Тодорхойлолт 1. Тухайн домэйн дэх вектор талбар бол функцийг домэйн дэх А талбарын потенциал гэж нэрлэнэ

Тодорхойлолт 2. Боломжит талбарыг боломжит талбар гэнэ.

Холбогдсон мужид хэсэгчилсэн дериватив нь тогтмол хүртэл функцийг тодорхойлдог тул ийм мужид талбайн потенциал нь нэмэлт тогтмол хүртэл тодорхойлогддог.

Хичээлийн эхний хэсэгт бид боломжийн талаар товч ярьсан. Энд бид энэ чухал ойлголтыг бага зэрэг нарийвчлан авч үзэх болно. Эдгээр тодорхойлолтуудтай холбогдуулан физикийн хувьд янз бүрийн хүчний талбаруудыг авч үзэхдээ талбайн потенциалыг ихэвчлэн ийм функц гэж нэрлэдэг тул ийм потенциал нь 1-р тодорхойлолтоос зөвхөн тэмдгээр ялгаатай болохыг тэмдэглэе.

Жишээ 1. Сансар огторгуйн радиус вектор бүхий цэгийн координатын эхэнд байрлуулсан M цэгийн массаас үүссэн таталцлын талбайн хүчийг Ньютоны хуулийн дагуу тооцоолно.

Энэ нь орон зайн харгалзах цэгийн нэгж масс дээр тухайн талбайн үйлчлэх хүч юм. Таталцлын талбар (1)

болзошгүй. Тодорхойлолт 1 гэсэн утгаараа түүний боломж бол функц юм

Жишээ 2. Хүчдэл E цахилгаан оронКулонын хуулийн дагуу тооцоолсон радиус вектортой, огторгуйн цэг дээр байрлах цэгийн цэнэг

Гурвалсан интеграл дахь хувьсагчийн өөрчлөлт. Жишээ нь: цилиндр ба бөмбөрцөг координатын тохиолдлууд.

Гөлгөр гадаргуугийн талбайн тооцоог параметрийн болон тодорхой зааж өгсөн. Гадаргуугийн талбайн элемент.

Нэгдүгээр төрлийн муруйн интегралын тодорхойлолт, түүний үндсэн шинж чанар, тооцоо.

Хоёр дахь төрлийн муруйн интегралын тодорхойлолт, түүний үндсэн шинж чанар, тооцоо. Эхний төрлийн интегралтай холболт.

Ногоон томъёо. Хавтгай дээрх муруйн интеграл нь интегралын замаас хамаарахгүй байх нөхцөл.

Нэгдүгээр төрлийн гадаргуугийн интегралын тодорхойлолт, түүний үндсэн шинж чанар, тооцоо.

Хоёр дахь төрлийн гадаргуугийн интегралын тодорхойлолт, түүний үндсэн шинж чанар, тооцоо. Эхний төрлийн интегралтай холболт.

Гаусс-Остроградскийн теорем, түүнийг координат ба вектор (инвариант) хэлбэрээр бүртгэх.

Стоксын теорем, координат ба вектор (инвариант) хэлбэрээр дүрслэх.

Орон зай дахь муруйн интеграл нь интегралын замаас хамаарахгүй байх нөхцөл.

Скаляр талбар. Скаляр талбайн градиент ба түүний шинж чанарууд. Декарт координат дахь градиентийн тооцоо.

Вектор талбарын тодорхойлолт. Градиент талбар. Боломжит талбар, боломжийн нөхцөл.

Гадаргуугаар урсах вектор талбар. Векторын талбайн ялгаралын тодорхойлолт, түүний шинж чанарууд. Декарт координат дахь ялгааны тооцоо.

Соленоидын векторын талбарууд, соленоидын нөхцөлүүд.

Вектор талбайн эргэлт ба вектор талбайн ротор. Декарт координат дахь роторын тооцоо.

Хамилтон оператор (набла), хоёр дахь эрэмбийн дифференциал үйлдлүүд, тэдгээрийн хоорондын холболтууд.

Нэгдүгээр эрэмбийн ode-тэй холбоотой үндсэн ойлголтууд: ерөнхий ба тусгай шийдэл, ерөнхий интеграл, интеграл муруй. Кошигийн асуудал, түүний геометрийн утга.

Нэгдүгээр эрэмбийн odes-уудыг салгаж болох ба нэгэн төрлийн хувьсагчтай нэгтгэх.

Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман тэгшитгэл ба Бернулли тэгшитгэлийн интеграл.

Нийт дифференциал дахь нэгдүгээр эрэмбийн оддыг нэгтгэх. Интеграцийн хүчин зүйл.

Параметр оруулах арга. Лагранж, Клэйрот нарын нэгдүгээр зэрэглэлийн дууны интеграцчлал.

Дөрвөлжин хэлбэрээр нэгтгэгдэж, дарааллыг багасгах боломжийг олгодог дээд эрэмбийн хамгийн энгийн дуунууд.

Шугаман оддын системийн хэвийн хэлбэр, скаляр ба вектор (матриц) тэмдэглэгээ. Шугаман коэффициентийн ердийн системийн Коши бодлого, түүний геометрийн утга.

Вектор функцийн шугаман хамааралтай ба шугаман бие даасан систем. Шугаман хамаарлын зайлшгүй нөхцөл. Нэг төрлийн шугаман оддын системийн шийдлийн Вронски тодорхойлогчийн тухай теорем.

Нэг төрлийн бус шугаман оддын хэвийн системийн ерөнхий шийдийн тухай теорем (ерөнхий шийдлийн бүтцийн тухай).

Нэг төрлийн бус шугаман оддын хэвийн системийн хэсэгчилсэн шийдлийг олох дурын тогтмолуудын өөрчлөлтийн арга.

Онцлог тэгшитгэлийн энгийн бодит язгуурын хувьд тогтмол коэффициент бүхий нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэлийн ердийн системийн шийдлийн үндсэн систем.

Шугаман хамааралтай ба шугаман бие даасан функцүүдийн системүүд. Шугаман хамаарлын зайлшгүй нөхцөл. Нэг төрлийн шугаман кодын шийдүүдийн Вронски тодорхойлогчийн тухай теорем.

Нэг төрлийн шугаман одагийн ерөнхий шийдийн тухай (ерөнхий шийдлийн бүтцийн тухай) теорем.

Нэг төрлийн бус шугаман одагийн ерөнхий шийдийн тухай (ерөнхий шийдлийн бүтцийн тухай) теорем.

Нэг төрлийн бус шугаман одагийн хэсэгчилсэн шийдлийг олох дурын тогтмолуудын өөрчлөлтийн арга.

Бодит эсвэл нийлмэл шинж чанартай тэгшитгэлийн энгийн язгуурын хувьд тогтмол коэффициент бүхий нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэлийн шийдлийн үндсэн систем.

