Энэ хэсэгт бид эерэг квадрат хэлбэрийн онцгой боловч чухал ангилалд анхаарлаа хандуулах болно.

Тодорхойлолт 3. Хэрэв хувьсагчийн бодит утгуудын хувьд бодит квадрат хэлбэрийг сөрөг биш (эерэг биш) гэж нэрлэдэг.

. (35)

Энэ тохиолдолд коэффициентүүдийн тэгш хэмтэй матрицыг эерэг хагас тодорхой (сөрөг хагас тодорхой) гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт 4. Бодит квадрат хэлбэрийг эерэг тодорхой (сөрөг тодорхой) гэж нэрлэдэг бөгөөд хэрэв хувьсагчдын аль нэг бодит утгуудын хувьд нэгэн зэрэг тэг биш байвал,

. (36)

Энэ тохиолдолд матрицыг эерэг тодорхой (сөрөг тодорхой) гэж нэрлэдэг.

Эерэг тодорхой (сөрөг тодорхой) хэлбэрийн анги нь сөрөг бус (эсрэг эерэг бус) хэлбэрийн ангийн нэг хэсэг юм.

Сөрөг бус хэлбэрийг өгье. Үүнийг бие даасан квадратуудын нийлбэр гэж төсөөлье.

. (37)

Энэ дүрслэлд бүх квадратууд эерэг байх ёстой:

. (38)

Үнэхээр, хэрэв байгаа бол ийм утгыг сонгох боломжтой байсан

Гэхдээ хувьсагчийн эдгээр утгуудын тусламжтайгаар хэлбэр нь сөрөг утгатай байх бөгөөд энэ нь нөхцөл байдлаас шалтгаалан боломжгүй юм. Мэдээжийн хэрэг, эсрэгээр (37) ба (38) -аас энэ хэлбэр эерэг байна.

Тиймээс сөрөг бус квадрат хэлбэр нь тэгшитгэлээр тодорхойлогддог.

Одоо эерэг тодорхой хэлбэр байцгаая. Дараа нь энэ нь сөрөг бус хэлбэр юм. Тиймээс үүнийг (37) хэлбэрээр илэрхийлж болно, энд бүгд эерэг байна. Хэлбэрийн эерэг тодорхойлоос үзэхэд . Үнэн хэрэгтээ, тэгтэй зэрэгцэхгүй утгуудыг сонгох боломжтой бөгөөд тэгвэл бүгд тэг болж хувирна. Харин дараа нь (37)-ын хүчинд (36) нөхцөлтэй зөрчилдөж байна.

Хэрэв эсрэгээрээ (37)-д байгаа ба бүгд эерэг байвал энэ нь эерэг тодорхой хэлбэр болохыг харахад хялбар байдаг.

Өөрөөр хэлбэл, сөрөг бус хэлбэр нь ганц бие биш тохиолдолд эерэг тодорхойлогдох болно.

Дараах теорем нь хэлбэрийн коэффициентүүд хангах ёстой тэгш бус байдлын хэлбэрийн хэлбэрийн эерэг тодорхой байдлын шалгуурыг өгдөг. Энэ тохиолдолд матрицын дараалсан үндсэн насанд хүрээгүй хүмүүсийн хувьд өмнөх догол мөрөнд аль хэдийн тохиолдсон тэмдэглэгээг ашиглана.

.

Теорем 3. Квадрат хэлбэр эерэг тодорхой байхын тулд тэгш бус байдал хангагдсан байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

Баталгаа. Нөхцөлүүдийн хүрэлцээ (39) нь Жакоби томъёо (28)-аас шууд гардаг. Нөхцөлүүдийн хэрэгцээ (39) нь дараах байдлаар тогтоогдсон. Хэлбэрийн эерэг тодорхойлогдлоос "тасалсан" хэлбэрийн эерэг тодорхойллыг дагадаг

.

Гэхдээ дараа нь эдгээр бүх хэлбэрүүд нь ганц бие биш байх ёстой, i.e.

Одоо бидэнд Жакоби томъёог (28) ( at ) ашиглах боломж байна. Энэ томъёоны баруун талд байгаа бүх квадратууд эерэг байх ёстой

Энэ нь тэгш бус байдлыг илэрхийлдэг (39). Теорем нь батлагдсан.

Хувьсагчдыг зөв дахин дугаарласан матрицын ямар ч үндсэн минорыг зүүн дээд буланд байрлуулж болох тул бид дараах байдалтай байна.

Үр дагавар. Эерэг тодорхой квадрат хэлбэрээр коэффициентийн матрицын бүх том жижиг хэсгүүд эерэг байна:

Сэтгэгдэл. Дараалсан үндсэн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн сөрөг бус байдлаас

хэлбэрийн сөрөг бус байдал дагахгүй. Үнэн бол хэлбэр

,

аль нь , нөхцөлийг хангасан боловч сөрөг биш.

Гэсэн хэдий ч дараахь зүйл хамаарна

Теорем 4. Квадрат хэлбэр нь сөрөг биш байхын тулд түүний коэффициент матрицын бүх том минорууд сөрөг биш байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

Баталгаа. Туслах хэлбэрийг танилцуулъя эерэг биш, энэ нь тэгш бус байдал үүсэхэд шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм.

Эерэг тодорхой квадрат хэлбэрүүд

Тодорхойлолт. -аас квадрат хэлбэр nүл мэдэгдэх зүйл гэж нэрлэдэг эерэг тодорхой, хэрэв түүний зэрэглэл нь эерэг инерцийн индекстэй тэнцүү ба үл мэдэгдэх тоотой тэнцүү бол.

Теорем.Квадрат хэлбэр нь хувьсагчийн тэгээс бусад багц утгуудад эерэг утгыг авсан тохиолдолд л эерэг тодорхойлогддог.

Баталгаа.Квадрат хэлбэр нь үл мэдэгдэхүүдийн доройтдоггүй шугаман хувирал байг

хэвийн байдалд оруулсан

.

Хувьсагчийн утгын тэгээс бусад багцын хувьд ядаж нэг тоо байна тэгээс ялгаатай, өөрөөр хэлбэл. . Теоремын хэрэгцээ нь батлагдсан.

Квадрат хэлбэр нь ямар ч тэг биш хувьсагчид эерэг утгыг авдаг, гэхдээ түүний эерэг инерцийн индекс нь үл мэдэгдэх шугаман хувиргалт юм гэж бодъё.

Үүнийг хэвийн хэлбэрт оруулъя. Ерөнхий байдлыг алдалгүйгээр бид энэ хэвийн хэлбэрээр сүүлчийн хувьсагчийн квадрат нь байхгүй эсвэл хасах тэмдэгтэй байна гэж бид үзэж болно. , хаана эсвэл . Энэ нь шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдсэний үр дүнд олж авсан хувьсагчдын утгуудын тэг биш багц юм гэж үзье.

