მოცემულია X ნორმალურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი a=3 და სტანდარტული გადახრა =5.

ჩაწერეთ ალბათობის განაწილების სიმკვრივე და სქემატურად დახაზეთ იგი.

იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ x მიიღებს მნიშვნელობას ინტერვალიდან (2;10).

იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ x მიიღებს 10-ზე მეტ მნიშვნელობას.

იპოვეთ მათემატიკური მოლოდინის მიმართ სიმეტრიული ინტერვალი, რომელშიც x სიდიდის მნიშვნელობები იქნება =0,95 ალბათობით.

1). შევადგინოთ X შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სიმკვრივის ფუნქცია პარამეტრებით а=3, =5 ფორმულის გამოყენებით

. ავაშენოთ ფუნქციის სქემატური გრაფიკი
. მოდით ყურადღება მივაქციოთ იმ ფაქტს, რომ ნორმალური მრუდი სიმეტრიულია სწორი ხაზის მიმართ x = 3 და აქვს max ამ ეტაპზე ტოლი
, ე.ი.
და ორი გადახრის წერტილი
ორდინატთან ერთად

მოდით ავაშენოთ გრაფიკი

2) გამოვიყენოთ ფორმულა:

ფუნქციის მნიშვნელობები ნაპოვნია განაცხადის ცხრილიდან.

4) გამოვიყენოთ ფორმულა
. პირობის მიხედვით, მათემატიკური მოლოდინის მიმართ სიმეტრიულ ინტერვალში ჩავარდნის ალბათობა
. ცხრილის გამოყენებით ვპოულობთ t, რომელშიც Ф(t)=0,475, t=2. ნიშნავს
. ამრიგად,
. პასუხი არის x(-1;7).

31-40 პრობლემებამდე.

იპოვეთ ნდობის ინტერვალი შეფასებისთვის, რომლის სანდოობაა 0,95 უცნობი მათემატიკური მოლოდინის a ნორმალურად განაწილებული მახასიათებლის X-ის. მოსახლეობა, თუ ზოგადი სტანდარტული გადახრა =5, შერჩევის საშუალო
და ნიმუშის ზომა n=25.

ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ნდობის ინტერვალი
.

ყველა რაოდენობა, გარდა t ცნობილია. ვიპოვოთ t შეფარდება Ф(t)=0,95/2=0,475. დანართი ცხრილის გამოყენებით ვპოულობთ t=1.96. ჩანაცვლებით, საბოლოოდ მივიღებთ სასურველ ნდობის ინტერვალს 12.04

41-50 პრობლემებამდე.

ტექნიკური კონტროლის განყოფილებამ შეამოწმა იდენტური პროდუქტების 200 პარტია და მიიღო შემდეგი ემპირიული განაწილება, სიხშირე n i - სერიების რაოდენობა, რომლებიც შეიცავს x i არასტანდარტულ პროდუქტებს. სტანდარტული პროდუქტები X ნაწილდება პუასონის კანონის მიხედვით.

მოდი ვიპოვოთ ნიმუშის მნიშვნელობა:

ავიღოთ სანიმუშო საშუალო =0.6, როგორც პუასონის განაწილების პარამეტრის  შეფასება. მაშასადამე, პუასონის სავარაუდო კანონი
ჰგავს
.

i=0,1,2,3,4 დაყენებით, ჩვენ ვპოულობთ i არასტანდარტული პროდუქტების გამოჩენის P i ალბათობას 200 პარტიაში:
,
,
,
,
.

მოდი ვიპოვოთ თეორიული სიხშირეები ფორმულის გამოყენებით
. ამ ფორმულაში ალბათობის მნიშვნელობების ჩანაცვლებით, ჩვენ ვიღებთ
,
,
,
,
.

შევადაროთ ემპირიული და თეორიული სიხშირეები პირსონის ტესტის გამოყენებით. ამისათვის ჩვენ შევქმნით გაანგარიშების ცხრილს. გავაერთიანოთ მცირე სიხშირეები (4+2=6) და შესაბამისი თეორიული სიხშირეები (3.96+0.6=4.56).

პრაქტიკაში, შემთხვევითი ცვლადების უმეტესობა, რომლებიც გავლენას ახდენენ შემთხვევითი ფაქტორების დიდი რაოდენობით, ემორჩილება ნორმალურ ალბათობის განაწილების კანონს. ამიტომ, ალბათობის თეორიის სხვადასხვა გამოყენებაში ამ კანონს განსაკუთრებული მნიშვნელობა აქვს.