Онцлог тэгшитгэлийн олон үндэстэй тохиолдолд тогтмол коэффициент бүхий нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэлийн шийдлийн үндсэн систем.

Тогтмол коэффициенттэй, тусгай баруун гар талтай нэг төрлийн бус шугаман дууны хэсэгчилсэн шийдлийг олох.

Нэгдүгээр эрэмбийн ODE-ийн Коши бодлогын (орон нутгийн) шийдлийн оршихуйн теорем.

Нэгдүгээр эрэмбийн ode-д зориулсан Кошигийн асуудлыг шийдэх өвөрмөц байдлын теорем.

1. Вектор талбарын тодорхойлолт. Градиент талбар. Боломжит талбар, боломжийн нөхцөл.

Вектор талбар. Хэрэв цэг бүр М зарим газар В орон зай нь зарим вектор хэмжигдэхүүнтэй тохирч байна ( М ), дараа нь тэд энэ нутагт гэж хэлдэг В өгөгдсөн вектор талбар ( М ). Вектор талбайн жишээ нь таталцлын орон, цахилгаан ба соронзон орон, хөдөлж буй шингэний бөөмсийн хурдны орон юм.

Хэрэв зарим декартын координатын системд вектор ( М ) координаттай байна Р (М ), Q (М ), Р (М ), тэр. Тиймээс вектор талбарыг зааж өгөх нь ( М ) нь гурван скаляр талбарыг зааж өгсөнтэй тэнцэнэ Р (М ), Q (М ), Р (М ). Бид вектор талбарыг дуудах болно гөлгөр, хэрэв координатын функцууд нь гөлгөр скаляр талбарууд байвал.

Градиент u(M)=u(x,y,z) ялгах скаляр талбарыг вектор гэнэ . Тэдгээр. хэсэгчилсэн деривативын нийлбэрийг харгалзах нэгж вектороор үржүүлсэн.

Ерөнхий тохиолдолд градиентийг скаляр талбайн вектор шинж чанар, өөрөөр хэлбэл цэг бүр нь тодорхой скалярын утгатай тохирч буй талбай гэж танилцуулдаг. Градиент нь энэ талбарт нэг газар эсвэл өөр газарт скаляр хэмжигдэхүүн хэр хурдан өөрчлөгдөж байгааг тодорхойлдог.

Потенциал вектор талбарууд. А вектор нь зарим скаляр функцийн u = u(x, y, z) градиент бол A = (Ax, Ay, Az) векторын талбарыг потенциал гэнэ: A = grad u = (16.7).

Энэ тохиолдолд u функцийг энэ вектор талбайн потенциал гэж нэрлэдэг.

Хэзээ болохыг олж мэдье вектор талбайн потенциал ямар нөхцөлд байдаг вэ? . (16.7)-аас хойш ийм байна , Тэр ,=,=. Хоёрдахь эрэмбийн холимог дериватив нь ялгах дарааллаас хамаарахгүй тул. Эдгээр тэгшитгэлээс бид амархан ялзрах A = 0 -ийг олж авна. вектор талбайн потенциалын нөхцөл.

Вектор талбайн ротор ( М ) цэг дээр вектор хэмжигдэхүүн (вектор талбар) гэж нэрлэдэг. Гамильтон оператороор илэрхийлсэн nabla: вектор үржвэртэй тэнцүү байна. Үнэхээр, .

1. Гадаргуугаар урсах вектор талбар. Векторын талбайн ялгаралын тодорхойлолт, түүний шинж чанарууд. Декарт координат дахь ялгааны тооцоо.

Гадаргуугаар урсах вектор талбар . D мужид тасралтгүй вектор талбарыг өгье ,. Энэ вектор талбарт тодорхой S гадаргууг авч, түүний тодорхой талыг сонгоцгооё. Сонгосон талдаа харгалзах гадаргуугийн нэгж нормуудын талбар гэж үзье. Дараа нь гадаргуугийн интеграл 2-р төрөл (учир нь) гэж нэрлэдэг вектор урсгалАгадаргуугаар дамжинСзаасан чиглэлд.

Let . Гаусс-Остроградскийн томъёо:

Зүүн талыг дараах байдлаар бичиж болно. ,,. Тиймээс:, оноос хойш. Энэ нь хаалттай гадаргуугаар дамжин өнгөрөх векторын урсгал юм. Баруун талд нь гэж бичиж болно зөрүү (зөрүү): .

Зөрчилдөөн вектор талбар А MÎV цэгт функцийн деривативыг дуудна энэ үед эзлэхүүний хувьд: . Дивергенцийг ашиглан бичиж болно оператор Набла: .Декарт координатын зөрүү : .

Зөрчлийн шинж чанарууд:

Бусад шинж чанарууд (лекцийн үеэр хамаарахгүй, шалгалт авагчийн үзэмжээр):

1. Соленоидын векторын талбарууд, соленоидын нөхцөлүүд.

Зарим D мужид тасралтгүй вектор талбарыг (M)=(x,y,z) зааж өгье. Вектор талбайн урсгалчиглэгдсэн хэсэгчилсэн гөлгөр гадаргуугаар дамжин D мужид байрлах S-ийг интеграл гэнэ , Хаана - S гадаргуу руу чиглэсэн нэгж хэвийн вектор, түүний чиг баримжааг харуулсан ба – гадаргуугийн талбайн элемент S.

Вектор талбар гэж нэрлэдэг соленоид D хэсэгт, хэрвээ энэ талбайн урсгал нь өөрөө огтлолцдоггүй аливаа хэсэгчилсэн гөлгөр гадаргуугаар, D хэсэгт байрладаг бөгөөд D бүсийн зарим хязгаарлагдмал дэд бүсийн хилийг төлөөлдөг, тэгтэй тэнцүү.

Хэрэв зөрүү нь тэг байвал талбарыг вектор гэж нэрлэдэг соленоид .

, тиймээс урсгал нь хоолойн хэсэг бүрт хаа сайгүй ижил байна.

Үргэлжлүүлэн дифференциалагдах вектор талбар байхын тулд соленоид эзлэхүүний энгийн холбогдсон домэйнд D, шаардлагатай бөгөөд хангалттай, ингэснээр тэгш байдал бүх цэгүүдэд тохирно D. Вектор талбарын ялгарах (“дивергенц”) нь скаляр функц юм

"

Тодорхойлолт 27.Вектор талбар А = {А x , А y , А z) гэж нэрлэдэг боломж, хэрэв вектор А нь зарим скаляр функцийн градиент юм у = у(x, y, z) :

А = зэрэг у = . (119)

Энэ тохиолдолд функц Тэгээддуудсан боломжэнэ вектор талбарын.