Энэ системд тэгшитгэлийн тоо нь хувьсагчийн тоотой тэнцүү бөгөөд системийн тодорхойлогч нь тэгээс өөр байна. Крамерын теоремын дагуу систем нь өвөрмөц шийдэлтэй бөгөөд энэ нь тэг биш юм. Энэ багцын хувьд. Нөхцөл байдалтай зөрчилддөг. Бид таамаглалтай зөрчилддөг бөгөөд энэ нь теоремын хангалттай байдлыг нотолж байна.

Энэ шалгуурыг ашиглан квадрат хэлбэр эерэг тодорхой эсэхийг коэффициентүүдээс тодорхойлох боломжгүй юм. Энэ асуултын хариултыг өөр теоремоор өгсөн бөгөөд үүнийг томъёолохын тулд бид өөр ойлголтыг танилцуулж байна. Матрицын үндсэн диагональ минорууд– эдгээр нь түүний зүүн дээд буланд байрлах насанд хүрээгүй хүүхдүүд юм:

, , , … , .

Теорем.Квадрат хэлбэр нь түүний бүх үндсэн диагональ минорууд эерэг байвал эерэг тодорхой байна.

Баталгаабид тоон дээр бүрэн математикийн индукцийн аргыг хэрэгжүүлнэ nквадрат хувьсагч е.

Индукцийн таамаглал.Цөөн хувьсагчтай квадрат хэлбэрийн хувьд гэж үзье nмэдэгдэл үнэн.

-ийн квадрат хэлбэрийг авч үзье nхувьсагч. -ийг агуулсан бүх нэр томъёог оруулъя. Үлдсэн нэр томъёо нь хувьсагчийн квадрат хэлбэрийг бүрдүүлдэг. Индукцийн таамаглалын дагуу энэ мэдэгдэл түүний хувьд үнэн юм.

Квадрат хэлбэрийг эерэг тодорхой гэж үзье. Дараа нь квадрат хэлбэр нь эерэг тодорхой байна. Хэрэв бид тийм биш гэж үзвэл хувьсагчийн утгуудын тэгээс өөр багц байна , үүний төлөө мөн үүний дагуу , мөн энэ нь квадрат хэлбэр нь эерэг тодорхойлогдохтой зөрчилддөг. Индукцийн таамаглалаар квадрат хэлбэрийн бүх үндсэн диагональ минорууд эерэг байна, өөрөөр хэлбэл. квадрат хэлбэрийн бүх эхний үндсэн насанд хүрээгүй хүмүүс еэерэг байна. Квадрат хэлбэрийн сүүлчийн үндсэн бага – Энэ нь түүний матрицын тодорхойлогч юм. Энэ тодорхойлогч нь эерэг, учир нь түүний тэмдэг нь ердийн хэлбэрийн матрицын тэмдэгтэй давхцдаг, өөрөөр хэлбэл. таних матрицын тодорхойлогчийн тэмдгээр.

Квадрат хэлбэрийн бүх үндсэн диагональ минорууд эерэг байвал тэгшитгэлээс эерэг байна . Индукцийн таамаглалаар квадрат хэлбэр нь эерэг тодорхой байдаг тул шинэ хувьсагчдын квадратуудын нийлбэр хэлбэрт хэлбэрийг бууруулж хувьсагчдын доройтдоггүй шугаман хувирал байдаг. Энэ шугаман хувиргалтыг тохируулснаар бүх хувьсагчийн доройтдоггүй шугаман хувиргалт болгон өргөтгөж болно. Энэ хувиргалт нь квадрат хэлбэрийг хэлбэр болгон бууруулдаг

Квадрат хэлбэрийн тухай ойлголт. Квадрат хэлбэрийн матриц. Квадрат хэлбэрийн каноник хэлбэр. Лагранжийн арга. Квадрат хэлбэрийн ердийн дүр төрх. Квадрат хэлбэрийн зэрэглэл, индекс, гарын үсэг. Эерэг тодорхой квадрат хэлбэр. Квадрикс.

Квадрат хэлбэрийн тухай ойлголт:векторын координат дахь хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн олон гишүүнтээр тодорхойлогдсон вектор орон зайн функц.

-аас квадрат хэлбэр nүл мэдэгдэх нийлбэр гэж нэрлэдэг бөгөөд гишүүн бүр нь эдгээр үл мэдэгдэхийн аль нэгнийх нь квадрат эсвэл хоёр өөр үл мэдэгдэх үржвэр юм.

Квадрат матриц:Матрицыг өгөгдсөн үндсэн дээр квадрат хэлбэрийн матриц гэж нэрлэдэг. Хэрэв талбайн шинж чанар нь 2-той тэнцүү биш бол квадрат хэлбэрийн матрицыг тэгш хэмтэй гэж үзэж болно, өөрөөр хэлбэл.

Квадрат хэлбэрийн матрицыг бичнэ үү:

Тиймээс,

Вектор матрицын хувьд квадрат хэлбэр нь:

А, хаана

Квадрат хэлбэрийн каноник хэлбэр:Хэрэв бүх бол квадрат хэлбэрийг каноник гэж нэрлэдэг өөрөөр хэлбэл

Аливаа квадрат хэлбэрийг шугаман хувиргалтыг ашиглан каноник хэлбэрт оруулж болно. Практикт дараах аргуудыг ихэвчлэн ашигладаг.

Лагранжийн арга : бүрэн квадратуудын дараалсан сонголт. Жишээлбэл, хэрэв

Дараа нь ижил төстэй процедурыг квадрат хэлбэрээр гүйцэтгэдэг гэх мэт Хэрэв квадрат хэлбэрээр бүх зүйл харин дараа нь урьдчилсан хувиргалт хийсний дараа асуудал авч үзсэн журамд шилжинэ. Тиймээс, жишээ нь, хэрэв бид таамаглаж байна

Квадрат хэлбэрийн хэвийн хэлбэр:Энгийн квадрат хэлбэр нь бүх коэффициентүүд нь +1 эсвэл -1-тэй тэнцүү байх каноник квадрат хэлбэр юм.

Квадрат хэлбэрийн зэрэглэл, индекс, гарын үсэг:Квадрат хэлбэрийн зэрэглэл Аматрицын зэрэглэл гэж нэрлэдэг А. Мэдэгдэхгүй хувиргах үед квадрат хэлбэрийн зэрэглэл өөрчлөгддөггүй.

Сөрөг коэффициентүүдийн тоог сөрөг хэлбэрийн индекс гэж нэрлэдэг.

Каноник хэлбэрийн эерэг нэр томъёоны тоог квадрат хэлбэрийн инерцийн эерэг индекс, сөрөг гишүүний тоог сөрөг индекс гэж нэрлэдэг. Эерэг ба сөрөг индексүүдийн ялгааг квадрат хэлбэрийн гарын үсэг гэж нэрлэдэг

Эерэг тодорхой квадрат хэлбэр:Жинхэнэ квадрат хэлбэр Хэрэв нэгэн зэрэг тэг биш хувьсагчдын бодит утгууд байвал эерэг тодорхой (сөрөг тодорхой) гэж нэрлэдэг.

