ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ინტეგრალები.
გადაწყვეტილებების მაგალითები

ამ გაკვეთილზე განვიხილავთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ინტეგრალებს, ანუ ინტეგრალების შევსება იქნება სინუსები, კოსინუსები, ტანგენტები და კოტანგენტები სხვადასხვა კომბინაციებში. ყველა მაგალითი დეტალურად იქნება გაანალიზებული, ჩაიდანისთვისაც კი ხელმისაწვდომი და გასაგები.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ინტეგრალების წარმატებით შესასწავლად, თქვენ კარგად უნდა გესმოდეთ უმარტივესი ინტეგრალები, ასევე დაეუფლოთ ინტეგრაციის ზოგიერთ ტექნიკას. ამ მასალების გაცნობა შეგიძლიათ ლექციებზე განუსაზღვრელი ინტეგრალი. გადაწყვეტილებების მაგალითებიდა .

და ახლა ჩვენ გვჭირდება: ინტეგრალების ცხრილი, წარმოებულების ცხრილიდა ტრიგონომეტრიული ფორმულების დირექტორია. ყველა სასწავლო საშუალება შეგიძლიათ იხილოთ გვერდზე მათემატიკური ფორმულები და ცხრილები. გირჩევთ ყველაფერი დაბეჭდოთ. განსაკუთრებულად ვამახვილებ ყურადღებას ტრიგონომეტრიული ფორმულები, ისინი თქვენს თვალწინ უნდა იყოს– ამის გარეშე მუშაობის ეფექტურობა შესამჩნევად შემცირდება.

მაგრამ ჯერ იმაზე, თუ რა ინტეგრალებია ამ სტატიაში არა. ფორმის ინტეგრალები არ არსებობს, - კოსინუსი, სინუსი, გამრავლებული რამდენიმე მრავალწევრზე (ნაკლებად ხშირად რაღაც ტანგენსი ან კოტანგენსი). ასეთი ინტეგრალები ინტეგრირებულია ნაწილების მიხედვით და მეთოდის შესასწავლად ეწვიეთ გაკვეთილს ინტეგრაცია ნაწილებით. გადაწყვეტილებების მაგალითები ასევე აქ არ არის ინტეგრალები "თაღებით" - არქტანგენტი, რკალი და ა.შ., ისინი ასევე ყველაზე ხშირად ინტეგრირებულია ნაწილებით.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ინტეგრალების პოვნისას გამოიყენება რამდენიმე მეთოდი:

(4) ჩვენ ვიყენებთ ცხრილის ფორმულას , განსხვავება მხოლოდ ისაა, რომ "X"-ის ნაცვლად გვაქვს რთული გამოხატულება.

მაგალითი 2

მაგალითი 3

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

ჟანრის კლასიკა მათთვის, ვინც იხრჩობა კონკურსში. როგორც ალბათ შენიშნეთ, ინტეგრალების ცხრილში არ არის ტანგენტისა და კოტანგენტის ინტეგრალი, მაგრამ, მიუხედავად ამისა, ასეთი ინტეგრალები შეიძლება მოიძებნოს.

(1) ჩვენ ვიყენებთ ტრიგონომეტრიულ ფორმულას

(2) ფუნქციას მივყავართ დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ.

(3) ვიყენებთ ცხრილის ინტეგრალს .

მაგალითი 4

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

ეს არის მაგალითი ამისთვის დამოუკიდებელი გადაწყვეტილება, სრული ამოხსნა და პასუხი მოცემულია გაკვეთილის ბოლოს.

მაგალითი 5

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

ჩვენი ხარისხები თანდათან გაიზრდება =).
პირველი გამოსავალი:

(1) ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას

(2) ჩვენ ვიყენებთ მთავარ ტრიგონომეტრიულ იდენტობას , საიდანაც გამომდინარეობს, რომ .

(3) გაყავით მრიცხველი მნიშვნელობით ტერმინით.

(4) ვიყენებთ განუსაზღვრელი ინტეგრალის წრფივობის თვისებას.

(5) ჩვენ ვაერთიანებთ ცხრილის გამოყენებით.

მაგალითი 6

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

ეს არის მაგალითი დამოუკიდებელი ამოხსნისთვის, სრული ამოხსნა და პასუხი მოცემულია გაკვეთილის ბოლოს.

ასევე არსებობს ტანგენტების და კოტანგენტების ინტეგრალები, რომლებიც უფრო მაღალ ძალაში არიან. გაკვეთილზე განიხილება ტანგენტის კუბის ინტეგრალი როგორ გამოვთვალოთ ბრტყელი ფიგურის ფართობი?მეოთხე და მეხუთე ხარისხების ტანგენტის (კოტანგენტის) ინტეგრალების მიღება შეგიძლიათ გვერდზე რთული ინტეგრალები.

