Евклидийн геометрийн шулуун шугамын шинж чанарууд.
Ямар ч цэгээр хязгааргүй тооны шулуун шугам зурж болно.
Дурын хоёр давхцаагүй цэгээр нэг шулуун шугам зурж болно.
Хавтгайн хоёр зөрөөтэй шулуун нэг цэг дээр огтлолцдог эсвэл огтлолцдог
зэрэгцээ (өмнөхөөс хойш).
Гурван хэмжээст орон зайд гурван сонголт байдаг харьцангуй байрлалхоёр шулуун шугам:
- шугамууд огтлолцдог;
- шугамууд зэрэгцээ байна;
- шулуун шугамууд огтлолцдог.
Шулуун шугам— нэгдүгээр эрэмбийн алгебрийн муруй: декартын координатын систем дэх шулуун шугам
хавтгайд нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэлээр (шугаман тэгшитгэл) өгөгдөнө.
Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл.
Тодорхойлолт. Хавтгай дээрх дурын шулуун шугамыг нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлээр тодорхойлж болно
Ax + Wu + C = 0,
ба тогтмол А, Бнэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш байна. Энэ эхний эрэмбийн тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг ерөнхий
шулуун шугамын тэгшитгэл.Тогтмолуудын утгуудаас хамаарна А, БТэгээд ХАМТДараах онцгой тохиолдлууд боломжтой.
. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- шулуун шугам эхийг дайран өнгөрдөг
. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам Өө
. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам Өө
. B = C = 0, A ≠0- шулуун шугам нь тэнхлэгтэй давхцаж байна Өө
. A = C = 0, B ≠0- шулуун шугам нь тэнхлэгтэй давхцаж байна Өө
Шулуун шугамын тэгшитгэлийг дараах байдлаар илэрхийлж болно янз бүрийн хэлбэрээрямар ч өгөгдсөнөөс хамаарна
анхны нөхцөл.
Нэг цэгээс шулуун шугамын тэгшитгэл ба хэвийн вектор.
Тодорхойлолт. Декартын тэгш өнцөгт координатын системд (A, B) бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй вектор.
тэгшитгэлээр өгөгдсөн шулуунтай перпендикуляр
Ax + Wu + C = 0.
Жишээ. Цэгээр дамжин өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг ол A(1, 2)векторт перпендикуляр (3, -1).
Шийдэл. A = 3 ба B = -1 байвал шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя: 3x - y + C = 0. С коэффициентийг олохын тулд
Үүссэн илэрхийлэлд өгөгдсөн А цэгийн координатыг орлуулъя: 3 - 2 + С = 0
C = -1. Нийт: шаардлагатай тэгшитгэл: 3x - y - 1 = 0.
Хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл.
Орон зайд хоёр цэг өгье M 1 (x 1 , y 1 , z 1)Тэгээд M2 (x 2, y 2, z 2),Дараа нь шугамын тэгшитгэл,
Эдгээр цэгүүдээр дамжин өнгөрөх:
Хэрэв хуваагчийн аль нэг нь тэгтэй тэнцүү, харгалзах тоологч нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой. Асаалттай
хавтгай, дээр бичсэн шулуун шугамын тэгшитгэлийг хялбаршуулсан:
Хэрэв x 1 ≠ x 2Тэгээд x = x 1, Хэрэв x 1 = x 2 .
Бутархай = кдуудсан налуу шууд.
Жишээ. A(1, 2) ба B(3, 4) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг ол.
Шийдэл. Дээр бичсэн томъёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг авна.
Цэг ба налууг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэл.
Хэрэв шугамын ерөнхий тэгшитгэл Ax + Wu + C = 0хүргэж байна:
болон томилох 
, дараа нь үүссэн тэгшитгэлийг дуудна
к налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл.
Нэг цэгээс шулуун шугам ба чиглэлийн векторын тэгшитгэл.
Хэвийн вектороор дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг авч үзэх цэгтэй зүйрлэснээр та даалгаврыг оруулж болно
цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугам ба шулуун шугамын чиглүүлэх вектор.
Тодорхойлолт. Тэг биш вектор бүр (α 1 , α 2), бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь нөхцөлийг хангадаг
Aα 1 + Bα 2 = 0дуудсан шулуун шугамын чиглүүлэх вектор.
Ax + Wu + C = 0.
Жишээ. А(1, 2) цэгийг дайран өнгөрөх чиглэлийн вектор (1, -1) бүхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.
Шийдэл. Бид хүссэн шугамын тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр хайх болно. Ax + By + C = 0.Тодорхойлолтын дагуу,
Коэффициент нь дараахь нөхцлийг хангасан байх ёстой.
1 * A + (-1) * B = 0, өөрөөр хэлбэл. A = B.