. (36)

Энэ тохиолдолд матрицыг эерэг тодорхой (сөрөг тодорхой) гэж нэрлэдэг.

Эерэг тодорхой (сөрөг тодорхой) хэлбэрийн ангилал нь сөрөг бус (эсрэг эерэг бус) хэлбэрийн ангиллын нэг хэсэг юм.

Квадрикууд:Квадрик - n- хэмжээст гипер гадаргуу дотор nХоёрдахь зэрэглэлийн олон гишүүнтийн тэгийн олонлогоор тодорхойлогддог +1 хэмжээст орон зай. Хэрэв та координатыг оруулбал ( x 1 , x 2 , x n+1 ) (евклид эсвэл аффин орон зайд), квадратын ерөнхий тэгшитгэл нь

Энэ тэгшитгэлийг матрицын тэмдэглэгээнд илүү нягт нямбай дахин бичиж болно.

Энд x = ( x 1 , x 2 , x n+1 ) - эгнээ вектор, x T нь шилжүүлсэн вектор, Q- хэмжээ матриц ( n+1)×( n+1) (энэ нь ядаж нэг элемент нь тэг биш гэж үздэг), Пнь эгнээний вектор ба Р- тогтмол. Бодит эсвэл комплекс тоон дээрх квадратуудыг ихэвчлэн авч үздэг. Тодорхойлолтыг проекцын орон зайд квадрик болгон өргөжүүлж болно, доороос үзнэ үү.

Ерөнхийдөө олон гишүүнт тэгшитгэлийн системийн тэгийн багцыг алгебрийн төрөл гэж нэрлэдэг. Тиймээс квадрат нь 2-р зэрэглэлийн (аффин эсвэл проекктив) алгебрийн төрөл ба 1-р код хэмжигдэхүүн юм.

Хавтгай ба орон зайн өөрчлөлтүүд.

Хавтгай хувиргалтын тодорхойлолт. Хөдөлгөөн илрүүлэх. хөдөлгөөний шинж чанар. Хоёр төрлийн хөдөлгөөн: эхний төрлийн хөдөлгөөн ба хоёр дахь төрлийн хөдөлгөөн. Хөдөлгөөний жишээ. Хөдөлгөөний аналитик илэрхийлэл. Онгоцны хөдөлгөөний ангилал (тогтмол цэгүүд ба өөрчлөгдөөгүй шугамууд байгаа эсэхээс хамаарч). Онгоцны хөдөлгөөний бүлэг.

Хавтгай хувиргалтын тодорхойлолт: Тодорхойлолт.Цэгүүдийн хоорондох зайг хадгалсан хавтгай хувирлыг гэнэ хөдөлгөөн(эсвэл хөдөлгөөн) онгоцны. Хавтгай хувиргалтыг гэж нэрлэдэг аффин, хэрэв энэ нь нэг шулуун дээр байрлах дурын гурван цэгийг нэг шулуун дээр байрлах гурван цэг болгон хувиргаж, нэгэн зэрэг гурван цэгийн энгийн хамаарлыг хадгална.

Хөдөлгөөний тодорхойлолт:Эдгээр нь цэгүүдийн хоорондох зайг хадгалдаг хэлбэрийн өөрчлөлтүүд юм. Хэрэв хоёр дүрс хөдөлгөөнөөр бие биетэйгээ яг таарч байвал эдгээр тоо ижил, тэнцүү байна.

Хөдөлгөөний шинж чанарууд:Хавтгайн чиг баримжаа хадгалах хөдөлгөөн бүр нь зэрэгцээ хөрвүүлэлт эсвэл эргэлт юм. Хөдлөх үед шулуун дээр байрлах цэгүүд шулуун дээр байрлах цэгүүд болж хувирах ба тэдгээрийн дараалал хадгалагдана. харьцангуй байрлал. Хөдлөх үед хагас шугамын хоорондох өнцөг хадгалагдана.

Хоёр төрлийн хөдөлгөөн: эхний төрлийн хөдөлгөөн ба хоёр дахь төрлийн хөдөлгөөн.Эхний төрлийн хөдөлгөөнүүд нь тодорхой дүрсийн суурийн чиглэлийг хадгалдаг хөдөлгөөнүүд юм. Тэдгээрийг тасралтгүй хөдөлгөөнөөр хэрэгжүүлэх боломжтой.

Хоёрдахь төрлийн хөдөлгөөнүүд нь суурийн чиглэлийг эсрэгээр нь өөрчилдөг хөдөлгөөнүүд юм. Тэдгээрийг тасралтгүй хөдөлгөөнөөр хэрэгжүүлэх боломжгүй юм.

Эхний төрлийн хөдөлгөөний жишээ нь шулуун шугамын эргэн тойронд орчуулах, эргүүлэх, хоёр дахь төрлийн хөдөлгөөн нь төв ба толин тусгал тэгш хэм юм.

Эхний төрлийн хэд хэдэн хөдөлгөөний найрлага нь эхний төрлийн хөдөлгөөн юм.

Хоёр дахь төрлийн тэгш тооны хөдөлгөөний найрлага нь 1-р төрлийн хөдөлгөөн, 2-р төрлийн сондгой тооны хөдөлгөөний найрлага нь 2-р төрлийн хөдөлгөөн юм.

Хөдөлгөөний жишээ:Зэрэгцээ шилжүүлэг. Өгөгдсөн векторыг a гэж үзье. a вектор руу параллель шилжүүлэх нь хавтгайг өөр дээрээ буулгах бөгөөд M цэг бүрийг M 1 цэгт буулгаж, MM 1 вектор нь а вектортой тэнцүү байна.

Зэрэгцээ орчуулга нь зайг хадгалж, онгоцыг өөр дээрээ буулгаж байгаа учраас хөдөлгөөн юм. Энэ хөдөлгөөнийг өгөгдсөн а векторын чиглэлд бүх хавтгайг уртаар нь шилжүүлэх байдлаар дүрсэлж болно.

Эргүүлэх.Хавтгай дээрх О цэгийг тэмдэглэе ( эргэх төв) ба α өнцгийг тохируулна ( эргэлтийн өнцөг). Хавтгайг О цэгийн эргэн тойронд α өнцгөөр эргүүлэх нь хавтгайг өөр дээрээ буулгах бөгөөд M цэг бүрийг M 1 цэгт буулгаж, OM = OM 1 ба MOM 1 өнцөг нь α-тай тэнцүү байна. Энэ тохиолдолд О цэг нь байрандаа үлддэг, өөрөөр хэлбэл, энэ нь өөр дээрээ дүрслэгдсэн бөгөөд бусад бүх цэгүүд нь О цэгийн эргэн тойронд ижил чиглэлд - цагийн зүүний дагуу эсвэл цагийн зүүний эсрэг эргэлддэг (зураг нь цагийн зүүний эсрэг эргэлтийг харуулж байна).