ინტეგრანდის ხარისხის შემცირება

ეს ტექნიკა მუშაობს მაშინ, როდესაც ინტეგრანდული ფუნქციები ივსება სინუსებით და კოსინუსებით თუნდაცგრადუსი. ხარისხის შესამცირებლად გამოიყენეთ ტრიგონომეტრიული ფორმულები , და, და ბოლო ფორმულა ხშირად გამოიყენება საპირისპირო მიმართულებით: .

მაგალითი 7

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

გამოსავალი:

პრინციპში, აქ ახალი არაფერია, გარდა იმისა, რომ ჩვენ გამოვიყენეთ ფორმულა (ინტეგრანდის ხარისხის დაქვეითება). გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ მე შევამოკლე გამოსავალი. როგორც თქვენ მიიღებთ გამოცდილებას, ინტეგრალი შეგიძლიათ ნახოთ ზეპირად, ეს დაზოგავს დროს და საკმაოდ მისაღებია დავალების დასრულებისას. ამ შემთხვევაში, მიზანშეწონილია არ აღწეროთ წესი , ჯერ სიტყვიერად ვიღებთ 1-ის ინტეგრალს, შემდეგ --ს.

მაგალითი 8

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

ეს არის მაგალითი დამოუკიდებელი ამოხსნისთვის, სრული ამოხსნა და პასუხი მოცემულია გაკვეთილის ბოლოს.

ეს არის დაპირებული ხარისხის ზრდა:

მაგალითი 9

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

ჯერ გამოსავალი, მერე კომენტარები:

(1) მოამზადეთ ინტეგრადი ფორმულის გამოსაყენებლად .

(2) ჩვენ რეალურად ვიყენებთ ფორმულას.

(3) მნიშვნელს კვადრატში ვაკეთებთ და ინტეგრალური ნიშნიდან ვიღებთ მუდმივას. შეიძლებოდა ცოტა სხვანაირად გაკეთებულიყო, მაგრამ, ჩემი აზრით, უფრო მოსახერხებელი იყო.

(4) ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას

(5) მესამე ტერმინში ჩვენ კვლავ ვამცირებთ ხარისხს, მაგრამ ფორმულის გამოყენებით .

(6) წარმოგიდგენთ მსგავს ტერმინებს (აქ მე დავყავი ტერმინი ტერმინით და გააკეთა დამატება).

(7) რეალურად, ჩვენ ვიღებთ ინტეგრალს, წრფივობის წესს ხოლო დიფერენციალური ნიშნით ფუნქციის შეყვანის მეთოდი ზეპირად სრულდება.

(8) პასუხის კომბინირება.

! განუსაზღვრელი ინტეგრალში პასუხი ხშირად შეიძლება რამდენიმე გზით დაიწეროს

ახლახან განხილულ მაგალითში საბოლოო პასუხი შეიძლებოდა სხვაგვარად დაეწერა - ფრჩხილების გახსნა და ამის გაკეთებაც კი გამოხატვის ინტეგრირებამდე, ანუ მაგალითის შემდეგი დასასრული სავსებით მისაღებია:

სავსებით შესაძლებელია, რომ ეს ვარიანტი კიდევ უფრო მოსახერხებელი იყოს, მე უბრალოდ ავუხსენი ისე, როგორც მე მიჩვეული ვიყავი მის გადაჭრას). აქ არის კიდევ ერთი ტიპიური მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 10

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

ეს მაგალითი შეიძლება გადაწყდეს ორი გზით და შეიძლება წარმატებას მიაღწიოთ ორი სრულიად განსხვავებული პასუხი(უფრო ზუსტად, ისინი სრულიად განსხვავებულად გამოიყურებიან, მაგრამ მათემატიკური თვალსაზრისით ისინი ექვივალენტური იქნებიან). სავარაუდოდ, თქვენ ვერ ნახავთ ყველაზე რაციონალურ მეთოდს და დაზარალდებით ფრჩხილების გახსნით და სხვა ტრიგონომეტრიული ფორმულებით. ყველაზე ეფექტური გამოსავალი მოცემულია გაკვეთილის ბოლოს.

აბზაცის შესაჯამებლად დავასკვნით: ფორმის ნებისმიერი ინტეგრალი , სად და - თუნდაცრიცხვები, იხსნება ინტეგრადის ხარისხის შემცირების მეთოდით.
პრაქტიკაში შემხვდა 8 და 10 გრადუსიანი ინტეგრალები და მათი საშინელი არეულობის მოგვარება მომიწია ხარისხის რამდენჯერმე დაწევით, რასაც მოჰყვა გრძელი, გრძელი პასუხები.

