როგორ გამოვთვალოთ არითმეტიკული პროგრესია. როგორ მოვძებნოთ არითმეტიკული პროგრესია? არითმეტიკული პროგრესიის მაგალითები ამონახსნით. დამოუკიდებელი მუშაობა წყვილებში

ალგებრის შესწავლისას საშუალო სკოლა(მე-9 კლასი) ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი თემაა რიცხვთა მიმდევრობის შესწავლა, რომელიც მოიცავს პროგრესირებას - გეომეტრიულ და არითმეტიკას. ამ სტატიაში განვიხილავთ არითმეტიკულ პროგრესიას და მაგალითებს ამონახსნებით.

რა არის არითმეტიკული პროგრესია?

ამის გასაგებად საჭიროა განვსაზღვროთ მოცემული პროგრესი, ასევე მივაწოდოთ ძირითადი ფორმულები, რომლებიც მოგვიანებით იქნება გამოყენებული პრობლემების გადაჭრისას.

არითმეტიკული ან ალგებრული პროგრესია არის მოწესრიგებული რაციონალური რიცხვების ერთობლიობა, რომელთა თითოეული წევრი განსხვავდება წინადან გარკვეული მუდმივი მნიშვნელობით. ამ რაოდენობას სხვაობა ეწოდება. ანუ, რიცხვების მოწესრიგებული სერიის ნებისმიერი წევრის და სხვაობის ცოდნით, შეგიძლიათ აღადგინოთ მთელი არითმეტიკული პროგრესია.

მოვიყვანოთ მაგალითი. რიცხვების შემდეგი თანმიმდევრობა იქნება არითმეტიკული პროგრესია: 4, 8, 12, 16, ..., ვინაიდან განსხვავება ამ შემთხვევაში არის 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). მაგრამ 3, 5, 8, 12, 17 რიცხვების სიმრავლე აღარ შეიძლება მიეკუთვნებოდეს განხილული პროგრესიის ტიპს, რადგან სხვაობა არ არის მუდმივი მნიშვნელობა (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

მნიშვნელოვანი ფორმულები

ახლა წარმოგიდგენთ ძირითად ფორმულებს, რომლებიც საჭირო იქნება არითმეტიკული პროგრესიის გამოყენებით ამოცანების გადასაჭრელად. ავღნიშნოთ a n სიმბოლოთი მე-9 ტერმინიმიმდევრობები, სადაც n არის მთელი რიცხვი. განსხვავებას აღვნიშნავთ ლათინური ასოთი d. მაშინ შემდეგი გამონათქვამები მოქმედებს:

1. n-ე წევრის მნიშვნელობის დასადგენად შესაფერისია შემდეგი ფორმულა: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. პირველი n წევრის ჯამის დასადგენად: S n = (a n +a 1)*n/2.

არითმეტიკული პროგრესიის ნებისმიერი მაგალითის გასაგებად ამონახსნებით მე-9 კლასში, საკმარისია გავიხსენოთ ეს ორი ფორმულა, რადგან განხილული ტიპის ნებისმიერი პრობლემა ეფუძნება მათ გამოყენებას. ასევე უნდა გახსოვდეთ, რომ პროგრესირების განსხვავება განისაზღვრება ფორმულით: d = a n - a n-1.

მაგალითი #1: უცნობი წევრის პოვნა

მოდით მოვიყვანოთ არითმეტიკული პროგრესიის მარტივი მაგალითი და ფორმულები, რომლებიც უნდა გამოვიყენოთ მის ამოსახსნელად.

მიეცით თანმიმდევრობა 10, 8, 6, 4, ..., თქვენ უნდა იპოვოთ მასში ხუთი წევრი.

პრობლემის პირობებიდან უკვე ირკვევა, რომ ცნობილია პირველი 4 ტერმინი. მეხუთე შეიძლება განისაზღვროს ორი გზით:

1. ჯერ გამოვთვალოთ განსხვავება. გვაქვს: d = 8 - 10 = -2. ანალოგიურად, თქვენ შეგიძლიათ აიყვანოთ ერთმანეთის გვერდით მდგომი ნებისმიერი სხვა წევრი. მაგალითად, d = 4 - 6 = -2. ვინაიდან ცნობილია, რომ d = a n - a n-1, მაშინ d = a 5 - a 4, საიდანაც ვიღებთ: a 5 = a 4 + d. ჩვენ ვცვლით ცნობილ მნიშვნელობებს: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. მეორე მეთოდი ასევე მოითხოვს ცოდნას მოცემული პროგრესიის განსხვავების შესახებ, ასე რომ თქვენ ჯერ უნდა დაადგინოთ ის, როგორც ზემოთ ნაჩვენებია (d = -2). იმის ცოდნა, რომ პირველი წევრი a 1 = 10, ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას მიმდევრობის n რიცხვისთვის. გვაქვს: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. ბოლო გამოსახულებაში n = 5 ჩანაცვლებით, მივიღებთ: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

როგორც ხედავთ, ორივე გადაწყვეტილებამ გამოიწვია იგივე შედეგი. გაითვალისწინეთ, რომ ამ მაგალითში პროგრესიის სხვაობა d არის უარყოფითი მნიშვნელობა. ასეთ თანმიმდევრობას კლებადი ეწოდება, რადგან ყოველი შემდეგი წევრი წინაზე ნაკლებია.

მაგალითი #2: პროგრესირების განსხვავება

ახლა ცოტა გავართულოთ დავალება, მოვიყვანოთ მაგალითი, თუ როგორ

ცნობილია, რომ ზოგიერთში პირველი წევრი უდრის 6-ს, ხოლო მე-7 წევრი უდრის 18-ს. საჭიროა სხვაობის პოვნა და ამ თანმიმდევრობის აღდგენა მე-7 წევრამდე.

გამოვიყენოთ ფორმულა უცნობი ტერმინის დასადგენად: a n = (n - 1) * d + a 1 . მოდით ჩავანაცვლოთ მასში მდგომარეობიდან ცნობილი მონაცემები, ანუ რიცხვები a 1 და a 7, გვაქვს: 18 = 6 + 6 * d. ამ გამოთქმიდან შეგიძლიათ მარტივად გამოთვალოთ განსხვავება: d = (18 - 6) /6 = 2. ამრიგად, ჩვენ ვუპასუხეთ ამოცანის პირველ ნაწილს.

თანმიმდევრობის აღსადგენად მე-7 წევრამდე, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ალგებრული პროგრესიის განმარტება, ანუ a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d და ა.შ. შედეგად, ჩვენ აღვადგენთ მთელ თანმიმდევრობას: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

მაგალითი No3: პროგრესიის შედგენა

კიდევ უფრო გავართულოთ პრობლემა. ახლა ჩვენ უნდა ვუპასუხოთ კითხვას, როგორ ვიპოვოთ არითმეტიკული პროგრესია. შეიძლება მოვიყვანოთ შემდეგი მაგალითი: მოცემულია ორი რიცხვი, მაგალითად - 4 და 5. აუცილებელია ალგებრული პროგრესიის შექმნა ისე, რომ მათ შორის მოთავსდეს კიდევ სამი წევრი.

სანამ ამ პრობლემის გადაჭრას დაიწყებდეთ, უნდა გესმოდეთ, რა ადგილს დაიკავებენ მოცემული რიცხვები მომავალ პროგრესში. ვინაიდან მათ შორის იქნება კიდევ სამი ტერმინი, მაშინ 1 = -4 და 5 = 5. ამის დადგენის შემდეგ გადავდივართ პრობლემაზე, რომელიც წინას მსგავსია. ისევ, მე-n ტერმინისთვის ვიყენებთ ფორმულას, მივიღებთ: a 5 = a 1 + 4 * d. მდებარეობა: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25. რაც აქ მივიღეთ არ არის სხვაობის მთელი რიცხვი, მაგრამ რაციონალური რიცხვია, ამიტომ ალგებრული პროგრესიის ფორმულები იგივე რჩება.

ახლა დავამატოთ ნაპოვნი განსხვავება 1-ს და აღვადგინოთ პროგრესიის გამოტოვებული პირობები. ვიღებთ: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, რომელიც დაემთხვა პრობლემის პირობებთან.

მაგალითი No4: პროგრესირების პირველი ვადა

გავაგრძელოთ არითმეტიკული პროგრესიის მაგალითების მოყვანა ამონახსნებით. ყველა წინა ამოცანაში ცნობილი იყო ალგებრული პროგრესიის პირველი რიცხვი. ახლა განვიხილავთ სხვა ტიპის პრობლემას: მოყვანილი იყოს ორი რიცხვი, სადაც 15 = 50 და 43 = 37. აუცილებელია ვიპოვოთ რომელი რიცხვით იწყება ეს თანმიმდევრობა.

აქამდე გამოყენებული ფორმულები ითვალისწინებს 1 და დ-ის ცოდნას. პრობლემის განცხადებაში არაფერია ცნობილი ამ რიცხვების შესახებ. მიუხედავად ამისა, ჩვენ ჩამოვწერთ გამონათქვამებს თითოეული ტერმინისთვის, რომლის შესახებაც ხელმისაწვდომია ინფორმაცია: a 15 = a 1 + 14 * d და a 43 = a 1 + 42 * d. მივიღეთ ორი განტოლება, რომელშიც არის 2 უცნობი სიდიდე (a 1 და d). ეს ნიშნავს, რომ პრობლემა მცირდება წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნით.

ამ სისტემის ამოხსნის უმარტივესი გზაა 1-ის გამოხატვა თითოეულ განტოლებაში და შემდეგ მიღებული გამონათქვამების შედარება. პირველი განტოლება: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; მეორე განტოლება: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. ამ გამონათქვამების გათანაბრებისას მივიღებთ: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, საიდანაც განსხვავება d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (მოყვანილია მხოლოდ 3 ათობითი ადგილი).

იცოდეთ d, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ზემოთ მოცემული 2 გამონათქვამი 1-ისთვის. მაგალითად, პირველი: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496.

თუ ეჭვი გაქვთ მიღებულ შედეგზე, შეგიძლიათ გადაამოწმოთ, მაგალითად, განსაზღვროთ პროგრესირების 43-ე ვადა, რომელიც მითითებულია პირობაში. ჩვენ ვიღებთ: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. მცირე შეცდომა გამოწვეულია იმით, რომ გამოთვლებში გამოყენებული იყო დამრგვალება მეათასედამდე.

მაგალითი No5: თანხა

ახლა მოდით გადავხედოთ რამდენიმე მაგალითს არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ამონახსნებით.

მივცეთ შემდეგი ფორმის რიცხვითი პროგრესია: 1, 2, 3, 4, ...,. როგორ გამოვთვალოთ ამ რიცხვებიდან 100-ის ჯამი?

კომპიუტერული ტექნოლოგიების განვითარების წყალობით შესაძლებელია ამ პრობლემის გადაჭრა, ანუ ყველა რიცხვის მიმდევრობით დამატება, რასაც კომპიუტერი გააკეთებს, როგორც კი ადამიანი დააჭერს Enter ღილაკს. თუმცა, პრობლემის გონებრივად მოგვარება შესაძლებელია, თუ ყურადღებას მიაქცევთ, რომ რიცხვების წარმოდგენილი სერია არის ალგებრული პროგრესია და მისი სხვაობა უდრის 1-ს. ჯამის ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ: S n = n * ( a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

საინტერესოა აღინიშნოს, რომ ამ პრობლემას „გაუსური“ ჰქვია, რადგან მე-18 საუკუნის დასაწყისში ცნობილმა გერმანელმა, ჯერ კიდევ მხოლოდ 10 წლისამ, თავის თავში რამდენიმე წამში გადაჭრა. ბიჭმა არ იცოდა ალგებრული პროგრესიის ჯამის ფორმულა, მაგრამ მან შენიშნა, რომ თუ მიმდევრობის ბოლოების რიცხვებს წყვილებში დაამატებთ, ყოველთვის ერთსა და იმავე შედეგს მიიღებთ, ანუ 1 + 100 = 2 + 99. = 3 + 98 = ..., და რადგან ეს ჯამები იქნება ზუსტად 50 (100/2), მაშინ სწორი პასუხის მისაღებად საკმარისია 50 გავამრავლოთ 101-ზე.

მაგალითი No6: წევრთა ჯამი n-დან m-მდე

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის კიდევ ერთი ტიპიური მაგალითია შემდეგი: მოცემული რიცხვების სერია: 3, 7, 11, 15, ..., თქვენ უნდა იპოვოთ, თუ რას უდრის მისი წევრთა ჯამი 8-დან 14-მდე. .

პრობლემა მოგვარებულია ორი გზით. პირველი მათგანი მოიცავს უცნობი ტერმინების მოძიებას 8-დან 14-მდე და შემდეგ მათი თანმიმდევრობით შეჯამება. ვინაიდან რამდენიმე ტერმინია, ეს მეთოდი არ არის საკმაოდ შრომატევადი. მიუხედავად ამისა, შემოთავაზებულია ამ პრობლემის გადაჭრა მეორე მეთოდის გამოყენებით, რომელიც უფრო უნივერსალურია.