Потенциал талбайн жишээ бол цэгийн массын таталцлын орон юм Т, цэгийн цэнэгийн цахилгаан орон болох эхлэл дээр байрлуулсан д, гарал үүсэл дээр байрлах ба бусад.

Вектор талбар ямар нөхцөлд боломжтой болохыг олж мэдье.

(119)-аас эхлэн үүнийг дагаж мөрддөг
Тэр

Хоёрдахь эрэмбийн холимог дериватив нь ялгах дарааллаас хамаарахгүй тул. Эдгээр тэгшитгэлээс бид үүнийг амархан олж авдаг

ялзрах А = 0 – (120)

вектор талбайн потенциалын нөхцөл.

Тодорхойлолт 28.Вектор талбар А = {А x , А y , А z), ямар ялзрах А = 0, дуудагдсан эргэлтгүй.

Өмнөх аргументуудаас харахад аливаа боломжит талбар нь эргэлтгүй байдаг. Мөн эсрэгээр, өөрөөр хэлбэл аливаа эргэлтийн талбар нь боломжит талбар гэдгийг батлах боломжтой.

Жишээ 30.

Вектор талбар боломжит эсэхийг тодорхойлох. Хэрэв хариулт эерэг байвал түүний боломжуудыг олоорой Тэгээдгарал үүслээр нь гэж таамаглаж байна Тэгээд = 0.

Функцийн хэсэгчилсэн деривативуудыг тооцоолъё.

Тиймээс,
өөрөөр хэлбэл ам Ф = 0 – нөхцөл (120) хангагдсан, талбар нь боломжит байна.

8. Соленоид ба гармоник вектор орон

Тодорхойлолт 29.Вектор талбар А = {А x , А y , А z) гэж нэрлэдэг соленоидбүс нутагт Д, хэрэв энэ талбайн цэг бүрт

div А = 0. (121)

Сэтгэгдэл. Учир нь ялгаа нь талбайн эх үүсвэрийн нягтыг тодорхойлдог А , дараа нь талбайн соленоид хэлбэртэй бүс нутагт энэ талбайн эх үүсвэр байхгүй. Соленоид талбайн жишээ бол цэгийн цэнэгийн талбар юм дцэнэг байрлах цэгээс бусад бүх цэгт.

Талбайн соленоид байх нөхцөл нь вектор байх шаардлага юм А нь зарим векторын буржгар юм IN : А = ялзрах Б . Үүнийг баталъя.

Үнэхээр, хэрэв тийм бол

div А =

Тодорхойлолт 30.Функцээр тодорхойлогдсон скаляр талбар у = у(x, y, z) , дуудсан гармоникзарим газар, хэрэв функц Тэгээдэнэ мужид Лапласын тэгшитгэлийг хангана: Δ Тэгээд = 0.

Жишээ нь: шугаман функц, цэгийн цэнэгийн цахилгаан талбайн потенциал эсвэл цэгийн массын таталцлын орон.

Уран зохиол

Фихтэнголц Г.М. Дифференциал ба интеграл тооцооллын курс. М.: Наука, 1969 он.

Кудрявцев Л.Д. Богино курсматематик шинжилгээ. М .: Наука, 1989 он.

Ильин В.А., Позняк Е.Г. Математик анализ.

М.: Наука, 1999 он.

Смирнов В.И. Дээд математикийн курс.- Т.2. М .: Наука, 1965 он.

Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциал тэгшитгэл. Олон интеграл. Мөр.

Комплекс хувьсагчийн функцууд. М.: Наука, 1981 он.

Пискунов Н.С. Дифференциал ба интеграл тооцоо. – Т.2. М.: Наука, 1981 он.

Коллежид зориулсан математикийн асуудлын цуглуулга.

Математик шинжилгээний тусгай хэсгүүд (А.В. Ефимов, Б.П. Демидович нарын найруулгаар). – Т.2. М.: Наука, 1981 он. Мышкис А.Д. Дээд математикийн лекцүүд. М.: Наука, 1973 он.Талбайн онол

Мөн гэж нэрлэдэг

б) ингэснээр "дамми" нар наад зах нь энгийн зүйлийг - ядаж цагийн оюутнуудад санал болгож буй даалгаврын түвшинд шийдэж сурдаг.

Бүх материалыг алдартай хэв маягаар танилцуулах бөгөөд хэрэв танд илүү нарийн, бүрэн мэдээлэл хэрэгтэй бол жишээлбэл, Фихтенхольцын 3-р боть эсвэл Wiki-г үзэх боломжтой.

Тэгээд тэр даруй гарчгийг тайлъя. Онолын хувьд бүх зүйл тодорхой байна гэж би бодож байна - сайтын шилдэг уламжлалуудын дагуу бид түүний үндсийг шинжилж, практик дээр анхаарлаа хандуулах болно. За, "талбар" гэдэг үгийг та юутай холбодог вэ?

Зүлгэн талбай, хөлбөмбөгийн талбай... Илүү их үү? Үйл ажиллагааны талбар, туршилтын талбар. Сайн байцгаана уу хүмүүнлэгүүд! ...Сургуулийн курсээс үү? Цахилгаан орон, соронзон, цахилгаан соронзон..., за. Бидний амьдарч буй дэлхийн таталцлын орон. Гайхалтай! Тэгэхээр талбайн талаар хэн ингэж хэлсэн бэ? хүчинтэйТэгээд нийлмэл тоо? ... зарим мангас энд цугларсан байна! =) Баярлалаа алгебраль хэдийн өнгөрчээ.

Дараагийн хичээлүүдэд бид тодорхой ойлголттой танилцах болно талбайнууд, амьдралын тодорхой жишээнүүд, мөн вектор шинжилгээний сэдэвчилсэн асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах. Талбайн онолыг таны зөв таамаглаж байгаагаар ой мод, гол мөрөн, нуур, тосгоны байшин байдаг талбарт хамгийн сайн судалдаг бөгөөд би хүн бүрийг зуны халуун дулаан бодит байдалд шумбахыг урьж байна. Дараа нь сайхан дурсамжинд:

Өнөөдөр авч үзсэн утгаараа талбарууд нь скалярТэгээд вектор, мөн бид тэдний "барилгын материал" -аас эхлэх болно.

Нэгдүгээрт, скаляр. Ихэнхдээ энэ нэр томъёог буруугаар тодорхойлдог тоо. Үгүй ээ, бүх зүйл арай өөр байна: скалярутга тус бүрийг илэрхийлж болох хэмжигдэхүүн юм ганцхан тоо. Физикт массын олон жишээ байдаг: урт, өргөн, талбай, эзэлхүүн, нягт, температур гэх мэт. Энэ бүхэн скаляр хэмжигдэхүүнүүд юм. Дашрамд хэлэхэд масс нь бас жишээ юм.