Дараа нь шулуун шугамын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна. Ax + Ay + C = 0,эсвэл x + y + C / A = 0.
цагт x = 1, y = 2бид авдаг C/A = -3, өөрөөр хэлбэл шаардлагатай тэгшитгэл:
x + y - 3 = 0
Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл.
Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд Ах + Ву + С = 0 С≠0 байвал -С-д хуваавал бид дараахийг авна.
эсвэл хаана
Геометрийн утгакоэффициентүүд нь а коэффициент нь огтлолцох цэгийн координат юм
тэнхлэгтэй шулуун Өө,А б- шугамын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координат Өө.
Жишээ. Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг өгөв x - y + 1 = 0.Энэ шугамын тэгшитгэлийг сегментээр ол.
C = 1, , a = -1, b = 1.
Шугамын хэвийн тэгшитгэл.
Хэрэв тэгшитгэлийн хоёр тал Ax + Wu + C = 0тоогоор хуваах 
гэж нэрлэдэг
хэвийн болгох хүчин зүйл, тэгвэл бид авна
xcosφ + ysinφ - p = 0 -шугамын хэвийн тэгшитгэл.
Хэвийн хүчин зүйлийн ± тэмдгийг сонгох ёстой μ*C< 0.
r- эхлэлээс шулуун шугам хүртэл унасан перпендикулярын урт;
А φ - тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй энэ перпендикуляраас үүссэн өнцөг Өө.
Жишээ. Шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг өгөв 12x - 5y - 65 = 0. Бичих шаардлагатай янз бүрийн төрөлтэгшитгэл
энэ шулуун шугам.
сегмент дэх энэ шугамын тэгшитгэл:
Энэ шугамын налуутай тэгшитгэл: (5-д хуваах)
Шугамын тэгшитгэл:
cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.
Шулуун шугам бүрийг сегмент дэх тэгшитгэлээр төлөөлж болохгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй, жишээлбэл, шулуун шугамууд,
тэнхлэгүүдтэй параллель буюу эхийг дайран өнгөрөх.
Хавтгай дээрх шулуун шугамуудын хоорондох өнцөг.
Тодорхойлолт. Хэрэв хоёр мөр өгөгдсөн бол y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, дараа нь эдгээр шугамын хоорондох хурц өнцөг
гэж тодорхойлох болно
Хэрэв хоёр шугам зэрэгцээ байна k 1 = k 2. Хоёр шулуун шугамууд перпендикуляр байна,
Хэрэв k 1 = -1/ k 2 .
Теорем.
Шууд Ax + Wu + C = 0Тэгээд A 1 x + B 1 y + C 1 = 0коэффициентүүд пропорциональ байх үед параллель
A 1 = λA, B 1 = λB. Хэрэв бас С 1 = λС, дараа нь шугамууд давхцана. Хоёр шугамын огтлолцох цэгийн координатууд
Эдгээр шугамын тэгшитгэлийн системийн шийдэл гэж олддог.
Өгөгдсөн шулуунтай перпендикуляр өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл.
Тодорхойлолт. Нэг цэгээр дамжин өнгөрөх шугам М 1 (x 1, y 1)ба шугамд перпендикуляр y = kx + b
тэгшитгэлээр илэрхийлэгдэнэ:
Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай.
Теорем. Хэрэв оноо өгсөн бол M(x 0, y 0),дараа нь шулуун шугам хүртэлх зай Ax + Wu + C = 0гэж тодорхойлсон:
Баталгаа. Гол нь байя М 1 (x 1, y 1)- цэгээс унасан перпендикулярын суурь Мөгөгдсөн төлөө
шууд. Дараа нь цэгүүдийн хоорондох зай МТэгээд М 1:
(1)
Координатууд x 1Тэгээд 1 цагттэгшитгэлийн системийн шийдийг олж болно:
Системийн хоёр дахь тэгшитгэл нь өгөгдсөн M 0 цэгийг перпендикуляраар дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл юм.
шулуун шугам өгөгдсөн. Хэрэв бид системийн эхний тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт шилжүүлбэл:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
Дараа нь шийдэж, бид дараахь зүйлийг авна.
Эдгээр илэрхийллийг (1) тэгшитгэлд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олно.
Теорем нь батлагдсан.
Хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын системд шулуун шугамын каноник тэгшитгэлээр шулуун шугамыг өгч болно. Энэ нийтлэлд бид эхлээд координатын тэнхлэгүүдтэй параллель эсвэл тэдгээртэй давхцаж буй хавтгай дээрх шулуунуудын каноник тэгшитгэлийг гаргаж, бичиж, жишээ өгөх болно. Дараа нь бид хавтгай дээрх шугамын каноник тэгшитгэл болон энэ шугамын бусад төрлийн тэгшитгэлүүдийн хоорондын холбоог харуулах болно. Дүгнэж хэлэхэд бид хавтгай дээрх шугамын каноник тэгшитгэлийг бүрдүүлэх ердийн жишээ, асуудлын шийдлүүдийг нарийвчлан авч үзэх болно.