იდეა არის მივიღოთ ფორმულა ალგებრული პროგრესიის ჯამისთვის m და n ტერმინებს შორის, სადაც n > m არის მთელი რიცხვები. ორივე შემთხვევისთვის ჩვენ ვწერთ ორ გამონათქვამს ჯამისთვის:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

ვინაიდან n > m, აშკარაა, რომ მე-2 ჯამი მოიცავს პირველს. ბოლო დასკვნა ნიშნავს, რომ თუ ავიღებთ განსხვავებას ამ ჯამებს შორის და დავუმატებთ ტერმინს a m-ს (სხვაობის აღების შემთხვევაში ის გამოვაკლდება S n-ს ჯამს), მივიღებთ ამოცანის აუცილებელ პასუხს. გვაქვს: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). ამ გამოსახულებაში აუცილებელია n და m ფორმულების ჩანაცვლება. შემდეგ მივიღებთ: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

შედეგად მიღებული ფორმულა გარკვეულწილად რთულია, თუმცა S mn ჯამი დამოკიდებულია მხოლოდ n, m, a 1 და d-ზე. ჩვენს შემთხვევაში, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. ამ რიცხვების ჩანაცვლებით მივიღებთ: S mn = 301.

როგორც ზემოთ მოყვანილი ამონახსნებიდან ჩანს, ყველა პრობლემა ემყარება n-ე წევრის გამოხატვის ცოდნას და პირველი წევრთა სიმრავლის ჯამის ფორმულას. სანამ რომელიმე ამ პრობლემის გადაჭრას დაიწყებთ, რეკომენდებულია, ყურადღებით წაიკითხოთ მდგომარეობა, ნათლად გაიგოთ, რა უნდა იპოვოთ და მხოლოდ ამის შემდეგ გააგრძელოთ გამოსავალი.

კიდევ ერთი რჩევა არის სიმარტივისკენ სწრაფვა, ანუ თუ თქვენ შეგიძლიათ უპასუხოთ კითხვას რთული მათემატიკური გამოთვლების გამოყენების გარეშე, მაშინ სწორედ ეს უნდა გააკეთოთ, რადგან ამ შემთხვევაში შეცდომის დაშვების ალბათობა ნაკლებია. მაგალითად, არითმეტიკული პროგრესიის მაგალითში მე-6 ამონახსნით, შეიძლება შევჩერდეთ ფორმულაზე S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, და შესვენება საერთო დავალებაცალკეულ ქვეამოცნებებად (ამ შემთხვევაში ჯერ იპოვეთ ტერმინები a n და a).

თუ თქვენ გაქვთ ეჭვი მიღებულ შედეგზე, რეკომენდებულია მისი შემოწმება, როგორც ეს გაკეთდა ზოგიერთ მოყვანილ მაგალითში. ჩვენ გავარკვიეთ, როგორ ვიპოვოთ არითმეტიკული პროგრესია. თუ გაარკვიე, არც ისე რთულია.

რა მთავარი პუნქტიფორმულები?

ეს ფორმულა საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ ნებისმიერი მისი ნომრით" n" .

რა თქმა უნდა, თქვენ ასევე უნდა იცოდეთ პირველი ტერმინი a 1და პროგრესირების განსხვავება დკარგად, ამ პარამეტრების გარეშე თქვენ არ შეგიძლიათ ჩამოწეროთ კონკრეტული პროგრესი.

ამ ფორმულის დამახსოვრება (ან დაწოლა) საკმარისი არ არის. თქვენ უნდა გაიგოთ მისი არსი და გამოიყენოთ ფორმულა სხვადასხვა პრობლემაში. და ასევე არ დაივიწყოს შესაფერის მომენტში, დიახ...) როგორ არ დაივიწყო- არ ვიცი. მაგრამ როგორ დაიმახსოვროთსაჭიროების შემთხვევაში აუცილებლად გირჩევ. მათთვის, ვინც გაკვეთილს ბოლომდე დაასრულებს.)

მოდით შევხედოთ არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულას.

რა არის ფორმულა ზოგადად? სხვათა შორის, გადახედე თუ არ გაქვს წაკითხული. იქ ყველაფერი მარტივია. რჩება იმის გარკვევა, თუ რა არის ეს მე-1 ტერმინი.

პროგრესი შიგნით ზოგადი ხედიშეიძლება დაიწეროს რიცხვების რიგით:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1- აღნიშნავს არითმეტიკული პროგრესიის პირველ წევრს, a 3- მესამე წევრი, a 4- მეოთხე და ასე შემდეგ. თუ ჩვენ გვაინტერესებს მეხუთე ვადა, ვთქვათ, ვმუშაობთ a 5, თუ ას მეოცე - ს 120.

როგორ განვსაზღვროთ ის ზოგადი თვალსაზრისით? ნებისმიერიარითმეტიკული პროგრესიის ვადა, თან ნებისმიერინომერი? ძალიან მარტივია! მოსწონს ეს:

a n

ეს არის ის არითმეტიკული პროგრესიის მე-n წევრი.ასო n მალავს ყველა წევრის რიცხვს ერთდროულად: 1, 2, 3, 4 და ა.შ.

და რას გვაძლევს ასეთი ჩანაწერი? უბრალოდ დაფიქრდი, ნომრის ნაცვლად მათ დაწერეს წერილი...

ეს აღნიშვნა გვაძლევს მძლავრ ინსტრუმენტს არითმეტიკული პროგრესიით მუშაობისთვის. ნოტაციის გამოყენებით a n, ჩვენ შეგვიძლია სწრაფად ვიპოვოთ ნებისმიერიწევრი ნებისმიერიარითმეტიკული პროგრესია. და გადაწყვიტეთ პროგრესირების სხვა პრობლემები. შემდგომში თავად ნახავთ.

არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულაში:

a n = a 1 + (n-1)d

a 1- არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრი;

ნ- წევრის ნომერი.

ფორმულა აკავშირებს ძირითადი პარამეტრებინებისმიერი პროგრესი: a n ; a 1; დდა ნ. პროგრესირების ყველა პრობლემა ამ პარამეტრების გარშემო ტრიალებს.

n-ე ტერმინის ფორმულა ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პროგრესიის დასაწერად. მაგალითად, პრობლემამ შეიძლება თქვას, რომ პროგრესი მითითებულია პირობით:

a n = 5 + (n-1) 2.

ასეთმა პრობლემამ შეიძლება ჩიხამდე მიგვიყვანოს... არც სერიაა და არც განსხვავება... მაგრამ, მდგომარეობის ფორმულასთან შედარება, ადვილი მისახვედრია, რომ ამ პროგრესირებაში a 1 =5 და d=2.

და ეს შეიძლება იყოს კიდევ უფრო უარესი!) თუ ავიღებთ იგივე პირობას: a n = 5 + (n-1) 2,კი, გახსენით ფრჩხილები და მოიტანეთ მსგავსი? ჩვენ ვიღებთ ახალ ფორმულას:

a n = 3 + 2n.

ეს უბრალოდ არა ზოგადი, არამედ კონკრეტული პროგრესისთვის. სწორედ აქ იმალება ხაფანგი. ზოგი ფიქრობს, რომ პირველი ტერმინი არის სამი. თუმცა რეალურად პირველი ტერმინი ხუთია... ცოტა დაბლა ვიმუშავებთ ასეთი შეცვლილი ფორმულით.

პროგრესირების პრობლემებში არის კიდევ ერთი აღნიშვნა - a n+1. ეს არის, როგორც თქვენ მიხვდით, პროგრესიის "n პლუს პირველი" ტერმინი. მისი მნიშვნელობა მარტივი და უვნებელია.) ეს არის პროგრესიის წევრი, რომლის რიცხვი აღემატება n რიცხვს ერთით. მაგალითად, თუ რაიმე პრობლემაში ვიღებთ a nმერე მეხუთე ვადა a n+1იქნება მეექვსე წევრი. და მსგავსი.

ყველაზე ხშირად აღნიშვნა a n+1გვხვდება განმეორების ფორმულებში. ნუ შეგეშინდებათ ამ საშინელი სიტყვის!) ეს მხოლოდ არითმეტიკული პროგრესიის წევრის გამოხატვის საშუალებაა. წინას მეშვეობით.დავუშვათ, რომ ამ ფორმით მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია, განმეორებითი ფორმულის გამოყენებით:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

მეოთხე - მესამემდე, მეხუთე - მეოთხემდე და ა.შ. როგორ შეგვიძლია მაშინვე დავთვალოთ, ვთქვათ, მეოცე ვადა? 20? მაგრამ გზა არ არის!) სანამ მე-19 ტერმინს არ გავარკვევთ, მე-20-ს ვერ ვითვლით. ეს არის ფუნდამენტური განსხვავება განმეორებით ფორმულასა და n-ე ტერმინის ფორმულას შორის. განმეორებითი მუშაობს მხოლოდ მეშვეობით წინავადა, ხოლო n-ე ტერმინის ფორმულა არის მეშვეობით პირველიდა იძლევა საშუალებას მაშინვეიპოვნეთ რომელიმე წევრი მისი ნომრით. რიცხვების მთელი სერიის თანმიმდევრობით გაანგარიშების გარეშე.

არითმეტიკული პროგრესიის დროს მარტივია განმეორებადი ფორმულის რეგულარულად გადაქცევა. დაითვალეთ თანმიმდევრული წყვილი, გამოთვალეთ განსხვავება დ,საჭიროების შემთხვევაში იპოვნეთ პირველი ტერმინი a 1დაწერეთ ფორმულა ჩვეული ფორმით და იმუშავეთ მასთან. ასეთ ამოცანებს ხშირად აწყდებიან სახელმწიფო მეცნიერებათა აკადემიაში.

არითმეტიკული პროგრესიის მე-n წევრის ფორმულის გამოყენება.

პირველ რიგში, მოდით შევხედოთ ფორმულის პირდაპირ გამოყენებას. წინა გაკვეთილის ბოლოს იყო პრობლემა:

მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია (a n). იპოვეთ 121, თუ a 1 =3 და d=1/6.

ეს პრობლემა შეიძლება გადაწყდეს ყოველგვარი ფორმულების გარეშე, უბრალოდ არითმეტიკული პროგრესიის მნიშვნელობის საფუძველზე. დაამატეთ და დაამატეთ... ერთი-ორი საათი.)

და ფორმულის მიხედვით, გამოსავალს წუთზე ნაკლები დასჭირდება. შეგიძლია დრო.) გადავწყვიტოთ.

პირობები იძლევა ყველა მონაცემს ფორმულის გამოყენებისთვის: a 1 =3, d=1/6.რჩება იმის გარკვევა, თუ რა არის თანაბარი ნ.არავითარი კითხვა! ჩვენ უნდა ვიპოვოთ a 121. ასე რომ, ჩვენ ვწერთ:

გთხოვთ მიაქციოთ ყურადღება! ინდექსის ნაცვლად ნგამოჩნდა კონკრეტული რიცხვი: 121. რაც სავსებით ლოგიკურია.) ჩვენ გვაინტერესებს არითმეტიკული პროგრესიის წევრი. ნომერი ას ოცდაერთი.ეს ჩვენი იქნება ნ.ეს არის აზრი ნ= 121 ჩვენ ჩავანაცვლებთ შემდგომ ფორმულაში, ფრჩხილებში. ჩვენ ვცვლით ყველა რიცხვს ფორმულაში და ვიანგარიშებთ:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

ესე იგი. ისევე სწრაფად იპოვა ხუთას მეათე ტერმინი და ათას მესამე, ნებისმიერი. ჩვენ ნაცვლად ვაყენებთ ნსასურველი რიცხვი ასოს ინდექსში " ა"და ფრჩხილებში და ვითვლით.

ნება მომეცით შეგახსენოთ წერტილი: ეს ფორმულა საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ ნებისმიერიარითმეტიკული პროგრესიის ვადა მისი ნომრით" n" .

მოდი პრობლემა უფრო ეშმაკურად მოვაგვაროთ. მოდით შევხვდეთ შემდეგ პრობლემას:

იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრი (a n), თუ a 17 =-2; d=-0.5.

თუ რაიმე სირთულე გაქვთ, პირველ ნაბიჯს გეტყვით. ჩაწერეთ არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულა!დიახ, დიახ. ჩაწერეთ ხელით, პირდაპირ ბლოკნოტში:

a n = a 1 + (n-1)d

ახლა კი, ფორმულის ასოებს რომ გადავხედოთ, გვესმის, რა მონაცემები გვაქვს და რა აკლია? ხელმისაწვდომია d=-0.5,არის მეჩვიდმეტე წევრი... ეს არის? თუ ფიქრობ რომ ასეა, მაშინ პრობლემას ვერ მოაგვარებ, დიახ...

ჯერ კიდევ გვაქვს ნომერი ნ! მდგომარეობაში a 17 =-2დამალული ორი პარამეტრი.ეს არის მეჩვიდმეტე წევრის მნიშვნელობაც (-2) და მისი რიცხვი (17). იმათ. n=17.ეს „წვრილმანი“ ხშირად სრიალდება თავში და მის გარეშე („წვრილმანების“ გარეშე, არა თავის!) პრობლემის გადაჭრა შეუძლებელია. თუმცა... და თავის გარეშეც.)