Хоёрдугаарт, вектор. Би хичээл дээр векторын алгебрийн тодорхойлолтыг хөндсөн шугаман хувиргалтмөн түүний хувийн хувилгаануудын нэг мэдэхгүй байх нь ердөө боломжгүй юм=) Ердийн векторилэрхийлэгддэг хоёр ба түүнээс дээш тоо(таны координатаар). Нэг хэмжээст векторын хувьд ч гэсэн ганцхан тоо хангалттай биш– учир нь вектор бас чиглэлтэй байдаг. Мөн вектор бол хэрэглээний цэг үнэгүй биш. Векторууд нь физик хүчний талбай, хурд болон бусад олон хэмжигдэхүүнүүдийг тодорхойлдог.

За, одоо та хөнгөн цагаан өргөст хэмх хурааж эхэлж болно.

Скаляр талбар

Хэрэв тус бүрзарим нэг цэг орон зайн хэсгүүдтодорхой дугаарыг өгдөг (ихэвчлэн жинхэнэ), тэгвэл энэ нутагт өгөгдсөн гэж хэлдэг скаляр талбар.

Жишээлбэл, дэлхийгээс гарч буй перпендикулярыг авч үзье цацраг. Ойлгомжтой байхын тулд хүрзээ наа =) Юу скаляр талбаруудБи энэ туяанаас асууж болох уу? Хамгийн түрүүнд санаанд орж ирдэг зүйл өндрийн талбай– цацрагийн цэг бүрийг газрын түвшнээс дээш өндрөөр нь тогтоосон үед. Эсвэл жишээ нь атмосферийн даралтын талбар- энд цацрагийн цэг бүр нь тухайн цэг дэх атмосферийн даралтын тоон утгатай тохирч байна.

Одоо нуур руу ойртож, гадаргуу дээр нь онгоц зурцгаая. Хэрэв онгоцны "ус" хэсгийн цэг бүр нуурын гүнтэй холбоотой бол скаляр талбайг өгнө үү. Эдгээр ижил цэгүүдэд та бусад скаляр хэмжигдэхүүнүүдийг, жишээлбэл, усны гадаргуугийн температурыг авч үзэж болно.

Хамгийн чухал өмчскаляр талбартүүнийх хувирамтгай байдалкоординатын системтэй харьцуулахад. Хэрэв бид үүнийг хүний ​​хэл рүү орчуулбал хүрз / нуурыг аль талаас нь харах нь хамаагүй - скаляр талбар (өндөр, гүн, температур гэх мэт)энэ өөрчлөгдөхгүй. Түүнээс гадна скаляр талбайг, жишээ нь, гүнийг өөр гадаргуу дээр, жишээлбэл, тохиромжтой гадаргуу дээр байрлуулж болно тархи, эсвэл шууд усны гадаргуу дээр. Яагаад болохгүй гэж? Нуурын дээгүүр байрлах дэлхийн бөмбөрцгийн цэг бүрт тоо өгөх боломжгүй гэж үү? Би зөвхөн ая тухтай байлгах үүднээс хавтгай байхыг санал болгосон.

Өөр нэг координат нэмье. Гартаа чулуу ав. Энэ чулууны цэг бүрийг түүнд зааж өгч болно физик нягтрал. Дахин хэлэхэд - бид үүнийг ямар координатын системд авч үзэх нь хамаагүй, бид үүнийг гартаа хэрхэн мушгихаас үл хамааран - скаляр нягтын талбар өөрчлөгдөхгүй хэвээр байх болно. Гэсэн хэдий ч зарим хүмүүс энэ баримттай маргаж магадгүй =) Энэ бол философийн чулуу юм.

Цэвэр математикийн үүднээс (биет болон бусад хувийн утгаас гадуур)скаляр талбарыг манай "ердийн" функцээр тодорхойлдог нэг , хоёр , гуравболон бусад хувьсагч. Үүний зэрэгцээ талбайн онолд эдгээр функцүүдийн уламжлалт шинж чанаруудыг өргөн ашигладаг, тухайлбал тодорхойлолтын домэйн, түвшний шугам ба гадаргуу.

Гурван хэмжээст орон зайд бүх зүйл ижил байна:
– энд орон зайн зөвшөөрөгдөх цэг бүр өгөгдсөн цэгээс эхлэлтэй вектортой холбоотой байна. "Зөвшөөрөгдөх" нь функцийг тодорхойлох талбараар тодорхойлогддог бөгөөд хэрэв тэдгээр нь тус бүрийг "X", "E", "Z" болгонд тодорхойлсон бол вектор талбарыг бүхэлд нь орон зайд зааж өгнө.

! Тэмдэглэлүүд : векторын талбаруудыг мөн эсвэл үсгээр, тэдгээрийн бүрдэл хэсгүүдийг эсвэл тус тус тэмдэглэнэ.

Дээр дурдсанаас харахад хамгийн багадаа математикийн хувьд скаляр болон векторын орон зайг бүхэлд нь тодорхойлж болох нь тодорхой болсон. Гэсэн хэдий ч би ийм ойлголттой тул харгалзах физик жишээнүүдэд болгоомжтой хандсан температур, хүндийн хүч(эсвэл бусад) эцэст нь хаа нэгтээогт байхгүй байж болно. Гэхдээ энэ бол аймшгийн биш, харин шинжлэх ухааны уран зохиол =) Зөвхөн шинжлэх ухааны уран зөгнөлт биш. Учир нь салхи нь дүрмээр бол чулуун дотор үлээдэггүй.

Зарим вектор талбарууд гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй (ижил хурдны талбарууд)цаг хугацааны явцад хурдан өөрчлөгддөг тул олон физик загварууд нэмэлт бие даасан хувьсагчийг авч үздэг. Дашрамд хэлэхэд энэ нь скаляр талбарт хамаарна - температур нь үнэндээ цаг хугацааны хувьд "хөлдөөсөн" биш юм.

Гэсэн хэдий ч, математикийн хүрээнд бид өөрсдийгөө гурвалаар хязгаарлах бөгөөд ийм талбарууд "уулзах" үед бид тодорхой цаг хугацааны тогтсон мөч эсвэл тухайн талбар өөрчлөгдөөгүй цаг хугацааг илтгэнэ.

Вектор шугамууд

Хэрэв скаляр талбаруудыг дүрсэлсэн бол шугам ба тэгш гадаргуу, тэгвэл векторын талбайн "хэлбэрийг" тодорхойлж болно вектор шугамууд. Энэ сургуулийн туршлагыг олон хүн санаж байгаа байх: соронзыг цаасан доор, дээр нь байрлуулсан байдаг (харцгаая!) төмрийн үртэс асгарна, энэ нь зүгээр л талбайн шугамын дагуу "эгнэсэн".

