გაუსის თეორემა. გაუსის თეორემა ელექტრული ინდუქციისთვის (ელექტრული გადაადგილება) გაუსის თეორემა ელექტრული ველის ინდუქციისთვის

მოდით განვიხილოთ, თუ როგორ იცვლება ვექტორის E მნიშვნელობა ორ მედიას შორის ინტერფეისზე, მაგალითად, ჰაერი (ε 1) და წყალი (ε = 81). წყალში ველის სიძლიერე მკვეთრად მცირდება 81-ჯერ. ეს ვექტორის ქცევა ექმნის გარკვეულ უხერხულობას სხვადასხვა გარემოში ველების გაანგარიშებისას. ამ უხერხულობის თავიდან ასაცილებლად, ახალი ვექტორი შემოვიდა დ– ველის ინდუქციის ან ელექტრული გადაადგილების ვექტორი. ვექტორული კავშირი დდა ეჰგავს

დ = ε ε 0 ე.

ცხადია, წერტილის მუხტის ველისთვის ელექტრული გადაადგილება ტოლი იქნება

ადვილი მისახვედრია, რომ ელექტრული გადაადგილება იზომება C/m2-ში, არ არის დამოკიდებული თვისებებზე და გრაფიკულად არის წარმოდგენილი დაძაბულობის ხაზების მსგავსი ხაზებით.

ველის ხაზების მიმართულება ახასიათებს ველის მიმართულებას სივრცეში (ველის ხაზები, რა თქმა უნდა, არ არსებობს, ისინი შემოტანილია ილუსტრაციისთვის) ან ველის სიძლიერის ვექტორის მიმართულებას. დაძაბულობის ხაზების გამოყენებით შეგიძლიათ დაახასიათოთ არა მხოლოდ მიმართულება, არამედ ველის სიძლიერის სიდიდე. ამისათვის შეთანხმდნენ, რომ ისინი შესრულებულიყო გარკვეული სიმკვრივით, ისე, რომ დაძაბულობის ხაზების რაოდენობა, რომლებიც ხვდებიან დაძაბულობის ხაზებზე პერპენდიკულარული ერთეული ზედაპირის პროპორციული იყო ვექტორული მოდულისა. ე(სურ. 78). შემდეგ ელემენტარულ ზონაში შემავალი ხაზების რაოდენობა dS, რომლის ნორმალურია ნქმნის α კუთხეს ვექტორთან ე, უდრის E dScos α = E n dS,

სადაც E n არის ვექტორული კომპონენტი ენორმალურის მიმართულებით ნ. მნიშვნელობა dФ E = E n dS = ედ სდაურეკა დაძაბულობის ვექტორის გადინება ადგილზედ ს(დ ს= dS ნ).

თვითნებური დახურული ზედაპირისთვის S ვექტორული ნაკადი ეამ ზედაპირის გავლით ტოლია

მსგავსი გამოხატულება აქვს ელექტრული გადაადგილების ვექტორის ფ D

.

ოსტროგრადსკი-გაუსის თეორემა

ეს თეორემა საშუალებას გვაძლევს განვსაზღვროთ E და D ვექტორების ნაკადი ნებისმიერი რაოდენობის მუხტიდან. ავიღოთ წერტილი მუხტი Q და განვსაზღვროთ ვექტორის ნაკადი ე r რადიუსის სფერული ზედაპირის მეშვეობით, რომლის ცენტრშიც ის მდებარეობს.

სფერული ზედაპირისთვის α = 0, cos α = 1, E n = E, S = 4 πr 2 და

Ф E = E · 4 πr 2 .

E გამოთქმის ჩანაცვლებით ვიღებთ

ამრიგად, თითოეული წერტილიდან მუხტიდან გამოდის F E ვექტორის ნაკადი ე Q/ ε 0-ის ტოლია. ამ დასკვნის განზოგადება წერტილოვანი მუხტების თვითნებური რაოდენობის ზოგადი შემთხვევისთვის, ჩვენ ვაძლევთ თეორემის ფორმულირებას: ვექტორის მთლიანი ნაკადი. ეთვითნებური ფორმის დახურული ზედაპირის მეშვეობით რიცხობრივად უდრის ამ ზედაპირის შიგნით არსებული ელექტრული მუხტების ალგებრულ ჯამს, გაყოფილი ε 0-ზე, ე.ი.