ახლა ჩვენ შეგვიძლია უბრალოდ სულელურად ჩავანაცვლოთ ჩვენი მონაცემები ფორმულაში:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0.5)

ოჰ, დიახ, a 17ჩვენ ვიცით, რომ ეს არის -2. კარგი, შევცვალოთ:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0.5)

ეს ძირითადად ყველაფერია. რჩება არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრის გამოხატვა ფორმულიდან და გამოთვლა. პასუხი იქნება: a 1 = 6.

ეს ტექნიკა - ფორმულის ჩაწერა და ცნობილი მონაცემების უბრალოდ ჩანაცვლება - დიდ დახმარებას უწევს მარტივ ამოცანებს. რა თქმა უნდა, თქვენ უნდა შეძლოთ ცვლადის გამოხატვა ფორმულიდან, მაგრამ რა უნდა გააკეთოთ!? ამ უნარის გარეშე მათემატიკა შეიძლება საერთოდ არ ისწავლებოდეს...

კიდევ ერთი პოპულარული თავსატეხი:

იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა (a n), თუ a 1 =2; a 15 = 12.

რას ვაკეთებთ? გაგიკვირდებათ, ჩვენ ვწერთ ფორმულას!)

a n = a 1 + (n-1)d

მოდით განვიხილოთ ის, რაც ვიცით: a 1 =2; a 15 =12; და (განსაკუთრებით გამოვყოფ!) n=15. მოგერიდებათ ჩაანაცვლოთ ეს ფორმულაში:

12=2 + (15-1)დ

ჩვენ ვაკეთებთ არითმეტიკას.)

12=2 + 14დ

დ=10/14 = 5/7

ეს არის სწორი პასუხი.

ასე რომ, ამოცანები ამისთვის a n, a 1და დგადაწყვიტა. რჩება მხოლოდ იმის სწავლა, თუ როგორ უნდა იპოვოთ ნომერი:

რიცხვი 99 არის არითმეტიკული პროგრესიის წევრი (a n), სადაც a 1 =12; d=3. იპოვეთ ამ წევრის ნომერი.

ჩვენთვის ცნობილ რაოდენობებს ვცვლით n-ე წევრის ფორმულაში:

a n = 12 + (n-1) 3

ერთი შეხედვით, აქ არის ორი უცნობი რაოდენობა: a n და n.მაგრამ a n- ეს არის პროგრესის ზოგიერთი წევრი რიცხვით ნ...და ჩვენ ვიცნობთ პროგრესის ამ წევრს! ეს არის 99. ჩვენ არ ვიცით მისი ნომერი. n,ასე რომ, ეს რიცხვი არის ის, რაც თქვენ უნდა იპოვოთ. ჩვენ ვცვლით 99 პროგრესიის ტერმინს ფორმულაში:

99 = 12 + (n-1) 3

გამოვხატავთ ფორმულიდან ნ, ვფიქრობთ. ჩვენ ვიღებთ პასუხს: n=30.

ახლა კი პრობლემა იმავე თემაზე, მაგრამ უფრო კრეატიული):

დაადგინეთ არის თუ არა რიცხვი 117 არითმეტიკული პროგრესიის წევრი (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

მოდი ისევ დავწეროთ ფორმულა. რა, პარამეტრები არ არის? ჰმ... რატომ გვაძლევენ თვალებს?) ვხედავთ პროგრესის პირველ ტერმინს? ჩვენ ვხედავთ. ეს არის -3.6. შეგიძლიათ უსაფრთხოდ დაწეროთ: a 1 = -3.6.განსხვავება დშეგიძლიათ სერიიდან გაიგოთ? ადვილია, თუ იცით, რა განსხვავებაა არითმეტიკული პროგრესიის შორის:

d = -2.4 - (-3.6) = 1.2

ასე რომ, ჩვენ გავაკეთეთ უმარტივესი რამ. რჩება უცნობ რიცხვთან გამკლავება ნხოლო გაუგებარი რიცხვი 117. წინა პრობლემაში მაინც ცნობილი იყო, რომ სწორედ პროგრესიის ტერმინი იყო მოცემული. მაგრამ აქ არც კი ვიცით... რა ვქნათ!? აბა, რა ვქნა, რა ვქნა... ჩართეთ კრეატიულობა!)

ჩვენ დავუშვათრომ 117, ბოლოს და ბოლოს, ჩვენი პროგრესიის წევრია. უცნობი ნომრით ნ. და, ისევე როგორც წინა პრობლემაში, ვცადოთ ამ ნომრის პოვნა. იმათ. ჩვენ ვწერთ ფორმულას (დიახ, დიახ!)) და ვცვლით ჩვენს ნომრებს:

117 = -3.6 + (n-1) 1.2

ისევ გამოვხატავთ ფორმულიდანნ, ვითვლით და ვიღებთ:

უი! ნომერი აღმოჩნდა წილადი!ასთერთნახევარი. და წილადი რიცხვები პროგრესირებაში არ ხდება.რა დასკვნის გაკეთება შეგვიძლია? დიახ! ნომერი 117 არ არისჩვენი პროგრესის წევრი. ეს არის სადღაც ას და პირველსა და ას და მეორე ტერმინებს შორის. თუ რიცხვი ბუნებრივი აღმოჩნდა, ე.ი. არის დადებითი მთელი რიცხვი, მაშინ რიცხვი იქნება პროგრესიის წევრი ნაპოვნი რიცხვით. და ჩვენს შემთხვევაში, პრობლემის პასუხი იქნება: არა.

დავალება, რომელიც დაფუძნებულია GIA-ს რეალურ ვერსიაზე:

არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია პირობით:

a n = -4 + 6.8n

იპოვეთ პროგრესიის პირველი და მეათე წევრი.

აქ პროგრესი უჩვეულო გზით არის დაყენებული. რაღაცნაირი ფორმულა... ხდება.) თუმცა ეს ფორმულა (როგორც ზემოთ დავწერე) - ასევე არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულა!ის ასევე საშუალებას აძლევს იპოვნეთ პროგრესიის რომელიმე წევრი მისი რიცხვით.

ჩვენ ვეძებთ პირველ წევრს. ვინც ფიქრობს. რომ პირველი ტერმინი არის მინუს ოთხი, სასიკვდილოდ ცდება!) რადგან პრობლემაში ფორმულა შეცვლილია. მასში არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრი დამალული.არა უშავს, ჩვენ ახლა ვიპოვით.)

ისევე, როგორც წინა პრობლემებში, ჩვენ ვცვლით n=1ამ ფორმულაში:

a 1 = -4 + 6.8 1 = 2.8

აქ! პირველი წევრი არის 2.8 და არა -4!

მეათე ტერმინს ვეძებთ ანალოგიურად:

a 10 = -4 + 6.8 10 = 64

ესე იგი.

ახლა კი მათთვის, ვინც წაიკითხა ეს სტრიქონები, დაპირებული ბონუსი.)

დავუშვათ, სახელმწიფო გამოცდის ან ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის რთულ საბრძოლო ვითარებაში დაგავიწყდათ არითმეტიკული პროგრესიის მე-n ტერმინის სასარგებლო ფორმულა. რაღაც მახსოვს, მაგრამ რატომღაც გაურკვევლად... ან ნიქ, ან n+1, ან n-1...როგორ ვიყოთ!?

დამშვიდდი! ეს ფორმულა ადვილად გამოსაყვანია. ეს არ არის ძალიან მკაცრი, მაგრამ ნამდვილად საკმარისია თავდაჯერებულობისთვის და სწორი გადაწყვეტილების მისაღებად!) დასკვნის გასაკეთებლად საკმარისია გახსოვდეთ არითმეტიკული პროგრესიის ელემენტარული მნიშვნელობა და გქონდეთ დრო რამდენიმე წუთი. თქვენ უბრალოდ უნდა დახატოთ სურათი. სიცხადისთვის.

დახაზეთ რიცხვითი წრფე და მონიშნეთ მასზე პირველი. მეორე, მესამე და ა.შ. წევრები. და ჩვენ აღვნიშნავთ განსხვავებას დწევრებს შორის. მოსწონს ეს:

ვუყურებთ სურათს და ვფიქრობთ: რას უდრის მეორე წევრი? მეორე ერთი დ:

ა 2 =a 1 + 1 დ

რა არის მესამე ვადა? მესამევადა უდრის პირველ ტერმინს პლუსს ორი დ.

ა 3 =a 1 + 2 დ

გესმის? ტყუილად არ გამოვყოფ ზოგიერთ სიტყვას თამამად. კარგი, კიდევ ერთი ნაბიჯი).

რა არის მეოთხე ტერმინი? მეოთხევადა უდრის პირველ ტერმინს პლუსს სამი დ.

ა 4 =a 1 + 3 დ

დროა გავაცნობიეროთ, რომ ხარვეზების რაოდენობა, ე.ი. დ, ყოველთვის ერთით ნაკლები იმ წევრის რაოდენობაზე, რომელსაც ეძებთ ნ. ანუ რიცხვამდე n, ადგილების რაოდენობანება n-1.ამიტომ, ფორმულა იქნება (ვარიაციების გარეშე!):

a n = a 1 + (n-1)d

ზოგადად, ვიზუალური სურათები ძალიან გვეხმარება მათემატიკაში მრავალი პრობლემის გადაჭრაში. ნუ უგულებელყოფთ სურათებს. მაგრამ თუ ძნელია სურათის დახატვა, მაშინ ... მხოლოდ ფორმულა!) გარდა ამისა, მე-n ტერმინის ფორმულა საშუალებას გაძლევთ დააკავშიროთ მათემატიკის მთელი მძლავრი არსენალი ამოხსნასთან - განტოლებები, უტოლობები, სისტემები და ა. თქვენ არ შეგიძლიათ სურათის ჩასმა განტოლებაში...

ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის.

გასათბობად:

1. არითმეტიკული პროგრესიით (a n) a 2 =3; a 5 =5.1. იპოვნეთ 3.

მინიშნება: სურათის მიხედვით პრობლემის გადაჭრა 20 წამშია შესაძლებელი... ფორმულის მიხედვით უფრო რთული გამოდის. მაგრამ ფორმულის დაუფლებისთვის ის უფრო სასარგებლოა.) 555-ე ნაწილში ეს პრობლემა მოგვარებულია როგორც სურათის, ასევე ფორმულის გამოყენებით. იგრძენი განსხვავება!)

და ეს აღარ არის დათბობა.)

2. არითმეტიკული პროგრესიაში (a n) a 85 =19.1; a 236 =49, 3. იპოვე 3.

რა, არ გინდა სურათის დახატვა?) რა თქმა უნდა! ფორმულის მიხედვით უკეთესია, კი...

3. არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია პირობით:a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5. იპოვეთ ამ პროგრესიის ას ოცდამეხუთე წევრი.

ამ ამოცანაში პროგრესი განმეორებითი წესით არის მითითებული. ოღონდ ას ოცდამეხუთე ტერმინამდე დათვლა... ყველას არ ძალუძს ასეთი ღვაწლი.) მაგრამ n-ე ტერმინის ფორმულა ყველას ძალაშია!

4. მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

იპოვეთ პროგრესიის უმცირესი დადებითი წევრის რიცხვი.

5. მე-4 ამოცანის პირობების მიხედვით იპოვეთ პროგრესიის უმცირესი დადებითი და უდიდესი უარყოფითი წევრთა ჯამი.

6. მზარდი არითმეტიკული პროგრესიის მეხუთე და მეთორმეტე წევრთა ნამრავლი არის -2,5, ხოლო მესამე და მეთერთმეტე წევრთა ჯამი არის ნული. იპოვნეთ 14.

არ არის უმარტივესი ამოცანა, დიახ...) "თითის წვერის" მეთოდი აქ არ იმუშავებს. მოგიწევთ ფორმულების დაწერა და განტოლებების ამოხსნა.

პასუხები (არეულად):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

იმუშავა? სასიამოვნოა!)

ყველაფერი არ გამოდის? ხდება. სხვათა შორის, ბოლო ამოცანაში არის ერთი დახვეწილი წერტილი. სიფრთხილეა საჭირო პრობლემის წაკითხვისას. და ლოგიკა.

ყველა ამ პრობლემის გადაწყვეტა დეტალურად არის განხილული 555-ე ნაწილში. მეოთხე ფენტეზის ელემენტი, მეექვსესთვის დახვეწილი წერტილი და ზოგადი მიდგომები ნებისმიერი პრობლემის გადასაჭრელად, რომელიც მოიცავს n-ე ტერმინის ფორმულას - ყველაფერი აღწერილია. გირჩევთ.