ცვლადის ჩანაცვლების მეთოდი

როგორც სტატიაშია აღნიშნული ცვლადის ცვლილების მეთოდი განუსაზღვრელი ინტეგრალშიჩანაცვლების მეთოდის გამოყენების მთავარი წინაპირობაა ის ფაქტი, რომ ინტეგრანდში არის გარკვეული ფუნქცია და მისი წარმოებული:
(ფუნქციები სულაც არ არის პროდუქტში)

მაგალითი 11

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

ჩვენ ვუყურებთ წარმოებულების ცხრილს და ვამჩნევთ ფორმულებს, , ანუ ჩვენს ინტეგრანდში არის ფუნქცია და მისი წარმოებული. თუმცა ვხედავთ, რომ დიფერენციაციის დროს კოსინუსი და სინუსი ურთიერთგადაიქცევა ერთმანეთში და ჩნდება კითხვა: როგორ უნდა შესრულდეს ცვლადის ცვლილება და რას ვგულისხმობთ სინუსში ან კოსინუსში?! კითხვა შეიძლება მოგვარდეს მეცნიერული ჩხუბით: თუ ჩანაცვლებას არასწორად შევასრულებთ, კარგი არაფერი გამოვა.

ზოგადი მითითება: მსგავს შემთხვევებში, თქვენ უნდა მიუთითოთ ფუნქცია, რომელიც არის მნიშვნელში.

ჩვენ ვწყვეტთ ხსნარს და ვაკეთებთ ჩანაცვლებას

მნიშვნელში ყველაფერი კარგადაა, ყველაფერი მხოლოდ ზეა დამოკიდებული, ახლა რჩება იმის გარკვევა, თუ რაში გადაიქცევა.
ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ დიფერენციალს:

ან მოკლედ:
შედეგად მიღებული თანასწორობიდან, პროპორციის წესის გამოყენებით, გამოვხატავთ გამოთქმას, რომელიც გვჭირდება:

ასე რომ:

ახლა მთელი ჩვენი ინტეგრაცია დამოკიდებულია მხოლოდ და ჩვენ შეგვიძლია გავაგრძელოთ გადაჭრა

მზადაა. შეგახსენებთ, რომ ჩანაცვლების მიზანია ინტეგრაციის გამარტივება, ამ შემთხვევაში ყველაფერი ინტეგრაციამდე მივიდა დენის ფუნქციაცხრილის მიხედვით.

შემთხვევითი არ არის, რომ ეს მაგალითი ასე დეტალურად გაკეთდა გაკვეთილის მასალის განმეორებისა და განმტკიცების მიზნით ცვლადის ცვლილების მეთოდი განუსაზღვრელი ინტეგრალში.

ახლა კი ორი მაგალითი საკუთარი გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 12

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

მაგალითი 13

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

შეავსეთ გადაწყვეტილებები და პასუხები გაკვეთილის ბოლოს.

მაგალითი 14

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

აქ ისევ ინტეგრანდში არის სინუსი და კოსინუსი (ფუნქცია წარმოებულთან), მაგრამ ნამრავლში და ჩნდება დილემა - რას ვგულისხმობთ სინუსში თუ კოსინუსში?

თქვენ შეგიძლიათ სცადოთ ჩანაცვლების განხორციელება სამეცნიერო პოკინგის გამოყენებით, და თუ არაფერი არ მუშაობს, მაშინ მიუთითეთ იგი სხვა ფუნქციად, მაგრამ არის:

ზოგადი მითითება: თქვენ უნდა მიუთითოთ ფუნქცია, რომელიც, ფიგურალურად რომ ვთქვათ, არის „არასასიამოვნო მდგომარეობაში“.

ჩვენ ვხედავთ, რომ ამ მაგალითში სტუდენტის კოსინუსი "იტანჯება" ხარისხით და სინუსი ზის თავისუფლად, თავისთავად.

ამიტომ, მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება:

თუ ვინმეს მაინც უჭირს ცვლადის ჩანაცვლებისა და დიფერენციალის პოვნის ალგორითმი, მაშინ უნდა დაუბრუნდეთ გაკვეთილს ცვლადის ცვლილების მეთოდი განუსაზღვრელი ინტეგრალში.

მაგალითი 15

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

გავაანალიზოთ ინტეგრანტი, რითი უნდა აღინიშნოს?
გავიხსენოთ ჩვენი მითითებები:
1) ფუნქცია დიდი ალბათობით არის მნიშვნელში;
2) ფუნქცია არის „უხერხულ მდგომარეობაში“.

