შესრულებულია არგუმენტის ყველა მნიშვნელობისთვის (ზოგადი მასშტაბიდან).
უნივერსალური ჩანაცვლების ფორმულები.
ამ ფორმულებით ადვილია ნებისმიერი გამოხატულება, რომელიც შეიცავს ერთი არგუმენტის სხვადასხვა ტრიგონომეტრიულ ფუნქციას ერთი ფუნქციის რაციონალურ გამოხატულებად. ტგ (α /2):
თანხების პროდუქტებად და პროდუქტების ჯამებად გადაქცევის ფორმულები.
ადრე ზემოაღნიშნული ფორმულები გამოიყენებოდა გამოთვლების გასამარტივებლად. მათ გამოთვალეს ლოგარითმული ცხრილების გამოყენებით, შემდეგ კი - სლაიდების წესი, რადგან ლოგარითმები საუკეთესოდ შეეფერება რიცხვების გასამრავლებლად. ამიტომ თითოეული ორიგინალური გამოთქმა შემცირდა იმ ფორმამდე, რომელიც მოსახერხებელი იქნებოდა ლოგარითმიზაციისთვის, ანუ პროდუქტებად მაგალითად:
2 ცოდვა α ცოდვა ბ = cos (α - ბ) - cos (α + ბ);
2 cos α cos ბ = cos (α - ბ) + cos (α + ბ);
2 ცოდვა α cos ბ = ცოდვა (α - ბ) + ცოდვა (α + ბ).
სად არის კუთხე, რომლისთვისაც, კერძოდ,
ზემოაღნიშნულიდან ადვილად მიიღება ტანგენსისა და კოტანგენტის ფუნქციების ფორმულები.
ხარისხის შემცირების ფორმულები.
|
sin 2 α = (1 - cos 2α)/2; |
cos 2 α = (1 + cos 2α)/2; |
|
ცოდვა 3α = (3 ცოდვაα - ცოდვა 3α )/4; |
cos 3 a = (3 cosα + cos 3α )/4. |
ამ ფორმულების გამოყენებით, ტრიგონომეტრიული განტოლებები ადვილად მცირდება უფრო დაბალი სიმძლავრის განტოლებამდე. შემცირების ფორმულები უმაღლესი ხარისხებისთვის მიღებულია იმავე გზით ცოდვადა cos.
ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გამოხატვა ერთი და იგივე არგუმენტის ერთ-ერთი მათგანის მეშვეობით.
ფესვის წინ ნიშანი დამოკიდებულია მეოთხედის კუთხის მდებარეობაზე α .
მოცემულია ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების - სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსისა და კოტანგენსის მიმართება. ტრიგონომეტრიული ფორმულები. და რადგან ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს შორის საკმაოდ ბევრი კავშირია, ეს ხსნის ტრიგონომეტრიული ფორმულების სიმრავლეს. ზოგიერთი ფორმულა აკავშირებს ერთი და იგივე კუთხის ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს, სხვები - მრავალჯერადი კუთხის ფუნქციებს, სხვები - საშუალებას გაძლევთ შეამციროთ ხარისხი, მეოთხე - გამოხატოთ ყველა ფუნქცია ნახევარი კუთხის ტანგენტის საშუალებით და ა.შ.
ამ სტატიაში თანმიმდევრობით ჩამოვთვლით ყველა ძირითად ტრიგონომეტრიულ ფორმულას, რომლებიც საკმარისია ტრიგონომეტრიის ამოცანების დიდი უმრავლესობის გადასაჭრელად. დამახსოვრებისა და გამოყენების სიმარტივის მიზნით, ჩვენ დავაჯგუფებთ მათ დანიშნულების მიხედვით და შევიყვანთ ცხრილებში.
გვერდის ნავიგაცია.
ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობები
ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობებიგანსაზღვრეთ კავშირი ერთი კუთხის სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტსა და კოტანგენტს შორის. ისინი გამომდინარეობს სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტისა და კოტანგენტის განმარტებიდან, ასევე ერთეული წრის კონცეფციიდან. ისინი საშუალებას გაძლევთ გამოხატოთ ერთი ტრიგონომეტრიული ფუნქცია ნებისმიერი სხვა კუთხით.
ამ ტრიგონომეტრიის ფორმულების დეტალური აღწერა, მათი წარმოშობა და გამოყენების მაგალითები იხილეთ სტატიაში.
შემცირების ფორმულები
შემცირების ფორმულებიმოჰყვება სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტის და კოტანგენტის თვისებებს, ანუ ისინი ასახავს პერიოდულობის თვისებას ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, სიმეტრიის თვისება, ისევე როგორც გადანაცვლების თვისება მოცემული კუთხე. ეს ტრიგონომეტრიული ფორმულები საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ თვითნებური კუთხით სამუშაოდან ნულიდან 90 გრადუსამდე.