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. ვისწავლოთ - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

მაშ, დავჯდეთ და დავიწყოთ რამდენიმე რიცხვის წერა. მაგალითად:
თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ნებისმიერი რიცხვი და შეიძლება იყოს იმდენი, რამდენიც გსურთ (ჩვენს შემთხვევაში, არის ისინი). რამდენი რიცხვიც არ უნდა დავწეროთ, ყოველთვის შეგვიძლია ვთქვათ, რომელია პირველი, რომელი მეორე და ასე შემდეგ ბოლომდე, ანუ შეგვიძლია მათი დათვლა. ეს არის რიცხვების თანმიმდევრობის მაგალითი:

რიცხვების თანმიმდევრობა
მაგალითად, ჩვენი თანმიმდევრობისთვის:

მინიჭებული ნომერი სპეციფიკურია თანმიმდევრობით მხოლოდ ერთი ნომრისთვის. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მიმდევრობაში არ არის სამი მეორე რიცხვი. მეორე რიცხვი (ისევე როგორც მეთე რიცხვი) ყოველთვის იგივეა.
რიცხვთან ერთად რიცხვს მიმდევრობის მე-თე წევრი ეწოდება.

ჩვენ ჩვეულებრივ მთელ მიმდევრობას ვუწოდებთ რაღაც ასოს (მაგალითად,) და ამ მიმდევრობის თითოეული წევრი არის იგივე ასო, რომლის ინდექსი ტოლია ამ წევრის რიცხვის: .

ჩვენს შემთხვევაში:

ვთქვათ, გვაქვს რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომელშიც სხვაობა მიმდებარე რიცხვებს შორის იგივე და ტოლია.
მაგალითად:

და ა.შ.
ამ რიცხვთა თანმიმდევრობას არითმეტიკული პროგრესია ეწოდება.
ტერმინი „პროგრესია“ შემოიღო რომაელმა ავტორმა ბოეთიუსმა ჯერ კიდევ მე-6 საუკუნეში და ფართო გაგებით გაიგო, როგორც უსასრულო რიცხვითი თანმიმდევრობა. სახელწოდება „არითმეტიკა“ გადავიდა უწყვეტი პროპორციების თეორიიდან, რომელსაც სწავლობდნენ ძველი ბერძნები.

ეს არის რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომლის თითოეული წევრი უდრის იმავე რიცხვს დამატებულ წინას. ამ რიცხვს ეწოდება არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა და მითითებულია.

შეეცადეთ დაადგინოთ, რომელი რიცხვის მიმდევრობაა არითმეტიკული პროგრესია და რომელი არა:

ა)
ბ)
გ)
დ)

გაიგე? მოდით შევადაროთ ჩვენი პასუხები:
არისარითმეტიკული პროგრესია - b, c.
არ არისარითმეტიკული პროგრესია - ა, დ.

დავუბრუნდეთ მოცემულ პროგრესიას () და ვეცადოთ ვიპოვოთ მისი მე-2 წევრის მნიშვნელობა. არსებობს ორიმისი პოვნის გზა.

1. მეთოდი

ჩვენ შეგვიძლია დავამატოთ პროგრესიის ნომერი წინა მნიშვნელობას მანამ, სანამ არ მივაღწევთ პროგრესიის მე-6 ტერმინს. კარგია, რომ ბევრი რამ არ გვაქვს შესაჯამებელი - მხოლოდ სამი მნიშვნელობა:

ასე რომ, აღწერილი არითმეტიკული პროგრესიის მე-1 წევრი უდრის.

2. მეთოდი

რა მოხდება, თუ გვჭირდებოდა პროგრესიის მე-ე ტერმინის მნიშვნელობის პოვნა? შეჯამება ერთ საათზე მეტს დაგვჭირდება და ფაქტი არ არის, რომ რიცხვების შეკრებისას შეცდომას არ დავუშვებთ.
რა თქმა უნდა, მათემატიკოსებმა მოიგონეს გზა, რომლითაც არ არის აუცილებელი არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობის დამატება წინა მნიშვნელობაზე. დააკვირდით დახატულ სურათს... რა თქმა უნდა, თქვენ უკვე შენიშნეთ გარკვეული ნიმუში, კერძოდ:

მაგალითად, ვნახოთ, რას მოიცავს ამ არითმეტიკული პროგრესიის მეათე წევრის მნიშვნელობა:


სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ:

ეცადეთ, ამ გზით თავად იპოვოთ მოცემული არითმეტიკული პროგრესიის წევრის მნიშვნელობა.

გამოთვალეთ? შეადარეთ თქვენი შენიშვნები პასუხთან:

გთხოვთ, გაითვალისწინოთ, რომ თქვენ მიიღეთ ზუსტად იგივე რიცხვი, რაც წინა მეთოდში, როდესაც ჩვენ თანმიმდევრულად დავამატეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირობები წინა მნიშვნელობას.
შევეცადოთ ამ ფორმულის „დეპერსონალიზაცია“ - მოდი დავდოთ იგი ზოგადი ფორმით და მივიღოთ:

არითმეტიკული პროგრესიის განტოლება.

არითმეტიკული პროგრესიები შეიძლება იყოს მზარდი ან კლებადი.

მზარდი- პროგრესები, რომლებშიც ტერმინების ყოველი მომდევნო მნიშვნელობა წინაზე მეტია.
მაგალითად:

დაღმავალი- პროგრესები, რომლებშიც ტერმინების ყოველი მომდევნო მნიშვნელობა წინაზე ნაკლებია.
მაგალითად:

მიღებული ფორმულა გამოიყენება არითმეტიკული პროგრესიის როგორც მზარდი, ისე კლებადი ტერმინების გამოთვლაში.
მოდით შევამოწმოთ ეს პრაქტიკაში.
ჩვენ გვეძლევა არითმეტიკული პროგრესია, რომელიც შედგება შემდეგი რიცხვებისგან: მოდით შევამოწმოთ რა იქნება ამ არითმეტიკული პროგრესიის მეათე რიცხვი, თუ გამოვიყენებთ ჩვენს ფორმულას მის გამოსათვლელად:

მას შემდეგ:

ამრიგად, ჩვენ დარწმუნებულები ვართ, რომ ფორმულა მოქმედებს როგორც შემცირების, ისე გაზრდის არითმეტიკული პროგრესიის დროს.
შეეცადეთ თავად იპოვოთ ამ არითმეტიკული პროგრესიის მე-4 პუნქტები.

შევადაროთ შედეგები:

არითმეტიკული პროგრესიის თვისება

გავართულოთ პრობლემა - გამოვიყვანთ არითმეტიკული პროგრესიის თვისებას.
ვთქვათ, გვაქვს შემდეგი პირობა:
- არითმეტიკული პროგრესია, იპოვნეთ მნიშვნელობა.
მარტივია, ამბობ და იწყებ დათვლას უკვე ნაცნობი ფორმულის მიხედვით:

მოდით, აჰ, მაშინ:

აბსოლუტურად მართალია. გამოდის, რომ ჯერ ვპოულობთ, შემდეგ ვამატებთ პირველ რიცხვს და ვიღებთ იმას, რასაც ვეძებთ. თუ პროგრესია წარმოდგენილია მცირე მნიშვნელობებით, მაშინ ამაში არაფერია რთული, მაგრამ რა მოხდება, თუ პირობით რიცხვებს მივიღებთ? გეთანხმებით, არის გამოთვლებში შეცდომის დაშვების შესაძლებლობა.
ახლა დაფიქრდით, შესაძლებელია თუ არა ამ პრობლემის გადაჭრა რომელიმე ფორმულით ერთი ნაბიჯით? რა თქმა უნდა, დიახ, და ეს არის ის, რისი გარკვევასაც ახლა შევეცდებით.

მოდი აღვნიშნოთ არითმეტიკული პროგრესიის საჭირო ტერმინი, როგორც ჩვენთვის ცნობილია მისი პოვნის ფორმულა - ეს არის იგივე ფორმულა, რაც თავიდან გამოვიყვანეთ:
, შემდეგ:

• პროგრესის წინა ვადა არის:
• პროგრესის შემდეგი პერიოდია:

მოდით შევაჯამოთ პროგრესის წინა და შემდგომი პირობები:

გამოდის, რომ პროგრესიის წინა და შემდგომი პუნქტების ჯამი არის მათ შორის მდებარე პროგრესიის ტერმინის ორმაგი მნიშვნელობა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პროგრესული ტერმინის მნიშვნელობის საპოვნელად ცნობილი წინა და თანმიმდევრული მნიშვნელობებით, თქვენ უნდა დაამატოთ ისინი და გაყოთ.

მართალია, იგივე ნომერი მივიღეთ. დავიცავთ მასალას. თავად გამოთვალეთ პროგრესის ღირებულება, ეს სულაც არ არის რთული.

კარგად გააკეთე! თქვენ თითქმის ყველაფერი იცით პროგრესის შესახებ! რჩება მხოლოდ ერთი ფორმულის გარკვევა, რომელიც, ლეგენდის თანახმად, ადვილად გამოიტანა ყველა დროის ერთ-ერთმა უდიდესმა მათემატიკოსმა, „მათემატიკოსთა მეფემ“ - კარლ გაუსმა...

როდესაც კარლ გაუსი 9 წლის იყო, მასწავლებელმა, რომელიც დაკავებული იყო სხვა კლასების სტუდენტების მუშაობის შემოწმებით, კლასში დაუსვა შემდეგი პრობლემა: „გამოთვალეთ ყველა ჯამი. ნატურალური რიცხვებიდან (სხვა წყაროების მიხედვით) ჩათვლით“. წარმოიდგინეთ მასწავლებლის გაოცება, როდესაც მისმა ერთ-ერთმა მოსწავლემ (ეს იყო კარლ გაუსმა) ერთი წუთის შემდეგ სწორი პასუხი გასცა დავალებას, მაშინ როცა გაბედულის თანაკლასელების უმეტესობამ, ხანგრძლივი გათვლების შემდეგ, არასწორი შედეგი მიიღო...

ახალგაზრდა კარლ გაუსმა შენიშნა გარკვეული ნიმუში, რომელსაც თქვენც ადვილად შეამჩნევთ.
ვთქვათ, გვაქვს არითმეტიკული პროგრესია, რომელიც შედგება -ე ტერმინებისგან: ჩვენ უნდა ვიპოვოთ არითმეტიკული პროგრესიის ამ წევრთა ჯამი. რა თქმა უნდა, ჩვენ შეგვიძლია ხელით შევაჯამოთ ყველა მნიშვნელობა, მაგრამ რა მოხდება, თუ დავალება მოითხოვს მისი ტერმინების ჯამის პოვნას, როგორც ამას გაუსი ეძებდა?

მოდით გამოვსახოთ ჩვენთვის მოცემული პროგრესი. დააკვირდით მონიშნულ რიცხვებს და შეეცადეთ მათთან ერთად შეასრულოთ სხვადასხვა მათემატიკური მოქმედებები.


სცადე? რა შეამჩნიე? უფლება! მათი ჯამები ტოლია

ახლა მითხარი, სულ რამდენი ასეთი წყვილია ჩვენთვის მოცემულ პროგრესში? რა თქმა უნდა, ყველა რიცხვის ზუსტად ნახევარი, ანუ.
იქიდან გამომდინარე, რომ არითმეტიკული პროგრესიის ორი წევრის ჯამი ტოლია და მსგავსი წყვილები ტოლია, მივიღებთ, რომ ჯამი უდრის:
.
ამრიგად, ნებისმიერი არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრთა ჯამის ფორმულა იქნება:

ზოგიერთ პრობლემაში ჩვენ არ ვიცით ტერმინი, მაგრამ ვიცით პროგრესირების განსხვავება. შეეცადეთ ჩაანაცვლოთ მეათე წევრის ფორმულა ჯამის ფორმულით.
რა მიიღე?

კარგად გააკეთე! ახლა დავუბრუნდეთ პრობლემას, რომელიც დაუსვეს კარლ გაუსს: თავად გამოთვალეთ რის ტოლია -th-დან დაწყებული რიცხვების ჯამი და -th-დან დაწყებული რიცხვების ჯამი.

რამდენი მიიღეთ?
გაუსმა აღმოაჩინა, რომ ტერმინების ჯამი ტოლია და წევრთა ჯამი. ასე გადაწყვიტე?

სინამდვილეში, არითმეტიკული პროგრესიის ტერმინთა ჯამის ფორმულა დაამტკიცა ძველმა ბერძენმა მეცნიერმა დიოფანტმა ჯერ კიდევ მე-3 საუკუნეში და მთელი ამ ხნის განმავლობაში მახვილგონივრული ადამიანები სრულად იყენებდნენ არითმეტიკული პროგრესიის თვისებებს.
მაგალითად, წარმოიდგინეთ ძველი ეგვიპტეხოლო იმ დროის ყველაზე დიდი სამშენებლო პროექტი - პირამიდის მშენებლობა... სურათზე ჩანს მისი ერთი მხარე.

სად არის აქ პროგრესი, თქვენ ამბობთ? დააკვირდით და იპოვეთ ნიმუში პირამიდის კედლის თითოეულ რიგში ქვიშის ბლოკების რაოდენობაში.


რატომ არა არითმეტიკული პროგრესია? გამოთვალეთ რამდენი ბლოკია საჭირო ერთი კედლის ასაშენებლად, თუ ბლოკის აგური მოთავსებულია ბაზაზე. იმედი მაქვს, მონიტორზე თითის გადაადგილებისას არ ითვლით, გახსოვთ ბოლო ფორმულა და ყველაფერი, რაც ვთქვით არითმეტიკული პროგრესიის შესახებ?