შემთხვევითი ცვლადი $X$ ემორჩილება ნორმალურ ალბათობის განაწილების კანონს, თუ მისი ალბათობის განაწილების სიმკვრივეს აქვს შემდეგი ფორმა

$$f\left(x\right)=((1)\over (\sigma \sqrt(2\pi )))e^(-(((\left(x-a\right))^2)\over ( 2(\სიგმა )^2)))$$

$f\left(x\right)$ ფუნქციის გრაფიკი სქემატურად არის ნაჩვენები ნახატზე და ეწოდება "გაუსის მრუდი". ამ გრაფიკის მარჯვნივ არის გერმანული 10 მარკის ბანკნოტი, რომელიც გამოიყენებოდა ევროს შემოღებამდე. თუ კარგად დააკვირდებით, ამ ბანკნოტზე შეგიძლიათ იხილოთ გაუსის მრუდი და მისი აღმომჩენი, უდიდესი მათემატიკოსი კარლ ფრიდრიხ გაუსი.

მოდით დავუბრუნდეთ ჩვენს სიმკვრივის ფუნქციას $f\left(x\right)$ და მივცეთ ახსნა განაწილების პარამეტრებთან დაკავშირებით $a,\ (\sigma )^2$. პარამეტრი $a$ ახასიათებს შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობების დისპერსიის ცენტრს, ანუ მას აქვს მათემატიკური მოლოდინის მნიშვნელობა. როდესაც $a$ პარამეტრი იცვლება და პარამეტრი $(\sigma )^2$ უცვლელი რჩება, ჩვენ შეგვიძლია დავაკვირდეთ ცვლას $f\left(x\right)$ ფუნქციის გრაფიკში აბსცისის გასწვრივ, ხოლო სიმკვრივის გრაფიკი თავად არ იცვლის ფორმას.

პარამეტრი $(\sigma )^2$ არის განსხვავება და ახასიათებს სიმკვრივის გრაფიკის მრუდის ფორმას $f\left(x\right)$. $(\sigma )^2$ პარამეტრის შეცვლისას $a$ პარამეტრით უცვლელი, ჩვენ შეგვიძლია დავაკვირდეთ, როგორ იცვლის სიმკვრივის გრაფიკი ფორმას, შეკუმშვით ან გაჭიმვით, აბსცისის ღერძის გასწვრივ გადაადგილების გარეშე.

ნორმალურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადის მოცემულ ინტერვალში მოხვედრის ალბათობა

როგორც ცნობილია, შემთხვევითი $X$ ცვლადის დაცემის ალბათობა $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ ინტერვალში შეიძლება გამოითვალოს $P\left(\alpha< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:

$$P\მარცხნივ(\ალფა< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$

აქ ფუნქცია $\Phi \left(x\right)=((1)\over (\sqrt(2\pi )))\int^x_0(e^(-t^2/2)dt)$ არის ლაპლასის ფუნქცია. ამ ფუნქციის მნიშვნელობები აღებულია დან. შეიძლება აღინიშნოს $\Phi \left(x\right)$ ფუნქციის შემდეგი თვისებები.

1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, ანუ ფუნქცია $\Phi \left(x\right)$ არის კენტი.

2 . $\Phi \left(x\right)$ არის მონოტონურად მზარდი ფუნქცია.

3 . $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) \Phi \left(x\right)\ )=0.5$, $(\mathop(lim)_(x\to -\infty) \ Phi \ მარცხენა (x\მარჯვნივ)\ )=-0,5$.

$\Phi \left(x\right)$ ფუნქციის მნიშვნელობების გამოსათვლელად, ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფუნქცია $f_x$ ოსტატი Excel-ში: $\Phi \left(x\right)=NORMDIST\left(x ;0;1;1\მარჯვნივ )-0,5$. მაგალითად, გამოვთვალოთ $\Phi \left(x\right)$ ფუნქციის მნიშვნელობები $x=2$-ისთვის.

ნორმალურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადის $X\in N\left(a;\ (\sigma )^2\right)$ ალბათობა სიმეტრიულ ინტერვალში მოხვედრის ალბათობა $a$ მათემატიკური მოლოდინის მიმართ შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით.

$$P\left(\left|X-a\right|< \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$

სამი სიგმის წესი. თითქმის დარწმუნებულია, რომ ნორმალურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადი $X$ მოხვდება $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$ ინტერვალში.

მაგალითი 1 . შემთხვევითი ცვლადი $X$ ექვემდებარება ნორმალური ალბათობის განაწილების კანონს $a=2,\ \sigma =3$ პარამეტრებით. იპოვეთ $X$-ის დაცემის ალბათობა $\left(0.5;1\right)$ ინტერვალში და უტოლობის დაკმაყოფილების ალბათობა $\left|X-a\right|< 0,2$.