ელექტრული გადაადგილების ვექტორული ნაკადისთვის დშეგიძლიათ მიიღოთ მსგავსი ფორმულა

ინდუქციური ვექტორის ნაკადი დახურულ ზედაპირზე ტოლია ამ ზედაპირით დაფარული ელექტრული მუხტების ალგებრული ჯამის.

თუ ავიღებთ დახურულ ზედაპირს, რომელიც არ მოიცავს მუხტს, მაშინ თითოეული ხაზი ედა დორჯერ გადაკვეთს ამ ზედაპირს - შესასვლელთან და გასასვლელთან, ასე რომ მთლიანი ნაკადი გამოდის ნულის ტოლი. აქ აუცილებელია გავითვალისწინოთ შემავალი და გამომავალი ხაზების ალგებრული ჯამი.

ოსტროგრადსკი-გაუსის თეორემის გამოყენება თვითმფრინავებით, სფეროებითა და ცილინდრებით შექმნილი ელექტრული ველების გამოსათვლელად

R რადიუსის სფერული ზედაპირი ატარებს მუხტს Q, თანაბრად განაწილებული ზედაპირზე ზედაპირის სიმკვრივით σ.

ავიღოთ A წერტილი სფეროს გარეთ ცენტრიდან r მანძილზე და გონებრივად დავხატოთ r რადიუსის სფერო სიმეტრიულად დამუხტული (სურ. 79). მისი ფართობია S = 4 πr 2. ვექტორის E ნაკადი ტოლი იქნება

ოსტროგრადსკი-გაუსის თეორემის მიხედვით
, შესაბამისად,
იმის გათვალისწინებით, რომ Q = σ 4 πr 2 ვიღებთ

სფეროს ზედაპირზე მდებარე წერტილებისთვის (R = r)

დ ღრუ სფეროს შიგნით მდებარე წერტილებისთვის (სფეროს შიგნით მუხტი არ არის), E = 0.

2 . ღრუ ცილინდრული ზედაპირი R რადიუსით და სიგრძით ლდამუხტულია მუდმივი ზედაპირული მუხტის სიმკვრივით
(სურ. 80). დავხატოთ r > R რადიუსის კოაქსიალური ცილინდრული ზედაპირი.

ნაკადის ვექტორი ეამ ზედაპირის გავლით

გაუსის თეორემით

ზემოაღნიშნული ტოლობების მარჯვენა გვერდების გათანაბრება, მივიღებთ

.

თუ მოცემულია ცილინდრის (ან თხელი ძაფის) წრფივი მუხტის სიმკვრივე
რომ

3. უსასრულო სიბრტყეების ველი ზედაპირული მუხტის სიმკვრივით σ (სურ. 81).

განვიხილოთ უსასრულო სიბრტყით შექმნილი ველი. სიმეტრიის მოსაზრებებიდან გამომდინარეობს, რომ ველის ნებისმიერ წერტილში ინტენსივობას აქვს სიბრტყეზე პერპენდიკულარული მიმართულება.

სიმეტრიულ წერტილებში E იქნება იგივე სიდიდით და საპირისპირო მიმართულებით.

მოდით გონებრივად ავაშენოთ ცილინდრის ზედაპირი ΔS ფუძით. შემდეგ დინება გამოვა ცილინდრის თითოეული ფუძის გავლით

F E = E ΔS და ცილინდრული ზედაპირის მთლიანი ნაკადი ტოლი იქნება F E = 2E ΔS.

ზედაპირის შიგნით არის მუხტი Q = σ · ΔS. გაუსის თეორემის მიხედვით, ის ჭეშმარიტი უნდა იყოს

სადაც

მიღებული შედეგი არ არის დამოკიდებული არჩეული ცილინდრის სიმაღლეზე. ამრიგად, ველის სიძლიერე E ნებისმიერ მანძილზე სიდიდით იგივეა.