Эргүүлэх нь хөдөлгөөн юм, учир нь энэ нь онгоцыг өөр дээрээ буулгаж, зайг хадгалдаг.

Хөдөлгөөний аналитик илэрхийлэл:Урьдчилсан зургийн координат ба цэгийн зургийн хоорондох аналитик холболт нь (1) хэлбэртэй байна.

Онгоцны хөдөлгөөний ангилал (тогтмол цэг ба өөрчлөгдөөгүй шугам байгаа эсэхээс хамаарч): Тодорхойлолт:

Хавтгай дээрх цэг нь өгөгдсөн хувиргалтаар өөрөө болж хувирвал өөрчлөгддөггүй (тогтмол) байна.

Жишээ: Төвийн тэгш хэмийн үед тэгш хэмийн төвийн цэг нь өөрчлөгддөггүй. Эргэх үед эргэлтийн төвийн цэг нь өөрчлөгддөггүй. Тэнхлэгийн тэгш хэмийн хувьд инвариант шугам нь шулуун шугам юм - тэгш хэмийн тэнхлэг нь өөрчлөгддөггүй цэгүүдийн шулуун шугам юм.

Теорем: Хөдөлгөөнд нэг хувьсах цэг байхгүй бол ядаж нэг хувьсах чиглэлтэй байна.

Жишээ нь: Зэрэгцээ дамжуулалт. Үнэн хэрэгтээ, энэ чиглэлтэй параллель шулуун шугамууд нь хувьсах цэгүүдээс тогтдоггүй ч бүхэлдээ дүрсийн хувьд өөрчлөгддөггүй.

Теорем: Хэрэв туяа хөдөлж байвал туяа өөрөө хөрвүүлбэл энэ хөдөлгөөн нь өгөгдсөн туяаг агуулсан шулуун шугамын хувьд ижил хувирал эсвэл тэгш хэмтэй байна.

Иймд өөрчлөгддөггүй цэг эсвэл дүрс байгаа эсэх дээр үндэслэн хөдөлгөөнийг ангилах боломжтой.

Хөдөлгөөний нэр	Хувьсах цэгүүд	Хувьсах шугамууд
Эхний төрлийн хөдөлгөөн.
1. - эргэх	(төв) - 0	Үгүй
2. Биеийн хувирал	онгоцны бүх цэгүүд	бүгд шулуун
3. Төвийн тэгш хэм	цэг 0 - төв	0 цэгийг дайран өнгөрөх бүх шугам
4. Зэрэгцээ дамжуулалт	Үгүй	бүгд шулуун
Хоёр дахь төрлийн хөдөлгөөн.
5. Тэнхлэгийн тэгш хэм.	цэгүүдийн багц	тэгш хэмийн тэнхлэг (шулуун шугам) бүх шулуун шугамууд

Хавтгай хөдөлгөөний бүлэг:Геометрийн хувьд чухал үүрэгөөрийгөө нэгтгэсэн дүрүүдийн бүлгүүд тоглодог. Хэрэв хавтгай дээр (эсвэл орон зайд) тодорхой дүрс байвал тухайн зураг өөрөө болж хувирах онгоцны (эсвэл орон зай) бүх хөдөлгөөний багцыг авч үзэж болно.

Энэ багц нь бүлэг юм. Жишээлбэл, тэгш талт гурвалжны хувьд гурвалжинг өөрт нь хувиргах хавтгай хөдөлгөөнүүдийн бүлэг нь нэг цэгийн эргэн тойронд өнцгөөр эргэх, гурван шулуун шугамын тэгш хэмтэй байх 6 элементээс бүрдэнэ.

Тэдгээрийг Зураг дээр үзүүлэв. 1 улаан шугам. Тогтмол гурвалжны өөрийгөө тэгшлэх бүлгийн элементүүдийг өөрөөр зааж өгч болно. Үүнийг тайлбарлахын тулд ердийн гурвалжны оройг 1, 2, 3 тоогоор дугаарлая. Гурвалжны аливаа өөрөө тэгшлэх нь 1, 2, 3-р цэгүүдийг ижил цэгүүд рүү аваачдаг, гэхдээ өөр дарааллаар авдаг, өөрөөр хэлбэл. нөхцөлтэйгээр эдгээр хаалтны аль нэг хэлбэрээр бичиж болно.

гэх мэт.

Энд 1, 2, 3 тоонууд нь авч үзэж буй хөдөлгөөний үр дүнд 1, 2, 3-р оройнууд орох оройнуудын тоог заана.

Проекктив орон зай ба тэдгээрийн загварууд.

Проекктив орон зайн тухай ойлголт ба проекцийн орон зайн загвар. Проекктив геометрийн үндсэн баримтууд. О цэг дээр төвлөрсөн олон тооны шугамууд нь проекцийн хавтгайн загвар юм. Проекктив цэгүүд. Өргөтгөсөн онгоц нь проекцийн хавтгайн загвар юм. Өргөтгөсөн гурван хэмжээст аффин буюу Евклидийн орон зай нь проекцийн орон зайн загвар юм. Зэрэгцээ дизайн дахь хавтгай ба орон зайн дүрсүүдийн зураг.

Проекктив орон зайн тухай ойлголт ба проекцийн орон зайн загвар:

Талбар дээрх проекцийн орон зай нь тухайн талбар дээрх зарим шугаман орон зайн шугамаас (нэг хэмжээст дэд орон зай) тогтсон орон зай юм. Шууд зай гэж нэрлэдэг цэгүүдпроекцийн орон зай. Энэ тодорхойлолтыг дурын байгууллагад нэгтгэж болно

Хэрэв энэ нь хэмжээстэй бол проекцийн орон зайн хэмжээсийг тоо гэж нэрлэдэг бөгөөд проекцийн орон зайг өөрөө тэмдэглэж, түүнтэй холбоотой гэж нэрлэдэг (үүнийг харуулахын тулд тэмдэглэгээг авсан).

Хэмжээний вектор орон зайгаас харгалзах проекцийн орон зай руу шилжих шилжилтийг гэнэ төсөөлөлзай.

Нэг төрлийн координатыг ашиглан цэгүүдийг дүрсэлж болно.

Проекктив геометрийн үндсэн баримтууд:Проекктив геометр нь проекцийн хавтгай ба орон зайг судалдаг геометрийн салбар юм. Гол онцлогПроекктив геометр нь хоёрдмол байдлын зарчим дээр суурилдаг бөгөөд энэ нь олон загварт гоёмсог тэгш хэмийг нэмдэг. Проекцийн геометрийг цэвэр геометрийн үүднээс, аналитик (нэг төрлийн координатыг ашиглан) болон салгебрийн талаас нь судалж, проекцийн хавтгайг талбайн дээрх бүтэц гэж үзэж болно. Ихэнхдээ, түүхийн хувьд бодит проекцийн хавтгайг "хязгааргүй шугам" нэмсэн Евклидийн хавтгай гэж үздэг.

