. Тиймээс бид L'Hopital-ийн дүрмийг баримтална:
Сэтгэгдэл. Эхний деривативуудын харьцааны хязгаар нь 0 хэлбэрийн тодорхойгүй байдал тул L'Hopital-ийн дүрмийг хоёр удаа хэрэглэх, өөрөөр хэлбэл, хоёр дахь деривативуудын харьцааны хязгаарт хүрэх жишээнүүд рүү шилжье. /0 эсвэл ∞/∞.
"Хязгааргүйг тэг дахин үржүүлэх" хэлбэрийн тодорхой бус байдлыг илрүүлэх
Жишээ 12.Тооцоол
.
Шийдэл. Бид авдаг
Энэ жишээнд тригонометрийн таних тэмдэг ашигладаг.
"Тэгээс тэг хүртэл", "хязгааргүй нь тэгтэй тэнцүү", "хязгааргүй байдлын нэг" гэсэн төрлүүдийн тодорхойгүй байдлын тодруулга.
Маягтын тодорхойгүй байдал , эсвэл ихэвчлэн 0/0 эсвэл ∞/∞ хэлбэрийн функцийн логарифмыг авах замаар багасгадаг.
Илэрхийллийн хязгаарыг тооцоолохын тулд та логарифмын шинж чанарыг ашиглах хэрэгтэй бөгөөд үүний онцгой тохиолдол нь логарифмын шинж чанар юм. 
.
Логарифмын ижилсэл ба функцийн тасралтгүй байдлын шинж чанарыг ашиглан (хязгаарын тэмдгийг нэвтрүүлэх) хязгаарыг дараах байдлаар тооцоолно.
Тус тусад нь экспонент дахь илэрхийллийн хязгаарыг олж, бүтээх хэрэгтэй долсон хэмжээнд хүртэл.
Жишээ 13.
Шийдэл. Бид авдаг
.
.
Жишээ 14. L'Hopital-ийн дүрмийг ашиглан тооцоол
Шийдэл. Бид авдаг
Экспонент дахь илэрхийллийн хязгаарыг тооцоол
.
.
Жишээ 15. L'Hopital-ийн дүрмийг ашиглан тооцоол
Өмнөх нийтлэлд бид энгийн функцүүдийн хязгаарыг хэрхэн зөв тооцоолох талаар ярилцсан. Хэрэв бид илүү ихийг авбал нарийн төвөгтэй функцууд, дараа нь бидний тооцоололд тодорхойгүй утгатай илэрхийллүүд байх болно. Тэдгээрийг тодорхойгүй байдал гэж нэрлэдэг.
Тодорхойгүй байдлын дараах үндсэн төрлүүдийг ялгаж үздэг.
- 0-ийг 0-д хуваана 0 0 ;
- Нэг хязгааргүйг нөгөөд хуваах ∞ ∞;
- ∞ 0 тэг хүчин чадал хүртэл нэмэгдүүлсэн хязгааргүй .
0-ийг тэг хүртэл өсгөсөн 0 0 ;
Бид бүх гол тодорхойгүй зүйлсийг жагсаасан. Бусад илэрхийлэл нь янз бүрийн нөхцөлд хязгаарлагдмал эсвэл хязгааргүй утгыг авч болох тул тодорхой бус байдал гэж үзэх боломжгүй.
Тодорхой бус байдлыг илрүүлэх
Тодорхой бус байдлыг дараахь байдлаар шийдэж болно.
- Функцийн хэлбэрийг хялбарчлах замаар (товчилсон үржүүлэх томъёог ашиглан, тригонометрийн томъёо, нийлмэл илэрхийллээр нэмэлт үржүүлэх, дараа нь багасгах гэх мэт);
Гайхамшигтай хязгаарын тусламжтайгаар;
L'Hopital-ийн дүрмийг ашиглах;
Нэг хязгааргүй жижиг илэрхийлэлийг түүнтэй адилтгах илэрхийллээр солих замаар (дүрмээр бол энэ үйлдлийг хязгааргүй жижиг илэрхийллийн хүснэгт ашиглан гүйцэтгэдэг).