ფორმულის გამოყენებით

$$P\მარცხნივ(\ალფა< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$

ჩვენ ვიპოვით $P\left(0.5;1\right)=\Phi \left(((1-2)\over (3))\right)-\Phi \left(((0.5-2)\ მეტი (3) ))\right)=\Phi \left(-0.33\right)-\Phi \left(-0.5\right)=\Phi \left(0.5\მარჯვნივ)-\Phi \ მარცხნივ(0.33\მარჯვნივ)=0.191- 0.129=0.062$.

$$P\left(\left|X-a\right|< 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$

მაგალითი 2 . დავუშვათ, რომ წლის განმავლობაში გარკვეული კომპანიის აქციების ფასი არის შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც განაწილებულია ჩვეულებრივი კანონის მიხედვით, მათემატიკური მოლოდინით უდრის 50 ჩვეულებრივი ფულადი ერთეულის და სტანდარტული გადახრის ტოლია 10-ის. რა არის ალბათობა, რომ შემთხვევით შერჩეულზე. განსახილველი პერიოდის დღე აქციის ფასი იქნება:

ა) 70-ზე მეტი ჩვეულებრივი ფულადი ერთეული?

ბ) 50-ზე ქვემოთ თითო აქციაზე?

გ) 45-დან 58-მდე ჩვეულებრივი ფულადი ერთეულის ერთ აქციაზე?

დაე, შემთხვევითი ცვლადი $X$ იყოს გარკვეული კომპანიის აქციების ფასი. პირობით, $X$ ექვემდებარება ნორმალურ განაწილებას პარამეტრებით $a=50$ - მათემატიკური მოლოდინი, $\sigma =10$ - სტანდარტული გადახრა. ალბათობა $P\left(\alpha< X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:

$$P\მარცხნივ(\ალფა< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$

აშშ დოლარი მეტი (10))\მარჯვნივ)=0.5-\Phi \left(2\მარჯვნივ)=0.5-0.4772=0.0228.$$

$$b)\P\მარცხნივ(X< 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$

$$in)\ P\მარცხენა(45< X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$

ნორმალური ალბათობის განაწილების კანონი

გადაჭარბების გარეშე მას ფილოსოფიური კანონი შეიძლება ვუწოდოთ. ჩვენს ირგვლივ სამყაროში სხვადასხვა ობიექტებსა და პროცესებზე დაკვირვებისას ხშირად ვაწყდებით იმ ფაქტს, რომ რაღაც არ არის საკმარისი და არსებობს ნორმა:


აქ არის ძირითადი ხედვა სიმკვრივის ფუნქციებინორმალური ალბათობის განაწილება და მივესალმები ამ საინტერესო გაკვეთილს.

რა მაგალითების მოყვანა შეგიძლიათ? მათში უბრალოდ სიბნელეა. ეს არის, მაგალითად, ადამიანების სიმაღლე, წონა (და არა მხოლოდ), მათი ფიზიკური ძალა, გონებრივი შესაძლებლობები და ა.შ. არსებობს "მთავარი მასა" (ამა თუ იმ მიზეზის გამო)და არის გადახრები ორივე მიმართულებით.

ეს არის უსულო ობიექტების განსხვავებული მახასიათებლები (იგივე ზომა, წონა). ეს არის პროცესების შემთხვევითი ხანგრძლივობა, მაგალითად, ასი მეტრიანი რბოლის დრო ან ფისის ქარვაში გადაქცევა. ფიზიკიდან გამახსენდა ჰაერის მოლეკულები: ზოგიერთი მათგანი ნელია, ზოგი სწრაფი, მაგრამ უმეტესობა "სტანდარტული" სიჩქარით მოძრაობს.

შემდეგი, ჩვენ გადავუხვიეთ ცენტრიდან კიდევ ერთი სტანდარტული გადახრით და ვიანგარიშებთ სიმაღლეს:

ნახატზე წერტილების მონიშვნა (მწვანე)და ჩვენ ვხედავთ, რომ ეს სავსებით საკმარისია.

დასკვნით ეტაპზე, ყურადღებით დახაზეთ გრაფიკი და განსაკუთრებით ფრთხილადასახავს მას ამოზნექილი/ჩაზნექილი! კარგად, თქვენ ალბათ დიდი ხნის წინ მიხვდით, რომ x-ღერძი არის ჰორიზონტალური ასიმპტოტი, და მის უკან "ასვლა" აბსოლუტურად აკრძალულია!

გადაწყვეტის ელექტრონულად წარდგენისას, Excel-ში გრაფიკის შექმნა მარტივია და ჩემთვის მოულოდნელად, ამ თემაზე მოკლე ვიდეოც კი ჩავწერე. მაგრამ ჯერ მოდით ვისაუბროთ იმაზე, თუ როგორ იცვლება ნორმალური მრუდის ფორმა და-ის მნიშვნელობების მიხედვით.

