Хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт a=3 ба стандарт хазайлт =5 өгөгдсөн.

Магадлалын тархалтын нягтыг бичиж, бүдүүвчээр зур.

(2;10) интервалаас x утга авах магадлалыг ол.

x нь 10-аас их утгыг авах магадлалыг ол.

Математикийн хүлээлттэй харьцуулахад тэгш хэмтэй интервалыг ол, үүнд x хэмжигдэхүүний утгууд =0.95 магадлалтай байх болно.

1). а=3, =5 параметртэй санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн тархалтын нягтын функцийг томъёогоор байгуулъя.

. Функцийн бүдүүвч графикийг байгуулъя
. Ердийн муруй нь x = 3 шулуунтай харьцуулахад тэгш хэмтэй бөгөөд энэ цэг дээр max нь тэнцүү байна гэдгийг анхаарцгаая.
, өөрөөр хэлбэл
ба хоёр гулзайлтын цэг
ординаттай

График байгуулъя

2) томъёог ашиглая:

Функцийн утгыг хэрэглээний хүснэгтээс олж болно.

4) Томьёог ашиглая
. Нөхцөлийн дагуу математикийн хүлээлттэй харьцуулахад тэгш хэмтэй интервалд унах магадлал
. Хүснэгтийг ашиглан Ф(t)=0.475, t=2 байх t-г олно. гэсэн үг
. Тиймээс,
. Хариулт нь x(-1;7).

31-40-р асуудалд.

Хэвийн тархалттай X шинж чанарын үл мэдэгдэх математик хүлээлтийн a 0.95 найдвартай байх үнэлгээний итгэлийн интервалыг ол. хүн ам, хэрэв ерөнхий стандарт хазайлт =5 бол түүврийн дундаж
ба түүврийн хэмжээ n=25.

Бид итгэлийн интервалыг олох хэрэгтэй
.

t-ээс бусад бүх хэмжигдэхүүнүүд мэдэгдэж байна. Ф(t)=0.95/2=0.475 харьцаанаас t-г олъё. Хавсралтын хүснэгтийг ашиглан бид t=1.96-г олно. Орлуулснаар бид эцэст нь 12.04-ийн хүссэн итгэлийн интервалыг авдаг

41-50-р асуудалд.

Техникийн хяналтын хэлтэс нь ижил төрлийн 200 багц бүтээгдэхүүнийг шалгаж, дараах эмпирик хуваарилалтыг хүлээн авсан, n i - стандарт бус бүтээгдэхүүн агуулсан багцын тоо нь 0.05-ийн ач холбогдлын түвшинд байх ёстой гэсэн таамаглалыг шалгах шаардлагатай стандарт бус бүтээгдэхүүн X нь Пуассоны хуулийн дагуу хуваарилагдана.

Жишээ дундаж утгыг олъё:

Түүврийн дундаж =0.6-г Пуассоны тархалтын  параметрийн үнэлгээ болгон авч үзье. Тиймээс таамагласан Пуассоны хууль
шиг харагдаж байна
.

i=0,1,2,3,4 гэж тохируулснаар 200 багц дахь стандарт бус i бүтээгдэхүүн гарч ирэх магадлалыг P i олно.
,
,
,
,
.

Томъёог ашиглан онолын давтамжийг олъё
. Энэ томъёонд магадлалын утгыг орлуулснаар бид олж авна
,
,
,
,
.

Пирсон тестийг ашиглан эмпирик болон онолын давтамжийг харьцуулж үзье. Үүнийг хийхийн тулд бид тооцооллын хүснэгтийг бий болгоно. Жижиг давтамж (4+2=6) ба харгалзах онолын давтамжийг (3.96+0.6=4.56) нэгтгэж үзье.

Практикт олон тооны санамсаргүй хүчин зүйлсийн нөлөөнд автдаг ихэнх санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд магадлалын тархалтын хуулийг дагаж мөрддөг. Тиймээс магадлалын онолын янз бүрийн хэрэглээнд энэ хууль онцгой ач холбогдолтой юм.