Би үүнийг илүү энгийнээр томъёолохыг хичээх болно: вектор шугамын цэг бүр нь эхлэл юм талбайн векторөгөгдсөн цэг дээр шүргэгч дээр байрладаг:

Мэдээжийн хэрэг, ерөнхий тохиолдолд шугамын векторууд өөр өөр урттай байдаг тул дээрх зурагт зүүнээс баруун тийш шилжих үед урт нь нэмэгддэг - энд бид жишээлбэл соронз руу ойртож байна гэж үзэж болно. Хүчтэй физик талбаруудад вектор шугамуудыг - гэж нэрлэдэг. цахилгаан шугам. Өөр нэг энгийн жишээ бол дэлхийн таталцлын орон юм: түүний талбайн шугамууд туяагаригийн төвд эхлэлтэй, векторууд хүндийн хүчтуяа өөрөө шууд байрладаг.

Хурдны талбайн вектор шугамууд гэж нэрлэгддэг одоогийн шугамууд. Шороон шуургыг дахин төсөөлөөд үз дээ - тоосны тоосонцор агаарын молекулуудын хамт эдгээр шугамын дагуу хөдөлдөг. Голын нэгэн адил: шингэний молекулууд (зөвхөн биш) хөдөлж буй замууд нь шууд утгаараа урсгалтай байдаг. Ерөнхийдөө талбайн онолын олон ухагдахуун нь гидродинамикаас гаралтай бөгөөд бид нэгээс олон удаа тулгарах болно.

Хэрэв "хавтгай" вектор талбарыг тэгээс өөр функцээр өгсөн бол түүний талбарын шугамыг дараахаас олж болно дифференциал тэгшитгэл. Энэ тэгшитгэлийн шийдлийг өгнө гэр бүлхавтгай дээрх вектор шугамууд. Заримдаа даалгаварт хэд хэдэн ийм шугам зурах шаардлагатай байдаг бөгөөд энэ нь ихэвчлэн хүндрэл учруулдаггүй - бид "tse"-ийн хэд хэдэн тохиромжтой утгыг сонгосон, заримыг нь зурсан. гипербол, болон захиалга.

Орон зайн вектор талбайн нөхцөл байдал илүү сонирхолтой юм. Түүний талбайн шугамууд нь харилцаа холбоогоор тодорхойлогддог. Энд бид шийдэх хэрэгтэй Хоёр дифференциал тэгшитгэлийн систембас хоёр гэр бүлтэй болно орон зайн гадаргуу. Эдгээр гэр бүлийн огтлолцлын шугамууд нь орон зайн вектор шугамууд болно. Хэрэв бүх бүрэлдэхүүн хэсгүүд ("pe", "ku", "er") тэг биш бол техникийн хэд хэдэн шийдэл байдаг. Би эдгээр бүх аргыг авч үзэхгүй. (учир нь нийтлэл нь садар самуун хувь хэмжээгээр өсөх болно), гэхдээ би вектор талбарын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн аль нэг нь тэгтэй тэнцүү байх нийтлэг тохиолдлуудад анхаарлаа хандуулах болно. Бүх сонголтыг нэг дор жагсаацгаая:

хэрэв , дараа нь системийг шийдэх шаардлагатай;
хэрэв , дараа нь систем;
мөн хэрэв бол .

Зарим шалтгааны улмаас бид удаан хугацаанд дасгал хийгдээгүй байна:

Жишээ 1

Вектор талбайн талбайн шугамуудыг ол

Шийдэл: энэ асуудалд бид шийддэг систем:

Утга нь маш энгийн. Хэрэв функц нь нуурын гүний скаляр талбарыг зааж өгсөн бол харгалзах вектор функц нь олонлогийг тодорхойлно. эрх чөлөөгүйвекторууд, тус бүр нь чиглэлийг заадаг хурдан өсөлтнэг цэгийн доод хэсэг ба энэ өсөлтийн хурд.

Хэрэв функц нь орон зайн тодорхой бүсийн скаляр температурын талбарыг зааж өгсөн бол харгалзах вектор талбар нь чиглэл, хурдыг тодорхойлдог. хамгийн хурдан халаалтэнэ хэсгийн бүх цэгт орон зай.

Математикийн ерөнхий бодлогыг авч үзье.

Жишээ 3

Скаляр талбар ба цэг өгөгдсөн. Шаардлагатай:

1) скаляр талбайн градиент функцийг зохиох;

Аль нь тэнцүү байна боломжит зөрүү .

Өөрөөр хэлбэл, боломжит талбарт зөвхөн маршрутын эхлэл ба төгсгөлийн цэгүүд чухал юм. Хэрэв эдгээр цэгүүд давхцаж байвал хаалттай контурын дагуух хүчний нийт ажил тэгтэй тэнцүү байх болно.

Газраас өд түүж гарааны цэгт хүргэцгээе. Энэ тохиолдолд бидний хөдөлгөөний замнал дахин дур зоргоороо байна; та үзэгээ унагаж, дахин авч болно гэх мэт.

Эцсийн үр дүн яагаад тэг болсон бэ?

Өд "а" цэгээс "б" цэг хүртэл унасан уу? Унав. Таталцлын хүч энэ ажлыг гүйцэтгэсэн.

Үзэг нь "а" цэгийг буцааж оносон уу? Ойлголоо. Энэ нь яг адилхан ажил хийсэн гэсэн үг таталцлын эсрэг, мөн ямар "адал явдал", ямар хүчээр хамаагүй - салхи түүнийг эргүүлж байсан ч хамаагүй.

Анхаарна уу : Физикийн хувьд хасах тэмдэг нь эсрэг чиглэлийг илэрхийлдэг.

Тиймээс хүчний хийсэн нийт ажил тэг болно.

Би дээр дурьдсанчлан хөдөлмөрийн бие махбодийн болон энгийн ойлголт нь өөр өөр байдаг. Энэ ялгаа нь өд байтугай тоосго ч биш, жишээлбэл төгөлдөр хуурыг сайн ойлгоход тусална :)

Хамтдаа төгөлдөр хуураа өргөж, шатаар доошлуул. Гудамжинд чир. Хүссэн хэмжээгээрээ, хаана ч хамаагүй. Хэрэв хэн ч тэнэгийг дуудсан бол багажийг буцааж авчир. Та ажиллаж байсан уу? Мэдээж. Долоо дахь хөлс хүртэл. Гэхдээ физикийн үүднээс авч үзвэл ямар ч ажил хийгээгүй.

"Боломжийн зөрүү" гэсэн хэллэг нь боломжит электростатик талбайн талаар илүү их ярихыг хүсч байгаа боловч уншигчдыг цочирдуулах нь ямар нэгэн байдлаар хүмүүнлэг биш юм =) Түүнээс гадна тоо томшгүй олон жишээ бий, учир нь ямар ч градиент талбар нь боломжит, үүнээс хэдэн арван зоос байдаг.