"a"-ს გაზრდის ან შემცირებისას (მუდმივი „სიგმა“)გრაფიკი ინარჩუნებს თავის ფორმას და მოძრაობს მარჯვნივ/მარცხნივშესაბამისად. ასე, მაგალითად, როდესაც ფუნქცია იღებს ფორმას და ჩვენი გრაფიკი "მოძრაობს" 3 ერთეული მარცხნივ - ზუსტად კოორდინატების საწყისამდე:


ნორმალურად განაწილებულმა რაოდენობამ ნულოვანი მათემატიკური მოლოდინით მიიღო სრულიად ბუნებრივი სახელი - ორიენტირებული; მისი სიმკვრივის ფუნქცია – თუნდაც, ხოლო გრაფიკი სიმეტრიულია ორდინატთან მიმართებაში.

"სიგმას" შეცვლის შემთხვევაში (მუდმივი "a"-ით), გრაფიკი „იგივე რჩება“, მაგრამ ფორმას იცვლის. როდესაც გადიდდება, ის უფრო დაბალი და წაგრძელებული ხდება, როგორც რვაფეხა, რომელიც ჭიმავს თავის საცეცებს. და, პირიქით, გრაფიკის შემცირებისას ხდება ვიწრო და მაღალი- აღმოჩნდება "გაკვირვებული რვაფეხა". დიახ, როდის შემცირება„სიგმა“ ორჯერ: წინა გრაფიკი ვიწროვდება და იჭიმება ორჯერ:

ყველაფერი სრულ შესაბამისობაშია გრაფიკების გეომეტრიული გარდაქმნები.

ნორმალური განაწილება სიგმას ერთეულის მნიშვნელობით ეწოდება ნორმალიზებულიდა თუ ისიც არის ორიენტირებული(ჩვენი შემთხვევა), მაშინ ასეთი განაწილება ეწოდება სტანდარტული. მას აქვს კიდევ უფრო მარტივი სიმკვრივის ფუნქცია, რომელიც უკვე ნაპოვნია ლაპლასის ლოკალური თეორემა: . სტანდარტულმა დისტრიბუციამ პრაქტიკაში ფართო გამოყენება ჰპოვა და ძალიან მალე ჩვენ საბოლოოდ გავიგებთ მის დანიშნულებას.

აბა, ახლა ვუყუროთ ფილმს:

დიახ, აბსოლუტურად მართალია - რატომღაც დაუმსახურებლად დარჩა ჩრდილში ალბათობის განაწილების ფუნქცია. გავიხსენოთ იგი განმარტება:
– ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევითი ცვლადი მიიღებს ნაკლებ მნიშვნელობას, ვიდრე ცვლადი, რომელიც „გადის“ ყველა რეალურ მნიშვნელობას „პლუს“ უსასრულობამდე.

ინტეგრალის შიგნით, ჩვეულებრივ გამოიყენება სხვადასხვა ასო ისე, რომ არ იყოს "გადახურვა" აღნიშვნასთან, რადგან აქ თითოეული მნიშვნელობა ასოცირდება არასწორი ინტეგრალი , რომელიც უდრის ზოგიერთს ნომერიინტერვალიდან.

თითქმის ყველა მნიშვნელობის ზუსტად გამოთვლა შეუძლებელია, მაგრამ როგორც ახლა ვნახეთ, თანამედროვე გამოთვლითი სიმძლავრით ეს არ არის რთული. ასე რომ, ფუნქციისთვის სტანდარტული განაწილება, Excel-ის შესაბამისი ფუნქცია ზოგადად შეიცავს ერთ არგუმენტს:

=NORMDIST(ზ)

ერთი, ორი - და თქვენ დაასრულეთ:

ნახატზე ნათლად ჩანს ყველაფრის განხორციელება განაწილების ფუნქციის თვისებებიდა ტექნიკური ნიუანსებიდან აქ ყურადღება უნდა მიაქციოთ ჰორიზონტალური ასიმპტოტებიდა გადახრის წერტილი.

ახლა გავიხსენოთ თემის ერთ-ერთი მთავარი ამოცანა, კერძოდ, გავარკვიოთ, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ ნორმალური შემთხვევითი ცვლადის ალბათობა მიიღებს მნიშვნელობას ინტერვალიდან. გეომეტრიულად, ეს ალბათობა უდრის ფართობინორმალურ მრუდსა და x-ღერძს შორის შესაბამის მონაკვეთში:

მაგრამ ყოველ ჯერზე ვცდილობ მივიღო სავარაუდო მნიშვნელობა არაგონივრულია და ამიტომ უფრო რაციონალურია მისი გამოყენება "მსუბუქი" ფორმულა:
.

! ასევე ახსოვს , რა

აქ შეგიძლიათ კვლავ გამოიყენოთ Excel, მაგრამ არის რამდენიმე მნიშვნელოვანი "მაგრამ": ჯერ ერთი, ის ყოველთვის ხელთ არ არის და მეორეც, "მზა" მნიშვნელობები, სავარაუდოდ, კითხვებს აჩენს მასწავლებლისგან. რატომ?