Хуудасны навигаци.
Хавтгай дээрх шугамын каноник тэгшитгэл - тайлбар ба жишээ.
Оксиг онгоцон дээр тогтсон байг. Бид өөрсдөдөө даалгавар өгье: a шулууны тэгшитгэлийг олж авах, хэрэв a шугамын аль нэг цэг нь а шулууны чиглэлийн вектор бол.
a шулууны хөвөгч цэг байг. Тэгвэл вектор нь а шугамын чиглэлийн вектор бөгөөд координаттай байна 
(шаардлагатай бол нийтлэлийг үзнэ үү). Хавтгай дээрх бүх цэгүүдийн олонлог нь тухайн цэгийг дайран өнгөрч буй шулууныг тодорхойлох бөгөөд зөвхөн ба векторууд нь коллинеар байвал чиглэлийн вектортой байх болно.
Жишээ.
Хавтгай дээрх Oxy тэгш өнцөгт координатын системд хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны каноник тэгшитгэлийг бич.
Шийдэл.
By мэдэгдэж байгаа координатуудэхлэл ба төгсгөлийн цэгүүдээс бид векторын координатыг олж болно. 
. Энэ вектор нь тэгшитгэлийг хайж байгаа шугамын чиглэлийн вектор юм. Нэг цэгийг дайран өнгөрөх, чиглэлийн вектортой шулууны каноник тэгшитгэл.
Шийдэл.
Ердийн шугамын вектор 
координаттай бөгөөд энэ вектор нь шулууны перпендикуляр байдлаас шалтгаалан бидний хайж буй тэгшитгэл нь шулууны чиглэлийн вектор юм. Тиймээс хавтгай дээрх шугамын хүссэн каноник тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичнэ 
.
Хариулт:
Лавлагаа.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Дээд математик. Нэгдүгээр боть: Шугаман алгебр ба аналитик геометрийн элементүүд.
- Ильин В.А., Позняк Е.Г. Аналитик геометр.
3.1. Шугамын каноник тэгшитгэлүүд.
Тухайн цэгийг дайран өнгөрөх Oxyz координатын системд шулуун шугам өгье
(18-р зургийг үз). 
өгөгдсөн шулуунтай параллель вектор. Вектор 
дуудсан шулуун шугамын чиглүүлэх вектор.Шулуун шугам дээрх цэгийг авч үзье 
мөн вектор векторуудыг авч үзье 
нь хоорондоо уялдаатай тул тэдгээрийн харгалзах координатууд нь пропорциональ байна.
(3.3.1
)
Эдгээр тэгшитгэлийг нэрлэдэг каноник тэгшитгэлшууд.
Жишээ:Вектортой параллель M(1, 2, –1) цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг бич. 
Шийдэл:Вектор 
нь хүссэн шугамын чиглэлийн вектор юм. (3.1.1) томъёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.
Эдгээр нь шугамын каноник тэгшитгэлүүд юм.
Сэтгэгдэл:Хуваагчийн аль нэгийг тэг болгон эргүүлнэ гэдэг нь харгалзах тоологчийг тэг рүү эргүүлнэ, өөрөөр хэлбэл y – 2 = 0; y = 2. Энэ шулуун нь Oxz хавтгайтай параллель y = 2 хавтгайд оршдог.
3.2. Шулуун шугамын параметрийн тэгшитгэл.
Шулуун шугамыг каноник тэгшитгэлээр өгье
гэж тэмдэглэе 
Дараа нь 
t утгыг параметр гэж нэрлэдэг бөгөөд ямар ч утгыг авч болно: 
.
x, y, z-г t-ээр илэрхийлье.
(3.2.1
)
Үүссэн тэгшитгэлийг дуудна шулуун шугамын параметрийн тэгшитгэл.
Жишээ 1:Вектортой параллель М (1, 2, –1) цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын параметрийн тэгшитгэлийг зохио. 
Шийдэл:Энэ шугамын каноник тэгшитгэлийг 3.1-р зүйлийн жишээн дээр авсан болно.
Шулуун шугамын параметрийн тэгшитгэлийг олохын тулд бид томъёоны гарал үүслийг ашиглана (3.2.1):
Тэгэхээр, 
- өгөгдсөн шугамын параметрийн тэгшитгэл.
Хариулах:
Жишээ 2.Вектортой параллель M (–1, 0, 1) цэгийг дайран өнгөрөх шулууны параметрийн тэгшитгэлийг бич. 
Энд A (2, 1, –1), B (–1, 3, 2).