Гэхдээ "арван хэдэн төгрөг" гэж хэлэхэд амархан: энд бидэнд вектор талбар өгөгдсөн - боломжтой эсэхийг яаж тодорхойлох вэ?

Вектор талбайн ротор

Эсвэл түүнийг эргүүлэгбүрэлдэхүүн хэсэг бөгөөд үүнийг мөн вектороор илэрхийлдэг.

Дахин өдийг гартаа аваад голын эрэг дагуу болгоомжтой явуулцгаая. Туршилтын цэвэр байдлын үүднээс бид үүнийг төвтэй харьцуулахад нэгэн төрлийн, тэгш хэмтэй гэж үзэх болно. Тэнхлэг дээшээ наалддаг.

Ингээд авч үзье вектор талбародоогийн хурд, мөн өдний төв байрладаг усны гадаргуу дээрх тодорхой цэг.

Хэрэв орвол энэ үедүзэг нь цагийн зүүний эсрэг эргэдэг, дараа нь бид үүнийг гарч байгаа зүйлтэй тааруулна эрх чөлөөгүйдээш чиглэсэн вектор. Үүний зэрэгцээ үзэг хэдий чинээ хурдан эргэлдэнэ, төдий чинээ энэ вектор уртасна, ... яагаад ч юм надад нарны хурц туяанд маш хар юм шиг санагддаг... Хэрэв эргэлт цагийн зүүний дагуу явбал вектор доош "харна". Хэрэв үзэг огт эргэхгүй бол вектор нь тэг болно.

Уулзах - энэ бол роторын вектор вектор хурдны талбар, энэ нь шингэний "эргэлдэх" чиглэлийг тодорхойлдог энэ үедба үзэгний эргэлтийн өнцгийн хурд (гэхдээ гүйдлийн чиглэл эсвэл хурд биш!).

Голын бүх цэгүүд эргэлдэх вектортой ("усан дор" байгаа газруудыг оруулаад) нь тодорхой байна. одоогийн хурдны вектор талбарБид шинэ вектор талбарыг тодорхойлсон!

Хэрэв вектор талбар нь функцээр өгөгдсөн бол түүний роторын талбар нь дараах байдлаар өгөгдөнө вектор функц:

Түүнээс гадна, хэрэв векторууд роторын талбайголууд нь том хэмжээтэй бөгөөд чиглэлээ өөрчлөх хандлагатай байдаг, энэ нь бид ороомог, тайван бус голын тухай ярьж байна гэсэн үг биш юм. (жишээ рүү буцах). Энэ нөхцөл байдал нь шулуун суваг дээр ажиглагдаж болно - жишээлбэл, хурд нь дунд хэсэгт өндөр, эрэг дагуу бага байх үед. Энэ нь үзэгний эргэлтийг бий болгодог өөр өөр урсгалын хурдВ хөршодоогийн шугамууд.

Нөгөө талаас, хэрэв роторын векторууд богино байвал энэ нь "ороомог" уулын гол байж болно! оруулах нь чухал юм зэргэлдээх одоогийн шугамуудгүйдлийн өөрөө хурд (хурдан эсвэл удаан)бага зэрэг ялгаатай байв.

Эцэст нь бид дээр тавьсан асуултанд хариулна. боломжит талбайн аль ч цэгт түүний ротор нь тэг байна:

Өөрөөр хэлбэл, тэг вектор.

Боломжит талбар гэж бас нэрлэдэг эргэлтгүйталбар.

Мэдээжийн хэрэг, "хамгийн тохиромжтой" урсгал гэж байдаггүй, гэхдээ ихэнхдээ үүнийг ажиглаж болно хурдны талбарГол мөрөн боломжит ойрхон байна - янз бүрийн объектууд тайван хөвж, эргэдэггүй, ... та энэ зургийг бас төсөөлж байсан уу? Гэсэн хэдий ч тэд маш хурдан сэлж, муруй дагуу сэлж, дараа нь удаашруулж, дараа нь хурдасч чаддаг - гүйдлийн хурд нь гүйдлийн хурдтай байх нь чухал юм. зэргэлдээх одоогийн шугамууд хадгалагдаж байсан тогтмол.

Мэдээжийн хэрэг, бидний мөнх бус таталцлын талбар. Дараагийн туршилтанд ямар ч хүнд, нэгэн төрлийн объект тохиромжтой, жишээлбэл, битүү ном, нээлгүйгээр лааз шар айраг, дашрамд хэлэхэд, далавчаа хүлээсэн тоосго =) Түүний төгсгөлийг гараараа барь. , дээш өргөөд чөлөөтэй уналтад болгоомжтой суллана. Энэ нь эргэхгүй. Хэрэв тийм бол энэ нь таны "хувийн хүчин чармайлт" эсвэл таны авсан тоосго буруу байсан. Залхуурах хэрэггүй бөгөөд энэ баримтыг шалгаарай! Зүгээр л цонхоор юу ч бүү хая, энэ нь өд биш болсон

Үүний дараа цэвэр ухамсартай, өнгө аясаар та практик ажилдаа буцаж болно.

Жишээ 5

Вектор талбар нь боломжит гэдгийг харуулж, түүний потенциалыг ол

Шийдэл: нөхцөл нь талбайн боломжийг шууд илэрхийлдэг бөгөөд бидний даалгавар бол энэ баримтыг нотлох явдал юм. Роторын функц эсвэл тэдний хэлснээр өгөгдсөн талбайн роторыг олцгооё.

Тохиромжтой болгохын тулд бид талбайн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг бичнэ.

тэгээд тэднийг хайж эхэлцгээе хэсэгчилсэн деривативууд- тэдгээрийг зүүнээс баруун тийш "эргэдэг" дарааллаар "ангилах" нь тохиромжтой:
- Тэгээд шуудүүнийг шалгана уу (тэг бус үр дүн гарсан тохиолдолд нэмэлт ажил хийхээс зайлсхийх). Үргэлжлүүлье:

Тиймээс:
, тиймээс талбар нь боломжит, тиймээс градиент функцийг илэрхийлдэг потенциалаар тодорхойлогдсон зарим скаляр талбар.

Энэ сэдвээр онолын материалыг х. Энэ нийтлэлийн 228-236.

Жишээ 30. Вектор талбар байгаа эсэхийг шалгана уу

а) боломж; б) соленоид. Хэрэв талбай нь боломжит бол түүний боломжийг ол.

Шийдэл. A) Талбайн роторыг ол

Тиймээс энэ талбар нь боломжтой юм.

B) Талбайн зөрүүг ол

Тиймээс талбай нь соленоид биш юм.