ამაზე ადრეც ბევრჯერ ვილაპარაკე: ერთ დროს (და არც ისე დიდი ხნის წინ) ჩვეულებრივი კალკულატორი ფუფუნება იყო და ამ პრობლემის გადაჭრის „სახელმძღვანელო“ მეთოდი დღემდე შემონახულია საგანმანათლებლო ლიტერატურაში. მისი არსი არის სტანდარტიზაციამნიშვნელობები "ალფა" და "ბეტა", ანუ ამცირებს ხსნარს სტანდარტულ განაწილებამდე:

შენიშვნა : ფუნქციის მიღება მარტივია ზოგადი შემთხვევიდანხაზოვანი გამოყენებით ჩანაცვლებები. შემდეგ ასევე:

და განხორციელებული ჩანაცვლებიდან ფორმულა შემდეგია: თვითნებური განაწილების მნიშვნელობებიდან გადასვლა სტანდარტული განაწილების შესაბამის მნიშვნელობებზე.

რატომ არის ეს საჭირო? ფაქტია, რომ ღირებულებები საგულდაგულოდ იყო გამოთვლილი ჩვენი წინაპრების მიერ და შედგენილი იყო სპეციალურ ცხრილში, რომელიც არის ტერვერის ბევრ წიგნში. მაგრამ კიდევ უფრო ხშირად არის ფასეულობების ცხრილი, რომელსაც ჩვენ უკვე განვიხილეთ ლაპლასის ინტეგრალური თეორემა:

თუ ჩვენ გვაქვს ლაპლასის ფუნქციის მნიშვნელობების ცხრილი , შემდეგ ჩვენ ვხსნით მის მეშვეობით:

წილადური მნიშვნელობები ტრადიციულად მრგვალდება 4 ათწილადამდე, როგორც ეს ხდება სტანდარტულ ცხრილში. და კონტროლისთვის არის პუნქტი 5 განლაგება.

ამას შეგახსენებთ და დაბნეულობის თავიდან ასაცილებლად ყოველთვის კონტროლითქვენს თვალწინ არის WHAT ფუნქციის ცხრილი.

უპასუხესაჭიროა პროცენტულად მიცემა, ამიტომ გამოთვლილი ალბათობა უნდა გამრავლდეს 100-ზე და შედეგი იყოს მნიშვნელოვანი კომენტარით:

- 5-დან 70 მ-მდე ფრენისას, ჭურვების დაახლოებით 15,87% დაეცემა

ჩვენ თვითონ ვვარჯიშობთ:

მაგალითი 3

ქარხნული საკისრების დიამეტრი არის შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც ჩვეულებრივ ნაწილდება მათემატიკური მოლოდინით 1.5 სმ და სტანდარტული გადახრით 0.04 სმ. იპოვეთ ალბათობა, რომ შემთხვევით შერჩეული საკისრის ზომა მერყეობს 1.4-დან 1.6 სმ-მდე.

ნიმუშის ხსნარში და ქვემოთ, მე გამოვიყენებ ლაპლასის ფუნქციას, როგორც ყველაზე გავრცელებულ ვარიანტს. სხვათა შორის, გაითვალისწინეთ, რომ ფორმულირების მიხედვით, აქ განხილვაში შეიძლება შევიდეს ინტერვალის ბოლოები. თუმცა, ეს არ არის კრიტიკული.

და უკვე ამ მაგალითში შეგვხვდა განსაკუთრებული შემთხვევა - როდესაც ინტერვალი სიმეტრიულია მათემატიკური მოლოდინის მიმართ. ასეთ სიტუაციაში, ის შეიძლება დაიწეროს ფორმით და ლაპლასის ფუნქციის უცნაურობის გამოყენებით, გაამარტივოს სამუშაო ფორმულა:

დელტა პარამეტრი ეწოდება გადახრამათემატიკური მოლოდინიდან და ორმაგი უტოლობა შეიძლება "შეფუთული" გამოყენებით მოდული:

– ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობა გადაუხვევს მათემატიკური მოლოდინს ნაკლებით.

კარგია, რომ გამოსავალი ერთ ხაზში ჯდება :)
- ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევით აღებული საკისრის დიამეტრი განსხვავდება 1,5 სმ-დან არაუმეტეს 0,1 სმ-ით.

ამ ამოცანის შედეგი ერთიანობასთან ახლოს აღმოჩნდა, მაგრამ მე მსურს კიდევ უფრო დიდი საიმედოობა - კერძოდ, გაირკვეს საზღვრები, რომლებშიც მდებარეობს დიამეტრი თითქმის ყველასსაკისრები. არის ამის რაიმე კრიტერიუმი? არსებობს! დასმულ კითხვას პასუხობს ე.წ

სამი სიგმის წესი

მისი არსი ისაა პრაქტიკულად საიმედო არის ის ფაქტი, რომ ნორმალურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადი მიიღებს მნიშვნელობას ინტერვალიდან .