ამ შემთხვევაში პროგრესი ასე გამოიყურება: .
არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა.
არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა რაოდენობა.
მოდით ჩავანაცვლოთ ჩვენი მონაცემები ბოლო ფორმულებში (გამოვთვალოთ ბლოკების რაოდენობა 2 გზით).

მეთოდი 1.

მეთოდი 2.

ახლა კი შეგიძლიათ მონიტორზე გამოთვალოთ: შეადარეთ მიღებული მნიშვნელობები ჩვენს პირამიდაში არსებული ბლოკების რაოდენობასთან. გაიგე? კარგია, თქვენ აითვისეთ არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრთა ჯამი.
რა თქმა უნდა, თქვენ არ შეგიძლიათ პირამიდის აშენება ბაზაზე არსებული ბლოკებისგან, მაგრამ? შეეცადეთ გამოთვალოთ რამდენი ქვიშის აგურია საჭირო ამ პირობით კედლის ასაშენებლად.
მოახერხე?
სწორი პასუხი არის ბლოკები:

ტრენინგი

ამოცანები:

1. მაშა ზაფხულისთვის ფორმაში დგება. ყოველდღე ის ზრდის ჩაჯდომების რაოდენობას. რამდენჯერ გააკეთებს მაშა ჩაჯდომას კვირაში, თუ პირველ ვარჯიშზე ჯდება?
2. რა არის ყველა კენტი რიცხვის ჯამი, რომელიც შეიცავს.
3. ლოგების შენახვისას, ლოგერები აწყობენ მათ ისე, რომ ყოველი ზედა ფენა შეიცავს წინაზე ერთი ჟურნალის ნაკლებს. რამდენი მორი არის ერთ ქვისა, თუ ქვისა საფუძველი არის მორები?

პასუხები:

1. მოდით განვსაზღვროთ არითმეტიკული პროგრესიის პარამეტრები. ამ შემთხვევაში
   (კვირები = დღეები).

   პასუხი:ორ კვირაში, მაშამ უნდა გააკეთოს squats დღეში ერთხელ.

2. პირველი კენტი რიცხვი, ბოლო რიცხვი.
   არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა.
   კენტი რიცხვების რაოდენობა ნახევარშია, თუმცა, მოდით შევამოწმოთ ეს ფაქტი არითმეტიკული პროგრესიის მეათე წევრის ფორმულის გამოყენებით:

   რიცხვები შეიცავს კენტ რიცხვებს.
   მოდით ჩავანაცვლოთ არსებული მონაცემები ფორმულაში:

   პასუხი:ყველა კენტი რიცხვის ჯამი ტოლია.

3. გავიხსენოთ პრობლემა პირამიდების შესახებ. ჩვენს შემთხვევაში, a, რადგან თითოეული ზედა ფენა მცირდება ერთი ჟურნალით, მაშინ მთლიანობაში არის ფენების თაიგული, ანუ.
   მოდით ჩავანაცვლოთ მონაცემები ფორმულაში:

   პასუხი:ქვისა მორებია.

მოდით შევაჯამოთ

1. - რიცხვების თანმიმდევრობა, რომელშიც სხვაობა მიმდებარე რიცხვებს შორის არის იგივე და ტოლი. ის შეიძლება გაიზარდოს ან შემცირდეს.
2. ფორმულის პოვნაარითმეტიკული პროგრესიის მე-1 წევრი იწერება ფორმულით - , სადაც არის რიცხვების რაოდენობა პროგრესიაში.
3. არითმეტიკული პროგრესიის წევრების თვისება- - სად არის რიცხვების რაოდენობა პროგრესირებაში.
4. არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა ჯამიშეიძლება მოიძებნოს ორი გზით:
   
   , სადაც არის მნიშვნელობების რაოდენობა.

არითმეტიკული პროგრესია. შუა დონე

რიცხვების თანმიმდევრობა

დავჯდეთ და დავიწყოთ რამდენიმე რიცხვის წერა. მაგალითად:

თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ნებისმიერი რიცხვი და შეიძლება იყოს იმდენი, რამდენიც გსურთ. მაგრამ ყოველთვის შეგვიძლია ვთქვათ, რომელია პირველი, რომელი მეორე და ასე შემდეგ, ანუ შეგვიძლია მათი დათვლა. ეს არის რიცხვების მიმდევრობის მაგალითი.

რიცხვების თანმიმდევრობაარის რიცხვების ნაკრები, რომელთაგან თითოეულს შეიძლება მიენიჭოს უნიკალური ნომერი.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თითოეული რიცხვი შეიძლება დაკავშირებული იყოს გარკვეულ ბუნებრივ რიცხვთან და უნიკალურთან. და ჩვენ არ მივანიჭებთ ამ ნომერს ამ ნაკრებიდან არცერთ სხვა ნომერს.

რიცხვით რიცხვს უწოდებენ მიმდევრობის მე-ა წევრს.

ჩვენ ჩვეულებრივ მთელ მიმდევრობას ვუწოდებთ რაღაც ასოს (მაგალითად,) და ამ მიმდევრობის თითოეული წევრი არის იგივე ასო, რომლის ინდექსი ტოლია ამ წევრის რიცხვის: .

ძალიან მოსახერხებელია, თუ მიმდევრობის მეათე ტერმინი შეიძლება განისაზღვროს რაიმე ფორმულით. მაგალითად, ფორმულა

ადგენს თანმიმდევრობას:

და ფორმულა არის შემდეგი თანმიმდევრობა:

მაგალითად, არითმეტიკული პროგრესია არის თანმიმდევრობა (პირველი წევრი აქ ტოლია და განსხვავება არის). ან (, განსხვავება).

n-ე ტერმინის ფორმულა

ჩვენ ვუწოდებთ ფორმულას მორეციდივე, რომელშიც, იმისათვის, რომ გაიგოთ ტერმინი, თქვენ უნდა იცოდეთ წინა ან რამდენიმე წინა:

ამ ფორმულის გამოყენებით, მაგალითად, პროგრესიის მეათე წევრის საპოვნელად, წინა ცხრა უნდა გამოვთვალოთ. მაგალითად, დაუშვით. შემდეგ:

აბა, ახლა გასაგებია, რა ფორმულაა?

თითოეულ სტრიქონში ჩვენ ვამატებთ, გამრავლებული რაღაც რიცხვზე. რომელი? ძალიან მარტივია: ეს არის ამჟამინდელი წევრის რიცხვი მინუს:

ახლა ბევრად უფრო მოსახერხებელია, არა? ჩვენ ვამოწმებთ:

თავად გადაწყვიტე:

არითმეტიკული პროგრესიის დროს იპოვეთ n-ე წევრის ფორმულა და იპოვეთ მეასე წევრი.

გამოსავალი:

პირველი ვადა თანაბარია. რა განსხვავებაა? აი რა:

(ამიტომ უწოდებენ მას განსხვავებას, რადგან უდრის პროგრესიის თანმიმდევრული ტერმინების სხვაობას).

ასე რომ, ფორმულა:

მაშინ მეასე წევრი უდრის:

რა არის ყველა ნატურალური რიცხვის ჯამი დან?

ლეგენდის თანახმად, დიდმა მათემატიკოსმა კარლ გაუსმა, როგორც 9 წლის ბიჭმა, ეს თანხა რამდენიმე წუთში გამოთვალა. მან შეამჩნია, რომ პირველი და ბოლო რიცხვების ჯამი ტოლია, მეორეს და წინაბოლოების ჯამი იგივეა, ბოლოდან მესამე და მე-3-ის ჯამი იგივეა და ა.შ. სულ რამდენი ასეთი წყვილია? მართალია, ყველა რიცხვის ზუსტად ნახევარი, ანუ. ასე რომ,

ნებისმიერი არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრთა ჯამის ზოგადი ფორმულა იქნება:

მაგალითი:
იპოვეთ ყველა ორნიშნა ჯერადი ჯამი.

გამოსავალი:

პირველი ასეთი რიცხვია. ყოველი მომდევნო რიცხვი მიიღება წინა რიცხვის დამატებით. ამრიგად, რიცხვები, რომლებიც ჩვენ გვაინტერესებს, ქმნიან არითმეტიკულ პროგრესიას პირველი წევრით და სხვაობით.

ამ პროგრესირების ტერმინის ფორმულა:

რამდენი ტერმინია პროგრესიაში, თუ ისინი ყველა ორნიშნა უნდა იყოს?

ძალიან ადვილია:.

პროგრესირების ბოლო ვადა თანაბარი იქნება. შემდეგ ჯამი:

პასუხი:.

ახლა თავად გადაწყვიტე:

1. ყოველდღე სპორტსმენი გარბის უფრო მეტ მეტრს, ვიდრე წინა დღეს. სულ რამდენ კილომეტრს გაივლის კვირაში, თუ პირველ დღეს კმ მ გაირბინა?
2. ველოსიპედისტი ყოველდღე უფრო მეტ კილომეტრს გადის, ვიდრე წინა დღეს. პირველ დღეს მან გაიარა კმ. რამდენი დღე სჭირდება მას კილომეტრის გასავლელად? რამდენ კილომეტრს გაივლის ის მოგზაურობის ბოლო დღეს?
3. მაღაზიაში მაცივრის ფასი ყოველწლიურად ამდენივე მცირდება. დაადგინეთ, რამდენად იკლებს მაცივრის ფასი ყოველწლიურად, თუ გაყიდვაში რუბლებში იყო გამოტანილი, ექვსი წლის შემდეგ ის გაიყიდა რუბლებში.

პასუხები:

1. აქ ყველაზე მნიშვნელოვანი არის არითმეტიკული პროგრესიის ამოცნობა და მისი პარამეტრების დადგენა. ამ შემთხვევაში, (კვირები = დღეები). თქვენ უნდა განსაზღვროთ ამ პროგრესიის პირველი ტერმინების ჯამი:
   .
   პასუხი:
2. აქ მოცემულია: , უნდა მოიძებნოს.
   ცხადია, თქვენ უნდა გამოიყენოთ იგივე ჯამის ფორმულა, როგორც წინა პრობლემაში:
   .
   შეცვალეთ მნიშვნელობები:

   ფესვი აშკარად არ ჯდება, ამიტომ პასუხი არის.
   გამოვთვალოთ ბოლო დღის განმავლობაში გავლილი გზა მე-ე წევრის ფორმულით:
   (კმ).
   პასუხი:

3. მოცემული: . იპოვეთ:.
   ეს არ შეიძლება იყოს უფრო მარტივი:
   (რუბში).
   პასუხი:

არითმეტიკული პროგრესია. მოკლედ მთავარის შესახებ

ეს არის რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომელშიც სხვაობა მიმდებარე რიცხვებს შორის არის იგივე და ტოლი.

არითმეტიკული პროგრესია შეიძლება იყოს მზარდი () და კლებადი ().

მაგალითად:

არითმეტიკული პროგრესიის n-ე წევრის პოვნის ფორმულა

იწერება ფორმულით, სადაც არის რიცხვების რაოდენობა პროგრესირებაში.

არითმეტიკული პროგრესიის წევრების თვისება

ის საშუალებას გაძლევთ მარტივად იპოვოთ პროგრესიის ტერმინი, თუ ცნობილია მისი მეზობელი ტერმინები - სად არის რიცხვების რაოდენობა პროგრესიაში.

არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა ჯამი

თანხის პოვნის ორი გზა არსებობს:

სად არის მნიშვნელობების რაოდენობა.

სად არის მნიშვნელობების რაოდენობა.

დარჩენილი 2/3 სტატია ხელმისაწვდომია მხოლოდ YOUCLEVER სტუდენტებისთვის!

გახდი YouClever-ის სტუდენტი,

მოემზადეთ ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის ან მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის „თვეში ფინჯანი ყავის“ ფასად.

ასევე მიიღეთ შეუზღუდავი წვდომა "YouClever" სახელმძღვანელოზე, "100gia" მოსამზადებელ პროგრამაზე (გამხსნელის წიგნი), შეუზღუდავი საცდელი ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა და ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა, 6000 პრობლემა გადაწყვეტილებების ანალიზთან და სხვა YouClever და 100gia სერვისებზე.

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი.

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი მარტივი რამ არის. მნიშვნელობითაც და ფორმულითაც. მაგრამ ამ თემაზე ყველანაირი დავალებაა. ძირითადიდან საკმაოდ მყარი.

ჯერ გავიგოთ თანხის მნიშვნელობა და ფორმულა. და მერე გადავწყვეტთ. თქვენივე სიამოვნებისთვის.) თანხის მნიშვნელობა ისეთივე მარტივია, როგორც მოო. არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის საპოვნელად, თქვენ უბრალოდ უნდა ყურადღებით დაამატოთ მისი ყველა პირობა. თუ ეს ტერმინები ცოტაა, შეგიძლიათ დაამატოთ ყოველგვარი ფორმულების გარეშე. მაგრამ თუ ბევრია, ან ბევრი... დამატება შემაწუხებელია.) ამ შემთხვევაში ფორმულა შველის.