Дээр дурдсан бүх мэдээллийг хүснэгт хэлбэрээр тодорхой зааж өгч болно. Зүүн талд нь тодорхойгүй байдлын төрлийг, баруун талд нь үүнийг илчлэх тохиромжтой аргыг (хязгаарыг олох) харуулж байна. Энэ хүснэгт нь хязгаарыг олохтой холбоотой тооцоололд ашиглахад маш тохиромжтой.
| Тодорхой бус байдал | Тодорхой бус байдлыг тодруулах арга |
| 1. 0-ийг 0-д хуваа | Илэрхийлэлийг хувиргах, дараа нь хялбаршуулах. Хэрэв илэрхийлэл нь sin (k x) k x эсвэл k x sin (k x) бол та эхний гайхалтай хязгаарыг ашиглах хэрэгтэй. Хэрэв энэ шийдэл тохиромжгүй бол бид L'Hopital-ийн дүрэм эсвэл түүнтэй адилтгах хязгааргүй бага илэрхийллийн хүснэгтийг ашиглана. |
| 2. Хязгааргүйг хязгааргүйд хуваах | Илэрхийллийг хувиргах, хялбаршуулах эсвэл L'Hopital-ийн дүрмийг ашиглах |
| 3. Тэгийг хязгааргүй үржүүлэх эсвэл хоёр хязгаарын зөрүүг олох | 0 0 эсвэл ∞ ∞ болгон хувиргасны дараа L'Hopital-ийн дүрмийг хэрэгжүүлнэ. |
| 4. Хязгааргүйн хүчний нэгж | Хоёр дахь их хязгаарыг ашиглах |
| 5. Тэг буюу хязгааргүйг тэг хүч хүртэл өсгөх | lim x → x 0 ln (f (x)) = ln lim x → x 0 f (x) тэгш байдлыг ашиглан илэрхийллийн логарифмыг авах. |
Хэд хэдэн асуудлыг авч үзье. Эдгээр жишээнүүд нь маш энгийн: тэдгээрийн хариултыг утгыг орлуулсны дараа шууд олж авдаг бөгөөд тодорхой бус байдал байхгүй.
Жишээ 1
lim x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 хязгаарыг тооцоол.
Шийдэл
Бид үнэ цэнийг орлуулах ажлыг хийж, хариултыг авдаг.
lim x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 = 1 3 + 3 1 - 1 1 5 + 3 = 3 4 = 3 2
Хариулт: lim x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 = 3 2 .
Жишээ 2
lim x → 0 (x 2 + 2 , 5) 1 x 2 хязгаарыг тооцоол.
Шийдэл
Бид экспоненциал чадлын функцтэй бөгөөд үүний үндсэн дээр бид x = 0-ийг орлуулах хэрэгтэй.
(x 2 + 2, 5) x = 0 = 0 2 + 2, 5 = 2, 5
Энэ нь бид хязгаарыг дараах илэрхийлэл болгон хувиргаж чадна гэсэн үг юм.
lim x → 0 (x 2 + 2, 5) 1 x 2 = lim x → 0 2, 5 1 x 2
Одоо индикаторыг харцгаая - чадлын функц 1 x 2 = x - 2. Хязгаарлалтын хүснэгтийг харцгаая эрчим хүчний функцуудтэгээс бага илтгэгчтэй бөгөөд бид дараахыг авна: lim x → 0 + 0 1 x 2 = lim x → 0 + 0 x - 2 = + ∞ ба lim x → 0 + 0 1 x 2 = lim x → 0 + 0 x - 2 = + ∞
Тиймээс бид lim x → 0 (x 2 + 2, 5) 1 x 2 = lim x → 0 2, 5 1 x 2 = 2, 5 + ∞ гэж бичиж болно.
Одоо бид 0-ээс их суурьтай экспоненциал функцүүдийн хязгаарын хүснэгтийг авч, бид дараахийг авна.
lim x → 0 (x 2 + 2, 5) 1 x 2 = lim x → 0 2, 5 1 x 2 = 2, 5 + ∞ = + ∞
Хариулт: lim x → 0 (x 2 + 2 , 5) 1 x 2 = + ∞ .
Жишээ 3
lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 хязгаарыг тооцоол.