მართლაც, მოსალოდნელი მნიშვნელობიდან გადახრის ალბათობა ნაკლებია:
ან 99.73%

საკისრების თვალსაზრისით, ეს არის 9973 ცალი დიამეტრით 1.38-დან 1.62 სმ-მდე და მხოლოდ 27 „არასტანდარტული“ ასლი.

პრაქტიკულ კვლევაში სამი სიგმის წესი ჩვეულებრივ გამოიყენება საპირისპირო მიმართულებით: თუ სტატისტიკურადაღმოჩნდა, რომ თითქმის ყველა ღირებულება შესწავლილი შემთხვევითი ცვლადიეცემა 6 სტანდარტული გადახრის ინტერვალში, მაშინ არსებობს დამაჯერებელი მიზეზები იმის დასაჯერებლად, რომ ეს მნიშვნელობა ნაწილდება ნორმალური კანონის მიხედვით. შემოწმება ხორციელდება თეორიის გამოყენებით სტატისტიკური ჰიპოთეზები.

ჩვენ ვაგრძელებთ საბჭოთა მწვავე პრობლემების მოგვარებას:

მაგალითი 4

აწონვის შეცდომის შემთხვევითი მნიშვნელობა ნაწილდება ნორმალური კანონის მიხედვით ნულოვანი მათემატიკური მოლოდინით და სტანდარტული გადახრით 3 გრამი. იპოვეთ ალბათობა, რომ შემდეგი აწონვა განხორციელდება შეცდომით, რომელიც არ აღემატება 5 გრამს აბსოლუტური მნიშვნელობით.

გამოსავალიძალიან მარტივი. პირობით, ჩვენ დაუყოვნებლივ აღვნიშნავთ, რომ მომდევნო აწონვაზე (რაღაც ან ვინმე)ჩვენ თითქმის 100% მივიღებთ შედეგს 9 გრამი სიზუსტით. მაგრამ პრობლემა მოიცავს უფრო ვიწრო გადახრას და ფორმულის მიხედვით :

– ალბათობა იმისა, რომ შემდეგი აწონვა განხორციელდება შეცდომით, რომელიც არ აღემატება 5 გრამს.

უპასუხე:

მოგვარებული პრობლემა ძირეულად განსხვავდება ერთი შეხედვით მსგავსი პრობლემისგან. მაგალითი 3გაკვეთილი შესახებ ერთგვაროვანი განაწილება. იყო შეცდომა დამრგვალებაგაზომვის შედეგები, აქ საუბარია თავად გაზომვების შემთხვევით შეცდომაზე. ასეთი შეცდომები წარმოიქმნება თავად მოწყობილობის ტექნიკური მახასიათებლების გამო. (მისაღები შეცდომების დიაპაზონი ჩვეულებრივ მითითებულია მის პასპორტში), და ასევე ექსპერიმენტატორის ბრალით - როდესაც ჩვენ, მაგალითად, „თვალით“ ვიღებთ კითხვებს იმავე სასწორის ნემსიდან.

სხვათა შორის არის ასევე ე.წ სისტემატურიგაზომვის შეცდომები. უკვე არის არა შემთხვევითიშეცდომები, რომლებიც წარმოიქმნება მოწყობილობის არასწორი დაყენების ან მუშაობის გამო. მაგალითად, იატაკის დაურეგულირებელ სასწორს შეუძლია სტაბილურად „დაამატოს“ კილოგრამები, ხოლო გამყიდველი სისტემატურად ამძიმებს მომხმარებელს. ან შეიძლება გამოითვალოს არა სისტემატურად. თუმცა, ნებისმიერ შემთხვევაში, ასეთი შეცდომა არ იქნება შემთხვევითი და მისი მოლოდინი განსხვავდება ნულიდან.

...სასწრაფოდ ვავითარებ გაყიდვების ტრენინგ კურსს =)

მოდი თავად გადავჭრათ საპირისპირო პრობლემა:

მაგალითი 5

როლიკერის დიამეტრი არის შემთხვევითი ნორმალურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადი, მისი სტანდარტული გადახრა უდრის მმ. იპოვეთ ინტერვალის სიგრძე, სიმეტრიული მათემატიკური მოლოდინის მიმართ, რომელშიც სავარაუდოდ დაეცემა როლიკერის დიამეტრის სიგრძე.

წერტილი 5* დიზაინის განლაგებადასახმარებლად. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ მათემატიკური მოლოდინი აქ არ არის ცნობილი, მაგრამ ეს სულაც არ გვიშლის ხელს პრობლემის გადაჭრაში.