Шийдэл:Вектор 
нь хүссэн шугамын чиглэлийн вектор юм.
Векторыг олъё 
.
= (–3; 2; 3). Томъёо (3.2.1) ашиглан бид шулуун шугамын тэгшитгэлийг бичнэ.
шулуун шугамын шаардлагатай параметрийн тэгшитгэлүүд юм.
3.3. Өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл.
Нэг шулуун шугам нь орон зайд өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрдөг (20-р зургийг үз). Вектор оноо өгье 
Энэ шугамын чиглэлийн вектор болгон авч болно. Дараа нь тэгшитгэлийг шууд олж болно 
тэдгээрийг (3.1.1) томъёоны дагуу: 
).
(3.3.1)
Жишээ 1.Цэгүүдийг дайран өнгөрөх шугамын каноник ба параметрийн тэгшитгэлийг зохио
Шийдэл: Бид томъёог (3.3.1) хэрэглэнэ.
Бид шулуун шугамын каноник тэгшитгэлийг олж авсан. Параметрийн тэгшитгэлийг олж авахын тулд бид томъёоны гарал үүслийг ашиглана (3.2.1). Бид авдаг
шулуун шугамын параметрийн тэгшитгэлүүд юм.
Жишээ 2.Цэгүүдийг дайран өнгөрөх шугамын каноник ба параметрийн тэгшитгэлийг зохио
Шийдэл: (3.3.1) томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.
Эдгээр нь каноник тэгшитгэлүүд юм.
Параметрийн тэгшитгэл рүү шилжье:
- параметрийн тэгшитгэл.
Үүссэн шулуун шугам нь унц тэнхлэгтэй параллель байна (21-р зургийг үз).
Сансарт хоёр хавтгай өгөгдье
Хэрэв эдгээр онгоцууд давхцахгүй бөгөөд параллель биш бол шулуун шугамаар огтлолцоно.
Энэхүү хоёр шугаман тэгшитгэлийн систем нь шулуун шугамыг хоёр хавтгайн огтлолцлын шугам гэж тодорхойлдог. (3.4.1) тэгшитгэлээс каноник тэгшитгэл (3.1.1) эсвэл параметрийн тэгшитгэл (3.2.1) руу орж болно. Үүнийг хийхийн тулд та цэгийг олох хэрэгтэй 
шулуун шугам дээр хэвтэх ба чиглэлийн вектор 
Цэгийн координат 
Бид (3.4.1) системээс координатуудын аль нэгэнд дурын утгыг өгдөг (жишээлбэл, z = 0). Хөтөч векторын ард 
та векторуудын вектор үржвэрийг авч болно, өөрөөр хэлбэл
Жишээ 1.Шугамын каноник тэгшитгэлийг зохио 
Шийдэл: z = 0 гэж үзье. Системийг шийдье 
Эдгээр тэгшитгэлийг нэмбэл бид: 3x + 6 = 0 болно 
x = –2. Олдсон x = –2 утгыг системийн эхний тэгшитгэлд орлуулаад: –2 + y + 1 = 0 болно. 
y = 1.
Тэгэхээр, хугацаа 
хүссэн шугам дээр байрладаг.
Шулуун шугамын чиглэлийн векторыг олохын тулд бид хавтгайнуудын хэвийн векторуудыг бичиж, тэдгээрийн вектор үржвэрийг ол:
Бид (3.1.1) томъёог ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг олно.
Хариулт:
.
Өөр нэг арга:Шугамын каноник ба параметрийн тэгшитгэлийг (3.4.1) системээс (3.4.1) шугамын хоёр өөр цэгийг олж, дараа нь томъёо (3.3.1) болон томъёоны гарал үүслийг (3.2) ашиглан хялбархан гаргаж болно. .1).
Жишээ 2.Шугамын каноник ба параметрийн тэгшитгэлийг зохио
Шийдэл: y = 0 гэж үзье. Дараа нь систем дараах хэлбэрийг авна. 
Тэгшитгэлүүдийг нэмснээр бид дараахь зүйлийг авна: 2x + 4 = 0; x = –2. Системийн хоёр дахь тэгшитгэлд x = –2-г орлуулаад: –2 –z +1 = 0 гарна. 
z = –1. Тиймээс бид санаагаа олсон 
Хоёрдахь цэгийг олохын тулд x = 0 гэж тохируулъя. Бидэнд: 
Тэр нь 
Бид шулуун шугамын каноник тэгшитгэлийг олж авсан.
Шулуун шугамын параметрийн тэгшитгэлийг байгуулъя:
Хариулах:
; 
.
3.5. Орон зай дахь хоёр шугамын харьцангуй байрлал.
Шулуун бай 
тэгшитгэлээр өгөгдсөн:
:
;
: 
.