ორი განსხვავებულად დამუხტული სიბრტყისთვის, რომლებსაც აქვთ ერთი და იგივე ზედაპირული მუხტის სიმკვრივე σ, სუპერპოზიციის პრინციპის მიხედვით, სიბრტყეებს შორის სივრცის გარეთ ველის სიძლიერე არის ნული E = 0, ხოლო სიბრტყეებს შორის სივრცეში.
(სურ. 82ა). თუ სიბრტყეები დამუხტულია მსგავსი მუხტებით ერთი და იგივე ზედაპირული მუხტის სიმკვრივით, საპირისპირო სურათი შეინიშნება (სურ. 82ბ). სიბრტყეებს შორის სივრცეში E = 0 და სიბრტყეებს გარეთ
.

ელექტროსტატიკის ძირითადი გამოყენებითი ამოცანაა სხვადასხვა მოწყობილობებსა და მოწყობილობებში შექმნილი ელექტრული ველების გამოთვლა. ზოგადად, ეს პრობლემა წყდება კულონის კანონისა და სუპერპოზიციის პრინციპის გამოყენებით. თუმცა, ეს ამოცანა ძალიან რთული ხდება განხილვისას დიდი რაოდენობაწერტილი ან სივრცით განაწილებული მუხტები. კიდევ უფრო დიდი სირთულეები წარმოიქმნება, როდესაც სივრცეში არის დიელექტრიკები ან გამტარები, როდესაც E 0 გარე ველის გავლენის ქვეშ ხდება მიკროსკოპული მუხტების გადანაწილება, რაც ქმნის საკუთარ დამატებით ველს E. ამიტომ ამ პრობლემების პრაქტიკულად გადასაჭრელად გამოიყენება დამხმარე მეთოდები და ტექნიკა. გამოიყენება, რომელიც იყენებს რთულ მათემატიკურ აპარატს. ჩვენ განვიხილავთ უმარტივეს მეთოდს, რომელიც დაფუძნებულია ოსტროგრადსკი-გაუსის თეორემის გამოყენებაზე. ამ თეორემის ჩამოსაყალიბებლად, ჩვენ შემოგთავაზებთ რამდენიმე ახალ კონცეფციას:

ა) მუხტის სიმკვრივე

თუ დამუხტული სხეული დიდია, მაშინ თქვენ უნდა იცოდეთ სხეულის შიგნით მუხტების განაწილება.

მოცულობის დატენვის სიმკვრივე- გაზომილი დატენვით ერთეულ მოცულობაზე:

ზედაპირული მუხტის სიმკვრივე- იზომება მუხტით სხეულის ერთეულ ზედაპირზე (როდესაც მუხტი ნაწილდება ზედაპირზე):

ხაზოვანი მუხტის სიმკვრივე(დამუხტვის განაწილება დირიჟორის გასწვრივ):

ბ) ელექტროსტატიკური ინდუქციის ვექტორი

ელექტროსტატიკური ინდუქციის ვექტორი (ელექტრული გადაადგილების ვექტორი) არის ელექტრული ველის დამახასიათებელი ვექტორული სიდიდე.

ვექტორი ვექტორის ნამრავლის ტოლი გარემოს აბსოლუტურ დიელექტრიკულ მუდმივზე მოცემულ წერტილში:

მოდით შევამოწმოთ განზომილება დ SI ერთეულებში:

, იმიტომ
,

მაშინ ზომები D და E არ ემთხვევა და მათი რიცხვითი მნიშვნელობები ასევე განსხვავებულია.

განმარტებიდან აქედან გამომდინარეობს, რომ ვექტორული ველისთვის იგივე სუპერპოზიციის პრინციპი მოქმედებს როგორც ველზე :

ველი გრაფიკულად წარმოდგენილია ინდუქციური ხაზებით, ისევე როგორც ველი . ინდუქციური ხაზები შედგენილია ისე, რომ ტანგენსი თითოეულ წერტილში ემთხვევა მიმართულებას , და ხაზების რაოდენობა უდრის D-ის რიცხვით მნიშვნელობას მოცემულ ადგილას.