$X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь магадлалын тархалтын нягт нь дараах хэлбэртэй байвал магадлалын тархалтын хуулинд захирагдана.

$$f\left(x\right)=((1)\over (\sigma \sqrt(2\pi )))e^(-(((\left(x-a\right))^2)\over ( 2(\sigma )^2)))$$

$f\left(x\right)$ функцийн графикийг зурагт бүдүүвчээр үзүүлсэн бөгөөд "Гаусын муруй" гэж нэрлэнэ. Энэ графикийн баруун талд еврог худалдаанд гаргахаас өмнө хэрэглэж байсан Германы 10 маркийн мөнгөн дэвсгэрт байна. Хэрэв та анхааралтай ажиглавал энэ мөнгөн дэвсгэрт дээр Гауссын муруй, түүнийг нээсэн хамгийн агуу математикч Карл Фридрих Гауссыг харж болно.

$f\left(x\right)$ нягтын функц руугаа буцаж $a,\ (\sigma )^2$ түгээлтийн параметрүүдийн талаар зарим тайлбар өгье. $a$ параметр нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудын тархалтын төвийг тодорхойлдог, өөрөөр хэлбэл математикийн хүлээлт гэсэн утгатай. $a$ параметр өөрчлөгдөж, $(\sigma )^2$ параметр өөрчлөгдөөгүй хэвээр байх үед бид $f\left(x\right)$ функцийн графикийн абсцисса дагуу шилжилтийг ажиглаж болно, харин нягтын график өөрөө хэлбэрээ өөрчилдөггүй.

$(\sigma )^2$ параметр нь дисперс бөгөөд $f\left(x\right)$ нягтын графикийн муруйн хэлбэрийг тодорхойлдог. $(\sigma )^2$ параметрийг $a$ параметрээр өөрчлөгдөөгүй үед бид нягтын график абсцисса тэнхлэгийн дагуу шилжихгүйгээр хэлбэрээ шахаж, сунах замаар хэрхэн өөрчлөгдөж байгааг ажиглаж болно.

Өгөгдсөн интервалд хэвийн тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн орох магадлал

Мэдэгдэж байгаагаар $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн $\left(\alpha;\ \beta \right)$ интервалд орох магадлалыг $P\left(\alpha) тооцоолж болно.< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:

$$P\left(\альфа< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$

Энд $\Phi \left(x\right)=((1)\over (\sqrt(2\pi )))\int^x_0(e^(-t^2/2)dt)$ функц нь Лаплас функц. Энэ функцийн утгыг -аас авсан болно. $\Phi \left(x\right)$ функцийн дараах шинж чанаруудыг тэмдэглэж болно.

1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, өөрөөр хэлбэл $\Phi \left(x\right)$ функц сондгой байна.

2 . $\Phi \left(x\right)$ нь нэг хэвийн өсөлттэй функц юм.

3 . $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) \Phi \left(x\right)\ )=0.5$, $(\mathop(lim)_(x\to -\infty) \ Phi \ зүүн(x\баруун)\ )=-0.5$.

$\Phi \left(x\right)$ функцийн утгыг тооцоолохын тулд Excel-ийн $f_x$ функцийг ашиглаж болно: $\Phi \left(x\right)=NORMDIST\left(x) ;0;1;1\баруун )-0.5$. Жишээлбэл, $\Phi \left(x\right)$ функцийн утгыг $x=2$-д тооцож үзье.

Ердийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X\in N\left(a;\ (\sigma )^2\right)$ математикийн хүлээлт $a$-тай харьцуулахад тэгш хэмтэй интервалд унах магадлалыг томъёогоор тооцоолж болно.

$$P\left(\left|X-a\right|< \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$

Гурван сигма дүрэм. Ердийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$ интервалд орох нь бараг тодорхой юм.

Жишээ 1 . $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь $a=2,\ \sigma =3$ параметр бүхий хэвийн магадлалын тархалтын хуульд захирагдана. $X$ $\left(0.5;1\right)$ интервалд орох магадлал болон $\left|X-a\right| тэгш бус байдлыг хангах магадлалыг ол.< 0,2$.