ამ ფორმულების დასაბუთება, მათი დამახსოვრების მნემონური წესი და მათი გამოყენების მაგალითები შეგიძლიათ შეისწავლოთ სტატიაში.
დამატების ფორმულები
ტრიგონომეტრიული დამატების ფორმულებიაჩვენე, როგორ გამოიხატება ორი კუთხის ჯამის ან სხვაობის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები ამ კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მიხედვით. ეს ფორმულები ემსახურება შემდეგი ტრიგონომეტრიული ფორმულების გამოყვანის საფუძველს.
ფორმულები ორმაგი, სამმაგი და ა.შ. კუთხე
ფორმულები ორმაგი, სამმაგი და ა.შ. კუთხე (მათ ასევე უწოდებენ მრავალი კუთხის ფორმულებს) გვიჩვენებს, თუ როგორ მოქმედებს ტრიგონომეტრიული ფუნქციები ორმაგი, სამმაგი და ა.შ. კუთხეები () გამოიხატება ერთი კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მიხედვით. მათი წარმოშობა ემყარება დამატების ფორმულებს.
უფრო დეტალური ინფორმაცია გროვდება სტატიის ფორმულებში ორმაგი, სამმაგი და ა.შ. კუთხე
ნახევარკუთხის ფორმულები
ნახევარკუთხის ფორმულებიაჩვენე როგორ გამოიხატება ნახევარკუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები მთელი კუთხის კოსინუსის მიხედვით. ეს ტრიგონომეტრიული ფორმულები გამომდინარეობს ორმაგი კუთხის ფორმულებიდან.
მათი დასკვნა და განაცხადის მაგალითები შეგიძლიათ იხილოთ სტატიაში.
ხარისხის შემცირების ფორმულები
გრადუსების შემცირების ტრიგონომეტრიული ფორმულებიშექმნილია იმისთვის, რომ ხელი შეუწყოს ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ბუნებრივი ძალებიდან პირველი ხარისხის სინუსებსა და კოსინუსებზე გადასვლას, მაგრამ მრავალ კუთხით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ისინი საშუალებას გაძლევთ შეამციროთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ძალა პირველზე.
ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჯამისა და სხვაობის ფორმულები
მთავარი მიზანი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჯამისა და სხვაობის ფორმულებიარის ფუნქციების პროდუქტზე გადასვლა, რაც ძალიან სასარგებლოა ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების გამარტივებისას. ეს ფორმულები ასევე ფართოდ გამოიყენება ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნისას, რადგან ისინი საშუალებას გაძლევთ გაანგარიშოთ სინუსებისა და კოსინუსების ჯამი და განსხვავება.
სინუსების, კოსინუსების და კოსინუსების ნამრავლის ფორმულები
ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ნამრავლიდან ჯამზე ან განსხვავებაზე გადასვლა ხორციელდება სინუსების, კოსინუსების და სინუსების ნამრავლის ფორმულების გამოყენებით.
უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლება
ჩვენ ვასრულებთ ტრიგონომეტრიის ძირითადი ფორმულების მიმოხილვას ფორმულებით, რომლებიც გამოხატავენ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს ნახევარკუთხის ტანგენტის მიხედვით. ეს ჩანაცვლება ერქვა უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლება. მისი მოხერხებულობა მდგომარეობს იმაში, რომ ყველა ტრიგონომეტრიული ფუნქცია რაციონალურად არის გამოხატული ფესვების გარეშე ნახევარი კუთხის ტანგენტის მიხედვით.
ცნობები.
- ალგებრა:სახელმძღვანელო მე-9 კლასისთვის. საშ. სკოლა/იუ. ნ.მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა; რედ. S. A. Telyakovsky - M.: განათლება, 1990. - 272 გვ.: ISBN 5-09-002727-7
- ბაშმაკოვი M.I.ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი: სახელმძღვანელო. 10-11 კლასებისთვის. საშ. სკოლა - მე-3 გამოცემა. - მ.: განათლება, 1993. - 351გვ.: ავად. - ISBN 5-09-004617-4.
- ალგებრადა ანალიზის დასაწყისი: პროკ. 10-11 კლასებისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn და სხვ. რედ. A. N. Kolmogorov - 14th ed - M.: განათლება, 2004. - 384 pp.
- გუსევი V.A., Mordkovich A.G.მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკურ სასწავლებლებში შესვლისთვის): პროკ. შემწეობა.- მ. უმაღლესი სკოლა, 1984.-351გვ., ილ.
საავტორო უფლება ჭკვიანი სტუდენტების მიერ
ყველა უფლება დაცულია.