Шийдэл
Бид үнэ цэнийг орлуулах ажлыг гүйцэтгэдэг.
lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 1 2 - 1 1 - 1 = 0 0
Үүний үр дүнд бид тодорхойгүй байдалд орлоо. Шийдлийн аргыг сонгохын тулд дээрх хүснэгтийг ашиглана уу. Энэ нь илэрхийлэлийг хялбарчлах шаардлагатай байгааг харуулж байна.
lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 0 0 = lim x → 1 (x - 1) (x + 1) x - 1 = = lim x → 1 (x - 1) (x + 1) · ( x + 1) x - 1 = lim x → 1 (x + 1) · x - 1 = = 1 + 1 · 1 - 1 = 2 · 0 = 0
Бидний харж байгаагаар хялбарчлах нь тодорхойгүй байдлыг илчлэхэд хүргэсэн.
Хариулт: lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 0
Жишээ 4
lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x хязгаарыг тооцоол.
Шийдэл
Бид утгыг орлуулж дараах оруулгыг авна.
lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = 3 - 3 12 - 3 - 6 + 3 = 0 9 - 9 = 0 0
Бид тэгийг тэгээр хуваах шаардлагад хүрсэн нь тодорхойгүй байдал юм. Хүснэгтэнд шаардлагатай шийдлийн аргыг авч үзье - энэ нь илэрхийлэлийг хялбаршуулах, хувиргах явдал юм. Тоолуур ба хуваагчийг 12 - x + 6 + x коньюгат илэрхийллээр нэмж үржүүлье.
lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = 0 0 = lim x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x - 6 + x 12 - x + 6 + x
Хуваагчийг үржүүлснээр та үржүүлэх товчилсон томъёог (квадратуудын ялгаа) ашиглан багасгаж болно.
lim x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x - 6 + x 12 - x + 6 + x = lim x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x 2 - 6 + x 2 = lim x → 3 (x - 3) 12 - x + 6 + x 12 - x - (6 + x) = = lim x → 3 (x - 3) 12 - x + 6 + x 6 - 2 x = lim x → 3 (x - 3) 12 - x + 6 + x - 2 (x - 3) = = lim x → 3 12 - x + 6 + x - 2 = 12 - 3 + 6 + 3 - 2 = 9 + 9 - 2 = - 9 = - 3
Бидний харж байгаагаар эдгээр үйлдлүүдийн үр дүнд бид тодорхойгүй байдлаас ангижрах боломжтой болсон.
Хариулт: lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = - 3 .
Иймэрхүү асуудлыг шийдвэрлэхэд үржүүлэх аргыг ихэвчлэн ашигладаг гэдгийг анхаарах нь чухал тул үүнийг яг яаж хийснийг санаж байхыг зөвлөж байна.
Жишээ 5
lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 хязгаарыг тооцоол.
Шийдэл
Бид орлуулалт хийдэг.
lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 1 2 + 2 1 - 3 3 1 2 - 5 1 + 2 = 0 0
Үүний үр дүнд бид тодорхойгүй байдалд орлоо. Энэ тохиолдолд асуудлыг шийдэх санал болгож буй арга бол илэрхийллийг хялбарчлах явдал юм. Учир нь x-ийн утга дээр, нэгтэй тэнцүү, тоологч ба хуваагч нь 0 болж хувирвал бид тэдгээрийг хүчин зүйл болгож, дараа нь x - 1-ээр багасгаж, дараа нь тодорхойгүй байдал арилна.
Бид тоологчийг хүчин зүйл болгон хуваадаг:
x 2 + 2 x - 3 = 0 D = 2 2 - 4 1 (- 3) = 16 ⇒ x 1 = - 2 - 16 2 = - 3 x 2 = - 2 + 16 2 = 1 ⇒ x 2 + 2 x - 3 = x + 3 x - 1
Одоо бид хуваагчтай ижил зүйлийг хийнэ:
3 x 2 - 5 x + 2 = 0 D = - 5 2 - 4 3 2 = 1 ⇒ x 1 = 5 - 1 2 3 = 2 3 x 2 = 5 + 1 2 3 = 1 ⇒ 3 x 2 - 5 x + 3 = 3 x - 2 3 x - 1
Бид дараах хэлбэрийн хязгаарыг авсан:
lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 0 0 = lim x → 1 x + 3 x - 1 3 x - 2 3 x - 1 = = lim x → 1 x + 3 3 x - 2 3 = 1 + 3 3 1 - 2 3 = 4
Бидний харж байгаагаар өөрчлөлтийн явцад бид тодорхойгүй байдлаас салж чадсан.