Эдгээр шугамын хоорондох өнцгийг тэдгээрийн чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцөг гэж ойлгодог (22-р зургийг үз). Энэ өнцөг 
Бид вектор алгебрийн томъёог ашиглан олдог: 
эсвэл
(3.5.1)
Хэрэв шулуун бол 
перпендикуляр ( 
), Тэр 
Тиймээс,
Энэ бол огторгуй дахь хоёр шугамын перпендикуляр байдлын нөхцөл юм.
Хэрэв шулуун бол 
зэрэгцээ ( 
), тэгвэл тэдгээрийн чиглэлийн векторууд коллинеар ( 
), өөрөөр хэлбэл
(3.5.3
)
Энэ бол огторгуй дахь хоёр шугамын зэрэгцээ байх нөхцөл юм.
Жишээ 1.Шулуун шугамын хоорондох өнцгийг ол:
A). 
Тэгээд 
б). 
Тэгээд 
Шийдэл: A). Шулууны чиглэлийн векторыг бичье 
Чиглэлийн векторыг олъё 
системд багтсан онгоцууд Дараа нь тэдгээрийн вектор үржвэрийг олно. 
(3.4-р зүйлийн 1-р жишээг үзнэ үү).
(3.5.1) томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна. 
Тиймээс, 
б). Эдгээр шулуунуудын чиглэлийн векторуудыг бичье: Векторууд 
Харгалзах координатууд нь пропорциональ байдаг тул тэдгээр нь хоорондоо уялдаатай байна:
Тиймээс шулуун байна 
зэрэгцээ ( 
), өөрөөр хэлбэл 
Хариулт: A).
б). 
Жишээ 2.Шугамын перпендикуляр байдлыг батлах:
Тэгээд 
Шийдэл:Эхний шулуун шугамын чиглэлийн векторыг бичье 
Чиглэлийн векторыг олъё 
хоёр дахь шулуун шугам. Үүнийг хийхийн тулд бид хэвийн векторуудыг олдог 
Системд багтсан онгоцууд: Тэдний вектор үржвэрийг тооцоолъё: 
(3.4-р зүйлийн 1-р жишээг үзнэ үү).
Шугамын перпендикуляр байдлын нөхцөлийг (3.5.2) хэрэгжүүлье.
Нөхцөл хангагдсан; Тиймээс шугамууд перпендикуляр ( 
).
Болъё л- орон зайн зарим шулуун шугам. Планиметрийн нэгэн адил дурын вектор
А =/= 0, шугаман шугам л, дуудсан чиглүүлэгч векторэнэ шулуун шугам.
Шугамын чиглэлийн вектор болон тухайн шугамд хамаарах цэгийг зааж өгснөөр орон зай дахь шугамын байрлал бүрэн тодорхойлогдоно.
Шулуун байг лчиглүүлэгч вектортой А M 0 цэгээр дамжин өнгөрөх ба M нь огторгуйн дурын цэг юм. М цэг (Зураг 197) шулуунд хамаарах нь ойлгомжтой лХэрэв \(\overrightarrow(M_0 M)\) вектор нь вектортой давхцаж байвал А , өөрөөр хэлбэл
\(\баруун сум(M_0 M)\) = т а , т\(\д\) Р. (1)
Хэрэв M ба M 0 цэгүүдийг радиус вектороор нь зааж өгсөн бол r Тэгээд r 0 (Зураг 198) огторгуйн зарим О цэгтэй харьцуулахад, дараа нь \(\баруун сум(M_0 M)\) = r - r 0 ба тэгшитгэл (1) хэлбэрийг авна
r = r 0 + т а , т\(\д\) Р. (2)
(1) ба (2) тэгшитгэлийг дуудна шулуун шугамын вектор-параметрийн тэгшитгэл. Хувьсагч твектор-параметрийн тэгшитгэлд шулуун шугамыг нэрлэдэг параметр.
M 0 цэгийг шулуун шугам болгоё лба чиглэлийн вектор а нь тэдгээрийн координатаар өгөгдсөн:
М 0 ( X 0 ; цагт 0 , z 0), А = (А 1 ; А 2 ; А 3).
Дараа нь хэрэв ( X; y; z) - шулуун шугамын дурын M цэгийн координатууд л, Тэр
\(\баруун сум(M_0 М) \) = ( х - х 0 ; y - y 0 ; z - z 0)
ба вектор тэгшитгэл (1) нь дараах гурван тэгшитгэлтэй тэнцүү байна.
х - х 0 = та 1 , y - y 0 = та 2 , z - z 0 = та 3
$$ \эхлэх(тохиолдол) x = x_0 + ta_1 \\ y = y_0 + ta_2 \\ z = z_0 + ta_3, \;\;t\-д R\end(тохиолдол) (3)$$
Тэгшитгэл (3) гэж нэрлэдэг шугамын параметрийн тэгшитгэл сансарт.