დაცულია საავტორო უფლებების კანონით. საიტის არც ერთი ნაწილი, მათ შორის შიდა მასალები და გარეგნობა, არ შეიძლება იყოს რაიმე ფორმით რეპროდუცირება ან გამოყენება საავტორო უფლებების მფლობელის წინასწარი წერილობითი ნებართვის გარეშე.
IN იდენტობის გარდაქმნები ტრიგონომეტრიული გამონათქვამებიშეიძლება გამოყენებულ იქნას შემდეგი ალგებრული ტექნიკა: იდენტური ტერმინების შეკრება და გამოკლება; საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღება; გამრავლება და გაყოფა ერთსა და იმავე რაოდენობაზე; შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენება; სრული კვადრატის შერჩევა; კვადრატული ტრინომის ფაქტორინგი; ახალი ცვლადების დანერგვა ტრანსფორმაციების გასამარტივებლად.
წილადების შემცველი ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების გადაქცევისას შეგიძლიათ გამოიყენოთ პროპორციის თვისებები, წილადების შემცირება ან წილადების საერთო მნიშვნელად გადაქცევა. გარდა ამისა, შეგიძლიათ გამოიყენოთ წილადის მთელი ნაწილის შერჩევა, წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გაამრავლოთ იმავე ოდენობით და ასევე, თუ შესაძლებელია, გაითვალისწინოთ მრიცხველის ან მნიშვნელის ერთგვაროვნება. საჭიროების შემთხვევაში, შეგიძლიათ წარმოადგინოთ წილადი, როგორც რამდენიმე მარტივი წილადის ჯამი ან სხვაობა.
გარდა ამისა, ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების კონვერტაციისთვის ყველა საჭირო მეთოდის გამოყენებისას აუცილებელია მუდმივად გავითვალისწინოთ კონვერტირებადი გამონათქვამების დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი.
მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს.
მაგალითი 1.
გამოთვალეთ A = (sin (2x – π) cos (3π – x) + sin (2x – 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x – π/2) cos ( 2x – 7π /2) +
+
sin (3π/2 – x) ცოდვა (2x –5π/2)) 2
გამოსავალი.
შემცირების ფორმულებიდან შემდეგია:
sin (2x – π) = -sin 2x; cos (3π – x) = -cos x;
sin (2x – 9π/2) = -cos 2x; cos (x + π/2) = -sin x;
cos (x – π/2) = sin x; cos (2x – 7π/2) = -sin 2x;
sin (3π/2 – x) = -cos x; sin (2x – 5π/2) = -cos 2x.
საიდანაც, არგუმენტების დამატების ფორმულების და მთავარი ტრიგონომეტრიული იდენტობის მიხედვით, ვიღებთ
A = (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 = sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) =
= ცოდვა 2 3x + cos 2 3x = 1
პასუხი: 1.
მაგალითი 2.
გადააქციეთ გამოთქმა M = cos α + cos (α + β) · cos γ + cos β – sin (α + β) · sin γ + cos γ ნამრავლად.
გამოსავალი.
არგუმენტების დამატების ფორმულებიდან და შესაბამისი დაჯგუფების შემდეგ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჯამის პროდუქტად გადაქცევის ფორმულებიდან გვაქვს
M = (cos (α + β) cos γ – sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =
2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =
2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =
2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =
2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) cos ((β – γ)/2) – (α + ( β + γ)/2)/2) =
4cos ((β + γ)/2) cos ((α +β)/2) cos ((α + γ)/2).
პასუხი: M = 4cos ((α + β)/2) · cos ((α + γ)/2) · cos ((β + γ)/2).
მაგალითი 3.
აჩვენეთ, რომ გამოხატულება A = cos 2 (x + π/6) – cos (x + π/6) cos (x – π/6) + cos 2 (x – π/6) იღებს ერთს ყველა x-ისთვის R-დან და იგივე მნიშვნელობა. იპოვეთ ეს მნიშვნელობა.
გამოსავალი.
აქ მოცემულია ამ პრობლემის გადაჭრის ორი გზა. პირველი მეთოდის გამოყენებით, სრული კვადრატის იზოლირებით და შესაბამისი ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფორმულების გამოყენებით, მივიღებთ
A = (cos (x + π/6) – cos (x – π/6)) 2 + cos (x – π/6) cos (x – π/6) =
4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2(cos 2x + cos π/3) =
Sin 2 x + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 1/2 · (1 – cos 2x) + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 3/4.
ამოცანის მეორე გზით ამოხსნით, A განვიხილავთ x-ის ფუნქციას R-დან და გამოთვალეთ მისი წარმოებული. გარდაქმნების შემდეგ ვიღებთ
А´ = -2cos (x + π/6) sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) cos (x – π/6) + cos (x + π/6) sin (x + π/6)) – 2cos (x – π/6) sin (x – π/6) =
Sin 2(x + π/6) + sin ((x + π/6) + (x – π/6)) – sin 2(x – π/6) =
Sin 2x – (sin (2x + π/3) + sin (2x – π/3)) =
Sin 2x – 2sin 2x · cos π/3 = sin 2x – sin 2x ≡ 0.