სხვათა შორის, ეს მითითებები მოქმედებს არა მხოლოდ ტრიგონომეტრიული ფუნქციებისთვის.

სინუსი შეესაბამება ორივე კრიტერიუმს (განსაკუთრებით მეორეს), ამიტომ ჩანაცვლება თავს გვთავაზობს. პრინციპში, ჩანაცვლება უკვე შეიძლება განხორციელდეს, მაგრამ ჯერ კარგი იქნებოდა გაერკვია რა უნდა გააკეთოს? ჯერ ერთ კოსინუსს „ვაჭერთ“:

ჩვენ ვიტოვებთ ჩვენს "მომავალ" დიფერენციალს

და ჩვენ გამოვხატავთ მას სინუსების მეშვეობით ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობის გამოყენებით:

ახლა აქ არის ჩანაცვლება:

ზოგადი წესი: თუ ინტეგრანდში არის ერთ-ერთი ტრიგონომეტრიული ფუნქცია (სინუსი ან კოსინუსი). უცნაურიხარისხით, მაშინ თქვენ უნდა „ამოიღოთ“ ერთი ფუნქცია კენტი ხარისხიდან და დანიშნოთ სხვა ფუნქცია მის უკან.ჩვენ ვსაუბრობთ მხოლოდ ინტეგრალებზე, სადაც არის კოსინუსები და სინუსები.

განხილულ მაგალითში, ჩვენ გვქონდა კოსინუსი კენტი სიმძლავრის მქონე, ამიტომ ჩვენ ამოვიღეთ ერთი კოსინუსი სიმძლავრისგან და აღვნიშნეთ ის, როგორც სინუსი.

მაგალითი 16

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

გრადუსი აფრქვევს =).
ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი. სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლება

უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლება ცვლადის ჩანაცვლების მეთოდის ჩვეულებრივი შემთხვევაა. შეგიძლიათ სცადოთ მისი გამოყენება, როდესაც „არ იცით რა გააკეთოთ“. მაგრამ სინამდვილეში არსებობს გარკვეული მითითებები მისი გამოყენებისთვის. ტიპიური ინტეგრალები, სადაც საჭიროა უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლება, არის შემდეგი ინტეგრალები: , , , და ა.შ.

მაგალითი 17

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლება ამ შემთხვევაში ხორციელდება შემდეგნაირად. შევცვალოთ: . მე არ ვიყენებ ასოს, მაგრამ ასოს, ეს არ არის ერთგვარი წესი, უბრალოდ, ისევ მიჩვეული ვარ საკითხების ასე გადაჭრას.

აქ უფრო მოსახერხებელია ამისთვის დიფერენციალის პოვნა, თანასწორობიდან გამოვხატავ:
ორივე ნაწილს ვამაგრებ არქტანგენტს:

არქტანგენსი და ტანგენსი ანადგურებენ ერთმანეთს:

ამრიგად:

პრაქტიკაში, თქვენ არ გჭირდებათ ამის აღწერა ასეთი დეტალურად, მაგრამ უბრალოდ გამოიყენეთ დასრულებული შედეგი:

! გამოთქმა მოქმედებს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ სინუსებისა და კოსინუსების ქვეშ გვაქვს უბრალოდ "X", ინტეგრალისთვის (რაზეც მოგვიანებით ვისაუბრებთ) ყველაფერი ცოტა სხვანაირად იქნება!

ჩანაცვლებისას სინუსები და კოსინუსები გადაიქცევა შემდეგ წილადებად:
, , ეს ტოლობები დაფუძნებულია ცნობილ ტრიგონომეტრიულ ფორმულებზე: ,

ასე რომ, საბოლოო დიზაინი შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს:

მოდით განვახორციელოთ უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლება:

ანტიდერივატების ცხრილი („ინტეგრალები“). ინტეგრალების ცხრილი. ტაბულური განუსაზღვრელი ინტეგრალები. (უმარტივესი ინტეგრალები და ინტეგრალები პარამეტრით). ნაწილების მიერ ინტეგრაციის ფორმულები. ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა.