შესავლის მნიშვნელობის გასაგებად მოდით შევხედოთ მაგალითს.

V) ელექტროსტატიკური ინდუქციის ვექტორული ნაკადი

განვიხილოთ ზედაპირი S ელექტრულ ველში და აირჩიეთ ნორმალური მიმართულება

1. თუ ველი ერთგვაროვანია, მაშინ ველის ხაზების რაოდენობა S ზედაპირზე:

2. თუ ველი არაერთგვაროვანია, მაშინ ზედაპირი იყოფა უსასრულოდ მცირე ელემენტებად dS, რომლებიც განიხილება ბრტყლად და მათ გარშემო ველი ერთგვაროვანია. მაშასადამე, ზედაპირის ელემენტის მეშვეობით ნაკადი არის: dN = D n dS,

და მთლიანი ნაკადი ნებისმიერ ზედაპირზე არის:

(6)

ინდუქციური ნაკადი N არის სკალარული სიდიდე; დამოკიდებულია  შეიძლება იყოს > 0 ან< 0, или = 0.

ყველაზე რთულია ელექტრული ფენომენების შესწავლა არაჰომოგენურ ელექტრულ გარემოში. ასეთ გარემოში ε-ს აქვს განსხვავებული მნიშვნელობები, რომლებიც მკვეთრად იცვლება დიელექტრიკულ საზღვარზე. დავუშვათ, რომ ჩვენ განვსაზღვრავთ ველის სიძლიერეს ორ მედიას შორის ინტერფეისზე: ε 1 =1 (ვაკუუმი ან ჰაერი) და ε 2 =3 (თხევადი - ზეთი). ინტერფეისზე, ვაკუუმიდან დიელექტრიკზე გადასვლისას, ველის სიძლიერე მცირდება სამჯერ, ხოლო სიძლიერის ვექტორის ნაკადი მცირდება იმავე რაოდენობით (სურ. 12.25, ა). ელექტროსტატიკური ველის სიძლიერის ვექტორის მკვეთრი ცვლილება ორ მედიას შორის ინტერფეისზე ქმნის გარკვეულ სირთულეებს ველების გაანგარიშებისას. რაც შეეხება გაუსის თეორემას, ამ პირობებში ის საერთოდ კარგავს თავის მნიშვნელობას.

ვინაიდან განსხვავებული დიელექტრიკების პოლარიზება და ძაბვა განსხვავებულია, თითოეულ დიელექტრიკში საველე ხაზების რაოდენობაც განსხვავებული იქნება. ეს სირთულე შეიძლება აღმოიფხვრას ველის ახალი ფიზიკური მახასიათებლის, ელექტრული ინდუქციის D (ან ვექტორის) შემოღებით ელექტრული გადაადგილება ).

ფორმულის მიხედვით

ε 1 E 1 = ε 2 E 2 =E 0 =კონსტ

ამ ტოლობის ყველა ნაწილის გამრავლებით ε 0 ელექტრულ მუდმივზე ვიღებთ

ε 0 ε 1 E 1 = ε 0 ε 2 E 2 =ε 0 E 0 =კონსტ

შემოვიღოთ აღნიშვნა ε 0 εE=D, მაშინ ბოლო კავშირი მიიღებს ფორმას

D 1 = D 2 = D 0 = კონსტ

ვექტორი D, რომელიც უდრის დიელექტრიკში ელექტრული ველის სიძლიერის ნამრავლს და მის აბსოლუტურ დიელექტრიკულ მუდმივობას, ე.წ.ელექტრული გადაადგილების ვექტორი

(12.45)

ელექტრული გადაადგილების ერთეული - გულსაკიდი კვადრატულ მეტრზე(C/m2).