Хариулт: lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 4.
Дараа нь бид хүч чадлын илэрхийллээс хязгааргүй хязгаарын тохиолдлыг авч үзэх хэрэгтэй. Хэрэв эдгээр илэрхийлэлийн илтгэгч нь 0-ээс их байвал хязгааргүй дэх хязгаар нь мөн хязгааргүй байх болно. Энэ тохиолдолд хамгийн том зэрэг нь үндсэн ач холбогдолтой бөгөөд үлдсэнийг нь үл тоомсорлож болно.
Жишээлбэл, lim x → ∞ (x 4 + 2 x 3 - 6) = lim x → ∞ x 4 = ∞ эсвэл lim x → ∞ x 4 + 4 x 3 + 21 x 2 - 11 5 = lim x → ∞ x 4 5 = ∞.
Хэрэв хязгаарын тэмдгийн дор бид тоологч ба хуваагч дахь хүчний илэрхийлэл бүхий бутархай байгаа бол x → ∞ хувьд бид ∞ ∞ хэлбэрийн тодорхойгүй байдалтай байна. Энэ тодорхойгүй байдлаас ангижрахын тулд бид бутархайн хуваагч ба хуваагчийг x m a x (m, n) -д хуваах хэрэгтэй. Ийм асуудлыг шийдэх жишээг өгье.
Жишээ 6
lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 хязгаарыг тооцоол.
Шийдэл
lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = ∞ ∞
Тоолуур ба хувагчийн эрх 7-той тэнцүү байна. Тэдгээрийг x 7-д хувааж, дараахь зүйлийг авна.
lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 x 7 3 x 7 + 12 x 7 = = lim x → ∞ 1 + 2 x 2 - 4 x 7 3 + 12 x 7 = 1 + 2 ∞ 2 - 4 ∞ 7 3 + 12 ∞ 7 = 1 + 0 - 0 3 + 0 = 1 3
Хариулт: lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = 1 3 .
Жишээ 7
lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 хязгаарыг тооцоол.
Шийдэл
lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ ∞
Тоолуур нь 8 3, хуваагч нь 2 зэрэгтэй. Тоолуур ба хуваагчийг x 8 3-т хуваая:
lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ ∞ = lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 8 3 x 2 + x + 1 x 8 3 = = lim x → ∞ 1 + 11 x 8 3 1 x 2 3 + 1 x 5 3 + 1 x 8 3 = 1 + 11 ∞ 3 1 ∞ + 1 ∞ + 1 ∞ = 1 + 0 3 0 + 0 + 0 = 1 0 = ∞
Хариулт: lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ .
Жишээ 8
lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 хязгаарыг тооцоол.
Шийдэл
lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = ∞ ∞
Бидэнд 3-ын зэрэглэлийн хуваагч, 10 3-ын зэрэглэлийн хуваагч байна. Энэ нь бид тоологч ба хуваагчийг x 10 3-т хуваах хэрэгтэй гэсэн үг юм.
lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = ∞ ∞ = lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 3 x 10 + 56 x 7 + 12 3 x 10 3 = = lim x → ∞ 1 x 1 3 + 2 x 4 3 - 1 x 10 3 1 + 56 x 3 + 12 x 10 3 = 1 ∞ + 2 ∞ - 1 ∞ 1 + 56 ∞ + 12 = ∞ 0 + 0 - 0 1 + 0 + 0 3 = 0
Хариулт: lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = 0.
Дүгнэлт
Харьцааны хязгаарлалтын хувьд гурван үндсэн сонголт байна.
Хэрэв тоологчийн зэрэг нь хуваагчийн зэрэгтэй тэнцүү бол хязгаар нь дээд хүчний коэффициентүүдийн харьцаатай тэнцүү байх болно.