ანტიდერივატების ცხრილი („ინტეგრალები“).
ტაბულური განუსაზღვრელი ინტეგრალები.	ტაბულური განუსაზღვრელი ინტეგრალები.
(უმარტივესი ინტეგრალები და ინტეგრალები პარამეტრით).
	დენის ფუნქციის ინტეგრალი.
ინტეგრალი, რომელიც მცირდება სიმძლავრის ფუნქციის ინტეგრალამდე, თუ x ამოძრავებს დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ.	ექსპონენციის ინტეგრალი, სადაც a არის მუდმივი რიცხვი.
რთული ექსპონენციალური ფუნქციის ინტეგრალი.	ექსპონენციალური ფუნქციის ინტეგრალი.
	ექსპონენციალური ფუნქციის ინტეგრალი.
ბუნებრივი ლოგარითმის ტოლი ინტეგრალი.	ინტეგრალი: "გრძელი ლოგარითმი".
ბუნებრივი ლოგარითმის ტოლი ინტეგრალი.
ინტეგრალი: „მაღალი ლოგარითმი“.	ინტეგრალი, სადაც x მრიცხველში მოთავსებულია დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ (ნიშნის ქვეშ არსებული მუდმივი შეიძლება დაემატოს ან გამოკლდეს), საბოლოოდ მსგავსია ბუნებრივი ლოგარითმის ტოლი ინტეგრალისა.
კოსინუსური ინტეგრალი.	სინუსური ინტეგრალი.
ტანგენტის ტოლი ინტეგრალი.
კოტანგენტის ტოლი ინტეგრალი.	ინტეგრალი ტოლია როგორც არქსინის, ასევე არკოზინის
ინტეგრალი, რომელიც ტოლია როგორც არქსინის, ასევე არკოზინის.	ინტეგრალი, რომელიც ტოლია როგორც არქტანგენტს, ასევე არკოტანგენტს.
ინტეგრალი ტოლია კოსეკანტის.	სეკანტის ტოლი ინტეგრალი.
ინტეგრალი ტოლია კოსეკანტის.	ინტეგრალი ტოლია კოსეკანტის.
ინტეგრალი ტოლია რკალისებური.	ინტეგრალი ტოლია არქოსეკანტის.
ინტეგრალი ჰიპერბოლური სინუსის ტოლია.	ინტეგრალი ჰიპერბოლური კოსინუსის ტოლია.
ინტეგრალი ჰიპერბოლური სინუსის ტოლია, სადაც sinhx არის ჰიპერბოლური სინუსი ინგლისურ ვერსიაში.	ინტეგრალი ჰიპერბოლური კოსინუსის ტოლია, სადაც sinhx არის ჰიპერბოლური სინუსი ინგლისურ ვერსიაში.
ინტეგრალი ჰიპერბოლური ტანგენსის ტოლია.	ინტეგრალი ჰიპერბოლური კოტანგენსის ტოლია.

ინტეგრალი ჰიპერბოლური სეკანტის ტოლია.

ნაწილების მიერ ინტეგრაციის ფორმულები. ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა ინტეგრაციის წესები.
პროდუქტის (ფუნქციის) ინტეგრირება მუდმივით:
ფუნქციების ჯამის ინტეგრირება:
განუსაზღვრელი ინტეგრალები:
ნაწილების მიერ ინტეგრაციის ფორმულა განსაზღვრული ინტეგრალები:
ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა განსაზღვრული ინტეგრალები:	სადაც F(a), F(b) არის ანტიწარმოებულების მნიშვნელობები b და a წერტილებში, შესაბამისად.

წარმოებულების ცხრილი. ტაბულური წარმოებულები. პროდუქტის წარმოებული. კოეფიციენტის წარმოებული. რთული ფუნქციის წარმოებული.

თუ x დამოუკიდებელი ცვლადია, მაშინ:

წარმოებულების ცხრილი. ცხრილის წარმოებულები "მაგიდის წარმოებული" - დიახ, სამწუხაროდ, ზუსტად ასე ეძებენ მათ ინტერნეტში
	სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებული
	მაჩვენებლის წარმოებული
რთული ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული	ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული
ლოგარითმული ფუნქციის წარმოებული	ბუნებრივი ლოგარითმის წარმოებული
	ფუნქციის ბუნებრივი ლოგარითმის წარმოებული
სინუსის წარმოებული	კოსინუსის წარმოებული
კოსეკანტის წარმოებული	სეკანტის წარმოებული
არქსინის წარმოებული	რკალის კოსინუსის წარმოებული
არქსინის წარმოებული	რკალის კოსინუსის წარმოებული
ტანგენტის წარმოებული	კოტანგენტის წარმოებული
არქტანგენტის წარმოებული	რკალის კოტანგენტის წარმოებული
არქტანგენტის წარმოებული	რკალის კოტანგენტის წარმოებული
რკალის წარმოებული	არქოსეკანტის წარმოებული
რკალის წარმოებული	არქოსეკანტის წარმოებული
ჰიპერბოლური სინუსის წარმოებული ჰიპერბოლური სინუსის წარმოებული ინგლისურ ვერსიაში	ჰიპერბოლური კოსინუსის წარმოებული ჰიპერბოლური კოსინუსის წარმოებული ინგლისურ ვერსიაში
ჰიპერბოლური ტანგენტის წარმოებული	ჰიპერბოლური კოტანგენტის წარმოებული
ჰიპერბოლური სეკანტის წარმოებული	ჰიპერბოლური კოსეკანტის წარმოებული