Даалгавар 1.Цэгээр дамжин өнгөрөх шугамын параметрийн тэгшитгэлийг бич
M 0 (-3; 2; 4) ба чиглэлийн вектортой байна А = (2; -5; 3).
Энэ тохиолдолд X 0 = -3, цагт 0 = 2, z 0 = 4; А 1 = 2; А 2 = -5; А 3 = 3. Эдгээр утгыг томъёогоор (3) орлуулснаар бид энэ шугамын параметрийн тэгшитгэлийг олж авна.
$$ \эхлэх(тохиолдол) x = -3 - 2t \\ y = 2 - 5t \\ z = 4 + 3t, \;\;t\-д R\end(тохиолдолд) $$
Параметрийг хасъя ттэгшитгэлээс (3). Учир нь үүнийг хийж болно А =/= 0, тиймээс вектор координатуудын нэг А тэгээс ялгаатай нь ойлгомжтой.
Эхлээд бүх координатууд тэгээс ялгаатай байг. Дараа нь
$$ t=\frac(x-x_0)(a_1),\;\;t=\frac(y-y_0)(a_2),\;\;t=\frac(z-z_0)(a_3) $$
тиймээс
$$ \frac(x-x_0)(a_1)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3) \;\; (4)$$
Эдгээр тэгшитгэлийг нэрлэдэг шугамын каноник тэгшитгэл .
Тэгшитгэл (4) нь гурван хувьсагчтай хоёр тэгшитгэлийн системийг бүрдүүлдэг болохыг анхаарна уу x, yТэгээд z.
Хэрэв (3) тэгшитгэлд вектор координатуудын аль нэг нь байна А , Жишээ нь А 1 нь тэгтэй тэнцүү, дараа нь параметрийг хасах замаар т, бид дахин гурван хувьсагчтай хоёр тэгшитгэлийн системийг олж авна x, yТэгээд z:
\(x=x_0, \;\; \frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)\)
Эдгээр тэгшитгэлийг мөн шугамын каноник тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Нэгдмэл байдлын үүднээс тэдгээрийг (4) хэлбэрээр бичдэг.
\(\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)\)
Хэрэв хуваагч нь тэг байвал харгалзах хүртэгч нь мөн тэг болно гэж үзвэл. Эдгээр тэгшитгэлүүд нь M 0 цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл юм. X 0 ; цагт 0 , z 0) координатын хавтгайтай параллель yOz, түүний чиглэлийн вектор (0; А 2 ; А 3).
Эцэст нь (3) тэгшитгэлд хоёр вектор координат байгаа бол А , Жишээ нь А 1 ба А 2 нь тэгтэй тэнцүү бол эдгээр тэгшитгэлүүд хэлбэрийг авна
X = X 0 , y = цагт 0 , z = z 0 + т а 3 , т\(\д\) Р.
Эдгээр нь M 0 цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл юм. X 0 ; цагт 0 ; z 0) тэнхлэгтэй зэрэгцээ Оз. Ийм шулуун шугамын хувьд X = X 0 , y = цагт 0 ,а z- дурын тоо. Мөн энэ тохиолдолд жигд байхын тулд шулуун шугамын тэгшитгэлийг (4) хэлбэрээр (ижил тайлбартайгаар) бичиж болно.
\(\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(0)=\frac(z-z_0)(a_3)\)
Тиймээс, орон зайн аль ч шугамын хувьд каноник тэгшитгэл (4), харин эсрэгээр (4) хэлбэрийн аливаа тэгшитгэлийг ядаж нэг коэффициентээр бичиж болно. А 1 , А 2 , А 3 нь тэгтэй тэнцүү биш, огторгуйн зарим шулуун шугамыг тодорхойлдог.
Даалгавар 2.Вектортой параллель M 0 (- 1; 1, 7) цэгийг дайран өнгөрөх шулууны каноник тэгшитгэлийг бич. А = (1; 2; 3).
Энэ тохиолдолд (4) тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичнэ.
\(\frac(x+1)(1)=\frac(y-1)(2)=\frac(z-7)(3)\)
Өгөгдсөн M 1 ( хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг гаргая. X 1 ; цагт 1 ; z 1) ба
М2( X 2 ; цагт 2 ; z 2). Мэдээжийн хэрэг, бид векторыг авч болно а = (X 2 - X 1 ; цагт 2 - цагт 1 ; z 2 - z 1) ба шулуун шугам өнгөрөх M 0 цэгээс цааш, жишээлбэл, M 1 цэг. Дараа нь (4) тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичнэ.