Хэрэв тоологчийн зэрэг нь хуваагчаас их байвал хязгаар нь хязгааргүйтэй тэнцүү байна.
Хэрэв тоологчийн зэрэг нь хуваагчаас бага байвал хязгаар нь тэг болно.
Тодорхой бус байдлыг илчлэх бусад аргуудыг бид тусдаа өгүүллээр авч үзэх болно.
Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу
ХИЧЭЭЛ 20
20.1 ЗҮЙЛИЙН ТОДОРХОЙГҮЙ БАЙДЛЫГ ТОДОРХОЙЛУУЛАХ
Жишээ 1
Хязгаарыг шийдэх 
Эхлээд бутархайд -1-ийг орлуулахыг оролдъё. 
Энэ тохиолдолд тодорхойгүй байдал гэж нэрлэгддэг зүйлийг олж авдаг.
Ерөнхий дүрэм:Хэрэв тоологч ба хуваагч нь олон гишүүнт агуулж байгаа бөгөөд хэлбэр нь тодорхойгүй байвал түүнийг илчлэх та тоо болон хуваагчийг үржүүлэх хэрэгтэй.
Үүнийг хийхийн тулд ихэвчлэн квадрат тэгшитгэлийг шийдэх ба/эсвэл үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглах шаардлагатай болдог.
Тоолуурыг үржвэр болгоё. 
Жишээ 2
Хязгаарыг тооцоолох 
Тоолуур ба хуваагчийг үржүүлье.
Тоологч: хуваагч: 
,
Тоолуур ба хуваагчийг нэгтгэсэн илэрхийллээр үржүүлэх арга
Бид маягтын тодорхой бус байдлыг үргэлжлүүлэн авч үздэг
Дараагийн төрлийн хязгаарлалт нь өмнөх төрлийнхтэй төстэй. Цорын ганц зүйл бол олон гишүүнтээс гадна бид үндэс нэмэх болно.
Жишээ 3
Хязгаарыг ол 
Тоолуур ба хуваагчийг нэгтгэсэн илэрхийллээр үржүүлнэ.
20.2 ЗҮЙЛИЙН ТОДОРХОЙГҮЙ БАЙДЛЫГ ТОДОРХОЙЛУУЛАХ
Одоо бид тоо болон хуваагч нь олон гишүүнт агуулсан бутархай байх үед хязгаарын бүлгийг авч үзэх болно.
Жишээ 4
Хязгаарыг тооцоолох 
Манай дүрмийн дагуу бид функцэд хязгааргүйг орлуулахыг хичээх болно. Бид дээд талд юу авах вэ? Хязгааргүй байдал. Тэгээд доор юу болох вэ? Мөн хязгааргүй. Тиймээс бидэнд зүйлийн тодорхойгүй байдал гэж нэрлэгддэг зүйл бий. Хариулт нь бэлэн болсон гэж бодож болох ч ерөнхий тохиолдолд энэ нь огт тийм биш бөгөөд бид одоо авч үзэх зарим шийдлийн аргыг ашиглах шаардлагатай байна.
Энэ төрлийн хязгаарлалтыг хэрхэн шийдвэрлэх вэ?
Эхлээд бид тоологчийг хараад хамгийн их хүчийг олно. 
Тоолуур дахь тэргүүлэх хүч нь хоёр байна.
Одоо бид хуваагчийг хараад хамгийн дээд хүчийг олно. 
Хуваарийн дээд зэрэг нь хоёр байна.
Дараа нь бид тоологч ба хуваагчийн хамгийн дээд хүчийг сонгоно: энэ жишээнд тэдгээр нь ижил бөгөөд хоёртой тэнцүү байна.
Тиймээс, шийдвэрлэх арга нь дараах байдалтай байна. тодорхойгүй байдлыг илчлэхта тоо болон хуваагчийг хуваах хэрэгтэйахлах зэрэгт.
Тоолуур ба хуваагчийг хуваа 
Хариулт нь энд байгаа бөгөөд энэ нь хязгааргүй биш юм.
Шийдвэр гаргахад юу чухал вэ?