ელექტრული გადაადგილება არის ვექტორული სიდიდე და ასევე შეიძლება გამოისახოს როგორც

D = εε 0 E =(1+χ)ε 0 E = ε 0 E + χε 0 E = ε 0 E+P

(12.46)

E ძაბვისგან განსხვავებით, ელექტრული გადაადგილება D მუდმივია ყველა დიელექტრიკში (ნახ. 12.25, ბ). აქედან გამომდინარე, მოსახერხებელია ელექტრული ველის დახასიათება არაერთგვაროვან დიელექტრიკულ გარემოში არა ინტენსივობით E, არამედ გადაადგილების ვექტორით D. ვექტორი D აღწერს თავისუფალი მუხტების მიერ შექმნილ ელექტროსტატიკურ ველს (ანუ ვაკუუმში), მაგრამ მათი განაწილებით სივრცეში, როგორც დიელექტრიკის თანდასწრებით, რადგან დიელექტრიკებში წარმოქმნილმა შეკრულმა მუხტებმა შეიძლება გამოიწვიოს თავისუფალი მუხტების გადანაწილება, რომელიც ქმნის ველს.

ვექტორული ველი გრაფიკულად წარმოდგენილია ელექტრული გადაადგილების ხაზებით ისევე, როგორც ველი გამოსახულია ძალის ხაზებით.

ელექტრული გადაადგილების ხაზი - ეს არის ხაზები, რომელთა ტანგენტები თითოეულ წერტილში ემთხვევა ელექტრული გადაადგილების ვექტორს.

ვექტორის E ხაზები შეიძლება დაიწყოს და დასრულდეს ნებისმიერი მუხტით - თავისუფალი და შეკრული, ხოლო ვექტორის ხაზებიდ- მხოლოდ უფასო გადასახადით. ვექტორული ხაზებიდდაძაბულობის ხაზებისგან განსხვავებით, ისინი უწყვეტია.

ვინაიდან ელექტრული გადაადგილების ვექტორი არ განიცდის წყვეტას ორ მედიას შორის ინტერფეისზე, ყველა ინდუქციური ხაზი, რომელიც წარმოიქმნება მუხტებიდან, რომლებიც გარშემორტყმულია დახურული ზედაპირით, შეაღწევს მას. ამიტომ, ელექტრული გადაადგილების ვექტორისთვის გაუსის თეორემა სრულად ინარჩუნებს თავის მნიშვნელობას არაჰომოგენური დიელექტრიკული გარემოსთვის.

გაუსის თეორემა ელექტროსტატიკური ველისთვის დიელექტრიკულში : ელექტრული გადაადგილების ვექტორის ნაკადი თვითნებურად დახურულ ზედაპირზე ტოლია ამ ზედაპირის შიგნით შემავალი მუხტების ალგებრული ჯამის.

(12.47)

გაუსის თეორემა ელექტრული ინდუქციისთვის (ელექტრული გადაადგილება)

დიელექტრიკულ გარემოში არსებული ველისთვის გაუსის ელექტროსტატიკური თეორემა შეიძლება დაიწეროს სხვა გზით (ალტერნატიული გზით) - ელექტრული გადაადგილების ვექტორის ნაკადის მეშვეობით (ელექტრული ინდუქცია). ამ შემთხვევაში, თეორემის ფორმულირება ასეთია: ელექტრული გადაადგილების ვექტორის ნაკადი დახურულ ზედაპირზე პროპორციულია თავისუფალი ელექტრული მუხტისა, რომელიც შეიცავს ამ ზედაპირზე:

დიფერენციალური ფორმით:

გაუსის თეორემა მაგნიტური ინდუქციისთვის

მაგნიტური ინდუქციის ვექტორის ნაკადი ნებისმიერ დახურულ ზედაპირზე არის ნული:

ან დიფერენციალური ფორმით

ეს უდრის იმ ფაქტს, რომ ბუნებაში არ არსებობს „მაგნიტური მუხტები“ (მონოპოლები), რომლებიც შექმნიდნენ მაგნიტურ ველს, როგორც ელექტრული მუხტები ქმნიან ელექტრულ ველს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, გაუსის თეორემა მაგნიტური ინდუქციისთვის აჩვენებს, რომ მაგნიტური ველი არის (სრულიად) მორევი.