დიფერენცირების წესები. პროდუქტის წარმოებული. კოეფიციენტის წარმოებული.
რთული ფუნქციის წარმოებული.
პროდუქტის (ფუნქციის) წარმოებული მუდმივით:
ჯამის წარმოებული (ფუნქციები):
პროდუქტის წარმოებული (ფუნქციები):
კოეფიციენტის (ფუნქციების) წარმოებული:

რთული ფუნქციის წარმოებული:

ლოგარითმების თვისებები. ლოგარითმების ძირითადი ფორმულები. ათწილადი (lg) და ბუნებრივი ლოგარითმები (ln).
ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა
ვნახოთ, როგორ შეიძლება a b ფორმის ნებისმიერი ფუნქცია ექსპონენციალური იყოს. ვინაიდან e x ფორმის ფუნქციას ექსპონენციალური ეწოდება, მაშინ

a b ფორმის ნებისმიერი ფუნქცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ათის ხარისხად

ბუნებრივი ლოგარითმი ln (ლოგარითმი ფუძემდე e = 2.718281828459045...) ln(e)=1; ln(1)=0

ტეილორის სერია. ტეილორის სერიის ფუნქციის გაფართოება. გამოდის, რომ უმრავლესობამათემატიკური ფუნქციები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ნებისმიერი სიზუსტით გარკვეული წერტილის სიახლოვეს ცვლადის სიმძლავრეების შემცველი სიმძლავრის სერიის სახით მზარდი თანმიმდევრობით. მაგალითად, x=1 წერტილის სიახლოვეს:

სერიის გამოყენებისას ე.წ ტეილორის რიგებიშერეული ფუნქციები, რომლებიც შეიცავს, ვთქვათ, ალგებრულ, ტრიგონომეტრიულ და ექსპონენციალურ ფუნქციებს შეიძლება გამოიხატოს წმინდა ალგებრულ ფუნქციებად. სერიის გამოყენებით, ხშირად შეგიძლიათ სწრაფად განახორციელოთ დიფერენციაცია და ინტეგრაცია.

ტეილორის სერიას a წერტილის სიახლოვეს აქვს ფორმა:

1) , სადაც f(x) არის ფუნქცია, რომელსაც აქვს ყველა რიგის წარმოებული x = a. R n - დარჩენილი ტერმინი ტეილორის სერიაში განისაზღვრება გამოხატვით

2)

სერიის k-ე კოეფიციენტი (x k) განისაზღვრება ფორმულით

3) ტეილორის სერიის განსაკუთრებული შემთხვევაა მაკლარინის (= მაკლარენის) სერია (გაფართოება ხდება a=0 წერტილის გარშემო)

a=0-ზე

სერიის წევრები განისაზღვრება ფორმულით

ტეილორის სერიის გამოყენების პირობები.

1. იმისთვის, რომ ფუნქცია f(x) გაფართოვდეს ტეილორის სერიად (-R;R) ინტერვალზე, აუცილებელია და საკმარისია დარჩენილი ტერმინი ტეილორის (Maclaurin (=McLaren)) ფორმულაში. ფუნქცია ნულისკენ მიისწრაფვის, როგორც k →∞ მითითებულ ინტერვალზე (-R;R).

2. აუცილებელია არსებობდეს წარმოებულები მოცემული ფუნქციისთვის იმ წერტილში, რომლის სიახლოვეს ვაპირებთ ტეილორის სერიის აგებას.

ტეილორის სერიის თვისებები.

თუ f არის ანალიტიკური ფუნქცია, მაშინ მისი ტეილორის სერია a ნებისმიერ წერტილში, f-ის განსაზღვრის დომენში, უახლოვდება f-ს a-ს ზოგიერთ სამეზობლოში.