Нэгдүгээрт, хэрэв байгаа бол бид тодорхойгүй байдлыг илэрхийлнэ.
Хоёрдугаарт, завсрын тайлбар хийх шийдлийг тасалдуулах нь зүйтэй. Би ихэвчлэн тэмдгийг ашигладаг, энэ нь математикийн ямар ч утгагүй, гэхдээ завсрын тайлбарын хувьд шийдэл нь тасалдсан гэсэн үг юм.
Гуравдугаарт, хязгаарт юу хаашаа явж байгааг тэмдэглэхийг зөвлөж байна. Ажлыг гараар зурсан тохиолдолд дараах байдлаар хийх нь илүү тохиромжтой. 
Тэмдэглэл бичихдээ энгийн харандаа ашиглах нь дээр.
Мэдээжийн хэрэг, та эдгээрийн аль нэгийг нь хийх шаардлагагүй, гэхдээ дараа нь багш шийдлийн дутагдлыг зааж өгөх эсвэл даалгаврын талаар нэмэлт асуулт асууж эхлэх болно. Танд хэрэгтэй юу?
Жишээ 5
Хязгаарыг ол 
Дахин тоологч ба хуваагчаас бид хамгийн өндөр зэрэгтэй байна: 
Тоолуур дахь хамгийн их зэрэг: 3 Хуваагч дахь хамгийн их зэрэг: 4 Сонго хамгийн агууүнэ цэнэ, энэ тохиолдолд дөрөв. Бидний алгоритмын дагуу тодорхойгүй байдлыг илрүүлэхийн тулд бид тоологч ба хуваагчийг хуваадаг. Бүрэн даалгавар дараах байдлаар харагдаж болно.
Жишээ 6
Хязгаарыг ол 
Тоолуур дахь "Х"-ийн хамгийн их зэрэг: 2 Хуваалтын "Х"-ийн хамгийн их зэрэг: 1 (ингэж бичиж болно) Тодорхой бус байдлыг илрүүлэхийн тулд тоологч ба хуваагчийг хуваах шаардлагатай. Эцсийн шийдэл нь дараах байдлаар харагдаж болно.
Тоолуур ба хуваагчийг хуваа
Тэмдэглэгээ нь тэгээр хуваагдах гэсэн үг биш (та тэгээр хувааж болохгүй), харин хязгааргүй цөөн тоогоор хуваагдана.
Тиймээс, төрөл зүйлийн тодорхойгүй байдлыг илрүүлснээр бид үүнийг хийж чадна эцсийн тоо, тэг эсвэл хязгааргүй.
ПРАКТИКУМ 20
ДААЛГАВАР N 1
Шийдэл:Хэрэв бид хувьсагчийн оронд түүний хандлагатай 7 утгыг тавьсан бол бид маягтын тодорхойгүй байдлыг олж авна. 
ДААЛГАВАР N 2Сэдэв: "Тэгээс тэг" төрлийн тодорхойгүй байдлын тодруулга
Шийдэл:Хэрэв бид хувьсагчийн оронд түүний хандлагатай 0 утгыг өгвөл бид маягтын тодорхойгүй байдлыг олж авна.
ДААЛГАВАР N 3Сэдэв: "Тэгээс тэг" төрлийн тодорхойгүй байдлын тодруулга
Шийдэл:Хэрэв бид хувьсагчийн оронд түүний хандлагатай 6 утгыг тавьбал бид маягтын тодорхойгүй байдлыг олж авна.
ДААЛГАВАР № 4
Шийдэл:Учир нь 
Тэгээд 
ДААЛГАВАР N 5Сэдэв: "Хязгааргүйгээс хязгааргүй" хэлбэрийн тодорхойгүй байдлын тодруулга
Шийдэл:Учир нь 
Тэгээд 
Дараа нь хэлбэрийн тодорхойгүй байдал байгаа бөгөөд үүнийг илрүүлэхийн тулд та тоологч ба хуваагчийн гишүүн бүрийг хуваах хэрэгтэй. Дараа нь бид юу авахаа мэдэж байна: 
БИЕ ДААХ АЖИЛ 20
ДААЛГАВАР N 1Сэдэв: "Тэгээс тэг" төрлийн тодорхойгүй байдлын тодруулга
ДААЛГАВАР N 2Сэдэв: "Тэгээс тэг" төрлийн тодорхойгүй байдлын тодруулга
ДААЛГАВАР N 3Сэдэв: "Тэгээс тэг" төрлийн тодорхойгүй байдлын тодруулга
ДААЛГАВАР № 4Сэдэв: "Хязгааргүйгээс хязгааргүй" хэлбэрийн тодорхойгүй байдлын тодруулга
ДААЛГАВАР N 5Сэдэв: "Хязгааргүйгээс хязгааргүй" хэлбэрийн тодорхойгүй байдлын тодруулгаФункцийн хязгаар 
тэнцүү...