\(\frac(x-x_1)(x_2 - x_1)=\frac(y-y_1)(y_2 - y_1)=\frac(z-z_1)(z_2 - z_1)\) (5)
Эдгээр нь M 1 (хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл юм. X 1 ; цагт 1 ; z 1) ба
М2( X 2 ; цагт 2 ;z 2).
Даалгавар 3. M 1 (-4; 1; -3) ба M 2 (-5; 0; 3) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.
Энэ тохиолдолд X 1 = -4, цагт 1 = 1, z 1 = -3, X 2 = -5, цагт 2 = 0, z 2 = 3. Эдгээр утгыг томъёогоор (5) орлуулснаар бид олж авна
\(\frac(x+4)(-1)=\frac(y-1)(-1)=\frac(z+3)(6)\)
Даалгавар 4. M 1 (3; -2; 1) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг бич.
М 2 (5; -2; 1/2).
M 1 ба M 2 цэгүүдийн координатыг (5) тэгшитгэлд орлуулсны дараа бид олж авна
\(\frac(x-3)(2)=\frac(y+2)(0)=\frac(z-1)(-\frac(1)(2))\)
Шийдлийн жишээг авч үзье.
Жишээ.
Хоёр огтлолцох хавтгайн тэгшитгэлээр огторгуйд тодорхойлогдсон шулуун дээрх дурын цэгийн координатыг ол. 
.
Шийдэл.
Дараах хэлбэрээр тэгшитгэлийн системийг дахин бичье
Системийн үндсэн матрицын минорын суурь болгон бид хоёр дахь эрэмбийн тэг биш минорыг авдаг. 
, өөрөөр хэлбэл z нь чөлөөт үл мэдэгдэх хувьсагч юм. z-г агуулсан гишүүдийг тэгшитгэлийн баруун талд шилжүүлье: .
Дурын бодит тоо хаана байгааг хүлээн зөвшөөрье.
Үүссэн тэгшитгэлийн системийг шийдье. 
Тиймээс тэгшитгэлийн системийн ерөнхий шийдэл хэлбэртэй байна , хаана .
Хэрэв бид параметрийн тодорхой утгыг авбал тэгшитгэлийн системийн тодорхой шийдлийг олж авах бөгөөд энэ нь өгөгдсөн шугам дээр байрлах цэгийн хүссэн координатыг өгдөг. Тэгээд авъя 
, тиймээс шугамын хүссэн цэг юм.
Та цэгийн олсон координатыг хоёр огтлолцох хавтгайн анхны тэгшитгэлд орлуулж шалгаж болно. 
Хариулт:
Хоёр хавтгай огтлолцох шугамын чиглэлийн вектор.
Тэгш өнцөгт координатын системд шулуун шугамын чиглүүлэх вектор нь шулуун шугамаас салшгүй байдаг. Гурван хэмжээст орон зай дахь тэгш өнцөгт координатын систем дэх шулуун шугамыг хоёр огтлолцох хавтгай ба тэгшитгэлээр өгвөл шулуун шугамын чиглүүлэх векторын координатууд харагдахгүй болно. Одоо бид тэдгээрийг хэрхэн тодорхойлохыг харуулах болно.
Шугам нь тухайн хавтгайд байрлах дурын шулуунд перпендикуляр байвал хавтгайд перпендикуляр байдгийг бид мэднэ. Дараа нь хавтгайн хэвийн вектор нь энэ хавтгайд байрлах ямар ч тэг биш вектортой перпендикуляр байна. Бид эдгээр баримтуудыг ашиглан шугамын чиглэлийн векторыг олох болно.
Шулуун шугам нь хавтгай ба хавтгайд хоёуланд нь байрладаг. Иймд а шугамын чиглэлийн вектор нь хэвийн векторт перпендикуляр байна 
хавтгай ба хэвийн вектор 
онгоц Тиймээс шулуун шугамын чиглэлийн вектор нь a байна Тэгээд :
Шулуун шугамын бүх чиглэлийн векторуудын багц бөгөөд бид үүнийг гэж тодорхойлж болно 
, тэгээс бусад бодит утгыг авч болох параметр нь хаана байна.
Жишээ.
Oxyz тэгш өнцөгт координатын системд гурван хэмжээст орон зайд огтлолцсон хоёр хавтгайн тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон шулуун шугамын дурын чиглэлийн векторын координатыг ол. 
.
Шийдэл.
Онгоцны хэвийн векторууд нь векторууд юм 
Тэгээд 
тус тус. Өгөгдсөн хоёр хавтгайн огтлолцол болох шулуун шугамын чиглүүлэх вектор нь хэвийн векторуудын вектор үржвэр юм. 
Хариулт:
Орон зайд шулуун шугамын параметр ба каноник тэгшитгэлд шилжих.