Харин Евклидийн геометрийн харьцдаг дүрсүүдийн шинж чанарууд байдаг хэмжүүр(өнцөг, сегмент, талбайн тодорхой утгууд) ба тоонуудын эквивалент нь тэдгээртэй тэнцүү байна. нийцэл(жишээ нь хэмжигдэхүүнийг хадгалахын зэрэгцээ хөдөлгөөнөөр дүрсүүдийг бие бие рүүгээ хөрвүүлэх боломжтой үед) илүү "гүнзгий" шинж чанарууд байдаг. геометрийн хэлбэрүүд-аас дээш хувирах явцад хадгалагддаг ерөнхий төрөлхөдөлгөөнөөс илүү. Проекктив геометр нь ангиллын дагуу өөрчлөгддөггүй дүрсүүдийн шинж чанарыг судлахтай холбоотой юм проекцийн хувиргалтууд, түүнчлэн эдгээр өөрчлөлтүүд өөрсдөө.

Проекктив геометр нь Евклидийг нөхөж, үзэсгэлэнтэй ба энгийн шийдлүүдзэрэгцээ шугамууд байгаа тул төвөгтэй олон асуудлын хувьд. Конус огтлолын проекцийн онол нь ялангуяа энгийн бөгөөд гоёмсог юм.

Проекктив геометрийн гурван үндсэн хандлага байдаг: бие даасан аксиоматжуулалт, Евклидийн геометрийг нөхөх, талбар дээрх бүтэц.

Аксиоматжуулалт

Проекцийн орон зайг өөр аксиомын багц ашиглан тодорхойлж болно.

Coxeter дараахь зүйлийг өгдөг.

1. Шулуун шугам байдаг ба түүн дээр биш цэг байдаг.

2. Шугам бүр дор хаяж гурван цэгтэй байна.

3. Хоёр цэгээр дамжуулан та яг нэг шулуун шугам зурж болно.

4. Хэрэв А, Б, C, Мөн Д- янз бүрийн цэгүүд болон ABТэгээд CDогтлолцох, тэгвэл А.С.Тэгээд Б.Догтлолцох.

5. Хэрэв ABCЭнэ нь онгоц бол тэр хавтгайд байхгүй ядаж нэг цэг байна ABC.

6. Хоёр өөр хавтгай дор хаяж хоёр цэгийг огтолно.

7. Бүтэн дөрвөлжингийн диагональ гурван цэг нь шугаман биш юм.

8. Гурван цэг нэг шулуун дээр байвал X X

Проекцийн хавтгай (гурав дахь хэмжээсгүй) нь арай өөр аксиомоор тодорхойлогддог.

1. Хоёр цэгээр дамжуулан та яг нэг шулуун шугам зурж болно.

2. Дурын хоёр шулуун огтлолцоно.

3. Дөрвөн цэг байдгаас гурав нь хоорондоо уялдаатай биш.

4. Бүтэн дөрвөлжингийн диагональ гурван цэг нь шугаман биш юм.

5. Гурван цэг нэг шулуун дээр байвал Xφ-ийн проекцын хувьд инвариант байна, тэгвэл бүх цэгүүд дээр байна Xφ-ийн хувьд өөрчлөгддөггүй.

6. Дезаргесын теорем: Хэрэв хоёр гурвалжин нь цэгээр дамжих хэтийн төлөв бол шулуунаар дамжсан хэтийн төлөв болно.

Гурав дахь хэмжигдэхүүн байгаа тохиолдолд Дезаргесын теоремыг хамгийн тохиромжтой цэг ба шугамыг оруулахгүйгээр баталж болно.

Өргөтгөсөн хавтгай - проекцийн хавтгай загвар: A3 аффин орон зайд бид төв нь О цэгт байрладаг S(O) шулуун ба багцын төвөөр дамждаггүй Π хавтгайг авна: O 6∈ Π. Аффин орон зай дахь шугамын багц нь проекцийн хавтгайн загвар юм. Хавтгайн Π цэгүүдийн багцыг S холбогчийн шулуун шугамын зураглалыг тодорхойлъё (Ноов, хэрэв танд энэ асуулт байгаа бол намайг уучлаарай)

Өргөтгөсөн гурван хэмжээст аффин буюу Евклидийн орон зай—проекктив орон зайн загвар:

Зураглалыг сурьектив болгохын тулд бид аффин хавтгайг Π проекцын хавтгайд албан ёсоор сунгах үйл явцыг давтаж, Π хавтгайг буруу цэгүүдийн багцаар (M∞) нөхөж: ((M∞)) = P0(O). Газрын зураг дээр S(O) хавтгайнуудын хавтгай тус бүрийн урвуу дүрс нь d хавтгай дээрх шулуун байгаа тул сунгасан хавтгайн бүх буруу цэгүүдийн багц нь тодорхой байна: Π = Π ∩ (M∞) , (M∞) нь өргөтгөсөн хавтгайн буруу d∞ шулууныг илэрхийлдэг бөгөөд энэ нь Π0 ганц хавтгайн урвуу дүрс юм: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23) Эндээс хойш бид P0(O) = Π0 сүүлчийн тэгшитгэлийг цэгийн олонлогийн тэгш байдал гэсэн утгаар ойлгох болно, гэхдээ өөр бүтэцтэй. Аффин хавтгайг буруу шугамаар нэмэгдүүлснээр бид зураглал (I.21) өргөтгөсөн хавтгайн бүх цэгийн олонлог дээр хоёр талтай болохыг баталгаажуулсан.

Зэрэгцээ дизайн хийх үед хавтгай ба орон зайн дүрсүүдийн зураг:

Стереометрийн хувьд орон зайн дүрсийг судалдаг боловч зураг дээр тэдгээрийг хавтгай дүрс хэлбэрээр дүрсэлсэн байдаг. Онгоцонд орон зайн дүрсийг хэрхэн дүрслэх ёстой вэ? Ихэвчлэн геометрийн хувьд параллель загварыг үүнд ашигладаг. p ямар нэг онгоц байг, л- түүнийг огтолж буй шулуун шугам (Зураг 1). Дурын цэгээр дамжуулан А, шугаманд хамаарахгүй л, шугамтай зэрэгцээ шугам зур л. Энэ шулууны p хавтгайтай огтлолцох цэгийг цэгийн зэрэгцээ проекц гэнэ Ашулуун шугамын чиглэлд p хавтгайд л. Үүнийг тэмдэглэе А". Хэрэв цэг Амөрөнд хамаарна л, дараа нь зэрэгцээ проекцоор Ашугамын огтлолцлын цэгийг p хавтгай дээр байна гэж үзнэ лонгоцтой p.

Тиймээс цэг бүр Аорон зай түүний проекцийг харьцуулсан болно А" p хавтгай дээр. Энэ харилцлыг шулуун шугамын чиглэлд p хавтгайд параллель проекц гэж нэрлэдэг. л.

Проекктив хувиргалтын бүлэг. Асуудлыг шийдвэрлэх програм.