თანხის ფორმულა მარტივია:

მოდით გავარკვიოთ, რა სახის ასოები შედის ფორმულაში. ეს ბევრ რამეს გაარკვევს.

S n - არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი. დამატების შედეგი ყველასწევრებთან ერთად პირველიავტორი ბოლო.ეს მნიშვნელოვანია. ისინი ზუსტად აგროვებენ ყველაწევრები ზედიზედ, გამოტოვების ან გამოტოვების გარეშე. და, ზუსტად, დაწყებული პირველი.ისეთ პრობლემებში, როგორიცაა მესამე და მერვე წევრთა ჯამის პოვნა, ან მეხუთედან მეოცე პუნქტების ჯამი, ფორმულის პირდაპირი გამოყენება იმედგაცრუებას გამოიწვევს.)

a 1 - პირველიპროგრესის წევრი. აქ ყველაფერი გასაგებია, მარტივია პირველირიგის ნომერი.

a n- ბოლოპროგრესის წევრი. სერიის ბოლო ნომერი. არც თუ ისე ნაცნობი სახელია, მაგრამ თანხაზე გამოყენებისას ძალიან შესაფერისია. მერე თავად ნახავ.

ნ - ბოლო წევრის ნომერი. მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ ფორმულაში ეს რიცხვი ემთხვევა დამატებული ტერმინების რაოდენობას.

მოდით განვსაზღვროთ კონცეფცია ბოლოწევრი a n. რთული კითხვა: რომელი წევრი იქნება უკანასკნელითუ მიცემულია გაუთავებელიარითმეტიკული პროგრესია?)

თავდაჯერებულად რომ უპასუხოთ, უნდა გესმოდეთ არითმეტიკული პროგრესიის ელემენტარული მნიშვნელობა და... ყურადღებით წაიკითხეთ დავალება!)

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის პოვნის ამოცანაში ყოველთვის ჩნდება ბოლო წევრი (პირდაპირ ან ირიბად), რომელიც შეზღუდული უნდა იყოს.წინააღმდეგ შემთხვევაში, საბოლოო, კონკრეტული თანხა უბრალოდ არ არსებობს.ამოხსნისთვის არ აქვს მნიშვნელობა პროგრესია მოცემულია: სასრული თუ უსასრულო. არ აქვს მნიშვნელობა როგორ არის მოცემული: რიცხვების სერია, თუ ფორმულა n-ე წევრისთვის.

ყველაზე მნიშვნელოვანი ის არის, რომ გვესმოდეს, რომ ფორმულა მუშაობს პროგრესირების პირველი ტერმინიდან რიცხვით ტერმინამდე ნ.სინამდვილეში, ფორმულის სრული სახელი ასე გამოიყურება: არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამი.ამ პირველივე წევრების რაოდენობა, ე.ი. ნ, განისაზღვრება მხოლოდ ამოცანის მიხედვით. დავალების დროს, მთელი ეს ღირებული ინფორმაცია ხშირად დაშიფრულია, დიახ... მაგრამ არ მადარდებს, ქვემოთ მოცემულ მაგალითებში ჩვენ ამ საიდუმლოებებს ვამხელთ.)

დავალებების მაგალითები არითმეტიკული პროგრესიის ჯამზე.

პირველ რიგში, სასარგებლო ინფორმაცია:

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ამოცანების ძირითადი სირთულე მდგომარეობს ფორმულის ელემენტების სწორად განსაზღვრაში.

ამოცანების დამწერები სწორედ ამ ელემენტებს შიფრავენ უსაზღვრო ფანტაზიით.) აქ მთავარია არ შეგეშინდეთ. ელემენტების არსის გაგება, საკმარისია მათი უბრალოდ გაშიფვრა. მოდით განვიხილოთ რამდენიმე მაგალითი დეტალურად. დავიწყოთ დავალებით, რომელიც დაფუძნებულია რეალურ GIA-ზე.

1. არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია პირობით: a n = 2n-3.5. იპოვეთ მისი პირველი 10 წევრის ჯამი.

კარგი სამუშაო. მარტივია.) რა უნდა ვიცოდეთ ფორმულით თანხის დასადგენად? პირველი წევრი a 1, ბოლო ვადა a nდიახ, ბოლო წევრის ნომერი ნ.

სად შემიძლია მივიღო ბოლო წევრის ნომერი? ნ? დიახ, იქ, იმ პირობით! ნათქვამია: იპოვე თანხა პირველი 10 წევრი.აბა, რა ნომრით იქნება? ბოლო,მეათე წევრი?) არ დაიჯერებთ, მისი ნომერი მეათეა!) ამიტომ, ნაცვლად a nჩვენ ჩავანაცვლებთ ფორმულაში a 10და სამაგიეროდ ნ-ათი. ვიმეორებ, ბოლო წევრის რაოდენობა ემთხვევა წევრების რაოდენობას.

რჩება განსაზღვრა a 1და a 10. ეს ადვილად გამოითვლება n-ე ტერმინის ფორმულის გამოყენებით, რომელიც მოცემულია პრობლემის განცხადებაში. არ იცით როგორ გააკეთოთ ეს? დაესწარით წინა გაკვეთილს, ამის გარეშე გზა არ არის.

a 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

a 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10.

ჩვენ გავარკვიეთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ფორმულის ყველა ელემენტის მნიშვნელობა. რჩება მხოლოდ მათი ჩანაცვლება და დათვლა:

ესე იგი. პასუხი: 75.

კიდევ ერთი დავალება, რომელიც ეფუძნება GIA-ს. ცოტა უფრო რთული:

2. მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია (a n), რომლის სხვაობა არის 3,7; a 1 = 2.3. იპოვეთ მისი პირველი 15 წევრის ჯამი.

ჩვენ დაუყოვნებლივ ვწერთ ჯამის ფორმულას:

ეს ფორმულა საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ ნებისმიერი ტერმინის მნიშვნელობა მისი რიცხვით. ჩვენ ვეძებთ მარტივ ჩანაცვლებას:

a 15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1

რჩება მხოლოდ ყველა ელემენტის ჩანაცვლება არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ფორმულაში და გამოვთვალოთ პასუხი:

პასუხი: 423.

სხვათა შორის, თუ ჯამის ფორმულაში ნაცვლად a nჩვენ უბრალოდ ვცვლით ფორმულას n-ე წევრისთვის და ვიღებთ:

მოდით წარმოვიდგინოთ მსგავსი და მივიღოთ ახალი ფორმულა არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა ჯამისთვის:

როგორც ხედავთ, n-ე ტერმინი აქ არ არის საჭირო a n. ზოგიერთ პრობლემაში ეს ფორმულა ძალიან ეხმარება, დიახ... შეგიძლიათ დაიმახსოვროთ ეს ფორმულა. ან შეგიძლიათ უბრალოდ აჩვენოთ ის საჭირო დროს, როგორც აქ. ყოველივე ამის შემდეგ, თქვენ ყოველთვის უნდა გახსოვდეთ ჯამის ფორმულა და n-ე ტერმინის ფორმულა.)

ახლა დავალება მოკლე დაშიფვრის სახით):

3. იპოვნეთ ყველა დადებითი ორნიშნა რიცხვის ჯამი, რომლებიც სამის ჯერადია.

ვაა! არც პირველი წევრი, არც უკანასკნელი, არც პროგრესი საერთოდ... როგორ იცხოვრო!?

მოგიწევთ თავით იფიქროთ და მდგომარეობიდან ამოიღოთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ყველა ელემენტი. ჩვენ ვიცით რა არის ორნიშნა რიცხვები. ისინი შედგება ორი რიცხვისაგან.) რა ორნიშნა რიცხვი იქნება პირველი? 10, სავარაუდოდ.) ა ბოლოორნიშნა რიცხვი? 99, რა თქმა უნდა! სამნიშნაები მოჰყვებიან მას...

სამის ნამრავლები... ჰმ... ეს ის რიცხვებია, რომლებიც იყოფა სამზე, აი! ათი არ იყოფა სამზე, 11 არ იყოფა... 12... იყოფა! ასე რომ, რაღაც ჩნდება. თქვენ უკვე შეგიძლიათ დაწეროთ სერიები პრობლემის პირობების მიხედვით:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

იქნება ეს სერია არითმეტიკული პროგრესია? რა თქმა უნდა! თითოეული ტერმინი წინადან განსხვავდება მკაცრად სამით. თუ ტერმინს დაუმატებთ 2 ან 4-ს, ვთქვათ, შედეგი, ე.ი. ახალი რიცხვი აღარ იყოფა 3-ზე. თქვენ შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ განსაზღვროთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა: d = 3.ეს გამოდგება!)

ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია უსაფრთხოდ ჩავწეროთ პროგრესირების რამდენიმე პარამეტრი:

რა რიცხვი იქნება? ნბოლო წევრი? ვინც ფიქრობს, რომ 99 სასიკვდილოდ ცდება... რიცხვები ყოველთვის ზედიზედ მიდიან, მაგრამ ჩვენი წევრები სამზე ახტებიან. ისინი არ ემთხვევა.

აქ ორი გამოსავალია. ერთი გზა არის სუპერ შრომისმოყვარეებისთვის. შეგიძლიათ ჩაწეროთ პროგრესია, რიცხვების მთელი სერია და თითით დათვალოთ წევრების რაოდენობა.) მეორე გზა არის მოაზროვნეებისთვის. თქვენ უნდა გახსოვდეთ ფორმულა n-ე ტერმინისთვის. თუ ჩვენს პრობლემას გამოვიყენებთ ფორმულას, აღმოვაჩენთ, რომ 99 არის პროგრესიის ოცდამეათე წევრი. იმათ. n = 30.

მოდით შევხედოთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ფორმულას:

ჩვენ ვუყურებთ და ვხარობთ.) პრობლემის განცხადებიდან ამოვიღეთ ყველაფერი, რაც საჭიროა თანხის გამოსათვლელად:

a 1= 12.

30= 99.

S n = S 30.

რჩება მხოლოდ ელემენტარული არითმეტიკა. ჩვენ ვცვლით რიცხვებს ფორმულაში და ვიანგარიშებთ:

პასუხი: 1665 წ

სხვა ტიპის პოპულარული თავსატეხი:

4. მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

იპოვეთ ტერმინების ჯამი მეოცედან ოცდათოთხმეტამდე.

თანხის ფორმულას ვუყურებთ და... ვწუწუნებთ.) ფორმულა, შეგახსენებთ, ითვლის თანხას. პირველიდანწევრი. და პრობლემაში თქვენ უნდა გამოთვალოთ ჯამი მეოცე წლიდან...ფორმულა არ იმუშავებს.

თქვენ, რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ დაწეროთ მთელი პროგრესი სერიებში და დაამატოთ ტერმინები 20-დან 34-მდე. მაგრამ... ეს რაღაცნაირად სულელურია და დიდ დროს მოითხოვს, არა?)

არსებობს უფრო ელეგანტური გადაწყვეტა. მოდით გავყოთ ჩვენი სერია ორ ნაწილად. პირველი ნაწილი იქნება პირველი ტერმინიდან მეცხრამეტემდე.მეორე ნაწილი - ოციდან ოცდათოთხმეტი.გასაგებია, რომ თუ გამოვთვლით პირველი ნაწილის წევრთა ჯამს S 1-19, დავუმატოთ მეორე ნაწილის პირობების ჯამს S 20-34, ვიღებთ პროგრესიის ჯამს პირველი წევრიდან ოცდამეოთხემდე S 1-34. მოსწონს ეს:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

აქედან ჩვენ ვხედავთ, რომ იპოვნეთ თანხა S 20-34შეიძლება გაკეთდეს მარტივი გამოკლებით

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

განიხილება ორივე თანხა მარჯვენა მხარეს პირველიდანწევრი, ე.ი. სტანდარტული ჯამის ფორმულა საკმაოდ გამოიყენება მათთვის. დავიწყოთ?

ჩვენ გამოვყოფთ პროგრესირების პარამეტრებს პრობლემის განცხადებიდან:

d = 1.5.

a 1= -21,5.

პირველი 19 და პირველი 34 წევრის ჯამების გამოსათვლელად დაგვჭირდება მე-19 და 34-ე წევრი. ჩვენ ვიანგარიშებთ მათ n-ე წევრის ფორმულის გამოყენებით, როგორც ამოცანა 2-ში:

19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

a 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

აღარაფერი დარჩა. 34 წევრის ჯამს გამოაკელი 19 წევრის ჯამი:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

პასუხი: 262.5

ერთი მნიშვნელოვანი შენიშვნა! ამ პრობლემის გადასაჭრელად ძალიან სასარგებლო ხრიკი არსებობს. პირდაპირი გაანგარიშების ნაცვლად რაც გჭირდებათ (S 20-34),ჩვენ დავთვალეთ ის, რაც, როგორც ჩანს, არ არის საჭირო - S 1-19.და მერე გადაწყვიტეს S 20-34სრული შედეგიდან არასაჭიროს უგულებელყოფა. ასეთი სახის „ყურებით გამოცხადება“ ხშირად გიხსნის ბოროტ პრობლემებს.)