B) тул талбайн потенциалыг томъёогоор тооцоолж болно

-ийн муруйн интеграл бүрэн дифференциалинтеграцийн замаас хамаарахгүй. Энд координатын гарал үүслийг эхлэх цэг болгон авах нь тохиромжтой. Интеграцийн замын хувьд бид тасархай шугамыг авдаг OAVM(Зураг 17).

Цагаан будаа. 17

1. Тиймээс сегмент дээр

2. Эндээс сегмент дээр

3. Эндээс сегмент дээр

Тэгэхээр дурын тогтмол хаана байна.

Эцэст нь,

Тестийн даалгавар №5-8

Даалгаврын дугаарыг кодын сүүлийн хоёр орон болон овгийн эхний үсгийн дагуу хүснэгтээс сонгоно. Жишээлбэл, оюутан Иванов, код 1-45-5815, 5, 15, 21,31, 45, 51, 61, 71, 6, 85, 91, 7, 101, 111, тест 8 - бодлого 125,135,141,151.

Шифрийн сүүлийн цифр
Туршилтын дугаар
Шифрийн эцсийн өмнөх цифр
Туршилтын дугаар
Овогынхаа эхний үсэг	А, Би Т	B,OC	V, NH	Г, ФЯ	Д,ЗЛ	Э, MR	F, MF	К Э	П	У, SHYU
Туршилтын дугаар

Туршилт №5

1-10-р бодлогод нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол

11-20-р бодлогод 2-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл буюу ерөнхий интегралыг ол.

21-30-р бодлогод шугаман хоёрдугаар эрэмбийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол

31-40-р бодлогод зэрэглэлийн цувааны нийлэх мужийг ол

Туршилтын дугаар 6

41-50-р бодлогод функцийг Маклаурины цуврал болгон өргөжүүлж, цувааны нийлэх мужийг тодорхойл.

51-60-р бодлогод интеграцийн мужийг байгуулж, интеграцийн дарааллыг өөрчил

61. Бөмбөрцгийн хэсгийн гадаргуугийн талбайг тооцоол , цилиндрээр таслав болон онгоц .

62. Шулуунаар хязгаарлагдсан хавтгай хавтангийн талбайг тооцоолно уу: ба (параболын гадна талд).

63. Онгоцоор таслагдсан цилиндрийн гадаргуугийн талбайг тооцоол.

64. Гадаргуугаар хүрээлэгдсэн биеийн эзэлхүүнийг ол , , , , .

65. Гадаргуугаар хүрээлэгдсэн биеийн эзэлхүүнийг ол: ба , эхний октантад хэвтэж байна.

66. Шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгай хавтангийн талбайг ол. .

67. Тойргийн гадна байрлах тойргийн хэсгийн талбайг тодорхойл (туйлын координатыг ашиглах).

68. Нэг төрлийн хавтгай хавтангийн массыг тооцоол (),

тойрог ба шулуун шугамаар хүрээлэгдсэн ба .

69. Нягттай хавтангийн массыг ол , шугамаар хязгаарлагдсан , , .

70. Нягттай хавтангийн массыг ол , тэгш бус байдлаар өгөгдсөн: .

71-80-р бодлогод муруй дагуух муруйн интегралыг тооцоол.

Туршилтын дугаар 7

81-86-р бодлогод функцуудыг Фурье цуврал болгон өргөжүүл; өгөгдсөн функцийг зурах

81.

82.

83.

84.

85.

86.

87, 88-р бодлогод функцийг синусын хувьд Фурьегийн цуваа болгон өргөжүүл; Өгөгдсөн функцийн графикийг зур.

87.

88.

Бодлого 89.90-д функцийг косинус дахь Фурье цуврал болгон өргөжүүл; Өгөгдсөн функцийн графикийг зур.

89.

90.

91-95-р бодлогод Фурье аргыг ашиглан хилийн нөхцөл бүхий өгөгдсөн сегмент дээрх долгионы тэгшитгэлийг шийд. болон эхний нөхцөлүүдийг өгсөн.

91.

93.

95.

96-100-р бодлогод өгөгдсөн сегмент дэх дулаан дамжуулалтын тэгшитгэлийг өгөгдсөн анхны нөхцөл ба хилийн нөхцлийн хувьд Фурье аргыг ашиглан шийд. .

96.

97.

98.

99.

100.

101-106-р бодлогод талбай дээрх гурвалсан интегралыг тооцоол Т, тэгш бус байдлаар өгөгдсөн. Зураг зурах.

103.
(интегралыг тооцоолохдоо цилиндр координат руу очно уу).

105. (интегралыг тооцоолохдоо цилиндр координат руу орно).

107-110-р бодлогод тэгш бус байдлаар өгөгдсөн, өгөгдсөн нягттай биеийн массыг ол. Зураг зурах.

108. (гурвалсан интегралыг тооцоолохдоо цилиндр координат руу очно уу).

110. (гурвалсан интегралыг тооцоолохдоо цилиндр координат руу орно).

111-120-р бодлогод гадаргуугийн интегралыг тооцоол. Гадаргуугийн зургийг зур.

111. онгоцны хэсэг хаана байна координатын хавтгайгаар хязгаарлагдана.

112. - дугуй цилиндрээр хүрээлэгдсэн параболик цилиндрийн хэсгийн дээд тал болон онгоц. Интегралыг тооцоолохдоо туйлын координат руу очно уу.

113. - цилиндрийн гадаргуугийн нэг хэсэг нь онгоцоор хязгаарлагддаг

114. , конусын гадаргуугийн хэсэг хаана байна , хавтгайгаар хязгаарлагдсан ба (давхар интегралыг тооцоолохдоо туйлын координат руу очно уу).

115. , - онгоцоор хязгаарлагдсан дугуй цилиндрийн хэсэг

116. - конусын хэсгийн дээд тал , онгоцоор хязгаарлагддаг . Интегралыг тооцоолохдоо туйлын координат руу очно уу.

117. , бөмбөрцгийн дээд тал хаана байна . Давхар интегралыг тооцоолохдоо туйлын координат руу орно.

118. , онгоцны хэсгийн дээд тал хаана байна , координатын хавтгайгаар хязгаарлагддаг.

119. , - координатын хавтгай ба хавтгайгаар хязгаарлагдсан параболик цилиндрийн хэсэг.

120. ; - дугуй цилиндрээр хязгаарлагдсан дугуй цилиндрийн хэсгийн дээд тал ба хавтгай Туйлын координат руу оч.

Туршилтын дугаар 8

Бодлого 121-130-д скаляр талбайн градиентийг олоод скаляр орон гармоник эсэхийг шалга.

131-135-р бодлогод эхний октантад байрлах гадаргуугийн хэсгээр дамжин өнгөрөх вектор орны урсгалыг ол. тэнхлэгтэй хурц өнцөг үүсгэх хэвийн чиглэлд. Зураг зурах.