Хавтгайг проекц хувиргах тухай ойлголт. Хавтгайн проекцийн өөрчлөлтүүдийн жишээ. Проекктив хувиргалтын шинж чанарууд. Гомологи, гомологийн шинж чанар. Проекктив хувиргалтын бүлэг.

Хавтгайг проекц хувиргах тухай ойлголт:Проекктив өөрчлөлтийн тухай ойлголт нь төв проекцын тухай ойлголтыг ерөнхийд нь илэрхийлдэг. Хэрэв бид α хавтгайг ямар нэгэн α 1 хавтгайд төвлөрсөн проекцийг хийвэл α 1-ийн α 2, α 2 дээр α 3, ..., эцэст нь α хавтгайд проекц хийнэ. nдахин α 1 дээр, дараа нь эдгээр бүх төсөөллийн найрлага нь α хавтгайн проекц хувиргалт юм; Ийм гинжин хэлхээнд параллель төсөөллийг ч оруулж болно.

Проекктив хавтгай хувиргалтын жишээ:Дууссан хавтгайн проекцийн хувиргалт нь цэгүүдийн харилцан уялдаа холбоог хадгалсан, өөрөөр хэлбэл аливаа шулууны дүрс нь шулуун шугам болох нэг нэгээр нь дүрслэх явдал юм. Аливаа проекцийн хувиргалт нь төв ба зэрэгцээ төсөөллийн гинжин хэлхээний найрлага юм. Аффин хувиргалт нь хязгааргүйд байгаа шугам өөрөө болж хувирдаг проекктив хувирлын онцгой тохиолдол юм.

Проекктив хувиргалтын шинж чанарууд:

Проекктив хувирлын үед шулуун дээр хэвтээгүй гурван цэг нь шулуун дээр хэвтээгүй гурван цэг болж хувирдаг.

Проекцийн өөрчлөлтийн үед хүрээ нь хүрээ болдог.

Проекктив хувирлын үед шугам нь шулуун шугам руу, харандаа нь харандаа руу ордог.

Гомологи, гомологийн шинж чанарууд:

Инвариант цэгүүдийн шугамтай, тиймээс инвариант шугамын харандаатай хавтгайн проекц хувирлыг гомологи гэж нэрлэдэг.

1. Давхцаагүй харгалзах гомологийн цэгүүдийг дайран өнгөрч буй шугамыг инвариант шулуун гэнэ;

2. Давхцаагүй харгалзах гомологийн цэгүүдийг дайран өнгөрч буй шугамууд нь нэг харандаанд хамаарах бөгөөд түүний төв нь өөрчлөгддөггүй цэг юм.

3. Цэг, түүний дүрс, ижил төстэй төв нь нэг шулуун дээр байрладаг.

Проекцийн өөрчлөлтүүдийн бүлэг: P 2 проекцын хавтгайн проекцын зураглалыг, өөрөөр хэлбэл энэ хавтгайн проекц хувирлыг (P 2 ' = P 2) авч үзье.

Өмнөхтэй адил, P 2 проекцийн хавтгайн f 1 ба f 2 проекцын хувиргалтын найрлага нь f 1 ба f 2 хувиргалтыг дараалан гүйцэтгэсний үр дүн юм: f = f 2 ° f 1.

Теорем 1: P 2 проекцийн хавтгайн бүх проекц хувиргалтын H олонлог нь проекц хувиргалтын бүрэлдэхүүнд хамаарах бүлэг юм.

Квадрат хэлбэр n хувьсагчийн f(x 1, x 2,...,x n) нь гишүүн бүр нь аль нэг хувьсагчийн квадрат эсвэл тодорхой коэффициентээр авсан хоёр өөр хувьсагчийн үржвэр болох нийлбэр юм: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij =a ji).

Эдгээр коэффициентуудаас бүрдэх А матрицыг квадрат хэлбэрийн матриц гэнэ. Үргэлж л байдаг тэгш хэмтэйматриц (өөрөөр хэлбэл үндсэн диагональтай харьцуулахад тэгш хэмтэй матриц, a ij =a ji).

Матрицын тэмдэглэгээнд квадрат хэлбэр нь f(X) = X T AX, энд байна

Үнэхээр

Жишээлбэл, квадрат хэлбэрийг матриц хэлбэрээр бичье.

Үүнийг хийхийн тулд бид квадрат хэлбэрийн матрицыг олдог. Түүний диагональ элементүүд нь квадрат хувьсагчийн коэффициентүүдтэй тэнцүү, үлдсэн элементүүд нь квадрат хэлбэрийн харгалзах коэффициентүүдийн хагастай тэнцүү байна. Тийм ч учраас

Y матриц баганын доройтоогүй шугаман хувиргалтаар Х хувьсагчийн матриц-баганыг олъё, өөрөөр хэлбэл. X = CY, энд C нь n-р эрэмбийн ганц биш матриц юм. Дараа нь f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (C T AC)Y квадрат хэлбэр.

Ийнхүү доройтдоггүй шугаман C хувиргалттай квадрат хэлбэрийн матриц нь дараах хэлбэртэй байна: A * =C T AC.

Жишээлбэл, f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 квадрат хэлбэрээс авсан f(y 1, y 2) квадрат хэлбэрийг шугаман хувиргалтаар олъё.

Квадрат хэлбэрийг нэрлэдэг каноник(байна каноник үзэл), хэрэв i≠j-ийн хувьд түүний бүх коэффициентsa ij = 0 бол f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Түүний матриц нь диагональ юм.

Теорем(нотолгоо энд өгөөгүй). Ямар ч квадрат хэлбэрийг доройтдоггүй шугаман хувиргалтыг ашиглан каноник хэлбэрт оруулж болно.

Жишээлбэл, f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 гэсэн квадрат хэлбэрийг каноник хэлбэрт оруулъя.

Үүнийг хийхийн тулд эхлээд x 1 хувьсагчтай бүтэн квадратыг сонгоно уу.

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

Одоо бид x 2 хувьсагчтай бүтэн квадратыг сонгоно.

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 = = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

Дараа нь доройтдоггүй шугаман хувиргалт y 1 = x 1 + x 2,y 2 = x 2 – (1/10)x 3 ба y 3 = x 3 нь энэ квадрат хэлбэрийг f(y 1,y 2,) каноник хэлбэрт авчирдаг. y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)у 3 2 .

Квадрат хэлбэрийн каноник хэлбэр нь хоёрдмол утгатай болохыг анхаарна уу (ижил квадрат хэлбэрийг каноник хэлбэр болгон бууруулж болно. янз бүрийн аргаар 1). Гэсэн хэдий ч хүлээн авсан янз бүрийн аргаарканоник хэлбэрүүд нь хэд хэдэн ерөнхий шинж чанартай байдаг. Ялангуяа квадрат хэлбэрийн эерэг (сөрөг) коэффициент бүхий нэр томъёоны тоо нь хэлбэрийг энэ хэлбэрт оруулах аргаас хамаардаггүй (жишээлбэл, авч үзсэн жишээнд үргэлж хоёр сөрөг, нэг эерэг коэффициент байх болно). Энэ өмчийг нэрлэдэг квадрат хэлбэрийн инерцийн хууль.