არსებობს უსასრულოდ დიფერენცირებადი ფუნქციები, რომელთა ტეილორის სერიები იყრის თავს, მაგრამ ამავდროულად განსხვავდება a-ს ნებისმიერი უბნის ფუნქციისგან. მაგალითად:

ტეილორის სერიები გამოიყენება მიახლოებით (დაახლოება არის მეცნიერული მეთოდი, რომელიც მოიცავს ზოგიერთი ობიექტის სხვებით შეცვლას, ამა თუ იმ გაგებით, ორიგინალთან ახლოს, მაგრამ უფრო მარტივი) ფუნქციის მრავალწევრებით. კერძოდ, ხაზოვანიზაცია ((linearis-დან - წრფივი), დახურული არაწრფივი სისტემების მიახლოებითი წარმოდგენის ერთ-ერთი მეთოდი, რომელშიც არაწრფივი სისტემის შესწავლა იცვლება წრფივი სისტემის ანალიზით, გარკვეული გაგებით თავდაპირველის ეკვივალენტური. .) განტოლებები წარმოიქმნება ტეილორის სერიებში გაფართოებით და პირველი რიგის ყველა ტერმინის მოწყვეტით.

ამრიგად, თითქმის ნებისმიერი ფუნქცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს პოლინომის სახით მოცემული სიზუსტით.

სიმძლავრის ფუნქციების ზოგიერთი საერთო გაფართოების მაგალითები მაკლარინის სერიებში (=მაკლარენი, ტეილორი 0 წერტილის სიახლოვეს) და ტეილორი 1 წერტილის სიახლოვეს. ძირითადი ფუნქციების გაფართოების პირველი პირები ტეილორისა და მაკლარენის სერიებში.

სიმძლავრის ფუნქციების ზოგიერთი საერთო გაფართოების მაგალითები მაკლარინის სერიებში (=McLaren, Taylor 0 წერტილის სიახლოვეს)

ტეილორის სერიის ზოგიერთი გავრცელებული გაფართოების მაგალითები 1 წერტილის სიახლოვეს

R(sin x, cos x) ფორმის რაციონალური ფუნქციების ინტეგრირებისთვის გამოიყენება ჩანაცვლება, რომელსაც უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლება ეწოდება. მაშინ . უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლება ხშირად იწვევს დიდ გამოთვლებს. ამიტომ, შეძლებისდაგვარად, გამოიყენეთ შემდეგი შემცვლელები.

ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებზე რაციონალურად დამოკიდებული ფუნქციების ინტეგრაცია

1. ∫ sin n xdx , ∫ cos n xdx ფორმის ინტეგრალები, n>0
ა) თუ n კენტია, მაშინ სინქსის (ან cosx) ერთი ძალა უნდა შეიტანოს დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ, ხოლო დარჩენილი ლუწი სიმძლავრედან გადავიდეს საპირისპირო ფუნქციაზე.
ბ) თუ n ლუწია, მაშინ ვიყენებთ ფორმულებს ხარისხის შესამცირებლად
2. ∫ tg n xdx , ∫ ctg n xdx ფორმის ინტეგრალები, სადაც n არის მთელი რიცხვი.
ფორმულები უნდა იქნას გამოყენებული

3. ∫ sin n x cos m x dx ფორმის ინტეგრალები
ა) დავუშვათ m და n განსხვავებული პარიტეტებისა. ჩვენ ვიყენებთ ჩანაცვლებას t=sin x თუ n არის კენტი ან t=cos x თუ m არის კენტი.
ბ) თუ m და n ლუწია, მაშინ ვიყენებთ ფორმულებს ხარისხის შესამცირებლად
2sin 2 x=1-cos2x, 2cos 2 x=1+cos2x.
4. ფორმის ინტეგრალები
თუ m და n რიცხვები ერთნაირი პარიტეტისაა, მაშინ ვიყენებთ ჩანაცვლებას t=tg x. ხშირად მოსახერხებელია ტრიგონომეტრიული ერთეულის ტექნიკის გამოყენება.
5. ∫ sin(nx) cos(mx)dx , ∫ cos(mx) cos(nx)dx , ∫ sin(mx) sin(nx)dx

მოდით გამოვიყენოთ ფორმულები ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ნამრავლის ჯამად გადასაყვანად:

• sin α cos β = ½(sin(α+β)+sin(α-β))
• cos α cos β = ½(cos(α+β)+cos(α-β))
• sin α sin β = ½(cos(α-β)-cos(α+β))

მაგალითები
1. გამოთვალეთ ინტეგრალი ∫ cos 4 x·sin 3 xdx .
ვაკეთებთ ჩანაცვლებას cos(x)=t. მაშინ ∫ cos 4 x sin 3 xdx =
2. გამოთვალეთ ინტეგრალი.
ჩანაცვლების sin x=t კეთებისას მივიღებთ