ДААЛГАВАР № 6Сэдэв: "Хязгааргүйгээс хязгааргүй" хэлбэрийн тодорхойгүй байдлын тодруулга
Хязгаарлалт нь бүх математикийн оюутнуудад маш их бэрхшээл учруулдаг. Хязгаарыг шийдэхийн тулд заримдаа маш олон заль мэх хэрэглэж, янз бүрийн шийдлийн аргуудаас яг тодорхой жишээнд тохирохыг нь сонгох хэрэгтэй болдог.
Энэ нийтлэлд бид таны чадварын хязгаарыг ойлгох, хяналтын хязгаарыг ойлгоход туслахгүй, гэхдээ бид дээд математикийн хязгаарыг хэрхэн ойлгох вэ гэсэн асуултанд хариулахыг хичээх болно. Ойлголт нь туршлагаас ирдэг тул бид тайлбартай хязгаарлалтыг шийдвэрлэх хэд хэдэн дэлгэрэнгүй жишээг өгөх болно.
Математик дахь хязгаарын тухай ойлголт
Эхний асуулт бол энэ хязгаар юу вэ, юуны хязгаар вэ? Бид тоон дараалал, функцүүдийн хязгаарын талаар ярьж болно. Энэ нь оюутнуудад хамгийн их тулгардаг тул функцийн хязгаарын тухай ойлголтыг бид сонирхож байна. Гэхдээ эхлээд хязгаарын хамгийн ерөнхий тодорхойлолт:
Зарим нэг хувьсах утга байна гэж бодъё. Хэрэв өөрчлөлтийн явцад энэ утга нь тодорхой тоонд хязгааргүй ойртвол а , Тэр а - энэ утгын хязгаар.
Тодорхой интервалд тодорхойлсон функцийн хувьд f(x)=y ийм тоог хязгаар гэж нэрлэдэг А , аль функц нь хэзээ рүү чиглэдэг X , тодорхой цэг рүү тэмүүлэх А . Цэг А функц тодорхойлогдсон интервалд хамаарна.
Энэ нь төвөгтэй сонсогдож байгаа ч маш энгийнээр бичсэн байна:
Лим- англи хэлнээс хязгаар- хязгаар.
Хязгаарыг тодорхойлох геометрийн тайлбар бас байдаг, гэхдээ бид асуудлын онолын талаас илүүтэйгээр практик талыг илүү сонирхож байгаа тул онолыг судлахгүй. Бид ингэж хэлэхэд X ямар нэг утга руу чиглэдэг, энэ нь хувьсагч нь тооны утгыг авахгүй, харин түүнд хязгааргүй ойртдог гэсэн үг юм.
Тодорхой жишээ хэлье. Даалгавар бол хязгаарыг олох явдал юм.
Энэ жишээг шийдэхийн тулд бид утгыг орлуулна x=3 функц болгон хувиргана. Бид авах:
Дашрамд хэлэхэд, хэрэв та матрицын үндсэн үйлдлүүдийг сонирхож байгаа бол энэ сэдвээр тусдаа өгүүллийг уншина уу.
Жишээнүүдэд X ямар ч үнэ цэнэд хандах боломжтой. Энэ нь ямар ч тоо эсвэл хязгааргүй байж болно. Хэзээ гэсэн жишээ энд байна X хязгааргүй хандлагатай:
Зөн совингийн хувьд хуваагч дахь тоо их байх тусам функц бага байх болно. Тиймээс, хязгааргүй өсөлттэй X утга учир 1/х буурч, тэг рүү ойртох болно.