Ижил квадрат хэлбэрийг каноник хэлбэрт өөр аргаар авчрах замаар үүнийг баталгаажуулцгаая. Х 2:f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + хувьсагчаар хувиргалтыг эхлүүлье. 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = -3(x 2 2 – - 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2) /3) x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = = -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2) /3) x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =f(y 1 ,y 2 ,y 3) = -3y 1 2 - - 3y 2 2 + 2y 3 2 , энд y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3 ,y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 ба y 3 = x 1. Энд y 3-ийн хувьд эерэг коэффициент 2, y 1 ба y 2-ийн хувьд хоёр сөрөг коэффициент (-3) байна (мөн өөр аргыг ашиглан бид y 1-ийн хувьд эерэг 2 коэффициент, хоёр сөрөг коэффициентийг авсан - (-5) y 2 ба (-1/20) y 3 хувьд).

Түүнчлэн квадрат хэлбэрийн матрицын зэрэглэл гэж нэрлэгддэг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй квадрат хэлбэрийн зэрэглэл, нь каноник хэлбэрийн тэгээс өөр коэффициентүүдийн тоотой тэнцүү бөгөөд шугаман хувиргалтуудын үед өөрчлөгддөггүй.

f(X) квадрат хэлбэрийг нэрлэнэ эерэгээр(сөрөг)тодорхой, хэрэв хувьсагчийн бүх утгуудын хувьд нэгэн зэрэг тэг биш бол эерэг байна, өөрөөр хэлбэл f(X) > 0 (сөрөг, өөрөөр хэлбэл f(X))< 0).

Жишээлбэл, f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 квадрат хэлбэр нь эерэг тодорхой, учир нь квадратуудын нийлбэр бөгөөд квадрат хэлбэр f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 сөрөг тодорхойлогддог, учир нь үүнийг f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2 хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Ихэнх практик нөхцөлд квадрат хэлбэрийн тодорхой тэмдгийг тогтоох нь арай илүү хэцүү байдаг тул үүний тулд бид дараах теоремуудын аль нэгийг ашигладаг (бид тэдгээрийг нотлох баримтгүйгээр томъёолох болно).

Теорем. Квадрат хэлбэр нь зөвхөн бүх тохиолдолд эерэг (сөрөг) тодорхой байна хувийн үнэ цэнэтүүний матрицууд эерэг (сөрөг) байна.

Теорем (Сильвестерийн шалгуур). Энэ хэлбэрийн матрицын бүх тэргүүлэх жижиг хэсгүүд эерэг байвал квадрат хэлбэр нь эерэг тодорхой байна.

Үндсэн (булангийн) бага A () матрицын эхний k мөр, баганаас бүрдэх An-р эрэмбийн k-р эрэмбийн матрицуудыг матрицын тодорхойлогч гэж нэрлэдэг.

Сөрөг тодорхой квадрат хэлбэрийн хувьд үндсэн насанд хүрээгүй тэмдэгтүүд ээлжлэн солигдох ба эхний эрэмбийн бага нь сөрөг байх ёстойг анхаарна уу.

Жишээ нь, f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 квадрат хэлбэрийг тэмдгийн тодорхой байдлын үүднээс авч үзье.

= (2 -)* *(3 -) – 4 = (6 - 2- 3+ 2) – 4 = 2 - 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17; . Тиймээс квадрат хэлбэр нь эерэг тодорхойлогддог.

Арга 2. А матрицын нэгдүгээр эрэмбийн минор минор  1 =a 11 = 2 > 0. Хоёрдугаар эрэмбийн үндсэн минор  2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Иймд Сильвестерийн шалгуурын дагуу квадрат хэлбэр нь эерэг тодорхой.

Тэмдгийн тодорхой байдлын өөр нэг квадрат хэлбэрийг авч үзье, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Арга 1. А = квадрат хэлбэрийн матрицыг байгуулъя. Онцлог тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна = (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17 ; . Тиймээс квадрат хэлбэр нь сөрөг тодорхойлогддог.

Арга 2. А матрицын нэгдүгээр эрэмбийн үндсэн минор  1 =a 11 = = -2< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. Иймээс, Сильвестерийн шалгуурын дагуу квадрат хэлбэр нь сөрөг тодорхой байна (насан хүрээний үндсэн хүүхдүүдийн тэмдэг хасахаас эхлэн ээлжлэн солигдоно).

Мөн өөр нэг жишээ болгон бид тэмдгээр тодорхойлогдсон f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 квадрат хэлбэрийг судалж байна.

Арга 1. А = квадрат хэлбэрийн матрицыг байгуулъя. Онцлог тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна = (2 -)* *(-3 -) – 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) – 4 = 2 +- 10 = 0;D= 1 + 40 = 41; . Эдгээр тоонуудын нэг нь сөрөг, нөгөө нь эерэг байна. Хувийн утгын шинж тэмдгүүд нь өөр өөр байдаг. Тиймээс квадрат хэлбэр нь сөрөг эсвэл эерэг тодорхойгүй байж болно, i.e. Энэ квадрат хэлбэр нь тодорхой тэмдэгт биш (энэ нь ямар ч тэмдгийн утгыг авч болно).

Арга 2. А матрицын нэгдүгээр эрэмбийн минор минор  1 =a 11 = 2 > 0. Хоёрдугаар эрэмбийн үндсэн минор 2 = = -6 – 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1Квадрат хэлбэрийг каноник хэлбэрт оруулах авч үзсэн арга нь хувьсагчдын квадраттай тэгээс өөр коэффициенттэй тулгарах үед хэрэглэхэд тохиромжтой. Хэрэв тэдгээр нь байхгүй бол хөрвүүлэлт хийх боломжтой хэвээр байгаа ч та бусад техникийг ашиглах хэрэгтэй. Жишээлбэл, f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - x 1 2 - x 2 2 = гэж үзье.

= (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 1 x 2 = (x 1) + x 2) 2 – - (x 1 - x 2) 2 - 2x 1 x 2 ; 4x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 - x 2) 2 ;f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = (1/2)* *(x 1 + x 2) ) 2 – (1/2)*(x 1 - x 2) 2 =f(y 1 ,y 2) = (1/2)y 1 2 – (1/2)y 2 2, энд y 1 = x 1 + x 2, аy 2 = x 1 – x 2.

Квадрат хэлбэрүүд

Квадрат хэлбэр n хувьсагчийн f(x 1, x 2,...,x n) нь гишүүн бүр нь аль нэг хувьсагчийн квадрат эсвэл тодорхой коэффициентээр авсан хоёр өөр хувьсагчийн үржвэр болох нийлбэр юм: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji).

Эдгээр коэффициентуудаас бүрдэх А матрицыг квадрат хэлбэрийн матриц гэнэ. Үргэлж л байдаг тэгш хэмтэйматриц (өөрөөр хэлбэл үндсэн диагональтай харьцуулахад тэгш хэмтэй матриц, a ij = a ji).