ამ გაკვეთილზე ჩვენ განვიხილეთ ამოცანები, რომლებისთვისაც საკმარისია გავიგოთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის მნიშვნელობა. კარგად, თქვენ უნდა იცოდეთ რამდენიმე ფორმულა.)

პრაქტიკული რჩევა:

ნებისმიერი პრობლემის გადაჭრისას, რომელიც მოიცავს არითმეტიკული პროგრესიის ჯამს, გირჩევთ დაუყოვნებლივ ჩამოწეროთ ორი ძირითადი ფორმულა ამ თემიდან.

ფორმულა n-ე ტერმინისთვის:

ეს ფორმულები დაუყოვნებლივ გეტყვით, რა უნდა მოძებნოთ და რა მიმართულებით იფიქროთ პრობლემის გადასაჭრელად. ეხმარება.

ახლა კი ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის.

5. იპოვეთ ყველა ორნიშნა რიცხვის ჯამი, რომელიც არ იყოფა სამზე.

მაგარია?) მინიშნება იმალება მე-4 პრობლემის შენიშვნაში. კარგი, პრობლემა 3 დაგეხმარებათ.

6. არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია პირობით: a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5. იპოვეთ მისი პირველი 24 წევრის ჯამი.

არაჩვეულებრივი?) ეს განმეორებადი ფორმულაა. ამის შესახებ შეგიძლიათ წაიკითხოთ წინა გაკვეთილზე. ნუ უგულებელყოფთ ბმულს, ასეთი პრობლემები ხშირად გვხვდება მეცნიერებათა სახელმწიფო აკადემიაში.

7. ვასიამ დაზოგა ფული დღესასწაულისთვის. 4550 რუბლს შეადგენს! და გადავწყვიტე ჩემს საყვარელ ადამიანს (საკუთარ თავს) ბედნიერების რამდენიმე დღე მიმეცა). იცხოვრე ლამაზად, საკუთარი თავის არაფრის უარყოფის გარეშე. დახარჯეთ 500 მანეთი პირველ დღეს, ხოლო ყოველი მომდევნო დღეს დახარჯეთ 50 მანეთი მეტი, ვიდრე წინა! სანამ ფული არ ამოიწურება. ბედნიერების რამდენი დღე ჰქონდა ვასიას?

რთულია?) დამატებითი ფორმულა ამოცანის 2-დან დაგეხმარებათ.

პასუხები (არეულად): 7, 3240, 6.

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. ვისწავლოთ - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალები 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც ძალიან "არ არის ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")

არითმეტიკული პროგრესია არის რიცხვების სერია, რომლებშიც თითოეული რიცხვი იგივე რაოდენობით მეტია (ან ნაკლები) ვიდრე წინა.

ეს თემა ხშირად რთული და გაუგებარი ჩანს. ასოების ინდექსები, პროგრესიის n-ე ტერმინი, პროგრესიის სხვაობა - ეს ყველაფერი რატომღაც დამაბნეველია, დიახ... მოდით გავარკვიოთ არითმეტიკული პროგრესიის მნიშვნელობა და ყველაფერი მაშინვე გამოსწორდება.)

არითმეტიკული პროგრესიის კონცეფცია.

არითმეტიკული პროგრესია ძალიან მარტივი და მკაფიო კონცეფციაა. გაქვთ რაიმე ეჭვი? ამაოდ.) თავად ნახეთ.

მე დავწერ რიცხვების დაუმთავრებელ სერიას:

1, 2, 3, 4, 5, ...

შეგიძლიათ გააგრძელოთ ეს სერია? რა რიცხვები მოვა შემდეგი ხუთეულის შემდეგ? ყველა... უჰ... მოკლედ, ყველა მიხვდება, რომ შემდეგი რიცხვები 6, 7, 8, 9 და ა.შ.

დავალება გავართულოთ. მე მოგცემთ რიცხვების დაუმთავრებელ სერიას:

2, 5, 8, 11, 14, ...

თქვენ შეძლებთ დაიჭიროთ ნიმუში, გააგრძელოთ სერიები და დაასახელოთ მეშვიდერიგის ნომერი?

თუ მიხვდით, რომ ეს რიცხვი 20-ია, გილოცავთ! არა მარტო გრძნობდი არითმეტიკული პროგრესირების ძირითადი პუნქტები,არამედ წარმატებით გამოიყენა ისინი ბიზნესში! თუ ეს ვერ გაარკვიეთ, წაიკითხეთ.

ახლა მოდით გადავთარგმნოთ ძირითადი პუნქტები შეგრძნებებიდან მათემატიკაში.)

პირველი საკვანძო წერტილი.

არითმეტიკული პროგრესია ეხება რიცხვების სერიას.ეს თავიდანვე დამაბნეველია. ჩვენ მიჩვეული ვართ განტოლებების ამოხსნას, გრაფიკების დახატვას და ამ ყველაფერს... მაგრამ აქ ვაგრძელებთ სერიებს, ვპოულობთ სერიების რიცხვს...

არაუშავს. უბრალოდ, პროგრესიები მათემატიკის ახალი დარგის პირველი გაცნობაა. განყოფილებას ეწოდება "სერიები" და მუშაობს კონკრეტულად რიცხვებისა და გამონათქვამების სერიებთან. მიეჩვიე.)

მეორე საკვანძო წერტილი.

არითმეტიკული პროგრესიის დროს, ნებისმიერი რიცხვი განსხვავდება წინადან იმავე რაოდენობით.

პირველ მაგალითში ეს განსხვავება ერთია. რაც არ უნდა აიღოთ, ის ერთით მეტია წინაზე. მეორეში - სამი. ნებისმიერი რიცხვი სამით მეტია წინაზე. სინამდვილეში, ეს არის ის მომენტი, რომელიც გვაძლევს შესაძლებლობას გავიგოთ ნიმუში და გამოვთვალოთ შემდგომი რიცხვები.

მესამე საკვანძო წერტილი.

ეს მომენტი არ არის გასაოცარი, დიახ... მაგრამ ძალიან, ძალიან მნიშვნელოვანია. აი ეს არის: თითოეული პროგრესის ნომერი თავის ადგილზეა.არის პირველი ნომერი, არის მეშვიდე, არის ორმოცდამეხუთე და ა.შ. თუ მათ შემთხვევით აურიეთ, ნიმუში გაქრება. არითმეტიკული პროგრესირებაც გაქრება. რაც დარჩა მხოლოდ რიცხვების სერიაა.

ამაშია მთელი აზრი.

რა თქმა უნდა, ახალი ტერმინები და აღნიშვნები ჩნდება ახალ თემაში. თქვენ უნდა იცოდეთ ისინი. წინააღმდეგ შემთხვევაში თქვენ ვერ გაიგებთ დავალებას. მაგალითად, თქვენ უნდა გადაწყვიტოთ მსგავსი რამ:

ჩაწერეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი ექვსი წევრი (a n), თუ a 2 = 5, d = -2.5.

შთამაგონებელია?) ასოები, რამდენიმე ინდექსები... და დავალება, სხვათა შორის, უფრო მარტივი ვერ იქნება. თქვენ უბრალოდ უნდა გესმოდეთ ტერმინებისა და აღნიშვნების მნიშვნელობა. ახლა ამ საკითხს დავეუფლებით და დავალებას დავუბრუნდებით.

პირობები და აღნიშვნები.

არითმეტიკული პროგრესიაარის რიცხვების სერია, რომელშიც თითოეული რიცხვი განსხვავდება წინადან იმავე რაოდენობით.

ამ რაოდენობას ე.წ . მოდით შევხედოთ ამ კონცეფციას უფრო დეტალურად.

არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა.

არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობაარის თანხა, რომლითაც ნებისმიერი პროგრესის რიცხვი მეტიწინა.

ერთი მნიშვნელოვანი წერტილი. გთხოვთ ყურადღება მიაქციოთ სიტყვას "მეტი".მათემატიკურად, ეს ნიშნავს, რომ თითოეული პროგრესიის რიცხვი არის დამატებითარითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა წინა რიცხვთან.

რომ გამოვთვალოთ, ვთქვათ მეორესერიის ნომრები, თქვენ გჭირდებათ პირველინომერი დაამატეთარითმეტიკული პროგრესიის სწორედ ეს განსხვავება. გაანგარიშებისთვის მეხუთე- განსხვავება აუცილებელია დაამატეთრომ მეოთხე,კარგად და ა.შ.

არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობაშეიძლება იყოს დადებითი,მაშინ სერიის თითოეული რიცხვი რეალური აღმოჩნდება წინაზე მეტი.ამ პროგრესირებას ე.წ იზრდება.მაგალითად:

8; 13; 18; 23; 28; .....

აქ მიიღება თითოეული რიცხვი დამატებითდადებითი რიცხვი, +5 წინას.

განსხვავება შეიძლება იყოს უარყოფითი,მაშინ სერიის თითოეული ნომერი იქნება წინაზე ნაკლები.ამ პროგრესს ჰქვია (არ დაიჯერებთ!) მცირდება.

მაგალითად:

8; 3; -2; -7; -12; .....

აქ ასევე მიიღება თითოეული ნომერი დამატებითწინასთან, მაგრამ უკვე უარყოფითი რიცხვია, -5.

სხვათა შორის, პროგრესირებასთან მუშაობისას ძალიან სასარგებლოა მისი ბუნების დაუყონებლივ დადგენა – იზრდება თუ მცირდება. ეს ძალიან დაგეხმარებათ გადაწყვეტილების მიღებაში, თქვენი შეცდომების დაფიქსირებაში და მათ გამოსწორებაში, სანამ გვიან არ არის.

არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობაჩვეულებრივ აღინიშნება ასოებით დ.

როგორ მოვძებნოთ დ? ძალიან მარტივი. აუცილებელია გამოვაკლოთ სერიების ნებისმიერი რიცხვი წინანომერი. გამოკლება. სხვათა შორის, გამოკლების შედეგს ეწოდება "სხვაობა".)

მოდით განვსაზღვროთ, მაგალითად, დარითმეტიკული პროგრესიის გაზრდისთვის:

2, 5, 8, 11, 14, ...

სერიიდან ვიღებთ ნებისმიერ რიცხვს, რომელიც გვინდა, მაგალითად, 11. ვაკლებთ მას წინა ნომერიიმათ. 8:

ეს არის სწორი პასუხი. ამ არითმეტიკული პროგრესიისთვის, განსხვავება სამია.

შეგიძლია წაიღო ნებისმიერი პროგრესის ნომერი,რადგან კონკრეტული პროგრესისთვის დ-ყოველთვის იგივე.სადღაც რიგის დასაწყისში მაინც, შუაში მაინც, სადმე მაინც. თქვენ არ შეგიძლიათ მიიღოთ მხოლოდ პირველი ნომერი. მხოლოდ იმიტომ, რომ პირველი ნომერი არ არის წინა.)

სხვათა შორის, ამის ცოდნა d=3, ამ პროგრესიის მეშვიდე რიცხვის პოვნა ძალიან მარტივია. მეხუთე რიცხვს მივუმატოთ 3 - მივიღებთ მეექვსეს, იქნება 17. მეექვსე რიცხვს მივუმატოთ სამი, მივიღებთ მეშვიდე რიცხვს - ოცს.

განვსაზღვროთ დდაღმავალი არითმეტიკული პროგრესიისთვის:

8; 3; -2; -7; -12; .....

შეგახსენებთ, რომ ნიშნების მიუხედავად, რათა დადგინდეს დსაჭიროა ნებისმიერი ნომრიდან წაართვით წინა.აირჩიეთ ნებისმიერი პროგრესირების ნომერი, მაგალითად -7. მისი წინა რიცხვი არის -2. შემდეგ:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი: მთელი რიცხვი, წილადი, ირაციონალური, ნებისმიერი რიცხვი.

სხვა ტერმინები და აღნიშვნები.

სერიის თითოეულ რიცხვს უწოდებენ არითმეტიკული პროგრესიის წევრი.

პროგრესის თითოეული წევრი აქვს თავისი ნომერი.ნომრები მკაცრად წესრიგშია, ყოველგვარი ხრიკების გარეშე. პირველი, მეორე, მესამე, მეოთხე და ა.შ. მაგალითად, პროგრესში 2, 5, 8, 11, 14, ... ორი არის პირველი წევრი, ხუთი არის მეორე, თერთმეტი არის მეოთხე, კარგად, გესმით...) გთხოვთ, ნათლად გაიგოთ - თავად ნომრებიშეიძლება იყოს აბსოლუტურად ნებისმიერი, მთლიანი, წილადი, უარყოფითი, რაც არ უნდა იყოს, მაგრამ ნომრების ნუმერაცია- მკაცრად წესრიგში!