Шулуун шугамыг дүрслэхдээ огтлолцсон хоёр хавтгайн тэгшитгэлийг ашиглах нь тийм ч тохиромжтой биш тохиолдол байдаг. Орон зай дахь шулуун шугамын канон тэгшитгэлийг мэддэг бол зарим асуудлыг шийдвэрлэхэд хялбар байдаг. 
эсвэл хэлбэрийн орон зай дахь шугамын параметрийн тэгшитгэл 
, энд x 1 , y 1 , z 1 нь шугамын тодорхой цэгийн координатууд, a x , a y , a z нь шулууны чиглүүлэх векторын координатууд бөгөөд дурын бодит утгыг авдаг параметр юм. Маягтын шугаман тэгшитгэлээс шилжих үйл явцыг тайлбарлая 
орон зай дахь шулуун шугамын каноник ба параметрийн тэгшитгэлд.
Өмнөх догол мөрүүдэд бид шулуун дээрх тодорхой цэгийн координат, мөн огтлолцсон хоёр хавтгайн тэгшитгэлээр өгөгдсөн шулууны тодорхой чиглэлийн векторын координатыг олж сурсан. Энэ өгөгдөл нь орон зайд тэгш өнцөгт координатын системд энэ шугамын каноник ба параметрийн тэгшитгэлийг хоёуланг нь бичихэд хангалттай.
Жишээний шийдлийг авч үзье, үүний дараа бид орон зайд шугамын каноник ба параметрийн тэгшитгэлийг олох өөр аргыг харуулах болно.
Жишээ.
Шийдэл.
Эхлээд шулуун шугамын чиглүүлэх векторын координатыг тооцоолъё. Үүний тулд бид хэвийн векторуудын вектор үржвэрийг олно 
Тэгээд 
онгоцууд 
Тэгээд 
:
Энэ нь, .
Одоо өгөгдсөн шулуун дээрх тодорхой цэгийн координатыг тодорхойлъё. Үүний тулд бид тэгшитгэлийн системийн шийдлүүдийн аль нэгийг олох болно 
.
Тодорхойлогч 
тэгээс ялгаатай тул системийн үндсэн матрицын суурь минор гэж үзье. Дараа нь z хувьсагч чөлөөтэй байна, бид түүнтэй хамт нэр томъёог тэгшитгэлийн баруун талд шилжүүлж, z хувьсагчийг дурын утгыг өгнө.
Бид үүссэн тэгшитгэлийн системийг Крамерын аргыг ашиглан шийддэг. 
Тиймээс, 
Бид хүлээн зөвшөөрч, шугам дээрх цэгийн координатыг олж авна. 
.
Одоо бид орон зайд анхны шугамын шаардлагатай каноник ба параметрийн тэгшитгэлийг бичиж болно. 
Хариулт:
Тэгээд 
Энэ асуудлыг шийдэх хоёр дахь арга зам энд байна.
Шулуун дээрх тодорхой цэгийн координатыг олохдоо тэгшитгэлийн системийг шийддэг . Ерөнхийдөө түүний шийдлүүдийг хэлбэрээр бичиж болно .
Эдгээр нь огторгуй дахь шулуун шугамын яг шаардлагатай параметрийн тэгшитгэлүүд юм. Хэрэв үүссэн тэгшитгэл бүрийг параметрийн дагуу шийдэж, тэгшитгэлийн баруун талыг тэгшитгэвэл бид орон зайд шулуун шугамын каноник тэгшитгэлийг олж авна. 
Энэ аргыг ашиглан өмнөх асуудлын шийдлийг харуулъя.
Жишээ.
Гурван хэмжээст орон зай дахь шулуун шугамыг огтлолцсон хоёр хавтгайн тэгшитгэлээр тодорхойлно . Энэ мөрөнд каноник ба параметрийн тэгшитгэлийг бич.
Шийдэл.
Бид гурван үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлийн системийг шийддэг (шийдвэрийг өмнөх жишээнд өгсөн, бид үүнийг давтахгүй). Энэ тохиолдолд бид авдаг . Эдгээр нь огторгуй дахь шулуун шугамын хүссэн параметрийн тэгшитгэл юм.
Орон зайд шулуун шугамын каноник тэгшитгэлийг олж авахад л үлддэг. 
Үүссэн шулуун шугамын тэгшитгэлүүд нь өмнөх жишээн дээр олж авсан тэгшитгэлээс гадна талаасаа ялгаатай боловч гурван хэмжээст орон зайд ижил цэгүүдийн багцыг (тиймээс ижил шулуун шугам) тодорхойлдог тул тэдгээр нь тэнцүү байна.
Хариулт:
Тэгээд 
Лавлагаа.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Дээд математик. Нэгдүгээр боть: Шугаман алгебр ба аналитик геометрийн элементүүд.
- Ильин В.А., Позняк Е.Г. Аналитик геометр.