3. იპოვე ინტეგრალი.
ვაკეთებთ ჩანაცვლებას tg(x)=t . ჩანაცვლება, ჩვენ ვიღებთ

R(sinx, cosx) ფორმის გამონათქვამების ინტეგრირება

მაგალითი No1. ინტეგრალების გამოთვლა:

გამოსავალი.
ა) R(sinx, cosx) ფორმის გამონათქვამების ინტეგრაცია, სადაც R არის sin x და cos x-ის რაციონალური ფუნქცია, გარდაიქმნება რაციონალური ფუნქციების ინტეგრალებში უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების tg(x/2) = t.
მაშინ გვაქვს

უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლება შესაძლებელს ხდის ∫ R(sinx, cosx) dx ფორმის ინტეგრალიდან წილადი რაციონალური ფუნქციის ინტეგრალზე გადასვლას, მაგრამ ხშირად ასეთი ჩანაცვლება იწვევს რთულ გამონათქვამებამდე. გარკვეულ პირობებში, უფრო მარტივი ჩანაცვლება ეფექტურია:

• თუ ტოლობა R(-sin x, cos x) = -R(sin x, cos x)dx დაკმაყოფილებულია, მაშინ გამოიყენება ჩანაცვლება cos x = t.
• თუ თანასწორობა R(sin x, -cos x) = -R(sin x, cos x)dx მოქმედებს, მაშინ ჩანაცვლება sin x = t.
• თუ თანასწორობა R(-sin x, -cos x) = R(sin x, cos x)dx მოქმედებს, მაშინ ჩანაცვლება tgx = t ან ctg x = t.

ამ შემთხვევაში ინტეგრალის პოვნა
გამოვიყენოთ უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლება tg(x/2) = t.
მაშინ უპასუხე:

დეტალურად განიხილება ინტეგრალების ამონახსნების მაგალითები ნაწილების მიხედვით, რომელთა ინტეგრადი არის მრავალწევრის ნამრავლი ექსპონენციალური (e x ხარისხზე) ან სინუსზე (sin x) ან კოსინუსზე (cos x).

შინაარსი

აგრეთვე იხილეთ: ნაწილების მიერ ინტეგრაციის მეთოდი
განუსაზღვრელი ინტეგრალების ცხრილი
განუსაზღვრელი ინტეგრალების გამოთვლის მეთოდები
ძირითადი ელემენტარული ფუნქციები და მათი თვისებები

ნაწილების მიერ ინტეგრაციის ფორმულა

ამ სექციაში მაგალითების გადაჭრისას გამოიყენება ნაწილების მიერ ინტეგრაციის ფორმულა:
;
.

ინტეგრალების მაგალითები, რომლებიც შეიცავს მრავალწევრის და sin x, cos x ან e x ნამრავლს

აქ მოცემულია ასეთი ინტეგრალების მაგალითები:
, , .

ასეთი ინტეგრალების ინტეგრირებისთვის მრავალწევრი აღინიშნება u-ით, ხოლო დარჩენილი ნაწილი v dx-ით.

შემდეგი, გამოიყენეთ ინტეგრაცია ნაწილების ფორმულით.

ქვემოთ მოცემულია ამ მაგალითების დეტალური გადაწყვეტა.

ინტეგრალების ამოხსნის მაგალითები

მაგალითი მაჩვენებლით, e x-ის ხარისხზე
.

განსაზღვრეთ ინტეგრალი:
მოდით წარმოვიდგინოთ მაჩვენებლები დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ:.

e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x)

მოდით ინტეგრირება ნაწილების მიხედვით.
.
აქ
.
.
.
ჩვენ ასევე ვაერთიანებთ დარჩენილ ინტეგრალს ნაწილების მიხედვით.
.

საბოლოოდ გვაქვს:

სინუსთან ინტეგრალის განსაზღვრის მაგალითი
.

გამოთვალეთ ინტეგრალი:

e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x)

მოდით შემოვიტანოთ სინუსი დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ: აქ u = x 2, v = cos(2 x+3) ( , du = )′ x 2

dx


ჩვენ ასევე ვაერთიანებთ დარჩენილ ინტეგრალს ნაწილების მიხედვით. ამისათვის შეიტანეთ კოსინუსი დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ. აქ u = x, v = sin (2 x+3)

ჩვენ ასევე ვაერთიანებთ დარჩენილ ინტეგრალს ნაწილების მიხედვით.

, du = dx

სინუსთან ინტეგრალის განსაზღვრის მაგალითი
.

მრავალწევრისა და კოსინუსის ნამრავლის მაგალითი

e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x)

შემოვიღოთ კოსინუსი დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ: აქ u = x 2 + 3 x + 5 , v = cos(2 x+3) ( ცოდვა 2 x )′ x 2