და საგამოცდო დავალება, რომელსაც მკაცრად გირჩევთ მასალის გასაძლიერებლად:

მაგალითი 6

ნორმალურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადი მითითებულია მისი პარამეტრებით (მათემატიკური მოლოდინი) და (სტანდარტული გადახრა). საჭირო:

ა) ჩამოწერეთ ალბათობის სიმკვრივე და სქემატურად გამოსახეთ მისი გრაფიკი;
ბ) იპოვნეთ ალბათობა, რომ ის მიიღებს მნიშვნელობას ინტერვალიდან ;
გ) იპოვონ ალბათობა იმისა, რომ აბსოლუტური მნიშვნელობა გადახრის არაუმეტეს;
დ) „სამი სიგმის“ წესის გამოყენებით იპოვეთ შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობები.

ასეთ პრობლემებს ყველგან გვთავაზობენ და წლების განმავლობაში პრაქტიკაში ასობით და ასეულობით მოვაგვარე. აუცილებლად ივარჯიშეთ ნახატის დახატვაზე ხელით და ქაღალდის მაგიდების გამოყენებით;)

კარგად, მე გადავხედავ გაზრდილი სირთულის მაგალითს:

მაგალითი 7

შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილების სიმკვრივეს აქვს ფორმა . იპოვეთ, მათემატიკური მოლოდინი, დისპერსია, განაწილების ფუნქცია, ააგეთ სიმკვრივის გრაფიკები და განაწილების ფუნქციები, პოვნა.

გამოსავალი: პირველ რიგში, აღვნიშნოთ, რომ პირობა არაფერს ამბობს შემთხვევითი ცვლადის ბუნებაზე. ექსპონენტის არსებობა თავისთავად არაფერს ნიშნავს: შეიძლება აღმოჩნდეს, მაგალითად, საჩვენებელიან თუნდაც თვითნებური უწყვეტი განაწილება. და, შესაბამისად, განაწილების "ნორმალურობა" ჯერ კიდევ დასაბუთებულია:

ფუნქციიდან გამომდინარე დადგენილია ნებისმიერირეალური ღირებულება და ის შეიძლება შემცირდეს ფორმამდე , მაშინ შემთხვევითი ცვლადი ნაწილდება ჩვეულებრივი კანონის მიხედვით.

აი ჩვენ მივდივართ. ამისთვის აირჩიეთ სრული კვადრატიდა ორგანიზება სამსართულიანი ფრაქცია:


დარწმუნდით, რომ შეასრულეთ შემოწმება, დააბრუნეთ ინდიკატორი თავდაპირველ ფორმაში:

, რისი ნახვაც გვინდოდა.

ამრიგად:
- მიერ უფლებამოსილებით მოქმედების წესი"გააჩერე" და აქ შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ დაწეროთ აშკარა რიცხვითი მახასიათებლები:

ახლა ვიპოვოთ პარამეტრის მნიშვნელობა. ვინაიდან ნორმალური განაწილების მულტიპლიკატორს აქვს ფორმა და , მაშინ:
, საიდანაც გამოვხატავთ და ვანაცვლებთ ჩვენს ფუნქციაში:
, რის შემდეგაც ჩვენ კიდევ ერთხელ გავივლით ჩანაწერს თვალით და დავრწმუნდებით, რომ მიღებულ ფუნქციას აქვს ფორმა .

მოდით ავაშენოთ სიმკვრივის გრაფიკი:

და განაწილების ფუნქციის გრაფიკი :

თუ ხელთ არ გაქვთ Excel ან თუნდაც ჩვეულებრივი კალკულატორი, მაშინ ბოლო გრაფიკი მარტივად შეიძლება აშენდეს ხელით! იმ მომენტში, განაწილების ფუნქცია იღებს მნიშვნელობას და აქ არის

როგორც უკვე აღვნიშნეთ, ალბათობის განაწილების მაგალითები უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი X არის:

• ერთგვაროვანი განაწილება
• ექსპონენციალური განაწილება უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობები;
• უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ნორმალური ალბათობის განაწილება.

მოდით მივცეთ ნორმალური განაწილების კანონის კონცეფცია, ასეთი კანონის განაწილების ფუნქცია და X შემთხვევითი ცვლადის გარკვეულ ინტერვალში მოხვედრის ალბათობის გამოთვლის პროცედურა.

№	ინდიკატორი	ნორმალური განაწილების კანონი	შენიშვნა
	განმარტება	ნორმალურად ეძახიან უწყვეტი შემთხვევითი X ცვლადის ალბათობის განაწილება, რომლის სიმკვრივეს აქვს ფორმა
			სადაც m x არის X შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი, σ x არის სტანდარტული გადახრა
2	განაწილების ფუნქცია
	ალბათობა დაცემა ინტერვალში (a;b)		- ლაპლასის ინტეგრალური ფუნქცია
	ალბათობა ის ფაქტი, რომ გადახრის აბსოლუტური მნიშვნელობა ნაკლებია დადებით რიცხვზე δ		m x = 0-ზე

პრობლემის გადაჭრის მაგალითი თემაზე „უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ნორმალური განაწილების კანონი“

დავალება.