Таны харж байгаагаар хязгаарыг шийдэхийн тулд та функцэд хичээх утгыг орлуулах хэрэгтэй. X . Гэсэн хэдий ч энэ бол хамгийн энгийн тохиолдол юм. Ихэнхдээ хязгаарыг олох нь тийм ч тодорхой биш байдаг. Хязгаарын дотор төрлийн тодорхойгүй байдал бий 0/0 эсвэл хязгааргүй/хязгааргүй . Ийм тохиолдолд юу хийх вэ? Заль мэх хийх!
Дотор нь тодорхойгүй байдал
Infinity/infinity хэлбэрийн тодорхойгүй байдал
Хязгаарлагдмал байцгаая:
Хэрэв бид функцэд хязгааргүйг орлуулахыг оролдвол тоологч болон хуваагчийн аль алинд нь төгсгөлгүй байх болно. Ерөнхийдөө ийм эргэлзээг арилгахад урлагийн тодорхой элемент байдаг гэдгийг хэлэх нь зүйтэй болов уу: та тодорхой бус байдлыг арилгахын тулд функцийг хэрхэн хувиргаж болохыг анзаарах хэрэгтэй. Манай тохиолдолд бид тоологч ба хуваагчийг хуваадаг X ахлах зэрэгт. Юу болох вэ?
Дээр дурдсан жишээнээс бид хуваагч дахь x-г агуулсан нэр томъёо тэг болох хандлагатай байгааг бид мэднэ. Дараа нь хязгаарлалтын шийдэл нь:
Төрөл бүрийн тодорхойгүй байдлыг шийдвэрлэх хязгааргүй/хязгааргүйтоологч ба хуваагчийг хуваана Xхамгийн дээд хэмжээнд хүртэл.
Дашрамд хэлэхэд! Уншигчиддаа зориулан 10%-ийн хямдрал зарлалаа ямар ч төрлийн ажил
Өөр нэг төрлийн тодорхойгүй байдал: 0/0
Ердийнх шигээ функцэд утгыг орлуулж байна x=-1 өгдөг 0 тоологч ба хуваарьт. Бага зэрэг анхааралтай ажиглавал бид тоологч дээр квадрат тэгшитгэл байгааг анзаарах болно. Үндэсийг нь олоод бичье:
Багасгаад авцгаая:
Тиймээс, хэрэв та тодорхой бус байдалтай тулгарвал 0/0 – тоологч ба хуваагчийг үржүүлнэ.
Жишээнүүдийг шийдвэрлэхэд хялбар болгохын тулд бид зарим функцийн хязгаар бүхий хүснэгтийг толилуулж байна.
Дотор нь L'Hopital-ийн дүрэм
Өөр хүчирхэг арга, хоёр төрлийн тодорхойгүй байдлыг арилгах боломжийг олгодог. Аргын мөн чанар юу вэ?
Хэрэв хязгаарт тодорхойгүй байдал байгаа бол тодорхойгүй байдал арилах хүртэл тоо болон хувагчийн деривативыг авна.
L'Hopital-ийн дүрэм дараах байдалтай байна.
Чухал цэг : хуваагч болон хуваагчийн үүсмэлүүд байх ёстой хязгаар.
Одоо - бодит жишээ:
Ердийн тодорхойгүй байдал байдаг 0/0 . Тоолуур ба хувагчийн деривативуудыг авч үзье.
Voila, тодорхойгүй байдлыг хурдан бөгөөд гоёмсог байдлаар шийддэг.
Та энэ мэдээллийг практикт ашигтайгаар ашиглаж, "Дээд математикийн хязгаарыг хэрхэн шийдвэрлэх вэ" гэсэн асуултын хариултыг олох болно гэдэгт найдаж байна. Хэрэв та цэг дээрх дарааллын хязгаар эсвэл функцийн хязгаарыг тооцоолох шаардлагатай бол энэ ажилд цаг хугацаа байхгүй бол мэргэжлийн оюутны үйлчилгээтэй холбогдож хурдан бөгөөд нарийвчилсан шийдлийг аваарай.