როგორ დავწეროთ პროგრესი ზოგადი ფორმით? არავითარი კითხვა! სერიის თითოეული რიცხვი იწერება ასოს სახით. არითმეტიკული პროგრესიის აღსანიშნავად ჩვეულებრივ გამოიყენება ასო ა. წევრის ნომერი მითითებულია ინდექსით ქვედა მარჯვენა კუთხეში. ჩვენ ვწერთ ტერმინებს, რომლებიც გამოყოფილია მძიმეებით (ან მძიმით), ასე:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1- ეს პირველი ნომერია, a 3- მესამე და ა.შ. არაფერი გამორჩეული. ეს სერია შეიძლება მოკლედ დაიწეროს ასე: (n).

პროგრესები ხდება სასრული და უსასრულო.

საბოლოოპროგრესს ჰყავს წევრების შეზღუდული რაოდენობა. ხუთი, ოცდათვრამეტი, რაც არ უნდა იყოს. მაგრამ ეს სასრული რიცხვია.

უსასრულოპროგრესია - ჰყავს წევრების უსასრულო რაოდენობა, როგორც თქვენ ალბათ მიხვდებით.)

თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ საბოლოო პროგრესი ასეთი სერიით, ყველა ტერმინი და წერტილი ბოლოს:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5.

ან ასე, თუ ბევრი წევრია:

a 1, a 2, ... a 14, a 15.

მოკლე ჩანაწერში დამატებით მოგიწევთ მიუთითოთ წევრების რაოდენობა. მაგალითად (ოცი წევრისთვის), ასე:

(a n), n = 20

უსასრულო პროგრესია შეიძლება ამოიცნოს მწკრივის ბოლოს ელიფსისით, როგორც ამ გაკვეთილის მაგალითებში.

ახლა თქვენ შეგიძლიათ ამოცანების გადაჭრა. ამოცანები მარტივია, მხოლოდ არითმეტიკული პროგრესიის მნიშვნელობის გასაგებად.

არითმეტიკული პროგრესიის დავალებების მაგალითები.

მოდით განვიხილოთ ზემოთ მოცემული დავალება დეტალურად:

1. ჩაწერეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი ექვსი წევრი (a n), თუ a 2 = 5, d = -2.5.

ჩვენ ვთარგმნით დავალებას გასაგებ ენაზე. მოცემულია უსასრულო არითმეტიკული პროგრესია. ამ პროგრესის მეორე რიცხვი ცნობილია: a 2 = 5.პროგრესირების განსხვავება ცნობილია: d = -2,5.ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ამ პროგრესიის პირველი, მესამე, მეოთხე, მეხუთე და მეექვსე ტერმინები.

სიცხადისთვის დავწერ სერიებს პრობლემის პირობების მიხედვით. პირველი ექვსი ტერმინი, სადაც მეორე წევრი არის ხუთი:

1, 5, 3, 4, 5, 6,....

a 3 = a 2 + დ

ჩანაცვლება გამოხატულებაში a 2 = 5და d = -2,5. ნუ დაივიწყებთ მინუსზე!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

მესამე ვადა მეორეზე მცირე აღმოჩნდა. ყველაფერი ლოგიკურია. თუ რიცხვი წინაზე მეტია უარყოფითიმნიშვნელობა, რაც ნიშნავს, რომ თავად რიცხვი წინაზე ნაკლები იქნება. პროგრესი მცირდება. კარგი, გავითვალისწინოთ.) ჩვენ ვითვლით ჩვენი სერიის მეოთხე წევრს:

a 4 = a 3 + დ

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + დ

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + დ

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

ასე რომ, გამოითვალა ვადები მესამედან მეექვსემდე. შედეგი არის შემდეგი სერია:

a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

რჩება პირველი ტერმინის პოვნა a 1ცნობილი მეორეს მიხედვით. ეს არის ნაბიჯი სხვა მიმართულებით, მარცხნივ.) ასე რომ, არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა დარ უნდა დაემატოს a 2, ა წაიღეთ:

a 1 = a 2 - დ

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

ესე იგი. დავალების პასუხი:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

გარდა ამისა, მინდა აღვნიშნო, რომ ჩვენ გადავწყვიტეთ ეს ამოცანა განმეორებადიგზა. ეს საშინელი სიტყვა ნიშნავს მხოლოდ პროგრესის წევრის ძიებას წინა (მიმდებარე) ნომრის მიხედვით.ჩვენ განვიხილავთ პროგრესირებასთან მუშაობის სხვა გზებს ქვემოთ.

ამ მარტივი ამოცანიდან ერთი მნიშვნელოვანი დასკვნის გამოტანა შეიძლება.

გახსოვდეთ:

თუ ჩვენ ვიცით მინიმუმ ერთი წევრი და არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა, შეგვიძლია ვიპოვოთ ამ პროგრესიის ნებისმიერი წევრი.

გახსოვს? ეს მარტივი დასკვნა საშუალებას გაძლევთ გადაჭრათ სასკოლო კურსის პრობლემების უმეტესობა ამ თემაზე. ყველა დავალება ტრიალებს სამი ძირითადი პარამეტრის გარშემო: არითმეტიკული პროგრესიის წევრი, პროგრესიის სხვაობა, პროგრესიის წევრის რაოდენობა.ყველა.

რა თქმა უნდა, ყველა წინა ალგებრა არ არის გაუქმებული.) პროგრესირებას უტოლდება, განტოლებები და სხვა. მაგრამ თავად პროგრესის მიხედვით- ყველაფერი სამი პარამეტრის გარშემო ტრიალებს.

მაგალითად, მოდით შევხედოთ რამდენიმე პოპულარულ ამოცანას ამ თემაზე.

2. ჩაწერეთ სასრული არითმეტიკული პროგრესია რიგის სახით, თუ n=5, d = 0.4 და a 1 = 3.6.

აქ ყველაფერი მარტივია. ყველაფერი უკვე მიცემულია. უნდა გახსოვდეთ, როგორ ითვლიან არითმეტიკული პროგრესიის წევრებს, დათვალეთ და ჩაწერეთ. მიზანშეწონილია არ გამოტოვოთ სიტყვები დავალების პირობებში: "ფინალური" და " n=5". ისე, რომ არ დათვალოთ, სანამ სახეზე მთლიანად გალურჯდებით.) ამ პროგრესში მხოლოდ 5 (ხუთი) წევრია:

a 2 = a 1 + d = 3.6 + 0.4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0.4 = 4.4

a 4 = a 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8

a 5 = a 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2

რჩება პასუხის ჩაწერა:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

კიდევ ერთი დავალება:

3. დაადგინეთ რიცხვი 7 იქნება თუ არა არითმეტიკული პროგრესიის წევრი (a n), თუ a 1 = 4.1; d = 1.2.

ჰმ... ვინ იცის? როგორ განვსაზღვროთ რამე?

როგორ-როგორ... სერიების სახით ჩაწერეთ პროგრესი და ნახეთ იქ შვიდი იქნება თუ არა! ჩვენ ვითვლით:

a 2 = a 1 + d = 4.1 + 1.2 = 5.3

a 3 = a 2 + d = 5.3 + 1.2 = 6.5

a 4 = a 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

ახლა აშკარად ჩანს, რომ მხოლოდ შვიდნი ვართ გაცურდა 6.5-დან 7.7-მდე! შვიდი ვერ მოხვდა ჩვენს რიცხვთა სერიაში და, შესაბამისად, შვიდი არ იქნება მოცემული პროგრესიის წევრი.

პასუხი: არა.

და აქ არის პრობლემა, რომელიც დაფუძნებულია GIA-ს რეალურ ვერსიაზე:

4. არითმეტიკული პროგრესიის ზედიზედ რამდენიმე წევრი იწერება:

...; 15; X; 9; 6; ...

აქ არის სერია დაწერილი დასასრულისა და დასაწყისის გარეშე. წევრების რიცხვი არ არის, არანაირი განსხვავება დ. არაუშავს. პრობლემის გადასაჭრელად საკმარისია გავიგოთ არითმეტიკული პროგრესიის მნიშვნელობა. მოდით შევხედოთ და ვნახოთ რა არის შესაძლებელი რომ იცოდეამ სერიიდან? რა არის სამი ძირითადი პარამეტრი?

წევრების ნომრები? აქ არც ერთი ნომერი არ არის.

მაგრამ არის სამი ნომერი და - ყურადღება! - სიტყვა "თანმიმდევრული"მდგომარეობაში. ეს ნიშნავს, რომ რიცხვები მკაცრად წესრიგშია, ხარვეზების გარეშე. ამ რიგში ორია? მეზობელიცნობილი ნომრები? დიახ, მაქვს! ეს არის 9 და 6. მაშასადამე, ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა! გამოვაკლოთ ექვსიდან წინანომერი, ე.ი. ცხრა:

დარჩა უბრალო წვრილმანები. რომელი რიცხვი იქნება X-ის წინა? თხუთმეტი. ეს ნიშნავს, რომ X ადვილად იპოვება მარტივი მიმატებით. დაამატეთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა 15-ს:

ესე იგი. პასუხი: x=12

ჩვენ თვითონ ვაგვარებთ შემდეგ პრობლემებს. შენიშვნა: ეს პრობლემები არ არის დაფუძნებული ფორმულებზე. არითმეტიკული პროგრესიის მნიშვნელობის გასაგებად. ჩვენ უბრალოდ ვწერთ რიცხვებისა და ასოების სერიას, ვუყურებთ და გავარკვიეთ.

5. იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი დადებითი წევრი, თუ a 5 = -3; d = 1.1.

6. ცნობილია, რომ რიცხვი 5.5 არის არითმეტიკული პროგრესიის წევრი (a n), სადაც a 1 = 1.6; d = 1.3. განსაზღვრეთ ამ წევრის ნომერი n.

7. ცნობილია, რომ არითმეტიკული პროგრესიით a 2 = 4; a 5 = 15.1. იპოვნეთ 3.

8. არითმეტიკული პროგრესიის ზედიზედ რამდენიმე წევრი იწერება:

...; 15.6; X; 3.4; ...

იპოვეთ პროგრესიის ვადა, რომელიც მითითებულია ასო x.

9. მატარებელმა მოძრაობა დაიწყო სადგურიდან, თანაბრად გაზარდა სიჩქარე წუთში 30 მეტრით. რა იქნება მატარებლის სიჩქარე ხუთ წუთში? გაეცით პასუხი კმ/საათში.

10. ცნობილია, რომ არითმეტიკული პროგრესიით a 2 = 5; a 6 = -5. იპოვეთ 1.

პასუხები (არეულად): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 4.

ყველაფერი გამოვიდა? საოცარი! თქვენ შეგიძლიათ დაეუფლოთ არითმეტიკული პროგრესიას უფრო მაღალ დონეზე შემდეგ გაკვეთილებზე.

ყველაფერი არ გამოვიდა? პრობლემა არ არის. სპეციალურ განყოფილებაში 555, ყველა ეს პრობლემა ნაწილ-ნაწილ ნაწილდება.) და, რა თქმა უნდა, აღწერილია მარტივი პრაქტიკული ტექნიკა, რომელიც დაუყოვნებლივ ხაზს უსვამს ასეთი ამოცანების გადაწყვეტას ნათლად, ნათლად, ერთი შეხედვით!

სხვათა შორის, მატარებლის თავსატეხში არის ორი პრობლემა, რომელსაც ადამიანები ხშირად აბრკოლებენ. ერთი არის მხოლოდ პროგრესირების თვალსაზრისით, მეორე კი ზოგადია მათემატიკაში და ფიზიკაში ნებისმიერი პრობლემისთვისაც. ეს არის ზომების თარგმანი ერთიდან მეორეზე. ეს გვიჩვენებს, თუ როგორ უნდა მოგვარდეს ეს პრობლემები.

ამ გაკვეთილზე ჩვენ განვიხილეთ არითმეტიკული პროგრესიის ელემენტარული მნიშვნელობა და მისი ძირითადი პარამეტრები. ეს საკმარისია ამ თემაზე თითქმის ყველა პრობლემის მოსაგვარებლად. დამატება დციფრებს დაწერე სერია, ყველაფერი მოგვარდება.

თითის ხსნარი კარგად მუშაობს მწკრივის ძალიან მოკლე ნაწილებზე, როგორც ამ გაკვეთილის მაგალითებში. თუ სერია უფრო გრძელია, გამოთვლები უფრო რთული ხდება. მაგალითად, თუ პრობლემა 9-ში შეცვალეთ "ხუთი წუთი" on "ოცდათხუთმეტი წუთი"პრობლემა საგრძნობლად გაუარესდება.)

და ასევე არის ამოცანები, რომლებიც არსებითად მარტივია, მაგრამ აბსურდული გამოთვლებით, მაგალითად:

მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია (a n). იპოვეთ 121, თუ a 1 =3 და d=1/6.

მერე რა, ვაპირებთ 1/6-ს ბევრჯერ, ბევრჯერ დავამატოთ?! შეგიძლია თავი მოიკლა!?

შეგიძლიათ.) თუ არ იცით მარტივი ფორმულა, რომლითაც შეგიძლიათ ასეთი ამოცანების ამოხსნა ერთ წუთში. ეს ფორმულა იქნება მომდევნო გაკვეთილზე. და ეს პრობლემა მოგვარებულია იქ. ერთ წუთში.)

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. ვისწავლოთ - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.