Матрицын тэмдэглэгээнд квадрат хэлбэр нь f(X) = X T AX, энд байна

Үнэхээр

Жишээлбэл, квадрат хэлбэрийг матриц хэлбэрээр бичье.

Үүнийг хийхийн тулд бид квадрат хэлбэрийн матрицыг олдог. Түүний диагональ элементүүд нь квадрат хувьсагчийн коэффициентүүдтэй тэнцүү, үлдсэн элементүүд нь квадрат хэлбэрийн харгалзах коэффициентүүдийн хагастай тэнцүү байна. Тийм ч учраас

Y матриц баганын доройтоогүй шугаман хувиргалтаар Х хувьсагчийн матриц-баганыг олъё, өөрөөр хэлбэл. X = CY, энд C нь n-р эрэмбийн ганц биш матриц юм. Дараа нь квадрат хэлбэр
f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Ийнхүү доройтдоггүй шугаман C хувиргалтаар квадрат хэлбэрийн матриц нь дараах хэлбэртэй байна: A * = C T AC.

Жишээлбэл, f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 квадрат хэлбэрээс авсан f(y 1, y 2) квадрат хэлбэрийг шугаман хувиргалтаар олъё.

Квадрат хэлбэрийг нэрлэдэг каноник(байна каноник үзэл), хэрэв i ≠ j-ийн хувьд түүний бүх коэффициент a ij = 0 бол i.e.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Түүний матриц нь диагональ юм.

Теорем(энд нотлох баримт өгөөгүй). Ямар ч квадрат хэлбэрийг доройтдоггүй шугаман хувиргалтыг ашиглан каноник хэлбэрт оруулж болно.

Жишээлбэл, квадрат хэлбэрийг каноник хэлбэр болгон бууруулъя
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

Үүнийг хийхийн тулд эхлээд x 1 хувьсагчтай бүтэн квадратыг сонгоно уу.

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

Одоо бид x 2 хувьсагчтай бүтэн квадратыг сонгоно.

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

Дараа нь доройтдоггүй шугаман хувиргалт y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 – (1/10)x 3 ба y 3 = x 3 нь энэ квадрат хэлбэрийг f(y 1, y 2) каноник хэлбэрт авчирдаг. , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Квадрат хэлбэрийн каноник хэлбэр нь хоёрдмол утгатай тодорхойлогддог гэдгийг анхаарна уу (ижил квадрат хэлбэрийг янз бүрийн аргаар каноник хэлбэрт оруулж болно). Гэсэн хэдий ч янз бүрийн аргаар олж авсан каноник хэлбэрүүд нь хэд хэдэн байдаг ерөнхий шинж чанарууд. Ялангуяа квадрат хэлбэрийн эерэг (сөрөг) коэффициент бүхий нэр томъёоны тоо нь хэлбэрийг энэ хэлбэрт оруулах аргаас хамаардаггүй (жишээлбэл, авч үзсэн жишээнд үргэлж хоёр сөрөг, нэг эерэг коэффициент байх болно). Энэ өмчийг нэрлэдэг квадрат хэлбэрийн инерцийн хууль.

Ижил квадрат хэлбэрийг каноник хэлбэрт өөр аргаар авчрах замаар үүнийг баталгаажуулцгаая. Өөрчлөлтийг x 2 хувьсагчаар эхлүүлье:
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(x 2 2 -
- 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, энд y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 ба y 3 = x 1. Энд y 3 үед 2 эерэг коэффициент, y 1 ба y 2 үед хоёр сөрөг коэффициент (-3) байна (мөн өөр аргыг ашиглан бид y 1 үед эерэг 2 коэффициент, хоёр сөрөг коэффициентийг авсан - (-5) үед. y 2 ба (-1 /20) y 3).

Түүнчлэн квадрат хэлбэрийн матрицын зэрэглэл гэж нэрлэгддэг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй квадрат хэлбэрийн зэрэглэл, нь каноник хэлбэрийн тэгээс өөр коэффициентүүдийн тоотой тэнцүү бөгөөд шугаман хувиргалтуудын үед өөрчлөгддөггүй.

f(X) квадрат хэлбэрийг нэрлэнэ эерэгээр (сөрөг) тодорхой, хэрэв хувьсагчийн бүх утгуудын хувьд нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш бол энэ нь эерэг байна, өөрөөр хэлбэл. f(X) > 0 (сөрөг, өөрөөр хэлбэл.
f(X)< 0).

Жишээлбэл, f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 квадрат хэлбэр нь эерэг тодорхой, учир нь квадратуудын нийлбэр бөгөөд квадрат хэлбэр f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 сөрөг тодорхойлогддог, учир нь үүнийг f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2 хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Ихэнх практик нөхцөлд квадрат хэлбэрийн тодорхой тэмдгийг тогтоох нь арай илүү хэцүү байдаг тул үүний тулд бид дараах теоремуудын аль нэгийг ашигладаг (бид тэдгээрийг нотлох баримтгүйгээр томъёолох болно).

Теорем. Квадрат хэлбэр нь түүний матрицын бүх хувийн утга эерэг (сөрөг) байвал эерэг (сөрөг) тодорхой байна.

Теорем (Сильвестерийн шалгуур). Энэ хэлбэрийн матрицын бүх тэргүүлэх жижиг хэсгүүд эерэг байвал квадрат хэлбэр нь эерэг тодорхой байна.

Үндсэн (булангийн) бага n-р эрэмбийн k-р эрэмбийн А матрицыг матрицын тодорхойлогч гэж нэрлэдэг бөгөөд А матрицын эхний k мөр, баганаас бүрдсэн ().

Сөрөг тодорхой квадрат хэлбэрийн хувьд үндсэн насанд хүрээгүй тэмдэгтүүд ээлжлэн солигдох ба эхний эрэмбийн бага нь сөрөг байх ёстойг анхаарна уу.

Жишээ нь, f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 квадрат хэлбэрийг тэмдгийн тодорхой байдлын үүднээс авч үзье.

= (2 - л)*
*(3 - л) – 4 = (6 - 2л - 3л + л 2) – 4 = л 2 - 5л + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Тиймээс квадрат хэлбэр нь эерэг тодорхойлогддог.

Арга 2. А матрицын нэгдүгээр эрэмбийн үндсэн минор D 1 = a 11 = 2 > 0. Хоёрдугаар эрэмбийн минор D 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Иймд Сильвестерийн шалгуурын дагуу квадрат хэлбэр нь эерэг тодорхой.

Тэмдгийн тодорхой байдлын өөр нэг квадрат хэлбэрийг авч үзье, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Арга 1. А = квадрат хэлбэрийн матрицыг байгуулъя. Онцлог тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна = (-2 - л)*
*(-3 - л) – 4 = (6 + 2л + 3л + л 2) – 4 = л 2 + 5л + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Тиймээс квадрат хэлбэр нь сөрөг тодорхойлогддог.