ამრიგად, ინტერვალზე დიფერენცირებადი ფუნქციის მუდმივობის კრიტერიუმიდან გამომდინარე, დავასკვნათ, რომ
A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x € R. 
პასუხი: A = 3/4 x € R-ისთვის.
ტრიგონომეტრიული იდენტობის დადასტურების ძირითადი ტექნიკაა:
ა)იდენტურობის მარცხენა მხარის მარჯვნივ შემცირება შესაბამისი გარდაქმნების გზით;
ბ)იდენტურობის მარჯვენა მხარის მარცხნივ შემცირება;
V)იდენტურობის მარჯვენა და მარცხენა მხარის იმავე ფორმამდე შემცირება;
გ)ნულამდე შემცირება იდენტობის მარცხენა და მარჯვენა მხარეს შორის სხვაობის დასადასტურებლად.
მაგალითი 4.
შეამოწმეთ, რომ cos 3x = -4cos x · cos (x + π/3) · cos (x + 2π/3).
გამოსავალი.
ჩვენ გვაქვს ამ იდენტობის მარჯვენა მხარის ტრანსფორმირება შესაბამისი ტრიგონომეტრიული ფორმულების გამოყენებით
4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =
2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) - (x + 2π/3))) =
2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =
2cos x · cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) – cos x = cos 3x.
პირადობის მარჯვენა მხარე შემცირებულია მარცხნივ.
მაგალითი 5.
დაამტკიცეთ, რომ sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ = 2 თუ α, β, γ არის რომელიმე სამკუთხედის შიდა კუთხეები.
გამოსავალი.
იმის გათვალისწინებით, რომ α, β, γ არის რომელიმე სამკუთხედის შიდა კუთხეები, მივიღებთ ამას
α + β + γ = π და, შესაბამისად, γ = π – α – β.
sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ =
Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π – α – β) – 2cos α · cos β · cos (π – α – β) =
Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α – β) · (cos (α + β) =
Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α – β) (cos (α + β) =
1/2 · (1 – cos 2α) + ½ · (1 – cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) = 2.
ორიგინალური თანასწორობა დადასტურდა.
მაგალითი 6.
დაამტკიცეთ, რომ იმისათვის, რომ სამკუთხედის α, β, γ კუთხის ერთ-ერთი ტოლი იყოს 60°-ის, აუცილებელია და საკმარისია sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.
გამოსავალი.
ამ პრობლემის პირობა გულისხმობს როგორც აუცილებლობის, ასევე საკმარისობის დადასტურებას.
ჯერ დავამტკიცოთ აუცილებლობა.
ამის ჩვენება შეიძლება
sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2).
აქედან გამომდინარე, იმის გათვალისწინებით, რომ cos (3/2 60°) = cos 90° = 0, მივიღებთ, რომ თუ ერთ-ერთი კუთხე α, β ან γ უდრის 60°-ს, მაშინ
cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 და, შესაბამისად, sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.
ახლა დავამტკიცოთ ადეკვატურობამითითებულ პირობას.
თუ sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0, მაშინ cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 და, შესაბამისად,
ან cos (3α/2) = 0, ან cos (3β/2) = 0, ან cos (3γ/2) = 0.
აქედან გამომდინარე,
ან 3α/2 = π/2 + πk, ე.ი. α = π/3 + 2πk/3, 
ან 3β/2 = π/2 + πk, ე.ი. β = π/3 + 2πk/3,
ან 3γ/2 = π/2 + πk,
იმათ. γ = π/3 + 2πk/3, სადაც k ϵ Z.
იქიდან, რომ α, β, γ არის სამკუთხედის კუთხეები, გვაქვს
0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.
ამიტომ, α = π/3 + 2πk/3 ან β = π/3 + 2πk/3 ან
γ = π/3 + 2πk/3 ყველა kϵZ-დან მხოლოდ k = 0 არის შესაფერისი.
აქედან გამომდინარეობს, რომ ან α = π/3 = 60°, ან β = π/3 = 60°, ან γ = π/3 = 60°.
განცხადება დადასტურდა.
ჯერ კიდევ გაქვთ შეკითხვები? არ იცით როგორ გაამარტივოთ ტრიგონომეტრიული გამონათქვამები?
დამრიგებლის დახმარების მისაღებად დარეგისტრირდით.
პირველი გაკვეთილი უფასოა!
ვებსაიტზე, მასალის სრულად ან ნაწილობრივ კოპირებისას საჭიროა წყაროს ბმული.