Томьёог ашиглах

$$P\left(\альфа< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$

бид $P\left(0.5;1\right)=\Phi \left(((1-2)\over (3))\right)-\Phi \left(((0.5-2)\(3)-аас дээш олно. ))\баруун)=\Phi \left(-0.33\баруун)-\Phi \left(-0.5\right)=\Phi \left(0.5\right)-\Phi \ left(0.33\баруун)=0.191- 0,129=0,062 доллар.

$$P\left(\left|X-a\right|< 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$

Жишээ 2 . Жилийн туршид тодорхой компанийн хувьцааны үнэ нь ердийн хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн байна гэж бодъё, математикийн хүлээлт нь 50 ердийн мөнгөн нэгжтэй тэнцэх, стандарт хазайлт нь 10-тай тэнцүү байна. Санамсаргүй түүврийн дагуу сонгох магадлал хэд вэ? Хэлэлцэж буй хугацааны өдөр урамшууллын үнэ нь:

a) 70 гаруй ердийн мөнгөн нэгж үү?

б) нэгж хувьцаанд 50-аас доош байх уу?

в) нэгж хувьцаанд 45-58 ердийн мөнгөн нэгжийн хооронд байх уу?

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь тодорхой компанийн хувьцааны үнэ байг. Нөхцөлөөр $X$ нь $a=50$ - математикийн хүлээлт, $\сигма =10$ - стандарт хазайлт гэсэн параметртэй хэвийн тархалтад хамаарна. Магадлал $P\left(\alpha< X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:

$$P\left(\альфа< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$

$$а)\ P\left(X>70\баруун)=\Phi \left(((\infty -50)\(10))\баруун)-\Phi \left(((70-50)\ дээш (10))\баруун)=0.5-\Phi \зүүн(2\баруун)=0.5-0.4772=0.0228.$$

$$b)\P\зүүн(X< 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$

$$in)\ P\left(45< X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$

Хэвийн магадлалын тархалтын хууль

Үүнийг хэтрүүлэлгүйгээр философийн хууль гэж хэлж болно. Бидний эргэн тойрон дахь ертөнцийн янз бүрийн объект, үйл явцыг ажиглахдаа ямар нэг зүйл хангалтгүй, хэм хэмжээ байдаг гэсэн баримттай байнга тулгардаг.


Энд үндсэн үзэл баримтлал байна нягтын функцуудхэвийн магадлалын тархалт, би таныг энэхүү сонирхолтой хичээлд урьж байна.

Та ямар жишээ өгч чадах вэ? Тэдэнд зүгээр л харанхуй байдаг. Энэ нь жишээлбэл, хүмүүсийн өндөр, жин (зөвхөн биш), тэдний бие бялдрын хүч чадал, оюун ухааны чадвар гэх мэт. "Үндсэн масс" байдаг. (нэг шалтгаанаар)мөн хоёр чиглэлд хазайлт байдаг.

Эдгээр нь амьгүй объектуудын өөр өөр шинж чанарууд юм (ижил хэмжээтэй, жин). Энэ бол үйл явцын санамсаргүй үргэлжлэх хугацаа, жишээлбэл, зуун метрийн уралдааны хугацаа эсвэл давирхайг хув болгон хувиргах хугацаа юм. Физикээс би агаарын молекулуудыг санаж байсан: тэдгээрийн зарим нь удаан, зарим нь хурдан байдаг, гэхдээ ихэнх нь "стандарт" хурдаар хөдөлдөг.

Дараа нь бид төвөөс өөр нэг стандарт хазайлтаар хазайж, өндрийг тооцоолно.

Зураг дээрх цэгүүдийг тэмдэглэх (ногоон)Энэ нь хангалттай гэдгийг бид харж байна.

Эцсийн шатанд графикийг сайтар зурж, мөн ялангуяа болгоомжтойүүнийг тусгана гүдгэр / хотгор! За, та x тэнхлэг гэдгийг аль эрт ойлгосон байх хэвтээ асимптот, мөн түүний ард "авирах" нь туйлын хориотой!

Шийдвэрийг цахим хэлбэрээр бөглөхдөө Excel дээр график үүсгэх нь амархан бөгөөд би гэнэтийн байдлаар энэ сэдвээр богино хэмжээний видео бичлэг хийсэн. Гэхдээ эхлээд ердийн муруйн хэлбэр нь ба гэсэн утгуудаас хамаарч хэрхэн өөрчлөгддөг талаар ярилцъя.