136-140-р бодлогод Остроградскийн теоремыг ашиглан 1-р октантад байрлах биеийн гадаргуугаар дамжин гадаад нормаль руу чиглэсэн векторын талбайн урсгалыг тооцоол. өгөгдсөн гадаргуу ба координатын хавтгайгаар хязгаарлагдана. Зураг зурах.

141-150-р бодлогод эхний октантад байрлах гадаргуугийн тухайн хэсгийн координатын хавтгайтай огтлолцох замын дагуух вектор орны эргэлтийг тооцоол. . - гадаргуугийн тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүд. Зураг зурах.

Бодлого 141-145-д Стоксын теоремыг ашиглан эргэлтийг тооцоол.

146-150-р бодлогод түүний тодорхойлолтыг ашиглан эргэлтийг тооцоол.

151-160-р бодлогод вектор орон нь: a) потенциал, б) соленоид эсэхийг шалгана уу. Хэрэв талбай нь боломжит бол түүний боломжийг ол.

152.

155.

Одоогийн хяналт

Туршилтын даалгавар

1. Дараахь шийдэлтэй тэгшитгэлийг тодорхойл .

A) б) V)

2. Дифференциал тэгшитгэлийн шинж чанарын тэгшитгэлийг тодорхойлно

а) б) V)

3. D’Alembert-ийн тестийг ашиглан чадлын цуваа ямар утгаар нийлэхийг тодорхойл .

4. Давхар интегралын геометрийн тайлбарыг томъёол.

5. Гурвалсан интегралын геометрийн тайлбарыг томъёол.

6. Вектор талбайн потенциалын тэмдгийг тодорхойлно уу:

а) б) в)

Эцсийн хяналт

Математикийн шалгалтанд бэлтгэх асуултууд

(III семестр)

Дифференциал тэгшитгэл

1. Энгийн дифференциал тэгшитгэлийн тодорхойлолт, түүний дараалал, шийдэл. Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл, чиглэлийн талбар, изоклин.

2. Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн Коши бодлого. Коши асуудлын шийдлийн оршихуй ба өвөрмөц байдлын теорем.

3. Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий ба тусгай шийдийг (интеграл) тодорхойлох.

4. Салгаж болох хувьсагчтай тэгшитгэл, түүний интеграл.

5. Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман тэгшитгэл, түүний интеграл.

6. Нэгдүгээр эрэмбийн нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл, түүний интеграл.

7. Дифференциал тэгшитгэл n--р захиалга. Дифференциал тэгшитгэлд зориулсан Коши бодлого n--р захиалга. Тэгшитгэлийн Кошигийн асуудлыг шийдэх оршихуй ба өвөрмөц байдлын теорем n--р захиалга.

8. Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий ба тусгай шийдлүүдийг тодорхойлох n--р захиалга. Маягтын тэгшитгэлийн интеграл.

9. Дарааллаар нь багасгахыг зөвшөөрдөг тэгшитгэлүүд. Маягтын тэгшитгэлийг нэгтгэх арга, энд к< n.

10. Маягтын тэгшитгэлийг нэгтгэх арга .

11. Шугаман дифференциал тэгшитгэлийн тодорхойлолт n--р захиалга. Нэг төрлийн шугаман тэгшитгэл. Нэг төрлийн шугаман тэгшитгэлийн шийдүүдийн шинж чанарууд.

12. Шугаман хамааралтай ба шугаман бие даасан функцүүдийн тодорхойлолт. Жишээ.

13. Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдлийн үндсэн системийг тодорхойлох. Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийн бүтцийн тухай теорем n--р захиалга.

14. Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийн бүтцийн тухай теорем n--р захиалга.

15. Тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл. Эйлерийн арга, шинж чанарын тэгшитгэл.

16. Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдлийн үндсэн систем ба ерөнхий шийдийг бүтээх n-шинж чанар тэгшитгэлийн бодит ялгаатай язгууртай тохиолдолд-р эрэмб. Жишээ.

17. Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдлийн үндсэн систем ба ерөнхий шийдийг бүтээх n-шинж чанар тэгшитгэлийн нийлмэл язгуурын хувьд --р дараалал. Жишээ.

18. Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдлийн үндсэн систем ба ерөнхий шийдийг бүтээх n-шинж чанар тэгшитгэлийн бодит тэнцүү язгууртай тохиолдолд-р дараалал. Жишээ.

19. Тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг баруун гар тал нь хэлбэртэй байвал олох дүрэм. , энд зэрэгтэй олон гишүүнт байна .

20. Тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг олох дүрэм, хэрэв баруун тал нь , энд байна. .

21. Хэлбэрийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга (суперпозиция зарчим).

22. Хэвийн хэлбэрийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийн систем. Кошигийн асуудал. Коши асуудлын шийдлийн оршихуй ба өвөрмөц байдлын теорем. Системийн ерөнхий болон тусгай шийдлүүдийг тодорхойлох. Дифференциал тэгшитгэлийн хэвийн системийг арилгах арга.

23. Шугаман дифференциал тэгшитгэлийн системүүд. Уусмалын шинж чанарууд. Тогтмол коэффициент бүхий шугаман дифференциал тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх.

Мөр

24. Тооны цуваа. Тодорхойлолт n- цувралын хэсэгчилсэн нийлбэр. Тоон цувааны нийлмэл байдал ба дивергенцийн тухай ойлголт. Нийлмэл цувааны нийлбэр. Геометрийн цуврал.

25. Нийлмэл цувааны шинж чанарууд: цувааг тоогоор үржүүлэх, цувааг гишүүнээр нэмэх.

26. Эгнээний үлдсэн хэсэг. Цуврал ба түүний үлдэгдлийн нэгэн зэрэг нийлэх тухай теорем.

27. Цуврал нийлэх зайлшгүй шинж тэмдэг. Түүний хангалтгүй байдлыг жишээгээр харуулав.

28. Эерэг цуврал. Эерэг цувааг нэгтгэх зайлшгүй бөгөөд хангалттай нөхцөл.

29. Эерэг цувааг харьцуулах эхний ба хоёр дахь шинж тэмдэг.

30. Д'Аламберын тэмдэг.

31. Интеграл Коши тест.

32. Ерөнхий гармоник цуваа, хаана х- дурын бодит тоо. Цувралын зан байдал at х<1, х=1, х>1.

33. Ээлжит цуврал. Үнэмлэхүй ба үнэмлэхүй бус нэгдэл. Абсолют нийлсэн цувааны нийлмэл байдлын тухай теорем.

34. Лейбницийн ээлжлэн цуваа нийлэх тест. Нэгдсэн цувааны нийлбэрийг эхнийх нь нийлбэрээр солих үед гарах үнэмлэхүй алдааны тооцоо n

42. Функцийн хоёр гишүүнт цуваа.