გაუსის თეორემა ნიუტონის გრავიტაციისთვის

ნიუტონის გრავიტაციის ველის სიძლიერისთვის (გრავიტაციული აჩქარება), გაუსის თეორემა პრაქტიკულად ემთხვევა ელექტროსტატიკის თეორემას, გარდა მხოლოდ მუდმივებისა (თუმცა, მაინც დამოკიდებულია ერთეულთა სისტემის თვითნებურ არჩევანზე) და, რაც მთავარია, ნიშანი:

სად გ- გრავიტაციული ველის სიძლიერე, მ- გრავიტაციული მუხტი (ანუ მასა) ზედაპირის შიგნით ს, ρ - მასის სიმკვრივე, გ- ნიუტონის მუდმივი.

გამტარები ელექტრულ ველში. ველი გამტარის შიგნით და მის ზედაპირზე.

გამტარები არის სხეულები, რომლებშიც ელექტრული მუხტი შეიძლება გადავიდეს დამუხტული სხეულიდან დაუმუხტავში.გამტარების უნარი ელექტრული მუხტების საკუთარ თავში გადატანა აიხსნება მათში თავისუფალი მუხტის მატარებლების არსებობით. გამტარები - ლითონის სხეულები მყარ და თხევად მდგომარეობაში, ელექტროლიტების თხევადი ხსნარები. ელექტრულ ველში შეყვანილი გამტარის თავისუფალი მუხტები იწყებს მოძრაობას მისი გავლენით. მუხტების გადანაწილება იწვევს ელექტრული ველის ცვლილებას. როდესაც გამტარში ელექტრული ველის სიძლიერე ნულის ტოლია, ელექტრონები წყვეტენ მოძრაობას. ელექტრულ ველში მოთავსებულ გამტარში განსხვავებული მუხტების გამოყოფის ფენომენს ელექტროსტატიკური ინდუქცია ეწოდება. დირიჟორის შიგნით ელექტრული ველიარა. იგი გამოიყენება ელექტროსტატიკური დაცვისთვის - დაცვა ლითონის გამტარების გამოყენებით ელექტრული ველისგან. ნებისმიერი ფორმის გამტარი სხეულის ზედაპირი ელექტრულ ველში არის თანაბარი პოტენციალის ზედაპირი.

კონდენსატორები

მოწყობილობების მისაღებად, რომლებიც საშუალოსთან შედარებით დაბალ პოტენციალს დააგროვებენ (კონდენსაციას) შესამჩნევ მუხტებს საკუთარ თავზე, ისინი იყენებენ იმ ფაქტს, რომ გამტარის ელექტრული სიმძლავრე იზრდება სხვა სხეულების მიახლოებასთან ერთად. მართლაც, დამუხტული გამტარების მიერ შექმნილი ველის გავლენით, ინდუცირებული (გამტარზე) ან დაკავშირებული (დიელექტრიკზე) მუხტები ჩნდება მასთან მიტანილ სხეულზე (ნახ. 15.5). გამტარის q მუხტის ნიშნის საპირისპირო მუხტები განლაგებულია გამტართან უფრო ახლოს, ვიდრე q-ის ამავე სახელწოდების მუხტები და, შესაბამისად, დიდ გავლენას ახდენენ მის პოტენციალზე.

ამიტომ, როდესაც რომელიმე სხეული მიუახლოვდება დამუხტულ გამტარს, ველის სიძლიერე მცირდება და, შესაბამისად, მცირდება გამტარის პოტენციალი. განტოლების მიხედვით, ეს ნიშნავს გამტარის ტევადობის ზრდას.