"a"-г нэмэгдүүлэх эсвэл багасгах үед (байнгын "сигма"-тай)график хэлбэрээ хадгалсан ба баруун/зүүн тийш хөдөлдөгтус тус. Тиймээс, жишээлбэл, функц нь хэлбэрийг авах үед Манай график 3 нэгж зүүн тийш "шилждэг" - яг координатын гарал үүсэл рүү:


Математикийн тэг хүлээлттэй хэвийн тархсан хэмжигдэхүүн нь бүрэн байгалийн нэрийг авсан - төвтэй; түүний нягтын функц – бүр, мөн график нь ординаттай харьцуулахад тэгш хэмтэй байна.

"Сигма" өөрчлөгдсөн тохиолдолд (тогтмол "a"-тай), график нь "хууль хэвээрээ" боловч хэлбэрээ өөрчилдөг. Томрвол наймалж тэмтрүүлээ тэнийлгэх шиг намхан, сунадаг. Мөн эсрэгээр, графикийг багасгах үед нарийсч, өндөр болдог- Энэ нь "гайхсан наймалж" болж хувирав. Тиймээ, хэзээ буурах"сигма" хоёр удаа: өмнөх график хоёр удаа нарийсч, сунгасан:

Бүх зүйл бүрэн нийцэж байна графикийн геометрийн хувиргалт.

Нэгж сигма утгатай хэвийн тархалтыг гэнэ хэвийн болгосон, мөн хэрэв байгаа бол төвтэй(бидний тохиолдол), тэгвэл ийм хуваарилалт гэж нэрлэгддэг стандарт. Энэ нь аль хэдийн олдсон илүү энгийн нягтын функцтэй Лапласын орон нутгийн теорем: . Стандарт түгээлт нь практикт өргөн хэрэглэгддэг бөгөөд тун удахгүй бид түүний зорилгыг ойлгох болно.

За одоо киногоо үзэцгээе:

Тийм ээ, туйлын зөв - ямар нэгэн байдлаар энэ нь сүүдэрт үлдэв магадлалын тархалтын функц. Түүнийг санацгаая тодорхойлолт:
- санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь бүх бодит утгыг "нэмэх" хязгаар хүртэл "дагадаг" хувьсагчаас БАГА утгыг авах магадлал.

Интеграл дотор ихэвчлэн өөр үсэг ашигладаг бөгөөд тэмдэглэгээтэй "давхцах" зүйл байхгүй, учир нь энд утга бүр нь дараахтай холбоотой байдаг. буруу интеграл , энэ нь заримтай тэнцүү байна тооинтервалаас.

Бараг бүх утгыг нарийн тооцоолох боломжгүй, гэхдээ бидний саяхан харсанчлан орчин үеийн тооцоолох хүчин чадалтай бол энэ нь тийм ч хэцүү биш юм. Тиймээс, функцийн хувьд Стандарт түгээлтийн хувьд харгалзах Excel функц нь ерөнхийдөө нэг аргумент агуулдаг:

=NORMSDIST(z)

Нэг, хоёр - тэгээд та дууслаа:

Зураг нь бүхний хэрэгжилтийг тодорхой харуулж байна түгээлтийн функцийн шинж чанарууд, мөн энд байгаа техникийн нюансуудаас та анхаарлаа хандуулах хэрэгтэй хэвтээ асимптотуудба гулзайлтын цэг.

Одоо сэдвийн гол ажлуудын нэгийг санацгаая, тухайлбал, ердийн санамсаргүй хэмжигдэхүүн гарах магадлалыг хэрхэн олохыг олж мэдье. интервалаас утгыг авна. Геометрийн хувьд энэ магадлал нь тэнцүү байна талбайхаргалзах хэсэгт хэвийн муруй ба x тэнхлэгийн хооронд:

гэхдээ би ойролцоогоор үнэ цэнийг авахыг оролддог үндэслэлгүй тул ашиглах нь илүү оновчтой юм "хөнгөн" томъёо:
.

! Бас санаж байна , Юу

Энд та Excel-ийг дахин ашиглаж болно, гэхдээ хэд хэдэн чухал "гэхдээ" байдаг: нэгдүгээрт, энэ нь үргэлж бэлэн байдаггүй, хоёрдугаарт, "бэлэн" үнэ цэнэ нь багшаас асуулт гаргах магадлалтай. Яагаад?

Би энэ тухай өмнө нь олон удаа ярьж байсан: нэгэн цагт (мөн тийм ч удалгүй) ердийн тооцоолуур нь тансаг хэрэглээ байсан бөгөөд асуудлыг шийдвэрлэх "гарын авлагын" арга нь боловсролын ном зохиолд хадгалагдан үлдсэн хэвээр байна. Үүний мөн чанар нь юм стандартчилах"альфа" ба "бета" утгуудын утгыг, өөрөөр хэлбэл шийдлийг стандарт хуваарилалт руу багасгах:

Анхаарна уу : функцийг ерөнхий тохиолдлоос авахад хялбаршугаман ашиглах орлуулалт. Дараа нь бас:

болон гүйцэтгэсэн орлуулалтаас дараах томъёог гаргана. дурын тархалтын утгуудаас стандарт тархалтын харгалзах утга руу шилжих.

Энэ яагаад хэрэгтэй вэ? Үнэн бол бидний өвөг дээдэс үнэ цэнийг нарийн тооцоолж, тусгай хүснэгтэд нэгтгэсэн бөгөөд энэ нь терверийн олон номонд байдаг. Гэхдээ илүү олон удаа үнэт зүйлсийн хүснэгт байдаг бөгөөд бид үүнийг аль хэдийн авч үзсэн болно Лапласын интеграл теорем:

Хэрэв бид Лаплас функцийн утгуудын хүснэгтийг ашиглах боломжтой , дараа нь бид үүнийг шийднэ:

Бутархай утгыг уламжлалт хүснэгтэд заасны дагуу аравтын бутархайн 4 орон болгон дугуйрсан байдаг. Мөн хяналтын хувьд байдаг 5-р цэг зохион байгуулалт.

Би танд сануулж байна , төөрөгдүүлэхгүйн тулд үргэлж хянаж байдаг, ЯМАР функцийн хүснэгт таны нүдний өмнө байна.

Хариултхувиар өгөх шаардлагатай тул тооцоолсон магадлалыг 100-аар үржүүлж, үр дүнд нь утга учиртай тайлбар өгөх шаардлагатай.

- 5-аас 70 м-ийн өндөрт нисэх үед бүрхүүлийн 15.87% нь унах болно.

Бид бие даан бэлтгэл хийдэг:

Жишээ 3

Үйлдвэрийн холхивчийн диаметр нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд математикийн тооцоолол нь 1.5 см, стандарт хазайлт нь 0.04 см-ийн хэмжээтэй байна.

Жишээ шийдэл болон доор би Лаплас функцийг хамгийн түгээмэл сонголт болгон ашиглах болно. Дашрамд хэлэхэд, үг хэллэгийн дагуу интервалын төгсгөлийг энд авч үзэхэд оруулж болно гэдгийг анхаарна уу. Гэсэн хэдий ч энэ нь тийм ч чухал биш юм.

Мөн энэ жишээн дээр бид тусгай тохиолдолтой тулгарсан - интервал нь математикийн хүлээлттэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байх үед. Ийм нөхцөлд үүнийг дараах хэлбэрээр бичиж, Лаплас функцийн хачирхалтай байдлыг ашиглан ажлын томъёог хялбаршуулж болно.

Delta параметрийг дуудна хазайлтматематикийн хүлээлтээс, давхар тэгш бус байдлыг ашиглан "савлаж" болно модуль:

– санамсаргүй хэмжигдэхүүний утга математикийн хүлээлтээс -ээс бага хазайх магадлал.

Шийдэл нэг мөрөнд багтах нь сайн хэрэг :)
– санамсаргүй байдлаар авсан холхивчийн диаметр нь 1.5 см-ээс 0.1 см-ээс ихгүй ялгаатай байх магадлал.

Энэ даалгаврын үр дүн нь эв нэгдэлтэй ойрхон байсан ч би илүү найдвартай байхыг хүсч байна, тухайлбал диаметр нь ямар хил хязгаарыг олж мэдэхийг хүсч байна. бараг бүх хүнхолхивч. Үүнд ямар нэг шалгуур бий юу? Байгаа! Асуулт гэж нэрлэгддэг асуултанд хариулдаг

гурван сигма дүрэм

Үүний мөн чанар нь үүнд оршдог практик найдвартай нь хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн интервалаас утгыг авах явдал юм .

Үнэн хэрэгтээ хүлээгдэж буй утгаас хазайх магадлал нь дараахаас бага байна.
эсвэл 99.73%

Холхивчийн хувьд эдгээр нь 1.38-аас 1.62 см-ийн диаметртэй 9973 ширхэг, ердөө 27 ширхэг "стандарт бус" хувь юм.

Практик судалгаанд гурван сигма дүрмийг ихэвчлэн эсрэг чиглэлд ашигладаг: хэрэв статистикийн хувьдЭнэ нь бараг бүх үнэт зүйл болох нь тогтоогдсон судалж буй санамсаргүй хэмжигдэхүүн 6 стандарт хазайлтын интервалд багтах бол энэ утгыг ердийн хуулийн дагуу хуваарилсан гэж үзэх үндэслэлтэй шалтгаанууд бий. Баталгаажуулалтыг онолыг ашиглан хийдэг статистик таамаглалууд.

Бид Зөвлөлтийн хатуу ширүүн асуудлуудыг шийдсээр байна.

Жишээ 4

Жинлэх алдааны санамсаргүй утгыг математикийн тэг хүлээлттэй, 3 грамм стандарт хазайлттай ердийн хуулийн дагуу хуваарилдаг. Дараагийн жинг үнэмлэхүй утгаараа 5 граммаас ихгүй алдаатай хийх магадлалыг ол.

Шийдэлмаш энгийн. Нөхцөлөөр бид дараагийн жингийн үед тэр даруй тэмдэглэнэ (ямар нэгэн зүйл эсвэл хэн нэгэн)Бид бараг 100% үр дүнг 9 грамм нарийвчлалтайгаар авах болно. Гэхдээ асуудал нь илүү нарийн хазайлттай бөгөөд томъёоны дагуу :

– дараагийн жинг 5 граммаас хэтрэхгүй алдаатай хийх магадлал.

Хариулт:

Шийдвэрлэсэн асуудал нь ижил төстэй зүйлээс үндсэндээ өөр юм. Жишээ 3тухай хичээл жигд хуваарилалт. Алдаа гарлаа дугуйлаххэмжилтийн үр дүн, энд бид хэмжилтийн санамсаргүй алдааны тухай ярьж байна. Ийм алдаа нь төхөөрөмжийн техникийн шинж чанараас шалтгаалан үүсдэг. (зөвшөөрөгдөх алдааны хүрээг ихэвчлэн түүний паспорт дээр заасан байдаг), мөн туршилт хийгчийн буруугаас бид жишээ нь "нүдээр" ижил масштабын зүүгээс уншилт хийх үед.

Бусдын дунд бас гэж нэрлэгддэг системтэйхэмжилтийн алдаа. Аль хэдийн болсон санамсаргүй бустөхөөрөмжийн буруу тохируулга эсвэл ашиглалтын улмаас гарсан алдаа. Жишээлбэл, зохицуулалтгүй шалны жин нь килограммуудыг тогтмол "нэмэх" боломжтой бөгөөд худалдагч нь үйлчлүүлэгчдийг системтэйгээр жинлүүлдэг. Эсвэл системтэй биш тооцоолж болно. Гэсэн хэдий ч ямар ч тохиолдолд ийм алдаа нь санамсаргүй биш байх болно, түүний хүлээлт нь тэгээс өөр байна.

…Би яаралтай борлуулалтын сургалт явуулж байна =)

Урвуу асуудлыг өөрсдөө шийдье:

Жишээ 5

Роллерийн диаметр нь санамсаргүй хэвийн тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд түүний стандарт хазайлт нь мм-тэй тэнцүү байна. Математикийн хүлээлттэй харьцуулахад тэгш хэмтэй интервалын уртыг олоорой, үүнд булны диаметрийн урт унах магадлалтай.

Цэг 5* дизайны зохион байгуулалттуслах. Математикийн хүлээлт энд тодорхойгүй байгаа ч энэ нь асуудлыг шийдвэрлэхэд саад болохгүй гэдгийг анхаарна уу.

Материалыг бататгахыг зөвлөж буй шалгалтын даалгавар:

Жишээ 6

Ердийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг түүний параметрүүд (математикийн хүлээлт) ба (стандарт хазайлт) тодорхойлно. Шаардлагатай:

а) магадлалын нягтыг бичиж, түүний графикийг бүдүүвчээр дүрслэх;
б) интервалаас утгыг авах магадлалыг ол ;
в) үнэмлэхүй утга нь -ээс ихгүй хазайх магадлалыг ол;
г) "гурван сигма" дүрмийг ашиглан санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгыг ол.

Иймэрхүү асуудлуудыг хаа сайгүй санал болгодог бөгөөд олон жилийн турш би хэдэн зуу, хэдэн зуун асуудлыг нь шийдэж чадсан. Гараар зураг зурах, цаасан ширээ ашиглах дадлага хийхээ мартуузай;)

За, би нэмэгдсэн нарийн төвөгтэй байдлын жишээг харъя:

Жишээ 7

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын нягт нь хэлбэртэй байна . Олж, математикийн хүлээлт, дисперс, тархалтын функц, нягтын график, тархалтын функцийг бүтээх, олох.

Шийдэл: Юуны өмнө нөхцөл нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний мөн чанарын талаар юу ч хэлээгүй гэдгийг анхаарцгаая. Экспонент байгаа нь өөрөө юу ч гэсэн үг биш: энэ нь жишээлбэл, заалтэсвэл бүр дур зоргоороо тасралтгүй хуваарилалт. Тиймээс хуваарилалтын "хэвийн байдал" -ыг зөвтгөх шаардлагатай хэвээр байна.

Функцээс хойш -д тодорхойлсон ямар чбодит үнэ цэнэ бөгөөд үүнийг хэлбэр болгон бууруулж болно , дараа нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь хэвийн хуулийн дагуу тархдаг.

Энд байна. Үүний төлөө бүрэн дөрвөлжин сонгоно ууболон зохион байгуулах гурван давхар хэсэг:


Шалгуур үзүүлэлтийг анхны хэлбэрт нь буцаан шалгахаа мартуузай.

, энэ нь бидний харахыг хүссэн зүйл юм.

Тиймээс:
- By эрх мэдэл бүхий үйл ажиллагааны дүрэм"чимхэх" Энд та тодорхой тоон шинж чанаруудыг нэн даруй бичиж болно.

Одоо параметрийн утгыг олъё. Хэвийн тархалтын үржүүлэгч нь дараах хэлбэртэй байна.
, эндээс бид функцээ илэрхийлж, орлуулж байна:
, үүний дараа бид дахин бичлэгийг нүдээрээ үзэж, үүссэн функц нь хэлбэртэй байгаа эсэхийг шалгах болно .

Нягтын графикийг байгуулъя:

ба тархалтын функцийн график :

Хэрэв танд Excel эсвэл ердийн тооны машин байхгүй бол сүүлийн графикийг гараар хялбархан хийж болно! Тухайн үед түгээлтийн функц нь утгыг авдаг тэгээд энд байна

Өмнө дурьдсанчлан, магадлалын хуваарилалтын жишээнүүд тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь:

• жигд хуваарилалт
• экспоненциал тархалт тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлал;
• тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын хэвийн тархалт.

Ердийн тархалтын хуулийн тухай ойлголт, ийм хуулийн тархалтын функц, Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн тодорхой интервалд орох магадлалыг тооцох журмыг өгье.

№	Үзүүлэлт	Ердийн тархалтын хууль	Анхаарна уу
	Тодорхойлолт	Ердийн гэж нэрлэдэг нягтрал нь хэлбэртэй үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн магадлалын тархалт
			Энд m x нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн математик хүлээлт, σ x нь стандарт хазайлт юм.
2	Түгээлтийн функц
	Магадлал интервалд орох (a;b)		- Лапласын интеграл функц
	Магадлал хазайлтын абсолют утга нь эерэг тоо δ-аас бага байх явдал		m x = 0 үед

"Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэвийн тархалтын хууль" сэдвээр асуудал шийдвэрлэх жишээ

Даалгавар.

Тодорхой хэсгийн X урт нь хэвийн тархалтын хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд дундаж утга нь 20 мм, стандарт хазайлт нь 0.2 мм байна.
Шаардлагатай:
a) тархалтын нягтын илэрхийллийг бичих;
б) хэсгийн урт нь 19.7-20.3 мм байх магадлалыг ол;
в) хазайлт 0.1 мм-ээс ихгүй байх магадлалыг ол;
г) дундаж утгаас хазайлт нь 0.1 мм-ээс хэтрэхгүй хэсгүүдийн хэдэн хувийг эзлэхийг тодорхойлох;
д) дунджаас хазайлт нь тогтоосон утгаас хэтрэхгүй хэсгүүдийн хувь 54% хүртэл өсөхийн тулд ямар хазайлтыг тогтоох ёстойг олох;
е) 0.95 магадлалтайгаар X байрших дундаж утгын тэгш хэмтэй интервалыг ол.

Шийдэл. A)Бид ердийн хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн магадлалын нягтыг олно.

m x =20, σ =0.2 байх тохиолдолд.

б)Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэвийн тархалтын хувьд (19.7; 20.3) интервалд орох магадлалыг дараах байдлаар тодорхойлно.
Ф((20.3-20)/0.2) – Ф((19.7-20)/0.2) = Ф(0.3/0.2) – Ф(-0.3/0, 2) = 2Ф(0.3/0.2) = 2Ф(1.5) = 2*0.4332 = 0.8664.
Бид хавсралтаас Ф(1.5) = 0.4332 утгыг Лапласын интеграл функц Φ(x)-ийн утгын хүснэгтээс олсон. хүснэгт 2 )

V)Бид хазайлтын үнэмлэхүй утга эерэг тоо 0.1-ээс бага байх магадлалыг олно.
R(|X-20|< 0,1) = 2Ф(0,1/0,2) = 2Ф(0,5) = 2*0,1915 = 0,383.
Бид хавсралтаас Ф(0.5) = 0.1915 утгыг Лапласын интеграл Φ(x) функцийн утгын хүснэгтээс олсон. хүснэгт 2 )

G) 0.1 мм-ээс бага хазайлтын магадлал 0.383 тул 100-аас дунджаар 38.3 хэсэг нь ийм хазайлттай байх болно, өөрөөр хэлбэл. 38.3%.

г)Дунджаас хазайлт нь тогтоосон утгаас хэтрээгүй хэсгүүдийн хувь 54% болж өссөн тул P(|X-20|< δ) = 0,54. Отсюда следует, что 2Ф(δ/σ) = 0,54, а значит Ф(δ/σ) = 0,27.

Програмыг ашиглах ( хүснэгт 2 ), бид δ/σ = 0.74-ийг олно. Эндээс δ = 0.74*σ = 0.74*0.2 = 0.148 мм байна.

д)Шаардлагатай интервал нь m x = 20 дундаж утгын хувьд тэгш хэмтэй тул үүнийг 20 - δ тэгш бус байдлыг хангасан X утгуудын багц гэж тодорхойлж болно.< X < 20 + δ или |x − 20| < δ .

Нөхцөлийн дагуу хүссэн интервалд X-г олох магадлал 0.95 байгаа нь P(|x − 20|< δ)= 0,95. С другой стороны P(|x − 20| < δ) = 2Ф(δ/σ), следовательно 2Ф(δ/σ) = 0,95, а значит Ф(δ/σ) = 0,475.

Програмыг ашиглах ( хүснэгт 2 ), бид δ/σ = 1.96-г олно. Эндээс δ = 1.96*σ = 1.96*0.2 = 0.392.
Хайлтын интервал : (20 – 0,392; 20 + 0,392) эсвэл (19,608; 20,392).