გარკვეული ნაწილის სიგრძე X არის ჩვეულებრივი განაწილების კანონის მიხედვით განაწილებული შემთხვევითი ცვლადი და აქვს საშუალო მნიშვნელობა 20 მმ და სტანდარტული გადახრა 0,2 მმ.
აუცილებელი:
ა) ჩაწერეთ განაწილების სიმკვრივის გამოხატულება;
ბ) იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ ნაწილის სიგრძე იქნება 19,7-დან 20,3 მმ-მდე;
გ) იპოვონ ალბათობა იმისა, რომ გადახრა არ აღემატებოდეს 0,1 მმ-ს;
დ) დაადგინოს რა პროცენტია ნაწილები, რომელთა გადახრა საშუალო მნიშვნელობიდან არ აღემატება 0,1 მმ-ს;
ე) იპოვონ რა გადახრა უნდა იყოს დაყენებული ისე, რომ იმ ნაწილების პროცენტი, რომელთა გადახრა საშუალოდან არ აღემატება მითითებულ მნიშვნელობას, გაიზარდოს 54%-მდე;
ვ) იპოვეთ სიმეტრიული ინტერვალი საშუალო სიდიდის მიმართ, რომელშიც X განთავსდება 0,95 ალბათობით.

გამოსავალი. ა)ჩვენ ვპოულობთ შემთხვევითი X ცვლადის ალბათობის სიმკვრივეს, რომელიც განაწილებულია ნორმალური კანონის მიხედვით:

იმ პირობით, რომ m x =20, σ =0.2.

ბ)შემთხვევითი ცვლადის ნორმალური განაწილებისთვის, ინტერვალში (19.7; 20.3) ჩავარდნის ალბათობა განისაზღვრება:
Ф((20.3-20)/0.2) – Ф((19.7-20)/0.2) = Ф(0.3/0.2) – Ф(-0.3/0, 2) = 2Ф(0.3/0.2) = 2Ф(1.5) = 2*0.4332 = 0.8664.
ჩვენ ვიპოვეთ მნიშვნელობა Ф(1.5) = 0.4332 დანართებში, ლაპლასის ინტეგრალური ფუნქციის მნიშვნელობების ცხრილში Φ(x) ( მაგიდა 2 )

V)ჩვენ ვპოულობთ ალბათობას, რომ გადახრის აბსოლუტური მნიშვნელობა ნაკლებია დადებით რიცხვზე 0.1:
R(|X-20|< 0,1) = 2Ф(0,1/0,2) = 2Ф(0,5) = 2*0,1915 = 0,383.
ჩვენ ვიპოვეთ მნიშვნელობა Ф(0.5) = 0.1915 დანართებში, ლაპლასის ინტეგრალური ფუნქციის მნიშვნელობების ცხრილში Φ(x) ( მაგიდა 2 )

გ)ვინაიდან 0,1 მმ-ზე ნაკლები გადახრის ალბათობა არის 0,383, აქედან გამომდინარეობს, რომ საშუალოდ 100-დან 38,3 ნაწილს ექნება ასეთი გადახრა, ე.ი. 38.3%.

დ)ვინაიდან იმ ნაწილების პროცენტი, რომელთა გადახრა საშუალოდან არ აღემატება მითითებულ მნიშვნელობას, გაიზარდა 54%-მდე, მაშინ P(|X-20|< δ) = 0,54. Отсюда следует, что 2Ф(δ/σ) = 0,54, а значит Ф(δ/σ) = 0,27.

აპლიკაციის გამოყენებით ( მაგიდა 2 ), ვპოულობთ δ/σ = 0,74. აქედან გამომდინარე, δ = 0.74*σ = 0.74*0.2 = 0.148 მმ.

ე)ვინაიდან საჭირო ინტერვალი სიმეტრიულია საშუალო მნიშვნელობის m x = 20 მიმართ, ის შეიძლება განისაზღვროს, როგორც X-ის მნიშვნელობების სიმრავლე, რომელიც აკმაყოფილებს 20 - δ უტოლობას.< X < 20 + δ или |x − 20| < δ .

პირობის მიხედვით, X-ის პოვნის ალბათობა სასურველ ინტერვალში არის 0,95, რაც ნიშნავს P(|x − 20|< δ)= 0,95. С другой стороны P(|x − 20| < δ) = 2Ф(δ/σ), следовательно 2Ф(δ/σ) = 0,95, а значит Ф(δ/σ) = 0,475.

აპლიკაციის გამოყენებით ( მაგიდა 2 ), ვპოულობთ δ/σ = 1,96. აქედან გამომდინარე, δ = 1,96*σ = 1,96*0,2 = 0,392.
ძიების ინტერვალი : (20 - 0.392; 20 + 0.392) ან (19.608; 20.392).