კონდენსატორი შედგება ორი გამტარისგან (ფირფიტები) (ნახ. 15.6), რომლებიც გამოყოფილია დიელექტრიკული ფენით. როდესაც გარკვეული პოტენციური განსხვავება ვრცელდება გამტარზე, მისი ფირფიტები დამუხტულია საპირისპირო ნიშნის თანაბარი მუხტებით. კონდენსატორის ელექტრული სიმძლავრე გაგებულია, როგორც ფიზიკური სიდიდე, რომელიც პროპორციულია q მუხტისა და უკუპროპორციულია ფირფიტებს შორის პოტენციური სხვაობისა.

მოდით განვსაზღვროთ ბრტყელი კონდენსატორის ტევადობა.

თუ ფირფიტის ფართობი არის S და მასზე მუხტი არის q, მაშინ ველის სიძლიერე ფირფიტებს შორის

მეორეს მხრივ, ფირფიტებს შორის პოტენციური განსხვავება მოდის

წერტილოვანი მუხტების სისტემის, დამუხტული გამტარის და კონდენსატორის ენერგია.

მუხტების ნებისმიერ სისტემას აქვს გარკვეული პოტენციური ურთიერთქმედების ენერგია, რაც უდრის ამ სისტემის შექმნაზე დახარჯულ სამუშაოს. წერტილოვანი მუხტების სისტემის ენერგია ქ 1 , ქ 2 , ქ 3 ,… ქ ნგანისაზღვრება შემდეგნაირად:

სად φ 1 – ელექტრული ველის პოტენციალი შექმნილი ყველა მუხტის გარდა ქ 1 იმ წერტილში, სადაც მუხტი მდებარეობს ქ 1 და ა.შ. თუ მუხტების სისტემის კონფიგურაცია იცვლება, მაშინ იცვლება სისტემის ენერგიაც. სისტემის კონფიგურაციის შესაცვლელად, სამუშაო უნდა გაკეთდეს.

წერტილის მუხტების სისტემის პოტენციური ენერგია შეიძლება გამოითვალოს სხვა გზით. ორპუნქტიანი მუხტის პოტენციური ენერგია ქ 1 , ქ 2 ერთმანეთისგან დაშორებით ტოლია. თუ არსებობს რამდენიმე მუხტი, მაშინ მუხტების ამ სისტემის პოტენციური ენერგია შეიძლება განისაზღვროს, როგორც ყველა წყვილი მუხტის პოტენციური ენერგიის ჯამი, რომელიც შეიძლება შედგებოდეს ამ სისტემისთვის. ასე რომ, სამი დადებითი მუხტის სისტემისთვის, სისტემის ენერგია უდრის

კონდენსატორის ფირფიტებზე ზედაპირული დატენვის სიმკვრივე უდრის მასზე დამუხტვის რაოდენობის თანაფარდობას ფირფიტის ფართობთან:.

დამუხტული მარტოხელა გამტარის და კონდენსატორის ენერგია თუ იზოლირებულ გამტარს აქვს მუხტი q, მაშინ მის ირგვლივ არის ელექტრული ველი, რომლის პოტენციალი გამტარის ზედაპირზე უდრის , ხოლო ტევადობა არის C. გავზარდოთ მუხტი dq ოდენობით. მუხტის dq უსასრულობიდან გადატანისას სამუშაო უნდა შესრულდეს ტოლი

. მაგრამ მოცემული გამტარის ელექტროსტატიკური ველის პოტენციალი უსასრულობაში ნულია. მერე

მუხტის dq გამტარიდან უსასრულობამდე გადატანისას იგივე სამუშაო კეთდება ელექტროსტატიკური ველის ძალებით. შესაბამისად, როდესაც გამტარის მუხტი იზრდება dq ოდენობით, იზრდება ველის პოტენციური ენერგია, ე.ი.

ამ გამოხატვის ინტეგრირებით, ჩვენ ვპოულობთ დამუხტული გამტარის ელექტროსტატიკური ველის პოტენციურ ენერგიას, როდესაც მისი მუხტი ნულიდან q-მდე იზრდება:

მიმართების გამოყენებით, ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ შემდეგი გამონათქვამები პოტენციური ენერგიის W-სთვის: